Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, (Bandung: Informatika Bandung, 2014), h. 281.
https://hartikadwipratiwi.files.wordpress.com diakses pada hari Jum'at tanggal 6 November 2015 pukul 20.57 Wita.
Danny Manongga & Yessica Nataliana, Matematika Diskrit, (Jakarta: Pranada Media Group), h. 87.
Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, (Bandung: Informatika Bandung, 2014), h. 285.
https://farida_a.staff.gunadarma.ac.id diakses pada hari Jum'at tanggal 6 November 2015 pukul 19.36 Wita.
https://hartikadwipratiwi.files.wordpress.com diakses pada hari Jum'at tanggal 6 November 2015 pukul 20.57 Wita.
https://hartikadwipratiwi.files.wordpress.com diakses pada hari Jum'at tanggal 6 November 2015 pukul 20.57 Wita.
https://hartikadwipratiwi.files.wordpress.com diakses pada hari Jum'at tanggal 6 November 2015 pukul 20.57 Wita.
Rinaldi munir, Matematika Diskrit, (Bandung: Informatika Bandung), h.290.
Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, (Bandung: Informatika Bandung, 2014), h. 290.
Rinaldi munir, Matematika Diskrit, (Bandung: Informatika Bandung), h.294.
Fadlisyah Bustami, Matematika Diskrit, (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2009), h. 8.
Rinaldi munir, Matematika Diskrit, (Bandung: Informatika Bandung), h.
Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, (Bandung: INFORMATIKA 2014), h. 308
Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, (Bandung: INFORMATIKA 2014), h. 310
37
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Aljabar Boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen).
Fungsi Boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi Boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi Boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.
Aljabar Boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, Aljabar Boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini Aljabar Boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Oleh karena itulah penulis berharap pembaca dapat mengetahui fungsi dan menambah wawasan tentang Aljabar Boolean.
Rumusan Masalah
Adapun didapatkan beberapa rumusan masalah mengenai Aljabar Boolean antara lain:
Apa yang dimaksud dengan Aljabar Boolean?
Apa yang dimaksud dengan Aljabar Boolean Dua Nilai?
Apa yang dimaksud dengan Ekspresi Boolean?
Apa yang dimaksud dengan Prinsip Dualitas?
Apa yang dimaksud dengan Hukum- Hukum Aljabar Boolean?
Apa yang dimaksud dengan Fungsi Boolean?
Apa yang dimaksud dengan Penjumlahan dan Perkalian Dua Fungsi?
Apa yang dimaksud dengan Komplemen fungsi Boolean?
Apa yang dimaksud dengan Bentuk Kanonik?
Apa yang dimaksud dengan Konversi Antar Bentuk Kanonik?
Apa yang dimaksud dengan Bentuk Baku?
Apa yang dimaksud dengan Aplikasi Aljabar Boolean?
Apa yang dimaksud dengan Penyederhanaan Fungsi Boolean?
Apa yang dimaksud dengan Penyederhanaan Rangkaian Logika?
Apa yang dimaksud dengan Metode Quine-McCluskey?
Tujuan
Adapun didapatkan beberapa mengenai Aljabar Boolean antara lain:
Untuk mengetahui definisi Aljabar Boolean.
Untuk mengetahui konsep dari Aljabar Boolean Dua Nilai.
Untuk memahami maksud Ekspresi Boolean.
Untuk mengetahui Prinsip Dualitas.
Untuk mengetahui Hukum- Hukum Aljabar Boolean.
Untuk mengetahui Fungsi Boolean.
Untuk mengetahui penjumlahanan dan Perkalian Dua Fungsi.
Untuk mengetahui komplemen fungsi Boolean.
Untuk mengetahui Bentuk Kanonik.
Untuk mengetahui Konversi Antar Bentuk Kanonik
Untuk mengetahui Bentuk Baku.
Untuk mengetahui Aplikasi Aljabar Boolean.
Untuk mengetahui Penyederhanaan Fungsi Boolean.
Untuk mengetahui penyederhanaan logika.
Untuk mengetahui Metode Quine-McCluskey.
BAB II
PEMBAHASAN
Definisi Aljabar Boolean
Aljabar boole pertama kali dikemukakan oleh seseorang matematikawan inggris, Geogre Boole pada tahun 1854. Aljabar Boolean adalah cabang ilmu matematika yang diperlukan untuk mempelajari desain logika dari suatu sistem digital yang merupakan operasi aritmatik pada bilangan Boolean (bilangan yang hanya mengenal 2 keadaan yaitu False/True, Yes/No, 1/0) atau bisa disebut bilangan biner. Pada tahun 1938 Clamde Shanmon memperlihatkan penggunaan Aljabar Boole untuk merancang rangkaian sirkuit yang menerima masukan 0 dan 1 dan menghasilkan keluaran juga 0 dan 1 Aljabar Boole telah menjadi dasar teknologi komputer digital.
Secara umum Aljabar Boolean didefinisikan sebagai suatu himpunan dengan operasi +, ., ', serta elemen 0 dan 1, yang ditulis sebagai .
Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.Maka, tupel disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a,b,c, OB berlaku aksioma (sering disebut juga postulat Huntington ) berlaku:
Identitas :
a + 0 = a
a . 1 = a
Komutatif :
a + b = b + a
a . b = b . a
Distributif :
a . (b+c) = (a . b)+(a . c)
a+(b . c) = (a+b).(a+c)
Komplemen untuk setiap a OB terdapat elemen unik a' OB sehingga
a+a' = 1
a . a' = 0
Closure
a+b B
a . b B
Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang ada di dalam B. 0 disebut elemen terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemen unik dapat berbeda-beda pada Aljabar Boolean (misal dan U pada himpunan, F dan T pada proposisi). Namun secara umum tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai dua buah elemen unik yang berbeda. Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1 disebut elemen unit. Operator + disebut operator penjumlahan, disebut operator perkalian, dan ' disebut operator komplemen.
Adapun perbedaan antara Aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk aritatika bilangan rill.
Hukum distributif yang pertama, a.(b+c)= (a.b)+(a.c)sudah dikenal di dalam aljabar biasa, tetapi hukum distributi kedua, a+(b.c) = (a+b).(a+c) benar untuk Aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.
Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian dan kebalikan penjumlahan, karena itu tidak ada oprasi pembagian dan pengurangan didalam aljabar bolean.
Aksioma nomor 4 yang telah dituliskan di atas mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia dalam aljabar biasa.
Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan rill dengan elemen yang tidak berhingga banyaknya. Sedangkan Aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada Aljabar Boolean 2 nilai, B di definisikan sebagai himpunan degan hanya dua nilai, 0 dan 1.hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variabel) pada sistem aljabar. Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen himpunan bilangan rill adalah angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, c, dan sebagainya.
Dengan cara yang sama pada Aljabar Boolean, orang mendefinisikan elemen-elemen himpunan dan peubah seperti x,y,z sebagai simbol-simbol yang merepresentasikan elemen. Berhubung elemen-elemen B tidak di definisikan nilainya (kita bebas menentukan anggota-anggota B),maka untuk mempunyai sebuah Aljabar Boolean, orang harus memperlihatkan :
Elemen-elemen himpunan B,
Kaidah /aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,
Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut,memenuhi keempat aksioma diatas. Jika ketiga persaratan diatas dapat dipenuhi maka aljabar yang didefinisikan bisa dikatakan Aljabar Boolean.
Contoh:
Misalkan B = 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 adalah pembagi dari 70. Tunjukkan cara membentuk B menjadi sebuah Aljabar Boolean
Penyelesaian:
Elemen-elemen himpunan B sudah didefinisikan. Sekarang kita tentukan kaidah operasi untuk operator +, , dan '. Misalkan kita definisikan
a + b = KPK(a,b) = Kelipatan Persekutuan Terkecil
a b = PBB(a,b) = Pembagi Bersama Terbesar
a' = 70a
Akan ditunjukan B bersama-sama dengan operator biner dan operator uner memenuhi ke lima aksioma yang didefinisikan
Identitas 1 adalah elemen identitas untuk operasi penjumlahan (1 sebagai elemen zero) dan 70 adalah elemen untuk operasi perkalian(70 sebagai elemen unit) karena:
a + 1 = KPK(a,1) = a
a 70 = PBB(a,70) = a
Komutatif berlaku karena:
a + b = b + a = KPK(a,b)
a b = b . a = PBB(a,b)
Distibutif:
10 (5+7) = PBB(10, KPK(5,7)) = PBB(10,35) = 5
(10 5) + (10 7) = KPK(PBB(10,5),PBB(10,7)) = KPK(5,1)= 5
10 + (5 7) = KPK(10, PBB(5,7))= KPK(10,1) = 10
(10 +5) (10 + 7) = PBB(KPK(10,5), KPK(10,7)) = PBB(10,70) = 10
Komplemen berlaku karena
a + a' = KPK(a, 70/a)= 70
a a' = PBB(a,70/a) = 1
Oleh karena semua aksioma dipenuhi maka B = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70} adalah Aljabar Boolean.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Mengingat B tidak ditentukan anggota-anggotanya, maka kita dapat membentuk sejumlah tidak berhingga Aljabar Boolean. Pada Aljabar Boolean berhingga banyaknya anggota B terbatas, tetapi paling sedikit beranggotakan dua buah elemen yang berbeda.
Aljabar Boolean memiliki terapan yang luas adalah aljabar dua-nilai. Aljabar Boolean dua-nilai di definisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit, singkatan dari binary digit), yaitu B = {0, 1}, operasi biner, + dan , operasi uner, ' . Kaidah untuk operator uner ditunjukkan pada tabel sebagai berikut.
Tabel IITabel IITabel I
Tabel II
Tabel II
A
b
a b
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A
B
a + b
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Tabel III
A
a'
0
1
1
0
Kita harus memperlihatkan bahwa aksioma-aksioma terpenuhi pada himpunan B ={0,1} dengan dua operator biner dan s atu operator uner yang didefinisikan.
Yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1 Yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1Identitas jelas berlaku karena dari tabel dapat dilihat bahwa:
Yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1
Yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1
0 + 1 = 1 + 0 = 1
1 0 = 0 1 = 0
Komutatif jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner
Distributif:
a ( b + c) = ( a b) dapat ditujukan benar dari tabel operator biner di atas dengan menggunakan tabel kebenaran untuk semua nila yang mungkin dari a, b, c . Oleh karena nilai-nilai pada kolom a (b + c) sama dengan nilai pada kolom ( a b) + (a c ), maka kesamaan a ( b+c) = (a b) + (a c) adalah benar
Hukum distributif a + (b c) = (a b) + (a c) dapat ditujukkan benar dengan menggunakan tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti
Tabel IV
a
b
C
b + c
a (b + c)
a b
a c
(a b) + (a c)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Komplemen jelas berlaku karena tabel IV memperlihatkan bahwa :
a + a' = 1 karena 0 + 0' = 0 + 1 dan 1 = 1' + 0 = 1
a a = 0 karena 0 0' = 0 dan 1 1' = 1 0 = 0
Karena aksioma-aksioma terpenuhi, maka terbukti bahwa B = {0,1} bersama-sama dengan operasi biner +, dan operator koplemen ' merupakan Aljabar Boolean.
Ekspresi Boolean
Misalkan (B,+, ,',0,1) adalah sebuah Aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B,+, ,') adalah:
Setiap elemen di dalam B
Setiap peubah
Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1' adalah ekspresi Boolean.
Contoh : 0, 1, a, b, c, a+b, a.b, a'(b+c), a.b' + b.c' + b'
Evaluasi ekspresi Boolean adalah nilai pada peubah-peubah di dalam ekspresi tersebut dengan elemen-elemen di B.
Contoh : jika a = 0, b = 1 dan c = o,hitunglah hasil ekspresi dari a.(b'+c) !
Jawab:
a.(b'+c) = 0 . (1' + 0) = 0.0 = 0
Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan =) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh: a+a'b = a+b
Bukti :
A
B
a'
a'b
a+a'b
a+b
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
Terlihat bahwa nilai-nilai pada kolom a+a'b sama dengan nilai pada kolom a+b.
a+a'b = a+b terbukti
Prinsip Dualitas
Di dalam Aljabar Boolean banyak ditemukan kesamaan (identity) yang dapat diperoleh dari kesamaan lainnya, misalnya pada dua aksioma distributive yang sudah disebutkan sebelumnya, yaitu:
ab+c=ab+ac
a+bc=a+b(a+c)
Aksioma yang kedua diperoleh dari aksioma pertama dengan cara mengganti . dengan + dan mengganti + dengan . Prinsip ini dikenal dengan prinsip dualitas, prinsip yang juga kita temukan di dalam teori himpunan maupun logika. Definisi prinsip dualitas di dalam Aljabar Boolean adalah sebagai berikut.
"Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam Aljabar Boolean yang melibatkan operator +, . , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dari S dengan cara mengganti :
. dengan +
+ dengan .
0 dengan 1
1 dengan 0
Dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya maka kesamaan S* juga benar. S* disebut dual dari S
Contoh :
Tentukan dual dari
a+0=a
a . 10+a'=0
aa'+b=ab
a+bb+c=ac+b
a+1a+0=a
Penyelesaian
a . 1=a
a+ 0+1 . a'=0
a+a'b=a+b
ab+bc=a+c b
a . 0+a . 1=a
Hukum-hukum Aljabar Boolean
Terdapat kemiripan antara hukum-hukum Aljabar Boolean dengan hukum-hukum aljabar himpunan dan hukum-hukum aljabar proposisi.
Hukum-hukum Aljabar Boolean
Hukum identitas
a + 0 = a
a . 1 = a
Hukum idempotent
a + a = a
a . a = a
Hukum komplemen
a + a' = 1
a . a' = 0
Hukum dominansi
a . 0 = 0
a + 1 = 1
Hukum involusi
(a')' = a
Hukum penyerapan
a + ab = a
a(a + b) = a
Hukum komutatif
a + b = b + a
ab = ba
Hukum asosiatif
a + (b + c) = (a + b) + c
a (b c) = (a b) c
Hukum distributif
a + (b c) = (a +b) (a +c)
a (b + c) = a b + a c
Hukum De Morgan
(a + b)' = a' b'
(a b)' = a' + b'
Hukum 0/1
0' = 1
1' = 0
Hukum-hukum Aljabar Boolean diperoleh dari hukum-hukum aljabar himpunan atau dari hukum-hukum aljabar preposisi yaitu dengan cara mempertukarkan:
dengan +, atau ˅ dengan +
dengan , atau ˄ dengan
U dengan 1, atau T dengan 1
dengan 0, atau F dengan 0
Perhatikan tabel hukum-hukum Aljabar Boolean di atas. Hukum yang ke-(ii) dari setiap hukum di atas merupakan dual dari hukum yang ke-(i).
Contoh:
Hukum komutatif : a + b = b + a
Dualnya : ab = ba
Hukum asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c
Dualnya : a (bc) = (ab) c
Hukum distributif : a (b + c) = ab + ac
Dualnya : a + bc = (a + b) (a + c)
Bukti:
a + 0 = a + (aa') (Hukum komplemen)
= (a + a) (a + a') (Hukum distributif)
= a (a + a') (Hukum idempoten)
= a . 1 (Hukum komplemen)
= a (Hukum identitas)
a . 1 = a . (a + a') (Hukum komplemen)
= aa + aa' (Hukum distributif)
= a + aa' (Hukum idempoten)
= a + 0 (Hukum komplemen)
= a (Hukum identitas)
(1ii) adalah dual dari (1i)
a + a = (a + a) (1) (Hukum identitas)
= (a + a) (a + a') (Hukum komplemen)
= a (a + a') (Hukum distributif)
= a . 1 (Hukum komplemen)
= a (Hukum identitas)
a a = a a + 0 (Hukum identitas)
= a a + a a' (Hukum komplemen)
= a (a + a') (Hukum distributif)
= a . 1 (Hukum komplemen)
= 1 (Hukum identitas)
(2ii) adalah dual dari (2i)
a + a' = (a' . a)' (Hukum De Morgan)
= 0' (Hukum komplemen)
= 1 (Hukum 0/1)
a a' = (a' + a)' (Hukum De Morgan)
= 1' (Hukum komplemen)
= 0 (Hukum 0/1)
(3ii) adalah dualiitas dari (3i)
a + 1 = a + (a + a') (Hukum komplemen)
= (a + a) + a' (Hukum asosiatif)
= a + a' (Hukum idempoten)
= 1 (Hukum komplemen)
a . 0 = a (a a') (Hukum komplemen)
= (a a) a' (Hukum asosiatif)
= a a' (Hukum idempoten)
= 0 (Hukum komplemen)
(4ii) adalah dualitas dari (4i)
(a')' = (a' . 1)' (Hukum identitas)
= a + 1' (Hukum De Morgan)
= a + 0 (Hukum 0/1)
= a (Hukum identitas)
a + ab = a . 1 + a . b (Hukum identitas)
= a (1 + b) (Hukum distributif)
= a . 1 (Hukum dominansi)
= a (Hukum identitas)
a (a + b) = (a + 0) (a + b) (Hukum identitas)
= a + (0 . b) (Hukum distributif)
= a + 0 (Hukum dominansi)
= a (Hukum identitas)
(6ii) adalah dualitas dari (6i)
a + b = a . 1 + b . 1 (Hukum identitas)
= 1 (a + b) (Hukum distributif)
= (b + 1) (a + b) (Hukum dominansi)
= b + (a . 1) (Hukum distributif)
= b + a (Hukum identitas)
ab = (a + 0) . (b + 0) (Hukum identitas)
= 0 + (ab) (Hukum distributif)
= (b .0) + (a . b) (Hukum dominansi)
= b (a + 0) (Hukum distributif)
= ba (Hukum identitas)
(7ii) adalah dualitas dari (7i)
(ab)' = a' + b'
Diketahui : (ab) (ab)' = 0
Perlihatkan : (ab) (a' + b') = 0
Bukti:
(ab) (a' + b') = ab a' + ab b' (Hukum distributif)
= 0 . b + a . 0 (Hukum komplemen)
= 0 + 0 (Hukum dominansi)
= 0 (Hukum identitas)
(a + b)' = a' . b'
Diketahui : (a + b) + (a + b)' = 1
Perlihatkan : (a + b) + (a' b') = 1
Bukti:
(a + b) + (a'b') = (a + b + a') (a + b + b') (Hukum distributif)
= (1 + b) + (a +1) (Hukum komplemen)
= (1 + 1) (Hukum dominansi)
= 1 (Hukum identitas)
(10ii) adalah dualitas dari (10i)
Contoh:
Buktikanlah bahwa untuk sebarang elemen a dan b dari Aljabar Boolean maka kesamaan berikut
a + a'b = a + b dan a(a' + b) = = ab
adalah benar.
Penyelesaian:
a + a'b = (a + ab) + a'b (Hukum penyerapan)
= a + (ab + a'b) (Hukum assosiatif)
= a + (a + a') b (Hukum distributif)
= a + 1 . b (Hukum komplemen)
= a + b (Hukum identitas)
a (a' + b) = a a' + ab (Hukum distributif)
= 0 + ab (Hukum komplemen)
= ab (Hukum identitas)
Atau, dapat juga dibuktikan dengan dualitas dari (i) sebagai berikut.
a(a' + b) = a (a + b) (a' + b)
= a {(a + b) (a' + b)}
= a {(a a') + b}
= a (0 + b)
= ab
Fungsi Boolean
Fungsi Boolean (fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B. Dengan bentuk Boolean, kita dapat menuliskannya sebagai f : Bn B, dimana Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n di dalam daerah asal B.
Setiap bentuk Boolean merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x'y + y'z. Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contoh:
(1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga
f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1' 0 + 0' 1
= 0 + 0 + 1
= 1
Selain secara aljabar, fungsi Boolean juga dapat dinyatakan dengan tabel kebenaran dan dengan rangkaian logika. Jika fungsi Boolean dinyatakan dengan tabel kebenaran, maka untuk fungsi Boolean dengan n buah peubah, kombinasi dari nilai-nilai peubahnya adalah sebanyak 2n. Ini berarti terdapat 2n bris yang berbeda didalam tabel kebenaran tersebut. Misalkan n=3, maka akan terdapat 23=8 baris tabel. Cara yang praktis membuat semua kombinasi tersebut adalah sebagai berikut:
Untuk peubah pertama, isi 4 baris pertama pada kolom pertama dengan sebuah 0 dan 4 baris selanjutnya dengan sebuah 1 berturut-turut.
Untuk peubah kedua, isi 2 baris berikutnya dengan 0 lagi, dan 2 baris terakhir dengan 1.
Untuk peubah ketiga, isi kolom ketiga secara berselang seling dengan 0 dan 1 mulai baris pertama sampai baris terakhir.
Contoh:
Diketahui fungsi Boolean f(x, y, z) = xyz', nyatakan f dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian :
Nilai-nilai fungsi Boolean diperlihatkan pada tabel berikut.
x
y
Z
f(x, y, z) = xyz'
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
Fungsi Boolean tidak selalu unik pada representasi ekspresinya. Artinya, dua buah fungsi yang ekspresi Booleannya berbeda dapat menyatakan dua buah fungsi yang sama. Dengan kata lain, dua buah fungsi sama jika keduanya memiliki nilai yang sama pada tabel kebenaran untuk setiap kombinasi peubah-peubahnya.
Contoh:
F(x, y, z) = x'y'z + x'yz + xy' dan g(x, y, z) = x'z +xy'
Adalah dua buah fungsi Boolean yang sama. Kesamaannya dapat dilihat pada tabel berikut.
x
y
Z
x'y'z + x'yz + xy'
x'z +xy'
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
Jika sebuah fungsi Boolean tidak unik dalam representasi ekspresinya, kita dapat menemukan representasi ekspresinya dengan melakukan manipulasi aljabar terhadap ekspresi Boolean yaitu dengan menggunakan hukum-hukum Aljabar Boolean untuk menghasilkan bentuk yang ekivalen. Perhatikan bahwa:
f(x, y, z) = x'y'z + x'yz + xy'
= x'z(y'+y)+xy' (Hukum distributif)
= x'z . 1 + xy' (Hukum komplemen)
= x'z + xy' (Hukum Identitas)
Penjumlahan dan Perkalian Dua Fungsi
Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka penjumlahan f+g didefinisikan sebagai
f+gx1+x2+…+xn=fx1+x2+…+xn+gx1+x2+…+xn
Sedangkan perkalian f g didefinisikan sebagai
f g(x1+x2+…+xn=fx1+x2+…+xngx1+x2+…+xn
Contoh:
Misalkan fx,y=xy'+y dan gx,y=x'+y' maka
hx,y=f+g=xy'+y+x'+y'
yang bila disederhanakan lebih lanjut menjadi
hx,y=xy'+x'+y+y'=xy'+x'+1=xy'+x'
dan
ix,y=f g=xy'+yx'+y'
Komplemen Fungsi Boolean
Komplemen suatu fungsi Boolean F secara sederhana dapat kita lakukan dengan menukar nilai-nilai 1 dan 0 pada tabel kebenaran. Untuk berbagai bentuk ekspresi aljabar, kita dapat menggunakan beberapa cara:
Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah
x1+x2'=x1'x2' dan dualnya: x1 x2'=x1'+x2'
Hukum De Morgan untuk tiga buah peubah, x1, x2 dan x3, adalah
x1+x2+x3'=x1+y' , yang dalam hal ini y=x2+x3
=x1'y'
=x1'x2+x3'
=x1'x2'x3'
Dan dualnya adalah x1 x2 x3'=x1'+x2'+x3'
Hukum De Morgan untuk n buah peubah, x1, x2,..., xn, adalah
x1+x2+…+xn'=x1'x2'…xn'
Dan dualnya adalah x1 x2 … xn'=x1'+x2'+…+xn'
Contoh:
Misalkan f(x, y, z) = x(y'z' + yz), maka f '(x, y, z) = (x(y'z' + yz))' = x' + (y'z' + yz)' = x' + (y'z')' (yz)' = x' + (y + z) (y' + z')
Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Bentuk akhir yang diperoleh menyatakan fungsi komplemen.
Contoh:
Misalkan f(x, y, z) = x(y'z' + yz), maka dual dari f: x + (y' + z') (y + z) komplemenkan tiap literalnya: x' + (y + z) (y' + z') = f '
Jadi, f '(x, y, z) = x' + (y + z)(y' + z')
Carilah komplemen dari fungsi f(x,y,z) = x'(yz' + y'z)
Penyelesaian :
Cara 1: f(x,y,z) = x'(yz' + y'z)
f'(x,y,z) = (x'(yz' + y'z))'
= x + (yz' + y'z)'
= x + (yz')'(y'z)'
= x + (y'+z)(y+z')
Cara 2: f(x,y,z) = x'(yz'+y'z)
Dual dari ekspresi Booleannya: x' + (y + z')(y' + z)
Komplemenkan tiap literal dari dual: f'(x,y,z) = x + (y' + z)(y + z')
Bentuk Kanonik
Ekspresi Boolean yang mempersifikasikan suatu fungsi dapat di sajiakan dalam dua bentuk berbeda. Pertama, sebagai penjumlahan dari hasil kali dan kedua sebagai perkalian dari hasil jumlah, misalnya.
f(x,y,z) = x'y'z' + xy'z'+ xyz
dan
g(x,y,z) = (x+y+z)(x+y'+z)(x+y'+z') (x'+y+z')(x'+y'+z)
adalah dua buah fungsi yang sama (dapat ditunjukkan dari tabel kebenaranya ). Fungsi yang pertama f, muncul dalam bentuk penjumlahan dari hasil kali, sedangkan fungsi yang kedua ,g, muncul dalam bentuk perkalian dari hasil jumlah.
Suku –suku didalam ekspansi Boolean dengan n peubah x1,x2,…,xn dikatakan minterm jika ia muncul dalam bentuk.
x1+x2+…+xn
dan katakana maxtrem jika ia muncul dalam bentuk
x1+x2+…+xn
Ada dua macam bentuk kanonik:
Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh:
f(x, y, z) = x'y'z + xy'z' + xyz SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y' + z)(x + y' + z') (x' + y + z')(x' + y' + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm
Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
Contoh:
Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Tabel 1
Penyelesaian:
SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah:
f(x, y, z) = x'y'z + xy'z' + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = (1, 4, 7)
POS
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah
f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y'+ z)(x + y'+ z')
(x'+ y + z')(x'+ y'+ z)
atau dalam bentuk lain,
f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = (0, 2, 3, 5, 6)
Contoh:
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y'z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
SOP
x = x(y + y')
= xy + xy'
= xy (z + z') + xy'(z + z')
= xyz + xyz' + xy'z + xy'z'
y'z = y'z (x + x')
= xy'z + x'y'z
Jadi f(x, y, z) = x + y'z
= xyz + xyz' + xy'z + xy'z' + xy'z + x'y'z
= x'y'z + xy'z' + xy'z + xyz' + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = (1,4,5,6,7)
POS
f(x, y, z) = x + y'z
= (x + y')(x + z)
x + y' = x + y' + zz'
= (x + y' + z)(x + y' + z')
x + z = x + z + yy'
= (x + y + z)(x + y' + z)
Jadi, f(x, y, z) = (x + y' + z)(x + y' + z')(x + y + z)(x + y' + z)
= (x + y + z)(x + y' + z)(x + y' + z')
atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)
Konversi Antar Bentuk Kanonik
Fungsi Boolean dalam bentuk konanik SOP dapat ditransformasi ke bentuk konanik POS, demikian pula sebaliknya. Misalkan f adalah fungsi Boolean dalam bentuk SOP dengan tiga peubah:
f(x,y,z) = Σ(1,4,5,6,7)
dan f' adalah fungsi komplemen dari f,
f'(x,y,z) = (0,2,3) = mo+m2+m3
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:
f(x,y,z) = (f'(x,y,z))'= (mo+m2+m3)'
= mo.m2.m3'
= (x,y,z)' (x,y,z)' (x,y,z)'
= (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)
= M0.M2.M3
= Π(0,2,3)
Jadi : f(x,y,z) = Σ(1,4,5,6,7) = Π(0,2,3)
Kesimpulan : mj =Mj
Bentuk Baku
Dua bentuk konanik adalah bentuk dasar yang diperoleh dengan membaca fungsi dari table kebenaran.Bentuk ini umumnya sangat jarang muncul karena setiap suku (term) di dalam bentuk konanik harus mengandung literal atau peubah yang lengkap baik dalam bentuk normal x atau dalam bentuk komplemennya x'.
Cara lain untuk mengekspresikan fungsi Boolean adalah bentuk baku (standard). Pada bentuk ini suku-suku yang di bentuk fungsi dapat mengandung satu, dua, atau sejumlah literal. Dua tipe bentuk baku adalah baku SOP dan baku POS.
Contoh :
Nyatakan fungsi f(x,y,z)= x+y'z dalam table kebenaran , selanjutnya carilah bentuk baku SOP dan baku POS.
Penyelesaian :
Table kebenaran sebagai berikut :
x
y
z
y'
y'z
f(x,y,z)
minterm
maxterm
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
mo
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
MO
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Bentuk SOP :
Perhatikan kombinasi peubah yang menghasilkan nilai 1.
=f(x,y,z)= x'y'z+ xy'z'+xy'z+xyz'+xyz
Dalam bentuk lain :
=f(x,y,z)=m1+m4+m5+m6+m7
= S (1,4,5,6,7)
Bentuk POS:
Perhatikan kombinasi yang menghasilkan 0 :
=f(x,y,z)= (x+y+z)(x+y'+z)(x+y'+z)
Dalam bentuk lain :
=f(x,y,z)= (x+y+x)(x+y'+z)(x+y'+z')
=M0M2M3
=P(0,2,3)
Aplikasi Aljabar Boolean
Jaringan Pensaklaran (Switching Network)
Saklar adalah objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana:
Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y
Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y
Sirkuit Elektronik
Penyederhanaan Fungsi Boolean
Menyederhakan fungsi Boolean artinya mencari bentuk fungsi lain yang ekivalen tetapi dengan jumlah literal atau operasi yang lebih sedikit. Penyederhanaan fungsi Boolean disebut juga minimisasi fungsi.
Contohnya, f(x,y) = x'y + xy' + y' dapat disederhanakan menjadi f(x,y) = x' + y'.
Ada tiga metode yang digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean, yaitu:
Penyederhanaan Fungsi Boolean Secara Aljabar
Jumlah literal di dalam sebuah fungsi Boolean apat diminimumkan dengan trik manipulasi aljabar.namun, tidak ada aturan khusus yang harus diikuti yang akan menjamin menuju ke jawaban akhir. Metode yang tersedia adalah prosedur yang cut-and-try yang memanfaatkan postulat, hokum-hukum dasar, dan metode manipulasi lain yang sudah dikenal.
Contoh:
Sederhanakan fungsi-fungsi Boolean berikut:
f(x,y) = x + x'y
f(x,y) = x(x' + y)
f(x,y,z) = x'y'z + x'yz + xyz'
f(x,y,z) = (x + z')(y' + z)(x + y + z')
Penyelesaian:
f(x, y) = x + x'y
= (x + x')(x + y)
= 1 (x + y )
= x + y
f(x,y) = x(x'+ y)
= xx' + xy
= 0 + xy
= xy
f(x, y, z) = x'y'z + x'yz + xy'
= x'z(y' + y) + xy'
= x'z + xz'
f(x, y, z) = xy + x'z + yz = xy + x'z + yz(x + x')
= xy + x'z + xyz + x'yz
= xy(1 + z) + x'z(1 + y) = xy + x'z
Metode Peta Karnaugh
Metode Peta Karnaugh (atau K-map) merupakan metode grafis untuk menyederhanakan fungsi Boolean. Metode ini ditemukan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Peta Karnaugh adalah sebuah diagaram atau peta yang terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujursangkar) yang bersisian. Tiap kotak mempresenntasikan sebuah minterm. Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm-minterm yang mempresentasikannya berbeda hanya satu buah literal.
Peta Karnaugh dapat di bentuk dari fungsi Boolean yang dispesifikan dengan ekspresi Boolean maupun fungsi yang direpresentasikan dengan table kebenaran.
Peta Karnaugh dengan Dua Peubah
Misalkan dua peubah di dalam fungsi Boolean adalah x dan y. baris pada peta Karnaugh untuk peubah x dan kolom untuk peubah y. baris pertama di identifikasi nilai 0 (mennyatakan x'), sedangkan baris kedua dengan 1 (menyatakan x). kolom pertama di identifikasi nilai 0 (menyatakan y'), sedangkan kolom kedua dengan 1 (menyatakan y). setiap kotak mempresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yang bersesuaian. Di bawah ini diberikan tiga cara yang lazim digunakan sejumlah literature dalam menggambarkan peta Karnauggh untuk dua peubah. Namun disini akan lebih sering menggunakan cara penyajian nomor dua.
y
0
1
y'
y
m0
m1
x
0
x'y'
x'y
x'
x'y'
x'y
m2
m3
1
xy'
xy
x
xy'
xy
Penyajian 1 Penyajian 2 Penyajian 3
Perhatikan bahwa dua kotak yang bertetangga hanya berbeda satu literal. Kotak x'y' dan x'y misalnya, hanya berbeda pada literal kedua (y' dan y), sedangkan literal pertama sama (yaitu x). jika minterm pada setiap kotak di representasikan dengan string biner, maka dua kotak yang bertetengga hanya berbeda 1 bit (contohnya 00 dan 01 pada kedua kotak tersebut hanya berbeda satu bit, yaitu pada bit kedua).
Contoh:
Gambarkan peta Karnaugh untuk f(x,y) = xy + x'y
Penyelesaian:
Peubah tanpa kkomplemen dinyatakan dengan 1 dan peubah dengan komplemen dinyatakan sebagai 0, sehingga xy dinyatakan sebagai 11 dan x'y dinyatakan sebagai 01. Kotak-kotak yang merepresentasikan minterm 11 dan 01 diisi dengan 1, sedangkan kotak-kotak yang tidak terpakai didisi dengan 0. Hasil pemetaan:
y
0
1
x
0
0
1
1
0
1
Diberikan fungsi Boolean yang direpresentasikan dengan tabel kebenaran petakan fungi tersebut ke peta Karnaugh.
x
Y
f(x,y)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
Penyelesaian:
Tinjau hanya nilai yang memberikan1. Fungsi Boolen yang mempresentasikan table kebenaran adalah f(x,y) = xy' + xy. Tempatkan satu didalam kotak dip eta Karnaugh untuk kombinasi nilai x dan y yang bersesuaian (dalam hal ini 10 dan 01).
y
0
1
X
0
0
0
1
1
1
Peta Karnaugh dengan Tiga Peubah
Untuk fungsi Boolean dengan tiga peubah () misalkan x, y, dan z), jumlah kotak di dalam peta Karnaugh meningkat menjadi 23 = 8. Baris pada peta Karnaugh untuk peubah x dan kolom untuk peubah yz. Baris pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan x'), sedangkan baris baris kedua dengan 1 (menyatakan x). kolom pertama diidentifikasi nilai 00 (menyatakan x'y'), kolom kedua didentifikasi nilai 01 (menyatakan xy'), kolom ketiga didentifikasi nilai 11 (menyatakan xy), sedangkan kolom keempat didentifikasi nilai 10 (menyatakan xy'). Perhatikanlah bahwa antara satu kolom dengan kolom berikutnya hanya berbeda satu bit. Setiap kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yang bersesuaian.
yz
00
01
11
10
m0
m1
m3
m2
x
0
x'y'z'
x'y'z
x'yz
x'yz'
m4
m5
m7
m6
1
xy'z'
xy'z
xyz
xyz'
Perhatikan urutan dari m1-nya. Urutan disusun sedemikian rupa sehingga setiap dua kotak yang bertetangga hanya berbeda satu bit.
Contoh:
Gambarkan peta Karnaugh untuk f(x,y,z) = x'yz' + xyz' + xyz
Penyelesaian:
x'yz' = dalam bentuk biner: 010
xyz' = dalam bentuk biner: 110
xyz = dalam bentuk biner: 111
kotak-kotak yang merepresentasikan minterm 010, 110, dan 111 diisi dengan 1, sedangkan kotak-kotak yang tidak terpakai diisi dengan 0.
yz
00
01
11
10
x
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
Peta Karnaugh dengan Empat Peubah
Misalkan empat peubah dalam fungsi Boolean adalah w, x, y, dan z. jumlah kotak di dalam peta Karnaugh meningkat menjadi 24 = 16. Baris pada peta Karnaugh untuk peubah wx dan kolom untuk peubah yz. Kolom pertama diidentifikasi nilai 00 (menyatakan w'x'), baris kedua dengan 01 (menyatakan w'x), baris ketiga dengan 11 (menyatakan wx), dan baris keempat dengan 10 (menyatakan wx'). Kolom pertama diidentifikasi nilai 00 (menyatakan y'z'), kolom kedua diidentifikasi nilai 01 (menyatakan yz'), kolom ketiga diidentifikasi nilai 11 (menyatakan yz), sedangkan kolom keempat diidentifikasi nilai 10 (menyatakan yz'). Perhatikanlah bahwa antara satu kolom dengan kolom berikutnya hanya berbeda satu bit. Setiap kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris an kolom yang bersesuaian.
yz
00
01
11
10
m0
m1
m3
m2
wx
00
w'x'y'z'
w'x'y'z
w'x'yz
w'x'yz'
m4
m5
m7
m6
01
w'xy'z'
w'xy'z
w'xyz
w'xyz'
m12
m13
m15
m14
11
wxy'z'
wxy'z
wxyz
wxyz'
m8
m9
m11
m10
10
wx'y'z'
wx'y'z
wx'yz
wx'yz'
Perhatikan urutan dari m1-nya. Urutan disusun sedemikian rupa sehingga setiap dua kotak yang bertetangga hanya berbeda sati bit.
Contoh:
Dibeerikan fungsi Boolean yang direpresentasikan dengan table kebenaran. Petakan tabel tersebut ke peta Karnaugh.
w
x
y
z
f(w,x,y,z)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Penyelesaian:
Tinjau hanya nilai fungsi yang memberikan 1. Fungsi Boolean yang merepresentasikan table kebenaran adalah f(w,x,y,z) = w'x'y'z + w'xyz' + w'xyz + wxyz'.
Hasil pemetaan table ke peta Karnaugh:
yz
00
01
11
10
wx
00
0
1
0
1
01
0
0
1
1
11
0
0
0
1
10
0
0
0
0
Penyederhanaan Rangkaian Logika
Teknik minimisasi fungsi boolean dengan Peta Karnaugh mempunyai terapan yang sangat penting dalam menyederhanaan rangkain logika. Penyederhanaan rangkaian dapat mengurangi jumlah gerbang logika yang digunakan, bahkan dapat mengurangi jumlah kawat masukan. Contoh-contoh di bawah ini memberikan ilustrasi penyederhanaan rangkaian logika.
Contoh:
Minimisasi fungsi boolean fx,y,z=x'yz+x'yz'+xy'z'+xy'z.
Gambarkan rangkaian logikanya.
Penyelesaian:
Rangkaian logika fungsi f(x,y,z) sebelum di minimisasikan adalah seperti di bawah ini.
Minimisasi dengan Peta Karnaugh adalah sebagai berikut:
Metode Quine-McCluskey
Metode peta Karnaungh hanya cocok digunakan jika fungsi Boolean mempunyai jumlah paling banyak 6 buah. Jika jumlah peubah yg terlibat pada suatu fungi Boolean lebih dari 6 buah maka penggunaan peta karnaungh menjadi semaki rumit, sebab ukuran peta bertambah besar. Selain itu, metode peta karnaungh lebih sulit di prongramkan dengan computer karna diperlukan pengamatan visual untuk mengidentifikasi minterm-miterm yang akan dikelompokan. Untuk itu diperlukan metode penyederhanaan yang lain yang dapat di programkan dan dapat di gunakan untuk fungsi Boolean dengan sembarang jumlah peubah. Metode alternative tersebut adalah metode Quine-McCluskey yang dikembangkan oleh W.V .Quine dan E.J. McCluskey pada tahun 1950.
Langkah-langkah metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan ekspresi Boolean dalam bentuk SOP adalah sebagai berikut:
Nyatakan tiap minterm dalam n peubah menjadi string bit yang panjangnya n, yang dalam hal ini peubah komplemen dinyatakan dengan '0', peubah yang bukan komplemedengan '1',
Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah'1', yang dimilikinya.
Kombinasikan minterm dalam n peubah dengan kelompok lain yang jumlah '1',-nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima (prime-implicant) yang terdiri dari n-1 peubah. Minterm yang dikombinasikan diberi tanda " ".
kombinasikan minterm dal;am n-1 peubah denagan kelompok lain yang jumlah '1',-nya berbeda satu, sehinga diperoleh bebtuk prima yang terdiri dari n-2 peubah.
Teruskan langkah 4 sampai diperoleh bentuk prima yang sesederhana mengkin.
Ambil semua bentuk prima yang tidak bertanda " ". Buatlah tabael baru yang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula yang dicakup oleh bentuk prima tersebut (tandai dengan "×"). Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit satu buah bentuk prima.
Pilih bentuk prima yang memiliki jumlah literal paling sedikit namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari ekspresi bolean semula. Hal ini dapat dilakukan dengan cara berikut :
Tandai kolom-kolom yang mempunyai tanda "x" dengan tanda "x" lalu beriu tanda " " di sebelah kiri bentuk prima yang berasosiasi dengan tanda "*" tersebut. Bentuk prima inin telah dipilih untuk fungsi Boolean sederhan.
Untuk setiap bentuk prima yang telah ditandai dengan " " , beri tanda minterm yang di cakup oleh bentuk prima tersebut dengan tanda " " (dibaris bawah setelah '*').
Periksa apakah masih ada minterm yang belum dicakup oleh buntuk prima terpilah. Jika ada, pilih dari bentuk prima yang tersisa yang mencangkup sebanyak mungkin minterm tersebut. Beri tanda " " bentuk prima yang dipilih itu serta minterm yang dicakup.
Ulang langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua bentuk prima.
Metode Quine McCluskey biasanya digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean yang ekspresinya dalam bentuk SOP, namunmetode ini dapat dimodifikasi sehingga juga digunakan untuk ekspresi dalam bentuk POS.
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa
Aljabar Boolean adalah cabang ilmu matematika yang diperlukan untuk mempelajari desain logika dari suatu sistem digital yang merupakan operasi aritmatik pada bilangan Boolean (bilangan yang hanya mengenal 2 keadaan yaitu False/True, Yes/No, 1/0) atau bisa disebut bilangan biner.
Aljabar Boolean dua-nilai di definisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit, singkatan dari binary digit), yaitu B = {0, 1}, operasi biner, + dan , operasi uner, ' .
Definisi prinsip dualitas di dalam Aljabar Boolean adalah kesamaan (identity) di dalam Aljabar Boolean yang melibatkan operator +, . , dan komplemen".
Fungsi Boolean (fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B. Dengan bentuk Boolean, kita dapat menuliskannya sebagai f : Bn B, dimana Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n di dalam daerah asal B.
Teknik minimisasi fungsi boolean dengan Peta Karnaugh mempunyai terapan yang sangat penting dalam menyederhanaan rangkain logika. Penyederhanaan rangkaian dapat mengurangi jumlah gerbang logika yang digunakan, bahkan dapat mengurangi jumlah kawat masukan.
DAFTAR PUSTAKA
Bustami, Fadlisyah. 2009. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Manongga, Danny & Yessica Nataliana. 2009. Matematika Diskrit. Jakarta: Pranada Media Group.
Munir , Rinaldi.2014. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung.
https://hartikadwipratiwi.files.wordpress.com diakses pada hari Jum'at tanggal 6 November 2015 pukul 20.57 Wita.
https://farida_a.staff.gunadarma.ac.id diakses pada hari Jum'at tanggal 6 November 2015 pukul 19.36 Wita.
