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ROY RO YAUME DU MAROC
OFPPT OFPPT
Office de la Formation Professionnel Professionnel le et de la Promotion du Trava il DIRECTION R ECHERCHE ECHERCHE ET I NGENIERIE NGENIERIE DE F ORMATION ORMATION
ESUME T HEORIQUE HEORIQUE R ESUME
& G UIDE UIDE DE T RAVAUX RAVAUX P RATIQUES RATIQUES
M ODULE ODULE 06
S ECTEUR ECTEUR :
APPLICATION APPLICATION DES NOTIONS DES NOTIONS GENERALES DE LA RDM
BTP
PECIALITE : C HEF HEF DE CHANTIER T RAVAUX RAVAUX S PECIALITE P UBLICS UBLICS IVEAU : N IVEAU
ECHNICIEN T ECHNICIEN
REMERCIEMENTS La DRIF remercie les personnes qui ont contribué à l’élab l’élab oration du présent document.
Pour la supervision :
M. Khalid BAROUT BAROUTII Mm e Naja t IGGOUT IGGOUT M. Abdel aziz aziz EL AD AOUI
Chef projet BTP Directeu r du CDC BTP Chef de Pôle CDC CDC /BTP
Pour la conception :
Mm e REFFAS REFFAS Fatim a Mm e ROCHDI Fatima Fatima
Form atrice à l’ISB Form atrice à l’ISB
Pour la validation :
Mm e GUNINA Fatna Fatna Mr TABTI Moham ed
Formatrice Form atrice animatrice au CDC CDC /BTP Formateu Form ateurr animateur au CDC CDC /BTP
Les utilisateurs de ce document sont invités à communiquer à la DRIF toutes les remarquess e t suggestions afin de les prendre remarque en considération pour l’enrichissement et l’amélioration de ce progr programme. amme. DRIF
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OMMAIRE S OMMAIRE
Présentation du module : A – Connaître Connaî tre les notions de la statiq stati que Résumé de théorie I. Les forces I.1. Définition…………………………………………… I.2. Caractéristiques d’une force…………………………. force…………………………. I.3. Unité Unit é d’une force……………………………………. force……………………………………. II. Les moments mome nts d’une force par rappo rapport rt à un point. poin t. II.1. Définition………………………….………………… II.2. Unité………………………………………………….. II.3. Signe…………………………………………………. Signe…………………………………………………. II.4. Théorème de VARIGNON VARIGNO N III. Les diverses so s ollicitations lli citations III.1. Les charges de les surcharges……………………….. III.2. Classificati Classification on des charges………………………….. ch arges………………………….. IV. Les différents types d’appuis IV.1. IV.1. App ui simple ou libre………………………………… IV.2. IV.2. App ui double ou à rotule………………………………. IV.3. IV.3. App ui triple ou encastrement……………………………. V. Calcul des réactions réactions d’app d’appuis ui s V.1. Système de forces…………………………………………. V.2. V.2. Equations d’équilibre st atique……………………………… B – Déf Dé fi nir les caractéris caractéristtiques géom gé ométriques étriques d’une section I. Centre Ce ntre de gravité gravité I.1. Définition…………………………………………….. I.2. Centre de gr gr avit avit é d’une surface élémentaire I.3. Centre de gr gr avit avit é d’une surface composée II – Moment d’inertie d’une surface II.1. Définition………………………………………. II.2. Théorème de HUYGENS……………………….. II.3. M oment oment quadratique quadratique polaire……………………….. polaire……………………….. II.4. M oment oment d’inert d’inertie ie d’une sect sect ion composée………… composée………… III – Rayon de giration III.1. Définition…………………………………………… III.2. Unité………………………………………………….
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III.3. Rayon Ray on de giration giration des sections simple simp les……………… s………………
IV – Noyau – Noyau central IV.1. Définition……………………………………………. IV.2. IV.2. Exemples…………………………………………… C – Calculer C alculer les contraintes correspondantes correspondantes au x différentes différentes so s ol licitations simples. I – Définit Défi nition ion exacte du domaine domaine d’application d’application de la l a RDM I.1. La statique………………………………………. I.2. La résist ance……………………………………. ance……………………………………. I.3. Notion Not ion de contrainte……………………………… contrainte……………………………… II – Diffé rentes so s ollic lli citati ons dans dans une sect se ction. ion. II.1. Traction…………………………………………… II.2. Compression………………………………………. II.3. Cisailleme Cisaillement……………………………………….. nt……………………………………….. II.4. Flambage…………………………………………… Flambage…………………………………………… II.5. Flexion……………………………………………… Flexion………………………………………………
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MODULE :
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APPLICATIO APPLICATION N DES DES NOTIONS NOTIONS GENERALES GENERALES DE LA DE LA RDM RDM
Durée : 90 Heures OBJECTIF OPERATIONNEL
COMPORTEMENT ATTENDU Pour démontrer sa compétence, le stagiair stagiair e doit connaître la mécanique mécanique théorique (R.D.M (R.D.M ) selon les condit condit ions, les critères et les p récisions récisions qui suivent CONDITIONS D’EVALUATION
Travail individuel A p art art ir de questions de cours écrites écrites A p art art ir des exercices. exercices. CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE
Bonne connaissance connaissance des différentes différ entes définitions Bonne compréhension compréhension des p rincipes rincipes de calcul calcul Bonne application des formules de calcul.
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OBJECTIF OPERATIONNEL
PRECIS PRECISIIONS S UR LE COMPORTEMENT ATTENDU
CRIT CRIT ERES ERES PARTICULIE PARTICULIERS RS DE PERFORMANCE
A. Connaît Connaît re les notions de la statique.
Vérification Vérification p arfaite arfaite Calcul Calcul ex e xact act des réactions des appuis app uis
B. Définir les caractéristiques géométriques d’une section.
Calcul Calcul parfait p our une section : - du centre de gravité - moment moment d’inertie - rayon de giration - noy noyau au central d’une section rect rect ang anguu laire ou circul ir culaire aire
C. Calculer Calculer les contraintes corresp ondantes aux d ifférentes ifférentes sollici s ollicitt ations sim si mp les
Définit Définit ion exac exactt e du domaine d’app d’ap p licati lication on de la RDM Définition parfaite des différents types de sollicitations Traçage correct des diagrammes : Avec indications des valeurs remarquables.
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PRESENTATION DU M ODULE
A titre indicatif : Cette présentation présentation doit doit : -
Situer Situer le module module par rap rap p ort ort au programme programme de formation;
-
Donner une descript description ion sommaire sommaire des des grandes étap es de déroulement déroulement des activités d’apprentissag d’app rentissagee concern concernant ant la compétence visée par le module;
-
Préciser Préciser la durée du module et les volume volu mess horaires horair es alloués aux parties p arties théorique et et p ratique.
L’objectif de ce module est de faire comprendre aux stagiaires les sollicitations correspondantes à chaque élément de structure et d’appliquer les formules de calcul de la résistance des matériaux pour la détermination des sections des différents éléments porteurs d’un bâtiment. bâtiment. Le module se déroulera sous forme d’un cours théorique et des exercices d’application pratiques. p ratiques.
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-
).
A- Connaître les notions de la statique : - Définition On appelle app elle force toute cause cause capable capable soit de déforme défor merr un corps, corp s, soit s oit de modifier modifier ou p roduire un mouvement.
I- 1. Caractéristiques d’une force : Une force est caractérisé caractériséee par 4 éléments éléments : - son point d’applicati d’application on : c’est c’est le point du solide sur lequel lequel agit la force. - sa droite d’action d’action
: c’est c’est la droite sur laquel laquelle le la force se déplace, déplace, app ap p elée elée aussi direction ou support.
- son intensité int ensité - son sens
: c’est la valeur de la force, forc e, exprimée expri mée en N, daN, Kgf. : c’est c’est la flèche qui ind ind ique le sens du d éplaceme éplacement nt de la force for ce sur l a droite d’action.
I- 2. Unité d’une force : Le Newton ; Le déca Newton Newt on (daN) ; Le kilogr kilogr amme amme force force (kg (k gf) Le t onne force (tf) :
1daN = 10N = 1kg.f =10 -3 t.f
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II- Moment d’une force par rapport à un point : II – 1. Définition : Le moment moment d’une force force F p ar rapport à un p oint est égal égal au produit de son intensité int ensité F par p ar la la dist distanc ancee d du point O à sa droite d’action. M F/O = F x d F d O La distance d est perpendiculaire à la droite d’action de F, d s’app s’ap p elle elle le bras de levier
II – 2. Uni Uni té : Un moment moment est le produit d’une force par p ar une distance, distance, son unité donc est : DaN.m ; kgf. kgf.m m ; tf.m ; N.m
II –3. Signe d’un moment : Par convention, convention, un momen momentt est p ositif ositif si la force force F tend t end à tourner dans le sens des aiguilles aiguilles d’une montre, il est négatif négatif dans dans le cas cont raire. raire.
M F 1 / O > O p ositif M F 2 / O < O négatif
Θ
F
F O +
II – 4. Théorème de VARIGNON : Le moment p ar rapport à un p oint A de la résultante résultante d’un système de forces forces concourantes concourantes ou p arallèle arallèless est égale égale à la somme des moments des forces composantes composant es p ar rapports à ce point A. M R/A R/A = M F1/ A + M F 2/ A + M F 3/ A …… + M Fn / A
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III- Les diverse diversess sollicitat sollici tatii ons ons : III – 1.L 1. Les charges e t les surcharges surcharges : Dans le calcul des des éléments é léments d’un bâtiment, les charges charges font l’objet l’objet du p remier remier trava t ravail il de recherche. recherche. Dans ces calculs il faut teni t enirr compte compt e des :
a- Charges permanentes : Sont le poids p rop rop re des éléme éléments nts p orteurs orteurs aug augme menté nté des des p oids des éléments éléments incorp incorporés orés à l’élément l’élément p orteurs tel que ( plafo p lafond nd ; les enduits enduits ; revêtements…) revêtements…)
b- S urcharges d’exploi d’exploi tati tati on : b.1 Surcharges statiques : Tel que le mobilier, Matériel et Matières de dépôts
b.2 Surcharges dynamiques : Tel que les personnes, les machines ou organe mobile .
b.3 Les surcharges climatiques : Le vent ; la neige…
III-2 Cl Cl assif assi fication des charges charges : a- Charges concentrées : (c.c) On dit qu’une charge charge est est concentrée concentrée lorsqu’e lorsqu’elle lle ag a git sur s ur une petite p etite surface surface : Poteau reposant sur une poutre Poteau p
Poutre
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b- Charges réparties : b.1 Charges Ch arges uniformém uniformé ment réparties sur une une surface : On dit qu’une charge charge est est uniformément uniformément répartie r épartie sur une surface surface lorsque toutes tout es les les p arties de cette surface subissent la même même force, cette charge s’exp s’exp rime en en N p ar unité de surface q (N/m²)
dalle dalle
b. 2 Charges uniformément réparties réparties sur une longueur longueu r (C.U.R) (C.U.R) C’est une charge qui agit par unité de longueur, elle peut être considérée comme une multi multitude tude de charges charges concent concent rées rées p lacé lacées es côte à côte, elle s’exprime en N p ar unité de longueur. q (N /m ) L
poutre
b.3 Charges réparti réparties es quelconque quelconque : Dans ce cas cas la charg char ge unitaire unita ire n’est p lus constan const antt e elle elle varie vari e t out le long de la pièce pi èce suivant une courbe : ex : charge triangulaire et charge trapézoïdale
c- Conclusion Conclusion : Les Les charges réparties p euvent euvent être ramenée ramenéess à une résultante r ésultante et ensuite considérées considérées comme une force simple. Exemples : - Charges rectangulaires - Charges Charges t rapézoïdales - Charges Charges t riangu riangu lair laires es 11
Q q A
B L /2
L /2 L
Q=qxL a = b =
L 2
Q q A
B a
b L
Q = q a=
Q
L 2
2L 3
; b=
L 3
q1
q0 A
B a
b L
Q=
(q0 + q1)
L
2 a=
q0 +2q1 q0 + q1
L ; b = 3
2q0 +q1 q0 + q1
L 3
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IV Les différents types d’appuis : On disting dist ingue ue dans dans la pratique p ratique des des constructions const ructions 3 types typ es fondamentaux fondamentaux d’app uis :
IV-1. Appui simple ou libre : Un tel t el appui est réalisé réalisé dans les ouvrages ouvrages importants import ants tel que les les ponts p onts ou dans les constructions constructions (bâtiments). (bâtiments). Ce genre genre d’app d’ap p uis donne lieu lieu à une réaction R normale à la surface d’ap d’ap p ui et ne s’oppose s’opp ose p as à un effort s’exerçant s’exerçant suiva s uivant nt l’axe l’axe longitudinal de la poutre. p outre. On aura donc qu’une seule seule inconnue à déterminer par app ui d’où le nom d’app ui simp simp le qui se rep rep résente comme suit :
R A pou p outre tre
IV-2. Appui double ou à rotule : Une rotule est une art articu iculation lation sphériq sp hérique ue qui permet une rotation en tous sens de l’une des piè p ièce cess par p ar rapp rappor ortt à l’autre. Un tel appui donne lieu à une réaction R de direction quelco quelconqu nquee que l’on peut décomp décomp oser en une comp comp osante verticale verticale Rv et une composant composantee horizontale R H il double qui se y a donc dans ce cas cas 2 inconnues inconnu es à déterminer R H et Rv d’où le nom d’app ui double représente comme suit suit :
R A R V A
R H A
IV-3. V-3. Appui Appui triple ou encastrem encastre ment: ent : Un tel t el appui donne lieu lieu à une un e réaction de direc dir ection tion que quell conque p résentant une réaction réaction verticale et une réaction horizontale et un moment d’encastrement . On a donc 3 inconnues à déterminer déterminer par app appui ui d’où le nom d’appui triple qui se représente comme suit : R A V R A
A
A
R AH 13
V- Calcul des réactions réactions d’app d’appuis ui s : V-1. Système de forces : a- Système hypostatique : Si le nombre d’inconnus d’appuis est inférieur au nombre d’équati d’équation on d’équilibre statique, la const construction ruction risque de s’écrouler ex : p outre appuyant appuyant sur 2 appuis app uis simples et receva recevant nt des charges de direc dir ectt ion quelconques. F1
F2V
F2
R A
R B F2H
A
B
b- Système isostatique: Si le nombre d’inconnus est égal au nombre des équations d’équilibre statique la poutre est stable et calcu calcu lable lable par les équations équations d’équilibre d’équilibre statique st atique seules. seules. Ex : poutre pout re à 2 appuis dont dont l’un est simp simp le et l’autre est double.
R A
F1
F2
F2V
R BV
F 2H A
R B R BH
B
c-Syst c-S ystème ème hyperstatique hyperstatique : Si le nombre d’inconnus d’appuis est supérieur au nombre d’équations d’équilibre statique la porte serait stable. Mais les équations d’équilibre statique ne permettraient pas de déterminer les inconnus d’appuis. Ex : poutre encastrée à ses 2 extrémités. R AV R A F1 F2 F3 R B R BV
A R A
H
R BH
B
Chaque app ui introduit 3 inconnus il y a donc 6 inconnus inconnus à déterminer et seuleme s eulement nt 3 équations équations d’équilibre d’équilibre statique. st atique.
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V-2. Équati quations ons d’équilibr d’équil ibree statique : Pour calculer les réactions d’appuis on considère la pièce à étudier comme un solide libre en remp remp laçan laçantt ces ces ap p uis par les forces de réactions. On écrit alors que cette pièce est en équilibre sous l’action des forces directement appliquées que l’on connaît et des réactions d’appuis qui sont inconnus par les équations d’équilibre statique : n n n Fi / ox = 0 ; Fi / oy = 0 ; M Fi / o = 0 i=1
i=1
I= 1
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B – Déf Dé finir les caractéris caractéristtiques géom gé ométriques étriques d’une section. I. Centre de gravité : I.1 Définition : Le centre centre de gravité d’un corps corp s est le point point d’applicat d’applicat ion de la résultante des actions de la pesanteur, p esanteur, sur t outes outes les par p arties ties de ce corps. L’orsqu’une figure a un axe de symétrie, diamètre ou centre, le centre de gravité se situe sur cet élément. Rappel pour le triangle : Le centre de gravité d’un triangle se trouve à l’intersection des médianes.
h
G h /3
I.2 centre de gravi gravi té des surfaces élémentaires élémentaires : La p osition du centre de gravité des surfaces élémentaires est défin défin ie d ans les les f igures suivantes suivantes ( voir tableau). Centre de gravité des surfaces composées : les pièces de construction ne sont pas toutes de formes géométriques simples, il est toutefois possible par décomposition des surfaces complexes en surfaces simples d’en chercher le centre de gravité.
I.3 Recherche du centre ce ntre de gravit gravitéé d’une surface s urface composée composée : a- décomposer la surface donnée en surfaces simples dont les centres de gravité sont connus. b- Établir Établir la som somme me des moments de chaque chaque surface simple p ar rap rap p ort ort à un axe axe de rotation. c- Chercher la distance du c d g en divisant la somme des moments par l’aire totale de la pièce. d- Réaliser les même calculs b et c p ar rapport à un autre axe axe perp endicul endiculaire aire au au premier. p remier. On aura alors : n
X G
Msi
/ B ' B
i1
n
si i1
n
Y G
Msi
/ '
i1
n
Si
i1
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Exemple Exemple d’app lication lication : Déterminer la position du centre de gravité de l’élément suivant : 2 5 2
G3
7
S3
G1
G4
5
S4
s2 G1
2
s1 6.oo
Surfaces si (en (en cm²) cm²) Abscisses des si / cdg en cm S1 = 6 x 2 = 12 3 S2 = 7 x 2 = 14 1 S3 = 5 x 1 = 5 4,5 8 S4 = 5 x 2 = 10 i
41
Moments des si / Ordonnés des Moments des si B’B si/cdg en cm 12 36 1 14 5,5 77 22,5 8,5 42,5 80 6,5 65
Msi y' y y 152,5
M / y' y 15 1522,5 X si 41 si
G
XG = 3,72 cm
Msi
' 19 ,5
M / ' 19 1966,5 Y Si 41 si
G
YG = 4,79 cm
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II- Moment d’Ine d’Inertie rtie d’une surface : II.1 Défini Dé fini tion : Soient oient une surface plane p lane S et un axe XX’ situés sit ués dans un plan. Décomposons cette surface en une infinité d’éléments infiniment petits de surfaces ds 1 ; ds 2 ; ds3 ; …… ;ds n dont les distances à l’axe l’axe XX’ sont resp resp ecti ective vemen mentt y 1 , y 2 , y 3 , …, y n .
ds1 ds3 ds2
y3
y1 y2 X’
X
Par définition, définition, on app elle elle moment moment quadratique de la surface S par rapp rapport ort à l’axe l’axe XX’, la somme des produits p roduits de tous les éléments éléments infiniment infiniment p etits composan comp osantt cet cet te surface par les carrés carrés de leurs distances respec resp ecti tive veme ment nt à l’axe env envisagé, isagé, soit : IXX’ = ds 1 . y 21 + ds.y 22 + ds 3 . y 23 +……..+ ds n. y 2n IXX ’ =
ymax
y²ds
ymin
Remarque : Les Les ax a xes passant p assant par le centre centre de gravité d’une section s’appel s’app ellent lent axes neutres. Unité : Le moment moment d’inert d’inertie ie d’une surface s’exprime en cm 4 ou mm4 Signe d’un moment quadratique : Un moment quadratique est toujours positif.
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II.2 Théorème de HUYGHENS : Le moment quadratique d’une surface S par rapport à un axe ’ de son plan est égal à la somme : - du moment quadratique de cette surface par rapport à l’axe x’x parallèle à l’axe ’et passan p assantt par son centre de gravité . - Du produit de l’aire de la surface par le carré de la distance des deux axes. x’
S
G x
x
d
’
soit :
I ’= I x’x x’x + s d² II.3 I.3 Moment quadratique quadratique polai re : On appelle app elle moment moment quadratique pola p olaire, ire, le moment quadratique d’une surface plane par rapport à un p ôle O p assant par un axe axe perpendicul p erpendiculaire aire au pla p lann de la surface. Soit : Io = d² 1. ds1 + d² d² 2 x ds2 + ………..+ d² n x dsn. dmax I0 =
d² x ds dmin
19
ds
’
y
d x
’ On sait que
Io =
dmax d² x ds dmin
Sach ach ant que l’élément ds a comme coordonnés et β. On aura alors d² = x² + y² dmax Io = ( x² + y² ) ds dmin =
dm ax
x² ds +
dmin
dmin
y ² ds
dmin
dmax or
dmax
dmax x² ds = I ’
d’où
et dmin
y ² ds = I’
Io = I ’+ I ’
Remarque : Généralement le pôle O est le centre de gravité de la surface et les axes sont les axes neutres.
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II.4 Moment d’ine rti rti e d’une section comp composé oséee : Exemple d’application :
Calculer Calculer les moments d’inertie ci-après ci-ap rès I ’ , I’ , I xx’, I yy olaire IG yy’’ et en déduire le moment p olaire de la section suivante: Y S3 X’
G
1 4
X
S2 S1
’
Les dimensions sont en cm
1
3
1
3
’ Y’ Calcul de I ’ :
I ' s I ' s1 I ' s 2 I ' s3 3 b2 h23 2 b3 h3 2 b2 h2 d 1 b3h3 d 2 3 12 12
b1h13
Calcul de I ’ :
I ' s
7 13 7 13 1 4 3 1 4 3² 7 1 5,5² 3 12 3 4 I’ = 256 cm
I ' s1 I ' s2 I ' s 3 3
=
h1 b1
3
3
h2 b2
12
3
b2 h 2
d 12
h3b3
3
1 7 3 4 13 1 7 3 4 1 3,5² = 3 12 3 I ’ = 278 cm4
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Calcul de Ix’x :
I x’xs = Ix I x’xs1 + Ix’ Ix’ xs2 + Ix’ Ix’ xs3
(1)
Ou
I x’x
= I’ - Sd²
Ix’x = I x’ xs1
(2)
+ I x’ xs2 + I x’ xs3
b1h13
12
s1d 12
b2 h23
12
b3 h33
12
s 2 d 22
7 13 1 4 3 7 13 7 1 2,5² 7 1 2,5² = 12 12 12 Ix’ Ix’ x = 94 cm4 Ix’x = I ’ - sd² = 256 – 18 (3)² Ix’x = 94 cm4
Ou
Calcul de Iy’y : Iy’ys = Iy’ys1 + Iy’ys2 +Iy’ys3
ou
Iy’ys = I’ s – sd2
Iy' y s Iy' y s1 Iy' y s2 Iy' y s3 3
=
Ou
h 1b1
12
3
h 2b 2
12
3
h3 b3
12
Iy’ys = 57,5 cm4
I y ’y = I ’ - sd² = 278 – 18 (3,5)² = 57,5 cm4
Calcul de I G
IG = Ix’x + Iy’y IG = 94 + 57.5 = 151.5 cm 4
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III- Rayon de gi gi ration : III- 1. Définition : Le rayon de giration d’une section est égal à la racine carré du quotient du moment quadrat quadrat ique de de cette cet te sect sect ion par rapp rapport ort à un axe axe neutre par p ar la surface surface totale tot ale de l a secti section. on. Soit :
r x ' x
I x ' x
s
r y ' y
;
I y ' y s
III-2. Unité : Le rayon de giration d’une section s’exprime en cm ou m.
III- 3. Rayon de giration des sect se ctions ions simp si mples les : 1- Rectangle r x
r x ' x
r y ' y
S = bh
12 bh 3
r x x'
s
bh 3
I x ' x
' x
I x ' x
bh 3
12
bh h
2 3
b
2 3
12 bh
h2
12
3
b
6
3
b
6
2- Cercle
R 4 r x x'
r y ' y r x ' x
4 R ² R D 4 2 4 R ²
r y ' y
R
2
D
4 23
IV- Noyau central cen tral IV- 1. Définition : Le noyau central est est un contour limitant le domaine ou la surface d e l’applica l’app licati tion on de la char char ge pour p our que la piè p ièce ce soit entièrement s ollicit ollicitée ée par cette ett e charge. charge. Exemple :
d1 : distance du C.D.G à l’ext l’ext rémité rémité du noyau noy au v : la fibre la plus éloignée de l’axe neutre
d1 = (rayon (ray on de giration giration )² v
Si la char char ge est un effort de comp comp ression alors alors le noyau noy au central central est le contour où on doit appliquer cet cet effort p our que la pièce soit entièrement entièrement comp comp rimée. rimée.
IV- 2. Exemple : y
a- Rectangle X’
a
d2
d1 = (Iyy’/s)/ (b/2) d1 = ( ab3 / ba)/ (b/2)
X
12
d2 = (Ixx’/s)/ (a/2) d2 = (ba3 / ba)/ (a/2)
d1 d1 = b/ 6
b
d2 = a/6
y’
b- Cercle
d = ( Ixx’/s) / (d/2) Ixx’ Ixx’ = Iyy Iy y ’ = R 4 R 4 d = / R² / R 4 d = R/ 4 = D/ 8 d=
R
D
4 3 R4/ R2
D
D/4
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C- Calculer C alculer les contraintes correspondantes correspondantes au x différentes différentes so s ollici tations tations simples I. Déf Dé fi nition it ion exacte exacte du domaine d’app d’appll ication de l a RDM L’ét L’ét ude de la r ésistance des des matériau x se déco déco mpose en deux p arties distinctes qui sont.
I- 1. La STATIQUE, science qui permet de déterminer dans des conditions bien préc p récises, ises, la valeur valeur des forces agissant agissant sur un élément ou dans un élément. élément. I- 2. La RESISTANCE proprement dite, science semi-empirique (c’est à dire basé sur le résultat résultat d’essais et d’ex d’e xp érienc ériences) es) traitant l’étude du comp comp ortement des matériau matériau x soumis à l’influence des forces. Pratiquement, ces deux parties sont intimement liées l’une à l’autre, le comportement d’un matériau étant tributaire des efforts qu’il supporte, le matériau étant défini luimême par ses caractéristiques mécaniques.
I- 3. Notion de contrainte Tout corps solide soumis à des efforts n’est strictement indéformable, tel que par exemple le ressort qui s’allonge sous un effet de traction et la planche qui plie sous une charge. Toutefois, si la charge n’est pas importante, les corps qui se déforment ne se rompent pas autant c à d qu’il s’établit à la fois un équilibre extérieur (déterminé par la statique st atique graphique) graphique) et un équilibre intérieur (déterminé (déterm iné p ar la résist ance ance des des matériaux). matériaux). Cet équilibre intérieur nous amène à définir la notion de contrainte.
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Considérons un corps solide quelconque en équilibre sous l’action d’un système de forces.
ds nds
(A) S
(B)
ds
Par définition, est le vecteur contrainte relatif à l’élément de surface ds, dont la direction est quelconque quelconque dans l’esp ace ace que l’on peut p eut décomposer suivant deux p rojections rojections : - Une projection sur le normale à l’élément ds, qu’on appelle contrainte normale n, qui peut p eut être une comp comp ression ou une traction traction suivant que les parties p arties (A) et (B) sont p ressées ou non l’une vers l’autre à travers l’ élément élément de surface ds. - Une proje p rojection ction sur le plan tang t angent ent à l’élément ds qu’on app elle contrainte tang t angentielle entielle
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II.
1- TRACTION
Essai de traction Il est réalisé réalisé sur une éprouvette éprouvett e d’acier d’acier doux, en ex e xerçant un effort de trac t racti tion on F variable variable qui corresp ond à un allon allonggement de l’éprouvette. l’éprouvett e. On p eut eut t racer racer la courbe courbe représentant les les variations de l’allong l’allon gement L en en fonction de F la courbe ainsi obtenue est appelée : « Diagr Diagr amme amme des des déformations » (effort - allongement) allongement) on (contrainte ( ) – allongement allongement unitaire L/L) Fou( ) M FM FI Fe
I
IK // OA OK : allongement Permanent dû à FI
AB
O
K
l ou (l/l)
27
a/ Définition Dé finition élastique C’est une droite OA, s i on supprime l’effort l’éprouvette reprend rep rend sa longueur longueur initiale.
Limite d’élasticité : e=
en kgf / cm²
Fe /S
Allongement unitaire : allongement
=
=
L/L
longu longu eur initiale
Module de Young ou Module d’élasticité longitudinale.
E = / : Contrainte = F/S F/ S daN / cm² : Sans unité E : M odule de Youn oungg en daN / cm²
Relation entre le rétrécissement relatif du diamètre et l’allongement relatif : d/d = 0,3
L/L
0,3 :coefficien :coefficientt de poisson p oisson (pour (p our l’acier l’acier = 0,3)
28
b/ Le Le pali er de plasticité plasticité AB L’éprouvette a perdu son élasticité et commence à s’allonger même avec un effort de traction constant.
c/ Déformation permanente BC Si on fait croît croît re l’effort de traction au delà de F e , la déformation au gmente mente rapidement. Si on décroît l’effort de traction de F I à 0,l’éprouvette ne reprend jamais sa longueur initiale, elle conserve certain allongement permanent de longueur OK. Pendant cette phase la diminution de la section de l’éprouvette devient visible et se localise localise quand l’effort at t eint eint la valeur valeur F M : C’est le phénomène de striction, un effort inférieur à F M peut casser l’éprouvette au droit de la striction. d/ Iné Iné quati quation on d’équarri d’équarri ssage Les Les contrain cont raintt es sont des forces forces unitai unit aires res intérieures à l’ensemble de la pout re. Elles Elles ne présenten p résententt aucun danger danger tant qu’elles n’atteign n’atteign ent pas p as la limit limit e éastique: éastique:
Rp
càd càd
F/S Rp
29
Poids propre négligé né gligé - Contrainte constante :
Poids propre non nég né gligé - Contrainte varia variable: ble:
Max =
= F/S L=
allongement :
-
Équation d’équarrissage :
S
P S
1 PL - allongement allongement : L = E .S 2 E .S FL
F L .
-
F
E .S
-
F/S Rp
Équation d’équarrissage :
F
S
P
Rp
Unités usuelles usuelles Module de Young E: daN / mm² ou daN / cm² Re Résistance pratique Rp = daN / mm² ou daN / cm² s
Limite Limite d’élasticité e : daN daN / mm² m m² ou daN / cm² Coefficient Coefficient de sécurité sécurité s : Sans unité Force
: daN / mm² ou daN / cm² F: daN
Poids
P: daN daN
Sect Sect ion
S : mm² ou cm²
Longu Longu eur
L : mm ou cm
Allongement
L : mm ou cm
Contrainte
30
II.2 COMPRE COMPRESSI SSION ON L’essai de compression sur une éprouvette donne un diagramme analogue à celui de traction. On retrouve une phase de déformation élastique, une phase de déformation perm p ermane anente nte et la rupt ure. Le palier de plasticité et la striction n’existent pas.
Poids propre négligé né gligé Contrainte constante : = F/s
Raccourcissement : L =
Poids propre non nég né gligé Contrainte variable :
F . L
Raccourcissement : L =
E . S
F/s Inéquation d’équarrissage : F/s
Max =
Rp
F S
F L .
P S
1 P L . E .S 2 E .S
Inéquation d’équarrissage :
F P S
Rp
31
II.3 CISAILL ISAI LLEMEN EMENT T 1- Essai de cisaillement
Sur un prisme encastré à une extrémité, on applique le plus près possible de la section d’encastrement, un effort tranchant T perpendiculaire à son axe xx’ uniformément réparti le long de cc’ En faisant croître progressivement cet effort, on peut observer – comme pour l’extension et la compression – une période de glissements élastiques, puis une période de glissements non élastiques suivie de la rupture par cisaillement on définit ainsi une limite d’élasticité d’élasticité au glisseme li ssement nt Reg et une résistance à la rupt ure.
Schéma
32
2/ Contrainte tangentielle de cisaillement Chaque unité unité de surface de la section cDD’c’ supp orte ort e le mêm mêmee effort, la v aleur aleur (tau) de cet cet effort est égal égal au quotient de l’effort l’ effort t ranchant ranchant T par p ar la surface surface S de la section considérée . cet effort s’appelle contrainte tangentielle , parce qu’il qu’il s’ex s’e xerce tangentielleme t angentiellement nt au plan p lan de la la section cisaillée :
=
T
en N / mm²
S
3/ condition de ré sistance au cisaillement Pour qu’une piè p ièce ce sollicitée sollicitée au cisai c isaill lement lement résiste résist e en toute tout e sécurité, sécurité, il faut que la contrainte tangentielle tangentielle soit au p lus égale égale à la résistance résistance pratique pr atique au au cisai c isaill lleement Rp Rpgg
T
Rpg Rpg
S
Rpg
valeurs valeurs maximales des contraintes t ang angentielles entielles p our quelques sections : Pour des sec s ections tions rectangulaires rectangulaires : Pour des sec s ections tions circulai circulairr es : Pour des sections I :
Max
=
Max =
Max = 4/3
3/2 moy
moy
T
Section âme seule
33
4/ Formule de déformation élastique élastique Soient : CD la section située au droit de l’encastrement. C’D’ la section infiniment voisine de CD, située à une distance x de celle-ci et dans le plan de laquelle s’exerce l’effort tranchant T.
Schéma Après déformation C’D’ vient en C’ 1D’1 et la longueur C’C’ 1 mesure le glissement transversal Nous appelle app ellerons rons déviati déviation on le le c' c'1 Rapport ; l’angle p eut servir à la la caractériser. x La déformati déformation on étant élast élast ique, ique, par p ar hypothèse, le gl gl issement issement est très petit ; il en en est de même de l’angle . Par suite, si est exprimé en radians : c ' c '1 tg x la déviation est directeme directement nt p rop rop ortionne orti onnelle lle à l’effort l’effort tranchant, inversement inversement pro p ropp ortionnell ortionnellee à la section section S . En outre, elle dép dép end de l a nature nature du matériau considéré ; d’où la relation :
1 T .
G
S
Où G est module module d’élast d’élastic icité ité transversal t ransversalee pour p our les métaux G = 0,4 E
Exemple : 34
Le module d’élasticité longitudinale d’un acier étant E = 200 000 N/mm² , son module d’élasticité d’élasticité transversal t ransversalee est :
G = 80 000 N/mm²
35
II.4- FLAMBAGE L’essai L’essai de flambage est un essai comparable comparable à celui de compression. compr ession. Il se fait sur des pièc p iècees longu longu es. La char char ge app liquée liquée est lentement croissante, cependant cependant on constate que p our une criti que , la pièce fléchit brusquement : certaine valeur de la charge appelée charge critiq 2
Fcr
. E . I yy '
Formule d’Euler
Lc ²
Iyy yy’’ : moment d’Inertie minimum de l’aire de la section E : M odule d’élasticité d’élasticité long lon gitudinale Lc : longueur de flambage de la poutre
Remarque : La formu formu le d’Euler n’est valable que si : Lc I yy '
110
S
Cherchons Cherchons la contrainte critique cr itique : 1°/ Déterminer le moment quadratique Ex : pour une section rectangulaire I yy ' 2°/ Déterminer Déterminer le rayon r ayon de giration giration r
ba 3
12
I yy ' S
3°/ Calculer ce qu’on appelle l’élancement de la pièce :
Lc r
4°/ La contrainte contrainte critique est : . yy ' ². E .r ² ². E Fcr ². E I ou ou cr = S Lc ².S Lc ² ²
cr =
². E ²
Pour que la pièce ne flambe f lambe pas, il faut que la contrainte de compression comp ression inférieurs inférieurs à la contrainte critique cr itique
=
F S
= F/S soit
cr
36
II.5- FLEXION Une pièce soumise à la flexion a tendance à se rompre non seulement sous l’effet du moment moment fléchissant mais mais aussi à être cisaillée sous l’effet de l’effort l’ effort t ranchant. ranchant. Le moment fléchissant et l’effort tranchant interviendront d’une façon importante dans le calcul calcul des dimensions d’une poutre. pout re.
1°/ Moment fléchiss fléchissaant a/ Définition Le moment fléchissant fléchissant dans une section déterminée d’une pièce est la somme algébri algébriqu quee des moments p ar rapp rapport ort au centre centre de gravi gravitt é de cette cett e section, section, de toutes les les forces ext ext érieures ( couple coup les, s, réactions d’app d’ap p uis, charges charges concentrées ) situées s ituées d’un même côté de celle-ci.
b/ Convention des signes On admet qu’un moment est p ositif lorsque lorsque la flexion flexion provoque p rovoque un allong allon gement de la fibre infér infér ieure ieure de d e la poutre. pout re. Il est nég négatif atif lorsque l’allongement affecte la fibre sup érieure. érieure. Fibre allon allongée gée Mf + O +
M fFibre allongée
Côté Côt é gauche côté droit
Unités : daN.m ; kgf.m ; tf.m
2°/ Effort Effort tranchant t ranchant a/ Définition L’effort L’effort tranchant dans une section déterminée d’une d’un e pièc p iècee est la somme al gébrique gébrique de toutes tout es les forces ext ext érieure érieuress situées s ituées d’un même côt côt é de cette cett e section. b/ Convention des signes L’effort L’effort tranchant est positif quand le tronçon de gauch gauch e tend à monter monter par p ar rapport au tronçon de droite. Il est nég négatif atif dans le l e cas contraire.
Côté Côt é gauche
O +
côté droit
Unités Unit és : daN ; kgf kgf ; tf
37
3°/ Calcul des contraintes a/ Contrainte normale Lorsqu’une poutre pout re fléchit fléchit : - La partie supérieure de la poutre se raccourcie par compression . - La partie inférieure de la poutre s’allonge par traction . Entre ces deux zones, il existe une partie longitudinale qui n’a subit ni allongement, ni neu tre. e. raccourcissement, raccourcissement, elle passe p asse par p ar le centre centre de gr gr avité avité : c’est l’axe neutre ou fibre neutr Sous l’effet du moment fléchissant Mf, les divers éléments de section droite de la pièce ne sont soumis qu’à des contraintes normales normales de trac t ractt ion ou de comp comp ression. Les contraintes varient avec y, les plus grandes contraintes sont au niveau des fibres extr extrêmes êmes qui correspondent corresp ondent à y max. max. Pour que la pièce soit stable, il faut donc que la plus grande contrainte de traction soit inférieure au taux de travail limite à la traction Rp du matériau, et que la plus grande contrainte de compression compression soit inférieure inférieure au taux de travail limite l imite à la compression comp ression R’p
max =
Mf max
Rp
N.B : y étant la distance distance entre entre la contrainte contrainte et l’axe neutre.
b/ Contrainte tangentielle La contrainte contrainte tange t angentielle ntielle est dûe à l’action de l’effort l’effort t ranchant, ranchant, c’est une contrainte contrainte de cisaillement. La contrainte tangentielle moyenne :
moy
=
T
max
S
T : effort tranchant max en kgf ou daN S : mm² ou cm² ( section)
moy : daN/mm² daN/mm² ou k gf/cm²
Les contraintes tang tan gentielles maxi males males pour certaines surfaces sont : - pour p our des sections sections rectangula rectangulaires ires - pour p our des sections sections circula circulaires ires - pour p our des sections sections en I
max
m ax = max
= 3/2
4/3
moy
moy
T max
=
Section âme seule
I
âme
max
Rpg 38
39
I. TP 1 : intitulé du TP
CALCUL DES REACTIONS D’APPUIS
I.1. Objectif(s) visé(s) : -
Appren dre au s tagiaire comm comment ent déterminer les les réactions réactions d’appuis des des différents types types d’appuis d’appuis exis exis tants tants ( appui appui simple, sim ple, appui appui double, appui triple)
I.2. Durée du TP: 5 heures……………………………………………………… I.3. Description du TP : Exercice I
Une poutre poutre droite en équil éq uilibre ibre repose repose sur deux appuis ap puis sim si mples A etB et chargée chargée comme il est indiqué sur la figure.
P
q=400 daN/m daN/ m P= 600 daN
q A
B 6m
-
2m
2m
Déterminer les réactions d’appuis RA et RB . Exercice Exercice II
Déterminer Déterminer analyti quement quement les l es réactions d’appui d’appui s RA et RB de llaa poutre représentée ci dessous :
F1 60°
A
q0
2.50 2. 50 0.5 0. 5 3.00 On donne : F1 = 300 daN F2 = 200 daN F3 = 250 daN
F2 q1
30° 30°
B 1 1 2.00 2. 00
45°
F3
q0 = 50 daN/m q1 = 150 daN/ daN/m m
40
Exercice xe rcice III Déterminer Déterminer les réactions réactions d’app uis de la pou p outr tree ci- dissous dissous analytiqueme analy tiquement. nt. F q1 A 1.00
2.00
3.00 B
F = 400 daN q0 = 50 daN/m q1 = 150 daN/m
41
TP 2 : intitulé du TP
CALCUL DES CARAC TERISTIQU TERISTIQUES ES GEOMETRIQUES D’UNE SECTION
II.1. Objectif(s) Objectif(s) visé(s) : -
Déterminer les caractéristique caractéristiques s géométriques géométriques d’une s ection quelconque (simple ou complexe)
II.2. Durée du TP: 2 heures …………………………………………………………………. II.3. Description du TP :
On veut déterminer les caractéristiques géométriques de la section suivante : 1. Trouver le centre de gravité de la section par rapport aux axes AA’ et BB’ 2. Calculer : a – l es mome moments nts d’ine d’i nerti rtie e par rapport rapport aux axes neutres neutres XX’etYY’ X X’etYY’ et en déduire déd uire l e moment moment d’ inertie inerti e polaire. b – les rayons de giration par rapport aux axes neutres On prend O comme origine des axes AA’ et BB’
10
10
10
10 10 40 20
O 5
20
5
42
CALCUL DES CONTRAINTES ET DIMENSIONNEMENT
TP 3 : intitulé du TP
DES POUTRES
III.1. Objectif(s) visé(s) :
Calculer les contraintes des différentes sollicitations. Dimensionner les poutres.
III.2. Durée du TP: 4 heures…………………………………………………… heures…………………………………………………… III.3. Description du TP : III.
Exercice I
Une console constit constituée uée de deux barr barres es d’acier AB et AC de modul modul e 5 2 d’élasticité d’élasticité E = 2 10 N/mm , elles ont même longueur L = 3 m. La section constante de la barre AB est S1 = 400 mm2 celle de AC est S2 = 600 mm2. Calculer le déplacement du point A sous l’action de la charge verticale F = 5 10 4 N.
B
o
C
o
45
45
A F = 5 104 N Exercice II
Une pou p outre tre droite en équilibre équilibre app ap p uy ée sur deux app uis simp simp les les , su s upporte pp orte une charg chargee uniformément répartie q et une charge concentrée P appliquée à 1m de l’appui gauche A (voir
P
figure).
P = 350 KN q
A
B
h= 2b
q = 1 KN/cm
b
1m 5m
43
1° Déterminer les les actions actions de contact contact aux au x app uis A et B . 2° Etablir les les équations équations des moments moment s fléchissants fléchissants et des efforts tranchants tranchants le long de la poutre. pout re. Tracer Tracer les épures correspondan corresp ondantes. tes. 3° Sachant Sachant que la section de la pout p outre re est est rectangulaire rectangulaire et que la hauteur h est ég é gale à 2 fois la largeur b, dimensionner dimensionner la l a poutre p outre en prenant la l a contrainte admissible admissible de flexion :
=284 daN/ cm2.
4° Vé Vérifier rifier la résistanc résist ancee de l a poutre pout re au cisa cisaillemen illementt sachant que
= 20 MPa
44
Evaluation de fin de module
Soit Soit à dimensionner la p outre tubulaire tubulaire suivante suivante : q
1.5q
A
B a
1.5a
2q 1.25a
On donne : q = 8 KN/ m ; a = 2 m 1- Calculer les réactions d’appuis. 2- Calculer Calculer les moments fléchissants et les efforts t ranchants ranchants le long de la poutre p outre et tracer les épures correspondantes. 3- Déterminer Déterminer le moment moment d’inertie de d e la section droite de la pout re par p ar rapport aux axes neutres. =105 KN/m² 4- Trouver les dimensions dimensions de la section de la p outre sachant sachant que : 5- Vérifier la l a poutre p outre au cisaillement. cisaillement. On O n donne = 45 bars
45
Liste des références références bibliographi bibliographiqu ques. es. Ouvrage Cours de résistance des matériaux Cous de résistance des matériaux Problèmes Problèmes de RDM Programme de RDM ( OFPPT)
Auteur ute ur R. MONTAGNER
dition diti on EYROLLES EYROLLES
Armand GIET (1et 2)
DUNOD
Armand GIET (1 et 2) OFPPT
DUNOD
NB : Outre Out re les les ouvrages, ouvrages, la liste peut p eut comport comport er tout tout es autres ressources ressources Jugée Jugéess utiles ut iles (Sites Int ernet, ernet, Catalogues Catalogues constructeurs, Cassett Cass ettes, es, CD, CD, …
46
