TRILCE
C apít ul ulo o
L GICA PR PR OPO POSIC SICIO IONAL NAL INTRODUCCIÓN
CLASES DE PROPOSICIONES:
L a ló gica estu d ia la fo rm a de d e razo razon n am ient en to. E s u n a di d isci scip li-
1.
P r o po po s i ci ci ón ó n S i mp mp l e:
tiene en e ap a p licaci cació n en to d o s lo s cam p o s del de l saber; sab er; en la fi filo soso-
S o n p ro po sicio nes qu e no tien en con jun cio n es gram ati aticales n i ad verbio d e negaci neg ación .
fía, p ara d eterm in ar si u n razon am ient en to es vál vá lid o o n o, ya
Ejemplo:
q u e u n a frase p u ed e tener en er di d iferent eren tes in terpretaci ac io n es; sin
*
n a qu q u e se utiliza par pa ra d eterm in ar si u n ar a rgum gu m ent en to es válid o,
C incuent ncuen ta es m últiplo d e diez. ez.
em b argo la ló gica p erm ite sab er elsigni gn ificad o cor co rrecto. L o s m atem atem áti áticos us u san la ló gica, p ara ara d em o strar teor eo rem as e infenfe-
2 .
rir resultad o s qu q u e p u ed an ser ap licad o s en in vestigaci ga cio n es . E n la co m p utaci utació n, pa ra revi revis sar pro pro gram gram as y crear sus sus
Pr opos i ci ón C ompuesta:
Form Form ada por dos o m ás p ro p o sicio n es sim p les un u n id as po p o r con co n ectivo s ló gicos co s o po r el ad verb verb io d e nega n egaci ció n .
algo ritm o s,es utilizada zad a en e n el e ld iseño d e com co m p u tad o ras. E xis-
Ejemplo:
ten circui cu ito s in tegr eg rad o s qu e realizan o p eracio n es ló gicas cas con co n
*
lo s bits, gracias a est e sto s se se h a d esar esarro llad o las teleco m u n icacacio n es (telefon efon ía m ó vil, in ternet, ern et, ...)
ENUNCIADO:
E s cual cua lqu ier frase u o ració n qu e expr ex presa esa
una un a id ea.
PROPOSICIÓN:
29 es un núm ero pri prim o y 5 es im par.
C O N E C T I VO VO S L Ó G I C O S :
S ím bo los qu e enlazan azan do s o m ás pro pro p o sicio nes ne s si sim ples ples para fo rm ar un a p ro po sició n com puest puesta. L o s co co necto res ló gicos que qu e us u sarem arem o s so so n :
S Í M B O L O O P E R A C I Ó N S I G N I F I C A D O LÓGICA
S o n o racio nes ne s aseverat aseverati ivas va s qu e se puepu e-
d en calificar com co m o ver ve rd ad eras eras o falsas. S e repr ep resent esen tan con co n
~
las letras m in ú scul sculas del de l ab eced eced ario : p ; q ; r ; s.
Ejemplo: * * *
Túpac A m aru m uri urió decapi decapitado. 9 < 10 10 45 = 3 2
E N U NC N C I A D O A B I E R T O: O:
So n enun ciado s que pu eden
N egac egaci ión C on jun ción
No p pyq
D isyun ción
p oq
C o n d icio n al
S i p , ent en to nces nce s q
B ico n d icio n a l
p siy sól só lo siq
D isyunción E xclu siva
"o ........ o ........"
OBS:
to m ar cual cua lqu iera era d e lo s 2 val va lo res de ver v erd d ad .
L a n egaci ega ció n es un con ecto r m o nád ná d ico, afecta sol so lam ente a una un a p rop osición .
Ejemplo:
O P E R A C I O N E S L Ó G I C A S Y TA TA B L A S D E V E R D A D
S i: P (x ):x 6
L a val va lidez de z de un a pr p ro po sición com pues pu est ta d epen de de los valo res de ver v erd d ad d e las propo prop o sicio nes ne s sim p les que qu e la co m po nen y se determ ina m ediante ante un a tabl tabla d e verda verdad. d.
Se cum ple que: verd ad ero ero P (9 ):9 6 es verd es falso P (2): 2 6 es E lvalo r d e verdad d e P (x) d epend epe nd e d elvalo r d e x, tam bién, se le cono co no ce com o fun ció n pr p ro p o sicio n al.
1.
ncu la d o s pro pro po sicio nes m edi ed iant an te el C on o nj un unc i ón ón: V incul con co n ecti ectivo ló gico "y".
Tabla de Verdad p
q
p
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
q
9
Aritmética
2 .
D i syunc i ón: V incula ncula d o s pro pro po sicio nes ne s m ed ian te el con co n ecti ectivo ló gico "o ". Tabla de Verdad
3 .
p
q
p
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
IMPORTANTE: *
C uan do los valores ores del op erado erado r pri principal so n tod os verd verd ad eros eros se se d ice qu e el esqu esqu em a m olecul olecular es tautológico .
*
Se dirá que el el esquem esquem a m olecul ecular es contradictorio si lo s val va lo res del d el o p erad o r p rin cip al son to d o s falsos. sos.
*
S ilo s valo res d elo perado r pri principal pa ltiene en e po r lo m eno s un a verd verd ad y un a fal falsedad ed ad se d ice que qu e es contingente o consistente.
q
pro po sicio nes ne s D i syunci sy unci ón E x cl usi us i va: V in cula d o s pro m ed ian te el el co n ectivo ló gico : "o ..........., o ............."
Tabla de Verdad
4.
p
q
p
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
q
S o n equ eq u ival va lenci en cias ló gicas qu e no s perm iten redu ed u cir esqueesqu em as m o leculares ares com plejo s y expresarl arlo s en fo fo rm a m ás sensencilla. L as dem d em o stracio n es de d e di d ichas cha s leyes eye s se hacen ha cen con co n stru yend yen d o la tabl ab la d e verd verd ad en cad a caso.
d o s p ro po sicio nes ne s m edi ed iant an te el C o nd ndi ci ci on onal: V in cula do con co n ecti ectivo ló gico : "S i............,en ton on ces .............."
Tabla de Verdad p
q
p
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V F
L E YE YE S D E Á L G E B R A P R O P O S I C I O N A L
q
Principales Leyes: a.
Ley Ley de de Ide Idempote potenncia: cia: pp p pp p
b.
Ley Ley Conm Conmutativ tativa a: pq q p pq q p
5 .
B i condi co ndici ci onal:
V incul ncu la d o s pro pro po sicio nes ne s m edi ed iant an te el con co n ecti ectivo ló gico: co : "..............siy só lo si.............."
c.
L ey ey A s oc oc i at ati va va: (p q ) r p (q r)
Tabla de Verdad
6.
(p q ) r p (q r)
q
p
q
p
V
V
V
V
F
F
p (q r) (p q) (p r)
F
V
F
p (q r) (p q) (p r)
F
F
V
N eg eg ac ac i ón ón :
A fecta a u na sola p ro p o sició n . E s un op erad erador or m on ádi ád ico qu e cam bia el valor de verda verdad d de un a pro pro po sición :
d.
e.
f.
F
V
L eyes de I dentidad denti dad:: pV V
; p F p
p V p ; p F F
p ~ p F
Ley Ley de de la D oble oble Nega Negació ciónn: ~ (~ p ) p
Tabla de Verdad V
Ley Ley Distrib Distribuutiva iva:
g .
L eyes del C omplemento: p ~ p V
OBSERVACIÓN:
L a can ca n tid ad d e filas en u n a tab la es: e s: # filas = 2
n
D o nd e n es la can tid ad d e pr p ro p o sicio n es sim ples.
10
p ~ p F
h.
Ley Ley de del Cond Condicion icional: p q ~ p q
TRILCE
i.
Ley Ley de la Bicon Bicondicion icional:
CIRCUITOS LÓGICOS
p q (p q ) (q p)
U n circuito conm con m utad utad o r pued pu ede e estar so so lam ente ente en d o s estad o s est estab les : cerrad o o ab ierto, así com co m o u n a p ro p o sició n pu ede ed e ser verd verd ad era era o falsa, ent en to nces po d em o s repr ep resentar esentar u n a p ro p o sició n u tilizand zan d o u n circui cu ito ló gico: co :
p q (p q ) (~ p ~ q ) p q ~ (p q )
j .
L ey de A bsor ci ón: p (p q) p
1.
p (p q) p
C i r cu cui to to S er er ie i e:
D o s in terru p to res con co n ectad o s en serie repr ep resentan un a co nju nció n.
p (~ p q ) p q
k.
q
p
p (~ p q ) p q
Ley Leyes de de "De Morga Morgann":
2 .
~ (p q ) ~ p ~ q ~ (p q ) ~ p ~ q
pq
C i rc uito ui to Par alelo:
D o s inter nterr rup to res cone co nect ctad o s en pa ralelo repr ep resent esen tan u na d isyun ció n .
p
CUANTIFICADORES:
pq
q
1.
C u an an t i fifi c ad ad o r
U ni ni v er er s al al :
S ea
la
fu nció nció n
p ro p o sicio n al f(x) sobr sob re un u n con co n ju n to A ,elcuan cua n tificad o r
LÓGICA BINARIA
con jun to A h acen qu e la fun fun ció n p ro p o sicio n al f(x )
L a ló gica b in aria tr trata ata co n var va riabl ab les qu e to to m an 2 val va lo res d iscreto s y con co n o p eraci eracio n es qu e asum asu m en signi gn ificad o ló gico, p ara est e ste p ro p ó sito es con co n ven ve n ient en te a signar gn ar lo s valo res de de 1 y 0.
(" ("p a ra to to d o ") in d ica q u e to to d o s lo s val va lo res del d el
sea verd verd ad era. era.
tod o " se lee : "Para todo
PRINC IP IPALES ALES COMPUERT COMPU ERTAS AS LÓGIC AS *
C om puer puerta AN D de dos entradas adas.
Ejemplo: S ea : f
(x )
p q
3
:x 2 5 donde x N
p q
L a p ro p o sició n cuan cua n tificad a es :
x N ;x 3 2 5 es falsa. sa.
2 .
C uanti fi cador cado r ex i st enci al:
*
p q
Sea f(x ) una u na fun ció n
p ro p o sicio n al sobr sob re u n con co n ju n to A el cuan cua n tificad o r (exi ex iste al a lgú n ) in d ica q u e pa p ara al a lgún gú n val va lo r d el con co n ju n to
C om puer puerta O R de dos entradas adas
*
p *
se lee :"E xiste algú n "
Ejemplo: Sea f :x 5 8 , d o nd e : x Z , la p ro p o sició n : (x ) verda d era: era: x Z /x 2 5 8 es verdad
~p
C om pue puerta N AN D de dos entradas adas
p q
*
q
C o m p u erta N O T
A , la fu fu n ció n p ro p o sicio n al f(x) es verdad era. era.
p
~ (p q )
C om puer puerta N O R de dos ent entradas adas
2
p q
~ (p
q)
11
Aritmética
EJERCICIOS PROPUESTOS 01 . D e los si siguientes entes enu nciado ad o s: * Q ué rico duraz durazno. no. * 7 + 15 1 5 > 50 2 2 x y 25
*
U na es prop osición . D os son son enu nciado s abiertos. D o s so n exp resi esion es no pro pro po sicion ales. es. D os son son prop prop osicion es. es. Tod as so n prop prop osicio nes. nes.
02 . ¿C u án tas d e las las sigu ien tes expresi expresio ne s so so n p ro p o sicio n es? * ¡D ios m ío .. .... se m uri urió! * E l calo r es la ener en ergí gía en e n tránsi án sito. * B aila a m eno s que qu e est estés triste. * S iem pre pre qu e est estud io, m e si siento ento fel feliz. * E ldelfín es un cetáceo, áceo, ya qu e es un m am ífero m arin o . a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
b) 1 e) 4
04 . H all allar el va lo r d e v erd erd ad p ro p o sicio n es:
d) FV F
e) F F F
c) V F F
a) V V F d) V FV
b) V F F e) F F F
c) V V V
07 . S im bo lizar: ar:
~p
~q
q S i la p ro p o sició n q ue se o b tiene en e es e s falsa. ¿C uál uá les so so n lo s valo res de p y q respectivam va m ent en te? a) V V d) FF
b) V F c) F V e) N o se p u ed e p recisar
c) 3 08 . S i la p ro po sició n : (p ~ q ) (~ r s) es e s fa fa lsa, sa ,
0 3 . D ad as las si siguient guientes es expresi expresio nes ne s: * E l átom o n o se se ve, pero pero existe. * Lo s tigres gres no son paqu iderm derm os, tam poco las nutrias. ias. * Tom a una deci decisión rápi rápida. * H ay 900 núm eros natural urales que se repres epresent entan con tres cifras. ras. * L a M atem ática es ci ciencia fáct fáctica. * E s im posible que el año no tenga 12 m eses eses. . ¿C u ánt án tas no so n p ro po sicio nes sim ples? a) 0 d) 3
b) V V V
06. Si : (p ~ q ) r ; es falsa, d eterm eterm in ar lo s val valo res d e ver ve rd ad d e "p" "p", "q " y "r "r".
¿Q u é al a lternat erna tiva es cor co rrecta ecta? a) b) c) d) e)
a) V F V
c) 2
d e las sigu ien tes
(3 2 5 ) (7 2 11 )
d educi ed ucir el val va lo r d e ver v erd d ad d e : (~ p ~ q ) ~ p
a) V c) V o F. e) Es E s V sip es F.
b) F d ) N o se p u ed e d eterm in ar.
09 . S i la prop prop osición com pues pu est ta: (p q ) (r t)
E s falsa. In d icar las pr p ro p o sicio n es qu e son so n verda d eras: a) p ; r d ) q ;t
b) p ; q e) p ;r ; t
c) r ;t
1 0 . S i "p" es una un a prop o sició n falsa, d eterm erm ina el valo r d e verdad verda d d e la expres ex presi ió n: {(p q) [r (~ q p)]} (r p q)
(4 1 3) (2 10 8 )
a) b) c) d) e)
(3 7 10 ) (12 5 )
1 3 2 1 2 1 2 2 a) V V F V d) V V V F
b) V F V V e) F V V V
Verdadero. dadero. Falso. Verda Verdad d ero o falso. Verda Verdad d ero sólo si q es verda verdader dero. o. Fal Fa lso sól só lo sir es falso.
c) V V V V 11 . S i la prop prop o sición : (p q ) (q r)
05 . D eterm erm ina r el valor de verda verda d d e cada u na d e la sigu ien tes pr p ro p o sicio n es: I. Si :3 + 1 = 7, entonces onces :4 + 4 = 8 II. N o es verdad que : 2 + 2 = 5 siy solo si 4 + 4 = 10. III. M ad rid est está en E spaña pa ña o L o nd res est está en Fran Franci cia.
12
es fal falsa, ha lla r el val va lo r d e verd v erda a d d e la s sigu ien tes fó rm u las: I. ~ (p r) (p q ) II. (p ~ q ) (~ r q ) III. [(p q ) (q ~ r)] (p ~ r) a) V V F d) V FF
b) V F V e) F V V
c) V V V
TRILCE
1 2 . L o s valo res de d e verdad verda d d e las pr p ro po sicio nes ne s "p" ,"q" ,"r" y "s" son respect esp ecti ivam va m ent en te V, F, F y V. V. O bten btener er lo s valo res d e verd ad d e: I.
[(p q ) r] s
1 7 . S ea : U = {1 , 2 , 3}, 3} , el conj con jun to u nivers versal. H allar el valo r d e ver v erd d ad d e: I.
x , y / x 2 y 1 2
2
2
2
II. x , y / x y 12
II. r (s p )
III. x , y / x y 12
III. (p r) (r ~ s)
IV. x , y / x y 12
a) V F F d) V V F
2
b) F V V e) F F F
c) V V V
13 . S i la p ro po sición : p (r s)
E s fa lsa, ¿cuá ¿cu á n tas de las sigui gu ient en tes pr p ro p o sicio n es so n verdad verda d eras? eras? I.
(~ s t) ~ p
II. r p
~ r
III.
a) V F V F d) V V V V
b ) U na e) C u atro
c) D o s
n o e s falsa. alsa. H all alla r el va lo r d e ve rd ad d e la s p ro p o sicio n es r, p y q respect espe ctivam va m ent en te. c) V F V
1 5 . D e la falsedad ed ad d e la pr p ro po sició n : se d educe ed uce que q ue elvalo r d e verd verd ad (p ~ q ) (~ r s) se de los esquem qu em as: as: I.
b) F F V e) F F F
c) V F V
19 . H all allar lo s valo res d e ve rd ad d e las las sigu ien tes p ro p o sicio n es: ( x R ,x x) ( x R ,x 1 x)
II. ( x R ,x 2 x) ( x Z ,x 1 x -1)
~ [(p ~ r) (r ~ q)]
b) V V F e) V F F
c) V V V F
18 . S i: U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ¿C u á l es el va lo r d e v erda d d e las sigu ien tes p ro p o sicio n es? I. x U :x 3 x 4 II. x U :x 2 8 x 6 III. x U :x 2 5 x -1 2
I. 14 . S i la pro pro po sición com pues pu est ta:
a) F V V d) FV F
b) V V F F e) V V F V
a) V V V d) FV F
IV. (r p ) (s t) a) N in gu n a d ) Tres
2
III. ( x N ,x 0) ( x Q ,x 0) IV. ( x N ,x 3 x) ( x R ,x 1 x) a) F V V F d) V FFF
c) V V F F
20. Sea :A = {1 ,2 , 3} D eterm eterm in ar el val va lo r d e v erd erd ad d e las las sigu ien tes exp resio n es:
(~ p ~ q ) (~ q )
I.
II. (~ r q ) [(~ q r) s]
b) F V V V e) V V V F
x A , y A /x 2 y 1 2
2
III. (p q ) [(p q ) ~ q ]
II. x A , y A /x y 12
S o n respect espectivam ente ente :
III. x A , y A , z A /x 2 y 2 2 z2
a) V F V d) V V F
b) F F F e) F F V
c) V V V
a) V F V V d) FV V V
16 . S ean las prop prop osicion es: es: *
p
*
q
*
r
(x ) (y)
(z)
2 2 2 IV. x A , y A , z A /x y 2 z
b) V V F V e) V V V V
c) V V V F
:x R , x 0 1 2 1 . S eñal eñ alar la expres ex presi ió n eq e q uival uivalent en te a la pr p ro p o sició n : (p ~ p) (~ q ~ p)
: y N / y 2 0
: z R , z2 9 2 (z 3)(z 3 )
a) q p b ) p q
In d iq ue el val va lo r d e ver ve rd ad d e: p q , p r , r q
c) (p q ) ~ p d ) ~ p (p q )
a) F F V d) V V V
b) F V V e) F F F
c) V F V
e) (q p ) ~ p
13
Aritmética
2 2 . Ind icar el valo r d e verd verd ad d e: I.
28 . S im plificar: M [(~ p q ) (~ q p )] ~ (p q )
p (p q )
II. (p q ) (p q )
a) q
III. ~ [(p q ) p ] a) V V V d) FV F
b) p e) ~ p q
d) ~ q b) V F V e) F V V
c) V V F
c) ~ p
29 . S im plificar:
~ [(~ p q ) ~ p] [q (p ~ q )]
2 3 . Ind icar el valo r d e verd verd ad d e: a) p ~ q
b) ~ p q
II. (p q ) p
c) ~ (p q )
d) ~ (p q )
III. (p q ) (p q )
e) p q
I.
~ [(p q ) p]
IV. p (p q ) a) V F V F d) V FFV
30 . D e la ver veraci acidad de: b) V V V F e) F V V V
~ [(p ~ q ) (~ r ~ s)]
c) F V F V
D edu ed u cir el val va lo r d e ver ve rd ad d e : I.
2 4 . S im p lificar car el sigui gu ien te circui cu ito :
II. ~ (~ r s) (~ p ~ q )
q A
III. p ~ [q ~ (s r)]
~p q
~p
B
~q p
a) F V V d) V FF
b) V V F e) F F F
c) F F V
3 1 . Ind icar el valo r d e verd verd ad d e: I.
a) p q d) ~ p q
~ (~ q ~ s) ~ p
b) ~ p q e) ~ p ~ q
c) p q
(~ p ~ q ) (p q )
es u n a con co n trad icció n . II. [(p q ) (q r)] (p r) es un u n a tau to lo gía.
2 5 . H allar la p ro p o sició n equ eq u ival va lent en te al circui cu ito ló gico: co : q p ~q ~p
b) p ~ q
d) ~ p q
e) p ~ q
es un a con tingen ng enci cia. a) V V V d) V FV
p q
a) p
III. [p (p q )] (q r)
c) p q
2 6 . S im p lificar la p ro p o sició n q u e cor co rrespo n d e al a l circuit cuito :
b) V V F e) F V V
c) V F F
32 . D e los siguientes esqu esquem em as: as: *
(q r) (~ p r)
*
[p (p q )] p
*
[(~ p q ) ~ r] ~ [r ~ (p ~ q )]
In d icar en el o rd en d ad o cuá l es Tau to lo gía gía (T), C o nti ntingen ng enci cia (S) o C o ntr ntrad icció n (C ):
q ~p q
p
a) T ,C ,S d ) S , T ,C
b ) T ,S ,C e) S , C ,T
c) C ,T ,S
~q 33 . D ado el siguiente ente enun ciado :
p a) p q
b) ~ p q
d) ~ p q
e) ~ p ~ q
c) p q
2 7 . S im plificar a su su m ínim a expr exp resió n: (p q ) [(p ~ q ) (p q )]
14
a) p
b) q
d) p q
e) p q
c) p q
~ [{~ ([p q ] p ) ~ (q r)} q ]
S egún su tab tabl la d e verda verdad, d, po d em os deci d ecir qu e di d icha propo prop o sició n es un a: a) Tau to lo gí gía. b ) C o nt ntra di dicció n. n. c) C ontinge ngenci ncia. d) Ley Ley lógi ógica. e) Eq E q u ival va len cia ló gica. ca.
TRILCE
3 4 . S i:
a
p ~ q ~ (p ~ q )
I.
a * b (a b ) [b ~ (a b)]
II. ~ (p q) (p q) p q
b {a [b (a b)]} ~ a
III. ~ p q ~ (~ p q)
R educi ed ucir : {q * (p ~ q) q)} }
{[(p * q) r]* (~ p * q) q)} } a) ~ p d) p
b) V e) q
a) S ó lo I d ) I y III
b ) S ó lo II e) To d as
c) F 39. Si: p q p ~ q
p # ~ q (p q )~ p
35 . S i se define:
S im p lificar ca r:
p q (p ~ q) (q ~ p)
[(p q ) (p q )# (p q )]
S im p lificar: ca r: ~ [(p ~ q)~ q ] a) p q
b) p q
d) ~ p
e) ~ q
c) ~ p q
3 6 . S e d efin e el e l o p erad erad o r : (+ ), po r la sigui gu ient en te tab tabl la:
p
q
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
b) p
d) ~ p ~ q
e) ~ p
(p * p) * p (p * ~ p) * p ~ (p * q ) p*q p * (q * q) q)
4 1 . L a pr p ro po sició n eq uival uivalent en te m ás si sim ple del d el sigui gu ient en te circui rcu ito : c) ~ q q
e) V
M 37 . S e definen los operado operado res # y po p o r las sigu ien tes ta b las:
q
V
V
V
p
#
c) ~ q
40. Si: p * q ~ p ~ q E xpres xpresar ar ~ p usando usand o úni ún icam ente ente el op erad erador or (*) a) b) c) d) e)
b ) p q
a) F d) p q
a) ~ p q
q
p
S im p lificar:(p + q ) + p
p
c) Iy II
q
p
q
p
q
F
V
V
F
E s:
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
a) p d) p
F
F
V
F
F
V
p
~q
q
~p
r
p
q
r
~p
~q
b) q e) ~ q
N t
c) r
4 2 . E l circuito ló gico: S im p lificar ca r: ~p a) q p
~q
c) p q
b) q p
d) p q
~q
p
[(p # ~ q ) p] (q ~ p)
q
A
e) q ~ p
r 38 . S e defi definen los operad operado o res " " y " " po r las sigu ien tes
s t
r
t
p
q
p
~p
B
t
r s
ta b las:
r s
s t
q
p
q
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
a) p
b) q
F
F
F
V
d) ~ q
e) p q
E s equ eq u ival va lent en te a: c) ~ p
¿C u ál o cuál cu áles d e las sigu ien tes pr p ro p o sicio n es son verdad verda d eras? eras?
15
Aritmética
4 3 . E l circui cu ito ló gico m ás sim p le eq u ival va lent en te al a l sigu ien te circui rcu ito : p q
~p ~q
s
t
A q
~p ~q
~p ~q
~r
p
S im p lificar ca r el sigu ien te circui rcuito :
t
s
B
p p
q
B
q
p
b) A c) A
s
d) A
t
x y y x x y
q y x x y
p
q
x y x y
p
B
q
q
q
p q r
q a) A
y x q
p
q
q
B a) p q
B
b) p q s e) A
B
t
s
c) r s d) s e) p q s
4 4 . S i: A [(p q ) (p r)] [(p t) (p ~ t)]
q
~q
~q
q
q
B ~p
4 6 . S abi ab iend en d o q ue la in stalació n d e cad a llave cuest cu esta S /. 20 . C uánt uá nto o se aho ah o rrarí aría sih acem o s un a in stalació n m ín im a; p ero ero equi eq uiva val lent en te a: a:
~p
E l circui cu ito sim p lificad cad o d e A B es: es:
r ~p
r
~r
~p a)
~q
~r
~q
p
p
q
p
p b)
~q
~r
a) 8 0 d ) 160
~p c)
q
r
1 sip es V erda erdader dero o (p ) 0 sip es F also
F
d)
p q
p e)
S i:
F(m ) 1 donde m (p r) s
~r
45 . S i la p rop o sición x y es es eq eq u ival va len te al circui cu ito :
q p
q ~q
16
c) 1 4 0
4 7 . P ara ara una u na p ro po sició n cual cu alq uiera, era, "p" se def d efine: ne :
r
~q
b) 1 00 e) 1 8 0
F(n) 0 donde n p (r p ) H alle:
~r
F (p r) F (r s) F (p s) F (~ p )
~q r
p q ~r
~p
~s ~t
r
p
q
r s t
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
c) 3
TRILCE
48 . L a siguiente ente funci un ción :
51 . S i m y n son n úm eros reales, es, adem ás se def d efine:
3 m 1 ; S i x es p ro p o sición verdad era era n f (x ) 3n 1 ; S ix es p ro p o sición fal falsa m
1 ; S ip es verdadera F(p) falsa 0 ; S ip es fal
1 F(y) 0
S i: F
(x )
D onde :
H allar:
x (p ~ r) (s w )
y w~ s H allar:
M
n m
S abiend o q ue: f f 21 (q ) (r) S iend o:
E F[(s ~ w ) (~ p r)] F [~ (~ r ~ p ) (t (w ~ p ))]
a) 0 c) 2 e) Tau Ta u to lo gía
m n
q : 4 3 1 0
b) 1 d ) N o se p u ed e d eterm in ar
r :1 0 (1)2 0
a)
49 . S ean las prop prop osicion es: es: p: S i N Z , ent en to n ces:
1 3
d) 1
M C D (N ; N 2 1 ) = 1 q : E l conj co nju nto nto vacío es sub sub con jun to y elem ent en to.
b) 3
c)
1 7
e) 3
5 2 . S ean r, s,t, p i, q i do d o n d e i= 1 ; 2 ;..... ; n p ro p o sicio n es tales q u e p es falsa par pa ra to to d o i= 1 ;
r: M C D (ab 0 7 ; 7) 7 s: M C M (a ; b) = a b M C D (a ;b) = 1 A d em ás sean sean las pro pro po sicio nes x e y:
2 ; .........; n s p p p .... p es verd verd ad era. era. 1 2 3 n
P(x;y) x y
r (p t) (p t) .... (p t) 1 2 n
Q (x;y) x y
q p t es falso p ara i par pa r y es ver ve rd ad era era pa ra i i i im par pa r.
1 ; si x es verda verdad d ero F(x) falso 0 ; si x es fal
H allar el valo r d e ver v erd d ad d e:
{(p 5 t) (q 2 p1)} {~ (q1 q 2 ) (p 3 t)}
C a lcul cu le: F F (P(p;q )) F (Q (q ;r)) F (P(r;s))
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
50 . Sea la función: f :{p /p es e s prop o sició n } {0 { 0 , 1 } d efin id o
por f
(p )
1 , sip es verdad ero ero falso 0 , sip es fal
a) b) c) d) e)
Verdadero. dadero. Falso. Faltan d atos. N o se se puede determ erm inar. D epend e del valor de verdad verdad de r.
5 3 . S ea "S "S " un a p ro po sició n q ue co rrespo espo nd e a la siguiente ente ta b la:
p
q
s
V
V
F
In d icar car si es ver ve rd ad la sigui gu ient en te igu igua ald ad :
V
F
V
f(p q ) 1 f(q ) f(~ p )
F
V
V
F
F
F
a) b) c) d) e)
Verdadero Falso D epende pende de q E s con trad icto rio E s un enun ciado abierto
Y "r" la p ro p o sició n m ás sim p lificad cad a, eq u ival va len te a: a:
[(p q ) ~ q ] ~ q ¿C u á l es el e l circui cu ito m á s senci sen cillo , eq u ival va len te al q u e resu lta d e co n ecta ecta r en p aralel aralelo o lo s circu ito s cor co rrespo n d ient en tes a "~ r" y a "s"?
17
Aritmética
5 7 . D iseñe eñ e el e l circuito qu e cum cu m ple co n la sigui gu ient en te tab tabl la:
p a) ~q p
b)
q
p c)
q d)
~p
q
e)
~p
~q
54 . E l equivalente d e:
x
y
z F
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
U tilice co m p u ertas ló gicas: cas:
p q
x y z F a)
a) p
b) ~ p e) p q
d) ~ q
c) q x b) y z
5 5 . D ad o el e l sigui gu ient en te circuito :
F
x c) y z
p q
F
x
s S i s es es falsa. sa. ¿C u áles áles so so n los los valo valo res d e verd verd ad d e p y q respect espe ctivam va m ent en te? a) V V d) FF
b) V F e) Faltan d ato s
F
d) y z e) x
F
5 8 . E xpr xp resar la o per pe ració n ló gica F; según egú n la tab tabl la:
c) F V
56 . L os prof profes esor ores es d e A ritm ética de la academ ia T R IL C E han diseñado un circuito integrado que recibe p y q com o entradas y s com o salida. da .
p s
x
y
z F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
q
a) p d) F
18
b) q e) p q
c) V
a) x y z xyz c) x + y + z e) xyz
b) (x + y)z y)z d) x y z x y z
TRILCE
5 9 . D ad a la siguiente ente tabl ab la:
x
y
z F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
6 0 . E lcircuit cuito ló gico p erm erm ite det d etectar elestad o d e 3 avi a vio n es A , B , C d e tal m aner an era a qu e la lám par pa ra de d e alarm arm a en la ba se se se en cien d e cua n d o lo s tres avio avio ne s están aver ave riad o s o cuand cua nd o sólo el avió n A está averi a veriad o. E xpr xp resar F en fun ció n d e las entradas ad as A , B y C : A vió n sin aver ve rías: 0 A vió n co n averí av erías: 1 Lám para para apagada: 0 L ám para para encendida: 1 A
B
C
D iseña señ ar el circui cu ito : Lám par para a de alar arm ma
x y
F
A B C
z
C ircu rcui ito L óg ógi ico
F BASE
q ue cum p le co n d icha tabl ab la u tilizand o las com pu ert ertas: IN VE RSO R, AN D , O R. a) F A (B C B C )
x a) y z
b) F = A + B C c) F = A BC BC d ) F = A (B + C )
F
e) F A B C
x F
b) y z x
F
c) y z
x d) y z x e) y
F F
E L VA VA G O D E C O Z "E n la antig antigua ua ciudad de Coz, de la que que ya no queda queda un solo recuerdo, recuerdo, gobernaba un adiv adivin ino o muy astuto astuto.. Toda Toda la población población trabajaba trabajaba salvo salvo él, grandísi g randísimo mo vago, que ejercía ejercí a de enlace enlace psicoastral. psicoastral. C ada ada día obligaba a algún desdichado desdichado ciuda ciu dada dano no a competi competi r contra él en un extraño concur concurso. so. E l aspir aspirante ante debía formular al adiv adivino ino una preg pregunta unta acerca acerca de algún suceso futuro futuro cuya respu respue esta sta de debía ser ser simple simpleme ment nte e "sí" o "no". E n caso caso de de que que el vago vago acert acerta ase la la respu respues estta, el desa desafo fortu rtuna nado do concursante se se convertía en su escl esclavo avo y era obligad oblig ado o a trabaja trabajarr para él de por vi da. da. S i el adiv adivin ino o err err ase la respuesta respuesta,, éste éste sería sería depu depue esto sto, conve convertido rtido en en asn asno o y cond conden ena ado a rebuzn rebuzna ar durant durante e mil mil años años.. Por Por desgrac desgracia ia pa para los los pob pobla lado dore ress de C oz, oz, el vago poseía una esfera de crista cri stal,l, que funcionaba mediante mediante la magi magi a capa capazz de anti anti cipar el futuro con toda ce certeza. rteza. S i usted fuera fuera el el próximo próximo rival del del ma malvado lvado va vago. go. ¿Q ué pregunt pregunta a le le ha haría?".
19
Aritmética
Claves l ave ves s
20
0 1.
a
31. 3 1.
a
0 2.
b
32. 3 2.
d
0 3.
e
33. 3 3.
b
0 4.
d
34. 3 4.
c
0 5.
a
35. 3 5.
a
0 6.
b
36. 3 6.
e
0 7.
b
37. 3 7.
a
0 8.
b
38. 3 8.
e
0 9.
b
39. 3 9.
a
1 0.
b
4 0.
b
1 1.
c
4 1.
c
1 2.
d
4 2.
c
1 3.
d
4 3.
e
1 4.
a
4 4.
a
1 5.
b
4 5.
b
1 6.
b
4 6.
d
1 7.
e
4 7.
c
1 8.
c
4 8.
c
1 9.
d
4 9.
c
20. 2 0.
e
50. 5 0.
b
21. 2 1.
c
51. 5 1.
e
22. 2 2.
c
52. 5 2.
a
23. 2 3.
e
53. 5 3.
c
24. 2 4.
d
54. 5 4.
b
25. 2 5.
d
55. 5 5.
b
26. 2 6.
c
56. 5 6.
e
27. 2 7.
d
57. 5 7.
a
28. 2 8.
d
58. 5 8.
d
29. 2 9.
c
59. 5 9.
c
30. 3 0.
e
6 0.
a
