Transformada de Hilbert

Transformada de Hilbert

En general, la especificación de la transformada de Fourier, de una secuencia requiere un conocimiento completo tanto de la parte real e imaginaria, o del módulo y la fase, para todas las frecuencias en el intervalo   <  <  . Sin embrago hay ciertas restricciones, bajo ciertas condiciones, por lo que la especificación de fase mínima, el módulo y la fase de la transformada de Fourier no son independientes. Es decir, la especificación del módulo determina la fase y la especificación de la fase determina el módulo salvo un factor de escala. Por lo tanto, las restricciones de casualidad de una secuencia implican relaciones únicas entre las partes real e imaginaria de su transformada de Fourier. Las relaciones de este tipo entre las partes real e imaginaria de funciones complejas se denominan relaciones de transformada de Hilbert . Trasformada de Hilbert Continua

Vamos a considerar un sistema sin distorsión de amplitud, pero con una distorsión de fase que produzca un desfase de ⁄2 a todas las señales de entrada. Esto quiere decir que si ()   ↔ (), entonces el espectro de salida del sistema, que está representado por ̂ (), será: 

−  ̂ (  ) = (  )  = ()  para 0 ≤  

  ̂ ( )   ) = ( )   )  = () ()  para   < 0

Entonces, para todo , se tiene:

 ̂ ( )   ) = ( ( )   )( )   ) + ( ( )   )()  ) = ( ( )[   )[ ()  )   ( )]   )] = ( ( )   ) () Y también:

̂ ()  (  ( )   ) =  ( () ) Si ̂ (  ) = ℎ (  ) () , donde ℎ () es la función transferencia del sistema, por tanto:

 ̂ ( )   ) = ℎ ( )   ) ()

⇒

̂ ()  (  ( )   ) =  ( () )

∴ ℎ ( )   ) =  ( ()) Este sistema se conoce como “ Transformada de Hilbert ” o “Filtro de Hilbert ”. ”. Por lo que se puede considerar al filtro de Hilbert cono un filtro de banda ancha.

En la siguiente figura se muestra la formación del espectro de la transformada de Hilbert.