Makalah Pendidikan Matematika Kelas Tinggi Sifat-Sifat Operasi Perpangkatan 2 Dosen Pembimbing : Melva Zainil, ST, M. Pd
Oleh Kelompok 2
1. INDAH RAHMA AULIA 2. LARASATI 3. MAYA SARI UMROH 4. NURUL ANNISA 5. RESI ANANDA 6. VELLISA PUTRI IRWAN 7. VIRA AULIA KIFLI
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2018
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT karena telah terselesai nya makalah ini. Di dalam makalah ini kami membahas “pendidikan metematika kelas tinggi” tentang bilangan eksponen.Materi dan urutan penyajian makalah ini dibuat ringkas tetapi berisi, sehingga makalah ini dapat digunakan sebagai bahan menambah ilmu kita. Dalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari bimbingan berbagai pihak. Dan kami mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah membantu. Kami menyadari dalam pembuatan makalah ini masih banyak kekurangan dalam pembuatanya dan penulis mengharapkan rekan-rekan agar dapat memberi kritik dan saran yang bersifat membangun agar makalah ini bermamfaat bagi kita s emua, amin.
11 September 2018
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.......................... PENGANTAR...................................................... .................................................................... .......................................... ..
ii
DAFTAR ISI................................................................ ISI................................................................................................ .............................................. ..............
iii
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG.......................... BELAKANG.............................................................. ......................................................... .....................
1
B. RUMUSAN MASALAH...................................... MASALAH.......................................................................... ........................................ ....
1
C. TUJUAN MASALAH...................................... MASALAH...................................................................... ............................................. .............
1
BAB II PEMBAHASAN A. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat …..................................................
2
B. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat ………………….......................
4
C. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat ................................................
6
D. Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian Dua Bilangan …………………...
8
E. Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian Dua Bilangan …………………
9
F. Sifat Perpangkatan Bilangan nol …………………...…………………
11
BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN.............................................................................................
13
B. SARAN..........................................................................................................
13
DAFTAR PUSTAKA....................................... PUSTAKA....................................................................... .......................................................... ..........................
14
iii
iv
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Makalah ini membahas tentang hakikat dari bilangan berpangkat dua .Setelah siswa memahami konsep bilangan bulat beserta operasinya, tiba saatnya bagi kita untuk menyajikan
konsep
perpangkatan
pada
bilangan
bulat.
Sebelum
kita
melakukan
pembelajaran perpangkatan pada bilangan bulat, terlebih dahulu kita meningkatkan konsep operasi penjumlahan dan perkalian baik pada bilangan cacah maupun pada bilangan bulat. Aturan umum untuk perkalian perpangkatan dengan bilangan pokok yang sama dapat diturunkan dengan cara menuliskan perkaliannya secara lengka
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang di maksud dengan bilangan berpangkat dua? 2. Apa sajakah sifat-sifat operasi perpangkatan?
C. Tujuan
1. Mengetahui apa itu bilangan berpangkat dua. 2. Mengetahuisifat-sifat operasi bilangan berpangkat.
1
BAB II PEMBAHASAN 1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
Dalam operasi hitung perkalian bilangan berpangkat, berlaku sifat sebagai berikut: am × an = am+n
Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini: 53 × 52 = (5 × 5 × 5) x (5 × 5) 53 × 52 = 5 ×5 × 5 × 5 × 5 53 × 52 = 55 Jadi dapat disimpulkan 53 × 52 = 53+2
Contoh Soal Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Berpangkat dan Pembahasannya Pembahasannya
Sederhanakan hasil perkalian bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya a. 72 × 75 b. ( – – 2) 2)4 × ( – – 2) 2)5 c. ( – – 3) 3)3 × ( – – 3) 3)7 d. 23 × 34 e. 3y2 × y3 f. 2x4 × 3x6 g. – 22 × 23 h. – 27 × 28 i. – 35 × 35
2
Penyelesaian
a. 72 x 75 = 72+5 = 77 = 823.543 b. ( – – 2) 2)4 × ( – – 2) 2)5 = – = – 24+5 = – 29 = – 512 512 c. ( – – 3) 3)3 × ( – – 3) 3)7 = – = – 33+7 = – 310 = 59.049 d. 23 × 34, soal ini tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokonya berbeda (2 dan 3). Jadi kita hanya bisa menghitung nilainya saja. 23 × 34 = 8 × 81 = 648 e. 3y2 × y3 = 3(y)2+3 = 3y5 f. 2x4 × 3x6 = (2×3)(x)4+6 = 6x10 g. – 22 × 23 = ( – – 1) 1)2 × 22 × 23 = (1) × 22+3 = 25 = 32 h. – 27 × 28 = ( – – 1) 1)7 × 27 × 28
3
= ( – – 1) 1) × 27+8 = – (2 (215) = – 32.768 32.768 i. – 35 × 35 = ( – – 1) 1)5 × 35 × 35 = ( – – 1) 1) × 36+6 = – (3 (312) = – 531.441 531.441 Untuk bilangan pokok negatif negatif berpangkat, seperti pada contoh b), c), g), h) dan i) ada poin poin penting yang harus kalian tahu yakni: yakni: Bilangan negatif pangkat genap
= Hasilnya positif
Bilangan negatif pangkat ganjil
= Hasilnya negatif
2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
Dalam operasi hitung pembagian bilangan berpangkat, berlaku sifat sebagai berikut: am : an = am – n
Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini: 56 : 53 = (5 × 5 × 5 × 5 × 5× 5) : (5 × 5 × 5) 56 : 53 = 5 × 5 × 5 56 : 53 = 53 Jadi dapat disimpulkan 56 : 53 = 56−3 Contoh Soal Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat dan Pembahasannya
Sederhanakan hasil pembagian bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya a. 45 : 43
4
b. ( – – 2) 2)6 : ( – – 2) 2)3 c. ( – – 3) 3)7 : ( – – 3) 3)5 d. 34 : 23 e. 3y3 : y2 f. 2x6 : 3x4 g. – 23 : 22 h. – 28 : 27 i. – 35 : 35 Penyelesaian
a. 45 : 43 = 45-3 = 42 = 16 b. ( – – 2) 2)6 : ( – – 2) 2)3 = (−2)6−3 = −23 = −8 c. ( – – 3) 3)7 : ( – – 3) 3)5 = (−3)7−5 = −32 =9 d. 34 : 23, soal ini tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokonya berbeda (3 dan 2). Jadi kita hanya bisa menghitung nilainya saja. 34 : 23 = 81 : 8 = 10,125 e. 3y3 : y2 = 3(y3−2)
5
= 3y1 = 3y f. 2x6 : 3x4 = (2 : 3)(x 6−4) = 2 : 3 x2 g. – 23 : 22 = [(−1)3× 23] : 22 = (−1)×(23−2) = −21 = −2 h. – 28 : 27 = [(−1)8× 28] : 27 = (1)×(28−7) = 21 =2 i.
35 : −35 = 35 : [(−1)5× 35] = (35−5) : (−1) = 30 : (−1) = 1 : (−1) = −1
3. Sifat Perpangkatan Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Dalam operasi hitung perpangkatan bilangan berpangkat, berlaku sifat sebagai berikut: (am)n= am×n
Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini: (53)2 = (5 × 5 × 5) 2 6
(53)2 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) (53)2 = 56 Jadi dapat disimpulkan (53)2 = 53×2 Contoh Soal Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat dan Pembahasannya
Sederhanakan hasil perpangkatan bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya a. (43)5 b. [( – – 2) 2)4]2 c. [( – – 3) 3)3]3 d. [(1 : 2)2]3 e. (4y3)2 Penyelesaian
a. (43)5 = 43×5 = 415 = 1.073.741.824 b. [( – – 2) 2)4]2 = (−2)4×2 = (−2)8 = 256 c. [( – – 3) 3)3]3 =(−3)3×3 = (−3)9 = −19.683 d. [(1 : 2)2]3 = (1 : 2) 2×3 = (1: 2)6 = 1 : 64 7
e. (4y3)2 = (4)2 × (y)3×2 = 16y6
4. Sifat Perpangkatan Perpangkatan Suatu Perkalian Dua Bilangan
Dalam operasi hitung perpangkatan suatu perkalian dua bilangan, berlaku sifat sebagai berikut: (a × b)m= am × bm
Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini: (3 × 5)2 = (3 × 5) × (3 × 5) (3 × 5)2 = (3 × 3) × (5 × 5) (3 × 5)2 = 32 × 52 Jadi dapat disimpulkan (3 × 5) 2 = 32 × 52
Contoh Soal Sifat Perpangkatan Perpangkatan Suatu Perkalian 2 Bilangan dan Pembahasannya
Sederhanakan hasil perpangkatan bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya a. (2 × 7)2 b. [(−3) × 2]2 c. [6 × (−5)]3 d. [(1 : 2) × (1: 3)] 3 e. (−3pq)3 f. (−2xyz)4
8
Penyelesaian
a. (2 × 7)2 = 22 × 72 = 4 × 49 = 196 b. [(−3) × 2]2 = (−3)2 × 22 =9x4 = 36 c. [6 × (−5)]3 = 63 × (−5)3 = 216 × (−125) = −27.000 d. [(1 : 2) × (1 : 3)] 3 = (1 : 2) 3 × (1 : 3) 3 = (1 : 8) × (1 : 27) = 1 : 216 e. (−3pq)3 = (−3)3 ×(p)3 ×(q)3 = −27p3q3 f. (−2xyz)4 = (−2)4 ×(x)4 ×(y)4 ×(z)4 = 16x 4y4z4
5. Sifat Perpangkatan Perpangkatan Suatu Pembagian Dua Bilangan
Dalam operasi hitung perpangkatan suatu pembagian dua bilangan, berlaku sifat sebagai berikut:
9
(a : b) m= am : bm
Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini: (3 : 5)2 = (3 : 5) × (3 : 5) (3 : 5)2 = (3 × 3) : (5 × 5) (3 : 5)2 = 32 : 52 Jadi dapat disimpulkan (3 : 5) 2 = 32 : 52
Contoh Soal Sifat Perpangkatan Perpangkatan Suatu Pembagian 2 Bilangan dan Pembahasannya
Sederhanakan hasil perpangkatan bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya a. (2 : 3)2 b. [(−3) : 2]3 c. [6 : (−5)]2 d. [(1 : 2) : (1 : 3)] 3 e. (−2p : q)3 f. (x : (−3)y)4 Penyelesaian
a. (2 : 3)2 = 22 : 52 = 4 : 25 b. [(−3) : 2]3 = (−3)3 : 23 = −27 : 8 c. [6 : (−5)]2 = 62 : (−5)2
10
= 36 : 25 d. [(1 : 2) : (1 : 3)] 3 = (1 : 2) 3 : (1 : 3) 3 = (1 : 8) : (1 : 27) = 27 : 8 e. (−2p : q)3 = [(−2)3 × (p)3] : q3 = −8p3 : q3 f. (x : (−3)y)4 = x4 : [(−3)4 × (y)4] =x4 : 81y4 6. Sifat Perpangkatan Perpangkatan Bilangan nol
Jika a adalah bilangan real (a (a ∈ R) dan n adalah bilangan bilangan bulat positif positif (n ≥ 1), maka sifatsifat perpangkatan bilangan 0 (nol) adalah sebagai berikut: 1.
a =1 0
2.
0n
=0
3.
00
= Tak terdefinisi
Untuk membuktikan sifat pangkat bilangan nol nomor 1, perhatikan penjelasan berikut ini 24 : 24 = 24−4 = 20 jadi 24 : 24 = 20, karena 24 : 24 = 16 : 16 = 1, maka 20 = 1 Dengan pembuktian ini dapat disimpulkan bahwa semua bilangan real kecuali nol apabila dipangkatkan dengan 0 (nol) maka hasilnya sama dengan 1. Untuk membuktikan sifat pangkat bilangan nol nomor 2, perhatikan penjelasan berikut ini
11
02 = 0 × 0 = 0 03 = 0 × 0 × 0 = 0 03 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0 Dengan pembuktian tersebut dapat disimpulkan bahwa bilangan nol apabila dipangkatkan sebanyak apapun hasilnya akan selalu nol. Untuk membuktikan sifat pangkat bilangan nol nomor 3, perhatikan penjelasan berikut ini Kita tahu bahwa nilai 0n = 0, maka 0n : 0n = 0 : 0, nilai 0 : 0 = semua = semua bilangan, bilangan, sebab semua bilangan dikalikan nol hasilnya adalah nol Kita tuliskan bentuk persamaan lain. 0n : 0n = 0n−n 0n : 0n = 00 karena 0n : 0n = 0 : 0 = semua = semua bilangan, bilangan, maka 00 = semua = semua bilangan Semua bilangan berarti bisa 1, 12, 123, 1234, 12345, 13456 dan seterusnya jadi definisinya tidak jelas. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bilangan nol pangkat nol hasilnya tidak terdefinisi.
12
BAB III PENUTUP
A. KESIMPULAN
Hasil perkalian dua bilangan yang sama besar melalui cara perkalian berulang disebut sebagai bilangan pangkat dua atau bilangan kuadrat . Dalam makalah telah dijelaskan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat .
B. SARAN
Dengan mengetahui dan memahami konsep dari bilangan berpangkat dua tahu bagaimana cara menyelesaikan soalnya sehingga kita akan mengerti dan dengan makalah ini di harapkan dapat menjadi dasar bagi seorang guru dan pedoman akan pentingnya pemahaman konsep dalam pembelajaran matematika di sd sehingga tujuan pendidikan itu dapat tercapai.
13
DAFTAR PUSTAKA
Karso,dkk,2014. Pendidikan Pendidikan Matematika 1.Tanggerang 1.Tanggerang Selatan:Universitas Terbuka. Muhsety Gatot,dkk, 2007. Pembelajaran 2007. Pembelajaran Matematika SD.Jakarta:Unversitas SD.Jakarta:Unversitas Terbuka.
14
