UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE CIENCIAS Departamento de Matemática
Módulo de Lógica Proposiclenal (A)
(B)
(C)
(E)
(F)
(G)
pq
pvq
p¿q
pAq
paq
p/q
p—q
p <-> q
VV
V
F
F
V
F
V
V
VF
V
F
V
F
V
F
F
FV
V
F
V
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V
V
F
FF
F
V
F
F
V
V
V
K_* Oidor: Fidel Vera Obeso Nuevo Chimbote, Perú 2013
Lógica Preposicional_Fidel Vera Obeso PRÓl OGO
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1
El estudio de la lógica nos beneficia en lo siguiente: desarrollar habilidades para expresar ideas de manera clara y concisa, incrementar la capacidad de definir los términos que utilizamos y aumentar la capacidad de elaborar argumentos en forma rigurosa y de analizarlos críticamente. Pero quizás el mayor beneficio es el reconocimiento de que la razón se puede aplicar en todos los aspectos de las relaciones humanas. Las instituciones democráticas requieren que los ciudadanos piensen por sí mismos, que discutan libremente los problemas y que tomen decisiones con base en la deliberación y la evaluación de evidencias. A través del estudio de la lógica podemos adquirir no solamente práctica en el arte de razonar sino también respeto por la razón, reforzando así y asegurando los valores de nuestra sociedad. En este módulo se abordan los siguientes temas: la lógica como ciencia; definición, clases de proposiciones; operadores o conectivos lógicos; tautología, contradicción y contingencia; equivalencia e implicación y las principales leyes lógicas o tautologías notables. Los objetivos específicos se logran siempre y cuando los grupos de ejercicios se resuelvan con una eficacia del 80%, en caso contrario deberán volver a estudiar los cuadros correspondientes y resolver nuevamente los ejercicios incorrectos o no resueltos. Resuelva los problemas propuestos del modo siguiente: primero en forma individual, luego en forma grupal y por último preséntelos en un grupo de un máximo de cinco (05) integrantes.
El Autor 3
Lógica Preposicional INDICE Fidel Vera Obeso PROLOGO OBJETIVOS PRE-TEST CONTENIDO 1.1. LA LÓGICA COMO CIENCIA CONCEPTUALIZACIÓN----------------------------------------------------------------------1 IMPORTANCIA-------------------------------------------------------------------------------3 CUESTIONARIO-----------------------------------------------------------------------------4 1.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES-------------------------------------------------5 EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------11 1.3. OPERADORES O CONECTORES LÓGICOS NOTACIÓN, VALORES DE VERDAD Y LECTURA ---------------------------------------13 EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------24 1.4. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA----------------------------------27 EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------30 1.5. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN---------------------------------------------------------31 EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------35 1.6. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS NOTABLES---------------------------------------------------------------37 EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------45 POST - TEST----------------------------------------------------------------------------------------BIBLIOGRAFÍA---------------------------------------------------------------------------------------48
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Lógica Proposicional_Fidel Vera Obeso - OBJETIVOS OBJETIVO TERMINAL: Identificar, formalizar y simplificar proposiciones. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1) Conceptualizar la lógica como ciencia y reconocer su importancia en el avance científico. 2) Definir e identificar proposiciones. 3) Formalizar proposiciones usando variables proposicionales y los conectivos lógicos, y determinar su valor de verdad. 4) Determinar cuando una proposición compuesta es una tautología, contradicción o contingencia. 5) Determinar cuando dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes y cuando una implica a la otra. 6) Enunciar, demostrar y aplicar las principales leyes lógicas o tautologías notables. 5
Lógica Proposicional_Fidel Vera Obeso
POST — TEST Instrucción: Resuelva el Post-Test de acuerdo a los requerimientos dados.
01) De las siguientes expresiones: (01) El ozono filtra los rayos ultravioletas (02) C(n,k) =-n! , k
c) 1 y 5 d) Sólo 1
e) 1 y 2
02) Si la proposición: ~{[(p A q) — r ] — (r v s)} es verdadera Hallar el valor de verdad de: I. (p A q)
(r A s) II. ~ [(p A s) -o- r] — (w A p) III. [q A (r A w)] A [p — (p—q)] Son ciertas: a) VVV b) FVV c) FFV d) FFF e) VFV 03) Determinar si la siguiente proposición es Tautológico, Contradictorio o Contingente: • Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado hay jueces, y hay testigos, si en el juzgado hay jueces. 04) Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes: P = p o ( ~r A q) Q = (~ p o q) — r R = q o (p — ~r) 6
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 05) Se define el conector @ como: p @ q = {[ (p A q) A ~q ] v ~q}v Simplificar el esquema molecular: q
@ (t — w)] @ ~q } @ ~p ~q ~p d) p e) p A NOMBRE : FECHA : TIEMPO : 1 HORA - 30 MINUTOS 7 {[
~
(p A q)
a) q b)
c)
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAI
X i
OBJETIVO N° 01 \ Conceptualizar la lógica como ] \ ciencia reconocer su 1 importancia en el avance
3 N° 01
y
Analice la siguiente información sobre
1.1. LA LÓGICA COMO CIENCIA: CONCEPTUALIZACIÓN: Considerando que la lógica estudia tanto la estructura como el contenido del pensamiento, conceptualmente afirmamos que "La Lógica (en genera) es la ciencia que estudia las leyes dialécticas y lógico-formales, los métodos, los procedimientos, las propiedades y las relaciones; sobre la base de las teorías del pensamiento". ESQUEMÁTICAMENTE:
I
Principios y/o leyes Identidad No contradicción. Tercio excluido Razón suficiente. Unidad y lucha de contrarios. Tránsito de cantidad en calidad. Negación de la negación
LÓGICA (en general)
T Métodos Inducción Deducción Análisis Síntesis
Formas Concepto Juicio Raciocinio Base
Procedimientos Definición Clasificación División Explicación Argumentación Refutación Demostración Exposición Investigación
Propiedades
T Espacio Tiempo Movimiento Cantidad Cualidad
Relaciones Causa Efecto Necesidad Casualidad
Posibilidad Realidad Singular, particular, universal.
Universidad Nacional del Santa 9
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso LA LÓGICA Y LA CIENCIA: Cuando el gran físico Albert Einstein inició sus investigaciones sobre el micromundo, no lo hizo sobre la base de nada, sino que tuvo que estudiar y someter a crítica las leyes y teorías de la física clásica del macromundo. Es a partir de estas premisas que fue estableciendo deducciones, inducciones y analogías que finalmente significan la creación de una nueva teoría: la teoría de la relatividad. Sin embargo no fue suficiente que Einstein conociese para sí, intersubjetivamente, sino que era necesario que el mundo, la humanidad también lo conociese, de allí que tuviese el autor que publicar, hacer público sus investigaciones. Este ejemplo nos muestra que la ciencia, puede ser entendida como proceso (investigación científica) y también como producto (publicación o exposición de los resultados de la investigación científica). En ambos casos, la ciencia necesita de la lógica, sin ésta no puede desenvolverse. a) Como proceso la ciencia necesita de la lógica en tanto leyes, procedimientos, métodos, propiedades y relaciones sobre la base de las formas del pensamiento, para que el científico en confrontación con la realidad, alcance la verdad objetiva. Aquí el peso mayor recae en la lógica del contenido (condición suficiente para la ciencia). b) Como producto la ciencia en tanto teoría a exponerse, publicarse, necesita de la lógica para organizarse, sistematizarse, estructurarse, formalizarse a fin de poder demostrar su validez o corrección lógico-formal: Aquí el peso mayor recae en la lógica formal (condición necesaria para la ciencia). Universidad Nacional del Santa 10
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso IMPORTANCIA DE LA LÓGICA PARA EL AVANCE CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO: • Permite en base al conocimiento ya obtenido y validado, deducir nuevos conocimientos. • En base a razonamientos inductivos (de lo particular a lo general), podemos plantear hipótesis o predicciones científicas; sin experimentación. • Permite la formalización del lenguaje científico para la posterior demostración de validez, tornándose preciso, exacto, convencional y universal. • En tanto métodos lógicos son el puente entre los métodos de investigación científica y los métodos de exposición científica. • Es la base y hasta el momento la fundamentación de las matemáticas (consideradas ciencias exactas), según la cual se puede deducir de un conjunto de axiomas un conjunto de teoremas. También se usa la inducción y analogía matemática. • El desarrollo y el progreso de la lógica implican el desarrollo y el progreso de las ciencias y la tecnología, por ejemplo los circuitos lógicos son el fundamento de los circuitos eléctricos y de todo el sistema de computación. Ahora, con las computadoras se pueden hacer cálculos y predicciones sumamente complejos. • Por sus aplicaciones a la matemática, a la lingüística, al análisis del lenguaje natural, al análisis de los razonamientos filosóficos, las aplicaciones al método científico, y en general, no hay campo de la ciencia ni de la tecnología contemporánea donde la lógica no sea utilizada. En este sentido, la lógica es la columna vertebral de todos los acontecimientos en cuanto lo organiza coherentemente. • En la vida diaria hacemos uso de la lógica constantemente, incluso para cruzar una pista, porque previamente razonamos: "si viene un carro, no debo cruzar la pista. Viene un carro. Luego, no debo cruzar la pista", o cuando un campesino ve una densa nube en el cielo infiere que va a llover, y así podemos mencionar situaciones donde se usa la lógica indefinidamente. Universidad Nacional del Santa 11
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelve a continuación el siguiente CUESTIONARIO SOBRE LA LÓGICA COMO CIENCIA: 1) ¿Cómo se conceptualiza la lógica como ciencia? Haga un diagrama de dicha conceptualización. 2) ¿Cómo se relaciona la lógica y la ciencia? Cite algunos ejemplos prácticos. 3) Con ejemplos explique la importancia de la lógica en la vida diaria. 4) ¿Qué aplicaciones de la lógica podemos citar? Cite algunos ejemplos prácticos. 5) ¿Por qué es necesaria la lógica para las ciencias? Universidad Nacional del Santa 12
Lógica Proposicional_Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 01
/ /
V
OBJETIVO N° 02 >^ Definir e identificar \ proposiciones. /
Estudie la siguiente información sobre 1.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES: EL CONCEPTO: Es una de las formas del reflejo del mundo en el pensar, mediante el cual se entra en conocimiento de la esencia de los fenómenos y procesos. En otras palabras, es el pensamiento. En otras palabras, es el pensamiento elemental, la unidad lógica básica que presenta al objeto o a una clase de objetos refiriéndose a sus caracteres esenciales o indicando relación entre ellos. Ejemplos: (designa un objeto real físico) (designa un objeto real o psíquico) (designa objeto abstracto). (designa valor) (indican relación entre los anteriores) Finalmente, un concepto no afirma ni niega nada, simplemente indica algo ya sea objeto o entidad. Carpeta Alegría Número Perseverancia Todos, algunos EL TÉRMINO: Es la expresión, manifestación, explicitación lingüística del concepto. Es decir, es la palabra o palabras con la cual se expresa un conjunto. Así: • El concepto estricto "cerebro" se expresa con un solo término o palabra. • El concepto estricto " Universidad Nacional del Santa" se expresa con varios términos o palabras. Universidad Nacional del Santa 13
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso EL JUICIO: Es una relación o conjunto de conceptos que se caracterizan por construir una afirmación o aseveración de algo. Es una forma, una estructura del pensamiento que objetivamente es verdadero o falso. LA ORACIÓN: Convencionalmente, es una palabra o conjunto de palabras con sentido o significado propio. CLASIFICACIÓN DE LAS ORACIONES: 1) Declarativas o Aseverativas: a) Informativas (Informan) Ejm.: 2 + 3 = 5 b) Descriptivas (Describen) Ejm.: La tierra gira alrededor del sol. c) Explicativas (Explican) Ejm.: El área de un cuadrado de 4 cm de lado es 16mporque para hallar el área de un cuadrado se multiplica lado por lado. 2) Expresivas o no Aseverativas: a) Exclamativas (Sentimientos, interjecciones) Ejm.: ¡Viva el Perú! b) Imperativas (Órdenes) Ejm.: Silencio c) Desiderativas (Deseos, súplicas) Ejm.: Quiero viajar al Cuzco d) Interrogativas (Preguntas) Ejm.: ¿Qué hora es? LA PROPOSICIÓN: Es la expresión lingüística del juicio, de cuyo contenido o significado se puede saber con certeza si es verdadero o falso empíricamente y que generalmente se expresa como oración declarativa. A nivel de pensamiento se llama juicio y a nivel de lenguaje se llama proposición, por eso se dice que las proposiciones son la envoltura material de los juicios. Ejm.: Todo número par es divisible por dos. Universidad Nacional del Santa 14
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso En síntesis, el proceso lógico puede esquematizarse del modo siguiente: PROPOSICIÓN
A modo de resumen se da el siguiente cuadro para que pueda identificar proposiciones. Son proposiciones
No son proposiciones
• Las oraciones aseverativas. • Las leyes científicas. • Las fórmulas matemáticas. • Las fórmulas y/o esquemas lógicos. • Los enunciados cerrados o definidos.
• Los hechos o personajes literarios. • Los proverbios, modismos y refranes. • Creencias religiosas, supersticiones y mitos. • Las interrogantes. • Las órdenes. • Las interjecciones. • Los deseos, dudas y súplicas. • Los abiertos o indefinidos.
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Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso EJEMPLO 1 De las siguientes oraciones, identificar las que son proposiciones. 01) Cuando x > 3 entonces xq 2
>9 02) Peter Drucker es autor de la obra "El Líder del Futuro". 03) La traducción en inglés de "yo te amo" es "I love you". 04) ¡Viva el Perú! 05) Dadme la vida o dadme la muerte. 06) ¡Chimbote! Alma mater de lucha y de inquietud. 07) ¿A qué hora termina el examen? 08) Todo triángulo es un polígono 09) Juega un papel preponderante en el desarrollo y conservación de los recursos. 10) El ADN es la molécula maestra de la célula. 11) El área del círculo es... 12) Es un método didáctico activo. 13) Del dicho al hecho hay mucho trecho. 14) Hoy tendré un mal día, se me cruzó un gato negro. 15) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Solución: La característica fundamental de una proposición es verdadera o falsa empíricamente. De acuerdo a esto: Son proposiciones: 1, 2, 3, 8 y 10 (oraciones aseverativas) 15 (fórmula matemática) No son proposiciones: 5 y 6 (figuras literarias) 4 (interjección) Universidad Nacional del Santa 16 2
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 13 14 (refrán) (superstición) CLASES DE PROPOSICIONES: Simples, atómicas o elementales: Aquellas que carecen de conectores lógicos. Compuestas, moleculares o coligativas: Aquellas que tienen uno o más conectores lógicos. EJEMPLO 2 De las siguientes proposiciones, identificar las proposiciones simples y las proposiciones compuestas. 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10) 11) 12) 13) No existe la capa de ozono. El SIDA y la TBC son enfermedades. Los ofidios tienen extremidades o bien vértebras. Los medios de comunicación son necesarios en la pedagogía. iCero es un número par o impar. La relación es una función y representa una circunferencia. Si es un número irracional entonces es un número real. si y sólo si x = h Manipular la computadora y la impresora son ejemplos de aprendizaje motor. "Peruanicemos al Perú" es un tema crítico-científico-literario de José María Arguedas. Las palabras: mármol, carácter, baúl, tórax llevan tilde por ser graves prosódicas. Los metaloides son combinables con oxígeno para formar Universidad Nacional del Santa 17
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 14) En todo proceso redox existen uno o más elementos que se oxidan. 15) X + 6 = 4 si X = -2 Solución: 4 y 13 son proposiciones simples pues carecen de conectores lógicos. 1 y 5 tienen la negación como conectivo. El símbolo matemático V " diferente a" es equivalente a "no es igual a". 2, 7, 10, 11 y 12 tienen la conjunción como conectivo. 3, 6 y 14 tienen la disyunción como conectivo. 8 y 15 tiene como conectivo el condicional. 9 tiene el bicondicional como conectivo. Universidad Nacional del Santa 18
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelve a continuación la siguiente EJERCICIOS SOBRE PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES: 01) De las siguientes expresiones: (1) Todo lo agradable es bueno (2) ¡Viva el Perú carajo! (3) Hay mujeres en la tierra (4) Los alumnos de historia hicieron la tarea (5) Entrégame mi libro de lógica. No son proposiciones: a) 2, 3 y 5 b) 2 y 5 c) 2, 4 y 5 d) N.A. e) T.A. 02) De las siguientes expresiones: (1) Solo sé que nada sé (2) El calor dilata los cuerpos (3) x + y = y + x (4) Vargas Llosa es el mejor escritor del Perú (5) Café es una palabra aguda. No son proposiciones: a) 1, 3 y 4 b) 1, 3 y 5 c) 3, 4 y 5 d) 1 y 3 e) 1, 4 y 5 03) De las siguientes expresiones: (1) Los cuerpos caen por acción de la gravedad. (2) La materia es energía concentrada. Universidad Nacional del Santa 19
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso (3) El valor de n = 3.1416 (4) H2O es la fórmula del agua (5) The sun is the center of our planetary system Son proposiciones: a) 1, 2, 4 y 5 b) 1, 2 , 3 y 4 c) 1,2 y 5 d) 1,2 y 3 e) Todas. 04) De las siguientes expresiones: (1) El agua no se solidifica a 0° (1) tg x = 1 cuando x=n/4 2
-i
(2) 2 2 1 = % no obstante 1/2 (3) x2 + y2 = 1; es la ecuación de una circunferencia (4) 4 + 3 * -3 -4 Son proposiciones compuestas: a) 2, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1,2 y 3 d) 1,2, 3 y 5 e) 1, 3 y 5 05) De las siguientes expresiones: (01) El ozono filtra los rayos ultravioletas (02) k\(n- k)\ (03) (04) El aire contiene oxígeno e hidrógeno (05) The earth rotates around the sun No son proposiciones compuestas: a) 1, 2, 3 y 5 b) 1, 2 y 3 c) 1 y 5 d) Sólo 1 e) 1 y 2 Universidad Nacional del Santa 20
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 01 OBJETIVO N° 03 Formalizar proposiciones usando variables proposicionales y los conectivos lógicos, y determinar su valor de verdad. Analice la siguiente información sobre
Operadores o Conectivos Lógicos: La Negación i_ Símbolo: ~ Esquema lógico Lectura
P "no p", "nunca p",
"jamás p", "tampoco p"
"es absurdo que p"
"es inadmisible que p"
"es falso que p"
"no acaece que p"
"es inconcebible que p"
"no es innegable que p"
"es imposible que p"
"carece de todo sentido que p"
"no ocurre que p"
"de ninguna forma se da p"
"no es verdad que p"
"es erróneo que p"
"es mentira que p"
"es incierto que p" "nadie que sea p" etc...
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Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso La Disyunción Débil o Inclusiva
\
Símbolo:
v, +
Esquema lógico
p q, p + q
Lectura
"p ó q" "a menos que p, q" "p ó también q" "p ó de lo contrario q"
"p salvo que q" "p a menos que q" "p excepto que q" "p ó en tal sentido q" etc...
La Disyunción Débil o Exclusiva Símbolo:
v.
Esquema lógico
pvq, pAq, pyfq, p^q, p>--
Lectura
"o p ó q" "p no equivale a q" "p no se define como q" "ya sea p ya sea q"
A,
-- <
jzr, > -
"o bien p ó bien q" "p es diferente a q" "ya bien p ya bien q" "p se contrapone a q" "p excluye a q" "p ó solamente q" "p ó únicamente q"
El Operador de Nicond Símbolo:
/
Esquema lógico
P/q, ~p ~q, ~ (p
Lectura
"no p ó no q" "es falso que no p y no q"
La Conjunción Símbolo:
A,
Esquema lógico
p
., &
A
q, p.q , p&q
A
q).
Lectura
1 Universidad Nacional del Santa 23
"p y q" "p también q" "p pero q" "p aunque q" "p sin "p del mismo modo q" embargo q" "p incluso q" "p "p de la misma forma q" así como q" etc... "p tal como q" "p al igual que q" "p no obstante q" "p es compatible con q" "no sólo p también q" "siempre ambos p con q" "tanto p como, cuanto q"
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso El operador de Sheffer i Símbolo: Esquema lógico p i q, ~pA~q, ~(pvq) Lectura
"ni p ni q" "es falso que p ó q"
El Condicional Símbolo: Esquema lógico
p — q, p 3 q
Lectura
"si p entonces q" "cuando p así pues q"
"ya que p bien se ve que q" "siempre que p por consiguiente q"
"con tal de que p es obvio que q"
"como quien que p por lo cual q" "en el caso de que p en tal sentido
"en virtud de que p es
q"
evidente q"
"toda vez que p en consecuencia q"
"dado p por eso q"
"en la medida que p de allí q"
"en cuanto p por tanto q"
"en el caso de p en este caso q"
"de p deviene q"
"p impone q"
"de p deducimos q" "p sólo si q"
"p es condición suficiente para q" etc...
En la condicional: p—
t el s El Antecedente La Hipótesis La causa La Premisa El consecuente La tesis El efecto La Conclusión
Después de las siguientes palabras va el antecedente de una condicional (INDICADORES DE PREMISAS): puesto que dado que a causa de porque pues se sigue de como muestra ya que si como es indicado por la razón es que por las siguientes razones se puede inferir de se puede derivar de se puede deducir de en vista de que cuando cada vez que, siempre que, a condición de que, es condición necesaria para, es insuficiente para. q
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Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso En este caso el esquema lógico es: Consecuente Conclusión Palabra Indicador de premisa Premisa Antecedente r Este conectivo se llama REPLICADOR. El Bicondicional Símbolo: <-», = Esquema lógico
p <-» q, p = q
Lectura
"p sí y sólo si q" "p se define "p es equivalente, equivale a q" "p como q" "p es lo mismo que q" siempre que y sólo cuando q" "p cada "p es idéntico a q" etc.... vez que y sólo si q" "p es equipolente a q" "p es de la forma q" "p es condición necesaria y suficiente para q".
EJEMPLO 1 Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones.
1) Estudias Lógica o Biología, pero no ambas a la vez. (p v q) A ~ (p A q) (p v q) A ~ (p A q) = (p v q) A (p i q) 2) O bien los animales son vertebrados o bien invertebrados, pero (p A ~p) A no es el caso que sean invertebrados a la vez vertebrados. ~ (~p A p) (p A ~p) A ~ (~p A p) 3) Un enunciado abierto no es una proposición a menos que ~p v se le asignen valores a la variable. q ~p v q
s Universidad Nacional del Santa 26
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 4) Una condición necesaria para que Rocío no sea premiada con un libro <- ~p es que estudie matemáticas y no apruebe el examen. (q A ~r) ~p — ( q A ~r) 5) Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado hay jueces, y hay testigos si en el juzgado hay jueces. Solución: Sean: p : hora laborable q : hay jueces en el juzgado r : hay testigos en el juzgado. • Simbolizando sólo las proposiciones simples: Como p, se concluye que q y r, dado que, si p, q, y r si q. • Simbolizando los operadores condicionales: [p — (q A r) dado que (p — q) A (r si q)] • Simbolizando los replicadores: [(p — q) A (q—r)] — [p — (qAr)] Universidad Nacional del Santa 27
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso VALORES VERITATIVOS DE LOS OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS p ~p V
F
F
V (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
pq
pvq
p^q
pAq
paq
p/q
pq
pq
VV
V
F
F
V
F
V
V
VF
V
F
V
F
V
F
F
FV
V
F
V
F
V
V
F
FF
F
V
F
F
V
V
V
• (A) y (B) i son de valores de verdad opuestos
(D) y (E) r • Sentido convencional de la verdad formal. (A) es V -o al menos p es 1 ó q es 0 (C) es V o p y q tienen valores de verdad desiguales (E) es V - cuando menos p es 0 ó q es 0 (G) es V o p y q tienen valores de verdad iguales etc. • Sentido convencional de la falsedad formal: (D) es F -o al menos p es 0 ó q es 0 (F) es F -o p es 1 y q es 0 (G) es F o p y q tienen valores de verdad desiguales (C) es F o p y q tienen valores de verdad iguales. etc. Universidad Nacional del Santa 28
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso Se puede construir un mapa conceptual de los valores de verdad de un operador, por ejemplo: Mapa Conceptual de los Valores de Verdad de p Aq Si p es
entonces
G) p A q es entonces GV Si p es
GK
p A q es entonces V p A q es entonces
G) p A q es EJEMPLO 2 Si la proposición q — r es falsa, el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. r A (p v r) II. ~ (q A r) III. (r A ~ q) — p IV. p A (q — r) Son respectivamente: (a) FVFV d) FFFV
(b) VVFV e) FVVF
c) VFVF
Solución: Sabemos que: q — r = F V — F q =V
r
=F
Luego: I. r A (p v r) = F FA V
Universidad Nacional del Santa 30
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso II. ~ (q A r) = V ~ F
©
III. ( r A ~q) — p = V ( F A F) — p F — p cualquiera sea el valor de verdad de p
©
IV. p A (q — r) = F P A F © cualquiera sea el valor de verdad de p Respuesta (e) EJEMPLO 3 Dadas las proposiciones: q : " 7 es un número racional" p y r cualquier proposición además se sabe que: ~[ (r v q) — (r — p) ] es verdadera Hallar el valor de verdad de: I. r — (~ p v ~ q) II. [ ( r o (p A q)] o (q A ~p) III. ( r v ~p) A (q v p) (a) VVV (b) FFF c) VFV d) FVV e) VVF Solución: Del dato, q = F, además (r v q) — ( r — p) = F V — F (i) r — p = F (ii) r v q = V V— FVv F p = F .'. q = F r = V Universidad Nacional del Santa 31
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso I. r — (~p v ~q) = V V — (V v V) V— V
©
II. [ (r o (p A q)] o (q A ~p) = V (V o F) o (F A V) Fo F
©
III. ( r v ~p) A (q v p) = F (V v V) A (F v F) V A F
© Respuesta (c) EJEMPLO 4 Si se sabe que: {[(r v s) — t] A (p v q) } A {~{[(r A t) A s] —(~qA~p)}} es verdadera, hallar el valor de verdad de: I. {[(p v q) — r ] A ( t — p )} A r II. [ (r — s) v ~t ] — ~(p v q) III. ~ (p v q) A ( t — ~ A) (a) VVV (b) VFF c) VFV d) FVV e) VVF Solución: Para que toda la proposición sea verdadera, cada una de las expresiones entre llaves debe ser verdadera, o sea: (i) {[( r v s) — t ] A (p v q)} = V (ii) {-{[( r A t) A p] — (~q A ~p)}} = V
1 V Universidad Nacional del Santa 32
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso De (ii) [(r A t) A s] — (~q A ~p) = F C_'_j
C_ J
-Y- -Y-
V— F V AV s=V (~q A ~p) = F — ~ (q v p) = F : q v p= V De (i) {[( r v s) — t, ] A (pv^q)}= V A V F s
• ( r v s) — t = F VF t=F r=V Luego, evaluando los casos pedidos: I. {[(p v q) — r ] A ( t — p )} A r = V {[(V — V ] A ( F — p )} A V {V A V} A VFA V II. [ (r — s) v ~t ] — ~ (p v q) = F [ (V — V) v V ] — ~ (V) [ (V v V ] — F V — F © Universidad Nacional del Santa 33
Lógica Proposicional_Fidel Vera Obeso IV. ~ (p v q) A ( t — ~ s) = F F A ( F — F) F AV© Respuesta (b) Universidad Nacional del Santa 34
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelve a continuación los siguientes EJERCICIOS SOBRE FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES: A. Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones: 1. No es cierto que 19 sea divisible por 9 ó por 19. 2. Einstein dice la verdad pues la teoría de la relatividad no es exacta ni las leyes de la mecánica son absolutas. 3. En primavera soplan vientos fuertes o hace mucho frío, pero no garúa, sin embargo es una bonita estación. 4. Las leyes de la mecánica son exactas, si Newton dice la verdad, y sólo sí, el movimiento no es relativo. 5. 24 es un número par, o múltiplo de 6 y de 2, pero no es divisible entre 10 ni entre 14. 6. Carlos es profesional sí y sólo sí, es graduado universitario. Ocurre que Carlos es matemático. Por lo tanto, si Carlos es matemático entonces es graduado universitario. B. 7 La fórmula q — p se traduce como: 1) Hago deporte porque estoy sano. 2) Es necesario llorar para estar tranquilo. 3) Hago mis tareas al tener vacaciones. 4) Sólo si bailo, me divierto. Son correctas: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) T.A. e) N.A. Universidad Nacional del Santa 35
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 8 La fórmula [( p A q ) A r ] o s, se traduce como: 1) No sólo la distancia es una magnitud del movimiento sino que el tiempo también lo es igual que la velocidad y la aceleración siempre y cuando se defina como cambio de un lugar a otro. 2) La distancia es una magnitud del movimiento del mismo modo el tiempo y la velocidad por lo cual y según lo cual el movimiento es el cambio de ubicación. 3) El tiempo, la velocidad y la aceleración son magnitudes del movimiento, si el movimiento es cambio de espacio. 4) El avión aunque también el barco al igual que el bus son medios de transporte cada vez que y sólo sí trasladan pasajeros de un lugar a otro. 5) El perro, tanto como el gato lo mismo que el asno son animales útiles para el hombre es equivalente a decir que son domésticos. Son correctas: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 2, 4 y 5 e) 1, 3 y 5 9. La fórmula q — p, se traduce como: 1) Si eres buen estudiante lógicamente serás buen profesional. 2) Ingresarás a la universidad porque eres buen estudiante. 3) De ser buen estudiante obviamente ingresarás a la universidad. 4) Ingresarás a la universidad si eres buen estudiante. 5) Crecen las plantas siempre que haya humedad en la tierra. Son correctas: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 2, 4 y 5 e) 1, 3 y 5 Universidad Nacional del Santa 36
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso EJERCICIOS SOBRE VALORES VERITATIVOS: C. 10. Si la proposición: (p A ~q) — (p — r) es falsa, Se afirma que: I. p v q es falsa II. r — q es verdadera III. ~q — p es verdadera Son ciertas: a) Sólo I b) sólo II c) Sólo I y III d) Sólo II y III 11. Si la proposición: (p A q) — (q — r) es falsa, luego: I. (p o q ) no es falsa II. (q v s) no es falsa III. (q — p) es verdad Son ciertas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 12. Si la proposición: ~{[(p A q) — r ] — (r v s)} es verdadera Hallar el valor de verdad de: I. (p A q) o (r A s) II. ~ [(p A s) o r] — (w A p) III. [q A (r A w)] A [p — (s—q)] Son ciertas: a) VVV b) FVV c) FFV d) FFF e) VFV Universidad Nacional del Santa 37
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 01 OBJETIVO N° 04 una es Determinar cuándo proposición compuesta una tautología, contradicción o contingencia. Analice la siguiente información sobre 1.4. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA: Una proposición molecular es una tautología si, como resultado de su evaluación, los valores de verdad del operador de mayor jerarquía son todos verdaderos. Si estos valores son todos falsos es una contradicción. Si no es una tautología ni una contradicción es una contingencia. Para evaluar una proposición compuesta es necesario construir su tabla de valores de verdad respetando la jerarquía de los operadores de menor a mayor. El total de valores de verdad por cada variable es 2n, donde "n" es el número de variables proposicionales, combinándolos mitad V y mitad F por cada columna, respectivamente. EJEMPLO 1 Determinar, previa evaluación; si cada uno de los siguientes esquemas moleculares es una tautología, contradicción o contingencia. 1. [(p A ~q) A ~ ( r A q ) ] o ~ [ ( p A ~q) — (q A r ) ] 2. [ (~p A q) — ~r ] o [ r A ~ (p v ~q ) ] 3. [ p v (q — ~r ) ] A [ (~p v r ) o ~q ] Universidad Nacional del Santa 38
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso Solución: 1. n° de variables preposicionales: 3 =8 3 Total de valores por cada variable: 2
1
[(p A ~q)
~(r
A
A
q )]o
~ [ ( p A ~q) — (q
r ) ]) ]
A
r
1
2
3
4
7
8
2 A4 2—3
~6
5o7
pA 1 r
1 1 1 0
1
1
0
0
1
0
1
1 1 0 0
1
0
1
1
0
1
1
1 0 1 1
0
0
1
0
1
0
1
1 0 0 1
0
0
1
0
1
0
1
0 1 1 0
0
1
0
0
1
0
1
0 1 0 0
0
0
1
0
1
0
1
0 0 1 1
1
0
1
1
0
1
1
0 0 0 1
1
0
1
1
0
1
1
2.
r
r3
6
p q r ~q
A
q
5
El esquema molecular es una TAUTOLOGIA
[ (~p
1 p
q
r
2
A
q)
3
p 1 Aq
— ~r ]
4
r 2—3
Operador principal de mayor jerarquía
o
[r
~
q
/
(p v ~q ) ]
A
5
o
6
7
8
pv5
~6
r
9 A
7 4o8
1 1 1 0
0
1
1
0
1
0
0
0
1 1 0 0
0
1
1
0
1
0
0
0
1 0 1 0
0
1
1
1
1
0
0
0
1 0 0 0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0 1 1 1
1
0
0
0
0
1
1
0
0 1 0 1
1
1
1
0
0
1
0
0
0 0 1 1
0
1
1
1
1
0
0
0
0 0 0 1
0
1
1
1
1
0
0
0
El esquema molecular es una CONTRADICCIÓN
Universidad Nacional del Santa 40
Operador principal o de mayor jerarquía
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 3. [ p v (q — ~r ) ] A [ (~p v r ) o ~q ] 1
2
3
4
5
6
7
8
p q r ~r
q—1
pv2
~p
4vr
~q
5o6
3
1 1 1 0
0
1
0
1
0
0
0
1 1 0 1
1
1
0
0
0
1
1
1 0 1 0
1
1
0
1
1
1
1
1 0 0 1
1
1
0
0
1
0
0
0 1 1 0
0
0
1
1
0
0
0
0 1 0 1
1
1
1
1
0
0
0
0 0 1 0
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 1
1
1
1
1
1
1
1
El esquema molecular Operador principal o es una CONTINGENCIA de mayor jerarquía Universidad Nacional del Santa 41
A
7
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelve a continuación los siguientes EJERCICIOS SOBRE EVALUACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS: Determinar, previa evaluación, si cada uno de los siguientes esquemas moleculares es una tautología, contradicción o contingencia. 1. ~ { (p A q) v [ p A (~p v q) ] } o (p — ~q) 2. {[(~p ) i q] v (q i p) } o { [ (~p ) i ( ~ q) ] v ( p i q) } 3. {[(p i q) i ( q / p) ] o (p A q) } o [ ~ (p A q) o (p/ q)] 4. [(- p — q) A ~ r ] v {[( q A r) — ~ p] A p } 5. ~[~ (p v q) o (q v p)] — [~ q — (p v r) ] 6. ~{[(p v ~q) A ~ (r A p)] o ~ [ (p v ~q) — (q A r) ] } 7. ~ | ~ { ~ [ ~ ( ~ p A q) o ~r] — ~ (~r v ~q)} o [p A ~ ( r o q) ] | 8. Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado hay jueces, y hay testigos, si en el juzgado hay jueces. Universidad Nacional del Santa 42
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD
) N° 01
/ OBJETIVO N° 05 ^\ Determinar cuándo dos proposiciones compuestas l son lógicamente esquiva-lentes y cuando una implica a la otra.
Analice la siguiente información sobre
1.5. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN: Dos esquemas moleculares A y B son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad en su operador principal, o si unidos por el bicondicional el resultado es una tautología. Es decir, A = B si A o B es una tautología. Un esquema molecular A implica a otro B si unidos por el condicional, en ese orden, el resultado es una tautología. Es decir, A implica a B si A — B es una Tautología; B implica a A si B — A es una Tautología EJEMPLO 1 Dados los siguientes esquemas moleculares: A = (p — q) v ( r A p) B = ~p
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso A p q r (p—q)
v
(rA p)
B
C
~[~ p (~ r q )]
~ q — (~ r — ~ p)
1 1 1 1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1 1 0 1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1 0 1 0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1 0 0 0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0 1 1 1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0 1 0 1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0 0 1 1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0 0 0 1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
A y B tienen los mismos valores de verdad en su operador de mayor jerarquía, por lo tanto: A=C EJEMPLO 2 Dados los siguientes esquemas moleculares: A = p >4 -q B = - (p v r) C=q—p D = - (q — -r) Determinar: 1) Si A implica a C 2) Si B es implicado por D 3) Si C implica a la disyunción de A, B y D 4) Si A entonces B está implicado por la negación de C. Universidad Nacional del Santa 44
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso Solución: 1) A implica a C si A —» C es una tautología verificando:
1
A
C
A- C
p
q
~ (p o ~ q)
q-p
[~ (po ~ q)]— (q—p)
1
1
1
00
1
1
1
0
0
11
1
1
0
1
1
00
0
1
0
0
1
01
1
1
Por lo tanto, A implica a C es una tautología 2) B es implicado por D si D — B es una tautología verificando:
D
B
D— B
p
q
r
~ (q — ~ r)
~ (P
1
1
1
1
01
0
1
1
0
0
11
01
1
1
0
1
0
10
01
1
1
0
0
0
11
01
1
0
1
1
1
01
0
0
1
0
0
11
10
1
0
0
1
0
10
01
1
0
0
0
0
11
10
1
00
00
v
r)
[~(q—~r)]— [~(pvr)]
Por lo tanto, implicado por D
Universidad Nacional del Santa 46
no es una tautología B no es es una contingencia
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 3) C implica a la disyunción de A, B y D si C — (AvBvD) es una Tautología. Verificando: C AvB vD C—(A v B v D) p
q
r
q—p
~(po~q)]v~(pvr)v ~ (q—~r]
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
Por lo tanto, No es una tautología C no implica a la disyunción es una Contingencia de A, B y D 4) A entonces B está implicado por la negación de C si ~C — (A — B) es una tautología. Verificando ~C A—B ~ C — (A — B) p
q
r
~ (q— p) [~(po~q)]—~(pvr)
~(q—p)—[~(po~q)]— ~(pvr)
1
1
1
0
1
10
0
0
1
1
1
0
0
1
10
0
0
1
1
0
1
0
1
01
1
0
1
1
0
0
0
1
01
1
0
1
0
1
1
1
0
01
1
0
1
0
1
0
1
0
01
1
1
1
0
0
1
0
1
10
0
0
1
0
0
0
0
1
10
1
1
1
Por lo tanto, es una tautología A entonces B está implicado por la negación de C. Universidad Nacional del Santa 47
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelve a continuación los siguientes EJERCICIOS SOBRE EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN: I. esquemas moleculares que aparecen a continuación, determinar los que son equivalentes. 1. P = p >4 ( ~r A q)
En cada grupo de
= (~ p o^q) — r R = q o (p — ~r) Q
2. P = Si los fenómenos naturales se comportan según las leyes de la mecánica de Newton, entonces Newton dice la verdad; sin embargo, la Física clásica no es absoluta. Q= Newton dice la verdad si la física clásica no es absoluta, sí y sólo sí los fenómenos naturales no se comportan según las leyes mecánicas de Newton. R= Ni Newton dice la verdad ni la física clásica es absoluta, o la física clásica no es absoluta a la vez que los fenómenos naturales no se comportan según las leyes mecánicas de Newton. Universidad Nacional del Santa 48
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso II. Dados los siguientes esquemas moleculares: P = El estado es responsable de la economía del país sí y sólo sí las leyes de la reforma económica no son aplicables a la realidad. Q = No se da el caso que las leyes de la reforma económica sean aplicables a la realidad o el Estado sea responsable de la economía del país. R = Si los políticos dicen la verdad, entonces, o el Estado es responsable de la economía del país o las leyes de la reforma económica non son aplicables a la realidad. Determinar: 1) Si P implica a Q 2) Si R es implicado por Q 3) Si Q implica a R 4) Si R implica a la disyunción de P y Q 5) Si la conjunción de P y Q está implicada por R. 6) Si la bicondicional de P y Q está implicada por R. 7) Si la negación de Q está implicada por la disyunción de P y R. 8) Si la negación de la conjunción de P y R implica a la negación de Q. Universidad Nacional del Santa 49
Lógica Proposicional_Fidel Vera Obeso ACTIVIDA D N° 01
S OBJETIVO N° 06 ^\ / Enunciar, demostrar y \ / aplicar las principales leyes ] l lógicas o tautológicas \ notables. /
Analice la siguiente información sobre
1.6. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS NOTABLES: 1) Identidad (a) p — p = T (b) p o p = p 2) No Contradicción: ~ (P A ~p) = ~C = T 3) Tercio Excluido: p v ~p = T 4) Idempotencia: (a) p A ~p = p (b) p v p = p 5) Conmutativa: (a) p A q = q A p (b) p v q = q v p 6) Asociativa: (a) p A (q A r) = (p A q) (b) p v (q v r) = (p v q) v r 7) Distributiva: (a) p A ( q v r) = (p A q) v (p A r) (b) p v ( q A r) = (p v q) A (p v r) 8) Doble Negación o Involución: ~ (~p) = P Universidad Nacional del Santa 50
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 9) Absorción: (a) p A (p v q) = p (b) p v (p A q) = p (c) p A (~p v q) = p A q (d) p v (~p A q) = p v q 10) Morgan: (a) ~(p A q) = ~p v ~q = p/q (b) ~(p v q) = ~p A ~q = p i q 11) Condicional: (a) p — q = ~p v q (b) ~(p — q) = p A ~q 12) Disyunción Fuerte: p A q = (p v q) A ~ (p A q) = (p A ~q) v (q A ~p) 13) Transposición: (a) p — q = ~p — ~q (b) (p o q) = ~q o ~p 14) Transitiva: (a) [(p — q) A (q — r)] — (p — r) (b) [(p o q) A (q o r)] — (p o r) 15) Elementos Neutros Respecto a A y v (a) p A T = p (b) p v T = T (c) p A C = C (d) p v C = p Universidad Nacional del Santa 51
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso La demostración de las propiedades leyes lógicas a tautológicos notables se realiza construyendo su tabla de valores veritativos. En los siguientes ejemplos se mostrará algunas de las aplicaciones de las principales leyes lógicas o tautologías notables, tales como equivalencia de proposiciones y simplificación de proposiciones complejas. EJEMPLO 1: Hallar la proposición equivalente a: "No es el caso que, hace frío y no se congele" (a) Hace frío o no congela (b) No hace frío o congela (c) No hace frío o no congela (d) Hace frío o congela (e) Hace frío y no congela Solución: Consideramos p = hace frío q = congela Formalizando: No es el caso que, p y no q = ~(p A ~q) Morgan = ~p v q cuya lectura es: "No hace frío o congela ". Respuesta (b) EJEMPLO 2: Hallar la proposición equivalente a: "Hay que pagar 50 soles y servicio para ingresar al Club" (a) No ingresar al club o pagar 50 soles, y ser socio. (b) Pagar 50 soles o ser socio, y no ingresar al club. Universidad Nacional del Santa 52
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso (c) Pagar 50 soles y ser socio, o no ingresar al club. (d) Pagar 50 soles y no ser socio, y entrar al club. (e) No es cierto que se pague 50 soles y ser socio, o ingrese al club. Solución: Formalizando: p = pagar 50 soles q = ser socio r = ingresar al club. Hay que p y q para r. = (p A q) — r por condicional = ~(p A q) v r Luego: "No es cierto que se pague 50 soles y sea socio, o ingrese al club". Respuesta (c) EJEMPLO 3: Hallar la proposición equivalente a: "17 es primo porque 17 es primo o 30 es par, y 30 es par" (a) Si 17 es primo, entonces 30 no es par. (b) Si 30 es par, entonces 17 no es primo. (c) Si 17 no es primo, 30 no es par. (d) 30 es par o 17 es primo. (e) 17 es primo ya que 30 no es par. Universidad Nacional del Santa 53
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso Solución: Formalizando: p = 17 es primo q = 30 es par í(p v q) A ql — p = q — p "Si 30 es par, 17 es primo" = ~q v ~p Por absorción Por condicional
/ "30 no es par o 17 es primo" = ~p — ~q Por transposición "Si 17 no es primo, 30 no es par" Respuesta (c) EJEMPLO 4: Simbolizar y luego simplificar la proposición: "Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en consecuencia se va de viaje" (a) T b) C c) p d) p v q e) p — q Solución: Formalizando: Sea p = viene a casa q = se va de viaje p ó q, pero no p; en consecuencia q = [(pv q) A ~p] — q = [(Q A ~P) -> Q Por absorción Universidad Nacional del Santa 54
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso (q A ~p) v q (~q v p) v q p v (~q v q) = p v T = T por condicional por Morgan asociativa tercio excluido elemento neutro para v Respuesta (a) EJEMPLO 5: Simbolizar y luego simplificar la proposición: "Cuando obtenga mi título entonces ingreso a la carrera magisterial, pero no ingreso a la carrera magisterial; luego no obtuve mi título" (a) ~p b) p c) p A q d) C e) T Solución: Formalizando: Sea p = obtengo mi título q = ingreso a la carrera magisterial Cuando p entonces q, pero no q; luego no p = r(p -> q ) A ~q] -> ~p = r(~p v ^q) A ~q] — ~p = r~p A ~q) — ~p = ~r~p A ~q) v ~p = (p v q) v ~p = q v (p v ~p) =qvT =T Condicional Absorción Condicional Morgan Asociativa Tercio excluido Elemento neutro para v Respuesta (e)
= ~ = =
Universidad Nacional del Santa 55
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso EJEMPLO 6: Determinar los esquemas más simples equivalentes a: (a) ~r~ (p A q) — ~q] v p (b) r (p — q) v ~p ] A (~q — p) (c) r p A (~r) ] v r (~q )— ~(p A r) ] Solución: (a) ~r~ (p A q) — ~q ] v p r~ (p A q) A ~(~q)] v p r~ (p A q) A q] v p r (~p v ~q) A q] v p r (~p>-qrv q] v p qvp Condicional Involución Morgan Absorción Absorción = = = = =
(b) r (p — q) v ~p] A (~q — p) = r (~P v q ) v ~p] A (q v p) = r (~P v ~p) v q ] r ~p v q ] A (q v p) = r (~p vq) A q ] v r (~pv q) A p ] = q v (q A p) = q Condicional Asociativa Idempotencia Distributiva Absorción Absorción (c) r p A (~r)] v r (~q) — ~(p A r) ] = r p A (~r)] v r q v ~(p A r) ] Condicional = r p A (~r)] v r q v (~p) v (~r)] Morgan = {r E^4~r) ] v (~r)} v (q v ~p) Conmutativa y asociativa.
~r v q v ~p Absorción (~r v ~p) v q Asociativa ~ (r =
Universidad Nacional del Santa 56
A
p) v q Morgan (r
A
p) — q Condicional
A
(q v p) =
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso
Respuesta (e) Universidad Nacional del Santa 57
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelve a continuación los siguientes EJERCICIOS SOBRE LAS PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS NOTABLES: 1. Hallar la proposición equivalente a: "La conducta puede ser acción u omisión" (a) La conducta no es acción ni omisión. (b) La conducta es acción más no omisión. (c) La conducta no es acción no obstante es omisión. (d) No es el caso que la conducta no sea acción ni omisión. (e) No es cierto que la conducta sea acción o no sea omisión. 2. Hallar la profesión equivalente a: "Toma decisiones oportunas e inteligentes, pues es libre" (a) Es libre o toma decisiones oportunas e inteligentes. (b) No es libre, o toma decisiones oportunas e inteligentes. (c) Es libre y, toma decisiones oportunas como inteligentes. (d) No es libre, ni toma decisiones oportunas e inteligentes. (e) No es libre y, no toma decisiones oportunas o inteligentes. 3. Hallar la proposición equivalente a: "Tendrá el título universitario o sustenta su tesis" (a) Sustenta su tesis o tiene el título universitario. Universidad Nacional del Santa 58
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso (b) No es el caso que, sustente su tesis y tenga el título universitario. (c) No es cierto que, sustente su tesis y no tenga el título universitario. (d) No tiene el título universitario, y sustenta su tesis. (e) No es verdad que no sustente su tesis o tenga el título universitario. 4. Simbolizar y luego simplificar la proposición: "Si el conocimiento es hipotético, se prueba; y si se prueba, entonces es eficaz; luego, es eficaz cuando es hipotético" a) r b) p v r c) T d) C e) (p v ~q) — r 5. Simbolizar y luego simplificar la proposición: "Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en consecuencia se va de viaje" a) T b) C c) p d) p v q e) p - q 6. Simplificar el esquema: ~p — (p A ~q) a) p — q b) q — p c) p A ~q d) q v ~p e) p v q 7. Simplificar el esquema: ~[(p v q) — ~ (r — p)] v ~(q — p) a) p v q b) ~p A q c) p A ~q d) ~p e) q 8. Simplificar: (p A q) — (~q o ~p) A (p A q) a) p A q b) p v q c) ~p A q d) p A ~q e) q v ~p Universidad Nacional del Santa 59
Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso 9. Simplificar: {[ (p — q) A p] v ~(q — p)} — ~(p v ~q) a) ~p A q b) ~(p A q) c) ~p — q d) p v q e) ~(p v q) 10.Se define el conector @ como: p @ q = {[ (p A q) A ~q ] v ~q }v q Simplificar el esquema molecular: {[ ~ (p A q) @ (t — w)] @ ~q } @ ~p a) q b) ~q c) ~p d) p e) p A q Universidad Nacional del Santa 60
Lógica Proposicional_Fidel Vera Obeso RTRI TñCDAETA BIBLIOGRAFÍA 1
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