∫ lim ∫ (δ r u ( x) − D u ( x)) dx = 0 lim Ω (r h u ( x) − u ( x)) 2 dx = 0 , k →0
2
k →0 Ω
i h
(i = 1,..., n)
i
convergenţele (3.22) şi (3.23) sunt stabilite. 3.2.3.. Metoda paşilor fracţionari
Vom adapta metoda pasilor fracţionari la rezolvarea ecuaţiei (3.21) (pentru un h dat). Introducem formele: aih (u h , vh ) =
∫ Ω
δ i u h ( x)δ i v h ( x)dx +
λ
n
(u h , v h ) h ,
∀u h , vh ∈ V h ,
i = 1,..., n ,
cărora le asociem operatori Aih liniari continui în V h , definiţi astfel: ( Aih u h , vh ) h = aih (u h , v h ) , Fie f h =
∀u h , vh ∈ V h .
n
∑ f
ih
o descompunere arbitrară a funcţiei f h în elemente ale spaţiului V h .
i =1
Pentru orice număr intreg N şi pentru orice număr real pozitiv τ , definim prin recurenţă, o familie de elemente din V h notate: u hr +i / m , 0 ≤ r ≤ N − 1 , 1 ≤ i ≤ m (m = n + 1) .
Pornim de la un element u h0 ales arbitrar în V h . Dacă u h0 ,..., u hr +(i −1) / m sunt cunoscute, u hr +i / m este definit după cum urmează:
dacă i = 1 , u hr +1 / m este soluţia în V h a ecuaţiei (u hr +1 / m − u hr , vh ) h +
∫ (u Ω
r +1 / m h
( x)) 3 v h ( x)dx = 0 , ∀v h ∈ V h .
(3.32)
Unicitatea soluţiilor pentru (3.32) este imediată. Existenţa soluţiei ar putea rezulta din lema 3.3 din 3.1, dar este mai simplu să observăm ca ecuaţia (3.32) este echivalenta cu sistemul algebric următor: 3 ξ M + τξ M
= η M ,
∀ M ∈ Ω1h ,
(3.33)
unde η M = u hr ( M ) este cunoscută, în timp ce ξ M = u hr +i / m ( M ) rămâne de determinat. Dacă 2 ≤ i ≤ m , u hr +i / m este definit ca la soluţia în V h a ecuaţiei
70
(u hr +i / m − u hr + (i −1) / m , v h ) h + τ aih (u hr +i / m , vh ) = τ ( f ih , v h ) h ,
∀v h ∈ V h .
(3.34)
Existenţa şi unicitatea soluţiilor ecuaţiilor (3.34) rezultă din teorema proiecţiilor. Se va observa că ecuaţiile (3.34) sunt liniare şi, de astfel, identice cu ecuaţiile (2.34). Ecuaţiile (3.33) sunt ecuaţii algebrice de gradul al treilea total decuplate. Diferenţa dintre ultimul element u N h şi soluţia u h a problemei (3.21) este evaluată cu ajutorul următoarei propoziţii. PROPOZIŢIA 3.3. Pentru orice n , n = 0,..., N : 2
u hn − u h h ≤ ε n , unde ε n
= ε 0 (1 + γτ ) + δτ
2
n
∑ (1 + γτ )
i−n
,
j =1
ε 0
2
= u h0 − u h h ,
δ = n
n
∑ f
ih
i =1
− Aih u h 2h
λ n
γ = min1,
PROPOZIŢIA 3.4. Dacă τ → 0 şi N → ∞ astfel încât τ N → ∞ , atunci 2
lim u N h − uh h = 0 . 3.2.4. Aplicaţii numerice
Exemplul tratat ca aplicaţie a metodei precedente este următorul:
− ∆u + λ u + u 3 = f în Ω = (0,1) × (0,1) Ω ⊂ R 2 , u |Γ = 0
cu f = −200 x1 ( x1 − 1) − 200 x2 ( x2 − 1) +
+ λ x1 ( x1 − 1) x2 ( x2 − 1) + 106 x13 ( x1 − 1) x23 ( x2 − 1)3 Soluţia exactă este u = 100 x1 ( x1 − 1) x2 ( x2 − 1) .
71
h = 1 / 10
λ = 1
τ
eh
h = 1 / 20 λ = 100
N
eh
λ = 1
N
eh
λ = 100
N
eh
N
1 / 100.... 0,199 10−2 20
0,662 10−1 13
0,220 10−2 19
0,664 10−1 13
1 / 200.... 0,537 10−3 31
0,20110−1 20
0,591 10−3 31
0,202 10−1 20
1 / 300.... 0,245 10−3 42
0,961 10−2 27
0,270 10−3 42
0,963 10 −2 27
1 / 400.... 0,140 10−3 51
0,560 10−2 33
0,154 10−3 51
0,561 10−2 33
1 / 500.... 0,907 10−4 60
0,366 10−2 39
0,997 10−4 60
0,367 10−2 39
Se produc eiferenţe simţitoare în raport cu valorile lui λ . Timpul de calcul este aproximativ N / 3 s pentru h = 1/ 10 şi de 4 N / 3 s pentru h = 1 / 20 .
Bibliografie
72
