ARSITEKTUR DAN ORGANISASI KOMPUTER Aljabar Boolean, Gerbang Logika, dan Penyederhanaannya
Disusun Oleh : Indra Gustiaji Wibowo (123100031)
Kelas B Dosen Hidayatulah Himawan,ST.,M.M.,M.Eng JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UPN “VETERAN” YOGYAKARTA 2012
1. Aljabar Boolean Dalam matematika dan ilmu
komputer, Aljabar
Boolean adalah struktur
aljabar yang
"mencakup intisari" operasi logika AND, OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen. Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19. Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah). Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0. Simbol yang digunakan pada aljabar Boolean itu sendiri adalah (.) untuk AND, (+) untuk OR dan ( ) untuk NOR.
Teori Aljabar Boolean Teori aljabar Boolean itu sendiri adalah sebagai berikut; Komutatif a. A + B = B + A b. A . B = B . A Asosiatif a. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) b. ( A . B ) . C = A . ( B . C ) Distributif a. A . ( B + C ) = A . B + A . C b. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C ) Identif a. A + A = A b. A . A = A
Negasi 1. ( A’ ) = A’ 2. ( A’ )’ = A Redundansi a. A + A . B = A b. A . ( A + B ) = A Contoh Soal 1. Buktikan a + a’b = a + b ! Jawab : = (a + ab) + a’b = a + (ab + a’b) = a + (a + a’) b = a + 1b =a+b
2. GerbangLogika Gerbang Logika : Gerbang logika atau gerbang logik adalah suatu entitas dalam elektronika dan matematika Boolean yang mengubah satu atau beberapa masukan logik menjadi sebuah sinyal keluaran logik. Gerbang logika terutama diimplementasikan secara elektronis menggunakan dioda atau transistor, akan tetapi dapat pula dibangun menggunakan susunan komponen-komponen yang memanfaatkan sifat-sifat elektromagnetik (relay), cairan, optik dan bahkan mekanik. Dikarenakan analisis gerbang logika dilakukan dengan Aljabar Boolean maka gerbang logika sering juga disebut Rangkaian logika. Macam – Macam Gerbang Logika : 1. Gerbang NOT Gerbang NOT sering disebut juga dengan istilah inverter atau pembalik. Logika dari gerbang ini adalah membalik apa yang di-input ke dalamnya. Biasanya input-nya hanya
terdiri dari satu kaki saja. Ketika input yang masuk adalah 1, maka hasil output-nya adalah 0. Jika input yang masuk adalah 0, maka hasil output-nya adalah 1. Banyak sekali penerapan gerbang NOT ini pada rangkaian digital, meskipun fungsinya sangat sederhana.
2. Gerbang AND Gerbang AND memiliki karakteristik logika di mana jika input yang masuk adalah bernilai 0, maka hasil outputnya pasti akan bernilai 0. Jika kedua input diberi nilai 1, maka hasil output akan bernilai 1 pula. Logika gerbang AND bisa diumpamakan sebagai sebuah rangkaian dengan dua buah saklar yang disusun secara seri. Jika salah satunya memutuskan hubungan rangkaian, maka hasil yang dikeluarkan dari rangkaian tersebut adalah 0. Tidak peduli saklar manapun yang diputuskan maka hasil akhirnya adalah 0. Ketika kedua buah saklar terhubung dengan rangkaian bersamaan, maka hasil akhirnya barulah bernilai 1.
3. Gerbang OR Gerbang OR digambarkan sebagai Gerbang Penjumlah. Gerbang OR berbeda dengan gerbang NOT yang hanya memiliki satu input, gerbang ini memiliki paling sedikit 2 jalur input. Artinya inputnya bisa lebih dari dua, misalnya empat atau delapan. Yang jelas adalah semua gerbang logika selalu mempunyai hanya satu output. Gerbang OR dapat dikatakan memiliki karakteristik “memihak 1”, di mana karakteristik logikanya akan selalu mengeluarkan hasil output bernilai 1 apabila ada satu saja input yang bernilai 1. Jadi gerbang logika ini tidak peduli berapa nilai input pada kedua sisinya, asalkan salah satunya atau kedua-duanya bernilai 1, maka outputnya pasti juga akan bernilai 1. Logika gerbang OR ini dapat diumpamakan sebagai sebuah rangkaian dengan dua buah saklar yang terpasang secara paralel. Apabila salah satu saklar memutuskan hubungan (bernilai 0), maka output-nya tetaplah bernilai 1 karena input yang lain tidak akan terputus hubungannya dengan output. Apabila
kedua input bernilai 0, maka output barulah benar-benar terputus atau bernilai 0. Jika keduanya bernilai 1, maka output juga akan bernilai 1.
Pengembangannya
4. Gerbang NAND Gerbang logika NAND merupakan modifikasi yang dilakukan pada gerbang AND dengan menambahkan gerbang NOT didalam prosesnya. Maka itu, mengapa gerbang ini dinamai NAND atau NOTAND. Logika NAND benar-benar merupakan kebalikan dari apa yang dihasilkan oleh gerbang AND. Di dalam gerbang logika NAND, jika salah satu input atau keduanya bernilai 0 maka hasil output-nya adalah 1. Jika kedua input bernilai 1 maka hasil output-nya adalah 0.
5. Gerbang NOR Gerbang NOR atau NOT-OR juga merupakan kebalikan dari gerbang logika OR. Semua input atau salah satu input bernilai 1, maka output-nya akan bernilai 0. Jika kedua input bernilai 0, maka output-nya akan bernilai 1.
6. Gerbang XOR
Gerbang XOR merupakan singkatan dari kata Exclusive-OR. Sesuai dengan namanya, gerbang logika ini merupakan versi modifikasi dari gerbang OR. Jika pada gerbang OR Anda akan mendapatkan hasil output yang serba 1 jika salah satu input atau keduanya bernilai 1, tidak demikian dengan XOR. Gerbang logika ini hanya akan mengeluarkan hasil output bernilai 1 jika hanya salah satu input saja yang bernilai 1. Maksudnya jika kedua input bernilai 1, maka hasil output-nya tetaplah 0.Jadi dengan demikian, logika XOR tidak akan membiarkan kedua input bernilai sama. Jika sama, maka hasil output-nya adalah 0.
7. Gerbang XNOR Gerbang XNOR atau Exclusive NOR ini mungkin tidak terlalu sering terdengar, namun aplikasinya cukup lumayan penting juga. Gerbang logika XNOR memiliki kerja ebalikan dari XOR. Jika pada gerbang logika XNOR terdapat dua input yang sama, maka gerbang XNOR akan mengeluarkan hasil output bernilai 1. Namun jika salah satunya saja yang berbeda, maka nilai output pastilah bernilai 0.
Contoh Soal dan Jawaban : Diketahui suatu rangkaan digital seperti di bawah ini :
Carilah persamaan booleannya dan tabel logikanya!
Jawab :
Persamaan Boolean : Y = (A AND B) OR (C AND D) Y= (A . B) + (C . D) Tabel Logika :
3. Rangkaian Kombinasional Pada dasarnya rangkaian logika (digital) yang dibentuk dari beberapa gabungan kompenen elektronik yang terdiri dari bermacam-macam Gate dan rangkaian- rangkaian lainnya, sehingga membentuk rangkaian elekronika yang bersifat yang bersifat kompleks dan cukup rumit. Untuk mengatasi hal tersebut maka dipergunakanlah beberapa metode penyerdehanaan rangkaian logika.
Implemnentasi dari fungsi boolean
Gerbang logika adalah alat fisis yang merupakan implementasi dari fungsi Boolean. Karena fungsi Boolean dinyatakan dalam bentuk AND, OR, dan NOT, lebih mudah untuk mengimplementasikan suatu fungsi Boolean dengan jenis gerbang. Kemungkinan membangungerbang untuk operasi logika lainnya adalah kepentingan praktis. Dalam penyerdehanaan rangkaian logika, dapat menggunakan beberapa cara, diantaranya : 1. Penyerdehanaan Aljabar Boolean 2. Metode Peta Karnaugh
1. Penyederhanaan fungsi Aljabar Boolean Suatu bentuk variabel biner dapat bernilai 0 atau1.Suatu fungsi boleen adalah suatu pernyataan yang dibentukdengan variabel-variabel biner, operator AND, OR, NOT,tanda kurung, dan sama dengan. Untuk nilai-nilai variabelyang diketahui, fungsi itu dapat bernilai 0 atau 1.Dalam aljabr boolen digunakan dua konstanta yaitulogoka 1 dan logika 0. Kedua konstanta tersebut biladiterapkan dalam rang kaian logika akan berupa taraftegangan. Yakni taraf tegangan rendah dan taraf tegangantinggi.Jika taraf tegangan tinggi dinyatakan dengan logika1 dan taraf tegangan rendah dinyatakan dengan 0, makadisebut dengan penerapan logika positif.Jika taraf tegangan tinggi dinyatakan dengan logika0 dan taraf tegangan rendah dinyatakan dengan 1, makadisebut dengan penerapan logika negatif.Teori-teori aljabar boolean ini merupakanaturan-aturan dasar hubungan antara variabel-variabel boolean. Aturan ini digunakanuntuk memanipulasi dan menyederhanakan suaturangkaian logika ke dalam bentuk yangbervariasi. Adapun teori-teori aljabar boolean inidapat kita rangkum menjadi bentuk-bentuk sepertiberikut ini: Dalil-dalil Boolean (Boolean postulates) P1: X= 0 atau X=1 P2: 0 . 0 = 0 P3: 1 + 1 = 1 P4: 0 + 0 = 0 P5: 1 . 1 = 1 P6: 1 . 0 = 0 . 1 = 0 P7: 1 + 0 = 0 + 1 = 1 Theorema Aljabar Boolean T1: Commutative Law A+B=B+A A.B=B.A T2: Associative Law (A+B)+C=A+(B+C) (A.B).C=A.(B.C) T3: Distributive Law A.(B+C)=A.B+A.C A+(B.C)=(A+B).(A+C) T4: Identity Law A+A=A A.A=A T5: Negation Law
( A’ ) = A’ ( A’ )’ = A T6: Redundant Law A+A.B=A A.(A+B)=A T7: 0+A=A 1.A=A 1+A=1 0.A=0 T8: A’ + A =1 A’.A = 0 T9: A + A’ . B = A + B A . ( A’ + B ) = A . B T10: De Morgan’s Theorema. (A+B)’ = A’ . B’ (A . B)’= A’ + B’ Contoh Soal: Sederhanakanlah fungsi berikut dengan menggunakan teorema aljabar
1. A.B’ + B.C + = A (B’ + C’) + BC = A (̅̅̅̅̅ ) + B.C C’.A = A.̅̅̅̅̅ + B.C = A + B.C = (A + B) . (A + C)
Teorema 3a Teorema 10b Teorema 9a Teorema 3b
atau
3. Penyederhanaan fungsi logika dengan K-Map Metoda Karnaugh Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika denngan cara pemetaan K-Map terdiri dari kotak-kotak (bujur sangkar) yang jumlahnya tergantung dari jumlah variable darifungsi logika atau jumlah input dari rangkaian logika. Rumus menentukan jumlah kotak dalam K–Map N = 2 dimana N = jumlah kotak dalam K-Map N = banyaknya variable /input Langkah-langkah pemetaan Karnaugh Map secara umum. 1. Menyusun aljabar Boolean minterm (dari suatu taaabel kebenaran)
2. Menggambarkan satuan dalam peta Karnaugh Map. 3. Membuat kelompok dua-an, empat-an, delapan-an satuan dan seterusnya dimana satuan tersebut berdekatan satu sama lain. 4. Menghilangkan variabel-variabel dengan rumus bila suatu variabel dan inversinya terdapat didalam suatu kelompok lingkaran maka variabel tersebut dihilangkan. 5. Meng-OR-kan variabel yang tersisa.
a)
Macam Karnaugh Map 1) Karnaugh Map dengan 2 variabel Contoh: Input
Output
A
B
Y
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Langkah Pertama Y = A.B + A.B + A.B Langkah ke Dua B A
B
A
1
A
1
B
1
Langkah ke Tiga B A
B
B
A
1
A
1
1
Langkah ke Empat Y = A. B + A.B + A.B Y = B ( A +A ) + AB Y = B + A.B 2) Karnaugh Map dengan 3 variabel Contoh: INPUT
OUTPUT
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
Penyederhanaan dengan K-Map Langkah pertama: Y=A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C Langkah kedua:
C AB
C
C
AB
AB
1
1
1
AB
1
AB
1
Langkah ketiga: Penyederhanaan dengan Aljabar Boolean
Y = A.B.C+ A.B.C+ A.B.C+ A.B.C+ A.B.C Y = B.C (A+A)+A.B (C+C)+ A.B.C Y = B.C+A.B+ A.B.C Y = B.C+B(A+AC) Y = B.C+B(A+C) Y = B.C+A.B+B.C Y = A.B+C(B+B) Y = A.B+C
3) Karnaugh Map dengan 4 variabel Contoh: INPUT
OUTPUT
A
B
C
D
Y
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
Penyelesaian: Penyederhanaan dengan Karnaugh Map Langkah pertama: Y = A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D
Langkah kedua:
Langkah ketiga: Penyederhanaan dengan Aljabar Boolean:
Variasi pelingkaran yang tidak biasa a. Tidak dapat disederhanakan
b. Satu variabel dapat dihilangkan
c. Dua variabel dapat dihilangkan
Contohsoal:
Penyelesaian:
Bentuk soal sudah dalam bentuk SOP. Jumlah input = 4 variabel. Bentuk map setelah semua persamaannya disubstitusi:
Bentuk map setelah penggabungan:
Dihasilkan penyederhanaan:
4. Rangkaian Sekuensial Pembahasan: 1. RS -flip -flop 2. D -flip -flop 3. JK -flip -flop 4. T-flip -flop 5. AnalisadanDesainRangkaianSekuensial flip-flop adalah multivibratorbistabil, dimana keluarannya adalah suatu tegangan rendah (0) atau tinggi (1). Keluaran ini tetap rendah atau tinggi selama belum ada masukkan yang merubah keadaan tersebut. Rangkaian yang bersangkutan harus di-drive (dikendalikan) oleh satu masukkan yang disebut pemicu (trigger). Keadaan tersebut akan berubah kembali bila ada masukkan pemicu lagi .
RS Flip-flop mempunyai dua masukan dan dua keluaran. 2 input yaitu, S=Set dan R=Reset. 2 output yaitu Q dan Q. Bertindak sebagai 1 bit memori dengan output Q sebagai nilai bit tersebut. S=1, R=1 tidak dibenarkan (tidak boleh di setserentak) karena akan menghasilkan output yang tidak konsisten.
D-Flip-flop
modifikasi dari RS flip-flop dengan tambahan gerbang pembalik pada masukan R sehingga masukan R merupakan komplemen dari masukan S. Saat D = 0 keadaan flip-flop reset (Q = 0) sedangkan bila D = 1 maka keadaan flip-flop set (Q = 1).
JK Flip-flop Flip-flop ini mempunyai dua masukan dan dua keluaran, dimana salah satu keluarannya (y) berfungsi sebagai komplemen. Flip-flop JK dapat dibentuk dari kombinasi empat gerbang NAND, flip-flop ini tidak memiliki keadaan terlarang seperti yang terdapat pada flip-flop RS.
T-Flip-flop
Merupakan modifikasi dari JK flip-flop, dengan menggabungkan kedua masukan J dan K sehinga keluaran (y) akan berubah-ubah sesuai perubahan pada clocknya.
CONTOH SOAL ! Tentukan persamaan next state dan tabel present state/next state untuk clock SR flip flop dibawah ini.
