LA LÓGIC LÓGICA A La Lógica es la ciencia que estudia los modos y formas de raciocinio. La lógica es una ciencia auxiliar de la Matemática, pues ayuda a comprenderla, razonarla, etc. Para iniciar los estudios de la lógica, es necesario analizar oraciones particulares de las cuales se pueden decir que son VERDADERAS y reciben el nombre de proposiciones.VERDADERAS O FALSAS FAL SAS y proposiciones.Por ejemplo: El número 5 es un número natural Toda proposición es representada por las últimas letras minúsculas del abecedario: p, q, r, s, t, w
CONECTIVOS LOGICOS Se denominan conectivos lógicos, a símbolos que permiten formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son: Conectivo ó -
Nombre NO O INCLUYENTE Y ENTONCES O IMPLICA SÍ Y SOLO SÍ O EXCLUYENTE
Estos conectivos lógicos tienen una jerarquía en las operaciones, esta es: el NO en primer lugar, luego el O INCLUYENTE y el Y, luego el IMPLICA, le sigue el SÍ Y SOLO SÍ y por último el O EXCLUYENTE.PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposición se dice que es simple simple si no está afectada por conectivos lógicos; caso contrario, se dice que es compuesta. compuesta. Proposición simple: p Proposición compuesta: p q
TABLA TAB LA DE VALORES DE DE VERDAD VERDAD Una tabla de valores de verdad de una proposición compuesta, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples para determinar el valor de verdad de la proposición compuesta.
OPERACIONES PROPOSICIONAL PROPOSICIONALES ES LA NEGACIÓN La negación de la proposición p es p , cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p p V F F V Esta tabla proviene de hacer un análisis simple de una proposición cualquiera, por ejemplo:
Y negando la proposición p queda: p: NO ES CIERTO que el 2 es un número natural. Esta proposición es FALSA Ahora, busquemos una proposición falsa, por ejemplo: p: el –3 es un número natural. Esta proposición es VERDADERA. Y negando la proposición p queda: p: NO ES CIERTO QUE el 3 es un número natural. Lo cual es FALSA
DISYUNCIÓN O SUMA LOGICA La disyunción o suma lógica de las proposiciones p y q, es p q, donde p y q se denominan disyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: Antes de armar esta tabla de valores de verdad, debemos saber cómo se obtiene la cantidad de valores de verdad de la proposición dada: para ello se recurre al análisis combinatorio, y concluimos que los valores de verdad se repiten y no interesa el orden, por lo tanto estamos en presencia de un arreglo con repetición de n elementos tomados de 2 en 2, o sea: n º proposione s
2
nº valores A' n º proposicio nes
2
En nuestro caso particular, tendríamos que la VALORES = 2 2 = 4 p V V F F
q V F V F
p q V V V F
Esta tabla se explica con un ejemplo fácilmente: P: estudio
q: veo televisión
p q: estudio O veo televisión Como este “o” es incluyente, lo que significa que LA VERDAD se dará cuando realice al menos una de las acciones. Se tiene que la primera línea es VERDADERA porque estoy ESTUDIANDO Y VIENDO TV; la segunda línea es VERDADERA ya que si bien no veo TV pero estoy ESTUDIANDO; la tercera línea es similar a la anterior y en la cuarta línea se tiene QUE NO ESTOY REALIZANDO NINGUNA DE LAS DOS ACCIONES, por lo tanto es FALSA.Como conclusión se puede decir que la disyunción es verdadera si al menos unos de los disyuntivos t ambién lo es.-
CONJUNCIÓN O PRODUCTO LÓGICO La conjunción o producto lógico de las proposiciones p y q, es p q, donde p y q se denominan conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p V V F F
q V F V F
p q V F F F
Esta tabla, al igual que la anterior, se explica con un ejemplo fácilmente: p: estudio q: veo televisión p q : estudio Y veo televisión El “y” nos está indicando que la proposición será VERDADERA si ambas acciones se cumplen. Se tiene que la primera línea es VERDADERA porque estoy ESTUDIANDO Y VIENDO TV; la segunda línea es FALSA ya que no veo TV aunque esté ESTUDIANDO; la tercera línea es similar a la anterior y en la cuarta línea se tiene QUE NO ESTOY REALIZANDO NINGUNA DE LAS DOS ACCIONES, por lo tanto es FALSA.Como conclusión se puede decir que la conjunción es verdadera si ambos conju ntivos también lo son.-
LA IMPLICACIÓN O CONDICIONAL La implicación o condicional de las proposiciones p y q, es p q donde p se denomina antecedente, y q consecuente, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p V V F F
q V F V F
p
q V F V V
Esta tabla de valores de verdad se la puede interpretar con el siguiente ejemplo: p: apruebo q: te presto el libro O sea que la proposición será: Apruebo, ENTONCES te presto el libro La VERDAD del condicional está basada en el cumplimiento del compromiso de aprobar. O sea que: en la primera línea aprobé y le presté el libro, por lo tanto es VERDADERA; en la segunda línea aprobé y no le presté el libro, lo que significa que no cumplí con el compromiso, por lo tanto es FALSA; en la tercera línea no aprobé y le presté el libro, pero el hecho de no aprobar no está inserto en el compromiso, por lo tanto cuando no apruebe, queda librado a prestar o no el libro, lo que significa que será VERDADERO al igual que la línea cuatro. En conclusión, la implicación es FALSA cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
LA DOBLE IMPLICACIÓN O EL BICONDICIONAL La doble implicación o el bicondicional de las proposiciones p y q es p q cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p V V F F
q V F V F
p q V F F V
Esta operación proposicional se la puede entender con el siguiente ejemplo: p: te presto el libro q: apruebo Nuestra proposición será: te presto el libr o SI Y SOLO SI apruebo La VERDAD de esta proposición se basa en el compromiso doble que existe, o sea que el préstamo del libro se basa en la aprobación solamente, lo que queda excluido el hecho de no
segunda línea aprobé y no le presté el libro, lo indica que rompí el compromiso, por lo tanto es FALSA, en la tercera fila no aprobé y le presté el libro, lo que es FALSA ya que el hecho de no aprobar también está en el compromiso; y la cuarta línea es VERDADERA, ya que no aprobé y no le presté el libro.Como conclusión se puede decir que la bicondicional es VERDADERO cuando ambas proposiciones que lo com ponen son de igual valor de verdad.
LA DIFERENCIA SIMÉTRICA La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es p q cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p V V F F
q V F V F
p q F V V F
La explicación de esta tabla de valores de verdad se basa en que este “o” es en sentido excluyente, lo que significa que se puede dar “una o bien la otra” acción.Como conclusión se puede decir que la diferencia simétrica es VERDADERA, si ambas proposiciones que la componen tienen distinto valor de verdad.-
CONDICIONES NECESARIA Y SUFICIENTE En la tabla de valores de verdad del condicional, existen tres líneas donde es VERDADERA (primera, segunda y tercera), pero de ellas, la tercera y la cuarta p es falsa y en la primera es verdadera, entonces se dice que el “antecedente p es condición suficiente para q”. Ahora, si el antecedente p es verdadero, el consecuente q debe ser necesariamente verdadero para que la implicación lo sea, entonces se dice que el “consecuente q es condición necesaria para el antecedente p”.
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Una proposición compuesta se dice que es una tautología si es VERDADERA independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.Por ejemplo la siguiente proposición: (p q) pv q Para resolver esta tabla de valores de verdad, se debe comenzar por el paréntesis de la izquierda de la doble implicación, teniendo en cuenta que es una conjunción, luego se sigue por su negación. Luego seguimos con la parte derecha de la doble implicación, o sea con la negación de p y de q, luego con estos valores se resuelve la disyunción. Por último se resuelve la doble implicación (operación principal) con el último resultado de la derecha (la negación del paréntesis) y el último de la izquierda (la disyunción) p V V F F
q V F V F
- (p F V V V
q) V F F F
-p V F V F V V V V
v F V V V
-q F V F V
Una proposición es una contradicción si es FALSA independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.Por ejemplo: p V V F
q V F V
p q V F F
-p F F F F F V
v F V V
-q F V F
Una proposición es una contingencia si no es ni VERDADERA ni FALSA.Por ejemplo: p q p q -p v -q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V V F F F F V V V V
LEYES LOGICAS Se llaman leyes lógicas a todas aquellas proposiciones que son verdaderas. 1. INVOLUCIÓN La negación de la negación de una proposición es equivalente a la misma proposición. -(-p) p Demostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad: p V F
V F
(-p) F V
p V V
V F
2. LA IDEMPOTENCIA De la disyunción: La disyunción de una misma proposición, es equivalente a la misma proposición, o sea: p v p p Demostramos con una tabla de valores de verdad: P V F
(p v p) V F
p V F
V V
De la conjunción: La conjunción de una misma proposición, es equivalente a la misma proposición, o sea: p p p Demostramos con una tabla de valores de verdad: p V F
(p p) V F
p V F
V V
3. ASOCIATIVIDAD La disyunción y la conjunción son asociativas. O sea que: (p v q) v r
p v (q v r )
Para armar esta tabla se debe tener en cuenta que las proposiciones simples son tres, por lo tanto tendrán 8 valores por cada proposición dispuestas de la siguiente forma: p V V V V F F F
q V V F F V V F
r V F V F V F V
(p v q) V V V V V V F
vr V V V V V V V
V V V V V V V
p v (q v r) V V V V V V V F V V V V V V
(p q) r
p (q r)
Para armar esta tabla se debe tener en cuenta que las proposiciones simples son tres, por lo tanto tendrán 8 valores por cada proposición dispuestas de la siguiente forma: p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
(p q) V V F F F F F F
r V F F F F F F F
p V V V V V V V V
V F F F F F F F
(q r) V F F F V F F F
4. CONMUTATIVIDAD La disyunción y la conjunción son conmutativas pvq
q v p
Se demuestra con una tabla de valores de verdad: p V V F F
q V F V F p q
pvq V V V F
V V V V
qvp V V V F
V V V V
q p V F F F
q p
Se demuestra con una tabla de valores de verdad: p V V F F
q V F V F
p q V F F F
5. DISTRIBUTIVIDAD De la conjunci ón con respecto a la disyunci ón: la conjunción es distributiva con respecto a la disyunción. (p q) r (p r) v (q r) p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
(p q) V V V V V V F F
r V F V F V F F F
(p V V V V V V V V
r) v (q V V F F V V F F F V F F F F F F
r) V F F F V F F F
De la disyunció n con respecto a la conjunci ón: la disyunción es distributiva con respecto a la conjunción. (p q) v r (p v r) (q v r) p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
(p
q) v r V V V V F V F F F V F F F V F F
V V V V V V V V
(p v r) V V V V V F V F
V V V F V F V F
(q v r) V V V F V V V F
6. IMPLICACIONES ASOCIADAS Si se tiene en cuenta la implicación y las posibilidades de negar o cambiar el antecedente por el consecuente y/o viceversa, podemos concluir en lo siguiente: p q Implicación Directa q p Implicación Recíproca -p -q Implicación Contraria -q -p Implicación Contra – recíproca Con estas implicaciones podemos armar un cuadro visualmente entendible: p
RECÍPROCAS
q
C O N T R A R I A S
-p
C O N T R A R I A S
CONTRA - RECÍPROCAS
-q
RECÍPROCAS
-q
Las implicaciones contra - recíprocas son equivalentes; o sea que: p q -q -p Demostramos esta ley lógica usando una tabla de valores de verdad: p V V F F
q V F V F
p q V F V V
p
q
V V V V
-q F V F V
-p V F F F V V V V
-p
7. LA DOBLE IMPLICACIÓN Y LA IMPLICACIÓN La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca. O sea: p
q
(p
q) (q
p)
Se demuestra usando una tabla de valores de verdad. p V V F F
q V F V F
(p q) V F F V
(p V V V V
q) V F V V
(q V F F V
p) V V F V
8. LA DIFERENCIA SIMÉTRICA Y LA DOBLE IMPLICACIÓN La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble i mplicación. O sea que: p q
-(p
q)
Se demuestra con una tabla de valores de verdad: p V V F F
q V F V F
p q F V V F
- (p V F V V V V V F
q) V F F V
9. LEYES DE “ DE MORGAN” De la conjunción: La negación de una conjunción, es equivalente a la disyunción de las negaciones. O sea que: -(p q)
-p -q
Demostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad: p V V F F
q V F V F
- (p q) F V V F V F V F
V V V V
-p -q F F F F V V V V F V V V
De la disyunción: La negación de una disyunción, es equivalente a la conjunción de las negaciones. O sea que: -(p q) p V V F F 10. NEGACION DE UNA IMPLICACIÓN
q V F V F
-p -q - (p q) F V F V F V V F
V V V V
-p -q F F F F F V V F F V V V
La negación de una implicación es equivalente a negación de la disyunción de la negación del antecedente y el consecuente. O sea: -(p q) -(-p q)
p V V F F
q V F V F
- (p q) F V V F F V F V
V V V V
- (-p F F V F F V F V
q) V F V V
Ahora, aplicando la ley de De Morgan e Involución en la disyunción, queda: -(p
q)
p -q
O sea que se puede decir que la negación de una implicación también es equivalente a la conjunción del antecedente y la negación de consecuente. Ahora negando la negación de la implicación queda: -[-(p
q)]
-[ -(-p q)]
-p q
Pero la negación de la negación de la implicación queda: p
q
-p q
O sea que la implicación también es equivalente a la disyunción de la negación de antecedente y el consecuente. Ahora, partiendo de la negación de la negación de una implicación y aplicando involución y ley de De Moran, queda: O sea que:
-[-(p
q)] p
-[ -(-p q)] q
-(p -q)
-(p -q)
Por lo tanto podemos decir que la implicación es equivalente a la negación de la conjunción del antecedente y la negación del consecuente.
CIRCUITOS LÓGICOS Haciendo un análisis con las tablas de valores de verdad de la conjunción y de la disyunción, podemos compararlo con circuitos eléctricos, relacionando la VERDAD con la llegada de la corriente al final de circuito. Cada proposición es un interruptor, y así tenemos: CIRCUITO EN SERIE Este circuito tiene la particularidad de que sobre una misma línea se encuentran los interruptores, o sea que: p q
Este circuito se relaciona con la conjunción: p V V F F
q V F V F
p q V F F F
En la primera línea p y q son VERDADEROS, lo que significa los interruptores están cerrados o sea que pasa la corriente por los dos. O sea que: p
q
V En la segunda línea p es VERDADERO y q FALSO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes de q. O sea que: p
q
F En la tercera línea p es FALSO y q VERDADERO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes de p. O sea que: p
q
F En la cuarta línea p es FALSO y q FALSO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes de p. O sea que: p
q
F CIRCUITO EN PARALELO Este está formado por dos líneas que tienen el mismo principio y el mismo fin y con un interruptor en cada línea. p
q Este circuito se relaciona con la disyunción teniendo en cuenta que la VERDAD de esta proposición está basada en la llegada de la corriente al final del mismo. O sea: p V V F F
q V F V F
p q V V V F
En la primera línea p y q son VERDADEROS, o sea que las llaves están cerradas y pasa la corriente por las dos líneas del circuito: p
V q En la segunda línea, p es VERDADERO y q FALSO, o sea que solamente la llave p está cerrada, lo que deja pasar la corriente, o sea que: p
V q En la tercera línea, p es FALSO y q es VERDADERO, lo que significa que la corriente pasa por q, entonces la disyunción es VERDADERA, o sea: p
V q En la cuarta línea, p y q son FALSOS, por lo que tanto las llaves p y q están abiertas, entonces la disyunción es FALSA ya que no llega la corriente hasta el final del circuito. O sea: p
F q Ahora, el problema está cuando debemos armar un circuito lógico de proposiciones que no son disyunciones ni conjunciones ni negaciones. En estos casos, se deben aplicar propiedades hasta la reducción a las mismas.-
Por ejemplo aplicando sucesivamente la equivalencia de la diferencia simétrica y la doble implicación, la ley de De Morgan y la equivalencia de la negación de una implicación: p q
-(p q)
-[(p q) (q p)]
-(p q) -(q p)
(p -q) (q -p)
Esta última proposición está formada por negaciones en las proposiciones simples, conjunciones y disyunciones. Observamos que la operación principal es la disyunción, por lo tanto el circuito será uno en paralelo, donde en cada una de las líneas de este último son conjunciones o circuitos en serie. O sea que: p
-q
q
-p
RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS Se llama razonamiento al par ordenado ({p i },c), cuya primera componente es un conjunto finito de proposiciones denominadas premisas, y la segunda componente es otra proposición llamada conclusión. Un razonamiento se dice que es deductivo, si la conclusión es evidencia de los valores de verdad de las premisas. Un razonamiento también se lo expresa como una implicación, cuyo antecedente es la conjunción de las premisas, y la conclusión es el consecuente. O sea: p 1 p 2 p 3 ... p 4
c
De un razonamiento no se dice que es verdadero o falso, sino, que ES VALIDO o NO VALIDO. Teniendo en cuenta que la conjunción es verdadera cuando los conjuntivos también lo son, y además, que la implicación es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, se tiene sólo tres posibilidades donde la conclusión es evidencia de la verdad de las premisas: p 1 p 2 p 3 ... p 4 c V V V V F F F V V F V F Entonces, un razonamiento deductivo se dice que es VÁLIDO, cuando no es posi ble que de premisas VERDADERAS, se obtenga un a conclusión FALSA. Un razonamiento se los coloca en columna, enumerando las premisas, o sea que: p1 p2 p3 ........... pn ________ c
LEYES DE INFERENCIAS: Se llaman reglas de inferencias, a todo razonamiento deductivo válido.Ley de Modus Ponens o Modus Ponendo: Si en un razonamiento se tiene una implicación y el antecedente, se obtiene como conclusión el consecuente. O sea que: p q p ______ q Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad: p V V F F
q V F V F
(p q) p V V F F V F V F
q V V V V
Ley de Modus Tolens o Modus Tolendo: Si en un razonamiento se tiene una implicación y la negación de consecuente, se concluye en la negación del antecedente. O sea que: p q -q ______ -p Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad: p V V F F
q V F V F
(p q) -q -p V F F V F F F V V F V F F V V V V V V V
Ley del silogismo disyuntivo: si en un razonamiento se tiene una disyunción y la negación de uno de los disyuntivos, se obtiene como conclusión el otro disyuntivo. O sea que: p q p q -p -q ______ ______ q p Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad: p q (p q) -p V V V F F V F V F F F V V V V F F F F V
q V V V V
Ley del silogismo hipotético: si en un razonamiento se tiene dos implicaciones donde el consecuente de una de ella, es antecedente de la otra, se obtiene como conclusión una tercera implicación, cuyo antecedente es el antecedente de la primera, y cuyo consecuente es el consecuente de la segunda. O sea: p q q r ______ p r
Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad: p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
(p
q) V V F F V V V V
(q V F F F V F V V
r) V F V V V F V V
V V V V V V V V
(p r) V F V F V V V V
Para determinar la validez de una razonamiento, se deben enumerar las premisas, aplicar leyes a fin de reducir el razonamiento colocando a la derecha de la nueva estructura, la procedencia y la justificación. Cuando ya no se pueda reducir más, se debe tener en cuenta que un razonamiento deductivo es válido NO ES POSIBLES QUE DE PREMISAS VERDADERAS SE OBTENGA UNA CONCLUSIÓN FALSA.Esto significa que se toman todas las premisas VERDADERAS, y se debe concluir en la conclusión VERDADERA. Por ejemplo: 1) p⇒q 2) -r ⇒-q 3) -(-p∧-t) 4) t⇒s 5) -r__ s 1) t 2) t⇒s s
1) p⇒q 2) q⇒r 3) p∨t 4) t⇒s 5) -r__ s
De 2 por I.C.R.
1) p⇒r 2) p∨t 3) t⇒s 4) -r__ s
De 1 y 2 LSH
1) -p 2) p∨t 3) t⇒s_ s
1 y 4 MT
1 y 3 LSD
Este último da como conclusión “s” por la Ley de Modus Ponens. Pero de todas maneras, analizamos este razonamiento teniendo en cuenta que las premisas son verdaderas, y en particular t, y t s . Entonces lo único que queda es que s también lo sea, por lo tanto de premisas verdaderas, obtuvimos conclusión verdadera, lo que significa que el Razonamiento Deductivo es VALIDO.Nota: Se aclara que LSH es Ley del Silogismo Hipotético. LMT es Ley de Modus Tolens. Y LSD es Ley del Silogismo Disyuntivo.
TEOREMA Un teorema es un esquema válido de razonamiento. Todo teorema tiene tres partes: HIPÓTESIS, que está compuesta por proposiciones verdaderas o premisas, la TESIS o conclusión, que es lo que se quiere demostrar, y la DEMOSTRACIÓN que son pasos lógicos que se siguen para poder demostrar la TESIS. En conclusión, un teorema es una verdad no evidente pero si demostrable.El siguiente teorema lo vamos a demostrar utilizando el método deductivo, o sea que utilizaremos proposiciones verdaderas, y trataremos de llegar a una conclusión verdadera. En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º. HIPÓTESIS Sea el triángulo TESIS ∧
∧
∧
a + b+ c
= 180 º
Δ
a bc
DEMOSTRACIÓN
b A
a’
c’
a
c
Analizando el dibujo, nos damos cuenta que alternos internos entre las paralelas
ab
y
∧
∧
∧
a '+ b + c '
∧
∧
∧
∧
= 180 º , pero como a' = a y b' = b por ser ∧
∧
∧
A , entonces a + b + c
= 180 º
RAZONAMIENTO INDUCTIVO Un razonamiento se dice que es inductivo, cuando partiendo de casos particulares, se puede llegar a la conclusión en forma general.La siguiente propiedad se demuestra usando el razonamiento inductivo: La suma de números enteros es conmutativa HIPÓTESIS Sean a
b
TESIS a+b=b+a DEMOSTRACIÓN Como a y b son números enteros, entonces particularizamos la demostración usando números enteros, y resolviendo: -3+2=2-3 -1=-1
5+2=2+5 7=7
100+8=8+100 108=108
-10+38=38-10 28=28
En general podemos decir que siendo a y b enteros, entonces a+b=b+a
REDUCCIÓN AL ABSURDO Este método de demostración, se basa en que las implicaciones contra - recíprocas son equivalentes; o sea que p ⇒q ⇔ -q ⇒-p, que sería lo mismo que H ⇒T ⇔ -T ⇒-H, lo que significa que partiendo de la negación de la tesis y llegando a la negación de la hipótesis (absurdo, ya que la hipótesis siempre es verdadera) demuestra la verdad de hipótesis implica tesis. Podemos demostrar la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo por este método: En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º.
HIPÓTESIS Sea el triángulo
Δ
a bc
TESIS ∧
∧
∧
a + b+ c
= 180 º
DEMOSTRACIÓN
b A
a’
c’
a
c
Negamos la tesis, o sea que aˆ + bˆ + cˆ ≠ 180º , y como entre las paralelas
ab
y
A ,
entonces
∧
∧
∧
a '+ b + c ' ≠ 180 º
∧
a'
∧
∧
∧
= a y b' = b por ser alternos internos
, lo que nos indica que
A no
es una recta,
Δ
entonces tampoco abc es un triángulo (lo contrario a la hipótesis) lo que es un absurdo. Y teniendo en cuenta las implicaciones contra - recíprocas, H ⇒ T es verdadera.
LA FUNCIÓN PROPOSICIONAL Se llama función proposicional, a todo predicado u objeto directo que está ligado a una variable, y que para un valor de dicha variable, la oración se transforma en una proposición Por ejemplo: P(x)= “ x es azul”
donde x es una variable o argumento
Ahora, si x = “ el auto” , entonces queda: P(el auto)= el auto es azul
LOS CUANTIFICADORES Para poder trabajar con las funciones proposicionales se utilizan los cuantificadores, o sea que se cuantifica la función proposicional. Los cuantificadores son dos: el cuantificador universal y el cuantificador existencial: Cuantificador Universal: x: “para todo equis se verifica” Cuantificador Existencial: x/ “Existe equis tal que” Una función proposicional que está afectada por un cuantificador se puede decir que es Verdadera o Falsa; por ejemplo ∀x:x∈N, de esta función proposicional ya se puede decir si
es verdadera o falsa
NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR Dentro del trabajo de la lógica cuantificacional, lo importante es poder negar un cuantificador: NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR UNIVERSAL Para poder llegar a entender la negación del cuantificador universal, se debe recurrir a un ejemplo: Todos los nú meros enteros son impares ∀ x :
.
x
x:P(x)
2
≠
Negamos esta oración y nos queda: No es cierto que todos los números enteros son impares .
− ∀ x : x ≠
- x:P(x)
2
Y esto es equivalente a decir que: Existen enteros que no son impares ∃ x / x =
.
x/-P(x)
2
En conclusión, se puede decir que si negamos un cuantificador universal es equivalente a cambiarlo por el existencial y negar la función proposicional.O sea: - x:P(x)
x/-P(x)
NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Al igual que el anterior, para poder llegar a entender la negación del cuantificador existencial, se debe recurrir a un ejemplo: Existen números enteros que son i mpares ∃ x / x ≠
.
x/P(x)
2
Negamos esta oración y nos queda: No es cierto que algunos números enteros son impares − ∃ x / x ≠
.
2
- x/P(x)
Y esto es equivalente a decir que: Todos los n úmeros enteros no son impares ∀ x :
.
x
=
2
x:-P(x)
En conclusión, se puede decir que si negamos un cuantificador existencial es equivalente a cambiarlo por el universal y negar la función proposicional.
- x/P(x)
Por ejemplo:
x:-P(x)
Cualquiera que sea un entero, existe otro que sumado a él de cero P(x,y)= x+y=0 x, y/x+y=0
Negando el cuantificador queda: - x, y/x+y=0
x/- y/x+y=0
x/ y:x+y 0
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 1) Construir la tabla de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones: a) (p ∧ q) ∨ r ⇒ s c) [(p ⇒ q) ∧ (s ⇔ q) ]∨ r e) p ⇒ [q ∧ (s ∨ r)]
b) (p∨ q)⇔ (r ∨ q) d) p ∧ (q ∨ r) f) [p ∧ (r ∨ s)] ⇒ (p ∧ q)
2) Reducir a negaciones, conjunciones y disyunciones las proposiciones del ejercicio anterior y construir el correspondiente circuito lógico. 3) Determinar la validez o invalidez de los siguientes razonamientos deductivos: a)
p∧q p p ⇒ s -p ∨ q -(p ∧ r) s ⇒ -r ______ -r
b)
d)
-(p ∨ q) ∧ s p∨s p ⇒ q r∧s p ___________ p
e)
(r ∧ s) ∨ p -p ∨ q p ⇒ q (q ∧ s) ⇒ r _________ r
f)
r∨s p ⇒ r s ∧ q - q ⇒ -r r q ⇒ t ____________ t -p⇒-q r ∧ s p⇒r q ∨ r ___________ r
g)
- q ⇒ -r p ∧ s r t ⇒ q ________ q
i)
p ∨ q r ∧ s r ∧ q q ⇒ p q __________ q ⇔ s
h)
-p r ∧ s p ⇔ q -q ∨ s q ⇒ -p ______ p
4) Escribir en forma simbólica las siguientes proposiciones, negarlas y luego retraducirlas al lenguaje coloquial: a) “Si apruebo, té presto el libro” b) “Ana es hermosa y buena” c) “Estudio o bien, escucho música, y además lo hago con mis compañeros” d) “Los sábados estudio o me junto con mis amigos” 5) Negar lo siguientes cuantificadores: a) ∀x: [P(x) ∧ Q(x)] c) ∃X/[P(x) ⇔ Q(x)]
b) ∃x/{P(x) ⇒ [Q(x) ∨ R(x)]} d) ∀x:{[Q(x) ∧ R(x)] ∨ P(x)}
6) Dado los siguientes enunciados de teoremas, determinar la Hipótesis y la tesis: a) Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos” b) Teorema fundamental de la semejanza de triángulos “Si a un triángulo se le traza una paralela a uno de sus lados, ésta determina dos triángulos semejantes” c) Propiedad de los cuadriláteros “En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es igual de cuatro rectos” 7) Reescriba las siguientes fórmulas lógicas en lenguaje natural, siendo: p: ’Juan vendrá en el tren de las 8:15 ’ q: ’Juan vendrá en el tren de las 9:15 ’ r: ’Juan tendrá tiempo de visitarnos ’ a) -p ⇒ q ∨r b) p ∧ q ⇒ r c) (p ⇒ q) ∧ (p ∨ r) d) p ∨ -q ⇒ r e) (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) 8) Reescriba los siguientes enunciados en lenguaje natural como fórmulas del cálculo proposicional clásico: a) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lo tanto, si M es negativo o P es positivo, luego Q es negativo. b) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lo tanto, si M es negativo y P es positivo, luego Q es negativo. c) Si miro al cielo y estoy alerta entonces o veré un plato volador o si no estoy alerta, no veré un plato volador. 9) Determine si las siguientes oraciones en lenguaje natural son equivalentes: a) Llueve o está nublado. No llueve. Está nublado. b) Si me levanto temprano, estaré cansado. Me levanto temprano. No estoy cansado. c) Si hay sol, vamos al club. Si es sábado, vamos al club. Si hay sol y es sábado entonces vamos al club. d) La venta de casas cae si el interés sube. Los rematadores no están contentos si la venta de casas cae. El interés sube. Los rematadores están contentos.
