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PRESENTACIÓN
Pensar en forma coherente, ordenada y sistemática es una condición indispensable para lograr un profesional eficiente. La lógica tiene este propósito, su estudio contribuye, de forma significativa, a lograr un mayor grado de abstracción y, así, obtener, precisamente, un mayor rigor y precisión lógica en el discurso cotidiano, especialmente, cuando se tienen que formular razonamientos deductivos. Al mismo tiempo, la lógica formal nos proporciona herramientas que nos permiten ordenar y sistematizar rigurosamente el conocimiento científico. En el curriculum de nuestros profesionales no hay ninguna materia, ni en la segunda enseñanza, ni en la superior, que enseñe sistemáticamente el pensamiento ordenado, riguroso y coherente. Nuestros profesionales no saben los secretos para razonar en forma válida y, menos, los métodos que garanticen ese razonar. Por eso, consideramos que el estudio de la lógica, como parte de la Formación General, debe ser obligatorio para todos los estudiantes.
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INTRODUCCIÓN
Este texto autoinstruccional de lógica que presentamos constituye un curso de introducción a la Lógica Formal, concebido dentro de dos coordenadas que lo definen: •
•
Por una parte, es un programa de formación general válido para cualquier profesional de hoy en día que debe asumir una actitud crítica ante la realidad histórico-social sobre la cual se quiere que incida de una manera eficiente y eficaz. Para ello debe manejar las herramientas teórico-metodológicas que le permitan acceder al conocimiento, procesarlo, sistematizarlo y comunicarlo. En este cometido, los elementos conceptuales y las técnicas de la Lógica Formal constituyen un insumo insoslayable. Por otra parte, el enfoque que hacemos de la lógica es de carácter eminentemente instrumental; ante la cantidad abrumadora de información que nos llega es imprescindible el manejo de procedimientos para analizar, desde el punto de vista racional, la forma y contenido del discurso científico y, por supuesto, también del discurso cotidiano. En este programa partimos siempre del lenguaje natural para su análisis lógico y volvemos, al final del proceso, al mismo lenguaje con una evaluación racional de sus estructuras y su utilidad o validez para las ciencias ó para la vida profesional.
El curso de “Lógica para un Profesional Eficiente” es, pues, un curso de “Análisis Lógico del Discurso”. El programa está compuesto por tres unidades modulares con una relativa autonomía que podrían combinarse con otras unidades de otros programas de lógica alternativos. La primera unidad: “Lógica y Lenguaje” nos conduce desde la realidad del lenguaje, como concreción del pensamiento, para ir recortando dentro del discurso, en círculos cada vez más restringidos, el campo específico de nuestra disciplina limitándola al discurso argumentativo, a su aspecto formal, abordado a través de los lenguajes formales de la lógica. Constituye la unidad básica, conceptual e introductoria. En las unidades segunda y tercera abordamos dos niveles de la lógica: Lógica Proposicional y Lógica de Predicados. En ambos casos presentamos los lenguajes formales respectivos que explican las estructuras lógicas del discurso. Además, se introduce al estudiante en las técnicas para “probar” y “demostrar” la validez de los razonamientos del lenguaje natural. Por último, hay que resaltar que estamos ofreciendo un texto, diseñado con las especificaciones del material de estudio autoinstruccional. Esto permite una mayor versatilidad y variedad en el empleo de las horas de clase o actividades presenciales de interacción y posibilita convertir el curso en lo que realmente hemos querido: un taller para la aplicación de la lógica formal al quehacer profesional.
PROPOSITOS DE LA ASIGNATURA
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1. Contribuir a desarrollar un mayor grado de abstracción en el estudiante. 2. Contribuir a lograr en el estudiante un mayor rigor y precisión lógica en el discurso cotidiano 3. Contribuir a desarrollar el modo de pensar deductivo en el estudiante 4. Propiciar en el estudiante una actitud positiva ante la Lógica Formal, como herramienta para la fundamentación, la sistematización y el rigor científico del conocimiento.
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA
El estudiante estará en capacidad de:
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1. Analizar el discurso cotidiano, aplicando los conceptos básicos de la Lógica Formal. 2. Determinar la validez de los razonamientos expresados en el lenguaje cotidiano, aplicando las técnicas de la Lógica Formal.
RECOMENDACIONES PARA EL APRENDIZAJE
El texto que presentamos puede ser utilizado con distintas estrategias, según que el curso se implemente en una Modalidad de Educación Presencial o en una Modalidad de Educación a Distancia. En ambos casos, partimos de una concepción de la educación como proceso activo y participativo por parte del estudiante, en el cual el profesor se convierte en facilitador del aprendizaje. En ningún caso planteamos que el profesor exponga los temas magistralmente y el alumno tome apuntes. Estos dos vicios de nuestro sistema escolar quedan soslayados, a nuestro modo de ver, con el uso del Texto Autoinstruccional “Lógica para un Profesional
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Eficiente”, que ofrecemos como material de estudio para esta asignatura. Esto permite superar la concepción tradicional y convertir el salón de clase en un Aula Taller donde, bajo la orientación del profesor, los estudiantes aprenden la lógica resolviendo los problemas y ejercicios. En el caso de la educación presencial, el ciclo de enseñanza aprendizaje se explícita en esta secuencia: • • • •
Presentación del tema por parte del profesor, el cual ofrece una visión panorámica, global, insistiendo en el logro de la conducta terminal que se pretende (inducción). Lectura del material de estudio por parte del estudiante (trabajo personal). · Realización de los ejercicios de autoevaluación (evaluación formativa). Resolución de problemas en clase y aclaratorias por parte del profesor (retroalimentación). Evaluación del aprendizaje: evaluación por objetivos, continua y acumulativa, con carácter recuperativo (evaluación sumativa).
Las actividades de la secuencia se pueden realizar en el salón o los estudiantes por su propia cuenta, individualmente o por equipos. Todo esto según la conveniencia de cada caso. Con respecto a la modalidad de educación a distancia o semi-presencial (el caso de Estudios Universitarios Supervisados), la secuencia del proceso se mantiene igual, sólo que las actividades de interacción se reducen a dos tipos de asesorías por parte del profesor: grupales, para abordar los puntos claves del programa, que ameriten una dinámica especial; individuales, para resolver las dudas y dificultades de cada estudiante, lo cual permite individualizar aún más el aprendizaje. En cuanto a la evaluación sumativa, el sistema de E.U.S. prevé la realización de dos (o tres) Pruebas Parciales (una por unidad) y una Prueba Recuperativa Final. Además, en la cátedra de lógica proponemos la evaluación individual opcional para aquellos objetivos que conlleven la resolución de problemas (objetivos terminales 6, 7, 8, 1 l, 12 y 13). Las asesorías y la evaluación vienen explicitadas en los respectivos Plan de Asesorías y Plan de Evaluación, que el estudiante recibe, al inicio del curso, con su respectivo Calendario de Actividades y con el Texto. En los dos casos planteados (sistema presencial o supervisado), el texto autoinstruccional de lógica explícita, paso por paso, todas las estrategias en el desarrollo de cada tema. Como se puede apreciar, la diferencia entre las dos modalidades se minimiza y queda reducida a un mayor o menor grado de presencialidad e intervención directa del profesor. Para los estudiantes, queremos hacer aquí una serie de sugerencias de tipo metodológico, a fin de facilitarles su trabajo y hacerlo más productivo, provechoso y ameno: 1. Es conveniente que limites tu estudio a pequeñas porciones cada vez y no abarcar sino hasta donde hayas comprendido y ejercitado. En este sentido, mejor cerrar el libro antes que agotarte o embotarte. 2. Pon el mejor empeño en hacer los ejercicios con relación a cada nuevo aspecto teórico que aprendas. Se quiere que razones adecuadamente, no que sepas lo que es un razonamiento adecuado. Los ejercicios te permitirán apreciar si has logrado lo que se esperaba de ti en el objetivo. 3. Es muy importante que estudies en la secuencia indicada. Si te adelantas, corres el riesgo de encontrarte con conceptos que no manejas y que fueron expuestos previamente.
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4. Se espera que seas honesto contigo mismo y soluciones por tu propia cuenta los ejercicios y las autoevaluaciones antes de revisar las respuestas, las cuales encontrarás al final del material instruccional de esta Unidad; algunas de ellas están sin contestar para que las consultes con tu asesor y aclares tus dudas. 5. Asegúrate haber logrado el dominio de los conceptos fundamentales. 6. Para la realización de los ejercicios de control y las autoevaluaciones te recomendamos el uso de un cuaderno. En él podrás ir anotando las correcciones que surjan al confrontar tus respuestas con las de tus compañeros o con las aclaratorias que te formule el asesor. Por último, a continuación les ofrezco el cuadro descriptivo de las unidades, con sus respectivos temas y objetivos terminales, con el fin de proporcionar una panorámica del contenido del curso. Además se propone una ponderación de los objetivos que pueda ser usada para la evaluación.
CUADRO DESCRIPTIVO
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UNIDAD UNIDAD I: LÓGICA Y LENGUAJE
TEMA
OBJETIVOS TERMINALES
A. USOS DEL LENGUAJE 1. Dada la distinción de las funciones principales del lenguaje en una serie de párrafos, redactar otros equivalentes que expresen, en un lenguaje neutro, la información correspondiente.
B. EL RAZONAMIENTO
2. Identificar los razonamientos inductivos, deductivos, analógicos en una serie de pasajes dados. 3. Comprender en que consiste la validez de un razonamiento y las condiciones para la verdad de la conclusión.
C. RAZONAMIENTOS FALACES
4. En un conjunto de razonamientos falaces, señalar que tipo de falacia se ha cometido y porqué es un razonamiento falaz.
D. LENGUAJES NATURALES Y CIENTÍFICOS
5. Determinar las características de los lenguajes naturales y científicos y su importancia para el desarrollo de la lógica.
PONDERACION PORCENTUAL DE LOS OBJETIVOS TERMINALES
En función de la importancia, el grado de dificultad y el tiempo de estudio que representan cada uno de los Objetivos Terminales, se les asignó un valor porcentual del total de la evaluación de la asignatura. Esos valores están distribuidos como sigue:
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UNIDAD UNIDAD I: LÓGICA Y LENGUAJE.
UNIDAD II: LÓGICA PROPOSICIONAL
UNIDAD III: SILOGÍSTICA: ENFOQUE TRADICIONAL Y MODERNO
TEMA
OBJETIVO VALOR TERMINAL PORCENTUAL
A. Usos del lenguaje.
1
6%
B. El razonamiento.
2 3
5% 5%
C. Razonamientos falaces.
4
6%
D. Lenguajes naturales y científicos.
5
4%
A. Formas lógicas.
6
10%
B. Prueba de validez.
7
10%
C. Demostración de validez.
8
12%
A. Lógica tradicional.
9 10
4% 6%
B. Prueba de validez.
11
10%
C. Lógica de predicados.
12 13
10% 12%
ESQUEMA DE CONTENIDO
Presentación. Introducción. Propósitos Generales de la Asignatura. Objetivos Generales de la Asignatura. Recomendaciones para el Aprendizaje. Esquema de Contenido.
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UNIDAD I: LOGICA Y LENGUAJE INTRODUCCIÓN A. USOS DEL LENGUAJE l. FUNCIONES BÁSICAS DEL LENGUAJE 2. MULTIPLICIDAD DE FUNCIONES DEL LENGUAJE 3. FORMAS DEL DISCURSO 4. LENGUAJE EMOTIVAMENTE NEUTRAL
B. EL RAZONAMIENTO 1. LA PROPOSICIÓN 2. TIPOS DE PROPOSICIONES 3. EL DISCURSO LÓGICO 4. EL RAZONAMIENTO 4.1. Premisas y Conclusión 4.2. Proceso del Razonamiento. Su Concepto 4.3. Identificación de Razonamientos 5. TIPOS DE RAZONAMIENTOS 5.1. Razonamiento Inductivo 5.2. Razonamiento Analógico 5.3. Razonamiento Deductivo 6. VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS 6.1. Contenido y forma de los Razonamientos 6.2. Variables y Constantes Lógicas 6.3. Razonamiento Válido 6.4. Validez y Verdad
C. RAZONAMIENTOS FALACES 1. FALACIAS DE ATINENCIA 1.1. Argumentum ad Baculum (apelación a la fuerza) 1.2. Argumentum ad Hominem (argumento contra el hombre) 1.3. Argumentum ad Ignorantiam (argumento por la ignorancia) 1.4. Argumentum ad Misericordiam (argumento por misericordia) 1.5. Argumentum ad Populum (argumento de la multitud) 1.6 Argumentum ad Verecundiam (apelación a la autoridad) 1.7. La Causa Falsa 1.8. La Pregunta Compleja 2. FALACIAS DE AMBIGÜEDAD 2.1 El Equivoco 2.2. Anfibología 2.3. El Énfasis 2.4. La Composición 2.5. La División 3.COMO EVITAR FALACIAS
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D. LENGUAJES NATURALES Y CIENTIFICOS 1. SINTÁXIS Y SEMÁNTICA 2. LENGUAJES NATURALES Y CIENTÍFICOS 3. LENGUAJE FORMALIZADO, CARACTERISTICAS E IMPORTANCIA 4. LENGUAJE FORMALIZADO Y LOGICA FORMAL 5. LOGICA FORMAL Y LOGICA NATURAL 6. MATEMATIZACIÓN DE LA LÓGICA 7. SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE LA LOGICA TRADICIONAL Y LA MODERNA
Lecturas Complementarias Respuestas Bibliografía Índice
INTRODUCCION
Desde su aparición como disciplina en el siglo IV a. C., la lógica se ha planteado como objeto de estudio la descripción formal del pensamiento racional, a fin de poder distinguir los modos válidos de razonar de los que no lo son. Los métodos adoptados en cada época, marcan la diferencia entre las distintas etapas de la historia de la lógica. En estricto rigor etimológico, la lógica estudia el pensamiento o razón (en griego ‘logos’). Sin embargo, hay que anotar que la realidad mental es, en si, inaprehensible y sólo podemos tener acceso a ella a través de su expresión material, es decir, la Palabra. Es curioso que el mismo término ‘logos’ también se traduce como ‘Palabra’. En conclusión, podemos decir que la lógica se ocupa del lenguaje como concreción material del pensamiento racional. Pero esto es aún impreciso, por cuanto el lenguaje, como vamos a esclarecer en el desarrollo de la unidad, tiene múltiples funciones. Es necesario, pues, delimitar qué tipo de expresiones del lenguaje le interesan a la lógica y qué aspecto de las mismas se dedica a estudiar. Esto es lo que planteamos en el objetivo l.
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A partir de las proposiciones como unidad informativa del lenguaje aprendemos, en el objetivo 2, a distinguir y clarificar los tipos de construcciones del lenguaje que expresan argumentos racionales. Con ello estamos ya centrados en el campo de la lógica: los razonamientos. En adelante, nos abocaremos a hacer una serie de precisiones conceptuales preliminares, necesarias para poder abordar, con pié firme, el aspecto instrumental del curso: los métodos y técnicas del análisis lógico. Precisiones tales como ‘Forma’ y ‘Contenido’, ‘Verdad’ y ‘Validez' (objetivo 3); las falacias de contenido (objetivo 4); y, por último, los lenguajes naturales, científicos y formales que nos permiten situarnos en la óptica de la historia para precisar las dos grandes etapas del desarrollo de la lógica (objetivo 5). Con ello habremos cumplido el cometido de esta unidad introductoria que, como tal, es fundamental para adentrarnos en las dos unidades subsiguientes. Sólo si tenemos bien claro los conceptos básicos, podremos avanzar sin dificultad en los procedimientos de la lógica.
Ya estarás ansioso por comenzar, así que pasamos, enseguida, a desarrollar los contenidos ¡Buena Suerte! A. USOS DEL LENGUAJE
OBJETIVO TERMINAL 1: Dada la distinción de las funciones principales del lenguaje en una serie de párrafos, redactar otros equivalentes que expresen, en un lenguaje neutro, la información correspondiente
Para ello se deberá lograr los siguientes Objetivos Específicos: 1.1. Dada una serie de pasajes, distinguir las funciones informativa, expresiva y directiva. 1.2. En una serie de pasajes que cumplan múltiples funciones, explicitar cada función señalando, también, la función principal. 1.3. Señalar la forma y las funciones del discurso en ejemplos dados. 1.4. Dados varios pasajes que cumplen múltiples funciones, redactar pasajes equivalentes en un lenguaje neutro donde sólo aparezca la información contenida en ellos.
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1 FUNCIONES BÁSICAS DEL LENGUAJE Entre las funciones del lenguaje se destacan tres funciones fundamentales: la informativa, la expresiva y la directiva. Cuando usamos el lenguaje para comunicar información, describir el mundo y razonar acerca de los hechos presentados, estamos en presencia de la función informativa. Así, estamos informando cuando decimos, por ejemplo: (a) La arbitrariedad de los jueces pone en duda la seriedad del proceso. (b) En la tarde de ayer nos visitó el Vice-Ministro de Educación. (c) Dado que no tenemos el quórum reglamentario, queda suspendida la asamblea. Cuando usamos el lenguaje para comunicar nuestros sentimientos, emociones, estado de ánimo y actitudes personales decimos que su función es expresiva. Así, el lenguaje cumple la función expresiva en los casos siguientes: (d) ¡Cuán triste es, Dios mío, la vida sin ti! (Santa. Teresa). (e) ¡Cómo me molesta 1a demora! (f) ¡Ojalá castiguen a todos los corruptos! (g) ¡Nadie me apartará de mis principios! Cuando lo usamos para motivar, originar o impedir en otra persona una acción, conducta o actitud, su función es directiva. Veamos: (h) ¡Ayúdanos a rescatar nuestro Lago! (i) Prohibido girar a la izquierda. (j) Sé buen ciudadano. Sólo del discurso (lenguaje) informativo podemos afirmar la ‘verdad’ o ‘falsedad’. Del discurso directivo podemos decir que es ‘adecuado’ y ‘pertinente’ o ‘inadecuado’ y ‘no pertinente’; así mismo, al discurso expresivo lo podemos calificar de ‘sincero’ o ‘insincero’, ‘oportuno’ o ‘inoportuno’. A la lógica sólo le interesa el discurso informativo; por eso, es muy importante aprender a distinguir la función que cumple una comunicación determinada.
A continuación encontrarás unos ejercicios que te brindarán la oportunidad de saber lo que has aprendido.
EJERCICIOS En las siguientes expresiones, determina la función que cumplen y explique el porqué. Luego compara tus respuestas
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(1) Se recomienda consumir alimentos ricos en fibras. (2) ¡Qué horror! ¡Estás que das asco! (3) Algunos autores asignan mayor número de funciones al lenguaje. (4) Tendremos una cosecha abundante.
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2. MULTIPLICIDAD DE FUNCIONES EN EL LENGUAJE En la realidad cotidiana el lenguaje no se usa de esta manera pura, sino que sus diversas funciones se encuentran entremezcladas. En casi todas las frases encontramos presente, en mayor o menor medida, cada función. Veamos este caso: (a) ¡Cuánta cháchara y palabras engañosas! Cuando los dirigentes políticos se presenten con resultados concretos, quedará acreditado su discurso. Podemos observar aquí las tres funciones: •
Manifiesta el rechazo por la palabrería vacía de los políticos (función expresiva).
•
Pretende motivar a que se aboquen a resolver los problemas de la comunidad (función directiva).
•
Refiere el hecho de la demagogia de los dirigentes, el cual ha generado la poca credibilidad que tienen ante el pueblo (función informativa).
Así, pues, casi siempre el lenguaje tiene un uso mixto o múltiple; sin embargo, debemos señalar que de las tres funciones siempre hay una que adquiere mayor relevancia, según la intencionalidad del emisor. Esto es lo que denominamos FUNCIÓN PRINCIPAL DEL DISCURSO. En el caso del ejemplo, notamos que predomina la función directiva, seguida de la función expresiva que viene a reforzarla. La función informativa queda relegada a un último plano, por cuanto se da como un hecho evidenciado por todos.
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La función principal del ejemplo es, pues, directiva. Algunas veces, la función principal no se ve claramente definida en el texto y sólo se puede inferir del contexto y las circunstancias.
Resuelve los siguientes ejercicios; para ello, si hace falta lee de nuevo el material.
EJERCICIOS: Determina en cada párrafo las funciones que cumple y cual puede tomarse como función principal. (1) "Entonces Francisco se había levantado ante los tres mil hermanos reunidos. Noble y salvaje, como madre a quien quieren arrancarle 1os hijos, había gritado: “El Evangelio no tiene necesidad de ser justificado. Hay que tomarlo o dejarlo" (E. Leclerc, La Sabiduría de un pobre). (2) En nuestro país la función del escritor ha estado determinada por las presiones del sistema. En algunos casos se han atrevido a denunciar las perversiones del régimen de su época. (3) "...Lo había pensado mejor: su pobre mamá estaba quebrantada para ir ella a proporcionarle un disgusto. Pero ella cumpliría con su deber de esposa mártir hasta el fin. Sentábase a almorzar y con más calma tomaría el partido que debía... ¡Nada de perdón eso sí...” (J.R. Pocaterra, La llave). (4) Para lograr la consistencia de la bechamel, se deberá verter muy lentamente la leche, previamente calentada, y mezclarla con la harina, sin dejar de revolver constantemente, hasta que espese... Ver las Respuestas
3. FORMAS DEL DISCURSO La gramática señala, entre otras, cuatro formas de oraciones: declarativas, interrogativas, imperativas y exclamativas. Aquí se refiere a la forma de la oración, que no tiene necesariamente que coincidir con su función.
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En un lenguaje llano, generalmente, la forma se corresponde con la función; sin embargo, la mayoría de las veces ocurre que el discurso, aunque expresamente se presenta como declarativo o exclamativo, en la oculta intención del emisor, tiene una función directiva. Por ejemplo, la señora resentida dirá: (a) ¡ Qué solícitos son algunos maridos con sus esposas! (forma exclamativa); o bien: (b) El marido de fulana siempre está pendiente de los deseos de ella (forma declarativa). En realidad quiere, bajo camuflaje, cambiar la conducta de su marido desatento. Ambas frases, aunque cumplen las tres funciones, ocultan, bajo la forma expresiva o informativa, la que realmente es su función principal, dentro del contexto planteado, es decir, la función directiva. Otro ejemplo: (c) ¿No sabían que la reunión era a las ocho en punto? Tiene forma interrogativa. Informa la hora de la reunión (que se supone conocida). Expresa disgusto por el retraso. Pero.., intenta obtener la puntualidad del aludido. Aquí, según el contexto, la función principal es expresiva o directiva, más probablemente lo segundo.
Trata de resolver los siguientes ejercicios EJERCICIOS Señala en cada caso la forma del discurso, cada una de sus funciones y su función principal: (1)“Señores, les informo que son las diez de la noche” (Contexto: el caso típico del padre a los pretendientes de sus hijas). (2) ¿No te parece estrambótico y de mal gusto el abrigo de imitación que trae la esposa del gerente? (3)¡Ah!, si mis compañeros de partido abrieran los ojos verían con claridad las maniobras urdidas por los jerarcas para apartarnos de nuestros principios. (4) ¿No era tu esposo el que pasaba de la mano con la morena de los ojos claros que acaba de comenzar en la oficina? (5) “Perdonad y seréis perdonados" (San Mateo).
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4. LENGUAJE EMOTIVAMENTE NEUTRAL Este procedimiento de distinguir la forma, las funciones y la función principal del discurso es muy útil en cualquier análisis que hagamos, pero sobre todo en el caso de la lógica, por cuanto a ella sólo le interesa la función informativa del discurso. Por eso, el paso siguiente consiste en extraer, de cualquier texto que se nos presente, la función informativa que contenga y expresarlo en forma de una oración declarativa. Para ello, lo primero que debemos tener en cuenta es que el discurso, aun cuando su forma y su función sean claramente informativas, casi siempre contiene palabras que llevan una fuerte carga emotiva. Todos podemos constatar que para describir el mismo hecho o referirse al mismo objeto podemos usar distintas expresiones que, aunque tengan el mismo significado literal, llevan una carga emotiva diferente. Tomemos el caso de que tengamos que referirnos a una persona perfeccionista que no descuida ni el más mínimo detalle. Si se trata de uno mismo o de alguien estimado diremos que es ‘meticuloso’, en caso contrario, lo llamaríamos ‘quisquilloso’. En este campo abundan los ejemplos: De otro diremos: (a) Él hace propaganda. (aquí la expresión posee una carga emocional peyorativa). En cambio, de sí mismo se dirá: (b) Yo explico mi punto de vista (hace simple referencia, casi ingenua, al hecho). Podemos citar muchos otros ejemplos similares. Sin menospreciar las otras funciones del lenguaje, el objetivo de la lógica nos exige extraer y aislar la función informativa. Esto sólo es posible recurriendo a un lenguaje no emotivo o neutral, en el cual nada nos ‘distraiga’ de la descripción objetiva de los hechos y, así, poder establecer inequívocamente la verdad o falsedad de una proposición.
Resumiendo: Para expresar, en forma neutral, la función informativa de cualquier discurso, debemos: (i) Determinar la forma del discurso, su función principal y las funciones secundarias (tal como lo hicimos en el ejercicio anterior). (ii) Detectar las palabras que tengan una carga emotiva para descartarlas. (iii) Ubicar los términos que se refieren a objetos y hechos. Estos nos remiten al asunto tratado. (iv) Construir varias oraciones declarativas equivalentes, lo más simples posible, que expresen exactamente la información objetiva. (v) Escoger aquélla que nos parezca más fría y neutral, es decir, la que tenga menos carga emotiva.
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Ahora ilustraremos estos pasos con un ejemplo: (c) “Era yo pues, bien miserable; que por fuerza lo es el alma que sirve presa en la amistad de las cosas mortales y se desgarra cuando las pierde” (San Agustín, Confesiones Lib. IV, Nº1). Siguiendo los pasos del procedimiento indicado tendremos: (i) El texto tiene forma declarativa, por lo que la función que parece, a simple vista, principal, es informar del desgarramiento que sufre Agustín a causa de una pérdida, en el plano material. La función expresiva es relevante: la miseria y sufrimiento experimentados por el emisor debido a la pérdida, su apego desmesurado a esa persona. Esta es la función principal. La función directiva está implícita; no te apegues desmesuradamente a las cosas mortales. (ii) Palabras emotivas: ‘miserable’, ‘alma’, ‘presa’, ‘mortales’, ‘desgarra’. (iii) Términos objetivos: ‘amistad de las cosas’, ‘desgarra’, ‘pierde’ (iv) Posibles versiones de función informativa: • La pérdida de las cosas mortales produce un desgarramiento del alma. • El apego desmesurado de las cosas queridas de esta vida causa gran sufrimiento al perderlas. • La pérdida de las cosas a las que estamos demasiado apegados causa gran sufrimiento. Los términos: ‘mortales’, ‘desgarramiento’, ‘alma’, por su carga emotiva, nos hacen desechar la primera versión. Los términos: ‘desmesurados’, ‘queridas’, nos permiten igualmente dejar de lado la segunda versión y quedarnos con la tercera. (v) Así pues, la oración declarativa que expresa la información contenida en el párrafo, de una forma neutra sería algo así: “La pérdida de las cosas a las que estamos demasiado apegados causa gran sufrimiento”. Podría haber otras versiones igualmente aceptables. Una más personalizada sería: "La pérdida de algo a lo que yo estaba demasiado apegado me ha causado gran sufrimiento”.
Resuelve los siguientes ejercicios de la autoevaluación ¡ÁNIMO!
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AUTOEVALUATIVO 1 Ahora te daremos varios textos para que procedas de manera similar y expreses la función informativa en una frase neutral. (1) Entre flores, música fina, exquisita comida, rifas y concursos, transcurrió la tarde. Las secretarias departieron amigablemente y recibieron de sus jefes el mejor de los regalos: cariño y respeto (agasajo de una empresa a sus secretarias). (2) “Habemos unos cuantos, - ¡todos locos! - que estamos enamorados del saber, y venderíamos nuestra última camisa por una pequeña verdad, una punta de estrella para alumbrar la tiniebla y el misterio de lo que llamamos nuestra vida” (Morris West, El Hereje, Acto lero, Escena 1). (3) “Según voceros del Grupo Monaca, la inauguración de una nueva planta, demuestra la confianza que dicha corporación tiene en el futuro del país y en sus instituciones” (La Columna, 7-10-90, pág.6). (4) “Ocho de cada diez familias no cuentan con los recursos necesarios para cubrir sus necesidades de alimentación, vivienda, vestido, salud y educación [...] [El Gobierno] sólo se ocupa de la deuda externa sin tomar en cuenta [...] una deuda social que se ha acumulado a lo largo de los últimos 15 años". (E. Fernández en Valera, La columna, 7-10-90, pág.12). (5) “Para mí. Dios hizo de la mujer un cojín para el mundo, sus labios un panal de miel, sus senos una fuente de dulzura, sus manos un milagro que cura, su vientre un refugio de vida vacilante. ¿Por qué Él entonces pronunciaría sentencia de tortura para su obra maestra?” (Morris West, El Hereje, Acto 1ero Escena 1). (6) “...este problema se está atendiendo [...] con seriedad y no con programas cortoplacistas [...] sino soportados por una ley de la República y asegurarán su vigencia no sólo durante mi gobierno, sino en los próximos gobiernos que vengan en Venezuela". (C.A.P. en Barinas, en referencia al problema de los hospitales, La Columna, 7-10-90, pág.12).
Ver las Respuestas Consideras que debes realizar una revisión del material sí!, la decisión es tuya, ya que de ti depende tu progreso. Avanza con la lectura del objetivo “El Razonamiento”
B. EL RAZONAMIENTO
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Objetivo Terminal 2: Identificar los razonamientos inductivos, deductivos y analógicos en una serie de pasajes dados
Para ello deberás lograr los siguientes Objetivos Específicos:
2.1. Distinguir en una serie de expresiones los que son proposiciones. 2.2. Dadas varias proposiciones, distinguir las simples de las compuestas. 2.3. Identificar las premisas y la conclusión en razonamientos dados. 2.4. Dada una serie de pasajes identificar aquellos que son razonamientos. 2.5. A partir de la clasificación de los razonamientos, ubicar los razonamientos dados dentro de cada tipo.
l. LA PROPOSICIÓN Señalábamos en el objetivo anterior la importancia que tiene para la lógica extraer la función informativa del lenguaje y expresarla en forma de oraciones declarativas, respecto de las cuales se pueda establecer sin ambigüedad su verdad o falsedad. Aquí debemos hablar brevemente de la oración declarativa y la proposición. Las oraciones declarativas son juicios mediante los cuales informamos algo del mundo real o imaginario; es decir, afirmamos o negamos un enunciado. Ahora bien, si de esta información podemos determinar inequívocamente su verdad o falsedad, decimos que la oración expresa una proposición, o sencillamente que es una proposición. De aquí concluimos que no todas las oraciones o juicios declarativos expresan una proposición, sino sólo aquellos que puedan ser verificados objetivamente. Es obvio, entonces, que la lógica se interese por las proposiciones y que éstas sean la unidad de análisis del discurso lógico. Veamos en los siguientes casos: (a) Perdonad y seréis perdonados. (b) La capa de ozono se deteriora progresivamente. (c) El SIDA es un castigo de Dios. (d) Los números pares son divisibles por dos. (e) Acaba de llegar tu suegra. (f)Los ricos no entrarán en el Reino de los Cielos. (g) Existe vida inteligente fuera de la tierra. (h) ¡Si los políticos fueran honestos! Los enunciados (a) y (h) tienen forma imperativa y exclamativa respectivamente, a ellos corresponden igualmente las funciones directiva y expresiva; por lo tanto no son juicios declarativos, ni expresan una proposición. Por otra parte, los enunciados (c) y (f) tienen forma declarativa y función informativa, pero se refieren a realidades espirituales que caen fuera del campo de la comprobación objetiva, dependen de las creencias de cada uno y, por lo tanto, no pueden ser verificados.
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Finalmente, sólo los enunciados (a), (b), y (e), que son juicios declarativos, expresan proposiciones porque pueden ser verificados objetivamente. El enunciado (g), aunque no puede ser verificado o falsificado en estos momentos por las ciencias, se puede explicitar el método objetivo con el que se podría determinar si es verdadero o falso. Por eso, se considera proposición. Resumiendo: Sólo las oraciones o juicios declarativos de cuyo contenido podemos establecer inequívocamente su verdad o falsedad, expresan proposiciones, son proposiciones. Así pues, la proposición es una expresión lingüística cuyo contenido objetivo es inequívocamente verdadero o falso. Generalmente, su forma es declarativa, pero, a veces, está camuflada de otra forma. En este caso siempre será posible traducirla a una forma declarativa equivalente. En consecuencia, no serán proposiciones aquellas expresiones lingüísticas que tienen como función preguntar, exclamar, dar órdenes, expresar dudas o deseos. De ellas no se puede determinar si son verdaderas o falsas. En efecto, de una pregunta se puede decir si es oportuna o no lo es; de una exclamación si es expresiva o no lo es; de una orden si es respetuosa o no lo es; de una duda si es fundada o no; de un deseo si es sincero o no; pero de ninguna de ellas se puede decir si son verdaderas o falsas. Son proposiciones: (i) Los gusanos son vertebrados. (j) Julio Verne escribió la Vuelta al Mundo en Ochenta Días. (k) 7 no es número primo. (1) Gabriel García Márquez ganó el premio Novel de Literatura en 1.990. (m) Quine es un lógico moderno. (n) ¿No es cierto que Bolívar logró la independencia de cinco países? (o) ¡ Qué gran maestro fue Andrés Bello!. Las primeras cinco proposiciones tienen una forma declarativa; la forma de (n) es interrogativa y la de la (o) exclamativa, sin embargo ambas tienen la función de informar, por lo cual se pueden traducir a una forma declarativa, a saber: “Bolívar logró la independencia de cinco países” y “Andrés Bello fue un gran maestro”, respectivamente. Como podemos ver, a la ciencia sólo le interesan los enunciados que son proposiciones los cuales proporcionan informaciones verificables y útiles. Por ese motivo, la lógica que vamos a estudiar en este curso se ocupará sólo de proposiciones, aunque hay otros campos de la lógica que trabajan con otro tipo de juicios.
Seguidamente, para constatar si has comprendido este punto, debes resolver los siguientes ejercicios EJERCICIOS Determina de cada uno de los siguientes enunciados si expresa o no una proposición, y explica por qué. (1) A menudo nuestros actos están movidos por motivos desconocidos para nosotros. (2) ¿Quién podrá llegar a conocerse en su propia mismidad? (3) La vida es una pasión frustrada.
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(4) En diciembre las noches son mas largas. (5) Sólo por la violencia se puede cambiar la sociedad. (6) Derrocaron al dictador de esa convulsionada nación. (7)Venezuela, hoy por hoy, ha conquistado su independencia económica. Ver las Respuestas Para reafirmar lo tratado, te presentamos los siguientes ejercicios EJERCICIOS De las siguientes expresiones lingüísticas determina si son o no proposiciones dando las razones correspondientes. (1) ¡Que consigas tus propósitos, amigo! (2) La fiesta de fin de curso. (3) El 4 de Febrero del ano 1992 se intentó en Venezuela un golpe de estado. (4) Bolívar no fue partidario de la creación de la Gran Colombia. (5) ¿Cuándo lograremos que en Venezuela haya una justicia confiable? (6) Nunca te rebajes solicitando lo que no ganaste. (7) Los amigos de lo ajeno. (8) Bolívar asistió a la coronación de Napoleón Bonaparte como emperador. (9) ¡Que gran ciudad es París! (10) Colón descubrió a Venezuela en su primer viaje. Ver las Respuestas 2. TIPOS DE PROPOSICIONES POR SU COMPLEJIDAD. Las proposiciones, por su complejidad, se dividen en simples y compuestas. Las proposiciones simples son aquéllas de las cuales no se pueden obtener otras proposiciones, por ejemplo: (a) “Newton descubrió la ley de gravedad”. (b) “Luis Hómez fue un político”. (c) “Rómulo Betancourt fue presidente de Venezuela”. (d) “Gorvachov empezó la Perestroika en 1989”. Las cuatro expresiones son proposiciones simples. De ninguna de ellas se puede obtener otras proposiciones.
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Las proposiciones compuestas son aquéllas de las cuales se pueden obtener otras proposiciones más simples. Por ejemplo: (e) “Frege fue un lógico y Copérnico fue un gran astrónomo”. es una proposición compuesta porque de ella pueden obtenerse dos más simples, como son: “Frege fue un lógico” y “Copérnico fue un gran astrónomo”. También es compuesta la proposición: (f) “Jesús E. Lossada no fue rector de la Universidad del Zulia”. ya que de ella se puede obtener la proposición más simple: “Jesús E. Lossada fue rector de la Universidad del Zulia”.
Pasemos ahora a unos ejercicios que nos ayudarán a reafirmar lo que hemos aprendido EJERCICIOS Distinga con una S las proposiciones simples y con una C las compuestas. (1) El filósofo Alemán Leibniz vivió en siglo XVI. ( ) (2) Miguel A. Asturias no vivió en París. ( ) (3) Bertrand Russel nació en Inglaterra y escribió el libro titulado Principia Mathematica. ( ) (4) No llueve. ( ) (5) Rómulo Gallegos escribió Doña Bárbara. ( ) (6) Rafael Urdaneta fue leal a Bolívar y fue presidente de la Gran Colombia ( ) (7) Si hay educación, entonces el desarrollo será más rápido. ( ) (8) Si L.U.Z. cumple con su lema: “Post Nubila, Phoebus”, está cumpliendo con su misión. ( )
Ver las Respuestas 3. EL DISCURSO LÓGICO Como ves, hemos ido, poco a poco, delimitando dentro del lenguaje el campo en el cual está ubicada la lógica. Ya sabemos que se trabaja con juicios u oraciones declarativas que expresan proposiciones. Sin embargo, hay que precisar aún más qué es la lógica y de qué se ocupa. En el lenguaje diario usamos los términos ‘lógico’ o ‘lógica’ de modo impreciso y, muchas veces, equivocado. Veamos algunos casos: (a)Si te mojaste en la lluvia es lógico que te hayas resfriado. (b)Si contaminamos el ambiente lógicamente se rompe el equilibrio natural. (c) La argumentación del abogado fue rigurosamente lógica en todos sus puntos. (d)Es una novela disparatada, sin una secuencia lógica que permita seguir la trama. En los dos primeros ejemplos (a) y (b) el término se refiere a la conexión natural de un hecho ‘A’ que tiene como consecuencia otro hecho o resultado ‘B’. En estos casos
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podemos cambiar el término por otras expresiones: “es natural”, “en consecuencia”, “debe ocurrir que”. Es decir, aquí se señala conexiones de causa-efecto, relaciones de hechos. Esto no le compete a la lógica sino a las ciencias naturales. En los ejemplos (c) y (d), en cambio, podemos notar que el término lógica señala la relación entre las partes de un discurso oral o escrito; se refiere pues a la coherencia o incoherencia de lo que se ha dicho, de lo que se discurre, razona o argumenta. La palabra aquí se puede sustituir por “es coherente”, “está bien construida”; es decir, señala una corrección (o falta de ella) en la construcción del discurso, en su forma, en su estructura. El término no tiene, pues, nada que ver con los hechos ni con la veracidad de las afirmaciones, sino con la construcción o estructura del discurso, con la secuencia o concatenación rigurosa de sus partes. El rigor lógico de un discurso está en la concatenación de sus partes, en la corrección de su construcción. Así, cuando un texto está coherentemente estructurado y sus partes llevan una secuencia rigurosa, decimos que es un discurso lógico.
Resumiendo: La palabra ‘lógico’, de uso corriente en el lenguaje castellano, no siempre responde al uso estricto que se le da en lógica. Así pues, para mayor claridad, distinguiremos dos usos de esa palabra a saber: uso corriente y uso estricto. •
Cuando la palabra ‘lógico’ puede sustituirse por palabras como: ‘es natural’ y ‘es esperado’, decimos que está empleada en sentido corriente. Así, decir: (e) “Es lógico que hayas triunfado”. equivale a decir: “Es natural que hayas triunfado”.
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La palabra ‘lógico’ en (e) ha sido empleada en sentido corriente. Cuando la palabra ‘lógico’ se emplea para referirse a las relaciones o vinculaciones entre las partes de un pasaje o de un artículo, a la coherencia de las partes de un discurso, diremos que está usada en sentido estricto. Por ejemplo, cuando se afirma: (f) “El abogado litigante refutó con gran rigor lógico lo afirmado por el testigo”,
se quiere decir que el abogado litigante concatenó, relacionó, unió, vinculó de forma coherente sus afirmaciones y sus argumentos; que una afirmación se basó en otra y ésta, a su vez, en la anterior y así sucesivamente. En el ejemplo dado (f) la palabra ‘lógico’ no puede sustituirse por la palabra ‘natural’ sin que cambie su significado. En este caso, la palabra ‘lógico’ está usada en sentido estricto. En nuestro curso sólo emplearemos la palabra ‘lógico’ en sentido estricto.
4. EL RAZONAMIENTO En un texto cualquiera podemos estar simplemente informando, relatando, presentado los hechos, sin que haya un flujo o conexión desde unas afirmaciones o proposiciones a otras;
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es decir, sin que estemos discurriendo, argumentando 0 razonando. Por eso, como decíamos al principio del punto anterior, todavía no estamos en el campo de la lógica. La lógica, pues, se ocupa del texto que exprese un razonamiento o argumento. Un razonamiento es un pasaje, un trozo de texto, un discurso, en el cual se pretende probar o demostrar alguna proposición. Este tipo de discurso racional o argumentativo es lo que interesa a la lógica como herramienta de las ciencias, las cuales pretenden construir argumentos, razonamientos sólidos, que permitan demostrar o probar nuevos conocimientos a partir de la experiencia o de las verdades ya conocidas. Veamos un ejemplo: (a) Todos los lenguajes tienen sintaxis. Sin duda, el wayú es un lenguaje. Luego, el wayú tiene sintaxis. Primera etapa: En la primera etapa se determina la verdad de las premisas. Si la primera premisa es verdadera se continúa, de lo contrario ahí termina todo. Se hace lo mismo con las demás premisas. Segunda etapa: La mente encuentra una relación entre algunos términos de las premisas. Nota que, en el ejemplo dado, el nexo que se da entre los términos `wayú' y `sintaxis' se logra en virtud del término `lenguaje' que aparece en ambas premisas. Esta relación permite, pues, que se dé una unión, un nexo que antes no se percibía, o se percibía confusamente entre: wayú-lenguaje-sintaxis Tercera etapa: La percepción del nexo entre esos tres términos lleva a la conclusión: "Luego, el wayú tiene sintaxis". Finalmente, observa que la conclusión está contenida en las premisas, y que se ha hecho explícita en virtud de la percepción de su trabazón (unión, nexo) con las premisas. ¿Qué es, pues, un razonamiento?. Un razonamiento es un conjunto de proposiciones vinculadas entre sí de tal manera que, mediante un acto mental, una de ellas (la conclusión) se desprende de las otras (premisas). Resumiendo: Un conjunto de proposiciones vinculadas de tal manera que, la proposición final (conclusión) se desprende de las proposiciones iniciales (premisas), obteniendo un conocimiento nuevo que rebasa el expresado en las premisas. Este paso lógico de las premisas a la conclusión es lo que llamamos inferencia. Así pues, las características de un razonamiento son: (i) Está formado por un conjunto de proposiciones: premisas y conclusión. (ii) Los términos de las premisas están vinculados entre sí. (iii)La mente se percata de ese nexo e infiere (obtiene) la conclusión.
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Una última observación. Los razonamientos en el lenguaje corriente están, casi siempre, ocultos dentro de una gran riqueza lingüística; por eso, el primer trabajo es extraer, en un lenguaje neutro, el razonamiento presente en esos párrafos. Veamos un ejemplo y la manera de proceder: (a) Cuando se quiso averiguar los efectos del cigarrillo sobre la salud, los científicos aislaron las sustancias contenidas en el tabaco que eran absorbidas por los fumadores, (b) luego se la administraron a los animales del laboratorio y se registraron los resultados encontrando una asociación entre la nicotina y el cáncer de las vías respiratorias. Resumiendo en un argumento esta experiencia científica se diría más o menos así: "Se viene observando una mayor incidencia de cáncer entre los fumadores. Sometidos los animales del laboratorio a la acción de la nicotina, todos desarrollaron algún tipo de cáncer Por 1o tanto, el efecto de la nicotina en los fumadores está directamente relacionado con la mayor incidencia de cáncer en dicho grupo ". Como podemos observar, a partir de los conocimientos ya establecidos en las dos primeras proposiciones llegamos a un conocimiento nuevo expresado en la última proposición. 4.1. Premisas y Conclusión Todo el que polemiza, todo el que debe sostener una tesis o una conclusión como, por ejemplo, el abogado, el juez, el expositor científico, el estadista, el político, el economista, el filósofo, etc., se ve obligado a unir, a vincular ordenadamente un conjunto de proposiciones que le sirva de base para sustentar esas conclusiones o tesis. esto es, tiene que relacionar coherentemente sus proposiciones, sus verdades, tiene que argumentar, tiene que razonar, tiene que discurrir correctamente. Alguien, por ejemplo, que no esté de acuerdo con el neoliberalismo económico podría razonar de la siguiente manera: (a) Las medidas económicas conducentes a privilegiar una minoría no son las más indicadas para el país. No hay duda que las medidas económicas basadas en el neoliberalismo económico favorecen a minoría. Por lo tanto, el liberalismo económico no es lo que requiere el país. Otro ejemplo: Un ciudadano que considere que sin educación no es posible el desarrollo de una sociedad, podría razonar de una forma parecida a ésta: (b) Dado que la educación fue la base de Japón para lograr un desarrollo económico; que el Plan Marshal tuvo éxito en Europa por la preparación de los europeos; que los países desarrollados han logrado serlo por contar, en general, con ciudadanos con un buen nivel educativo; parece, por consiguiente, que la educación de los ciudadanos es imprescindible para lograr un país desarrollado.
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Observa cómo en los dos razonamientos anteriores unas afirmaciones se basan en otras, cómo se extrae un conocimiento de otros, una proposición de otras, cómo esto se plasma en el lenguaje mediante determinadas expresiones que, unas veces, se anteponen a la conclusión (como ‘por lo tanto’, ‘pues’, ‘luego’, ‘por ende’, ‘por consiguiente’, etc. ); y otras que, a veces, preceden a las premisas (como ‘dado que’, ‘ya que’, ‘puesto que’,...). En el primer razonamiento aparece la expresión ‘por lo tanto’ precediendo a la conclusión. En el segundo se antepone ‘dado que’ a las premisas y ‘parece, por consiguiente’ a la conclusión. Vemos, pues, que en todo razonamiento hay premisas y conclusión. Premisas son las proposiciones que sirven de base para obtener la conclusión. Esta es la proposición obtenida de la relación existente entre las premisas. Las premisas expresan verdades conocidas y, por la relación establecida entre ellas, se descubre una verdad desconocida o confusamente conocida: la conclusión. Así pues, un razonamiento está compuesto de unas proposiciones iniciales llamadas premisas y una proposición final llamada conclusión. Partimos de las premisas y llegamos a la conclusión. Una sola proposición no es un razonamiento: debe haber, al menos, una premisa y una conclusión. Tampoco cualquier colección de proposiciones hace un razonamiento: deben estar concatenadas de una manera coherente de modo que se desprenda de ellas la conclusión, si se aceptan las premisas, hay que aceptar la conclusión. Además, la conclusión proporciona un conocimiento nuevo que no estaba contenido en las premisas y la cual no se podía acceder por la simple observación. 4.2. Proceso del Razonamiento. Su Concepto. Con el fin de comprender mejor el concepto de razonamiento me referiré al proceso seguido por la mente en la elaboración de un razonamiento. El razonamiento es un proceso en el cual la mente se traslada de unas proposiciones a otras en tres etapas. Analicemos estas tres etapas mentales en la construcción del siguiente razonamiento: “¿Dónde están los hombres?- preguntó cortésmente el Principito-. ¿Los hombres? [...] Los vi hace años; pero no se sabe nunca donde encontrarlos. El viento los lleva, pues no tienen raíces" (A. de. Saint-Exupéry, El Principito). He aquí el razonamiento del Principito en lenguaje neutro: (i) Los hombres estaban aquí hace años, pero ahora no están. (ii) No tienen raíces y el viento los lleva a todas partes. (iii)Por lo tanto, no se sabe nunca donde encontrarlos. De esta manera son evidentes las premisas y la conclusión. El resto del diálogo no forma parte del razonamiento. 4.3. Identificación de Razonamientos Como señalamos antes, no todos los textos o pasajes contienen un razonamiento; por eso es importante que aprendamos a distinguir cuándo hay o no razonamiento.
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A pesar de que en todo razonamiento hay un conjunto de proposiciones, sin embargo no todo conjunto de proposiciones constituye un razonamiento. Cuando expresamos un conjunto de proposiciones sucesivamente sin establecer una relación entre ellas que nos permita obtener otra nueva, ese conjunto de proposiciones no forma un razonamiento. Si afirmamos: (a) "El 27 de Noviembre de 1992 se intentó, por segunda vez en el año, un golpe de estado en Venezuela. En el mismo estuvieron involucrados, a diferencia del primer intento, varios generales de las fuerzas armadas. El pueblo, sin embargo, no se unió a los golpistas", observamos que ninguna proposición se deriva de las anteriores, simplemente, se informa, mediante proposiciones seriadas, parte de lo ocurrido el 27 de Noviembre de 1992 en Venezuela. Ninguna proposición funge ni como premisa ni como conclusión, y, en consecuencia, no hay razonamiento alguno. No avances tan aprisa si no estas seguro de lo que has Leído, repasa... y continua los ejercicios siguientes EJERCICIOS Determinar si los siguientes conjuntos de proposiciones son o no razonamiento. En los razonamientos indique las premisas y la conclusión. (1) En forma desprovista de todo espíritu crítico, hase mezclado la Jurisprudencia con la Psicología y la Biología con la Ética y con la Teología. Por eso hoy en día, casi no hay ciencia especial en cuyo recinto el jurisperito se considere incompetente para penetrar (Dr. Hans Kelsen: La Teoría Pura del Derecho). (2) Dice el World Resources Institute: “América Latina es una tierra de promesas y paradojas. La región en su conjunto es rica en recursos naturales [...]. Pero estos recursos naturales no están distribuidos equitativamente y diversos países en la región enfrentan severas privaciones”. (3) La mejor ley de huelga es la que no existe, tal ha sido la consigna más recurrida cada vez que se planteó la necesidad de una regulación de una huelga, sobre todo por lo que hace a moderar su impacto en los servicios públicos (Humberto Villasmil P., SIC, No. 550) (4) Tradicionalmente el Derecho Civil ha girado en torno a la regulación de las grandes instituciones: la persona y el patrimonio, que constituyen dos fines humanos esenciales, de ahí la importancia de su estudio. (5) El problema de la violación de los derechos humanos a través de los atropellos policiales, no puede ser visto como una fatalidad accidental producto de las desviaciones de conducta de quienes la ejecutan ni tampoco como producto de la casualidad (Luis Urdaneta A.: Nueva Sociedad, N° 123). (6) La democracia no se mejora limitándola o destruyéndola, sino perfeccionándola. Los pueblos no aumentan sus condiciones de vida bajo, el autoritarismo, sino mediante una real participación en las decisiones de los gobiernos (Comisión Sudamericana de Paz). (7) El lenguaje ha jugado el papel más impactante en la constitución de la herencia social humana. La transmisión de las ideas y de la ciencia sólo fue posible por el
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lenguaje; el conocimiento que posee cada generación puede ser transmitido en su totalidad a la siguiente en virtud del lenguaje. (8) Después de una larga noche de terror, muerte y silencio, claramente verificable en los hechos, nombres y cifras de tantos países de la región, hoy el 90% de la población latinoamericana vive bajo regímenes democráticos, porcentaje que hace sólo una década era el correspondiente a quienes estaban gobernados por dictaduras (Heidulf Schmidt. Nueva Sociedad, N° 123). (9)Encontramos como primeros elementos en el conocimiento el sujeto pensante, el sujeto cognoscente y el objeto. Todo conocimiento, cualquier conocimiento, ha de ser de un sujeto sobre un objeto (Manuel García Morente: Lecciones Preliminares de Filosofía). (10) Yo puedo pensar que estoy soñando, que nada de lo que pienso es verdad, pero es verdad que lo pienso y que ese pensamiento es mío. Por consiguiente, si pienso existo (cogito ergo sum: Descartes). (11) Son las 4:30 a.m. y suenan unas palmadas. Son las madres que hacen milagros con la masa para rendir 1as arepas para sus hijos. A partir de esa hora no hay descanso posible: La cola de los carros para salir del barrio; los reales que no alcanzan para comprar un pote de leche; el hospital que no atiende; los niños que necesitan más cosas para la escuela; no hay agua y hay que acarrearla. Lo cierto es que los valores de la vida que nos son propios se van diluyendo, [...] hasta llegar a desconocerlos como valores inherentes (Nueva Sociedad, N° 123). (12) El nombre de ley, tomado en su sentido más amplio significa aquello que impone una manera de obrar fija y determinada a un individuo cualquiera, a todos los individuos de la misma especie o solamente a algunos. La ley que depende de una necesidad natural es la que resulta necesariamente de la propia o de su definición; la que depende de la voluntad de los hombres es la que los hombres establecen para comodidad y seguridad de la vida, o por otras razones suficientes: en este último caso se llama propiamente derecho (Baruch Sponoza, Tratado Teológico Político). (13)Grecia es una piedra de toque para el intelectual. El sonido que emita su alma al tropezar con aquella revelará sus cualidades últimas. Entonces se ve si es hombre de meras frases, de postura, de carantoñas, un lindo o, por el contrario, un hombre de intuiciones inmediatas, afanoso de sumergirse en las cosas y de transmigrar desde sí mismo a los objetos para volver, como el buzo, sucio, roto, pero cubierto de algas y autentica fauna abisal (José Ortega y Gasset, Ética de los Griegos, Obras Completas, T. III, pág. 529). (14) Se trata que es la europea una cultura nacida y crecida en simbiosis con otra cultura extraña y muerta: la griega. No creo que este caso se haya dado en otra ocasión. Y ocurre preguntarse, ¿ constituye un organismo unitario y saludable, o es un monstruo histórico, un caso de feroz parasitismo? Y si vale esto último, ¿ quién es el parásito y quién el anfitrión (José Ortega y Gasset, Ética de los Griegos, Obras Completas, T. III, pág. 329). (15) Antes de intentar construir una teoría del conocimiento humano, el filósofo debe tratar de tener ante sus ojos el peculiar fenómeno de la conciencia que llamamos “conocimiento”, y describir en sus rasgos esenciales lo que ve. Para ello debe guardarse de introducir por su cuenta datos o interpretaciones extrañas al fenómeno (Johannes Hessen, Tratado de Filosofía, pág. 233). (16) Hay una ética social y una ética íntima. La primera dicta normas y recetas para resolver los conflictos del hombre con la sociedad que le rodea la ciudad y los dioses. La segunda se preocupa de resolver los problemas interiores, de poner en orden la
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barahúnda de los instintos e impulsos (José Ortega y Gasset, Ética de los Griegos, Obras Completas, T. III, pág. 531).
(17) El solo nombre de Maquiavelo nos dice bien hasta que punto se afanó el renacimiento por renovar su concepción del hombre y de su vivir social. Lo específicamente nuevo está en que el hombre no se valora ya según la medida de un orden sobrehumano, al que se subordina y sirve, sino que comienza a buscar en sí mismo 1a medida ( J. Hirschberger, Historia de la Filosofía, pág. 498). (18) Todo lo que esta en movimiento debe ser movido por otro, pues nada puede moverse a sí mismo, y como no se puede retroceder hasta el infinito en la dependencia de los movidos respecto de sus motores (si no hay un primer motor, tampoco hay un segundo, pues todas las segundas causas dependen de la primera), ha de admitirse finalmente un primer motor que no sea a su vez movido por otro, sino que sea él por sí mismo movimiento, fuente de movimiento; pero a esto todos llamamos Dios (Prueba de la existencia de Dios por el movimiento según Santo Tomás de Aquino. Cf. J. Hirschberger, Historia de la Filosofía, pág. 401). (19)La Geometría de Euclides estudia las propiedades de las figuras geométricas en la superficie plana, en tanto que la geometría no euclidiana estudia las propiedades de las figuras en las superficies curvadas, por ejemplo, en una esfera. En estas superficies curvas ya no puede haber líneas rectas, y las propiedades de las figuras geométricas son distintas de las de un plano. (I. Nóvikov, Cómo explotó el Universo, pág. 71). (20) El dominio de las reglas de la lógica simbólica tiene sobre la actuación en el razonar informal, el mismo efecto vigorizador que tiene la gimnasia en la actuación en los deportes (Kuppermann, Joel. Fundamentos de Lógica, pág. 251). Ver las Respuestas Para reafirmar este punto, sumamente importante, te presentamos otra serie de ejercicios
EJERCICIOS Determina las premisas y las conclusiones de los siguientes razonamientos. (1) Si hay rectitud en el corazón, habrá belleza en el carácter; si hay belleza en el carácter, habrá armonía en el hogar; cuando haya armonía en el hogar, habrá orden en la nación; cuando haya orden en la nación, habrá paz en el mundo. Por tanto si hay rectitud en el corazón, habrá paz en el mundo. (2) El oxígeno tiene 16 como peso atómico y el peso atómico de un elemento expresa la relación que existe entre el peso real del átomo correspondiente y el peso real de un átomo de hidrógeno, al cual se le ha asignado un peso atómico de 1; luego, esto quiere decir que el oxígeno pesa 16 veces más que el átomo de hidrógeno. (3) Minkowski denomina “punto del universo” a un punto determinado del espacio en un tiempo o instante determinado, [...]; y una secuencia de semejantes puntos del universo espacio-temporales, en la que el espacio y el tiempo están ensamblados entre sí en todos sus puntos, es una “línea del universo”; de ahí que una línea el universo sea la historia continua de un individuo existente en el espacio-temporal generada por una existencia individual (Marx W. Wartofsky, Introducción a la Filosofía de la Ciencia). (4) Dado que fuerza es toda causa de provocar o modificar el movimiento de un cuerpo, o de producir su deformación; y que si soltamos un peso que tenemos en la
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mano cae; si lo suspendemos en un resorte éste se deforma; si lanzamos una piedra hacia arriba, su movimiento disminuya, acaba y la piedra vuelve a caer finalmente al suelo; es obvio que, en la proximidad de la Tierra, todo cuerpo está sometido a una fuerza. (5) El ojo, según sabemos, esta perfectamente acondicionado para discriminar colores y percibir las forma; así mismo el oído está organizado para captar diferencias de tonos y de volumen de sonidos; [...] la habilidad que tienen los niños recién nacidos para localizar sonidos, sugiere que el organismo ya viene provisto de una estructura que puede ordenar la supuesta experiencia virgen según un esquema típico. Teniendo en cuenta estos elementos de juicio podemos concluir que la experiencia nos llega ya conformada por las propias estructuras que la hacen posible. (Marx W. Wartofsky, Introducción a la Filosofía de la Ciencia). (6) Los derechos humanos, planteados como límite a la arbitrariedad del poder, poseen fundamentos históricos y filosóficos. Podemos reflexionar sobre ellos desde los griegos, continuando con los romanos, pasando por la Magna Charta Libertatum de los nobles ingleses hace más de siete siglos, la Declaración de los Derechos del Hombre y del Ciudadano (1789) de los franceses, hasta la Declaración Universal de los Derechos del Hombre e la O.N.U. (Heidulf Schmidt, Nueva Sociedad, Nº 123). (7) Y alzando los ojos vio a los ricos que echaban sus dones en el arca de las ofrendas. Y vio también a una viuda pobre, que echaba allí dos monedas. Y dijo: en verdad os digo, que esta viuda pobre ha echado más que todos. Porque éstos, de lo que les sobra han echado para las ofrendas de Dios; más ella, de su indigencia, ha echado todo el sustento que tenía (Lucas, 21,1-4). (8) - ¿Quiénes son ustedes?- les preguntó el Principito sorprendido. - Somos rosas- respondieron las flores. - ¡Ah!- dijo el Principito. [...] Su flor le había dicho que ella era la única especie en todo el universo, y ahora veía que sólo en este jardín había cinco mil, todas semejantes (El Principito, A. de Saint Exupéry). (9) La razón encuentra en sí misma la idea de un ser, el ser sumo que se puede pensar. Si este ser existiera sólo en la mente; no sería el mayor ser pensable, pues se podría pensar todavía un ser superior a él, el ser, en efecto, que no sólo existiera en la mente, sino también en la realidad. Consiguientemente, la idea del ser sumo exige que este ser no sólo exista en la mente, sino también en la realidad (Anselmo de Cantorbery). (10) El espectáculo histórico del derrumbamiento del aristotelismo pone en primer plano del pensamiento moderno una cuestión previa, antes de toda otra. La cuestión que nos interesa [...] es la cuestión metafísica: ¿quién existe?. Pero cuando Descartes [...] acomete esa pregunta, ya todo es un fracaso en 1a primera filosofía y él no quiere fracasar. Por eso, antes de acometer la pregunta de quien existe quiere asegurarse, y resuelve pensar minuciosamente en un método que permita evitar el error (Manuel García Morente, Lecciones Preliminares de Filosofía). Ver las Respuestas 5. TIPOS DE RAZONAMIENTO
5.1. Razonamiento Inductivo
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Ya Aristóteles afirmaba que: “inducción es el tránsito de las cosas particulares al caso universal”, y lo ilustraba con el siguiente ejemplo: (a)si el piloto mejor es el experto, y lo mismo sucede con el auriga, puede decirse entonces, de forma general, que el hombre experto es el mejor en cada caso (Cf. Tópica 1, 7 (1° 3 a 6-14)). Veamos un segundo ejemplo: (b)La medicina A curó el cáncer B a las personas V, W, X, Y y Z. De estas premisas puede inferirse que, probablemente, la medicina A cure todos los cánceres de tipo B. En ambos ejemplos las premisas ofrecen cierta evidencia para afirmar la verdad de la conclusión. Sin embargo, puede presentarse algún caso en que el cáncer B no sea curado por la medicina A, e igualmente podría suceder que no siempre el experto es el mejor en todos los casos. Esto nos permite anotar las siguientes características de un razonamiento inductivo: (i) La conclusión es más general que las premisas. (ii)La conclusión no se sigue necesariamente de las premisas. (iii)La conclusión no es necesariamente verdadera sino sólo probable.
Resumiendo: El razonamiento inductivo es una operación lógica discursiva por la cual de la suficiente observación de cosas particulares se llega a una generalización legítima; aunque no necesariamente verdadera, sino sólo probable. En esta definición hay una expresión que determina el grado de valor de la misma: “suficiente número de casos”, esto es, un número de casos que me Induzca a afirmar que el fenómeno no se debe a circunstancias externas al mismo, sino a su misma estructura. Cuando los fenómenos observados son puramente externos y fortuitos la inducción es arriesgada científicamente. A este respecto el Profesor Ernesto Dann O. anota: "Un médico quiere probar una inyección en un tuberculoso que, abatido, desanimado, no quiere alimentarse y, junto con la receta, le suministra "inyecciones psicológicas" de optimismo; el enfermo cobra una fe ciega en la medicina nueva, su moral se levanta, empieza a salir de su cuarto a oxigenarse, y consigue despertar su apetito, come más. Por fin el enfermo presenta un cuadro satisfactorio, ¿podrá decir el médico que el efecto se debe a la inyección? (Cf Dann O. Ernesto, Lógica, pág. 200). Evidentemente que no, pues no hay seguridad de sí la curación se debe a la inyección (medicina) o a esa otra “inyección psicológica” fenómeno externo y fortuito. 5.2. Razonamiento Analógico Los razonamientos por analogía no son deductivos, esto es, no pretenden demostrar la verdad de sus conclusiones como derivaciones necesarias de sus premisas. Los razonamientos analógicos sólo aspiran a que sus conclusiones sean probablemente verdaderas, y, en ese sentido, son razonamientos inductivos. Además, la mayoría de nuestros razonamientos ordinarios los hacemos por analogía. Así, infiero que:
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(a) un carro nuevo resultará bueno sobre la base de que otro carro de la misma marca y vendido por la misma agencia me ha resultado bueno. En base al ejemplo dado veamos las características del razonamiento por analogía. En el ejemplo las dos cosas que consideramos similares son los dos carros. Hay cuatro elementos análogos o semejantes en ellos: primero, son carros; segundo son de la misma marca; tercero, han sido comprados en la misma agencia; cuarto, han dado buen resultado. Ahora bien, los cuatro elementos de analogía no desempeñan el mismo papel en el razonamiento. Los tres primeros forman parte de las premisas, mientras que el cuarto se afirma en la conclusión. Este es pues un razonamiento en el que las premisas afirman la semejanza de dos cosas en tres aspectos (son carros, son de la misma marca y han sido comprados en la misma agencia) y la conclusión afirma que son, además, semejantes en otro aspecto (en el buen resultado). Los razonamientos analógicos se pueden referir a dos o más cosas y a dos o más aspectos. Sean muchas o pocas las cosas y sus respectivas semejanzas, todo razonamiento analógico parte de la similitud de dos o más cosas en uno o en más aspectos para concluir que esas cosas son similares en algún otro aspecto. Todos tienen la misma estructura. En efecto, si A, B, C, D son cosas cualquiera, y a, b, c, d y e son aspectos cualesquiera, un razonamiento análogo se representaría con el siguiente esquema: A, B, C, y D tienen en común los aspectos a, b, c, y d. A, B y C tienen en común el aspecto e. Por tanto, D tiene también el aspecto e. Es preciso notar que no todas las analogías constituyen razonamientos analógicos. Las analogías se usan también de dos maneras, a saber: primero, los escritores la utilizan, en la metáfora, en el símil, para obtener informaciones vívidas y bellas. Así, un literato podría escribir: “El rocío, cual arco iris sin igual, se vestía de colores y de luz”. Aquí se compara el rocío y el arco iris, pero solamente para describir la belleza del rocío de esa mañana. Segundo, la analogía se usa también en la explicación. A veces una cosa difícil o menos familiar se compara con otra más familiar o más fácil con la que tiene alguna similitud. Por ejemplo, para empezar a entender la corriente eléctrica un profesor de física podría empezar comparándola con la corriente de un río. Esta comparación de algo conocido le permite establecer semejanzas: el cauce con el cable que conduce la corriente eléctrica, el agua con los fotones, la cantidad de agua con el amperaje, la fuerza del agua con el voltaje, etc. Esta analogía, entre el río y la corriente eléctrica, sólo pretende explicar algunos aspectos de la corriente eléctrica aprovechando algunas similitudes entre una cosa familiar (el río) y una menos familiar (la corriente eléctrica). Resumen de las características de un razonamiento analógico: (i) Su conclusión es probable. (ii)Su conclusión no se sigue necesariamente de las premisas. (iii)Las similitudes entre los aspectos de dos o más cosas no juegan todos el mismo papel: unos, cumplen la función de premisas, y otros el de conclusión.
Valoración de los Razonamientos Analógicos
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Aunque la conclusión de los razonamientos analógicos es sólo probable; sin embargo, no todas sus conclusiones tienen el mismo grado de probabilidad, sino que hay diversos grados en ella. Hay varios criterios para determinar el grado de probabilidad de la conclusión de un razonamiento analógico. Estos, son algunos de ellos: El primer criterio para la estimación de la conclusión de un razonamiento analógico es el número de entidades entre las cuales se establece la analogía. Por ejemplo, aconsejar a un amigo, recién llegado a Maracaibo, que no compre una camioneta Cherokee, en base a que ha habido dos casos de robo, no tiene el mismo grado de convencimiento que basar ese consejo en diez o más casos ocurridos en el mismo lapso de tiempo. El segundo criterio es el número de características que se tienen en cuenta para establecer analogías entre distintos asuntos. Veamos el ejemplo ya citado de los carros. El hecho de que el nuevo carro haya sido comprado en la misma agencia que el viejo que dio buenos resultados es, ciertamente, una premisa de la cual podemos deducir que el nuevo carro también tendrá buenos resultados. Pero esta conclusión será más probable si las premisas, además de afirmar que fue comprado en la misma agencia, añaden que son de la misma marca, que el vendedor es el mismo, que tendrá el mismo uso. El tercer criterio es determinar la fuerza de sus conclusiones en relación a sus premisas. Por ejemplo, si en los últimos veinte años los graduados de la Universidad del Zulia han empleado, como promedio ocho años de permanencia para obtener su titulo, se puede inferir que el promedio de tiempo que empleará el nuevo contingente de estudiantes que ingresa en la institución para graduarse será aproximadamente de ocho años. Ahora bien, también se puede concluir con esa misma premisa que los estudiantes que ingresan en LUZ emplearán más de siete años para lograr su diploma. También, con la misma premisa se pueden tener otras conclusiones como que los recién ingresados en LUZ tardarán exactamente ocho años. Evidentemente, la última conclusión sería la menos probable; mientras que la penúltima sería más probable que sus anteriores. El cuarto criterio es determinar las diferencias entre las condiciones presentadas en las premisas y en la de la conclusión. Las conclusiones del primer razonamiento y del último se hacen más dudosas si se añade que en los tres últimos años, por diferentes circunstancias, sólo se ha podido ofrecer un solo semestre por año académico. En cambio, las conclusiones del segundo y tercer razonamiento se hacen más probables. El quinto criterio es que cuanto mayor sean las diferencias entre las condiciones mencionadas en las premisas, tanto más probable es la conclusión del razonamiento analógico. La conclusión de que Luis López, recién ingresado a la Universidad del Zulia, terminará su carrera, puede considerarse con un grado de probabilidad muy alto, sobre la base de que otros doce estudiantes del mismo instituto, del mismo estrato social y de la misma etnia y sexo ingresaron en esa misma carrera en LUZ y terminaron sus estudios universitarios. Ahora bien, el razonamiento sería más fuerte si los doce estudiantes mencionados se desenvuelven en circunstancias distintas. La conclusión es más probable si se añade que esos doce estudiantes son de diferente origen racial, de diferente estrato económico, de distinto sexo, provenientes de diferentes colegios, etc. Esto es como afirmar que el recién ingresado terminará su carrera no importa de qué colegio venga, de qué sexo sea, de qué etnia, etc. porque los doce alumnos que se han graduado lo han hecho a pesar de que entre ellos había circunstancias muy diferentes al ingresar a la universidad. Equivale, en la práctica, a decir que implícitamente, la Universidad del Zulia es tan eficiente que, por muchas que sean las diferencias de los estudiantes recién ingresados, éstos terminarán sus carreras. El sexto y último criterio es el llamado de Atingencia. La fortaleza de un razonamiento analógico depende de la relación de las premisas con la conclusión. Los ejemplos citados hasta ahora guardan esa relación y, por eso, son convincentes. Si en el
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ejemplo anterior sacáramos la conclusión de que Luis López terminará su carrera porque, como doce amigos suyos que se graduaron en esa carrera, es blanco, alto, buen atleta, le gusta el cine, etc. Es evidente que este razonamiento es mucho más débil que el formulado en el párrafo anterior, y la razón de ello es que en el segundo las características señaladas no guardan ninguna relación con el hecho de que Luis López vaya a terminar su carrera. Es decir, no hay atingencia entre las premisas y la conclusión. La atingencia se explica en función de la causalidad, los razonamientos altamente probables van de la causa al efecto o del efecto a la causa. Si un apartamento está frente al Lago de Maracaibo y en él corre la brisa por la tarde, naturalmente, si el apartamento que quiero comprar está también al frente del Lago de Maracaibo, puedo esperar con mucha probabilidad que en él correrá la brisa por la tarde. La analogía guarda una relación causal entre la ubicación del apartamento y la brisa. 5.3. Razonamiento Deductivo En el razonamiento deductivo, en general, se pasa de un grado mayor de generalización en las premisas a un grado de generalización menor en la conclusión. Además, en los razonamientos deductivos se pretende que la conclusión se siga necesariamente de las premisas, esto es, que no pueda darse otra conclusión, por lo cual los antiguos decían que “la conclusión de un razonamiento deductivo está incluida en las premisas”. Consecuencia de lo anterior es que la conclusión de un razonamiento deductivo es verdadera o falsa, no tiene grados de probabilidad, como en la del razonamiento inductivo. En el siguiente razonamiento deductivo podremos verificar las características señaladas anteriormente. (a) Todos los hidrocarburos son combinaciones orgánicas (premisa). Algunos hidrocarburos son gases (premisa). Por tanto, algunos gases son combinaciones orgánicas(conclusión). Observa, primero, que el grado de generalización de la conclusión es inferior al de las premisas. En efecto, se pasa de "todos los hidrocarburos" en las premisas, a "algunos gases" en la conclusión. Segundo, la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, pues cualquiera que sepa razonar correctamente, aunque no sepa nada de química, con sólo esas dos premisas dadas obtiene la conclusión anotada. La conclusión se sigue con necesidad de las premisas, no necesito de la experiencia para ello. Tercero, la conclusión es verdadera, esto es, no hay grados de probabilidad en la misma.
Si has realizado todos los ejercicios anteriores y aclarado tus dudas, estas en capacidad de responder las siguientes preguntas. AUTOEVALUATIVO 2 Determinar si los siguientes razonamientos son deductivos, inductivos o analógicos, indicando en cada uno las premisas y la conclusión.
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(1) “Los animales ante ciertos estímulos externos proceden, reaccionan externamente, en forma. análoga a los racionales, luego tienen también percepciones sensibles” (Ernesto Dann, Lógica, pág., 208). (2) Los científicos, experimentando diversos metales sometidos a calor en distintos ambientes, observaron que cada uno de ellos aumentaba su tamaño; de ahí concluyeron con la verdad científica: "Los metales se dilatan con el calor". (3) Del hecho de que el Dr. Robinson es un médico por vocación, puedo inferir lo mismo del Dr. Allison, ya que ambos fueron educados en familias honorables, en el mismo colegio, la misma universidad y ambos son hombres leales, generosos, responsables. (4) Darwin en sus investigaciones observó que los organismos se reproducían indefinidamente, por lo cual concluyó afirmando que todos los organismos tienen la tendencia a reproducirse indefinidamente. (5) El mal, que consiste en el defecto de la acción, proviene siempre de algún defecto del agente. Mas en Dios no hay defecto alguno, sino suma perfección... Luego, el mal que consiste en el defecto de la acción o que es causado por deficiencia del agente, no puede reducirse a Dios como causa (Suma Teológica T II-III, lq, 49 a.2). (6)Podemos observar gran similitud entre la Tierra que habitamos y los otros planetas, Saturno, Júpiter, Martes, Venus y Mercurio. Todos ellos giran alrededor del sol, al igual que la Tierra, aunque a distancia y períodos diferentes. Todos ellos toman su luz del Sol, lo mismo que la Tierra. Se sabe que varios de ellos giran alrededor de sus ejes, como la Tierra, y debido a esto deben presentar una sucesión de días y de noches. Algunos de ellos tienen lunas que les dan luz en ausencia del sol, como lo hace nuestra Luna para nosotros. En sus movimientos, todos ellos están sometidos a la misma ley de gravitación, como ocurre con la Tierra. Tomando como base todas estas semejanzas no es disparatado pensar que, al igual que en la Tierra, esos planetas puedan estar habitados por seres vivientes de diversos órdenes (Cf. Irving M. Copi, Introducción a la Lógica, pág. 304). (7) Si la persona sometida a hipnosis recibe una información y, al salir de este estado, no recuerdan nada, significa que esa información no está en la conciencia de esa persona. Ahora bien, si después de la insistencia del terapeuta, esta persona va recordando toda la información, entonces hay en nuestra mente otro “espacio” distinto al de la conciencia, a ese espacio de la mente se le llama inconsciente. Por lo tanto, existe el inconsciente. (8) El abogado para ser eficiente tiene que contribuir a resolver el problema de la justicia. El médico para ser un profesional eficiente tiene que preocuparse por resolver la salud pública. Un ingeniero sólo será eficiente si contribuye a resolver los problemas sociales con su profesión. Lo mismo cabe decir de los veterinarios, economistas, etc. Por tanto, un profesional eficiente, además de ser competente en su profesión, tiene que ser socialmente útil. (9) Los estudiantes que ingresan a la universidad tienen muchas lagunas en matemáticas. Esa es la conclusión que obtuvieron los treinta profesores que hicieron la evaluación a los cuatro mil nuevos estudiantes que ingresaron en la universidad. (10)Blanca siempre sobre el pinar siempre verde; rosa o azul, siendo blanca, en la aurora; de oro o malva en la tarde, siendo blanca; verde o celeste, siendo blanca en la noche; la Fuente vieja, Platero donde tantas veces me has visto parado tanto tiempo, encierra en sí, corno una clave o una tumba, toda la elegía del mundo, es -... decir, el sentimiento de la vida verdadera (Juan Ramón Jiménez, Platero y Yo).
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Si tienes alguna duda de lo que has estudiado, vuelve a leer el material; si no, avancemos con el siguiente objetivo “Validez de los Razonamientos”.
6. VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS
Objetivo terminal 3: Establecer en que consiste la validez de un razonamiento y las condiciones de verdad de la conclusión.
Para ello deberás lograr los siguientes Objetivos Específicos: 3.1. A partir de la distinción entre forma y contenido, constantes y variables simbolizar la forma lógica de los razonamientos dados usando los símbolos (A, B, C, D..) para las variables. 3.2. En razón a la distinción entre verdad y validez precisar que un razonamiento es válido únicamente por su forma lógica. 3.3. En base a la relación entre la verdad de las premisas y conclusión y la validez del razonamiento determinar cuáles de los razonamientos dados cumple las condiciones para que su conclusión sea necesariamente verdadera. 3.4. A partir de la combinación de los valores veritativos de las premisas y conclusión, determinar, en un conjunto de razonamientos cuyas proposiciones tengan valores veritativos conocidos, cuáles son no válidos.
6.1. Contenido y Forma de los Razonamientos.
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De ahora en adelante sólo tendremos en cuenta los razonamientos deductivos, de tal manera que, al escribir la palabra razonamiento, nos estaremos refiriendo al deductivo. En todo razonamiento hay forma y contenido. El contenido es el tema, el asunto, la materia sobre los cuales trata el razonamiento. El contenido viene, pues, expresado en las diversas proposiciones que contiene el párrafo. La forma, en cambio, es la estructura o la organización del razonamiento; es decir, la manera como están interrelacionadas esas proposiciones que lo conforman. Analicemos los siguientes razonamientos y veamos cuáles son su forma y su contenido:
(a)Si hace calor, entonces sube el termómetro, pero no sube el termómetro; _____________________________________________________________ por tanto, no hace calor. (b)Si el juez se atiene al expediente, entonces el indiciado es declarado culpable, pero el indiciado no es declarado culpable; ______________________________________________________________ por tanto, el juez no se atiene al expediente. El contenido de estos razonamientos está constituido por los objetos, personas y propiedades a que se refieren las expresiones lingüísticas de los mismos. El contenido, por ejemplo, del término ‘termómetro’ del primer razonamiento será el conjunto de todas las cosas que tengan la propiedad de ser termómetro; el término ‘calor’ se refiere a la propiedad calor. En el segundo razonamiento la palabra ‘juez’ se refiere a las personas que tienen la propiedad de ser juez; la palabra ‘culpable’, se refiere a las personas que tienen la característica de ser culpables, y así el resto de las palabras se refieren a algo distinto de ellas, esto es, a su contenido. El contenido de ambos razonamientos es distinto; sin embargo, ambos tienen la misma forma o estructura. En efecto, si en el primer ejemplo sustituimos ‘hace calor’ por A y ‘sube el termómetro’ por B, tenemos la siguiente forma de los razonamientos (a) y (b): Si A, entonces Formas de los B, razonamiento pero no B; ______________________________________ por tanto, no A (a) y (b) Esta forma del primer razonamiento es la misma que la del segundo. Basta sustituir la proposición ‘el juez se atiene al expediente’ por A y ‘el indiciado es declarado culpable’ por B, para darnos cuenta de ello. Por tanto, ambos razonamientos tienen contenidos distintos, pero su forma es la misma. Analicemos dos razonamientos más: (c) Todos los números naturales son racionales, todos los números racionales son reales, ___________________________________________________________________ por tanto, todos los números naturales son reales.
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(d) Todos los jueces son abogados, todos los abogados son egresados universitarios, ___________________________________________________________________ por tanto, todos los jueces son egresados universitarios
Sustituyamos en (c) las expresiones: ‘los números naturales’ por A, ‘racionales’ por B y ‘reales’ por C. Y en (d) sustituyamos las expresiones: ‘los jueces’ por A, ‘abogados’ por B y ‘egresados universitarios’ por C. El resultado es la siguiente forma de los razonamientos (c) y (d): Todos A son B Formas de Razonamiento Todos B son C razonamiento ______________________ por tanto, Todos A son C (a) y (b) Nuevamente, observamos que los razonamientos (c) y (d) tienen la misma forma y distinto contenido. En consecuencia, dos o más razonamientos pueden tener la misma forma, aunque su contenido sea diferente. Hay un sin número de razonamientos distintos para cualquiera de las dos formas de razonamiento anteriores. Las palabras ‘si entonces’, ‘pero no’, ‘por tanto’, ‘todos’ y ‘son’ no se refieren ni a objetos ni a propiedades, por lo cual no se sustituyen por ninguna letra. Observa también que la forma de un razonamiento se obtiene sustituyendo las expresiones que se refiere a objetos y propiedades por letras como: A, B, C, D, etc.
6.2. Variables y Constantes Lógicas. En las formas de los cuatro razonamientos estudiados observamos que hay ciertas letras: A, B, C. Estas letras reciben el nombre de variables. Pero, además, en ambas formas de razonamiento aparecen una serie de expresiones en castellano que no cambian aunque sea diferente el contenido del razonamiento. En los dos primeros razonamientos esas expresiones son: ‘Si..., entonces...’, ‘pero no...’ y ‘por tanto, no...’ y en los dos últimos: ¿todos’, ‘son’ y ‘por tanto’. A estas expresiones las llamaremos constantes, porque permanecen siempre las mismas en razonamientos de la misma forma, sin tener en cuenta si su contenido se refiere a la biología, a la física o a cualquier otra ciencia. Además de las constantes anotadas hay otras más, como: `o', `o bien', `si y sólo si', `y', `ni... ni' y otras equivalentes. Más adelante veremos que en la lógica moderna también se simbolizan las constantes. Finalmente, de lo expuesto se infiere que, para obtener la forma de un razonamiento, se realiza un proceso de abstracción. Este proceso consiste en sustituir el contenido por las variables A, B, C, D, etc.
Pasemos a resolver los siguientes ejercicios. EJERCICIOS
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Abstraiga la forma lógica de los siguientes razonamientos usando las letras A, B, C, D, ... (1) Toda pasión es un hábito, todo egoísmo es una pasión, por tanto, todo egoísmo es un habito. (2) El mercurio es líquido, el mercurio es un metal, por lo tanto, algún metal es líquido. (3)Ningún viviente es metal, todo plomo es metal; por tanto, ningún plomo es viviente. (4) El presidente o deja de luchar en contra de la corrupción, o la enfrenta. Si lo primero, entonces deja de cumplir con su obligación y merece censura. Si lo segundo, entonces cumple con su obligación y será recordado por la historia. El presidente será recordado por la historia. Por tanto enfrentará, la corrupción. (5) 0 gobierno con honestidad o gobierno para enriquecerme. Si gobierno con honestidad, entonces fortaleceré a la democracia y contribuiré al bienestar de la gente. Si gobierno para enriquecerme haré una fortuna pero la gente sufrirá. Yo no quiero que mi gente sufra. Por tanto, gobernaré con honestidad. (6) El ángulo puede ser o recto, o agudo, u obtuso; no es recto, ni obtuso; luego es agudo. (7) El triángulo puede ser equilátero, o isósceles, o escaleno, es, en realidad, escaleno; por tanto, no es equilátero ni isósceles. (8) O se logra un presupuesto justo para la Universidad o habrá problemas laborales y se perderá mucho tiempo. No se logra un presupuesto justo para la Universidad. Por tanto, habrá problemas laborales y se perderá mucho tiempo. (9) Los cristianos son criminales o inocentes. Si criminales, tu decreto es injusto porque prohibe las investigaciones. Si inocentes, tu decreto es injusto porque retienes los encarcelados (Dilema de Tertuliano contra el emperador Trajano). (10) Este abrigo es muy caro. Los abrigos muy caros son de visón. Por tanto, este abrigo es de visón. Ver las Respuestas
6.3. Razonamiento Válido La distinción entre forma y contenido del razonamiento nos permite comprender mejor lo que es un razonamiento válido. En primer término, la validez de un razonamiento depende única y exclusivamente de su forma. El contenido no tiene ningún papel al respecto, más bien puede dificultar esa tarea. En este sentido, los lógicos se parecen a los geómetras. Cuando un geómetra define una esfera, por ejemplo, lo que le interesa es la forma de la misma y no el material de que está hecha, esto es, prescinde de que sea de hierro, de madera o de cualquier otro material, puesto que sus características y propiedades sólo dependen de su forma. De la misma manera un razonamiento estará bien construido, es decir, será válido, si su forma es válida, independientemente del contenido que tenga.
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Ahora bien, la forma de un razonamiento es válida si la conclusión se sigue, se desprende, NECESARIAMENTE de las premisas. En otras palabras, en un razonamiento válido las premisas ofrecen una base segura para la conclusión, ya QUE LA CONCLUSIÓN ESTA INCLUIDA EN LAS PREMISAS. Veamos el siguiente razonamiento: (a)Todos los acusados son culpables, Todos los culpables son ladrones. Por tanto, todos los acusados son ladrones. Esta es su forma lógica: Todo A es B Todo B es C, Por tanto, todo A es C. La conclusión: “Todos los acusados son ladrones”, es la única que puede deducirse; y su fundamentación está en la manera en que están distribuidos los términos de las premisas, manera que se hace patente al abstraer la forma lógica del razonamiento. Todo razonamiento que tenga esta forma será válido, no importa el contenido que tenga. Es decir, razonando en conformidad con esta FORMA razonaremos correctamente, independientemente de que apliquemos nuestros razonamientos a fenómenos físicos, químicos, biológicos o cualesquiera otros.
6.4. Validez y verdad La lógica, como toda ciencia, será útil en la medida en que nos ayude a encontrar la verdad; por eso surge espontánea la pregunta: ¿ siempre que razonamos correctamente llegamos a una conclusión verdadera? Sin lugar a dudas. Sin embargo, con la sola validez del razonamiento no podemos garantizar la verdad de la conclusión; se necesita, además, que las premisas sean verdaderas. En consecuencia, la conclusión de un razonamiento será verdadera si se cumplen estas dos condiciones: (i) Que el razonamiento sea válido. (ii)Que las premisas sean verdaderas. Si falta una de las dos condiciones no hay ninguna garantía de la verdad de la conclusión. Podemos concluir afirmando que el razonamiento válido es un instrumento que nos garantiza siempre la verdad de la conclusión, siempre que tengamos el cuidado de que las premisas sean verdaderas. En consecuencia ES IMPOSIBLE QUE EN UN RAZONAMIENTO VALIDO DE PREMISAS VERDADERAS OBTENGAMOS UNA CONCLUSIÓN FALSA. Observación: Fíjate que las premisas y la conclusión, por ser proposiciones, pueden ser verdaderas o falsas; pero no se puede decir lo mismo del razonamiento, pues en éste lo decisivo es la forma, y de ésta se dice únicamente si es válida o no. De una forma no tiene sentido decir si es verdadera o falsa.
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De ahí que de los razonamientos se dice sólo si son válidos o no, nunca si son verdaderos o falsos.
Dedícate a resolver el autoevaluativo que te ofrecemos a continuación. ¡Comienza a trabajar y suerte! AUTOEVALUATIVO 3 I. Determinar si las conclusiones de los razonamientos que cumplen los siguientes requisitos son necesariamente verdaderas: (1) Las premisas son verdaderas. (2) El razonamiento es válido. (3) La forma del razonamiento es válida. (4) El razonamiento no es válido y las premisas son verdaderas. (5) El razonamiento es válido y las premisas son falsas. (6) El razonamiento es válido y las premisas son verdaderas. (7) La conclusión se sigue necesariamente de las premisas. (8) Las premisas son falsas y la conclusión está incluida en las premisas. (9) Las premisas son verdaderas y la conclusión está incluida en las premisas. (10) La forma del razonamiento es válida y las premisas son verdaderas.
II. Determinar si los razonamientos son válidos o no, de acuerdo a los siguientes datos: (1) Las premisas y la conclusión son verdaderas. (2) La conclusión es verdadera. (3) Es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. (4) La forma del razonamiento es válida. (5) La conclusión está contenida en las premisas. (6) La conclusión se sigue necesariamente de las premisas. (7) La forma del razonamiento es válida y sus premisas falsas. (8) La forma del razonamiento es válida y su conclusión es falsa. (9) El razonamiento es válido por su contenido. (10) Es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Ver las Respuestas
Pasemos ahora al estudio del Objetivo Nº 4 “Razonamientos Falaces”
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C. RAZONAMIENTOS FALACES OBJETIVO TERMINAL 4: En un conjunto de razonamientos falaces, señalar qué tipo de falacia se ha cometido y el porqué es un razonamiento falaz. Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 4.1. Conocidos los diferentes tipos de falacias de atinencia (pertinencia), reconocerlas en una serie de ejemplos dados, explicando el porqué de cada una. 4.2. Conocidos los diferentes tipos de falacias de ambigüedad, reconocerlas en una serie de ejemplos dados, explicando el porqué de cada una. La falacia, en el sentido lógico, es un tipo de razonamiento incorrecto pero psicológicamente persuasivo; es un razonamiento que PARECE correcto, pero resulta, una vez analizado cuidadosamente, que no lo es. Las falacias suelen clasificarse en dos grupos: las formales y las no formales. En este capítulo sólo nos referiremos a las no formales, por cuanto para explicar las formales necesitamos conocer ciertas estructuras de deducción válidas que no conocemos todavía, y que estudiaremos más adelante. Las falacias no formales tienen que ver con el contenido de los razonamientos, se cometen en gran medida por falta de atención al punto que se desarrolla, por imprecisiones y ambigüedades en el lenguaje o por interferencia de las funciones expresiva y directiva del lenguaje. Se dividen en dos tipos: falacias de ATINENCIA y falacias de AMBIGÜEDAD. 1. FALACIAS DE ATINENCIA Las falacias de atinencia (o atingencia) tienen como característica común el hecho de que sus premisas carecen de ATINENCIA LÓGICA con la verdad o falsedad de las conclusiones que quieren establecer, es decir, no hay una relación lógica entre lo expresado en las premisas y la conclusión que se pretende desprender de ellas. La atingencia existente es, generalmente, PSICOLÓGICA, la cual hace que el razonamiento tenga una corrección aparente y sea persuasivo. Es frecuente, en personas que no son cuidadosas en el uso del lenguaje, confundir la atingencia lógica con la psicológica, puesto que con la apariencia de un uso informativo del lenguaje se hace uso de locuciones expresivas que fácilmente conducen a cometer esa clase de razonamientos incorrectos. Hay inatingencia lógica, por ejemplo, cuando, para argumentar en favor de una legislación sobre la descentralización de la educación, un senador se refiere a las bondades de esa descentralización. No hay atingencia lógica con respecto al tema que se está analizando. Una cosa es enumerar las ventajas de la descentralización de la educación, y otra muy distinta determinar las medidas concretas para que ésta se lleve a feliz cumplimiento. En ese discurso no hay atinencia lógica, hay, en tal caso, atinencia psicológica. ¿Cuál es el mecanismo utilizado por este senador? Primero, lograr una actitud de aprobación para sí y para lo que dice; y, segundo, transferir esta aprobación a la legislación propuesta. Evidentemente, esta transferencia, si se logra, se hace más por asociación psicológica que por atinencia lógica. A continuación nos referiremos a las principales falacias de atingencia. l.l. Argumentum ad Baculum (apelación a la fuerza)
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El nombre proviene de la palabra latina ‘baculum’ que significa bastón. Se comete esta falacia cuando se apela a la fuerza, a la amenaza para obtener su conclusión. El político que, para apoyar sus proposiciones, recuerda a sus adversarios políticos la alta votación que obtuvo en las elecciones; el profesor que, ante las intenciones de sus alumnos de denunciarlo por su incumplimiento, les recuerda que é 1 es en última instancia e 1 que los va a calificar; e 1 exfuncionario de una agencia de inteligencia del estado que amenaza al gobierno con hacer público un conjunto de documentos que lo involucran, si se le condena a prisión; las amenazas de sanciones económicas por parte de algunos países para obtener sus propósitos, son todas falacias argumentum ad baculum. 1.2. Argumentum ad Hominem (argumento contra el hombre) Este argumento puede tener dos interpretaciones: la ofensiva y la circunstancial. El argumentum ad hominem ofensivo tiene lugar cuando, en vez de tratar de refutar la verdad de lo que se dice, se ataca a quien lo dice. Así, el abogado que quiere probar que lo afirmado por un testigo es falso aduciendo que es drogadicto, o borracho, o anárquico o cualquier otra descalificación personal; o argumentar que lo propuesto por un candidato a ocupar un puesto en la administración pública no es verdad porque es conservador, o rico, o ateo, son falacias argumentum ad hominem ofensivo. El argumentum ad hominem circunstancial consiste en pretender que alguien debe aceptar ciertas afirmaciones en virtud a circunstancias especiales que le envuelven. Argumentar que alguien debe aceptar una proposición acerca del aborto porque, siendo católico, tiene que aceptar lo señalado por el Papa es un argumentum ad hominem circunstancial. El que argumenta de esta manera no demuestra que su posición es verdadera, sino que urge al otro a aceptarla en virtud de la circunstancia especial de ser católico. Un gobierno que pretenda convencernos que debemos consumir los bienes nacionales porque de lo contrario no somos buenos ciudadanos, comete también una falacia argumentum ad hominem circunstancial, ya que no prueba que esos bienes nacionales sean los mejores, sino que insta a consumirlospor la circunstancia especial de nuestra nacionalidad. Con frecuencia, se afirma que el argumentum ad hominem ofensivo, cuando se lo usa en una corte de justicia para arrojar dudas sobre las declaraciones de un testigo, no es falaz. En los casos en que se demuestre esto, es evidente que disminuye la confianza y aumenta la duda sobre el testimonio de ese testigo. 1.3. Argumentum ad Ignorantiam (argumento por la ignorancia) Se comete esta falacia cuando se afirma la verdad de una proposición sobre la base de que no se ha demostrado su falsedad; o, también cuando se afirma su falsedad porque no se ha demostrado su verdad. Decir que es falso que en otras partes del universo hay vida inteligente por el hecho de que no se ha probado que haya; afirmar que Dios no existe porque no se ha probado su existencia; sostener que hay un mundo paralelo al nuestro porque no se ha probado que no lo haya; afirmar que una ley es buena porque no se ha probado que sea mala; o que hay fantasmas porque no se ha probado que no los haya; o que alguien es culpable porque no se ha probado que no lo sea, todos son casos de argumentum ad ignorantiam.
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Es conveniente anotar que en un tribunal de justicia el argumentum ad ignorantiam no se considera como falacia, pues por principio universalmente aceptado una persona es inocente en un juicio hasta que se demuestre su culpabilidad. En el famoso juicio contra O.J. Simpson el jurado dictaminó que no era culpable porque la parte acusadora no pudo probar su culpabilidad. Hay otro caso que tenemos que aclarar. Hay hechos de los cuales se puede sostener razonablemente que, de haberse dado, hay investigadores calificados que pueden obtener pruebas de los mismos. En ese caso, si los investigadores calificados no han logrado ninguna prueba, es razonable tomar la ausencia de pruebas como una prueba positiva de que esos hechos no se han cometido. En efecto, esta prueba se basa en el CONOCIMIENTO de que, si esos hechos se hubieran dado, los sabríamos, no se basa en nuestra ignorancia. Por ejemplo, si una señora sostiene que el señor X es el padre biológico de su hijo, y los especialistas no consiguen pruebas genéticas que prueben esa paternidad, sería un error concluir que estas investigaciones no han aportado ningún conocimiento. Al contrario, hay que concluir con certeza que, en base a esos conocimientos, el señor no es el padre biológico del niño en cuestión. 1.4. Argumentum ad Misericordiam (argumento por misericordia) Esta falacia se comete cuando se apela a la piedad, a la compasión para lograr una determinada conclusión. Así, un abogado defensor que deja de lado los hechos que incriminan a su defendido y trata de despertar la compasión del jurado para lograr la absolución del mismo comete la falacia de argumentum ad misericordiam. Solicitar la absolución de una persona que ha cometido un crimen porque tuvo una niñez desgraciada, es padre de familia, sus hijos no pueden vivir sin su trabajo, etc. es una falacia de argumentum ad misericordiam. 1.5. Argumentum ad Populum (argumento de la multitud) Esta falacia consiste en despertar las pasiones y emociones de una masa de gente para intentar ganar su apoyo y asentimiento para una conclusión que no está sustentada por un razonamiento válido. La suelen utilizar los populistas y demagogos así como los propagandistas de productos. Ante una medida determinada que perjudica sus intereses un político demagogo, en lugar de realizar estudios y presentar argumentos que demuestren su inconveniencia, tratará de despertar las pasiones e instintos de la gente en su contra aduciendo que es una medida que atenta contra los “logros alcanzados”, que es una medida “antidemocrática que sólo favorece a unos cuantos privilegiados”, etc. Muchísimas “publicidades” han convertido esta falacia en un arte asociando los productos que promocionan con algo que tiene una gran aprobación en el público. Así, las propagandas de automóviles presentan a personas bien vestidas, a mujeres atractivas junto al vehículo promocionado; o bien, en los carteles de propaganda, los productos promocionados se presentan como lo mejor del mercado y para probarlo se exhiben personas bien vestidas, apuestos si son hombres, esbeltas y hermosas si son mujeres. En estos casos la elección no se basa en las características positivas de lo que se promociona, sino en un sentimiento asociado a algo extraño a lo promocionado. Se puede incluir en esta falacia el llamado “argumento de la multitud”. El político que dice ser el mejor porque la mayoría va a votar por él; el predicador de una creencia que
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sostiene que es verdadera porque todo el mundo la cree; el vendedor de un producto que afirma que es el mejor porque es el más consumido; el gobierno que defiende la bondad de una medida porque es apoyada por la mayoría, cometen argumentum ad populum. En efecto, el apoyo mayoritario a un político no implica que sea el mejor; el hecho que alguna creencia sea generalizada no demuestra que sea verdadera; el consumo masivo de un producto no prueba que sea el mejor; el apoyo general a una medida no quiere decir que sea la mejor. 1.6. Argumentum ad Verecundiam (apelación a la autoridad) Se comete esta falacia cuando se apela al sentimiento de admiración y respeto que siente la gente por determinadas personas famosas para apoyar o ganar asentimiento a una conclusión. La apelación a la autoridad de estas personas, para que sea falacia, tiene que ser en cuestiones que no sean de su especialidad. Por ejemplo, apelar a la opinión del famoso futbolista Pelé para zanjar una huelga laboral en su país; o apelar a las opiniones de una reina de belleza para probar las bondades de las medidas económicas de un país, serían ejemplos de esta falacia. Este argumento no es falaz si se apela a una celebridad reconocida en un área de su competencia para apoyar una proposición determinada. Si una conversación entre no expertos versa sobre la contaminación ambiental y uno de ellos apela al testimonio de un especialista en la materia como el capitán Cousteau, indudablemente, este testimonio es válido para reforzar su posición. Es cierto que con ello no se prueba lo que se sostiene, pero tiende a confirmarlo. Ahora bien, si la discusión anterior se hubiera realizado entre especialistas, apelar a la autoridad de Cousteau, no significaría un gran apoyo, ya que entre expertos solo cuentan las investigaciones, los hechos y los razonamientos. Entre especialistas apelar a la autoridad de otro especialista no tiene valor probatorio alguno. 1.7. La Causa Falsa La falacia de causa falsa se puede cometer de dos maneras: la primera, tomando por causa de un efecto algo que no es su causa real; la segunda, inferir que un hecho es la causa de otro solamente en base a que el primero es anterior al segundo. Para comprender a cabalidad la primera forma habría que realizar un estudio pormenorizado sobre las “conexiones causales”, estudio que rebasa nuestros propósitos en este curso. Por eso, para nuestro estudio utilizaremos el concepto de causa tal como se usa en la vida cotidiana y en la ciencia, esto es, presuponemos que la causa y el efecto se relacionan UNIFORMEMENTE, de tal manera que causas similares producen efectos similares. Por ejemplo, el anhídrido carbónico (CO2), proveniente de la combustión de los vehículos y fábricas, causa o ayuda a causar el efecto invernadero en nuestro planeta. La falta de trabajo en una sociedad es causa de su atraso. Un ejemplo del segundo tipo de falacia de causa falsa es argüir que el alimento X me alivia la dolencia Y porque hasta ahora al tomar ese alimento ha desaparecido esa dolencia. Aunque esta observación puede ayudar a un médico para hallar la causa real (que podría probar, por otra parte, que es el alimento aducido), no podemos inferir sólo por eso que el mencionado alimento sea la causa real del alivio. Yo conozco a una persona que para aliviarse del dolor de estómago tomaba leche porque, en efecto, lo aliviaba. Después de acudir al médico y hacer los análisis pertinentes, se probó, por el contrario, que la leche era la
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causa principal del dolor de estómago de mi amigo, aunque momentáneamente lo aliviará. Atribuir a remedios “milagrosos” administrados con ritual determinado la causa de las curas de enfermedades es una falacia, también, de causa falsa. 1.8. La Pregunta Compleja Preguntas como: “¿ Sigues utilizando tus influencias para que se resuelva favorablemente tu caso?”, “¿ Es cierto que su partido sigue obstaculizando el proceso de descentralización de la educación?”, “¿ Es cierto que ya no consumes drogas?”, no son preguntas simples que se pueden contestar con un sí o con un no, pues son preguntas que suponen otras que no han sido formuladas. En la primera pregunta, por ejemplo, hay una pregunta no formulada que es “¿ Ha utilizado, alguna vez, influencias para que su caso se resuelva favorablemente?”; en la segunda, está sin formular la pregunta “¿ Su partido se ha opuesto a la descentralización de la regionalización de la educación?”; en la tercera “¿ Has consumido drogas?”. Si se respondiera con un sí o con un no a las preguntas complejas se confirmaría la respuesta a la pregunta no formulada. Ante una pregunta compleja el interrogado tiene que responder primero a la pregunta no formulada implícita. Muchas veces al responder a estas preguntas implícitas no formuladas las preguntas implícitas se responden por sí mismas. Hay otras variedades de falacias de pregunta compleja. Una muy frecuente es proponer ante un organismo o asamblea que se voten en bloque un conjunto de proposiciones. La falacia consistiría, en este caso, en “colar” entre esas proposiciones alguna que, de ser votada por separado, no sería aprobada. Otra variedad la constituyen aquellas encuestas en que ciertos calificativos inducen la respuesta, como sería preguntar: “¿ El ministro X es un socialista tradicional o un capitalista decimonónico?”. En todos los casos de pregunta compleja es preciso dividir la pregunta para evitar la falacia. En el procedimiento parlamentario hay una moción especial, la moción de “dividir la cuestión”. Con esto se reconoce que hay cuestiones y preguntas complejas que es preciso analizar o responder por partes. Pasemos a resolver los siguientes ejercicios EJERCICIOS Distinguir y explicar las falacias de atinencia contenidas en los párrafos siguientes. (1) Un astronauta manifiesta después de su caminata espacial que no había encontrado a Dios, y que, por tanto, Dios no existe. (2) El problema de la excelencia académica en nuestras universidades sólo se resolverá si se contesta sin tapujos a esta pregunta: “¿ No ha llegado el momento de terminar con una gratuidad que conduce a una conducta académica regida por la ley del menor esfuerzo?” (3) Quizá haya alguno entre vosotros que pueda experimentar resentimiento hacia mí al recordar que él mismo, en una ocasión similar y hasta, quizá, menos grave, rogó y suplicó a los jueces con muchas lágrimas y llevo ante el tribunal a sus hijos, para mover a compasión, junto con toda una hueste de sus parientes y amigos; yo en
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cambio, aunque corra peligro mi vida no haré nada de esto. El contraste puede aparecer en su mente, predisponerlo en contra de mí e instarlo a depositar su voto con ira, debido a su disgusto conmigo por esta causa. Si hay alguna persona así entre vosotros –observad que no digo que la haya, pero si la hay- podría responderle razonablemente de esta manera; “Como amigo, yo soy un hombre, y como los otros hombres una criatura de carne y sangre, y no de madera o piedra como dice Homero; y tengo también familia, sí, y tres hijos, ¡oh! Atenienses, tres en número, uno casi un hombre y dos aún pequeños; sin embargo, no traeré a ninguno ante vosotros para que os pidan mi absolución” (Platón, Apología de sócrates). (4) Un profesor, ante el reclamo de uno de sus estudiantes reprobados, aduce que su conducta altanera y rebelde fue la causa de su mala calificación. (5) Las autoridades de un partido político amenazan con la expulsión a uno de sus miembros, que es senador, si no vota la medida X de la menara como ellos han decidido y, además, argumentan que, por su condición de miembro del partido, no puede oponerse a lo dispuesto por ellos. (6) ¿ No es cierto que un acuerdo con el FMI nos conducirá a una mayor dependencia de los países desarrollados? (7) “El presidente de la república, en acto de apertura oficial de la 51ª Asamblea General de la SIP, acusó a la propaganda surgida en torno a la devaluación y una amplia flexibilización del control de cambio de la caída de nuestras reservas internacionales”. (8) “Los concejales de esta tierra, raíz de Venezuela, queremos hacer llegar a usted el sentimiento de una raza que la indolencia y el abandono de todos los gobiernos desde que llegó Cristóbal colón la han asumido en el más profundo olvido” (PANORAMA” 18-10-95). (9) En libro Lanzas Coloradas Arturo Uslar Pietri, refiriéndose al terremoto del 26 de marzo de 1812, expresa: “El terremoto deshizo los poblados y desequilibró los espíritus. El pueblo, de monstruoso fanatismo, supersticiosamente interpretó aquellas señales como la prueba de que dios desaprobaba y castigaba a los rebeldes que se alzaban contra el rey de España. Así lo predicaron los curas sobre las ruinas de las iglesias, mientras la muchedumbre rezaba en voz alta, contricta y empavorecida”. (10) La Coca-Cola es, sin duda, el mejor refresco, de lo contrario no se explicaría por qué es el más consumido en el país. (11) Todo lo que opinan los representantes de la Federación de Cámaras sobre las nuevas medidas de corte social no tiene que tenerse en cuenta, pues como empresarios tienen que oponerse a ellas. (12) “- ¡Esas son pendejadas de la vieja! El hombre no tiene sino carne. Búsquenme en el cuerpo el sitio que ocupa el alma. Búsquelo, a ver si lo encuentra” (Uslar Pietri, Lanzas Coloradas). (13) La posición sostenida por el ponente sobre la Ley de Educación Superior es distinta a la que sostuvo hace un año, por tanto, es contradictoria y hay que rechazarla. (14) Profesor, arguye un estudiante, recuerde antes de poner la calificación, que los alumnos del turno de la noche trabajamos y disponemos de poco tiempo para estudiar. (15) Preguntada la Miss Universo sobre las medidas económicas tomadas por el gobierno de su país, responde que no tiene la menor duda de que van a ser positivas y que, finalmente, la inflación va ser controlada y el país se va a recuperar rápidamente. Esta respuesta ha convencido a mucha gente del pueblo sobre las medidas económicas propuestas por la administración. (16) No se puede tener en cuenta la oposición del sacerdote X a la ley sobre el aborto, porque, por el hecho de ser sacerdote, está obligado a oponerse a ella.
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(17) Las medidas económicas propuestas por el exministro Miguel Rodríguez eran erróneas, pues todo el pueblo las rechazó, y, como afirma el Dr. Caldera, el pueblo nunca se equivoca. (18) Un senador suplente, que no conoce bien el contenido de la ley que va a ser sometida a votación, pregunta al senador que sustituye como tiene que votar, y éste le dice: “Vota contra lo que proponga el presidente del senado”. (19) Señor Gobernador, esta medida atenta contra los trabajadores, y debe ser rechazada. Recuerde que los votos de los obreros son tan válidos como los votos de los empresarios y, en nuestro estado, hay más de medio millón de afiliados a nuestros sindicatos. (20) ¿ No cree que ya es tiempo que reconozca su fracaso? (21) Marx sostenía que la religión era el opio del pueblo. ¿ Que otra cosa puede sostener un judío desleal como él? (22) La economía de mercado no es conveniente para los países del tercer mundo porque es la defendida por el FMI que está al servicio de los países ricos. (23) En las elecciones presidenciales de Polonia en noviembre de 1995 “los sacerdotes pidieron a sus fieles que no elijan ‘a personas que en la época del régimen totalitario participaron en el ejército del poder’ (declaración de la conferencia episcopal del 25 de agosto pasado), señalando así directamente a Kwasniesoski, quien a pesar de su juventud (41 años), fue miembro de los gobiernos comunistas entre 1985 y 1989”)Varsovia, AFP, PANORAMA, 23-10-95). (24) Con ocasión de una gran discusión televisiva en la que la Princesa Diana de Gales, durante una hora, narró sus experiencias desde que entró a formar parte de la familia real inglesa, el secretario de defensa, amigo del Príncipe Carlos, dijo que la Princesa de Gales dio una prueba de una ‘buena dosis de paranoia’. Entonces el diputado Andrew Mackinlay interpeló al Primer Ministro John Mayor preguntando: “¿va Ud. a continuar tolerando que el secretario de Estado de Defensa continúe comportándose como el sirviente del Príncipe Carlos?” (Londres, AFP, PANORAMA, 24-11-95). (25) No sé que interés hay en el cierre de las carreras humanísticas del Instituto Universitario “Santiago Mariño” dicta y lo que es aún peor, cuál es el roce que tiene con el Director Nacional del Instituto, Dr. Raúl Quero Silva. Lo único que sé, es que a este señor (sic) sí le debo el no salir de mi estado Nueva Esparta a estudiar a otra parte, y así evitarle gastos mayores a mi familia (Br. Gladys Rodríguez, EL NACIONAL, octubre 1995). (26) Respecto de la gratuidad poco se dice (en el Proyecto de Ley de Educación Superior). Sin embargo, encierra un peligroso desliz: la Constitución Nacional prevé que será la ley quien establecerá las excepciones a la gratuidad cuando se trate de personas provistas de medios de fortuna, pero el proyecto lo único que hace es decir que esas personas están obligadas a sufragar su educación, y remite a la reglamentación interna de cada institución el modo de hacerlo. Pienso que esa salida no desarrolla adecuadamente el proyecto constitucional a la vez que traslada al seno de cada universidad la potencialidad conflictiva de esa reglamentación. Luego, El mismo gobierno dirá que las universidades no tienen suficiente presupuesto porque no han cobrado la matrícula a los estudiantes ricos (Jesús Esparza, PANORAMA, 15-10-95). (27) Fría e irresponsablemente, con el más desparpajo, usted arremetió contra la moral y la dignidad de todos los señores Generales de la Fuerza Aérea Venezolana. Con su verbo incisivo y algunos gestos de ensayado dramatismo usted se refirió... “a la guerra entre los generales de la Fuerza Aérea Venezolana para repartirse el botín de
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los cuarenta millones de dólares de la reparación de los C-130”. ¡Asombra tan semejante ofensa! (parte del comunicado de los Generales de la Fuerza Aérea Venezolana al Señor José Vicente Rangel. EL NACIONAL, 19-10-95). (28) Para muchos asiáticos un eclipse total de sol es un evento crucial [...]. De acuerdo con un antiguo mito de los sacerdotes brahmanes, un eclipse ocurre cuando el airado Dios-monstruo Rahu trata de comerse el sol y la única manera de evitar el desastre es hacer que Rahu huya. En el pasado, muchas personas en el sur y sureste de Asia tocaban tambores, ollas y sartenes durante el eclipse para ahuyentar a Rahu (Bangkok, Reuter, EL NACIONAL, 29-10-95). (29) Usted Señor Ministro, o no sabemos quién de su fabuloso entorno íntimo, en una decisión arbitraria y leonina, ordenó descontar a los maestros venezolanos, dos días... dos días, de su deteriorado y disminuido salario quincenal. ¡Vaya regalo! Este descuento obedece, según lo transcrito en el talón de cheques, a los dos últimos días de PARO NACIONAL, parcial, ordenado por el Comando Nacional Intersindical. Nosotros estamos convencidos que esa no es la verdadera razón, pues tenemos argumentos sobradamente legales y legítimos que no pueden ser rebatidos; entre estos mencionaremos estos dos: a... b. El Inspector Nacional de Asuntos Colectivos y del Trabajo del ministerio del Trabajo, [...] decreta la inamovilidad de todos los trabajadores de conformidad con lo establecido en el artículo 458 de la Ley Orgánica del Trabajo, según la cual nadie puede ser despedido, trasladado ni disminuido en sus condiciones de trabajo. (30) Las siguientes son las palabras de un Comandante que conspiró el 4 de febrero: “Hugo (se refiere a Hugo Chávez) fallaste porque no tuviste buena fe, pensando bypasear a Árias Cárdenas coqueteaste con Sanfeliz Ruíz, con Ochoa Antich”. Y basado en estas palabras, el articulista Oscar Silva añade: “Confirma lo que siempre hemos sostenido. Chávez y Árias eran y son lo mismo, los dos buscan traicionarse después del golpe de resultar con éxito. (Oscar Silva, PANORAMA, 23-10-95). Ver las respuestas
2. FALACIAS DE AMBIGÜEDAD Las falacias de ambigüedad se presentan en contextos donde aparecen palabras o frases ambiguas, cuyo significado cambia sutilmente a lo largo del mismo. Estas son las principales falacias de ambigüedad: 2.1. El Equivoco El equívoco consiste en utilizar la misma palabra o frase dentro del mismo contexto con distinto sentido o distinta referencia sin percatarse de ello. (a) "La democracia es el mejor sistema de gobierno, por eso debemos esforzarnos por preservar esta democracia venezolana”. Aquí la palabra ‘democracia’ tiene dos significados, la primera se refiere a la democracia ideal; la segunda a la pseudodemocracia de nuestro país; de ahí que lo expresado sea un equívoco.
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(b) “Los estudios básicos de las diferentes ingenierías son prácticamente los mismos y los elementos básicos del curriculum deben ser las prácticas profesionales”. Aquí la palabra ‘básica’ tiene dos significados: en el primer caso, significa los estudios iniciales de toda ingeniería; en el segundo, por referirse al curriculum, significa “los elementos importantes” del curriculum. Un equívoco especial es el que se relaciona con los términos “relativos”, que, en contextos diferentes, tienen significados diferentes. Por ejemplo, la palabra pequeño es ‘relativa’, pues la pequeñez no se puede decir en el mismo sentido de un elefante y de un ratón. Un elefante pequeño y un ratón pequeño son dos categorías diferentes. Un elefante es pequeño con relación a los elefantes, y el ratón en relación con los ratones, de tal manera que un elefante pequeño sigue siendo un animal grande. Hay equívocos con términos relativos más sutiles. Palabras como bueno, eficiente son términos relativos que pueden usarse de forma equívoca. Por ejemplo, decir que fulano de tal será un gobernador eficiente porque es un empresario eficiente, o que debe ser una buena persona porque es un buen médico, son equívocos, pues las palabras ‘eficiente’ y ‘bueno’ son relativas y su significado es distinto en cada contexto. 2.2. Anfibología Esta falacia se debe a las distintas interpretaciones que se pueden dar a algunas afirmaciones a causa de una combinación o sintaxis descuidada de las palabras que las componen. Un ejemplo sería la siguiente información aparecida en un periódico: “El gobierno explicó la conveniencia de aceptar algunas recomendaciones del Fondo Monetario Internacional después de una reunión con los representantes de éste a través de los medios de comunicación”. Esta comunicación es anfibológica porque la frase ‘a través de los medios de comunicación’ se puede interpretar de dos maneras: una, que el gobierno, a través de los medios de comunicación, explicó...; dos, que la reunión del gobierno y los representantes del FMI se hicieron a través de los medios de comunicación. 2.3. El Enfasis La falacia de énfasis tiene lugar cuando, al destacar una u otra palabra, cambia el significado de un enunciado. En forma hablada se destaca alguna parte de lo que se está diciendo cambiando el tono o la intensidad de la voz; en forma escrita cambiando el tipo de letra, tal como este: (a) No debemos desobedecer a NUESTROS PADRES El énfasis está en ‘nuestros padres’, y ese énfasis podría conducir a inferir que a los que no son nuestros padres sí los podemos desobedecer. El que extraiga esa conclusión estaría cometiendo la falacia de énfasis. Si se leyera sin ningún énfasis indebido la prohibición sería correcta y no habría ninguna falacia. Otra forma de énfasis se puede presentar al hacer una cita, cuando al introducir o suprimir alguna palabra o frase en letra especial, se cambia su significado. A veces se
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produce un énfasis falaz cuando al introducir una cita aislada del contexto cambia el significado de ella. Por eso, un autor responsable, que cita a otro autor directamente especificará si las palabras con letras especiales son de él o del autor, así mismo indicará el contexto de donde forma parte. En algunas publicaciones, como los periódicos sensacionalistas, para atraer la atención mediante sus títulos, destacan algunas partes que, consideradas fuera del contexto, pueden cambiar su significado. Por ejemplo, uno de estos periódicos puede poner como principal título en su primera página: (b) Devaluación del Bolívar y en el texto, en tipo de imprenta mucho menor puede decirse: "Es lo que quiere la oposición, afirmó el representante del gobierno ". La afirmación completa puede ser verdadera, pero la forma en que se destaca una de sus partes la hace falsa. 2.4. La Composición Cuando partiendo del hecho de que cada una de las partes de un todo tiene una determinada característica, se infiere que el todo como tal tiene también esa característica, se comete la falacia de composición. Afirmar, por ejemplo, que un equipo de béisbol es muy bueno, sobre la base de que cada jugador individuamente lo es, es una falacia de composición, pues se da el caso de que individualmente los jugadores pueden ser buenos jugadores y el equipo, como equipo, no lo sea. Luego, una forma de falacia de composición consiste en atribuir al todo, las propiedades de cada una de sus partes. Una segunda forma más sutil de esta falacia consiste en atribuir una propiedad a una clase o conjunto en virtud de que cada uno de sus miembros aisladamente la poseen. Esta forma de falacia de composición, aunque semejante a la primera, es, sin embargo, distinta, debido a la diferencia que hay entre una colección de elementos y el todo constituido a partir de sus elementos. Así, una simple colección de partes no es una máquina; para que esas partes constituyan una máquina tienen que estar organizadas. Luego, si no es lo mismo una colección o clase y un todo organizado, las dos versiones de la falacia de composición son también distintas. La segunda forma se debe a los dos sentidos que puede tener el verbo ‘ser’. La proposición “Los astronautas son preparados” significa que cada astronauta tomado individualmente es preparado. Es decir, el verbo ‘ser’ está usado aquí en forma DISTRIBUTIVA. Ahora bien, en la proposición “Los astronautas son pocos” el verbo ‘ser’ se usa en sentido colectivo, esto es, se entiende que la propiedad de “ser pocos” se predica colectivamente de los astronautas, no de cada uno de ellos por separado. Por eso, no tiene sentido afirmar “Amstrong es poco”. Afirmar, por ejemplo, que los discursos de Fidel Castro, generalmente, han sido más largos que los de los restantes políticos latinoamericanos, sólo será verdadero y, por tanto, no falaz, si se toma distributivamente, esto es, uno por uno, pues usualmente los discursos de Fidel Castro, son más largos que los discursos, también uno a uno, de los restantes políticos latinoamericanos. Ahora bien, si los discursos a que hacemos referencia se toman colectivamente, la relación se invierte, pues por mucho que sumen las horas de los discursos de Fidel Castro tomados colectivamente siempre serán menores a las
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horas de todos los discursos de todos los políticos latinoamericanos. Si se ignora esta diferencia en un razonamiento se daría origen a una falacia de composición. 2.5. La División La falacia de división es la inversa de la falacia de composición, y como en ésta, se distinguen también dos tipos. En el primero se afirma que lo que es verdad de un todo lo es también de cada una de sus partes tomadas aisladamente. Sostener que, puesto que un equipo de fútbol es bueno, cada uno de sus integrantes aisladamente lo son es una falacia de división. Deducir que yo soy buen estudiante porque estudio en un colegio que es reconocido por su alto nivel académico; o afirmar que yo soy reconocido internacionalmente porque formo parte de la Universidad del Zulia, que sí es reconocida internacionalmente, son, así mismo, falacias de división. El segundo tipo de falacia de división consiste en inferir de las propiedades de un conjunto de elementos, las propiedades de los elementos mismos. Afirmar que, ya que todas las reses del país proporcionan carne suficiente para sus ciudadanos, por tanto cada res proporciona carne suficiente para los ciudadanos, seria cometer el segundo tipo de falacia de división. Es obvio, que puede haber reses flacas y escuálidas y proporcionan poca carne, y, no obstante, puede haber tal cantidad que, colectivamente, proporcionensuficiente carne para los ciudadanos del país. Luego, si se toma colectivamente no es falaz afirmar que todas las reses del país proporcionan carne suficiente para sus ciudadanos. Pero sí es falaz si se toman distributivamente.
Pasemos a resolver los siguientes ejercicios EJERCICIOS Distinguir y explicar las falacias por ambigüedad contenidas en 1os siguientes párrafos. (1) Un comedor dietético promociona dieta a través de este anuncio "Si haces la dieta tal como está detallada, tendrás buenos resultados" Aparece un candidato que, a pesar de cumplir rigurosamente con todo lo indicado por la dieta, después de unos meses sigue con el mismo peso. Entonces, se dirige al dueño del comedor reclamándole que la dieta no había surtido ningún efecto en él. Aquel le contestó: ¡Que mejor resultado que no haber aumentado de peso!, luego la dieta dio buenos resultados. (2) Estados Unidos es muy rico y, como yo soy ciudadano norteamericano, también soy rico. (3) Una casa comercial se promociona con este anuncio: "Todo cuesta menos". (4) El ex vicerrector académico de LUZ, Profesor Jesús Esparza, en su columna del diario Panorama del 15-10-95 publicó un artículo titulado: "Las cinco falacias del PLES". En uno de sus párrafos dice: "Se insiste en la Exposición de Motivos del Proyecto de Ley de Educación Superior (PLES) en los aspectos positivos de la autonomía universitaria la cual se extiende de inmediato a todas las universidades, y gradualmente, a todas las instituciones de educación superior, condicionado solamente por su grado de desarrollo y madurez. Pero esta "autonomía" esta en definitiva referida a una entidad directiva nacional, el Consejo Nacional de Universidades, cuya composición y atribuciones la desdice totalmente. Ese Consejo Nacional de Universidades deja de ser un órgano de "Coordinación", como el actual Consejo
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Nacional de Universidades, para convertirse en un órgano de "dirección" con el agravante de que en su constitución colegiada queda fuera 1a universidad nacional autónoma". autónoma" (5) He aquí el anuncio en un periódico regional: APRENDA INGLES GRATIS Últimos cupos para aprender inglés en EE.UU. Horarios flexibles, grupos reducidos... Aprovecha el Programa que ha revolucionado a Nuestra Querida Venezuela y participa de los primeros 40 cupos sin costo alguno......... (6) Titular de un periódico: BOLÍVAR GANA TERRENO FRENTE AL DÓLAR POR SEGUNDO DÍA Caracas (AP) "Por segundo día consecutivo, el bolívar ganó terreno frente al dólar en las operaciones de bonos Barda. El denominado dólar Brady cerró este martes en 296299 bolívares, frente a los 302-305 del cierre de ayer" (PANORAMA 18-10-95) (Nota: En esa fecha había dos tipos de cambio en Venezuela: el oficial, a 170 bolívares por dólar, y el del dólar Brady cuyo cambio dependía de estos bonos). (7) Una Honda es un carro muy caro, eso quiere decir que sus repuestos también son caros. (8)Es un hecho que las ciudades pequeñas son tranquilas y, puesto que las ciudades estudiantiles los son, puedo recomendarle cualquier ciudad estudiantil si buscas tranquilidad. (9)Las condiciones de hambre y enfermedad en que se desenvuelven los yanomamis hacen que desaparezcan, por tanto, esta persona, que es un yanomami, esta desapareciendo. (10)Las bombas atómicas lanzadas durante la Segunda Guerra Mundial hicieron más daño que las bombas ordinarias. (11)Creso, rey de Lidia, preparaba una guerra contra Persia. Antes de emprender la guerra quería asegurase de su victoria y por eso fue a consultar al oráculo de Delfas sobre el asunto. Este le respondió: "Si Creso emprende la guerra contra Persia, destruirá un reino poderoso". Creso entusiasmado, emprendió la guerra, pero fue fácilmente derrotado con Ciro, rey persa. Creso, enojado, se dirigió al oráculo quejándose de su engaño. Entonces, los sacerdotes de Delfas le dijeron que el oráculo habla hecho una predicación correcta, pues al ir a la guerra, Creso destruyó un poderoso reino, el suyo propio. (12)Curriculum de X, aspirante a presidente de la caja de ahorro de los empleados del ejecutivo: El Señor X es médico graduado con las más altas calificaciones, ha publicado importantes artículos en revistas nacionales e internacionales, (...), ha recibido la medalla de Mérito al Trabajo, ha sido premiado como el investigador del estado, Creemos que con estas credenciales de trabajo, eficiencia y honradez el señor X hará una gran gestión al frente de la caja de ahorros. (13)El profesor explicó la lección después que habló con sus amigos apresuradamente. (14)La felicidad de cada persona es un bien para esta persona, y la felicidad general, por lo tanto, es un bien para el agregado de todas las personas. (Jhon Stuart Mill, El Utilarismo, Cap. 4). (15) Hay una falacia que tiene que hacerse expresa para resolver la adivinanza: "¿Por que las ovejas blancas comen más que las ovejas negras?". Resuélvela. Ver las Respuestas
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3. COMO EVITAR LAS FALACIAS No hay ninguna receta mágica para evitar las falacias. Sin lugar a dudas, una condición necesaria para lograr ese propósito es una vigilancia permanente, ya que son muchas las maneras como se pueden infiltrar las falacias. Esa vigilancia será mucho más efectiva si tenemos un dominio de todas las clases de falacia que se pueden cometer. Dicho más llanamente, evitaremos, en general, el razonar falazmente si entendemos a cabalidad las falacias explicadas en este capítulo. Esto nos permitirá reconocerlas, analizarlas y, así lograr una serie de hábitos para impedir ser engañados por esos modos incorrectos de razonar. El dominio de las diferentes y múltiples funciones del lenguaje y la comprensión de su flexibilidad es también de suma importancia para evitar caer en cualquier falacia. Ello nos permitirá descubrir aspectos tan importantes como distinguir una exhortación para aceptar una determinada proposición de un razonamiento riguroso para demostrar su verdad. Obviamente, las falacias de ambigüedad, dado los múltiples sentidos de muchas palabras, requieren una condición más: tener presente con toda claridad los significados de las palabras que utilizamos. Para ello, en trabajos de cierta envergadura, es conveniente definir con precisión los términos claves.
Detente y piensa bien lo que estudiaste, si tienes dudas repásalo, y prosigue con el autoevaluativo. ¡Suerte! AUTOEVALUATIVO 4 Clasifica y explica cada una de las falacias contenidas en los siguientes párrafos (Objetivo). (1) A pesar de todas las declaraciones y discursos el gobierno no ha probado que el control de cambio sea lo mejor para la economía del país; en consecuencia, el libre cambio de la moneda nos llevará a una economía más sana. (2) Los argumentos para liberar los precios provienen de aquellos que, precisamente, se beneficiarían con esa medida, lo cual quiere decir que sus argumentos no son válidos. (3) Debemos rechazar con energía cualquier convenio con el Fondo Monetario Internacional porque, formando parte del tercer mundo, no podernos aceptar sus políticas. (4) Esa dieta para rebajar debe ser muy buena, ya que es publicitada por todos los medios de comunicación. (5) Todos los miembros del Consejo Universitario son personas serias y honestas, por eso podemos confiar en las medidas que tome ese cuerpo.
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(6) Ningún estudiante de los aquí presentes, aisladamente, es capaz de incendiar un autobús como señal de protesta; por lo tanto, no hay peligro de que esta manifestación de estudiantes termine quemando alguna unidad autobusera. (7) ¿ No es cierto que la intervención de la policía fue represiva? (8) El gremio de transportes declarará persona no grata al ministro de transportes y comunicaciones si no aprueba nuestras proposiciones. (9) La democracia norteamericana ha logrado erradicar el fraude electoral; por lo tanto, nuestra democracia venezolana, por ser también democracia corno la norteamericana, garantiza la transparencia en el conteo de votos en las próximas elecciones. (10)Una persona tan inteligente, famosa y viajada como Julio Iglesias votará en las próximas elecciones presidenciales por los conservadores; en consecuencia, creo que la alternativa de éstos es la mejor y yo también voy a votar por ellos. Ver las Respuestas
Ahora pasemos al último objetivo “Lenguajes Naturales y Científicos”, y completamos el estudio de la Unidad I. ¡Sigue adelante!
D. LENGUAJES NATURALES Y CIENTIFICOS
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OBJETIVO TERMINAL 5: Determinar las características de los lenguajes naturales y científicos y su importancia para el desarrollo de la lógica. Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECIFICOS: 5.1. A partir de los conceptos de Semántica y Sintaxis, clasificar una serie de expresiones dentro del campo de las mismas. 5.2. Reconocer, en una serie de expresiones, los casos de lenguajes naturales y científicos. 5.3. Señalar, mediante una contraposición o comparación, las principales características, funciones e importancia de cada uno. 5.4. Señalar los dos elementos fundamentales que permitieron la matematización de la lógica. 5.5. Como conclusión de todo lo anterior, establecer dos semejanzas y dos diferencias entre la lógica tradicional y la moderna.
1. SINTAXIS Y SEMANTICA Cuando uno se ocupa del lenguaje puede hacerlo, principalmente, desde dos puntos de vista: su sintaxis y su semántica. La sintaxis estudia la interrelación de los signos de un lenguaje, el orden en que deben colocarse para constituirse en una fórmula bien formada (una fórmula correcta) de ese lenguaje. Una frase o una oración son fórmulas bien formadas. La sintaxis no tiene en cuenta el significado de los signos, sólo se ocupa de la construcción de los lenguajes. La sintaxis de un lenguaje proporciona dos clases de reglas: las de formación de las fórmulas bien formadas; y las de transformación que permiten convertir unas fórmulas bien formadas en otras igualmente bien formadas. Por ejemplo, la expresión: “lógica la importante es” o la expresión matemática: “+5x / 4”, obviamente, no son fórmulas bien formadas porque no se atienen a las reglas de formación del castellano y de la matemática respectivamente. En cambio, “la lógica es importante” y “5 / 4” son fórmulas bien formadas por cumplir con las sintaxis respectivas. La expresión: “Luis escribe una carta” se puede transformar en: “Una carta escrita por Luis” en virtud de una de las reglas de transformación del castellano que permite convertir una oración activa en otra, equivalente, en voz pasiva. La sintaxis lógica es la sintaxis del lenguaje lógico. Ellas nos proporcionan las reglas de formación y reglas de transformación. Estas serán estudiadas más adelante. La Semántica estudia la relación entre las expresiones de un lenguaje y los objetos o propiedades a que se refieren, esto es, estudia el significado e interpretación del lenguaje. La expresión: “sócrates fue filósofo” tiene significado. En efecto, la palabra “Sócrates” se refiere a un filósofo que vivió en el siglo V antes de Cristo; la palabra “Filósofo” a la propiedad real de esa persona. Este significado de la expresión constituye su Semántica.
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Una expresión lingüística tiene semántica para quien la utiliza, si conoce el significado de la misma. Por ejemplo, la palabra “Hemeroteca”, aunque como palabra castellana tenga su significado, sólo tendrá valor semántico para aquellas personas que sepan el objeto a quien se refiere.
Seguidamente, para constatar si has comprendido este punto, debes responder los siguientes ejercicios. EJERCICIOS Determina si las siguientes proposiciones pertenecen a la semántica o a la sintaxis (objetivo específico 5.1.). (1) El artículo, en castellano, concuerda en género y número con el nombre que acompaña. (2) La luz roja del semáforo encendida quiere decir pare. (3) La luz roja del semáforo viene a continuación de la amarilla. (4) En la aritmética el signo “=” se escribe entre dos números. (5) Para los españoles rojo y encarnado son sinónimos. (6) El antónimo de luz es oscuridad. (7) En telegrafía los puntos (.) puede ir antes, después o entre los guiones (-). En taquigrafía la expresión ‘ ’ quiere decir ‘de la’. (8) Maracaibo se puede referir a la palabra ‘Maracaibo’ o a la ciudad de Maracaibo. (9) Los indígenas utilizaban las hogueras para comunicarse entre sí. (10)En un banquete de gala los cubiertos de colocan de determinada manera. Ver las Respuestas 2. LENGUAJES NATURALES Y CIENTIFICOS Tal como hemos venido insistiendo en este curso de lógica, lo importante es aprender a razonar correctamente. Obviamente, esta capacidad está determinada, en gran medida, por el manejo preciso y amplio dominio que tengamos de nuestra lengua. Por ser la lógica, además de una ciencia, un lenguaje, vamos a dedicarnos a reflexionar sobre los tipos de lenguajes, a fin de facilitar el uso adecuado de los términos y el acceso a la construcción del lenguaje lógico (del lenguaje formal de la lógica) en las unidades subsiguientes. Hay que señalar sin embargo, que el uso adecuado y pertinente de un lenguaje no es suficiente para la lógica: el lenguaje corriente por su imprecisión y vaguedad no es el más adecuado para la ciencia. Los lenguajes naturales tienen una serie de limitaciones que desfavorecen y obstaculizan el rigor y la precisión requeridos por las ciencias y por la lógica, como herramienta para la sistematización del conocimiento. Por ese motivo, a través de la historia del pensamiento, los hombres de ciencia han ido haciendo, su propio lenguaje a manera de recorte sobre el lenguaje natural, con miras a reducir o superar estas limitaciones. Esto ha dado como resultado el surgimiento de los llamados “lenguajes científicos”, los cuales se han ido afinando y perfeccionando progresivamente para adaptarse a los fines y propósitos de las diversas ciencias. En general, decimos que un lenguaje es un sistema de signos que usamos para comunicar pensamientos, emociones, convicciones, etc. El signo es convencional, o ideado para representar algo distinto de él mismo: el signo reloj está en lugar del objeto reloj, y la
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palabra reloj es una forma gráfica del sonido reloj (en castellano). En los lenguajes naturales los signos son palabras; en los lenguajes científicos, más específicamente, en los lenguajes formales, el signo es una forma. Así tenemos lenguajes de señas luminosas, de signos Braille, de clave Morse, etc. También tenemos los lenguajes formales de la matemática y de la lógica. Se puede hablar, pues, de lenguajes naturales y científicos. Vamos a caracterizar, a continuación, cada uno de ellos. (i) En primer lugar, los lenguajes naturales son los diversos idiomas o lenguas que usamos como lenguaje corriente, cotidiano. Sirven para comunicarnos en nuestra vida ordinaria. Ya hemos visto, en el objetivo 1, que se usan para narrar, describir, persuadir, influir, expresar sentimientos y emociones. En cambio, los lenguajes científicos no pertenecen a un idioma particular sino que son usados por toda la comunidad científica. Sirven para comunicar el conocimiento específico de una ciencia (función informativa) y lo hacen en un lenguaje neutro; es decir, en forma objetiva y fría, desprovista de todos los elementos afectivos, los cuales, en el caso de la ciencia, constituyen una interferencia, un obstáculo, que puede distorsionar la información transmitida. (ii) Los lenguajes naturales son, a menudo, imprecisos: muchas veces no sabemos con exactitud a qué objeto se refiere una palabra, porque ésta no señala las determinaciones más sutiles, sino que designa su objeto de una manera vaga indeterminada. En los lenguajes científicos, los signos utilizados señalan con exactitud rigurosidad un objeto único y determinado. En la vida ordinaria se puede permitir cierta imprecisión. Palabras como ‘progesista’ y ‘democrático’ se pueden referir diversas características de las personas; son palabras imprecisas. Al contrario, ciencia necesita una total correspondencia entre el signo y el objeto designado. (iii)Así mismo, en los lenguajes naturales encontramos términos ambiguos que originan, con frecuencia, fallas en la comunicación (Les remitimos aquí al tema de las falacias de ambigüedad). En la ambigüedad la palabra representa dos objetos estudio, con la consecuente confusión. Los lenguajes científicos deben necesariamente evitar cualquier equívoco usando los signos en forma unívoca: un signo único para cada objeto designado. (iv)Por otra parte, los lenguajes naturales adoptan tanto la forma de comunicación oral como escrita; sin embargo, básicamente son lenguajes orales, por lo que escritura es de tipo fonética: los signos representan sonidos. Los lenguajes científicos son fundamentalmente gráficos (escritos) y; escritura es de tipo ideográfica, es decir, los signos designan ideas. (v)Además, los lenguajes naturales poseen una gramática más o menos compleja, con múltiples reglas y numerosas excepciones. Por el contrario, los lenguajes científicos tienen una gramática simple, reglas completas que no admiten excepciones.
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(vi)Por último, señalamos que los lenguajes naturales comprenden todos los campos semióticos: sintaxis, semántica y pragmática. En contraposición, los lenguajes científicos son sólo sintáctico-semánticos y, en algunos casos, adoptan un carácter exclusivamente sintáctico, como es el caso de los lenguajes formales, que pasamos a considerar.
3. LENGUAJE FORMALIZADO, CARACTERISTICAS E IMPORTANCIA Las diversas ciencias, al ir conformando sus propios lenguajes, han ido adoptando diversas modalidades: los más sencillos son un simple afinamiento precisión de los términos y elaboración de construcciones lingüísticas propias, con una jerga técnica dentro del lenguaje natural; algunos incorporan cierto número c expresiones simbólicas; los más sofisticados constituyen un lenguaje totalmente simbólico. En este caso, se trata de los llamados lenguajes formales, como el de 1: matemáticas, la computación y la lógica. El lenguaje formalizado se hace necesario cuando se quiere analizar procesos y relaciones complejas. Para estudiar estructuras del conocimiento simple no hace falta un lenguaje distinto del natural; pero para pasar de la verdad de las proposiciones simples a toda la frecuencia de verdades derivadas, hace falta una gran precisión y rigor. Consideremos, por ejemplo, las demostraciones de las matemáticas expresadas en el lenguaje común: sería complicado seguir su desarrollo. Es necesario, para ello, un lenguaje especial, a base de símbolos, un lenguaje formal. Los lenguajes formalizados han logrado la simplicidad y la precisión de las expresiones. Para lograr su avance, hoy día, las ciencias no pueden prescindir de estos lenguajes. Ha llevado siglos elaborar y perfeccionar estos lenguajes; por eso, las ciencias más antiguas como la matemática, la física y la lógica los han desarrollado, lo cual les ha permitido su altísimo grado de perfección y su vertiginoso ritmo de progreso. Otras ciencias, como la biología, la química, la lingüística tienen lenguajes con un alto grado de formalización; las demás tienen simplemente un lenguaje especializado y, poco a poco, han ido incorporando estructuras formalizadas, en distinta medida, tal es el caso de la psicología, la etnología, entre otras. Cada vez más, se tiene la convicción de que sólo con los lenguajes formales, como herramienta, puede una ciencia ser suficientemente rigurosa y lograr un avance permanente. El enorme progreso de las citadas ciencias, y los increíbles logros de la informática y la computación lo confirman. En referencia a la lógica, se corrobora lo antedicho: en muchos siglos, desde Aristóteles hasta Leibniz, no hubo grandes avances, hasta que, en 1.847, George Boole formalizó completamente el lenguaje de la lógica a semejanza del de la matemática. El lenguaje formal de la lógica es el modelo de todos los lenguajes formales.
4. LENGUAJE FORMALIZADO Y LOGICA FORMAL
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Hemos estudiado la diferencia entre lenguajes naturales y los lenguajes científicos. Hemos analizado cuáles son las principales propiedades de los lenguajes científicos y hemos explicado por qué su empleo es imprescindible para desarrollar las ciencias, especialmente las matemáticas y la lógica. Pero no hemos dicho por qué este lenguaje se llama formalizado. Podría llamarse lenguaje simbólico o lenguaje exacto o cualquier otra cosa parecida, porque, en efecto, todo lenguaje formalizado es simbólico y preciso. Sin embargo, se llama formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma de las proposiciones y de las inferencias. A1 hacer esta afirmación no hemos ganado mucho, al parecer, porque no sabemos qué cosa es la forma del lenguaje ni la forma de la inferencia. El término ‘forma’ usado en el lenguaje natural, es vago, impreciso, difícil de analizar. En cambio, en lógica se emplea con un sentido preciso y único. Entre los diversos significados que tiene el término ‘forma’ en los lenguajes naturales destaca el significado de estructura y es precisamente en este sentido que se emplea en relación al lenguaje y la lógica. Al decir, pues, que el lenguaje de la lógica es un lenguaje formalizado, se quiere decir que se trata de un lenguaje que revela su propia estructura. Pero todavía no sabemos bien lo que significa el término ‘estructura’, aunque de manera intuitiva tenemos más o menos una noción de dicho significado. En primer lugar, la palabra estructura se refiere siempre a algo compuesto. Esto es fundamental. Si un objeto es completamente simple, no tiene estructura: Para que un objeto tenga estructura, debe estar compuesto por varios elementos. Así, en geometría, el punto, que es un elemento absolutamente simple, no puede tener estructura. Pero las figuras geométricas si tienen estructura, porque están compuestas de puntos. Sin embargo, no basta que un objeto esté compuesto de elementos para que tenga estructura. Para esto los elementos que integran el objeto deben relacionarse de alguna manera muy definida. De modo general, puede decirse que para que un objeto tenga estructura, debe haber un orden determinado entre los elementos que lo integran. Estas dos propiedades son esenciales a toda estructura: el objeto debe ser compuesto y debe haber un orden entre sus elementos. Obsérvese que estas dos propiedades se refieren únicamente a los elementos como integrantes o componentes de la estructura, pero no se refieren a las cualidades o propiedades de dichos elementos. Lo que interesa de una estructura es la relación de unos elementos con otros, pero no las cualidades intrínsecas de estos elementos. Así, si contemplamos los dos gráficos: Gráficos vemos de inmediato que aunque defieren en una serie de propiedades, como el tamaño, el color, el lugar de la página donde están impresos, etc., tienen sin embargo exactamente la misma estructura, porque tienen el mismo número de elementos, y el mismo orden entre estos elementos. Esta comprobación nos indica que el concepto de número también es propiedad esencial de la estructura. Para que dos estructuras sean idénticas, deben tener el mismo número de elementos. De otra manera no podrán ser idénticas. Podrán ser parecidas, pero no idénticas. Y ahora tenemos ya una visión más clara y precisa de lo que es una estructura. Para que un objeto tenga una estructura debe ser compuesto, debe tener un número determinado de
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elementos y debe existir un orden entre ellos. Composición, número y orden son las cualidades esenciales de toda estructura. Si, como manifestamos al comienzo, entendemos que el término ‘forma’, significa exactamente lo mismo que ‘estructura’, comprendemos por qué se llama formalizados a los lenguajes simbólicos que emplean la matemática y la lógica. Son formalizados porque han sido elaborados especialmente para hacer posible que, por el sólo hecho de emplearlos o manejarlos, se revele su estructura o forma de manera patente y compleja. Formalizar un lenguaje es precisar y arreglar de tal modo los símbolos empleados que sea posible captar sin ninguna oscuridad, sin ninguna posibilidad de errar, su estructura. Como después veremos, el razonamiento o inferencia, la deducción, depende de manera directa de la estructura o forma de las proposiciones cuya verdad se relaciona. Por este hecho, por la razón profunda de que todo proceso deductivo, toda inferencia se basa en relaciones estructurales o formales, y porque siempre es necesario emplear cierto tipo de formalización para estudiar estas relaciones, es que la lógica que estudia la relación de verdad entre las proposiciones, se llama también lógica formal.
5. LOGICA FORMAL Y LOGICA NATURAL Para concluir este punto, presentaremos aquí, algunas consideraciones sobre la lógica formal o científica en contraposición a lo que denominaremos “lógica natural”. Así como venimos hablando de lenguajes naturales y formales, así, también, nos referimos a estos dos tipos de lógica distintos. La lógica natural corresponde al lenguaje natural. Es la lógica del pensamiento común, cotidiano, es lo que frecuentemente referimos como sentido común. Ella impregna nuestro discurso ordinario y lo estructura para argumentar; es decir, para reforzar lo que decimos, para darle apoyo y hacerlo verosímil y creíble ante nuestros interlocutores. En el caso de la lógica formal, estamos en el terreno del conocimiento y del lenguaje científico. Aquí, la finalidad es distinta; se trata de razonar; esto es, de demostrar verdades científicas, las cuales adquieren solidez independientemente de quien las acepte. En la lógica natural, cuando argumentamos, se trata de convencer al otro para que acepte nuestros puntos de vista y, así, lograr con él un terreno común para el entendimiento y la comunicación. El valor que se maneja, aquí, es la verosimilitud, que conlleva el convencimiento y la aceptación del interlocutor. No se trata de verdad o falsedad de la conclusión, ni de la validez o no validez de la estructura del argumento, corno en el caso de la lógica formal, sino de obtener el asentimiento de la otra persona, o de los varios escuchas. Por ese motivo, en la argumentación del discurso común se recurre a los elementos afectivos y coactivos, y a toda clase de influjos, para conseguir apoyar nuestra proposición. Obviamente, todos estos elementos del argumento son ex profeso rechazados y excluidos en un razonamiento de la lógica formal. Además, en la lógica formal se construyen razonamientos deductivos: el sistema teórico de las ciencias físicas e hipotético deductivo. Hay que anotar que igualmente se trabaja con razonamientos inductivos y analógicos.
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De un modo muy distinto, la lógica natural construye argumentos en los cuales, en vez de premisas y conclusión, tenemos dos elementos: una proposición apoyante, que es el punto de partida, y una proposición apoyada, que viene a ser la conclusión del argumento. Pero las relaciones entre estos dos elementos no son necesariamente de causa-efecto (causalidad). Son relaciones de muy diversa índole: confirmación en los hechos, reformulación del enunciado, comparación, finalidad, entre otros. Por último, hay que señalar que estas dos lógicas, la del discurso común y la del discurso científico, no están desvinculadas entre sí. La lógica científica se deriva por un proceso de depuración de la lógica natural, de manera que aquélla constituye un recorte o especialización de ésta. A su vez, la lógica científica aporta sus avances y sus logros al argumento del discurso común nutriéndolo con nuevos elementos de persuasión, impregnándolo con su rigor. Las personas que argumentan en su discurso cotidiano toman, más o menos, referencias de la lógica científica en la medida de su mayor o menor cercanía al conocimiento científico.
A continuación encontrarás unos ejercicios que te brindarán la oportunidad de saber lo que has aprendido. EJERCICIOS A continuación encontrarás una serie de proposiciones que expresan características de los lenguajes naturales y científicos (formales). Señala anotando una “N” o una “C” según corresponda en cada caso. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Su amplitud expresiva se limita a un campo determinado. Sirve para comunicar informaciones y emociones. Sus reglas gramaticales son complejas y admiten excepciones. Su escritura es ideográfica. Es un lenguaje formal. Posee símbolos limitados en número. Puede ser expresivo, directivo o informativo. Es totalmente neutro. Ver las Respuestas
6. MATEMATIZACIÓN DE LA LÓGICA La lógica formal nació, hace aproximadamente dos mil quinientos años, con el filósofo griego Aristóteles. Desde entonces hasta el siglo XIX no experimentó ningún desarrollo significativo. El adelanto de los estudios matemáticos en el siglo XIX preparó el terreno para lograr un avance cualitativo en el desarrollo de la lógica incorporando, a la misma con el rigor y la precisión del método matemático. En ese sentido se dice que la lógica se matematizó. Sólo pudo matematizarse la lógica cuando se logró simbolizar completamente todos los elementos de un razonamiento. Aristóteles ya había simbolizado las variables
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representándolas por las letras A, B, C, D, etc., pero no simbolizó las constantes, como “todo”, “si-entonces”, “algunos”, etc. Esto se va a lograr en el año 1847 por el lógico inglés Boole. Este logro constituye la clave del desarrollo de la lógica formal que, desde este momento, empieza a llamarse, entre otras denominaciones, lógica simbólica o moderna. Por ejemplo, desde la antigua Grecia existía el siguiente esquema de razonamiento: “ Si A, entonces B; no B; por tanto, no A”. Es decir, se simbolizaban los elementos variables, pero no las constantes. Pero, si se conviene en representar la partícula: “si..., entonces...” por una especie de herradura “ ⊃ ”; la partícula “no” con el símbolo “~”; la partícula “por tanto” por el símbolo “ ”, y la “y” la sustituimos por una coma “,”; el esquema de la forma del razonamiento que acabamos de anotar se formularía así: A ⊃ B, ~B
~A
De esta manera se lograría la simbolización total de los elementos del razonamiento. La simbolización de las constantes fue, pues paso decisivo del FORMALISMO de la lógica tradicional al SIMBOLISMO de la lógica moderna. La simbolización total en la lógica permite: estudiar sus estructuras con la misma objetividad y exactitud que la ciencia matemática; una mayor precisión en la formulación de sus reglas; la aplicación del método matemático a sus demostraciones.
Para afianzar lo tratado, te presentamos los Siguientes ejercicios. EJERCICIOS Escriba una “V” si lo afirmado es verdadero o una “F” si es falso (objetivo específico 5.4.). (1) La simbolización de las variables fue suficiente para la matematización de la Lógica. (2) Para la matematización de la lógica es necesaria la simbolización de las variables. (3) El método matemático sólo puede aplicarse a la lógica cuando se simbolizaron las variables y las constantes. (4) En la lógica simbólica (moderna) hay expresiones en castellano. (5) En la lógica formal (tradicional) hay expresiones en castellano. (6) Aristóteles aplicó el método matemático en la lógica. (7) La lógica simbólica emplea el método matemático en sus demostraciones. (8) La lógica formal (tradicional) aplicaba el método matemático en sus demostraciones. (9) La simbolización total del lenguaje lógico hace más engorroso la formulación de sus reglas. (10)La simbolización total de la lógica permite estudiar objetivamente la estructura de los razonamientos
7. SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE LA LÓGICA TRADICIONAL Y LA MODERNA.
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La lógica que se estudió desde Aristóteles (s. IV a. C.) hasta G. Boole (s. XIX d. C.) recibe el nombre de Lógica Tradicional o Formal; de Boole a nuestros días a la lógica se le da distintos nombres: Logística, Lógica Simbólica, Lógica Matemática, Algebra Lógica. Nosotros, en adelante, la denominaremos Lógica Moderna. A pesar del distinto desarrollo de ambas lógicas hay aspectos fundamentales comunes. Ambas se centran en el estudio de los razonamientos y para ello lo hacen a través de sus formas o estructuras. Evidentemente, la lógica simbólica, al lograr la simbolización total de los razonamientos introduce el método matemático en sus demostraciones, permitiéndole manejar y resolver, de forma rigurosa y transparente, problemas que la lógica formal, al no simbolizar las constantes, no le era posible realizar. Sin embargo a pesar de las diferencias anotadas entre ambas lógicas, la mayoría de las lógicas modernas consideran que la lógica simbólica se sitúa en una línea de continuidad de la lógica formal. En ese sentido el lógico H. Scholz anota que “hasta hoy no existe ninguna forma concebible de lógica, por muy distinta que sea de la lógica formal que no tenga una conexión con la obra aristotélica”1. Como anota Agazzi, “todo lo más que se puede decir respecto a la relación de la lógica formal tradicional y la simbólica es que con los instrumentos (simbolización) a nuestra disposición, estamos en condiciones de saber cuanto sabían hacer nuestros predecesores e incluso de hacerlo además de manera más pulida y elegante, así como enfrentarnos con problemas poco manejables por ellos. Indudablemente, éste ya es un proceso implícito, pero para hacerlo explícito, es aún necesario que se proceda efectivamente a la construcción del edificio de la lógica, lo cual es un trabajo muy largo que en gran parte está todavía por hacer”2. Por todo lo anterior podemos afirmar que la diferencia entre la lógica formal tradicional y la lógica simbólica no es de esencia sino de grado. Aunque es preciso insistir en que la lógica simbólica, al desarrollar un simbolismo más técnico, se ha convertido en un instrumento más eficaz y poderoso para el análisis lógico. La notación simbólica facilita extraordinariamente las deducciones. Veamos a este respecto lo que escribió Whitehead en su libro “An Introduction to Mathemathics”: “Con la ayuda del simbolismo, podemos efectuar por medio de la vista y de manera casi mecánica transiciones en el razonamiento que exigirían, sin aquél, el uso de las facultades superiores del cerebro”3. Ejercicios: l. ¿En qué se parecen la lógica formal tradicional y la lógica simbólica? Explíquelo en tres líneas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 1
Scholz H. ABRISS GESCHICHTE DER LOGIK, Berlín, 1931. Citado por E. Agazzi en Lógica Simbólica, pág. 60. 2 AGAZZII, E. La Lógica Simbólica. Edit. Herder, Traducción: J. Pérez Ballestar, 1967, Barcelona, pág.58.
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3
WHITEHEAD, Alfred N. An Introduction to Mathemathics. Oxford University Press, 1911.
2. Explique si hay o no oposición entre la lógica formal tradicional y la lógica simbólica. Redáctelo con sus palabras en cuatro líneas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________ 3. ¿En qué se diferencian básicamente la lógica formal tradicional y la lógica simbólica? Escríbalo en tres líneas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Ver las Respuestas Trata de resolver los siguientes ejercicios de Autoevaluación ¡Suerte! AUTOEVALUATIVO 5 I. Escriba V si es verdadero o F si es falso (objetivo específico 5.5.). (1) La lógica simbólica y la formal son formales. (2) La diferencia principal entre la lógica formal y la simbólica es que ésta simboliza los elementos constantes. (3)La lógica formal simboliza los elementos variables y constantes. (4) La lógica simbólica simboliza las variables y las constantes. (5) La lógica simbólica no es la continuación de la formal. (6) La lógica simbólica puede resolver más problemas lógicos que la formal. (7) La lógica formal aplica el método matemático en las demostraciones. (8) A la lógica simbólica se le llama también lógica matemática. (9) Las lógicas formal y simbólica son igualmente exactas y rigurosas en sus demostraciones. (10) Las lógicas formal y simbólica estudian los razonamientos.
II. Enuncie la diferencia fundamental entre la lógica tradicional o aristotélica y la lógica moderna o simbólica. Escríbalo en tres líneas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
III. Enumere dos condiciones necesarias para la aplicación del método matemático a la lógica.
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(1)_______________________________________________________________________ (2)_______________________________________________________________________ IV. Enumere dos ventajas de la matematización de la lógica.
(1)_______________________________________________________________________ (2)_______________________________________________________________________
V. Complete:
(1) Aristóteles simbolizó los elementos _________________________________________ de una proposición. (2) Al matematizar la lógica se lograron simbolizar los elementos ____________________ _________________________________________ de una proposición. (3) Las partículas: "si... entonces", "todos", "Por tanto", "es", son elementos_____________ __________________________________________________________ de una proposición.
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LECTURAS COMPLEMENTARIAS Para cerrar el ciclo de aprendizaje, te proponemos ahora cinco lecturas que amplían y complementan el contenido de los temas que han sido abordados en esta primera unidad. La primera lectura te presenta una panorámica del desarrollo de la lógica desde Aristóteles hasta nuestros días, haciendo énfasis en los elementos que posibilitaron el avance de esta disciplina. Culminamos con la segunda y tercera lecturas sobre la importancia de la lógica y el arte de razonar bien, en las cuales se hacen importantes recomendaciones para la vida práctica. La cuarta y quinta lecturas, constituyen un apéndice que tocan, en forma breve, las distinciones entre ‘lenguaje objeto’ y ‘metalenguaje’ y ‘uso’ y ‘mención’. Estos conceptos permiten dilucidar algunas confusiones que habían generados problemas y paradojas. Estos temas podrían ser incluidos como puntos del temario de esta unidad, a juicio del profesor; por ese motivo nos pareció conveniente ofrecerlos.
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I. BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA
Aristóteles: Nació alrededor de 384 a. de C. en Estagira Traná. Fue discípulo de Platón. Fue maestro de Alejandro Magno. En 323 fundó una escuela que llamó Liceo. Murió en Calcis en 322 a. de C.
En este recuento histórico usted va a encontrar una serie de términos que en principio no van a tener gran significación para usted, por cuanto se refieren a conocimientos que irá adquiriendo conforme adelanta el curso. También es bueno anotar que en virtud de que éste es un curso introductorio de un nivel elemental, no es posible hacer referencia a muchos puntos complejos y propiamente lógicos estudiados especialmente a partir 'de la segunda mitad del siglo XIX. El propósito es que, después de una lectura atenta, se percate del desarrollo histórico de la disciplina, de tal manera que pueda darse cuenta de las relaciones existentes entre la lógica tradicional v aristotélica y la lógica moderna o simbólica. LA LÓGICA ARISTOTÉLICA Aristóteles (384-322 a. de C.) fue el primero en concebir que el producto del pensamiento reflexivo era en sí mismo el asunto de una ciencia especial. Aristóteles fue el primero en reflexionar sobre la forma de las proposiciones y se percató que en el razonamiento no era el contenido sino la forma lo que tenía importancia. Él fue el que, además, codificó en forma sistemática las formas de la argumentación correcta. Por eso se le considera el “Padre de la Lógica Formal”. El mismo escribe en su libro “Refustaciones Sofisticas”: ...“Más de la presente ciencia (lógica) no se trata de que hubiera hasta ahora algo ya elaborado junto a otras cosas todavía no elaboradas, sino que, por el contrario, hasta ese momento no había de ella absolutamente nada disponible”1. Aristóteles sistematizó principalmente la teoría de un argumento especial que llamó Silogismo. En su libro Tópicos se lee. “... La presente obra trata de hallar un método gracias al cual podamos construir silogismos sobre cualquier cuestión que se proponga, partiendo de premisas probables. Pues el silogismo, es un discurso en que, puestas ciertas premisas, algo distinto de ellas surge necesariamente a partir de las mismas. Con esta última frase quiero decir que ellas producen la consecuencia, y con esto, que no se requiere ningún termino adicional desde fuera para hacer la consecuencia necesaria”2.
___________________________________ 1 Refustaciones Sofisticas XXV, 183b, 34 s.s. 2 TÓPlCOS, A. 1.100a. 22 s.s. La base de la teoría silogística está en la hipótesis de que todo razonamiento correcto puede analizarse mediante proposiciones de una forma peculiar y que llamamos proposiciones de sujeto-predicado. En esta clase de proposiciones hay un sujeto cuantificado, o sea un sujeto precedido por alguna de estas palabras: “todo”, “ninguno”, “alguno”. Este sujeto está unido al predicado por medio de un verbo. Ejemplos de ellos son:
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“Todos los alumnos son zulianos” “Algunos, alumnos son marabinos” “Ningún alumno es alemán” “Algún alumno no es marabino” Si en estos ejemplos el sujeto se denota por S y el predicado por P, entonces tenemos las siguientes formas: “Todos S son P” “Algunos, S son P” “Ningún S es P” “Algún S no es P” Con estas formas de las proposiciones sujeto-predicado, Aristóteles concibe, además, que la deducción tiene lugar en virtud de la forma. Por eso el Estagirita afirma: “siempre que tres términos están relacionados entre sí de tal modo que el último está contenido en el medio como en un todo, y el medio está contenido en el primero como un todo, los extremos deben estar relacionados por un silogismo perfecto. Llamó medio a aquél que está contenido en otro y a la vez contiene a otro; también en cuanto a su posición está en el medio. Por extremos entiendo tanto aquel término que está contenido en otro cuanto aquel en que otro está contenido. Si A es predicado de B, y B lo es de C; A debe ser predicado de toda C”1. Este ejemplo ofrecido por Aristóteles equivale, entonces a lo siguiente: Toda A es B Toda B es C Por lo tanto, Toda A es C Aquí los extremos serían A y C y el término medio B. A partir del ejemplo ofrecido podemos observar que la lógica de Aristóteles era formal y que tanto él como los lógicos subsiguientes se aproximaron mucho a la teoría de la variable lógica. Además está implícito en el ejemplo anotado que no se requiere ningún término adicional fuera del mismo silogismo para hacer la consecuencia necesaria, lo cual quiere decir que Aristóteles en el estudio del silogismo aplica leyes que relacionan internamente los términos sin necesidad de ninguna injerencia externa.
________________________________ 1 ANAL. prioria, 25b, 32-26a Este uso de símbolos y ésta aplicación de leyes constituyen los elementos; fundamentales de toda lógica, de aquí se puede afirmar que en el desarrollo de la lógica simbólica moderna está siempre presente de alguna manera la obra del gran estagirita. Para terminar diremos que los estudios de Aristóteles sobre lógica están distribuidos en cinco tratados; los cuales fueron reunidos por sus discípulos en uno solo que recibió el nombre de Organon, palabra que quiere decir “Instrumento”.
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LA OBRA DE LEIBNIZ Y EL NACIMIENTO DE LA LÓGICA SIMBÓLICA
Gottried Wilhem Leibniz (1646-1716). Nació en Lepzig, ahí mismo alcanzó su doctorado. De 1663 a 1667 estudió matemáticas en la Universidad de Jéna y jurisprudencia en la de Altdos. En 1700 fue nombrado presidente de la Sociedad de Ciencias de Berlín. Pasar de Aristóteles a Leibniz supone un salto de dos mil años. El hecho de que no hagamos mención en esta brevísima reseña de la historia de la lógica a ese largo lapso, no significa que en el mismo no se cultivara la lógica, y que en algunos campos, incluso, se
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lograra un desarrollo de la misma; sin embargo, en su estructura fundamental es la misma lógica aristotélica, y, como nuestro propósito, más que señalar nombres de lógicos, es mostrar el desarrollo de la misma lógica, consideramos innecesario hacer referencia a ese período. Solamente del siglo XVI al siglo XVIII hubo una interrupción total del desarrollo de la lógica formal. En el siglo XVIII, precisamente, en el año de 1787, Kant había afirmado, como anotamos anteriormente, que la lógica formal había sido creada por Aristóteles con tal perfección que no había dado ni un paso atrás ni un paso adelante en su desarrollo, de tal forma que parecía completa y cerrada. Sin embargo, Leibniz no fue de la misma opinión y con él empieza la lógica formal una vida nueva cuyo desarrollo posterior culminaría en la moderna lógica simbólica. Leibniz, en efecto, se dio cuenta de que la lógica aristotélica era incompleta, que era tarea de la lógica la obtención de un instrumento potente que le permitiera alcanzar el mismo rigor y objetividad que las ciencias matemáticas. Leibniz tuvo la intuición de que la lógica se podía reducir a un simple “cálculo”, y para ello propone el estudio de la deducción como simple operación de símbolos a la manera como se opera en matemáticas. El idioma ordinario, dice Leibniz, imita en el papel palabras que representan convencionalmente objetos. En cambio los ideogramas chinos y los jeroglíficos egipcios representan directamente los objetos mismos. Se podría construir según él un idioma en el cual cada concepto simple fuera representado directamente por un carácter o signo, llamado “característica universal”, y de esa forma obtendríamos un idioma ideográfico, o sea un idioma de las ideas o conceptos. Sería por lo tanto, un lenguaje simbólico, con la propiedad de ser tratado como un cálculo del razonamiento, como un álgebra. Los caracteres o signos constituirían un “alfabeto del pensamiento humano” que correspondería a todas las ideas simples posibles. Estas ideas simples serían conceptos primitivos a partir de los cuales podrían construirse conceptos complejos por medio de reglas de combinación. De esta manera Leibniz concibió tanto la posibilidad de un cálculo del razonamiento como la posibilidad de una matemática universal, que sería el origen, en definitiva, de la lógica simbólica.
De aquí que Leibniz sostenía que cuando se logre simbolizar todas las ideas, no habrá necesidad de discutir más entre filósofos. Será suficiente con tomar la pluma en la mano, sentarse en la mesa y decir el uno al otro: calculemos. Leibniz, no pudo cumplir su sueño, sólo pudo ejecutar algunos fragmentos del programa que se había trazado, pero tuvo el mérito indiscutible de abrir y orientar el nuevo camino que desembocaría en la lógica simbólica contemporánea.
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GEORGE BOOLE
George Boole: (1815-1864). Nació en Lincoln, Inglaterra. Profesor de matemáticas en Queen's College de Cork. Es considerado como el fundador de la Lógica Simbólica.
Estas ideas de Leibniz encuentran el terreno preparado para llegar a realizaciones concretas a mitad del siglo XIX. En efecto, el progreso de los estudios matemáticos proporcionó a los lógicos los instrumentos necesarios para empezar a construir la lógica tan vivamente deseada y entrevista por Leibniz. George Boole, matemático y lógico, publica en Londres en 1847 su libro, “The Mathemathical Analyst of Logic”, en el cual aplicando el método matemático logra traducir la lógica aristotélica a una teoría de ecuaciones, donde cada uno de los términos de la lógica tradicional los representó con símbolos. En su obra Boole. subrayó como característica fundamental de todo elemento del lenguaje la de ser signo, y, además, que estos signos son susceptibles de combinación de acuerdo a reglas fijas que bastan para determinar la significación de la combinación.
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Boole propuso los siguientes símbolos: (i) Los objetos de nuestros conceptos los representó con las letras últimas del alfabeto x, y, z, . . . (ii) Como signos de operación empleó: +, -, x. (iii) Empleó además el signo de identidad. Para Boole el recurso de la simbolización era capital. A este respecto he aquí sus palabras: “... Nosotros estamos en condiciones de dar como característica definitoria del cálculo la de que es un método basado en el uso de los símbolos, cuyas leyes de combinación son conocidas y generales y cuyos resultados permiten una interpretación exenta de contradicciones. Sobre este principio general es sobre lo que yo me propongo construir el cálculo de la lógica y reclamo para él un lugar entre las formas reconocidas del análisis matemático independientemente del hecho de que tal cálculo deba, por ahora, apartarse de ellas espontáneamente en todo lo referente a su objeto e instrumentos”1. La obra de Boole señala un cambio de rumbo en él estudió de la lógica y si bien no logró construir definitivamente la lógica matemática, se puede considerar con todo derecho como el iniciador de la misma; y su posterior desarrollo no hubiese sido posible sin el trabajo por él realizado. El camino señalado por Boole fue transitado por varios autores que condujeron a la lógica matemática o simbólica a avances insospechados en lo que a construcción de sistemas formalizados se refiere. Como dato curioso es bueno anotar que en 1860, Jevons, ______________________________ 1 BOOLE, G. The Mathemathical Analyst of Logic, Londres-Cambridge 1847. Reimpreso Oxford 1948-1951. Pág. 3s. como consecuencia de la aplicación de los adelantos teóricos logrados en los sistemas formalizados, concibió la idea de construir una “máquina-pensante”, que sería el primer precursor de las modernas calculadoras.
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GOTTLOB FREGE
Gottlob Frege: (1848-1925). Nació en Wismar, fue profesor de matemáticas en la Universidad de Jena. La publicación de su libro “Conceptografía” señala una fecha capital en el desarrollo de la lógica simbólica.
Hay otros muchos lógicos que habría que nombrar en esta época, pero entre todos sobresale Gottlob Frege (1848-1925). La lógica después de Boole se había convertido fundamentalmente en un cálculo. Con Frege aparece otra necesidad, la necesidad de determinar las condiciones adecuadas para lograr un procedimiento deductivo riguroso. En 1879 Frege publica su obra “Begriffsschift” (Conceptografía). En ella consigue la construcción de un cálculo lógico casi perfecto. Para ello crea un simbolismo muy original, aunque muy complejo, que le va a permitir realizar la formalización completa de la lógica deductiva elemental. En esta obra Frege formula de manera clara la distinción entre variable y constante, el concepto de función lógica, el concepto de cuantificador, distingue entre regla y ley, diferencia el lenguaje objeto y el metalenguaje. Desde Boole todos los lógicos aceptaban que la lógica era una parte de las matemáticas, Frege será el primero en sostener el punto de vista opuesto, es decir, que los conceptos matemáticos se pueden obtener a partir de conceptos lógicos, y de esta manera la matemática se convertía en una parte de la lógica.
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A pesar de su gran valor la obra de Frege pasó casi inadvertida durante veinte años antes de que B. Russell llamara la atención sobre ella. Como causa de ese olvido se señala lo complicado y difícil de su simbolización, lo cual hacía su lectura sumamente dificultosa. Giuseppe Peano tiene la virtud de simplificar el simbolismo de Frege. Este simbolismo propuesto por Peano, salvo ligeras modificaciones, es el que adoptarán Russell y Whitehead en su libro “Principia Mathemathic”, simbolismo que es el que prevalece en gran parte hasta nuestros días. Peano, logró también notables aportes para el desarrollo de la lógica simbólica. Entre ellos están la concepción de la lógica como poderoso instrumento para sistematizar la matemática, establece la posibilidad de vincular una clase a cada predicado e hizo la distinción entre variables libres y ligadas.
LAS INVESTIGACIONES LÓGICAS EN EL SIGLO XX
Bertrand Russell: Nació en 1872 en Trelleck, Inglaterra. Estudió en Trinity College (Cambridge). Primero se interesó por las matemáticas, luego por temas filosóficos, históricos y sociales. En 1952 recibió el Premio Novel de Literatura.
La obra más notable de lógica simbólica que existe, es la publicada por Bertrand Russell y Alfred N. Whitehead entré 1910 á 1913 cuyo título es “Principia Mathemathic”. Esta obra ha reelaborado, analizado y sintetizado de manera brillante y original todos los logros alcanzados por los lógicos precedentes. El principio fundamental de “Principia Mathemathic” consiste en probar que las matemáticas puras no son otra cosa que una extensión de la lógica formal. Demostraron que los números enteros positivos pueden analizarse en términos puramente lógicos. A parte de este objetivo central los autores señalan en el prólogo de su libro que han sido guiados por tres propósitos distintos, a saber: (i) Efectuar el mayor análisis posible de los conceptos de las matemáticas y de los procesos de la demostración matemática. (ii)Expresar las proposiciones matemáticas en la notación más conveniente a fin de asegurar la expresión más precisa. (iii)Desarrollar un sistema especialmente construido para resolver las paradojas.
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Para comprender a Russell y Whitehead así como el desarrollo de la lógica simbólica en el siglo XX es preciso referirse aunque sea brevemente al desarrollo de los fundamentos de la matemática, ciertamente uno de los procesos más fascinantes de la cultura contemporánea. Las matemáticas del siglo XIX, hicieron hincapié en la “exigencia de rigor”, y, en parte, este rigor se había logrado concretar en la llamada “aritmetización del análisis”. La aritmetización del análisis fue un intento de reducir los conceptos del análisis, (teoría de los números naturales), a los de la aritmética, rama que descansa en la teoría de los números naturales, de manera que su propósito era hacer descansar todo el edificio de la matemática clásica en la aritmética, pues ésta se manifestaba como la única base "no artificial" de las matemáticas. Este proceso de reducción de las matemáticas a la aritmética termina con Peano, quién logró una construcción axiomática de la aritmética elemental. Mientras tanto otro grupo de matemáticos se dio a la tarea de reducir la aritmética a un concepto todavía más profundo que parecía explicar mejor los fundamentos de la matemática. Este concepto, era el concepto lógico de clase. George Cantor, expone a finales del siglo XIX la teoría de los conjuntos. A través de esta teoría logra definir los números. Desde el punto de vista lógico esto tiene singular importancia, pues el concepto de número sobre el cual descansa la aritmética ya no resulta ser primitivo sino reducible al concepto de clase. Este edificio de la matemática construido aparentemente con fundamentos definitivos fue sacudido abruptamente por uno de los acontecimientos más desconcertantes de la actividad intelectual contemporánea: el descubrimiento de las “paradojas lógicas”. Por paradoja se entiende una serie de proposiciones en las cuales una y su negación son verdaderas. Estas paradojas, entre las cuales una de las más importantes es la de Russell, socavaban la teoría de conjuntos en su misma base, ya que esta teoría conducía a esas contradicciones o paradojas y por lo tanto la convertían en algo totalmente inconsistente; y al descansar el edificio de las matemáticas en esta teoría, y desplomarse ésta, se desplomaba con ella toda la matemática. Esto llevó a realizar un examen exhaustivo de los principales sistemas de la matemática clásica. En este análisis el único instrumentó apropiado resultó ser la lógica simbólica contemporánea, y ésta es la razón, en parte, del arraigo de la lógica simbólica en el siglo XX. Para resolver las paradojas lógicas los matemáticos y lógicos se dieron a la tarea de la construcción de sistemas axiomáticos puramente fórmales, construyendo de esta manera la “teoría axiomática de los conjuntos”. Sin embargo, muchos matemáticos y lógicos consideraron que la teoría axiomática de los conjuntos, aunque resolvía las paradojas lógicas, no permitía resolver otros problemas que en cambio, la teoría intuitiva de los conjuntos sí lo lograba. Como consecuencia de esto, se van a establecer tres corrientes principales: la logicista, la formalista y la intuicionista.
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La escuela logicista está defendida por Frege, Peano y Russell entre otros. Para ellos, los números y las clases existen en sí mismos, tienen cierto carácter de objetividad, no los inventamos nosotros. Las paradojas no serían, pues, según esta escuela, sino el fruto de nuestro modo inadecuado de hablar de las relaciones entre las clases, por lo cual, para evitarlas era suficiente con ser más cuidadosos en el lenguaje empleado al referirnos a esas teorías. Russell pretende resolver el problema de las paradojas mediante su teoría de los “tipos de predicados”. Esta teoría, sin embargo se demostró posteriormente que no era capaz de evitar todas las paradojas cómo por ejemplo la enunciada por J. Richard en 1905. La escuela intuicionista fue encabezada por el matemático holandés L. E. J. Brouwer. Los intuicionistas rechazan cualquier intento de fundamentar la aritmética en algún sistema más fundamental y consideran que los números positivos son realidades intuitivas suficientemente seguras como para constriur en base ellos toda la aritmética. Para los intuicionistas, verdad era sinónimo de demostrabilidad, un enunciado matemático es verdadero si tenemos una demostración de él. La escuela formalista considera que las entidades matemáticas son construidas por nuestra inteligencia, y, por tanto, existirán en la medida que se puedan definir sin contradicción. Por eso la fundamentación de las matemáticas está supeditada a la construcción de sistemas axiomáticos perfectamente formalizados donde sea imposible que se dé la presencia de contradicciones. El adalid de esta escuela fue David Hilbert. Esta escuela que tiene su mayor auge a partir de 1930, sufrió un serio revés poco tiempo después. Efectivamente el alemán K. Godel demostró los límites inherentes al formalismo puro. Godel demostró que en cualquier teoría deductiva que poseyera un mínimo de complejidad hay proposiciones verdaderas que no son demostrables mediante ningún sistema formalizado. El hecho de que los sistemas axiomáticos formalizados no pudieran resolver con absoluta seguridad la demostración de la no contradicción de ellos mismos, ha dado origen a la tendencia semántica dentro de la lógica moderna. El acta de nacimiento de este movimiento tiene lugar en 1935, cuando Tarski publica el artículo titulado “El concepto de verdad en los lenguajes formalizados”. El Desarrollo de los estudios semánticos es el hecho más destacado acerca de la lógica simbólica en los últimos decenios. Asegúrese de que conoce los puntos principales de la historia de la lógica; para ello: Elabore en quince líneas, un resumen de los aportes principales de sus representantes:
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II. IMPORTANCIA DE LA LÓGICA
No necesitamos ponderar la importancia del pensar correcto. La función fundamental de las instituciones docentes, en el campo del conocimiento, en la preparación adecuada del hombre del futuro, no va a consistir en lograr que los estudiantes se esfuercen para almacenar una gran cantidad de información, puesto que ésta fácilmente estará a su disposición mediante los modernos medios de comunicación, sino en enseñarles el manejo óptimo de esos datos que automáticamente tendrán en sus manos. Bajo este punto de vista, nada utópico, el pensar reflexivo, el razonar correcto, será el instrumento de trabajo más importante. Este pensar reflexivo será el que en definitiva señalará la diferencia entre el hombre que se deja anular por la máquina y aquél que utilice ésta para su propio desarrollo y bienestar, así como el de la sociedad. De ahí la importancia de desarrollar al máximo la habilidad para pensar correctamente, habilidad que depende de la capacidad de ver conexiones, de ponderar un conjunto de hechos a fin de deducir relaciones, pues la mera suma de un hecho con otro es de muy poco valor en la solución de problemas; solamente aquél que tiene la capacidad de relacionar coherentemente los hechos y datos es el que logrará solucionar en forma óptima los problemas. Si esto es así y si, además, el razonamiento es un utensilio al que constantemente se recurre en todas las facetas de la vida, desde las pruebas científicas y los debates políticos hasta las situaciones más concretas de cualquier persona, parece que es conveniente la tarea de abocarnos al estudio de los diferentes esquemas o modelos de confección de tales utensilios. El estudio de la lógica nos permite conocer las reglas, leyes y procedimientos del razonar correcto. De este modo estamos mejor preparados para descubrir y rebatir las ideas erróneas que aparecen en discusiones, en debates, en libros, en artículos. Es cierto que no es necesario estudiar lógica para razonar correctamente; pero en condiciones iguales, tiene más probabilidades de tener éxito en la búsqueda de la verdad, que es el propósito de toda ciencia, quien ha estudiado las técnicas lógicas del razonamiento que aquél que no lo ha hecho, máxime si se tiene en cuenta que el análisis lógico no se detiene a considerar el razonamiento sólo desde el punto de vista del contenido, sino, también y especialmente, desde el punto de vista de su estructura o forma lógica, terreno vedado para los que no se han dedicado sistemáticamente al estudio de la lógica. Este estudio formal del razonamiento ayuda a evitar la falta de claridad, las contradicciones y las inconsecuencias, en que se incurre al razonar.
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El estudio de la lógica, al ser un estudio que, al menos, en este nivel, se hace teniendo como referencia el lenguaje ordinario, permite determinar el sentido exacto de las palabras y expresiones empleadas en el lenguaje hablado o escrito. En otras palabras, nos ayuda a ser rigurosos y precisos en el uso del lenguaje corriente y a descubrir las falacias presentes, con frecuencia, en el mismo. El estudio de la lógica es indispensable para todos aquéllos que quieran adentrarse en el campo de la investigación, en el campo de la metodología científica, en el de la epistemología, en el de matemática y en el de filosofía. La lectura de libros especializados en los campos anotados se hace casi imposible hoy en día para aquéllos que no estén familiarizados con el lenguaje de la lógica simbólica. Para terminar quiero hacerlo con las palabras de uno de los lógicos contemporáneos más brillantes: Quine. Refiriéndose a la importancia de la lógica simbólica señala Quine lo siguiente: “... trata de todo. No en el sentido de que la lógica es una ciencia universal, que abarque toda otra ciencia y de cuyas leyes puedan deducirse las leyes de cualquiera ciencia especial. La lógica no es en tal sentido una ciencia universal; pero sí es una ciencia general, en el sentido de que las verdades lógicas se refieren a objetos cualesquiera... Por lo tanto no podemos decir que la lógica incluye las demás ciencias, pero sí que está incluida en todas las otras ciencias, de manera que forma parte común de todas ellas. La lógica es, como lo sugiriera Tarski, el común denominador de las ciencias especiales”1. Como resumen podemos, pues, anotar que la lógica simbólica tiene aplicaciones en los campos más diversos. Es el fundamento de lo que se podría llamar “interciencia”, además, su técnica de pensar, sus recursos de ordenación pueden lograr el desarrollo de las investigaciones científicas, no ya por la vía del tanteo y del empirísmo estéril, sino merced al empleo de una técnica cuidadosa y confiable. Ejercicios: 1. ¿Por qué en un futuro próximo, será más notable la importancia del razonar correctamente que la acumulación de materias informativas? Fundamente su respuesta en tres líneas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
2. Enumere tres razones por las cuales el estudio de la lógica simbólica es importante. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
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___________________________ 1 QUINE, Willard. El Sentido de la Nueva Lógica. Traductor: Mario Bunge. Editorial Nueva Visión, Buenos Aires, 1958, pp. 6 y 7.
3. Escriba en dos líneas en qué sentido la lógica es una ciencia general. ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
4. Consulte un diccionario y escriba el significado de la palabra “Epistemología”. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
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III. APTITUDES QUE DEBEN APRENDERSE PARA LLEGAR A RAZONAR BIEN Es licito preguntar “¿cómo puede uno aprender a ser racional?”. ¿Cuál es el proceso de educación que produce el mejor desarrollo posible de esas diversas capacidades racionales? No hay una respuesta sencilla para esa pregunta; y ciertamente los factores comprendidos en la racionalidad son lo bastante diversos para que no pueda sugerirse que se incluyesen cursos sobre racionalidad en los programas universitarios. Sin embargo, existen ciertas aptitudes básicas que parecen desempeñar un papel en la conquista de la excelencia en más de uno de los seis factores principales de racionalidad de que hemos tratado. Cuatro de esas aptitudes básicas son especialmente dignas de mención. Una aptitud de primera importancia que debe tener el que desea razonar bien destreza en utilizar su propio idioma de manera precisa y flexible. Quien ha dominado idioma será también capaz de clasificar eficazmente los temas u objetos en discusión, y advertir inmediatamente las implicaciones, de los modos en que las palabras se utilizan descripciones, preguntas, peticiones, etc.
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Una segunda aptitud esencial es la de poseer un sentido de lo pertinente. La mayor parte de los problemas racionales propios de la vida cotidiana requieren pericia para distinguir rápida y acertadamente lo que es pertinente y lo qué no lo es. Hay un número ilimitado de hechos que podría tener conexión de uno u otro tipo con un problema dado. La solución del problema requiere, pues, habilidad para captar inmediatamente los hechos con que hay que contar. Una persona que estuviera completamente falta de esa aptitud nunca podría empezar a razonar. Una tercera aptitud es la que consiste en tener, y ser capaz de emplear, conocimiento del mundo adquirido por la experiencia. Gran parte del razonamiento ordinario requiere habilidad para anticipar regularidades, estimar verosimilitudes, etc. Es un mito filosófico que razón y experiencia sean independientes en nuestro funcionamiento intelectual. Es ciertamente verdad que el razonamiento deductivo no requiere una experiencia que no sea la experiencia del lenguaje, pero la mayor parte de nuestro razonar ordinario no es deductiva. La mayor parte de nuestro razonar ordinario se ocupa de hechos y conexiones entre hechos. Eso sólo pueda ser llevado a cabo por quien tenga una oportuna experiencia de hechos. Una cuarta aptitud es la destreza general aprendida en la lógica formal. Hay muy pocas operaciones de razonamiento cotidiano en las que esa destreza pueda entrar directamente en juego. Sin embargo, el estudio y el dominio de la lógica formal fortalece muchas capacidades que entrar en juego en la mayor parte del razonar cotidiano. Da al estudiante un conocimiento de familiaridad de la finalidad y naturaleza de su razonamiento que le libra de confusiones básicas1. Además, el dominio de las reglas de la lógica formal tiene sobre la actuación en el razonar informal el mismo efecto vigorizador ___________________________ 1 KUPPERMAN, Joel. Fundamentos de lógica, Edit. Labor S. A. Barcelona. Trad. : Juan C. García B., 1973, pág. 251-252 que tiene la gimnasia en la actuación en los deportes. Dado que las diversas especies de problemas racionales con que nos encontramos son demasiado distintas para ponerlas en un
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vademécum, ese entrenamiento indirecto de nuestra capacidad de razonamiento es de la mayor utilidad.
IV. LENGUAJE OBJETO Y METALENGUAJE El interés de los lógicos modernos por los problemas del lenguaje se acentúa con ocasión de la aparición, de las llamadas paradojas semánticas. Por paradoja semántica entendemos, en sentido lato, una proposición que es al mismo tiempo verdadera y falsa. Una
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paradoja semántica desemboca, pues, en una contradicción. A modo de ilustración y no con el ánimo de que usted pueda realizar un análisis exhaustivo de las paradojas semánticas, ni siquiera de la que me propongo exponer, me voy a referir a una de ellas. La paradoja que comúnmente se suele denominar de “mentiroso”. Mi propósito al exponerla no es otro que el que usted se percate de cómo el lenguaje usual, debido a su ambigüedad, nos lleva a ciertas contradicciones, y cómo es necesario un análisis más profundo del mismo para explicarlas y, de alguna manera, evitarlas. Se dice que todos los habitantes de Creta son mentirosos, no hay un solo cretense que pronuncie una sola verdad. Ahora bien, Epiménides, que es un cretense dice: “Todos los cretenses son mentirosos”. Ahora se pregunta: ¿lo afirmado por Epiménides, o sea, “Todos los cretenses son mentirosos”, es verdadero o falso? Veamos. Si decimos que es verdadero, entonces, todo lo dicho por los cretenses, incluso lo dicho por Epiménides es falso; por lo tanto “todos los cretenses son mentirosos” dicho por Epiménides es verdadero y falso a la vez. En otras palabras, si Epiménides dice la verdad, entonces miente. Por otra parte, si decimos que lo afirmado por Epiménides es falso, entonces lo dicho por los cretenses es verdadero, incluso lo dicho por Epiménides. Luego, lo dicho por Epiménides, es verdadero por ser falso. Como usted puede observar, se considere verdadero o falso lo afirmado por Epiménides siempre conlleva una contradicción. A este tipo de contradicción es a lo que llamamos paradojas semánticas. Estas paradojas, que vistas superficialmente parecen un juego, son sin embargo, graves dificultades que amenazan los mismos fundamentos del razonar correcto, y, por lo tanto, de la lógica, y que han obligado a los lógicos a realizar un estudio profundo del lenguaje que les permita dar una explicación satisfactoria de las mismas. El interés de los lógicos por el lenguaje se impuso, pues, por la necesidad de eliminar estas contradicciones que amenazaban los fundamentos mismos de la lógica. El estudio de las paradojas permitió descubrir que hay distintos niveles en el lenguaje. Veamos qué quiere decir esto. A veces empleamos un lenguaje para explicar otro lenguaje. Por ejemplo, si queremos explicar a un estudiante de habla castellana lo que significa la frase latina: "Ant. Caesar. aut nihil", la explicación la tenemos que dar en castellano. Es decir, el latín es el lenguaje que se está explicando o investigando, y el español es el lenguaje con el cual se explica o investiga el latín. Hay pues, un lenguaje que es explicado y otro lenguaje con el cual se explica ese lenguaje. Pues bien, el lenguaje que es "objeto” de mi explicación a1 cual me refiero o que investigo lo llamaremos Lenguaje Objeto, y al lenguaje de que me sirvo para explicar, referirme o investigar el lenguaje objeto, lo llamaremos Metalenguaje. En este caso, el lenguaje objeto sería “la frase latina” y el metalenguaje “el castellano con que explico la frase latina”. Observe que cuando hablamos de lenguaje objeto, la palabra “objeto” no se refiere a ningún objeto extralingüístico, sino que lenguaje objeto quiere decir: “objeto de mi estudio”. Pero la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje puede darse también en el mismo idioma, y, precisamente ésta es la distinción que más nos interesa en esté caso. Sirvámonos del siguiente ejemplo para entender lo que pretendo explicar: ... Un profesor, escribe en la pizarra la siguiente oración: “Los países subdesarrollados son dependientes “. El profesor empieza a explicar lo que significa esa oración, y entre otras cosas dice: “Por
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países subdesarrollados queremos decir aquellos pueblos que todavía no han alcanzado el nivel cultural, económico, político y social propio de los países desarrollados. Dependientes quiere decir, que estos países están dominados... etc.” Analicemos el ejemplo. En primer lugar observe que tanto la oración escrita en el pizarrón por el profesor, como la explicación dada de esa oración por el mismo, están en castellano. En segundo lugar, observe que hay dos niveles de lenguaje. Hay un lenguaje que es explicable (primer nivel): “la oración escrita en el pizarrón”; y hay un lenguaje con el cual se explica el lenguaje anterior (segundo nivel): “las palabras empleadas por el profesor para explicar la oración escrita en el pizarrón”. Por lo tanto, en el mismo castellano se da un lenguaje que es explicado (primer nivel), y un lenguaje con el que se explica (segundo nivel). Al lenguaje que es explicado, es decir el primer nivel, lo hemos llamado Lenguaje Objeto, y al lenguaje que se emplea para explicar el lenguaje objeto, es decir, el segundo nivel lo hemos llamado Metalenguaje. Esto quiere decir, que en el ejemplo propuesto, el lenguaje objeto es la oración escrita en el pizarrón, y el metalenguaje el lenguaje empleado por el profesor para explicar la oración. Consecuentemente, vemos que en el mismo idioma se puede dar el lenguaje objeto y el metalenguaje. El metalenguaje es de un “nivel superior”, “es un lenguaje de otro lenguaje”, “signo de otro signo”. El lenguaje objeto y el metalenguaje son correlativos, es decir no puede haber lenguaje objeto sin metalenguaje y viceversa, no puede haber metalenguaje sin lenguaje objeto. La razón es muy sencilla, pues, un lenguaje objeto siempre que haya otro lenguaje (el metalenguaje) que lo explique o investigue, y en ese caso nunca se puede dar el uno sin el otro. Si por ejemplo un profesor define la Psicología así: “Psicología es la ciencia de la conducta humana”, y no se detiene a explicar lo que significan las palabras de la definición, entonces, la definición “Psicología es la ciencia de la conducta humana”, no es ni lenguaje objeto ni metalenguaje, ya que no hay ningún lenguaje explicado, ni lenguaje que lo explique. ¿Qué será pues “Psicología es la ciencia de la conducta humana?" Un lenguaje en este caso, el castellano con el cual trato de explicar o referirme a algo distinto del mismo lenguaje, pero no es de ninguna manera, ni lenguaje explicado (lenguaje objeto), ni lenguaje con el cual se explica o se refiere a otro lenguaje (metalenguaje); o sea, en la definición no hay niveles de lenguaje, hay un simple lenguaje. Ahora bien, si el profesor se detiene a explicar las palabras de la definición diciendo por ejemplo: “Psicología se compone de dos palabras griegas ‘psique’ y ‘logos’ y quiere decir estudio de la mente, etc.”. Es obvio que en estas circunstancias se está empleando dos niveles del lenguaje, uno que es el explicado y otro el que explica al primero, es decir, hay lenguaje objeto y metalenguaje. Luego, el lenguaje objeto y el metalenguaje son correlativos, no se puede dar el uno sin el otro. El metalenguaje se puede convertir en lenguaje objeto. Esto tiene lugar cuando se emplea un nuevo nivel (tercer nivel) para referirse o para explicar o investigar el metalenguaje. En este caso, este nuevo nivel de lenguaje sería un “Metalenguaje” y el metalenguaje se convertiría en lenguaje objeto. Por ejemplo en el párrafo anterior dijimos que la expresión lingüística: “Psicología se compone de dos palabras griegas ‘psique’ y ‘logos’ y quiere decir estudio de la mente, etc.”, es metalenguaje; ahora bien, si ahora el profesor se refiere a la
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expresión “estudio de la mente”, que forma parte del metalenguaje y dice: “La expresión estudio de la mente es una expresión imprecisa”, es claro que con esta explicación se está refiriendo al metalenguaje sirviéndose de otro nivel de lenguaje (tercer nivel), lo cual quiere decir que el metalenguaje se ha convertido en lenguaje explicado, y por ende, el metalenguaje pasa a ser lenguaje objeto. Teóricamente, podemos también utilizar un nivel cuatro, un nivel cinco, y, en general, un nivel n, aunque en la práctica su uso no sea frecuente. Como conclusión podemos decir, siguiendo a Carnap que si describimos, estudiamos o analizamos un lenguaje L1, necesitamos un lenguaje L2 , para expresar nuestra descripción o análisis de L1. En este caso a L1, lo llamaremos Lenguaje Objeto y a L2 Metalenguaje. Ahora que hemos explicado lo que es lenguaje objeto y el metalenguaje, podemos referirnos de nuevo a la paradoja del mentiroso. Esta paradoja se da precisamente porque no se hace la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje. Para resolverla tendríamos que determinar exactamente cuál es el lenguaje objeto y cuál es el metalenguaje. Sin embargo, esto va más allá de nuestros propósitos, que no son otros que el que usted se dé cuenta de la importancia de distinguir el lenguaje objeto y el metalenguaje. Con todo, lo invitamos a que reflexione y de una posible solución y, posteriormente, en la sesión de actividad de interacción correspondiente, podamos discutirla. Ejercicios: 1. ¿Por qué los lógicos están interesados en el estudio del lenguaje? Razone su respuesta en dos líneas. ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
2. ¿Podría usted escribir, con sus palabras o vocabulario, por qué se dan las paradojas semánticas? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Escriba en tres líneas, ¿qué es Lenguaje Objeto? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
4. Escriba en dos líneas, ¿qué es Metalenguaje? ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
5. Redacte un ejemplo donde aparezca el lenguaje objeto y el metalenguaje.
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___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
6. ¿Podría usted explicar si puede haber lenguaje objeto sin metalenguaje? Justifique su respuesta en tres líneas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
V. USO Y MENCIÓN
Muy relacionado con el lenguaje objeto y el metalenguaje está la teoría del uso y mención de las palabras. Esta teoría tiene sus raíces en la Edad Media. Los filósofos escolásticos a partir del siglo XIII hablaban de la suposición material y de la suposición formal. Esta teoría cayó en desuso siglos después hasta que fue redescubierta por la lógica simbólica a partir del siglo pasado. A lo que los filósofos de la Edad Media llamaban suposición formal hoy lo llamamos uso de nombre, y a lo que llamaban suposición material, hoy lo llamamos mención de nombre. En las expresiones siguientes: “Caracas es la capital de Venezuela”, y “Caracas tiene tres sílabas” (la palabra “Caracas” está empleada de manera muy distinta. En primera expresión la palabra “Caracas” se refiere a la ciudad de Caracas, mientras que en la segunda la palabra “Caracas”, se refiere a la palabra “Caracas”, es decir, en este último caso “Caracas” es una palabra de otra palabra. (A esta distinta manera de aplicar una palabra la llamaron los filósofos suposición). En el primer caso, como “Caracas” se refiere a un objeto extralingüístico, un objeto que no pertenece al lenguaje, cvmo es la ciudad de Caracas, se
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dice que está en suposición formal, o en la terminología moderna que el nombre de Caracas está usado. En el segundo caso, como Caracas, se refiere a la misma palabra “Caracas” se dice que está en suposición material o que está mencionada. La palabra que está mencionada (Suposición material) se suele escribir entre comillas simples, mientras que la palabra que está usada (Suposición formal) se escribe normalmente sin ninguna indicación. Por ejemplo, en la proposición: “Maracaibo” se escribe con mayúscula, la palabra “Maracaibo” está mencionada, y para indicarlo se entrecomilla como aparece en el ejemplo. Otro ejemplo sería: “A Venus se le llama ‘Venus’”. Observe que la primera aparición de la palabra Venus se refiere al planeta Venus, y, por lo tanto está usada, y por eso de acuerdo a la convención establecida no se entrecomilla, se deja tal cual se escribe corrientemente; en cambio, en la segunda aparición la palabra “Venus” está mencionada, puesto que se refiere a la palabra "Venus", y, por eso, aparece entrecomillada como se puede apreciar en el ejemplo. En consecuencia cuando queramos señalar la diferencia entre una palabra usada y una palabra mencionada, es suficiente con poner entre comillas simples la palabra mencionada. En tercer ejemplo: “‘Luis’ es nombre propio”. La palabra “Luis” se refiere a la palabra “Luis” y no a la persona Luis, por eso aparece entrecomillada en el ejemplo, pues está mencionada. Un ejemplo más: “Algunos escriben mal ‘prohibir’”. Aquí la palabra “prohibir” se refiere a la palabra “Prohibir” y no a la acción de prohibir, y está por lo tanto, mencionada, y por eso aparece en el ejemplo entre comillas simples. Para terminar consideremos la expresión: (1) 2 + 3 = 5 Esta expresión pertenece al lenguaje de las matemáticas y está formada exclusivamente de signos aritméticos elementales y por lo tanto, está usada. Por otra parte la proposición: (2) “‘2 + 3 = 5’ es una fórmula aritmética”, no pertenece al lenguaje de la aritmética, afirma algo acerca de la expresión (1), se refiere a la expresión (1) y por lo tanto, pertenece al metalenguaje de la aritmética. En este caso la expresión 2 + 3 = 5 de (1) está usada, mientras que la expresión ‘2 + 3 – 5’ de (2) está mencionada. La no distinción entre el uso y la mención de las palabras puede llevar paradojas y a conclusiones erróneas. Ejercicios: 1. De acuerdo a la convención de uso y mención de las palabras, entrecomille la palabra mencionada. 1. 1. “No todos escriben lógica con mayúscula”. 1.2. “¡Qué niño más inteligente! ‘tiene cuatro palabras’”. 1.3. “A Antonio lo llaman Tony”. 1.4. “Termina, termina con a”.
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2. Escriba con sus palabras, ¿por qué es importante, la distinción entre uso y mención de las palabras? Hágalo en cuatro líneas. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
RESPUESTAS A. USOS DEL LENGUAJE Ejercicios:
Funciones Básicas del Lenguaje.
Compara tus respuestas con las que se muestran a
rincipal nt:
(2) Cumple una función directiva, porque pretende cambiar los hábitos alimenticios del receptor. (3) Cumple una función expresiva. Refleja las emociones y el parecer del emisor. (4) y (4) cumplen función informativa. (3) Nos refiere a otras clasificaciones de las funciones del lenguaje; (4) nos habla de un hecho referido y de una futura consecuencia.
Si acertaste, pasa al siguiente punto. Si no, repasa rincipal nte la rincipal n y... ¡ÁNIMO!! Volver al texto
Ejercicios:
rincipal nte de Funciones del Lenguaje.
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(5) Función informativa: relata la intención de Francisco en la reunión. Función expresiva: nos presenta el sentimiento de coraje que lo embarga. Función directiva: exhorta a tomar el Evangelio rincipal nt en toda su rincipal n. Función Principal: directiva.
(2)Función informativa: señala la relación Escritor-Sistema Socio-Político. Función directiva: alienta a los escritores a asumir una actitud de denuncia. Función expresiva: casi inexistente. Cierta Principal por los que “se han atrevido” a denunciar. Función Principal: informativa. Las respuestas de los ejercicios (3) y (4) consúltalas con tu asesor.
Aclara con él todas tus dudas, y rectifica. Volver al Texto
Ejercicios:
Formas del Discurso.
(1) Tiene forma declarativa. rincipal nte cumple función informativa: son las 10:00 p.m. Pero, rinc el contexto, expresa disgusto mal disimulado, por no haberse marchado; y, en realidad, tiene función claramente directiva: señores, márchense. (2) Tiene forma interrogativa. Informa que el abrigo parece ser un poco exagerado. Expresa una actitud de rechazo y crítica destructiva del emisor hacia la persona aludida. La función directiva, muy secundaria, consiste en promover la misma actitud en el receptor. La función Principal es expresiva. Las respuestas de los ejercicios (3), (4) y (5) consúltalas con tu compañero o con tu asesor. Volver al Texto AUTOEVALUATIVO l: Página
(1) (a) El texto tiene forma declarativa y coincide con su función principal informativa: resaltar las bondades y delicadeza de los jefes. La función directiva, muy sutil, es propiciar una actitud positiva en el trabajo, aunque puede haber cierta ironía respecto al trato de los jefes hacia las secretarias. (b) Palabras emotivas: ‘fina’, ‘exquisita’, ‘amigablemente’, ‘cariño’ y ‘respeto’. (c) Términos objetivos: ‘flores’, ‘música’, ‘comida’, ‘secretarias’, ‘jefes’, ‘regalos’. (d) Posibles versiones: • La empresa agasajó con una comida y otros detalles a sus secretarias.
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• •
Las secretarias recibieron un banquete y cariñosos obsequios de los jefes de la empresa. (Construye tú otras) (e) La versión neutral La empresa agasajó... a sus secretarias. ¿Por qué desechamos las otras? Razona tu respuesta.
(2) El texto tiene forma expresiva y declarativa. Su función principal es expresiva: (enúnciala...). La versión neutral informativa es: Algunos intentamos encontrar, a cualquier costo, una pequeña parte de la verdad, para comprender la vida.
El resto de los ejercicios puedes, si te parece, hacerlo en esta forma resumida, una vez que estés bien ejercitado. Las respuestas de los ejercicios (3), (4), (5) y (6) consúltalas con algún compañero o tu asesor. Si tienes alguna duda, vuelve a ese punto y repásalo. Volver al texto
B. EL RAZONAMIENTO Ejercicios: Página
La Proposición.
Compara tus respuestas con las siguientes que te presentamos. (1) Es un enunciado declarativo y puede ser verificado por cada uno y por la psicología; por tanto, es una proposición. (2) Es un enunciado interrogativo, su función es básicamente expresiva, y no es susceptible de ser verificado; por eso, no es una proposición. (3) Tiene forma declarativa, pero su contenido no puede ser verificado por cuanto depende de cómo vea cada uno la vida; así pues, no es proposición. (7) Es declarativa y su contenido puede ser verificado en la realidad; por lo cual es una proposición. Las respuestas de los ejercicios (4), (5) y (6) consúltalas con un compañero o con tu asesor.
¿Está todo claro? ¡Sigue adelante! ¿Quedaron dudas?. Lee de nuevo cuidadosamente o consulta.
Volver al Texto Ejercicios: La Proposición. (1) No, expresa un deseo. (2) No, es una simple frase.
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(3) Sí, expresión declarativa verdadera. (4) Sí, expresión declarativa falsa. (5) Sí, es una pregunta cuya función es informar que en Venezuela no hay justicia confiable. (6) No, es una recomendación. Las respuestas de los ejercicios (7), (8), (9) y (10) consúltalas con tu compañero o tu asesor. Volver al Texto
Ejercicios: (1) S,
(2) C,
Tipos de Proposiciones por su Complejidad. (3) C, (7) C
Las respuestas de los ejercicios (4), (5), (6) y (8) consúltalas con algún compañero o con tu asesor. Volver al Texto
Ejercicios: Página
Discurso Lógico y El Razonamiento.
(1) No es razonamiento. (2) Sí es razonamiento. Premisas: • La región en su conjunto es rica en recursos. • Diversos países en la región enfrentan severas privaciones. Conclusión: América Latina es una tierra de promesas y paradojas. (La proposición: “Estos recursos no están distribuidos equitativamente” sería la explicación de la segunda premisa). (6) No es razonamiento. (11) Hay dos razonamientos Primer razonamiento: Premisas: • Las madres se levantan a las 4:30 a.m. para hacer rendir el alimento a sus hijos. • Tienen que hacer la cola de los carros para salir del cerro. • Los reales no les alcanzan para comprar un pote de leche. • El hospital no atiende. • Los niños necesitan más cosas para la escuela. • No hay agua y hay que acarrearla. Conclusión: Por tanto, a partir de las 4:30 a.m. no hay descanso para las madres de los cerros.
Segundo razonamiento: Premisas: • A partir de las 4:30 a.m. no hay descanso para las madres del cerro (conclusión del primer razonamiento).
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Conclusión: Los valores de la vida se van diluyendo en ellas y hasta los desconocen como sus valores inherentes. Hay dos premisas implícitas en el segundo razonamiento: (a) los valores a que se dedican las madres de los cerros desde las 4:30 a.m. no son los valores de la vida; (b) las madres de los cerros no tienen tiempo para reflexionar sobre los valores inherentes al ser humano. (15) No es razonamiento. (18) Sí es razonamiento. Premisas: • Si nada puede moverse por sí mismo todo lo que está en movimiento debe ser movido por otro. • No se puede mover hasta el infinito en la dependencia de los movidos respecto de sus motores. • Si todas las segundas causas dependen de la primera, entonces si no hay primer motor tampoco hay un segundo. Conclusión: Ha de admitirse un primer motor que no sea a su vez movido, sino que se mueva por sí mismo y sea fuente de movimiento; pero a esto todos llamamos Dios. Las respuestas de los ejercicios restantes consúltalas con algún compañero o con tu asesor. Volver al Texto Ejercicios:
Discurso Lógico y El Razonamiento.
(2) Premisas: • El oxígeno tiene 16 de peso atómico. • El peso atómico de un elemento es la relación que existe entre el peso real del átomo correspondiente y el peso real de un átomo de hidrógeno. • El peso atómico del hidrógeno es 1. Conclusión: El oxígeno pesa 16 veces más que el hidrógeno. (3) Premisas: • Un punto del universo es un punto determinado del espacio en un tiempo determinado. • Una secuencia de puntos del universo ensamblados entre sí es una línea del universo. • Una existencia individual, que es histórica, genera una línea del universo. Conclusión: Una línea del universo es la historia continua de un individuo existente en el espaciotiempo. (4) Premisas:
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• • •
Fuerza es toda causa de provocar o modificar el movimiento de un cuerpo o de producir su modificación. Si soltamos un peso que tenemos en la mano, se cae. · Si suspendemos un peso de un resorte, se deforma. Si lanzamos una piedra hacia arriba, su movimiento disminuye, acaba y la piedra vuelve a caer al suelo.
Conclusión: En la proximidad de la tierra todo cuerpo está sometido a una fuerza. (5) Premisas: • El ojo humano está acondicionado para discriminar colores y percibir las formas. · El oído está organizado para captar diferencias de tonos y de volumen de los sonidos. • La habilidad de los niños recién nacidos para localizar sonidos sugiere que el organismo viene provisto de una estructura que puede ordenar la experiencia según un esquema típico. Conclusión: Parece ser que la experiencia nos llega ya conformada por las propias estructuras que la hacen posible. . (6) Premisas: • Podemos reflexionar sobre los derechos humanos desde los griegos. • Podemos reflexionar sobre los derechos humanos desde los romanos. • Podemos reflexionar sobre los derechos humanos desde la Magna Charra Libertatum de los nobles ingleses. • Podemos reflexionar sobre los derechos desde la Declaración Universal de los Derechos del Hombre y del Ciudadano de 1.789. • Podemos reflexionar sobre los derechos humanos hasta la Declaración Universal de los Derechos del Hombre de las Naciones Unidas. Conclusión: Por tanto, los derechos humanos poseen fundamentos históricos y filosóficos. Está implícita la proposición de que en todas esas instancias que se refieren a los derechos humanos hay fundamentos filosóficos. (7) Premisas: • Vio a los ricos que echaban sus dones en el arca. • Vio a una viuda pobre que echaba allí la moneda. • Los ricos han echado al arca de lo que les sobra. • La viuda ha echado todo lo que tenía. Conclusión: Esta viuda pobre ha echado más que todos. En este razonamiento está implícito que dar más o menos es proporcional al dinero de cada cual. (8) Premisas:
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• •
En este jardín había cinco mil rosas semejantes. La flor había dicho al Principito que ella era la única especie en todo el mundo.
Conclusión: El Principito se sorprendió de la falta de información de la rosa. La sorpresa se expresa con la interjección ‘¡ah!’. En el contexto se sobreentiende que la rosa no mentía. Las respuestas de las preguntas (1), (9), (10), consúltalas con tu asesor. Volver al Texto
AUTOEVALUATIVO 2: (1) Razonamiento Analógico Premisas: • Los animales y los racionales reaccionan externamente, ante ciertos estímulos externos, en forma análoga • Los racionales tienen percepciones sensibles (implícita). Conclusión: Los animales tienen también percepciones sensibles. (2) Razonamiento Inductivo. Premisas: • Los metales A, B, C, D, .... sometidos a calor en distintos ambientes aumentan su tamaño. Conclusión: Todos los metales se dilatan con el calor. (7) Razonamiento Deductivo. Premisas: • La razón encuentra en sí misma la idea de un ser, del ser sumo que se puede pensar. • Si este ser existiera sólo en la mente no sería el mayor ser cogitable (pensable), pues podría pensarse un ser superior a él, el que existiera además en la realidad. Conclusión: La idea del ser sumo exige que este ser no sólo exista en la mente, sino también en la realidad. (10) Razonamiento Deductivo. Premisas: • El agua blanca de la Fuente vieja encierra en sí el verde del pinar, el rosa o azul de la aurora, el oro o malva de la tarde, el verde o celeste de la noche. • (Implícita) El verde del pinar, el rosa o azul de la aurora, el oro o malva de la tarde y el verde o celeste de la noche encierra la elegía o el sentimiento de la vida verdadera.
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Conclusión: La Fuente vieja encierra en sí toda la elegía del mundo, esto es, el sentimiento de la vida verdadera. (11) Determinar qué clase de razonamiento son los correspondientes a los números: 2, 7,10,1 1 y 18 del autoevaluativo de la página (ver página) Las respuestas de las preguntas (3), (4), (5), (6), (8), (9), consúltalas con algún compañero o tu asesor. Volver al Texto
Ejercicios:
Validez de los Razonamientos.
(1) Todo A es B Todo C es A ____________ Por tanto, todo C es B (2) Todo A es B Todo es C ____________ Por tanto, algún C es B Nota: cuando se dice ‘el mercurio es...’, es, obvio que quiere decir “todo mercurio es...”, por eso se ha escrito en la forma “Todo A es B”. (3) No A o A Si no A, entonces no B y C Si A, entonces B y D ________________________ Por tanto A (6) o A o B o C no A y no C ____________ Luego, B
(8) o A o B y C no A _____________ Por tanto, B y C Las respuestas de los ejercicios (3), (7), (5), (9), (10), consúltalas con tu asesor. Volver al Texto AUTOEVALUATIVO 3:
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Serie de preguntas del autoevaluativo sección I (1) No. Se necesita, además, que el razonamiento sea válido (3) No. Es necesario, además, que las premisas sean verdaderas. (4) No. Las premisas tienen que ser verdaderas, además de ser válido el razonamiento. (7) No. Sería un razonamiento válido, pero se necesita además saber que las premisas sean verdaderas. (9) Sí. El razonamiento es válido y las premisas verdaderas. Las respuestas de los ejercicios (2), (4), (6), (8), consúltalas con tu asesor. Serie de preguntas del autoevaluativo sección II. (1) Puede ser válido o no. Será válido si su forma es válida, de lo contrario será no válido. (3) Válido. (6) Válido. (8) Válido. La validez de un razonamiento depende única y exclusivamente de su forma, y si ésta es válida, el razonamiento también lo es. La verdad o falsedad de las premisas no inciden en la validez del razonamiento. Las respuestas de los ejercicios (2), (4), (5), (7), (9), (10), consúltalas con tu asesor. Volver al Texto C. RAZONAMIENTOS FALACES Ejercicios: Página
Falacias de Atinencia.
(1)Falacia de argumentum ad ignorantiam: ese astronauta deduce la no existencia de Dios en base a que no se ha encontrado en el espacio. (5)Falacia de argumentum ad baculum ofensivo: le amenazan con la expulsión si no vota la medida X. También, hay argumentum ad hominem circunstancial por cuanto requieren su voto por su condición de ser miembro del partido. (10)Falacia de argumentum ad populum: trata de ganar el asentimiento al consumo de la Coca-cola, no en base a las bondades de sus componentes, sino apoyándose en un consumo mayoritario. (15)Hay dos falacias. Primera falacia de argumentum ad verecumdiam: el hecho de ser Miss del Universo no le da autoridad para emitir opinión en el campo económico Segunda falacia de argumentum ad populum: acude al parecer del pueblo y no a las razones en favor de esas medidas. (20)Falacia de pregunta compleja: si se responde sí, se acepta el fracaso, por eso es preciso dividir la pregunta. (25)Hay varias falacias: primera, falacia de argumentum ad ignorantiam: no conoce los intereses para cerrar las carreras Universitarias en ese instituto superior, y, de ahí, deduce que si hay intereses para su cierre; segunda, falacia de argumentum ad hominem ofensivo: ofende al ministro al afirmar que la única causa del cierre es su roce con la autoridad del mencionado
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instituto y no a razones legales o académicas; tercera, falacia de argumentum ad misericordiam: acude al sentimiento de piedad para con ella misma al afirmar que ese instituto evita gastos mayores a su familia.
Las respuestas de los ejercicios restantes consúltalas con tu asesor. Volver al Texto Ejercicios:
Falacias de Ambiguedad.
(1) Equivoco. La expresión ‘tendrás buenos resultados’ puede tener dos significados: uno, la que le da el dueño del comedor dietético; y otra, la de la persona que se sometió a la dieta. (5) Énfasis. Al destacar sólo `gratis aprenda inglés' cambia el significado, ya que en letra pequeña se añade que sólo son gratis los 40 primeros grupos. Una de dos, o se han cubierto los 40 cupos gratis o no se han cubierto. Si se han cubierto el nuevo aspirante no puede participar de los lo primeros cupos sin costo alguno. Si no se han cubierto los lo primeros cupos, los restantes no son los últimos, pues es obvia en el texto que los primeros 40 cupos son primeros y no últimos. Luego, en ambos casos hay contradicción. (10) Si se toma distributivamente no hay falacia, puesto que separadamente las bombas atómicas fueron las más destructivas; pero si las dos clases de bombas se consideran colectivamente los daños de las bombas convencionales, lanzarse muchísimas más, fueron más destructivas. Luego, si se afirma lectivamente se comete una falacia de composición. Se basa en la confusión implicada en la falacia de división. Puesto que la respuesta: “porque hay más ovejas blancas”, trata colectivamente lo que parece considerarse distributivamente en la adivinanza. Las respuestas de los ejercicios restantes consúltalas con tu asesor. Volver al Texto AUTOEVALUATIVO 4: Página: (1)Argumentum ad misericordiam. Se afirman la verdad de “el libre cambio de la moneda nos llevará a una economía sana” sobre la base de que no se ha demostrado la faseldad de que el control de cambio sea lo mejor para la economía del país. (3)Argumentum ad hominem circunstancial el Fondo Monetario Internacional en pertenecer al tercer mundo. Se exhorta a rechazar los convenios con virtud de la circunstancia especial de pertenecer al tercer mundo (5)Falacia de Composición. De la honradez y seriedad de cada miembro del Consejo Universitario no se puede deducir que el Consejo Universitario como un todo sea serio y honesto. (7)Pregunta compleja. Esta pregunta supone una pregunta anterior: "¿ Hubo intención de la policía?".
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Volver al Texto Ejercicios: Sintaxis y Semántica (1) Sintaxis, por que se refiere a reglas gramaticales de concordancia (2) Semántica, ya que define un significado asociado a un signo (3) Sintaxis, en virtud de un orden de aparición y no de un significado asociado al color (4) Sintaxis, aclara reglas de ortografía (5) Semántica, porque la sinonimia se elabora a partir de significados que difieren en su forma de escritura. (6) Semántica, porque alude a un significado opuesto (7) Sintaxis, ya que se refiere a la ortografía telegráfica (8) Semántica, porque pretende definir un término según el contexto y uso (11)Sintaxis, regula la horma de ordenar utensilios Volver al Texto Ejercicios: Lógica Formal y Lógica Natural (1) Lenguaje científico, porque determina un campo lexical (2) Lenguaje Natural, porque se refiere a contenidos subjetivos (3) Lenguaje Natural, hace referencia a la gramática española (5) Lenguaje científico, ya que su carácter es formal (8) Lenguaje científico, su naturaleza es natural, porque no expresa emociones. Volver al Texto Matematización de la Lógica Ejercicio (1) Falso, también se simbolizaron las constantes (2) Verdadero (5) Verdadero, es de carácter sintáctico (7) Verdadero (8) Falso, aplicaba el método tradicional Volver al Texto
Ejercicio
Semejanzas y Diferencias entre la Lógica Tradicional y la Moderna
(1) Ambas simbolizan las variables lógicas y utilizan métodos para determinar la validez del razonamiento Volver al Texto
AUTOEVALUATIVO 5: Página I.- Verdadero y Falso (1) Verdadero (2) Verdadero (6) Falso (8) Verdadero
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(9) Falso III.- Condiciones (1) Simbolización de elementos constantes IV.- Ventajas_ revisar lectura No. 6: Página 79 V.- Complete (1) Variables (2) Constantes y Variables
Volver al Texto
BIBLIOGRAFIA
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QUINE, Willard Van O. Los Métodos de la Lógica Edit. Aires, Barcelona, 1962. Traductor: Manuel Sacristán. SUPPES, Patrick. Introducción a la Lógica Simbólica. Compañia Editorial Continental, S.A., México, 3a Edición, 1970. Traductor: Gabriel Aguirre C. SUPPES, P. y HILL, S. Introducción a la Lógica Matemática. Editorial Roverte, S.A., 1971. Traductor: Enrique Lines E.
Universidad del Zulia Núcleo Costa Oriental del Lago Estudios Universitarios Supervisados
LÓGICA PARA UN PROFESIONAL EFICIENTE Análisis Lógico del Discurso (Unidad II) Prof. José Luis Gainza Roa Prof. Alfredo Romero Méndez
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Cabimas, 2007 CUADRO DESCRIPTIVO
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UNIDAD UNIDAD II
TEMA A. FORMAS LÓGICAS
LÓGICA PROPOSICIONAL
OBJETIVOS TERMINALES 6. Simbolizar en el lenguaje de la Lógica Proposicional la forma lógica de los razonamientos dados en castellano.
B. PRUEBA DE VALIDEZ
7. Efectuar la prueba de validez de un razonamiento mediante el método de la “implicación tautológica”
C. DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZ
8. Efectuar demostraciones formales de validez de razonamientos, dentro de la lógica profesional, aplicando las reglas de inferencia
ESQUEMA DE CONTENIDO
UNIDAD II. 103
Cuadro Descriptivo Esquema de Contenido Introducción
A. FORMAS LÓGICAS INTRODUCCIÓN. 1. PROPOSICIONES EXTENSIONALES. 2. VARIABLES PROPOSICIONALES. 3. CONECTIVOS PROPOSICIONALES. 4. CONECTORES. 5. FORMAS PROPOSICIONALES. 6. TIPOS DE PROPOSICIONES COMPLEJAS. 6.1. La Negación. 6.2. La Conjunción. 6.3. La Disyunción. 6.4. La Implicación. 6.5. La Equivalencia. Cuadro Resumen. Tabla de Verdad. 7. PARÉNTESIS Y SIMBOLIZACIÓN. 8. SIMBOLIZACIÓN DE LA FORMA LÓGICA DE UN RAZONAMIENTO.
B. PRUEBAS DE VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS MEDIANTE EL MÉTODO DE IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA. 1. VALOR DE VERDAD. 2. TABLAS DE VERDAD DE FORMAS PROPOSICIONALES DE CIERTA COMPLEJIDAD. Diagramación de la Tabla de Verdad. 3. TIPOS DE FORMAS PROPOSICIONALES. 3.1. Formas proposicionales tautológicas. 3.2. Formas proposicionales contradictorias. 3.3. Formas proposicionales contingentes. 4. VARIABLES SlNTÁCTICAS. 5. IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA. 6. EQUIVALENCIA TAUTOLÓGICA. 7. MÉTODO ABREVIADO POR REDUCCIÓN AL ABSURDO.
8. MÉTODO DE IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA PARA. DETERMINAR LA VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO.
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D. DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZ. l. DEMOSTRACIÓN. 2. EXPLICACIÓN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA. 2.1. Modus Ponendo Ponens. 2.2. Modus Tollendo Tollens. 2.3. Transitividad Implicativa. 2.4. Modus Tollendo Ponens. 2.5. Regla de Simplificación. 2.6. Regla de Conjunción. 2.7. Regla de Adición. 2.8. Dilema Constructivo. 2.9. Dilema Destructivo. 2.10. Reglas de inferencia por sustitución. 3. CONSTRUCCIÓN DE RAZONAMIENTOS VÁLIDOS.
BIBLIOGRAFÍA INDICE
INTRODUCCIÓN
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Con la distinción entre lenguaje natural y lenguaje formal, que hemos hecho en el objetivo 5 de la Unidad I, estamos preparados para adentrarnos en los distintos niveles del análisis lógico, comenzando por la definición y construcción del lenguaje formal correspondiente a cada nivel: en este curso abordaremos sólo dos: la lógica proposicional y la lógica de predicados. La presente unidad corresponde a la lógica de proposiciones. En primer lugar, describiremos los elementos para el análisis lógico y procederemos en el objetivo 6, a construir el lenguaje respectivo, con el objeto de obtener 1a forma lógica de los razonamientos. A partir de allí, describiremos dos procedimientos que nos permitan probar y demostrar la validez de los razonamientos deductivos, a nivel de la lógica proposicional. En cada caso utilizaremos las técnicas apropiadas. En el objetivo 7, a partir del análisis de la función de verdad de cada conector lógico, construiremos las tablas de verdad de formas preposicionales complejas, tales como los razonamientos, con el fin de probar 1a validez de los mismos. En el caso del objetivo 8, el procedimiento consiste en demostrar 1a validez del razonamiento utilizando las reglas de inferencia. Esta unidad, concentra un alto porcentaje de la evaluación de la asignatura, como corresponde al grado de dificultad y al tiempo de trabajo que te va a tomar su aprendizaje. Por ello, te recomendamos realizar todos los ejercicios y mantener contacto con tu profesor.
Ante las dificultades, se acrecienta el esfuerzo y la voluntad por superarlas.
¡Adelante!
. y ¡ Animo!
A. FORMAS LÓGICAS
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OBJETIVO TERMINAL 6: Simbolizar en el lenguaje de la Lógica Proposicional la. forma lógica de los razonamientos dados en castellano
Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 6.1. Dado un conjunto de proposiciones compuestas identificar las extensionales y las no extensionales. 6.2. Simbolizar, en el lenguaje de la lógica proposicional, proposiciones compuestas de diversos grados de complejidad y, a la inversa, del lenguaje de la lógica proposicional al lenguaje natural. 6.3. Simbolizar, en el lenguaje de la lógica proposicional, proposiciones complejas que expresen razonamientos, obteniendo su forma lógica.
INTRODUCCIÓN
En la Unidad I analizamos la estructura de los tres tipos de razonamiento y, en especial, de los deductivos. Sin embargo, un punto tan determinante como el de su validez no pudo ser resuelto completamente por carecer de todos los instrumentos adecuados. Para ello se necesitaban, al menos dos elementos más: primero, simbolizar completamente, en los razonamientos, tanto los elementos variables como las constantes; segundo, proveernos de métodos científicos que nos permitan probar y demostrar la validez de los mismos. El estudio de la lógica proposicional nos permitirá cumplir ambos objetivos. La lógica proposicional estudia aquellos razonamientos cuya validez depende de la manera en que las proposiciones simples que contienen se relacionan por medio de conectivos extensionales para formar proposiciones compuestas. Esta lógica nos proporciona los instrumentos necesarios y adecuados para cumplir con estos propósitos. En este sentido, su estudio es imprescindible.
l. PROPOSICIONES EXTENSIONALES
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El concepto de proposición y la división de la misma por su complejidad, en simples y compuestas, han sido ya explicados en las páginas 22-23 y siguientes en la Unidad I. Ahora nos detendremos en el análisis de las proposiciones compuestas. Las proposiciones compuestas pueden ser extensionales y no-extensionales. A continuación estudiaremos las primeras. Para comprender su concepto, analizaremos la siguiente proposición compuesta:
(a) Rómulo Gallegos es un: escritor venezolano y Cervantes escribió el Quijote.
Las dos proposiciones simples de (a) son:
(i) Rómulo Gallegos es un escritor venezolano. (ii) Cervantes escribió el Quijote (iii) ‘y’ es el conectivo. Ahora preguntémonos qué es lo que determina el valor de verdad de la proposición (a). Este depende únicamente del valor de verdad de las proposiciones (i) y (ii) definidas por el correctivo ‘y’. No necesitamos ningún otro dato para determinar su valor de verdad. Por eso, como (i) y (ii) son verdaderas, la proposición compleja (a) es verdadera.
(b) Gabriel García Márquez es colombiano y Vargas Llosa es mexicano.
La proposición (b) está formada por las proposiciones simples: (i) Gabriel García Márquez es colombiano (ii) Vargas Llosa es mexicano Estas proposiciones se unen con el conectivo ‘y’. Preguntémonos ¿cuál es el valor de verdad de (b)? Cualquiera que conozca un mínimo de literatura latinoamericana sabe que (i) es verdadera y (ii) falsa, y, por tanto, (b) es falsa. La falsedad de (b) es función de los valores de verdad de (i) y (ii) definidas por el conectivo. ‘y’. En otras palabras, la falsedad de (b) sólo depende de los valores de verdad de (i) y (ii) definidos por `y'. Las proposiciones compuestas (a) y (b) reciben el nombre de extensionales. En consecuencia podemos definir una proposición extensional: Se dice que una proposición es extensional cuando su valor de verdad está determinado completamente por el valor de verdad de las proposiciones que la componen.
Las proposiciones extensionales también reciben el nombre de proposiciones veritativo- funcionales. Los conectivos de las proposiciones extensionales se llaman conectivos extensionales. PROPOSICIONES NO EXTENSIONALES
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Analicemos las siguientes proposiciones:
(c) El Lago de Maracaibo está contaminado porque sobre él se derrama mucho petróleo.
Las proposiciones simples de (c) son:
(i) El Lago de Maracaibo está contaminado (ii) Sobre él (el Lago de Maracaibo) se derrama mucho petróleo. (iii) Porque, es el conectivo.
¿Cuál será el valor de verdad de (c)?. En primera instancia, nos damos cuenta que no es insuficiente conocer los valores de verdad de (i) y (ii), para ello necesitamos algo más. Averiguar si realmente la causa de la contaminación del Lago de Maracaibo es el vertedero de petróleo sobre él. Podrá suceder que esa no sea la causa. Es decir, para determinar el valor de verdad de (c) necesitamos otros datos, además de los valores de verdad de sus componentes (i) y (ii).
Otro ejemplo más:
(d) Juan de Austria triunfó en la batalla de Lepanto, debido a que era un gran general.
Analicemos la proposición (d). Las proposiciones simples son:
(i) Juan de Austria triunfó en la batalla de Lepanto. (ii) (Juan de Austria) era un gran general. (iii) Debido a que, es el conectivo.
Observemos que las proposiciones (i) y (ii) son verdaderas según todos los datos históricos Pero eso no es suficiente para afirmar que (d)también sea verdadera, ya que la batalla de Lepanto pudo haberse ganado por otras razones distintas. Lo que importa es resaltar que el valor de verdad de (d) no depende solamente de los valores de verdad de (i) y (ii), sino que, además, se necesitan otras informaciones para determinar su valor de verdad. Las proposiciones (c) y (d) se llaman no extensionales. Podemos, pues, definir una proposición no extensional así:
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Una proposición es no extensional cuando para determinar su valor de verdad no es suficiente conocer el valor de verdad de las proposiciones simples que la componen. Los conectivos de las proposiciones no extensionales reciben el nombre de conectivos no extensionales. En la lógica formal se tiene en cuenta sólo las proposiciones extensionales y los conectivos extensionales.
EJERCICIOS
Determinar si las siguientes proposiciones son o no extensionales (objetivo específico 6.1) (1) La descentralización en Venezuela es un desideratum de la población porque es a nivel local donde se sienten y se tienen que resolver los problemas de cada día. (2) Si es a nivel parroquial y municipal donde se resuelven los problemas, entonces, la descentralización en Venezuela tiene que darse lo antes posible. (3) En general, el ignorante tiene respuesta y solución a todo debido a que sólo ve un aspecto del todo. (4) Los gobernantes, con frecuencia, no conocen las necesidades de la gente porque viven en su torre de marfil. (5) Los astronautas flotan en el espacio, ya que a determinada altura no están sometidos a la gravedad terrestre. (6) Si los medios de comunicación social penetran en todos los hogares, tiene que utilizarse con mucho respeto y prudencia.
2. VARIABLES PROPOSICIONALES Las variables proposicionales son ciertas letras minúsculas del alfabeto, tales como “p”, “q”, “r”, “s”, “t”, etc., que representan proposiciones simples. Por ejemplo, si a la proposición: “El Estado Zulia es rico en petróleo” convenimos en representarla con la letra “p”, decimos que “p” es una variable proposicional; o si la proposición: “Caracas es la capital de Venezuela” convenimos en representarla con la letra “q”, diremos que “q” es otra variable proposicional. Se les llama variables proposicionales porque cada una de ellas puede representar cualquier proposición en distintos contextos. Así “p” en un contexto puede representar “Luis Hómez nació en Maracaibo” y en otro representar “El número atómico del hidrógeno es 1”. Lo mismo sucede con “q”, “r”, “t” y demás variables proposicionales. Adoptaremos la convención siguiente: si hay una sola proposición simple la representaremos con “p”; si hay dos, la primera la simbolizaremos con “p” y la segunda con “q”; si hay tres, la primera la simbolizaremos con “p”, la segunda con “q” y la tercera con “r”, y así sucesivamente. En el caso de que sean muchas las proposiciones podemos escribir subíndices a las letras, es decir, así: ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, ‘t’, ‘pl’, ‘ql’, ‘rl,’, ‘sl’, ‘tl’, ‘p2’, ‘q2’, ‘r2’, ‘s2’, ‘t2’. 3. CONECTIVOS PROPOSICIONALES
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Analicemos las siguientes proposiciones:
(a) Los yanomamis viven en el oriente de Venezuela y hay unos cuantos miles. (b) El gobierno de Venezuela protege a los yanomamis o éstos se extinguen. (c) Si a un cuerpo en reposo se le aplica una fuerza, entonces se mueve. (d) Hay vida si, y sólo si hay agua. (e) No llueve.
En (a) el conectivo es ‘y’; en (b) es ‘o’; en (c) es ‘si... entonces’; en (d) es ‘si, y sólo si’ y en (e) ‘no’. Los conectivos son expresiones que unen o conectan proposiciones. Los conectivos pueden ser monádicos y diádicos. Los monádicos afectan a una proposición y los diádicos unen dos proposiciones. El conectivo ‘no’ es monádico, los otros restantes (‘y’; ‘o’; ‘si... entonces’; ‘si, y sólo si’ o sus equivalentes) son diádicos.
4. CONECTORES
Los símbolos lógicos que representan a los conectivos se llaman conectores. Cada conectivo tiene un conector determinado con su nombre correspondiente. En el cuadro siguiente aparecen los conectivos, los conectores y el nombre de cada conector.
CONECTIVOS
CONECTORES
NO Y O SI..., ENTONCES SI Y SÓLO SI
∼ ∧ ∨ ⊃ ≡
NOMBRE DEL CONECTOR Negador Conjuntor Disyuntor Implicador Coimplicador o Equivalencia
5. FORMAS PROPOSICIONALES
El resultado de representar las proposiciones por variables proposicionales y los conectivos por los conectores correspondientes se llama Forma Proposicional. Así, en la proposición: “Los yanomamis viven en el oriente de Venezuela y suman unos cuantos miles”, representamos por ‘p’: “Los yanomamis viven en el oriente de Venezuela”, y por ‘q’: “(los yanomamis) suman unos cuantos miles” y el conectivo ‘y’ por el conector ‘∧’, tendremos la siguiente forma proposicional: pq Por tanto, una forma proposicional es una sucesión ordenada, de acuerdo a
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ciertas reglas, de variables proposicionales y conectores. Las formas proposicionales representan proposiciones para la lógica formal.
6. TIPOS DE PROPOSICIONES COMPLEJAS 6.1. La Negación. Es una proposición que contiene un conectivo negativo. El modo más corriente de formarla es anteponiendo `no' al verbo principal. Por ejemplo, la negación de “llueve” es “no llueve”, la negación de “Sócrates nació en Atenas” es “Sócrates no nació en Atenas”. En castellano se usan para negar, además de ‘no’ otras expresiones como ‘es falso que’, ‘no es cierto que’, ‘no es el caso que’, ‘no ocurrió aquí’ y otras similares. Todas estas expresiones cumplen la misma función de negar, y se simbolizan con el negador. Cuando se niega una variable proposicional el negador se coloca delante de ella. Así “~ p” es la negación de “p”. La negación de una proposición verdadera es falsa y viceversa. Si la proposición “Cristóbal Colón nació en Venecia” es verdadera, su negación será falsa. Si ‘p’ representa una proposición cualquiera y representamos los valores de verdad por ‘1’ (uno) la verdad y ‘0’ (cero) la falsedad. Lo anterior puede expresarse por medio de la siguiente tabla de verdad. p 1 0
p 0 1 Cuando p es verdadera , p es falsa y viceversa
6.2. La Conjunción. Cuando dos proposiciones se unen mediante el conectivo ‘y’ o sus equivalentes, la proposición compuesta resultante es una conjunción, así, la proposición “Maracaibo es la capital del Estado Zulia y fue fundada en el siglo XVI” es una conjunción. Si sustituimos “Maracaibo es la capital del Estado Zulia” por ‘p’, “(Maracaibo) fue fundada en el siglo XVI” por ‘q’ y el conectivo ‘y’ por el conjuntor (), la forma proposicional anterior es: pq La conjunción tiene dos argumentos: el primero es lo que aparece a la izquierda del conjunto (en este caso p) y el segundo lo que aparece a su derecha (aquí q). Dados “p” y “q” y partiendo de que cada uno puede ser verdadero (1) o falso (0), solamente podemos asignarle a la proposición ‘p q’ cuatro posibles casos de combinación de esos valores de verdad. Estos conjuntos son: 1er Conjunto: p verdadero y q verdadero
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2do Conjunto: p falso y q verdadero er 3 Conjunto: p verdadero y q falso 4to Conjunto: p falso y q falso El valor verdadero de una conjunción está definido por los valores de verdad de sus componentes estableciendo que una conjunción es verdadera cuando ambos argumentos son verdaderos y falsa en los demás casos. En el caso de “p ∧ q” los valores de verdad de los cuatro conjuntos posibles pueden expresarse brevemente en la tabla siguiente: p 1 0 1 1
1 0 0 0
q La columna de valores de verdad que aparece debajo del conjuntor se llama número matricial
1 1 0 0
Sólo en la primera fila, donde p y q son verdaderas, su conjunción es verdadera, en los demás casos, tal como se muestra en las tres siguientes, es falsa. En castellano, además de la ‘y’ se emplean otras expresiones, como ‘también’, ‘pero’, ‘sin embargo’, ‘aunque’, ‘no obstante’ y otras semejantes para construir una conjunción. Todas estas expresiones se representan en lógica por el conector (∧). La ‘y’ no siempre une proposiciones. Por ejemplo, en la proposición “Bolívar y Sucre fueron contemporáneos” la ‘y’ no une dos proposiciones, puesto que esa proposición es simple. Distinto sería si dijera: “Bolívar y Sucre son dos próceres venezolanos”. Aquí la ‘y’ sí une dos proposiciones, ya que esta última proposición equivale a “Bolívar es un prócer venezolano y Sucre es un prócer venezolano”. A veces una coma equivale a ‘y’. Por ejemplo, en la proposición: “Cesar llegó, vio y venció”, la coma que aparece después de ‘llegó’ equivale a ‘y’.
6.3. La Disyunción La disyunción de dos proposiciones se forma insertando el conectivo ‘o’ entre ellas. La proposición “Rafael Urdaneta nació en Maracaibo o en Caracas” es una disyunción. Si “Rafael Urdaneta nació en Maracaibo” se representa por ‘p’ y (Rafael Urdaneta nació) en Caracas” por ‘q’, y el conectivo ‘o’ por la disyunción ‘∨’. La disyunción anterior se simboliza: pvq que se lee “p o q”. La disyunción tiene dos argumentos, el primero es el que aparece a la izquierda del disyuntor y el segundo, aparece a su derecha. En el caso anterior ‘p’ sería el primer argumento y ‘q’ el segundo.
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Aunque la disyunción es ambigua en castellano, en lógica consideramos todas las disyunciones inclusivas, de tal manera que la conjunción la consideramos verdadera cuando uno de sus argumentos es verdadero o ambos son verdaderos, falsa sólo cuando ambos argumentos son falsos. esto se expresa en la siguiente tabla de verdad: 1 1 1 0
p 1 0 1 0
q 1 1 0 0
Para expresar una disyunción en castellano, a veces se suele repetir el conectivo ‘o’ para hacer énfasis, o también se usa la expresión ‘o bien’, igualmente repetida, con ese mismo fin. En estos casos hay que señalar que, desde el punto de vista meramente lógico, estas expresiones son equivalentes a la disyunción simple. Por lo tanto, cuando decimos: ‘O el examen es el lunes o el martes’ así como ‘O bien el examen es el lunes o bien el martes’ esto equivale a decir ‘El examen es el lunes o el martes’. Las tres formas se simbolizan de la misma manera. Siendo “p” ‘el examen es el lunes’ y “q” ‘(El examen) el martes’, la forma proposicional sería: pq 6.4. La Implicación La proposición compuesta, formada por dos proposiciones ordenadas de tal manera que la primera está precedida por el condicional ‘si’ y la segunda por la palabra ‘entonces’ se llama implicación. Por ejemplo, la proposición “Si se logra castigar a los corruptos, entonces se fortalece la confianza pública”, es una implicación. La proposición que aparece entre el ‘si... entonces...’ es el antecedente, y la que sigue al ‘entonces’ el consecuente. El conectivo es ‘si-entonces’. La simbolización de la implicación es semejante a la de la conjunción y a la de la disyunción, colocando el implicador entre las variables proposicionales. Así, si en la anterior implicación ‘p’ representa “Se logra castigar a los corruptos” y ‘q’ “Se fortalece la confianza pública”, su simbolización será: pq
que se lee, “si p, entonces q” y también “p implica q”. Una implicación es falsa cuando el antecede es verdadero y el consecuente falso, en los demás casos es verdadera, lo cual se expresa en esta tabla de verdad. p 1 0 1 0
1 1 0 1
q 1 1 0 0
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En castellano, además de la expresión “si-entonces”, hay otras equivalentes que se usan para formar implicaciones. Veamos, Sean “p” y “q” y su implicación “p ⊃ q”. Estas pueden expresarse, entre otras, de la siguiente manera:
Si p, entonces q Si p, q p implica q p sólo si q q, si p q siempre que p p es condición suficiente para q q es condición necesaria para p
Observa que en todas esas expresiones ‘p’ es siempre el antecedente y ‘q’ el consecuente, sin importar el orden en que aparecen en las distintas expresiones; es decir, todas se simbolizan así: “p ⊃ q”. 6.5. La Equivalencia Si colocamos el conectivo ‘si y sólo si’ entre dos proposiciones, la proposición compuesta correspondiente recibe el nombre de equivalencia. Por ejemplo, la proposición “La matemática es una ciencia formal, si, y sólo si opera con formas” es una equivalencia. Si en la proposición anterior representamos a “La matemática es una ciencia formal” por ‘p’, “(La matemática) o opera formas” por ‘q’ y el conectivo ‘si, y sólo si’ por el coimplicador ‘≡’, su simbolización es: pq
que se lee “p si, y sólo si q”, o también “p equivale a q”. La equivalencia tiene dos argumentos, el primero es el que aparece a la izquierda del coimplicador, el segundo el que aparece a su derecha. En el ejemplo dado ‘p’ sería el primer argumento y ‘q’ el segundo. Una equivalencia es verdadera cuando ambos argumentos tienen el mismo valor de verdad, y falsa cuando los argumentos tienen distinto valor de verdad. Esto se expresa en la tabla siguiente:
p 1 0 1 0
1 0 0 1
q 1 1 0 0
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CUADRO RESUMEN CONECTORES
NOMBRE DE LOS CONECTORES
EXPRESIÓN CASTELLANA
EJEMPLO DE PROPOSICIÓN
NOMBRE DE LA SIMBOLIZACIÓN PROPOSICIÓN
Negador
no
No llueve
Negación
∼p
Conjuntor
y
Llueve y truena
Conjunción
p ∧q
Disyuntor
o
Llueve o truena
Disyunción
p∨q
Implicador
si, entonces
Si llueve, entonces truena
Implicación
p⊃q
Coimplicador
si, y sólo si
Llueve si y sólo Equivalencia si truena
p≡q
TABLAS DE VERDAD Negación p p 1 0 0 1
Conjunción p q 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
p 1 0 1 0
Disyunción q 1 1 1 1 1 0 0 0
Implicación p q 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0
Equivalencia p q 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0
7. PARÉNTESIS Y SIMBOLIZACIÓN Los paréntesis en las formas proposicionales se utilizan para indicar el alcance de cada conector, su zona de influencia. El conector principal es el que tiene mayor alcance y el que define la forma proposicional. Veamos en la siguiente forma proposicional el uso de los paréntesis: 2 1
1
2
3
3
( ( p q ) p ) ( q p )
En ella hay cinco conectores. El alcance del negador es ‘q’; el del primer conjuntor el paréntesis 1; el del implicador el paréntesis 2; el del segundo conjuntor los paréntesis 2 y 3; y el del disyuntor el paréntesis 3. El conector principal es el que tienen mayor alcance, en este caso es el segundo conjuntor. El conector principal determina qué tipo de proposición es. En el ejemplo, por ser el conector principal el conjuntor, la proposición e una conjunción. Otro ejemplo. Sea la forma proposicional: 2 1
1
2
3
3
( ( p q ) r ) ( r s )
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Observa que los tres negadores tienen alcances diferentes: el primero es todo lo incluido en el paréntesis 2, el del segundo ‘q’ y el del tercero lo incluido en el paréntesis 3; el alcance del conjuntor es el paréntesis l; el del implicador lo que está a su izquierda (antecedente) y ‘r’ (consecuente); el del coimplicador lo que está a su izquierda (primer argumento) y lo que está a su derecha (segundo argumento); y el del disyuntor el tercer paréntesis. El coimplicador es el conector principal. En la abstracción de las formas proposicionales de proposiciones de cierta complejidad los paréntesis son de uso necesario. Para facilitar este proceso es conveniente seguir los pasos siguientes: (i) Identificar las proposiciones simples y representarlas con variables proposicionales. (ii)Identificar los conectivos con sus alcances y determinar el conectivo principal y sustituirlos por los conectores correspondientes. (iii)Escribir la forma proposicional colocando los paréntesis requeridos.
Veamos un ejemplo. Sea la proposición:
“Si la universidad no cierra sus puertas y tiene profesores responsables, entonces los estudiantes no perderán su tiempo y saldrán bien preparados.”
1. Proposiciones Simples • • • •
La universidad cierra sus puertas: p (La universidad) tiene profesores responsables: q Los estudiantes perderán su tiempo: r (Los estudiantes) saldrán bien preparados: s
2. Conectivos y Conectores • • •
Conectivo principal: si-entonces (⊃) Conectivos en el antecedente: no (~) e y (∧) Conectivos en el consecuente: no (~) e y (∧)
3. Se escribe la forma proposicional con los paréntesis requeridos: ( p q ) ( r s )
Observaciones: • La forma proposicional es una implicación. • No hay una regla mecánica que permita identificar el conectivo principal y el alcance de cada conectivo; sin embargo, con un análisis de las proposiciones correspondientes se logra con relativa facilidad.
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Cuando una proposición no tiene la forma típica correspondiente, antes de proceder a su simbolización es conveniente traducir la misma. Por ejemplo, la proposición: Sólo si se simbolizan los elementos variables y constantes de las proposiciones, se podrá aplicar el método matemático a la lógica y demostrar la validez de los razonamientos. Esta proposición es una implicación, sin embargo esa no es su forma típica en la que el antecedente aparece claramente entre el ‘si’ y el ‘entonces’ y el consecuente sigue al ‘entonces’. Por eso, antes de simbolizar, es preciso expresarla en su forma. típica. Si tenemos en cuenta que el consecuente es condición necesaria para el antecedente y que el ‘solo si’ indica necesidad, la forma típica será esta: Si se puede aplicar el método matemático a la lógica y demostrar la validez de los razonamientos, entonces se simbolizan los elementos variables y constantes de las proposiciones. Observa que se ha cambiado el tiempo del verbo; el futuro (podrá) a presente (puede). En lógica los tiempos de los verbos no cambian la forma de las proposiciones y, por tanto, es permitido hacerlo sin modificar su estructura. Hecho esto se procede a abstraer la forma proposicional tal como se hizo en el primer ejemplo.
Veamos: l. Proposiciones Simples: p: se puede aplicar el método matemático a la lógica q: (se puede) demostrar la validez de los razonamientos r: se simbolizan los elementos variables y constantes de las proposiciones
2. Conectivos y Conectores: • •
Conectivo principal: si... entonces... (⊃) Conectivo en el antecedente: y (∧)
3. Forma Proposicional: ( p q ) r
A continuación se te presentan unos ejercicios. Si te hace falta lee el material para aclarar tus dudas.
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EJERCICIOS Simbolice en el lenguaje de la lógica proposicional las siguientes proposiciones (objetivo específico 6.2). (1) Si se logra una mayor conciencia cívica, un mayor compromiso con la comunidad y unos gobernantes honestos, entonces los distintos problemas del país irán solucionándose poco a poco y la democracia se podrá catalogar de eficiente. (2) Si la corriente eléctrica no puede observarse a simple vista, ni se pueden ver las cargas eléctricas que circulan por el conductor, entonces conoceremos que una corriente está pasando por un circuito eléctrico por los efectos que produce. (3) La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta si y sólo si tenemos en cuenta la geometría plana de Euclídes; pero si la geometría es Euclides, la distancia mas corta entre dos puntos no es línea recta. (4) Sólo si leemos buenos autores y observamos el uso que ellos hacen de los signos de puntuación, podremos redactar con buen estilo y nos atreveremos a expresar por escrito nuestras ideas y convicciones. (5) Si Luis ni fue al juego de pelota ni a la playa, se quedó en casa de Ana y ahora está preparando el examen de matemática. (6) Si los colores dependen del ojo humano y no de los objetos mismos, entonces o los animales no perciben los mismos colores que los humanos o los ojos de los animales no tienen la misma constitución que la de los humanos. (7) Si la humanidad logra viajar a una velocidad próxima a la de la luz y se encuentra en el universo planetas semejantes a la Tierra, entonces el sol podrá extinguirse y la tierra desaparecer, pero la raza humana podrá seguir viviendo en el universo. (8) Siempre que la humanidad pueda desarrollarse respetando el medio ambiente y cambie sus valores, podrá salvarse la vida en la Tierra. (9) Venezuela logrará una mayor calidad de vida para sus habitantes y una mayor respeto a los derechos humanos si, y sólo si sus ciudadanos trabajan con ahínco y cambian su jerarquía de valores. (10) Si es falso que a escala sideral el tiempo no es lo mismo que el espacio, entonces en el universo el espacio y el tiempo son una misma realidad. (11) En la oficina los empleados están contentos y realizan con mística sus tareas siempre que el jefe llega a tiempo, trabaja con dedicación y trata con respeto a sus empleados. (12) Sólo si te dedicas a aquello que te apasiona, trabajarás sin descanso y lograrás el éxito. (13) Si no hay gente ni perezosa si incapaz, hay gente que no dedica su tiempo y sus capacidades a lo que verdaderamente le interesa. (14) Si el abogado para ser eficiente tiene que contribuir a resolver el problema de la justicia en el país, el médico para serlo tiene que preocuparse por la salud pública y el ingeniero, a su vez, contribuir a resolver los problemas sociales propios de su profesión, entonces un profesional eficiente, además de ser competente en su profesión, tiene que ser socialmente útil. (15) Sólo si nos distraemos en clase ni dejamos de hacer los ejercicios del libro, entenderemos la lógica.
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8. SIMBOLIZACIÓN DE LA FORMA LÓGICA DE UN RAZONAMIENTO
En todo razonamiento hay, como se explicó en la unidad I, contenido y forma. Para abstraer la forma lógica de un razonamiento: (i) Separamos las premisas y la conclusión. (ii) Señalamos todos los conectivos y demás términos de enlace que no sean los cinco conectivos definidos en la lógica proposicional. (iii) Identificamos cada una de las proposiciones simples asignándoles las variables proposicionales correspondientes. (iv) Simbolizamos la forma lógica de cada premisa alineadas una debajo de la otra y la conclusión separada por una línea horizontal. En cada línea colocamos los paréntesis que sean necesarios, para indicar el alcance de cada conector. Abstraigamos la forma lógica del siguiente razonamiento: a) Si hay inflación, sube el precio de las mercancías. En efecto, hay inflación. Por lo tanto, sube el costo de las mercancías. (i) Separamos las premisas y la conclusión. (ii) Sustituimos las proposiciones simples por variables proposicionales y (iii) El conectivo por el conector correspondiente: p: Hay inflación. q: Sube el precio de las mercancías. ⊃: El conectivo ‘si-entonces’. (iv) Trazamos una línea horizontal que representa a ‘por tanto’, para indicar el tránsito de las premisas a la conclusión.
La palabra ‘entonces’, como parte del conectivo de la implicación de la primera premisa, está implícita. Para abstraer la forma lógica sustituimos las proposiciones simples por sus variables correspondientes, el conectivo (‘si-entonces’). La forma lógica es: pq Primera premisa p Segunda premisa ____________________________________ q Conclusión
La expresión ‘en efecto’ se puede suprimir, pues no forma parte de ninguna proposición y no es tampoco conectivo, simplemente, es parte del estilo.
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Otro ejemplo. Abstraigamos la forma lógica de este razonamiento: b) Si un objeto flota en el agua, es menos denso que el agua. Si es menos denso que el agua, puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su peso. Si puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su peso, el objeto flotará en el agua. Por tanto, un objeto flotará en el agua si, y sólo si puede desplazar una cantidad de agua igual a 1a de su peso. Separar las premisas y la conclusión: Si un objeto flota en el agua, es menos denso que el agua. Si es menos denso que el agua, puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su peso. Si puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su peso, el objeto flotará en el agua. Por tanto, un objeto flotará en el agua si, y sólo si puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su peso. Identificar y sustituir las proposiciones simples por variables proposicionales: p: Un objeto flota en el agua. q: Es menos denso que el agua. r: Puede desplazar una cantidad de agua igual a su peso. Las tres premisas tienen como conectivo ‘si-entonces’. La palabra ‘entonces’ como parte del conectivo de la implicación está sobreentendida en las tres premisas. El conectivo de la conclusión es ‘si y sólo si’. Para abstraer la forma lógica sustituimos las proposiciones simples por sus correspondientes variables, los conectivos por los conectores y trazamos una raya a la conclusión. El resultado es de esta forma lógica: pq Premisa qp Premisa rp Premisa ____________________ p r Conclusión
A veces la forma lógica de los razonamientos no es tan obvia en vista de que alguna premisa o la conclusión están formuladas de una manera distinta a la típica. En este caso se recomienda transcribir el razonamiento formulando las premisas y j,~ conclusión en su forma típica. Veamos un ejemplo. Sea el razonamiento: c) Sólo .si la bóveda se hubiera cerrado automáticamente y la policía hubiera llegado a tiempo, el cajero o el contador hubiera hecho sonar la alarma. La policía hubiera podido alcanzar el automóvil de los ladrones, siempre que hubiera llegado a tiempo. Sin embargo, no pudo alcanzar el automóvil de los ladrones. Luego, el cajero no hizo sonar la alarma.
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En este razonamiento las dos primeras premisas, que son dos implicaciones, no están expresadas en la forma normal o típica. Luego, antes de abstraer la forma lógica del razonamiento procederemos a expresarlas en la forma típica de la implicación de la siguiente manera: Si el cajero o el contador hubiera hecho sonar la alarma, entonces la bóveda se hubiera cerrado automáticamente y la policía hubiera llegado a tiempo. Si la policía hubiera llegado a tiempo, entonces hubiera podido alcanzar el automóvil de los ladrones. Sin embargo, no pudo alcanzar el automóvil de los ladrones. Luego, el cajero no hizo sonar la alarma. Ahora se continúa de la forma explicada anteriormente. Sustitución de las proposiciones simples anteriores: p: El cajero hubiera hecho sonar la alarma q: El contador hubiera hecho sonar la alarma. r: La bóveda se hubiera cerrado automáticamente. s: La policía hubiera llegado a tiempo. t: La policía hubiera podido alcanzar el automóvil de los ladrones. Sustitución de los conectivos ( ‘o’, ‘si-entonces’ y ‘no’ ) por los conectores (‘’, ‘’, y ‘’). Abstracción de la forma lógica: ( p q ) ( r s ) Premisa st Premisa t Premisa _______________________________ p Conclusión
Si has seguido toda la secuencia, estarás en capacidad de resolver el Autoevaluativo que a continuación se te presenta.
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AUTOEVALUATIVO 6 Abstraiga dentro de la lógica proposicional, la forma lógica de los siguientes razonamientos (objetivo específico 6.3). (1) Bien el profesor no corrigió bien el trabajo o bien se equivocó al registrar la calificación. En realidad, el profesor corrigió correctamente el trabajo. Por tanto, se equivocó al registrar la calificación. (2) Si al introducir un papel de tornasol azul en una solución se torna rojo, o bien la solución es un ácido o bien hay algo que está fallando. Sin embargo, no falla nada y el papel de tornasol azul se cambia a color rojo. Luego, la solución es un ácido. (3) Si el portero o la empleada hubieran avisado, se habría llamado a la policía y el ladrón habrían sido atrapado. Pero el ladrón no fue atrapado. Por tanto, es falso que el portero y la empleada avisaron. (4) Si el nuevo presupuesto nacional no aumenta la inflación o no disminuye el salario real, es falso que habrá una explosión social. El análisis del nuevo presupuesto indica que es falso que es inflacionario y que disminuye el salario real. Por tanto, no habrá explosión social. (5) Siempre que llego a tiempo al trabajo, éste se lleva a cabo con eficiencia y la empresa progresa. Si ésta progresa es más competitiva y asegura el empleo bien remunerado a sus trabajadores. Siempre llego a tiempo al trabajo. Por tanto, la empresa asegura un empleo bien remunerado a los trabajadores. (6) Si los países del tercer mundo exportan materias primas y éstas se pagan justamente por los países desarrollados y, además, hay una distribución equitativa de la riqueza, sus pueblos serán bien alimentados. Sin embargo, los hechos indican que estas naciones exportan materias primas y sus pueblos están desnutridos . En consecuencia o las materias primas no se pagan justamente o a hay una mala distribución de riquezas. (7) Si hay impunidad, aumenta la corrupción. Si los políticos persiguen sus intereses personales, nuestra democracia es una pseudodemocracia. Sin embargo, no es cierto que aumenta la corrupción y que nuestra democracia sea pseudodemocracia. Luego, o no hay impunidad o los políticos no persiguen sus intereses personales. (8) Actuamos con rectitud, sólo si hay adecuación entre nuestros pensamientos y nuestros actos. Si se da esto último, vivimos en paz con nosotros mismos. Sólo si somos felices vivimos en paz con nosotros mismos. Actuemos con rectitud. Por tanto, somos felices. (9) Si Luis recibe la notificación, vendrá siempre que todavía pueda tomar un avión. Aunque no ha venido, aun puede tomar el avión. Por tanto, no recibió la notificación. (10) Si el primer argumento de una conjunción es falso, la conjunción como un todo es falsa. Por tanto, si tanto el primer argumento como el segundo de una conjunción son falsos, la conjunción como todo es falsa. (11) Sólo si un razonamiento es falso y sus premisas verdaderas, la conclusión del mismo es necesariamente verdadera. Por tanto, la conclusión de un razonamiento no es necesariamente verdadera, si el razonamiento no es válido o las premisas no son verdaderas. (12) Actuamos correctamente si y sólo si hay adecuación en nuestro pensamiento y el acto ejecutado. Sólo si hay coherencia en nuestra personalidad, lo que hacemos corresponde a los que pensamos. Si hay coherencia en nuestra personalidad, somos honestos. Luego no actuamos correctamente o somos honestos.
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(13) Si se quiere que el Aula Magna de la Universidad del Zulia sea un gran centro cultural regional, tendrá que ubicarse en el mismo corazón de la ciudad y tener los espacios suficientes para cumplir con este cometido. Ahora bien, si se logran estas dos últimas condiciones, su costo será multimillonario. Si el costo es multimillonario, es preciso el trabajo solidario de la comunidad para lograr la cantidad de dinero necesaria En consecuencia, es falso que simultáneamente se quiera que el Aula Magna de la Universidad del Zulia sea un gran centro cultural regional y la comunidad no trabaje solidariamente para conseguir los recursos necesarios. (14) Si la descripción bíblica de la cosmogonía es estrictamente correcta, el sol no fue creado el cuarto día. Y si el sol no fue creado el cuarto día, no puede haber sido la causa de la sucesión del día y de la noche durante los tres primeros días. Pero, o bien las Estructuras usan la palabra `día' en un sentido diferente de la acepción corriente en la actualidad, o bien el sol debe haber sido la causa de la sucesión del día y la noche durante los tres primeros días. De esto se desprende que, o bien la palabra `día' es usada en las Escrituras en un sentido diferente al aceptado corrientemente en la actualidad o bien la descripción bíblica de la cosmogonía no es estrictamente correcta ( I. Copi ).
Compara tus respuestas si aún te quedan dudas. Si todo está correcto. Felicitaciones! Continúa con Prueba de Validez de los Razonamientos.
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B. PRUEBA DE VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LA IMPLICACIÓN TAUTOLÓGlCA .
OBJETIVO TERMINAL 7: Efectuar la prueba de validez de un razonamiento mediante el método de la “implicación tautológica”.
Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 7.1. Conocidas la definición y la tabla de verdad de cada conector lógico, obtener el valor de verdad de una f.p. compuesta a partir de los valores de verdad asignados a los v.p. 7.2. Asimismo, construir tablas de verdad de f.p. más complejas. 7.3. Comprendido los conceptos de “función veritativa” y “número matricial”, distinguir las f.p. tautológicas, contradictorias y contingentes mediante las tablas de verdad o el “Método Abreviado por Reducción al Absurdo”. 7.4. Dado que un razonamiento válido es una implicación lógica (tautológica), aplicar este principio para probar si un razonamiento es válido o no.
1. VALOR DE VERDAD DE LAS FORMAS PROPOSICIONALES. Una vez conocidas las tablas de verdad simples definidas por los conectores lógicos podemos obtener el valor de verdad de formas proposicionales más complejas a partir de los valores de verdad asignados a las variables proposicionales. Veamos un ejemplo: Sea la forma proposicional: ( ~p ⊃ q ) ∼∧ r ; asignamos a ‘p’ el valor de verdad V, a ‘q’ F y a ‘r’ F. Coloquemos los valores veritativos asignados a las v.p. debajo de las mismas y efectuemos las operaciones de cada conector. Hagámoslo. lº 2º 3º ( p q ) r 0 1 1 0 0 0
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Observaciones: • El conector principal es el conjuntor. • El orden de las operaciones está indicado encima de cada conector. • Los valores de verdad que intervienen en cada operación están indicados por flechas de doble sentido. • El valor de verdad de la forma proposicional es falso. Antes de seguir el estudio, revisemos si dominas los conceptos explicados. Para ellos te presentamos estos ejercicios EJERCICIOS Si ‘p’ es falso, ‘q’ verdadero y ‘r’ falso, hallar el valor de las siguientes formas proposicionales (1) ( p ⊃ ∼ q ) ∨ ∼ r (2) ( p ∨ ∼ q ) ⊃ r (3) ( ( p ⊃ q ) ∧ r ) ≡ ∼ p (4) ( ( p ⊃ q ) ∧ p ) ⊃ q (5) ( ∼ ( ∼ p ⊃ q ) ∧ ∼ q ) ⊃ ∼ p (6) ( ( p ∨ ∼ q ) ∧ q ) ⊃ ( p ∨ r ) (7) ( ∼ p ∨ ∼ q ) ≡ ∼ ( p ∧ q ) (8) ( ∼ p ⊃ q ) ≡ ( ( p ∨ q ) ∨ r ) (9) ( p ⊃ ( q ⊃ r ) ) ≡ ( ( p ∧ q ) ⊃ r ) (10)
( ( ( p ∧ q) ⊃ r ) ∧ ∼ r ) ⊃ ∼ ( p ∧ q )
2. TABLAS DE VERDAD DE FORMAS PROPOSICIONALES DE CIERTA COMPLEJIDAD. Para diagramar una tabla de verdad es preciso tener en cuenta, al menos, dos puntos principales: primero, el alcance de los conectores; segundo, el número de conjuntos de posibles combinaciones de valores de verdad. El primer punto ya lo dilucidamos al estudiar los paréntesis. Para determinar el segundo, emplearemos la siguiente fórmula: 2º. El exponente ‘n’ señala el número de variables que tiene la forma proposicional; la base ‘2n’ los dos valores de verdad: verdad y falsedad. Por lo tanto, si una forma proposicional tiene tres variables proposicionales, los posibles conjuntos de valores veritativos en ella serán: 23 = 8; si tiene cuatro, 24 = 16; si tiene dos, 22 = 4; si tiene una, 21 = 2 y así sucesivamente.
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DIAGRAMACIÓN DE TABLAS DE VERDAD
Diagramación de la tabla de verdad de la forma proposicional:
( ( p 1 0 1 0
2º 0 1 1 1
lº q) 01 01 10 10
3º 5º 4º q ) p 1 1 1 01 1 1 1 10 0 0 1 01 0 0 1 10
Observaciones: (i) El conector principal es el segundo implicador y, en consecuencia, la forma proposicional es una implicación. (ii) Hay cuatro posibles formas de combinación de los valores de verdad, en efecto, 2 2 = 4. (iii) El orden de colocación de los valores de verdad debajo de las variables proposicionales se ha hecho así por comodidad; traten de hacerlo de otra forma y siempre serán esos y sólo esos cuatro conjuntos posibles de combinación. La práctica ha enseñado que se puede hacer así y eso significa un ahorro de energía. (iv) Se inicia con el antecedente siguiendo el orden de alcance de los conectores tal como se indica en el diagrama y luego se sigue con el consecuente. (v) Las flechas que aparecen en la parte inferior del diagrama indican las columnas que se tienen en cuenta en cada operación. (vi) El número matricial es el que aparece debajo del conector principal. Otro ejemplo, sea la forma proposicional: 3º lº 2º 8º 5º ~ ( ( p q ) r ) ( ~ ( 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1
p 1 0 1 0 1 0 1 0
4º 1 1 1 0 1 1 1 0
7º 6º q ) r ) 1 0 01 1 0 01 0 0 01 0 1 01 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 1 10
Observaciones: (i) El conector principal es el implicador y la forma proposicional es, por tanto, una implicación. (ii) Hay ocho conjuntos posibles de combinación de los valores de verdad, en efecto, 23 = 8. (iii) La distribución de los valores de verdad se ha hecho de esa forma, también, por comodidad. (iv) El orden de las operaciones está indicado por los números de la parte superior del diagrama y por las flechas de su parte inferior.
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3. TIPOS DE FORMAS PROPOSICIONALES. Hay tres tipos de formas proposicionales, a saber: tautologías, contradicciones y contingencias. 3.1. Formas Proposicionales Tautológicas Una forma proposicional es una tautología si en la columna del conector principal sólo aparecen valores de verdad verdaderos, esto es, si su número matricial está constituido sólo por unos. Ejemplo de tautología: ( ( p 1 0 1 0
1 1 0 1
q ) p ) q 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
Observa la columna del conector principal, en ella sólo hay valores de verdad verdaderos. 3.2. Formas Proposicionales Contradictorias Una forma proposicional es una contradicción si en la columna del conector principal sólo aparecen valores de verdad falsos, es decir, si su número matricial sólo contiene ceros. Ejemplo de contradicción: ( p 1 0 1 0
1 1 0 1
q ) ( 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
p 01 10 01 10
1 1 0 1
q ) 1 1 0 0
Observa que debajo del conector principal sólo aparecen valores de verdad falsos. 3.3. Formas Proposicionales Contingentes Una forma proposicional es contingente si en la columna del conector principal aparecen valores de verdad verdaderos y falsos. Ejemplo de forma proposicional contingente: ( ( p 1 0 1 0
1 1 0 1
q ) p ) ~q 1 1 1 0 01 1 0 0 1 01 0 0 1 1 10 0 0 0 1 10
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Observa que debajo del conector principal aparecen valores de verdad verdaderos y falsos.
A continuación te proponemos unos ejercicios, para que reafirmes el grado de comprensión de los puntos tratados EJERCICIOS Construya la tabla de verdad de las siguientes formas proposicionales y determina si son tautológicas, contradicciones o contingencias ( objetivo específico 7.3.) (1) p ∧ q (2) ( ∼ p ⊃ q ) (3) ( ∼ p ∨ q ) ≡ ( p ⊃ q ) (4) ( p ∨ ∼ q ) ≡ ∼ r (5) ( ( ∼ p ∨ q ) ⊃ r ) (6) ∼ ( ( p ∨ ∼ q ) ∨ ∼ r) ⊃ ( ( p ∧ q ) ⊃ ∼ r ) (7) ( ( p ⊃ ∼ q ) ⊃ ∼ r ) ≡ ( ( p ∧ ∼ q ) ⊃ ∼ r ) (8) ( ( ∼ ( p ∨ ∼ q ) ∧ r ) ⊃ ∼ r ) ⊃ ( p ∨ ∼ q ) (9) ( ( p ⊃ ∼ q ) ∧ ( ∼ q ⊃ r ) ) ⊃ ( p ⊃ ∼ r ) (10)
( ( ( ∼p ∧ q ) ⊃ ∼r ) ∧ r ) ⊃ ∼( ∼p ∧ q )
4. VARIABLES SINTÁCTICAS Con el fin de facilitar la explicación de lo que sigue, voy a referirme a las variables sintácticas. Las variables sintácticas son las primeras letras mayúsculas del alfabeto: A, B, C, D etc., que representan CUALQUIER FORMA PROPOSICIONAL. Por ejemplo, A puede representar en una ocasión la forma proposicional “p ⊃ q” y en otra “( p ⊃ q ) ∧ ~ r)”. Lo mismo sucede con B, C, D etc.
5. IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA A implica tautológicamente a B si, y sólo si A ~ B es una tautología.
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Por ejemplo, sea A “( p ⊃ q ) ∧ ~ q” y B “~ p”. Construyamos la implicación A ⊃ B y obtengamos su número matricial, construyendo su tabla de verdad.
A B ( ( p ⊃ q ) ∧ ∼q ) ⊃ ∼p 1 1 1 0 01 1 01 0 1 1 0 01 1 10 1 0 0 0 10 1 01 0 1 0 1 10 1 10 La implicación A ⊃ B es una tautología puesto que su número matricial está formado sólo por valores de verdad verdaderos, por lo tanto A implica tautológicamente a B. A la implicación tautológica se le llama también implicación lógica; luego, se puede decir también que, en el ejemplo dado, A implica lógicamente a B.
6. EQUIVALENCIA TAUTOLÓGICA A equivale tautológicamente a B si, y sólo si A ≡ B es una tautología. Por ejemplo, sea A “~ p ∨ q” y B “p ⊃ q”. Construyamos la equivalencia A ≡ B y obtengamos su número matricial construyendo su tabla de verdad.
( ∼p 01 10 01 10
A ∨ 1 1 0 1
q ) 1 1 0 0
B ≡ ( p ⊃ q ) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0
El número matricial está formado sólo por valores de verdad verdaderos, por lo tanto la equivalencia (A ≡ B) es una tautología y, en consecuencia A equivale tautológicamente a B. También se dice que A equivale lógicamente a B.
7. MÉTODO ABREVIADO POR REDUCCIÓN AL ABSURDO Cuando las vp son más de tres el método de tablas de verdad para probar si una forma proposicional es o no tautología es largo y engorroso, por cuanto el número de filas aumenta considerablemente; piénsese, por ejemplo, que con cuatro variables se requerirían 16 filas (24), con cinco 32 filas (25 ) y así sucesivamente. Para formas proposicionales que tengan más de tres vp se puede aplicar un método más abreviado, que lo hemos llamado Método Abreviado por Reducción al Absurdo. Como el método es por medio de reducción al absurdo debemos tener presente que en este método se tienen que cumplir los siguientes pasos:
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• • •
Primero, se supone lo opuesto de lo que se quiere probar. Por ejemplo, si se quiere probar que una forma proposicional es tautológica, se empieza suponiendo que no lo es. Segundo, con la suposición anterior se hacen las relaciones o las operaciones según el caso. Tercero, si después de realizar las operaciones se encuentra alguna contradicción, algún absurdo, entonces la suposición inicial se rechaza y se afirma lo opuesto.
Veamos, ahora, cómo se aplica el Método Abreviado por Reducción al Absurdo para determinar si una forma proposicional es o no tautología. Empezaremos con una forma proposicional sencilla. .
Sea la siguiente forma proposicional: ( ( p q ) p ) q Para determinar si es o no tautología seguiremos los tres pasos indicados:
Primer paso: Se supone lo opuesto a lo que queremos determinar; luego, como queremos especificar que es tautología, supondremos que no es tautología. Si no es tautología alguno (al menos uno) de los valores de verdad del número matricial será falso. Por tanto se coloca un cero debajo del conector principal, así: ( ( p q ) p ) q 0
Segundo paso: Con ese valor de verdad debajo del conector principal se realizan las operaciones correspondientes siguiendo las reglas de los conectores, así: ( ( p q ) p ) q 1 1 0 1 1 0 0 (6)(4) (7) (2)(5) (1) (3)
Observación: Los números entre paréntesis indican el orden en que se han hecho las operaciones: debajo del 0 (cero) del segundo implicador aparece (1) por ser el primer valor de verdad supuesto; el (2) aparece debajo del 1 del conjuntor y el (3) debajo de la última ‘q’, por ser los dos siguientes valores de verdad obtenidos con la regla del implicador, que dice que si el implicador es falso, como en este caso, entonces el antecedente (en este caso la conjunción) es verdadero y el consecuente (aquí la última q ) es falso. Cada uno de los otros valores de verdad se obtienen mediante las reglas de los conectores presentes y mediante el traslado de los valores de verdad que se conocen de alguna vp.
Tercer paso: Se determina si hay alguna contradicción o absurdo. En el caso presente observamos que hay una contradicción en el paso (4), ya que según la regla del implicador la
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implicación es falsa cuando el antecedente (aquí `p') es verdadero y el consecuente (aquí `q') es falso, y esa implicación aparece verdadera. Eso es una contradicción o un absurdo porque va en contra de la regla del implicador. En consecuencia tenemos que rechazar la suposición inicial, es decir, tenemos que afirmar su opuesta, y si supusimos que la forma proposicional no era tautología, tenemos que afirmar ahora su apuesto, es decir, que la forma proposicional analizada es tautología. Segundo ejemplo: determinar si es tautología esta forma proposicional. ( ( ( p q ) ( q r ) ) ( r s ) ) ( p s ) Primer paso: Suponemos que no es tautología, luego colocamos falso debajo del conector principal; así: ( ( ( p q ) ( q r ) ) ( r s ) ) ( p s ) 0 Segundo paso: Efectuamos las operaciones lógicas con los conectores: ( ( ( p q ) ( q r ) ) ( r s ) ) ( p s ) 1 1 1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 0 (10)(8)(12) (6) (14)(9)(15) (2) (13)(7)(11) (1) (4)(3)(5)
Tercer paso: Se observa si hay alguna contradicción. Según la regla del implicador, en el (9), hay una contradicción, puesto que si el antecedente es verdadero y el consecuente falso la implicación es falsa y aquí aparece verdadera. Luego, tenemos que afirmar lo contrario de lo supuesto, y, de esta manera, determinamos que la forma proposicional propuesta es tautología. Tercer ejemplo: una forma proposicional en la que se dan más de una posibilidad. En los dos ejemplos anteriores fue suficiente con una sola. posibilidad. En el ejemplo presente se pueden dar dos posibilidades. Determinar si la forma proposicional: ( p q ) ( ~p q ) Primer paso: Suponemos que no es tautología, luego: ( p q ) ( ~p q ) 0
Segundo paso: Se opera con los conectores y se trasladan valores de verdad si hace falta. Inmediatamente se observa que se pueden dar dos casos, ya que la equivalencia es falsa cuando sus dos argumentos tienen valores de verdad diferentes, esto es: er
1 caso: 2docaso:
( p q ) ( ~p q ) 0 0 1 1 0 0
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Analizamos el primer caso así: ( p q ) ( ~p q ) 1 0 0 0 0 1 1 0 (4)(2)(5) (1) (8)(6)(3)(7)
Observamos que en (3) hay una contradicción.
Analizamos el segundo caso: ( p q ) ( ~p q ) 1 1 0 0 01 0 0 (7)(2)(8) (1) (4)(6)(3)(5) En el (2) hay una contradicción, ya que según la regla del implicador tenía que ser falso. Tercer paso: Puesto que en ambos casos se dan contradicciones tenemos que rechazar la suposición y afirmar su contraria, es decir, que la forma proposicional propuesta es una tautología.
Cuarto ejemplo: en él hay más de tres vp y se da una sola posibilidad. Determinar si es o no tautología la forma proposicional: ( ( p ( q r ) ) ( ( q r ) s ) ) ( p s ) Primer paso: se supone que no es tautología, luego ( ( p ( q r ) ) ( ( q r ) s ) ) ( p s ) 0 Segundo paso: se opera con los conectores y se trasladan los valores de verdad de las vp si se han logrado obtener, luego: ( ( p ( q r ) ) ( ( q r ) s ) ) ( p s ) 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 (8)(6) (13)(15)(14) (2) (11)(10)(12) (7)(9) (1) (4)(3)(5)
Tercer paso: En (6) hay una contradicción, pues no se cumple con la regla del implicador. Por tanto, la forma proposicional analizada es tautología.
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Quinto ejemplo: en él hay más de tres vp y más de una posibilidad. Probar si la siguiente forma proposicional “~ ( ( p ⊃ q ) ∨ ( r ⊃ s ) ) ≡ ( ~ ( p ⊃ q ) ∧ ~ ( r ⊃ s ) )” es tautología.
Primer paso: Se supone que no es tautología, luego: ~ ( ( p q ) ( r s ) ) ( ~( p q ) ~( r s ) )
Segundo paso: Opera con los conectores. Se dan dos casos a saber: er
1 caso: 2docaso:
~ ( ( p q ) ( r s ) ) ( ~( p q ) ~( r s ) ) 0 0 1 1 0 0
Efectuamos el primer caso: ~ ( ( p q ) ( r s ) ) ( ~ ( p q ) ~ ( r s ) ) 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 (2) (13)(17)(14) (12) (15)(18)(16) (1) (4) (8)(6) (9) (3) (5) (10)(7)(11)
Hay contradicción en (12).
Efectuamos el segundo caso. ~ ( ( p q ) ( r s ) ) ( ~ ( p q ) ~ ( r s ) ) 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 (2) (7)(5) (8) (4) (9) (6)(10) (1) (17) (11)(15)(12) (3)(18)(13)(16)(14)
Hay contradicción en (3).
Tercer paso: En los dos casos hay contradicción, por tanto hay que rechazar la suposición y afirmar lo opuesto, luego la proposición analizada es una tautología.
En el caso en que haya más de una posibilidad y, al analizar la primera, no se llega a ninguna contradicción, no es necesario realizar las otras posibilidades, pues con sólo analizar la primera, ya podemos afirmar que no es tautología. Ilustremos esto con un ejemplo. Determinar si la forma proposicional “( ( p ⊃ q ) ⊃ r ) ≡ ( ( p ⊃ q ) ∨ ∼ r )” es o no tautología.
Primer paso: Se supone que no es tautología, luego:
134
( ( p q ) r ) ( ( p q ) r ) 0 Segundo paso: Operar con los conectores. Se dan dos casos, a saber: 1er caso: 2docaso:
( ( p q ) r ) ( ( p q ) r ) 1 0 0 0 0 1
Efectuamos el primer caso. ( ( p q ) r ) ( ( p q ) r ) 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 (9)(12)(l0) (2)(11) (1) (6)(4) (7) (3) (5)(8)
En (2) sería el único lugar donde podría darse una contradicción y, de hecho, no se da; por tanto, la suposición hecha es correcta, y, en consecuencia, la forma proposicional analizada no es tautología. Como ya hemos determinado que la forma proposicional no es tautología sería inútil efectuar el segundo caso.
Ahora se te presentan unos ejercicios para reafirmar lo estudiado.
EJERCICIOS Probar mediante el Método de Reducción al Absurdo si las siguientes formas proposicionales son o no tautología (objetivo específico 7.3.) (1) ( ( ∼ p ⊃ ∼ q ) ∧ ∼ p ) ⊃ ∼ q ) (2) ( ( ( p ⊃ q ) ⊃ ∼ r ) ∧ r ) ⊃ ∼ ( p ⊃ q ) (3) ( ( ( p ⊃ ∼ q ) ⊃ r ) ∧ ∼ r ) ⊃ ∼ ( p ⊃ ∼ q ) (4) ( ( p ⊃ q ) ⊃ r ) ≡ ( ∼ r ⊃ ∼ ( p ⊃ q ) ) (5) ( ( ( p ⊃ q ) ⊃ ( r ⊃ s ) ) ∧ ( p ⊃ q )) ⊃ ( r ⊃ s ) (6) ( ( ( p ⊃ ( q ∧ r ) ) ∧ ( ( q ∧ r ) ⊃ s ) ) ∧ ( s ⊃ t ) ) ⊃ ∼ ( p ∧ ∼ t ) (7) ( ( ∼ p ⊃ ∼ q ) ⊃ ( r ⊃ s ) ) ≡ ( ∼ ( ∼ p ⊃ ∼ q ) ∨ ( r ⊃ s ) ) (8) ( ( p ∧ q ) ∨ r ) ≡ ( ( p ∨ q ) ∧ ∼ r ) (9) ( ( ∼1 p ∨ ∼ q ) ∧ ∼ r ) ≡ ( ( ∼ p ∧ ∼ q ) ∨ ∼ r )
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(10)
( ( p ∧ ∼q ) ⊃ ( r ∨ s ) ) ≡ ( ∼( r ∨ s ) ⊃ ∼( p ∧ ∼q )
8. MÉTODO DE IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA PARA DETERMINAR LA VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO El concepto de implicación tautológica nos permite dar una definición de razonamiento válido que está en la base del método de implicación tautológica para determinar la validez de cualquier razonamiento. La definición es la siguiente: Un razonamiento es válido si la CONJUNCIÓN de sus premisas IMPLICA TAUTOLÓGICAMENTE a su conclusión. De acuerdo con esta definición tienen que seguirse los pasos siguientes en el método que llamaremos IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA para probar si un razonamiento es válido o no. Primero, se abstrae la forma lógica del razonamiento en el lenguaje de la lógica proposicional. Segundo, se construye una implicación cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y su consecuente la conclusión. Tercero, determinamos mediante las tablas de verdad o el Método de Reducción al Absurdo si la implicación es tautológica. Cuarto, en el caso de que la implicación sea tautológica, se habrá probado, de acuerdo a la definición del razonamiento válido, que la forma del razonamiento es válida y, en consecuencia, el razonamiento también lo será. En el caso contrario el razonamiento no será válido. Veamos cómo se procede en la práctica. Determinemos si el siguiente razonamiento es o no válido. (a) Si sube la inflación, se deteriora la economía del país. En efecto, .sube de inflación. Por tanto, se deteriora la economía del país.
Primer paso: Abstracción de la forma lógica: p ⊃ q p ________ q
Premisa Premisa Conclusión.
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Segundo paso: Construcción de la implicación en la que el antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente la conclusión: ( ( p ⊃ q ) ∧ p ) ⊃ q Tercer paso: Determinar si la implicación anterior es una implicación tautológica: ( ( p ⊃ q ) ∧ p ) ⊃ q 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 Cuarto paso: La respuesta: el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisas implica tautológicamente a la conclusión. Veamos un segundo ejemplo. (b) Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la solución es un ácido. Si es ácido contiene hidrógeno. Luego, si el papel de tornasol se vuelve rojo, la solución contiene hidrogeno.
Primer paso: Abstracción de la forma lógica: p ⊃ q q ⊃ r ______ p ⊃ r Segundo paso: Construcción de la implicación en la que el antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente la conclusión: ( ( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ r ) ) ⊃ ( p ⊃ r ) Tercer paso: Determinar si la implicación anterior es tautológica: ( ( p 1 0 1 0 1 0 1 0
⊃ 1 1 0 1 1 1 0 1
q ) ∧ ( q ⊃ r ) ) ⊃ ( p ⊃ r ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
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Cuarto paso: La respuesta: el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisas implica tautológicamente a la conclusión.
Si has realizado todos los ejercicios anteriores y aclarado todas tus dudas, pasa entonces a resolver el siguiente Autoevaluativo, AUTOEVALUATIVO 7 I Determinar si las siguientes formas de razonamiento son válidas mediante el método de implicación tautológica.
1.1.
p ⊃ q P ∼r ⊃∼q P ____________________ p ⊃ r C
1.2.
p ⊃ (∼q ∧ ∼r) P q ∨ r P ____________________ ∼p C
1.3.
p ⊃∼q P ∼q ⊃ ∼r P ____________________ ∼r C
1.4.
(p ∨ q) ⊃ r P ∼r P ____________________ ∼p ∧ ∼q C
1.5.
p ⊃ q P p ∨ r P ∼r P ____________________ q C
1.6.
p ⊃ q P ∼p ∧r P ____________________ ∼(p ∨ ∼r) C
(p ∧ q) ⊃ ∼r P r P ____________________ ∼(p ∨ q) C
1.8.
1.7.
p ⊃ q P q ⊃ ∼r P r P ____________________ ∼p C
1.9.
(p ∨ q) ⊃ r P ____________________ ∼r ⊃ ∼( p ∨ q ) C
1.10. p ≡ q P ∼q P ____________________ p ∨ r C
138
II Determinar si los razonamientos de las págs. 25 y 26 son o no válidos (objetivo específico 7.4).
Antes de pasar al siguiente objetivo, deberás haber subsanado tus fallas con tu asesor
C. DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZ
OBJETIVO TERMINAL 8: Efectuar demostraciones formales de validez de razonamientos, dentro de la lógica profesional, aplicando las reglas de inferencia
Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 8.1. Dada una demostración formal justificar cada una de las líneas señalando, en cada casilla regla aplicada. 8.2. Dada la forma válida de un razonamiento demostrar la conclusión, a partir de las premisas, aplicando las reglas de inferencia. 8.3. Demostrar la validez de razonamientos dados en castellano, mediante el método demostrativo. 8.4. Conocidas las reglas de inferencia asignar contenidas a las variables proposicionales y construir los razonamientos válidos respectivos. 8.5. Dados razonamientos en el lenguaje natural, determinar si hay o no falacias formales, efectuando la prueba validez. Específicamente los casos del falso MPP y MTT.
l. DEMOSTRACIÓN La Lógica no sólo permite probar la validez de los razonamientos mediante el método de implicación tautológica, sino, también, demostrar la validez de los mismos con el llamado MÉTODO DEMOSTRATIVO. Se trata de demostrar la conclusión a partir de las premisas. La demostración de la conclusión de una forma válida de razonamiento es una sucesión finita de líneas (Ll, L2, L3......., Ln) de formas proposicionales de las cuales la última línea (Ln) es la conclusión y cada una de las anteriores son o bien premisas o bien formas proposicionales obtenidas de líneas anteriores mediante alguna regla de inferencia.
139
El método demostrativo se asemeja al juego de ajedrez. Para jugar ajedrez se requieren: a) un conjunto de piezas; b) lugares iniciales para cada pieza; c) un conjunto de reglas que permitan obtener nuevas posiciones a cada una de las piezas en su propósito de lograr el triunfo. En el método demostrativo, de manera análoga, se requieren: a) un conjunto de formas proposicionales; b) lugares iniciales para estas formas proposicionales; c) un conjunto de reglas que permitan obtener a partir de formas proposicionales anteriores, nuevas formas proposicionales en sus correspondientes líneas hasta llegar a la conclusión. Estas reglas reciben el nombre de REGLAS DE INFERENCIA. En consecuencia, es imprescindible aprender estas reglas antes de empezar el método demostrativo. Veamos, a modo de ejemplo, la demostración de la siguiente forma válida de razonamiento. Las reglas de inferencia que aparecen en la demostración se explican más adelante. Forma válida de razonamiento: p ⊃ q Premisa q ⊃ r Premisa r ⊃ s Premisa p ∨ t Premisa ∼s Premisa ∴t Conclusión Demostración: (1) p ⊃ q (2) q ⊃ r (3) r ⊃ s (4) p ∨ t (5) ~s (6) p ⊃ r (7) p ⊃ s (8) ~p (9) t
Premisa Premisa Premisa Premisa Premisa de (1) y (2) por Transitividad Implicativa. de (3) y (6) por Transitividad Implicativa. de (5) y (7) por Modus Tollendo Tollens. de (4) y (8) por Modus Tollendo Ponens.
Observa que en esta demostración están presentes los tres requisitos anotados: a) formas proposicionales (todas las líneas son formas preposicionales); b) lugares iniciales para esas formas proposicionales ( las líneas del 1 al 5); c) nuevas formas proposicionales obtenidas de líneas anteriores mediante la aplicación de alguna regla de inferencia, siendo la última línea ‘t’ que es precisamente la conclusión a la cual llegamos en un número finito de líneas. En la columna de la izquierda aparecen las premisas y las formas proposicionales que se deducen de ellas; en la de la derecha las reglas de inferencia usadas para obtener las nuevas líneas. Por REGLA DE INFERENCIA se entiende la forma lógica de un razonamiento válido elemental. Razonamiento elemental es aquel que no puede darse más simplificado. Veamos un ejemplo: Si Sócrates es filósofo, entonces reflexiona sobre la realidad.
140
En efecto, Sócrates es filósofo. _____________________________________________________ Por tanto, Sócrates reflexiona sobre la realidad! La forma lógica de este razonamiento válido y elemental es ésta: p ⊃ q p ________ q Esta forma de razonamiento constituye una regla de inferencia llamada Modus Ponendo Ponens (MPP). Las reglas de inferencia no siempre se presentan en varias líneas, como la anterior, algunas a veces se hace en una sola línea, separando las premisas con una coma ( , ) y precediendo la conclusión con tres puntos en forma triangular ( ∴ ). Por ejemplo, la regla de inferencia anterior en lugar de expresarse en tres líneas como se hizo, se puede hacer en una sola así: p ⊃ q, ∴ q A continuación aparece una lista de las principales reglas de inferencia. Para generalizar, las hemos expresado con variables sintácticas. REGLAS DE INFERENCIA 1. Modus Ponendo Ponens (MPP) 2. Modus Tollendo Tollens (MTT) 3. Transitividad Implicativa (TT) 4. Modus Tollendo Ponens (MTP) 5. Dilema Constructivo (DC) 6. Dilema Destructivo (DD) 7. Conjunción (Conj.) 8. Simplificación (S) 9. Adición (Ad)
ESQUEMAS A ⊃ B, A ∴ B A ⊃ B, ∼B ∴ ∼A A ⊃ B, B ⊃ C ∴ A ⊃ C A ∨ B, ∼A ∴ B (A ⊃ B) ∧ (C ⊃ D), A ∨ C ∴ B ∨ D (A ⊃ B) ∧ (C ⊃ D), ∼B ∨ ∼D ∴ ∼A ∼C A, B ∴ A ∧ B A∧B∴A A∴A∨B
Las diez reglas de inferencia restantes se basan en el PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN mediante el cual dos formas proposicionales lógicamente equivalentes pueden sustituirse mutuamente en todos los lugares en que aparezcan sin que cambie cl resultado. En ellas simplemente se expresará la equivalencia. 10. Conmutación (Conm.)
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A) (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
11. Asociación (Asoc.)
(A∧(B∧C))≡((A∧B)∧C) (A∨(B∨C))≡((A∨B)∨C) (A∧(B∨C))≡((A∧B)∨(A∧C)) (A∨(B∧C))≡((A∨B)∧(A∨C)) A ≡ ∼~ A ( A ⊃ B ) ≡ ( ~A ∨ B ) ( A ⊃ B ) ≡ ( ~B ⊃ ∼A )
12. Distribución (Dist.) 13. Doble Negación (DN) 14. Implicación Material (IM) 15. Contraposición (Cont.)
141
16. Equivalencia (Eq.) 17. Exportación (Exp.) 18. Tautología (Taut.) 19. Leyes de Morgan (LM)
(A≡B)≡((A⊃B)∧(B⊃A)) ((A∧B)⊃C)≡(A⊃(B⊃C)) A ≡ ( A ∨ A) ~( A ∧ B) ≡ ( ~A ∨ ~B ) ~( A ∨ B) ≡ ( ~A ∧ ~B )
No tenemos reglas mecánicas para la construcción de las demostraciones de validez de las formas de razonamiento. En este sentido, estas demostraciones difieren de las del método de implicación tautológica. En este caso, debemos pensar por dónde empezar y cómo proseguir hasta llegar a la conclusión. Con el fin de ejercitarnos en estas demostraciones procederemos a explicar detalladamente cada una de las reglas de inferencia, aplicándolas, al mismo tiempo, a formas válidas sencillas de razonamiento.
2. EXPLICACIÓN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA
2.1. Modus Ponendo Ponens (MPP) Esta regla dice que afirmando (ponendo) el antecedente de una implicación dada se afirma (ponens) su consecuente. Veamos un ejemplo: (a)Si los iones tienen carga eléctrica, entonces no son átomos; efectivamente, los iones tienen: carga eléctrica. Por tanto, los iones no son átomos. Forma lógica: p ⊃ q Premisa p Premisa _________________________ q Conclusión en la cual ‘p’ y ‘q’ son: p: Los iones tienen carga eléctrica. q: (Los iones) son átomos. Observa que la primera premisa es una implicación y la segunda su antecedente. Siempre que se dé esa circunstancia se obtiene como conclusión su consecuente. El nombre latino, Modus Ponendo Ponens, que sugiere la regla, quiere decir: el método por el cual afirmando (Ponendo) el antecedente, se afirma (Ponens) su consecuente. Para generalizar esta regla se expresa con variables sintácticas, obteniendo su ESQUEMA, así: A⊃B A B
Premisa: Implicación. Premisa: Afirmación del antecedente. Conclusión: Afirmación del Consecuente.
Resumiendo: Si en una línea tenemos una implicación, y en otra cualquiera su antecedente,
142
podemos obtener en otra línea más su consecuente. Veamos un ejemplo de demostración en el cual se emplea dos veces el Modus Ponendo Ponens. Sea la forma de razonamiento: p⊃q q⊃r p r
P R P C
Demostración: (1) (2) (3) (4) (5)
p ⊃q q⊃r p q r
P P P MPP (1) y (3) MPP (2) y (4)
La línea (4) se obtiene mediante la regla Modus Ponendo Ponens aplicada a 1 las líneas ( 1 ) y (3 ). La línea (5) se obtiene aplicando la misma regla a las líneas (2) y (4). La última línea (5) es la conclusión que había que demostrar.
2.2. Modus Tollendo Tollens (MTT) Esta regla dice que negando (tollendo) el consecuente de una implicación dada se niega (tollens) su antecedente. Esto es, si tenemos en una línea una implicación y en otra la negación de su consecuente, podemos obtener en otra línea distinta la negación de su antecedente. El esquema del Modus Tollendo Tollens será: A⊃B ~B ~A
Implicación. Negación del consecuente. Negación del antecedente.
Es sumamente importante que pases ahora a resolver los ejercicios. No debes seguir adelante hasta que todo este claro
EJERCICIOS Dadas las siguientes formas válidas de razonamiento demostrar la conclusión aplicando el Modus Ponendo Ponens y/o el Modus Tollendo Tollens. La conclusión aparece encabezando cada forma de razonamiento después de la palabra demostrar (objetivo específico 8.5). 1. Demostrar: ∼ ∼ p
(1) ∼ p ⊃ q
P
143
(2) q ⊃ r (3) ∼ r
P P
2. Demostrar: q (1) ∼ p ⊃ q (2) p ⊃ r (3) r ⊃ s (4) ∼ s
P P P P
3. Demostrar: ∼ p (1) ∼ p ⊃ ( q ∧ r ) (2) ( q ∧ r ) ⊃ s (3) s ⊃ t (4) ∼ t
P P P P
2.3. Transitividad Implicativa (TI) Si se nos dan dos implicaciones como:
4. Demostrar: ∼ ( p ∧ q ) (1) ( p ∧ q ) ⊃ w (2) r ⊃ ( s ∨ t ) (3) ( s ∨ t ) ⊃ n (4) ∼ n
P P P P
5. Demostrar: ∼ ( ( p ∧ q ) ∨ r ) (1) ( ( p ∧ q ) ∨ r ) ⊃ ∼ s P (2) ∼ s ⊃ t P (3) ∼ t P 6. Demostrar: ∼ t (1) ∼ p ⊃ ∼ q (2) ∼ q ⊃ ( r ⊃ ∼ t ) (3) ∼ p (4) r
P P P P
(1) p ⊃ q (2) q ⊃ r
en donde el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, entonces podemos inferir una nueva forma preposicional en la que el antecedente será el antecedente de la primera y el consecuente, el consecuente de la segunda, es decir: (3)p ⊃r Por tanto, el esquema de la Transitividad Implicativa es: A⊃B B⊃C ______ A⊃C Esta regla también se llama Silogismo Hipotético. 2.4. Modus Tollendo Ponens (MTP) Es el modo mediante el cual negando (tollendo) uno de los argumentos de una disyunción dada se afirma (ponens) el otro argumento. En términos lógicos se indican así los dos posibles casos de esta regla: Primer caso: A∨B ~A _______ B
Segundo caso: A∨B ~B ______ A
144
Por tanto, si en la demostración de una forma de razonamiento tiene en una línea una DISYUNCIÓN y en otra cualquiera la negación de uno de sus argumentos, se puede inferir una nueva línea que será el otro argumento. Esta regla también recibe el nombre Silogismo Disyuntivo.
Tal como has venido haciendo, resuelve los ejercicios propuestos EJERCICIOS Demostrar la conclusión de las siguientes formas válidas de razonamiento aplicando cualquiera de las reglas de inferencia estudiadas (objetivo específico 8.5).
1. Demostrar: s (1) p ⊃ q (2) p ⊃ r (3) ∼ r (4) p ∨ s
P P P P
4. Demostrar: n (1) (p ∨ q ) ⊃ ( r ⊃ ∼ t ) (2) p ∨ q (3) ∼ ∼ t (4) s ⊃ r (5) ∼ s ⊃ r
P P P P P
2. Demostrar: ∼ r (1) p ∨ ∼ q (2) ∼ q (3) ∼ p ⊃ ( r ⊃ t ) (4) ∼ t
P P P P
5. Demostrar: r ⊃ p (1) ( p ∨ q ) ∨ ( ( r ⊃ s ) ∨ t ) (2) ∼ ( p ∨ q ) (3) ∼ t (4) s ⊃ p
P P P P
3. Demostrar: q ⊃ s (1) p ∨ ( q ⊃ ∼ r ) (2) p ⊃ t (3) ∼ t (4) ∼ r ⊃ s
P P P P
6. Demostrar: ∼ q (1) p ⊃ ( q ⊃ r ) (2) p ∨ r (3) ∼ r
P P P
2.5. Regla de Simplificación (S) De una conjunción se puede inferir cualquiera de los argumentos. De la conjunción ‘p ∧ q’ se puede inferir ‘p’ o ‘q’. El esquema de la regla de Simplificación es: A∧B Conjunción ___________ A Primer argumento. B Segundo argumento.
145
2.6. Regla de Conjunción (Conj.) Es la operación opuesta a la de la Simplificación. Puedo unir, mediante la conjunción, varias formas proposicionales que hayan aparecido en alguna línea anterior de la demostración. Si en dos líneas de la demostración aparecen ‘p’ y ‘q’ puedo obtener una fila más con la conjunción, es decir, obtengo ‘p ∧ q’. Esquema de la regla de Simplificación A Forma proposicional cualquiera. B Forma proposicional cualquiera. A∧B Conjunción de las formas proposiciones anteriores. 2.7. Regla de Adición (Ad) De una forma proposicional cualquiera se puede inferir esa forma proposicional en disyunción con cualquiera otra. Este es su esquema: A _________ A∨B
Forma proposicional cualquiera. Disyunción de la forma proposicional anterior con otra cualquiera representada por B.
2.8. Dilema Constructivo (DC) El siguiente esquema: A⊃B R⊃S A∨R ______ B∨S corresponde a la regla de inferencia Dilema Constructivo (DC). Observa que en las premisas hay dos implicaciones con formas proposicionales distintas, una disyunción formada con los antecedentes de las dos implicaciones y la conclusión es la disyunción de los consecuentes de las dos implicaciones de las
2.9. Dilema Destructivo (DD) El siguiente esquema: A⊃B R⊃S ~B ∨ ~S _________ ~B ∨ ~R corresponde a la regla de inferencia Dilema Destructivo. En él las premisas están formadas por dos implicaciones con formas proposicionales distintas y con la disyunción de la negación de sus consecuentes, y la conclusión con la negación de los antecedentes de las mismas implicaciones de las premisas.
146
Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios, estos te ayudarán a reafirmar lo estudiado.
EJERCICIOS Demostrar la validez de las siguientes formas de razonamiento aplicando cualquiera de las reglas de inferencia estudiadas (objetivo específico 8.5).
1. Demostrar: q (1) p ⊃ q (2) p ∧ r
P P
2. Demostrar: ∼ q (1) p ∨ ( p ⊃ r ) (2) ∼ p ∧ ∼ r
P P
3. Demostrar: p ∨ q (1) p ⊃ q (2) p ∨ r (3) ∼ r
P P P
4. Demostrar: r ∧ ∼ s (1) p ∨ ∼ q (2) p ⊃ r (3) ∼ q ⊃ s (4) ∼ s
P P P P
5. Demostrar: ∼ p ∨ ∼ u (1) ∼ p ∨ q (2) ∼ r ∧ ∼ t (3) ∼ r ⊃ ∼ q (4) ∼ r
P P P P
6. Demostrar: ∼ t (1) p ⊃ ∼ q (2) ( p ⊃ r ) ⊃ ∼ s (3) ∼ q ⊃ ∼ r (4) t ⊃ s
P P P P
7. Demostrar: q ∨ s (1) p ⊃ q (2) r ⊃ t (3) t ⊃ s (4) p
P P P P
8. Demostrar: ∼ t (1) ( p ⊃ q ) ∧ ( r ⊃ s ) (2) ∼ q ∨ ∼ s (3) ∼ ∼ r (4) p ∨ ∼ t
P P P P
9. Demostrar: r (1) ((p ∧ ∼q) ⊃ r) ∧ (s ⊃ t) (2) ( p ∧ ∼ q ) ∨ s (3) t ⊃ u (4) ∼ u ∧ w
P P P P
10. Demostrar: ∼ u (1) ( ∼p ⊃ q ) ∧ ( ∼r ⊃ s )
P
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(2) ( q ∧ ∼∼s ) ⊃ ( t ∨ ∼ u) (3) ∼ p ∧ ∼ s (4) ( q ∧ ∼∼u ) ⊃ ( t ∨ ∼u ) (5) ∼ t
P P P P
2.10. Reglas de Inferencia por Sustitución Las diez siguientes reglas de inferencia, basadas en el principio o regla de sustitución, se aplican teniendo en cuenta que dos formas proposicionales lógicamente equivalentes pueden sustituirse mutuamente en cualquier parte que aparezcan sin que cambie el resultado. En el ejemplo siguiente se muestra la manera cómo se aplica cada una de estas reglas. Si , “( p ∨ q ) ≡ (q ∨ p )”, entonces “p ∨ q” puede sustituirse por “p ∨ q” y viceversa. A esta regla se le llama Conmutación de la Disyunción. En el ejemplo siguiente de demostración de una forma válida de razonamiento se muestra la manera cómo se aplica la regla anterior. Lo que se hace en este caso se puede hacer, cuando sea necesario, con cualquiera de las reglas de inferencia restantes por sustitución. Sea la forma válida de razonamiento: (p ∨ q) ⊃ ∼r q ∨ p _______________ ~r y su demostración ésta: (1) (p ∨ q) ⊃ ~r (2) q ∨ p (3) p ∨ q (4) r
P P Conm. 2 MPP 1, 3
Observe que la línea (3) se obtiene de la fila (2) aplicando la regla conmutativa, A ∨ B ≡ B ∨ A sustituyendo “q ∨ p” por su equivalente lógico “p ∨ q”. Sea la forma válida de razonamiento: ∼∼p ⊃ ( q ∧ r ) p _________________ r y su demostración la siguiente: (1) (2) (3) (4)
~~p ⊃ ( q ∧ r ) P p P p ⊃ ( q ∧ r ) DN 1 q ∧ r MPP 2 y 3
148
(5)
r
Simp. 4
Observa que (3) se ha obtenido aplicando la regla de doble negación en el antecedente de (1), es decir, las reglas de inferencia por sustitución, a diferencia de las otras, se pueden aplicar a toda la línea, como en el primer ejemplo, o parte de la. línea como en el ejemplo presente. Dado que con todas las reglas de inferencia por sustitución se trabaja de la misma manera es innecesario referirme a cada una de ellas particularmente, en la pág. (41 ) está la lista completa de esas reglas. Para reafirmar tus conocimientos resuelve los siguientes ejercicios EJERCICIOS I. Las siguientes son demostraciones formales de validez de formas de razonamientos. Justificar cada línea que no sea premisa. (objetivo específico 8.4). 1. Demostrar: p r (1) p ⊃ q (2) ∼ r ⊃ ∼ q (3) ∼ ∼ q ⊃ ∼ ∼ r (4) q ⊃ r (5) p ⊃ r
P P
2. Demostrar: ( r s ) t (1) p ∧ q P (2) ∼ r ⊃ ∼ ( s ∧ t ) P (3) ( q ∧ p ) ⊃ ( t ∧ s ) (4) ( p ∧ q ) ⊃ ( t ∧ s ) (5) t ∧ s (6) s ∧ t (7) ∼ ∼ ( s ∧ t ) (8) ∼ ∼ r (9) r ∧ ( s ∧ t ) (10) ( r ∧ s ) ∧ t 3. Demostrar: ( t q ) r (1) r ⊃ 1 t P (2) ∼ r ⊃ ∼ p P (3) t ∧ ∼ q P (4) ∼ ∼ t ⊃ ∼ r (5) t ⊃ ∼ r (6) t ⊃ ∼ p (7) t (8) ∼ p (9) ∼ ( ∼ t ∨ q ) (10) ∼ ( ∼ ∼ t ⊃ q ) (11) ∼ ( t ⊃ q ) (12) ∼ r
149
(13) ∼ ( t ⊃ q ) ∧ ∼ r 4. Demostrar: ( q r ) s (1) ( p ⊃ q ) ⊃ r P (2) ∼ r P (3) ∼ ( p ⊃ q ) (4) ∼ ( ∼ p ∨ q ) (5) ∼ ∼ p ∧ ∼ q (6) p ∧ ∼ q (7) ∼ q (8) ∼ q ∧ ∼ r (9) ( ∼ q ∧ ∼ r ) ∨ s 5. Demostrar: (1) p ∨ ( q ∧ r ) P (2) ( ∼ q ∨ r ) ∧ ( ∼ q ∨ ∼ p ) P (3) ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ r ) (4) p ∨ q (5) ∼ p ⊃ q (6) ∼q ∨ ∼ p (7) ∼ ∼ q ⊃ ∼ p (8) q ⊃ ∼ p (9) ( ∼ p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ ∼ p ) (10) ∼ p ≡ q 6. Demostrar: ( n r ) (1) ∼ s ⊃ ∼ ( p ∨ ∼ t ) (2) t ⊃ ( q ∧ r ) (3) ∼ s (4) ∼ ( p ∨ ∼ t ) (5) ∼ p ∧ ∼ ∼ t (6) ∼ p ∧ t (7) t (8) q ∧ r (9) r ∧ q (10) ( r ∧ q ) ∨ n (11) n ∨ ( r ∧ q ) (12) ( n ∨ r ) ∧ ( n ∨ q (13) n ∨ r (14) ∼ ( ∼ n ∧ ∼ r ) 7. Demostrar: q s (1) p ⊃ q (2) r ⊃ s (3) p ∨ r (4) q ∨ s (5) ∼ q ⊃ s
P P P
)
P P P
150
8. Demostrar: p t (1) r ⊃ ∼ s (2) ∼ r ⊃ ∼ p (3) s ∧ ∼ q (4) ∼ ∼ p ⊃ ∼ ∼∼ r (5) p ⊃ r (6) p ⊃ ∼ s (7) s (8) ∼ ∼ s (9) ∼ p (10) ∼ p ∨ t (11) ∼ ∼ p ⊃ t (12) p ⊃ t
P P P
9. Demostrar: t u (1) (p ⊃ q ) ⊃ ( r ⊃ s ) (2) ( t ⊃ p ) ∧ ( u ⊃ ∨ ) (3) ( u ⊃ q ) ∧ ( s ⊃ ∨ ) (4) ∼ r (5) ∼ r ∨ ∼ s (6) ∼ ( r ∧ s ) (7) ∼ ( p ∧ q ) (8) ∼ p ∨ ∼ q (9) t ⊃ p (10) u ⊃ q (11) ( ⊃ p ) ∧ ( u ⊃ q ) (12) ∼ t ∨ ∼ u (13) t ∨ ∼ u 10. Demostrar: ( s r ) (1) ( p ⊃ q ) ⊃ ( ∼ r ⊃ s ) (2) ∼ q ⊃ s (3) p ⊃ ∼ s (4) ∼ ∼ s ⊃ ∼ p (5) s ⊃ ∼ p (6) ∼ q ⊃ ∼ p (7) ∼ ∼ p ⊃ ∼ ∼ q (8) p ⊃ q (9) ∼ r ⊃ s (10) ∼ ∼ r ∨ s (11) r ∨ s (12) s ∨ r (13) ∼ ( ∼ s ∧ ∼ r )
P P P
P P P
II. Demuestre la validez de las siguientes formas de razonamiento mediante el método demostrativo, esto es, aplicando las reglas de inferencia (objetivo específico 8.5).
151
1. Demostrar: p r (1) p ⊃ q (2) ∼ r ⊃ ∼ q
P P
2. Demostrar: r ( s t ) (1) p ∧ q P (2) ∼ r ⊃ ∼ ( s ∧ t ) P (3) ( q ∧ p ) ⊃ ( t ∧ s ) P 3. Demostrar: ( s q ) r (1) r ⊃ ∼ s P (2) ∼ r ⊃ ∼ p P (3) s ∧ ∼ q P 4. Demostrar: ( q r ) s (1) ( p ⊃ q ) ⊃ r P (2) ∼ r P 5. Demostrar: r ( q r ) (1) s ⊃ ( q ∧ r ) P (2) ( p ⊃ r ) ⊃ s P (3) ∼ p ∨ n 6. Demostrar: ( n ( r q ) (1) ∼ s ⊃ ∼ ( p ∨ ∼ t ) P (2) t ⊃ ( q ∧ r ) P (3) ∼ s P 7. Demostrar: t u (1) (p ⊃ q ) ⊃ ( r ⊃ s ) (2) ( t ⊃ p ) ∧ ( u ⊃ ∨ ) (3) ( u ⊃ q ) ∧ ( s ⊃ ∨ ) (4) ∼ r
P P P P
8. Demostrar: r s (1) ( p ⊃ q ) ⊃ ( ∼ r ⊃ s ) (2) ∼ q ⊃ s (3) p ⊃ ∼ r
P P P
9. Demostrar: q s (1) p ⊃ q (2) r ⊃ s (3) ∼ p ⊃ ( ∼ r ⊃ t ) (4) ∼ t
P P P P
10. Demostrar: p (1) p ∨ ( q ∧ r )
P
152
(2) ∼ q ∨ ( r ∧ p )
P
11. Demostrar: ( p r ) ( p r ) (1) ( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ r ) P (2) (s ⊃ p ) ∧ ( r ⊃ s ) P 12. Demostrar: u (1) p ∧ ( q ∧ r ) P (2) ( p ∧ q ) ∧ ( s ∨ t ) P (3) p ⊃ ( t ⊃ ∼ q ) P (4) ( ∼ u ∨ ∼ q ) ∨ ∼ s P III. Demostrar la validez de los siguientes razonamientos mediante el método demostrativo (objetivo específico 8.6). (1) No se da el caso de que es culpable o no se arrepintió. Luego no es culpable. (2) Si el universo comenzó a expansionarse con el Big Bang hace cerca de trece mil millones de años, entonces en él no puede haber objetos de más de trece mil millones de años, ni tampoco puede haber fuentes que iluminen más allá de trece mil millones de años. Efectivamente, el universo empezó su expansión con el Big Bang; luego, ni hay objetos ni luces anteriores a trece mil millones de años. (3) Si un profesor no prepara responsablemente sus clases, es responsable de la mala preparación de los estudiantes; si prepara bien sus clases, tiene que dedicar tiempo extra para ello. O bien no prepara bien sus clases o bien lo hace. Por tanto o es responsable de la deficiente preparación de los estudiantes o tiene que dedicar tiempo extra a la preparación de las clases. (4) Sólo se puede exigir a los demás si uno cumple con sus responsabilidades. Sólo si uno cumple con sus responsabilidades puede esperar lo mismo de los demás. Él, en realidad, no espera que los demás cumplan sus deberes. En consecuencia, uno no cumple con sus responsabilidades. (5) La víctima tenía el dinero en su cartera sólo si el robo no fue el motivo del crimen. Ahora bien, el motivo del crimen fue el robo o la venganza. De hecho la víctima tenía el dinero en su cartera. Luego, la venganza fue el motivo del crimen. (6) Si es falso que va a aumentar la inflación y habrá pocas inversiones extranjeras, es falso también que el presupuesto nacional es deficitario. Pero, en realidad, el presupuesto nacional si es deficitario. Por consiguiente, aumentará la inflación y habrá pocas inversiones extranjeras. (7) Si la curvatura del espacio tridimensional es una esfera, entonces el universo es ilimitado y finito a la vez. Esto es lo mismo que afirmar que es falso que el universo sea ilimitado y finito a la vez o que la curvatura del espacio tridimensional del universo sea una esfera. (8) Si hay impunidad, aumenta la corrupción. Si el gobierno da el ejemplo, los ciudadanos se sienten motivados para cumplir sus deberes cívicos. O no aumenta la corrupción o los ciudadanos no se sientan motivados para cumplir sus deberes cívicos. Luego, es falso que haya impunidad y el gobierno dé el ejemplo. (9) Actuamos honestamente si, y sólo si hay una adecuación entre lo que pensamos y lo que hacemos. Si tiene lugar esto último aumenta nuestra autoestima. En realidad
153
nuestras actuaciones disminuyen nuestra autoestima. Luego no actuamos con honestidad. (10) Venezuela puede tener muchas naciones amigas, sólo si respeta su autodeterminación. No puede esperar que todos tengan el mismo sistema de gobierno, si se respeta su autodeterminación. Venezuela, en realidad tiene muchas naciones amigas. Luego, Venezuela no espera que todas las naciones tengan el mismo sistema de gobierno. (11) Sólo si un objeto es menos denso que el agua, flota en ella. O el objeto no es menos denso que el agua o puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su propio peso. Si desplaza una cantidad de agua igual a la de su propio peso, flotará en el agua. Por lo tanto, un objeto flotará en el agua si, y sólo si puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su propio peso.
3. CONSTRUCCIÓN DE RAZONAMIENTOS VALIDOS En este tiempo de las superautopistas de la comunicación, de los computadores que pueden "pensar lo impensable" es más necesario que nunca estar preparado y no sólo para detectar falacias y equivocaciones, sino para poder construir, con los inmensos datos que estarán a nuestro alcance, ese conjunto proposicional irrompible, interrelacionado monolíticamente que llamamos razonamiento. Para este cometido ninguna guía mejor que las reglas de inferencia. Todo razonamiento, no importa lo complejo que sea, que tenga la forma lógica de cualquier regla de inferencia siempre será válido. Luego, mediante, por ejemplo, la regla del MPP podemos construir razonamientos de diversa complejidad, desde el más simple cuya forma lógica sea: p ⊃ q p _____ q a otra más compleja, como los que tienen formas lógicas como ésta: ~(p ∨ q) ⊃ (r ∧ s) ~ ( p ∨ q) ______________________ r ∧ s Obviamente, para construir razonamientos tenemos que dar contenido a las formas lógicas de razonamiento, esto es, tenemos que sustituir las variables proposicionales por proposiciones. En el caso de las dos formas de razonamiento anteriores habrá un sin número de razonamientos, por cuanto las variables proposicionales pueden sustituirse por distintos contenidos proposicionales: contenidos de química, física, economía, política, de lo que ocurre diariamente, etc. Por esa, antes de construir los razonamientos, es preciso sustituir las variables proposicionales por las proposiciones que van a constituir su contenido. A modo de ejemplo, construiremos razonamientos con las formas lógicas de razonamiento a que nos estamos refiriendo. Para construir un razonamiento cuya forma sea el MPP:
154
p ⊃ q p _______ q
tenemos que dar contenido, como se ha dicho más arriba, a las variables proposicionales. Sea, pues: p: Se logra la descentralización en Venezuela. q: Se fortalece la democracia.
El razonamiento seria éste: Si se logra la descentralización en Venezuela, entonces se fortalece su democracia. Efectivamente, se está logrando la descentralización. Por tanto, se fortalece da democracia en Venezuela. Un razonamiento cuya forma lógica sea también el MPP: ~(p ∨ q) ⊃ (r ∧ s) ~ ( p ∨ q) _____________________ r ∧ s y sus variables proposicionales se sustituyan por las siguientes proposiciones: p: Hay inflación. q: Hay poca inversión extranjera. r: Habrá desarrollo económico. s: Se crearán nuevos empleos. sería éste: Si es falso que hay inflación o poca inversión extranjera, habrá un desarrollo económico sostenido y se crearán nuevos empleos. En efecto, es falso que hay inflación o poca inversión extranjera. Luego, habrá un desarrollo económico sostenido y se crearán nuevos empleos. Lo que hemos hecho con la regla del MPP se puede hacer con el resto de las reglas de inferencia.
En este momento, debes haber cubierto todas las etapas en el aprendizaje de este objetivo. El Autoevaluativo, te permitirá conocer hasta que punto lo has logrado. Por eso debes resolver, uno por uno cada ejercicio
155
AUTOEVALUATIVO 8 I. Construir un razonamiento con cada una de las reglas de inferencia asignando contenido a las variables proposicionales (objetivo específico 8.4). II. Dadas las siguientes formas válidas de razonamiento construir razonamientos asignando contenido a las variables proposicionales (objetivo 8.4). (8) ∼p ⊃ q ________ (1) ∼p ⊃ q ∼p p ∨ q ________ q (9) (p ∧ ∼q) ⊃ ∼r ________________ (2) ∼p ⊃ ∼q p ⊃ (∼q ⊃ ∼r) q _________ (10) p ≡ q p _____________________ ( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ p ) (3) p ⊃ ∼q ∼q ⊃ r ________ p ⊃ r (4)
p ⊃ ∼q r ⊃ ∼q q ∨ r ________ ∼q ∨ s
(5)
∼p ⊃ q r ⊃ s ∼q ∨ p _________ p ∨ ∼r
(6)
∼(p ∧ ∼q) ____________ ∼p ∨ q
(7)
∼p ⊃ q ________ ∼ q ⊃ p
156
Si todo esta resuelto, ¡Felicitaciones! y adelante... Si hay alguna duda, no dejes de acudir a tu asesor. Continua ahora con la unidad III
RESPUESTAS A. FORMAS LÓGICAS Ejercicios: Página 10 Proposiciones Extensionales y no Extensionales (1) Proposición no extensional. (4) Proposición no extensional. (6) Proposición extensional.
Ejercicios: Página 20 Lógica Proposicional (objetivo específico 6.2) (1) (a) Proposiciones simples y su representación: • Se logra una mayor conciencia cívica (p). • Se logra un mayor compromiso con la comunidad (q). • (Se logra) unos gobernantes honestos (r). • Los distintos problemas del país irán solucionándose poco a poco (s). • La democracia se podrá catalogar de eficiente (t). (b) Conectivos y Conectores: • Conectivo principal: si-entonces (⊃). • Conectivos en el antecedente: la coma (,) que equivale a y (∧), e y (∧) • Conectivos en el consecuente: y (∧).
157
(c) Forma proposicional: (p q r) (s t)
(4) (a) Forma típica de la proposición: Si podemos redactar con buen estilo y nos atrevemos a expresar por escrito nuestras ideas y convicciones, entonces leeremos buenos autores y observaremos el uso de los signos de puntuación. (b) Proposiciones simples y su representación: • Podemos redactar con buen estilo (p). • Nos atrevemos a expresar por escrito nuestras ideas y convicciones (q). • Leemos buenos autores (r). • Observamos el uso de los signos de puntuación (s). (c) Conectivos y Conectores: • Conectivo principal: si-entonces (⊃). • Conectivo en el antecedente: y (∧). (El segundo ‘y’ no es conectivo). • Conectivo en el consecuente: y (∧). (d) Forma proposicional: (p q) (r s) (7) (a) Proposiciones simples y su representación: • La humanidad logra viajar a una velocidad próxima a la luz del sol (p). • Se encuentra en el universo planetas semejantes a la tierra (q). • El sol podrá extinguirse (p). • La tierra (podrá) desaparecer (s). • La raza humana podrá seguir viviendo en el universo (t). (b) Conectivos y Conectores: • Conectivo principal: si-entonces (⊃). • Conectivos del antecedente: y (∧). • Conectivos del consecuente: dos y (∧). • (c) Forma proposicional: (p q) ((r s) t)
(15) (a) Forma típica de la proposición: Si entendemos la lógica, entonces no nos distraeremos en clase y no dejaremos de hacer los ejercicios del libro. (b) Proposiciones simples y su representación: • Entendemos la lógica (p). • Nos distraeremos en clase (q). • Dejamos de hacer los ejercicios (r). (c) Conectivos y Conectores: • Conectivo principal: si-entonces (⊃). • Conectivo del antecedente: ninguno. • Conectivo del consecuente: y (∧) y dos no (~). (d) Forma proposicional: p (~q ~r)
158
Ejercicios: Página 25 Lógica Proposicional (objetivo específico 6.3) (1) Sustitución de proposiciones por variables proposicionales: p: El profesor corrigió bien el trabajo. q: (El profesor) se equivocó al registrar la calificación. Forma lógica: p q Primera premisa p Segunda premisa __________ q Conclusión
(4) Sustitución de proposiciones por variables proposicionales: p: Con el nuevo presupuesto nacional aumentará la inflación. q: (Con cl nuevo presupuesto nacional aumentará) disminuirá el salario real. r: Habrá una explosión social. Forma lógica:
(~p ~q) ~r (p q) ___________________ r
Primera premisa Segunda premisa Conclusión
(7) Sustitución de proposiciones por variables proposicionales: p: Hay impunidad. q: Aumenta la corrupción de los políticos. r: Los políticos persiguen sus intereses personales. s: Nuestra democracia es una pseudodemocracia. Forma lógica: p q Primera premisa r s Segunda premisa ~ ( q s ) Tercera premisa ____________ q ~r Conclusión
(10) Sustitución de las proposiciones simples por variables proposicionales p: El primer argumento de una conjunción es falso. q: La conjunción como un todo es falsa. r: El segundo argumento es falso. Forma lógica: p q Primera premisa ____________ (p r) q Segunda premisa
(11) Sustitución de las proposiciones simples por variables proposicionales: p: Un razonamiento es válido. q: Las premisas son verdaderas. r: La conclusión es necesariamente verdadera. Forma lógica: r (p q) Primera premisa _____________
159
( ~ p ~ q) ~ r Conclusión
(15) Sustitución de las proposiciones simples por variables proposicionales: p: La descripción bíblica de la cosmogonía es estrictamente correcta. q: El sol fue creado el cuarto. r: (El sol) puede haber sido la causa de la sucesión del día y de la noche durante los tres primeros días. s: Las Escrituras usan la palabra `día' en un sentido diferente de la acepción corriente en la actualidad. Forma lógica: p ~q Primera premisa ~q ~r Segunda premisa t r Tercera premisa ___________ t ~p Conclusión.
B. PRUEBA DE VALIDEZ Ejercicios: Página 28 Valor de Verdad de Formas Proposicionales (1) l° 2° (p ⊃ ∼q) ∨ ∼r 0 1 01 1 10 Observación: los negadores, por afectar solo a una v.p., no han sido numerados. (5)
1° 2° 3° (~(~p ⊃ q) ∨ ~q) ⊃ ~p 0 1 0 1 1 0 01 l 10
(10)
1° 2° 3° 6° 5° 4° ( ( ( p ∨ q ) ⊃ r ) ∨ ~ r ) ⊃ ∼ (p ∨ q ) 0 0 1 1 0 1 10 1 1 0 1
Ejercicios Página 32 Tabla de Verdad (objetivo específico 7.3) (3) l° (~p 01 10 01 10
2° ∨ q) 1 1 1 1 0 0 1 0
4° ≡ (p 1 1 1 0 1 1 1 0
3° ⊃ q) 1 1 1 1 0 0 1 0
La forma proposicional es tautológica.
(6) 3° 1° 2° 6° 4° 5° ~ ( ( p ∧ ~ q ) ∨ ∼ r ) ⊃ ( ( p ∧ q) ⊃ ∼ r 1 1 0 01 0 01 0 1 1 1 0 01
Es una forma proposicional contingente.
160
1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0
01 0 10 1 10 0 01 1 01 1 10 1 10 1
01 1 01 1 01 1 10 1 10 1 10 1 10 1
0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1
01 01 01 10 10 10 10
Observación: Los negadores, cuyo alcance es sólo una variable proposicional, no han sido numerados. (8) 2° 1° 3° 4° 6° 5° ((~(p ∨ ~q) 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0
∧ 0 1 0 0 0 0 0 0
r) 1 1 1 1 0 0 0 0
⊃ 1 0 1 1 1 1 1 1
~r) 01 01 01 01 10 10 10 10
⊃ (p ∨ ∼q) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0
Forma proposicional contingente.
Ejercicios: Página 39 Método de Reducción al Absurdo (objetivo específico 7.3) (2)
( ( ( p ⊃ q ) ⊃ ~ r) ∧ r ) ⊃ ~ ( p ⊃ q ) 1 0 0 1 01 1 1 0 0 1 1 0
(10)(9)(11) (5) (8)(7) (2)(6) (1) (3)(12)(4) (13) En (4) hay una contradicción, luego la forma proposicional es tautológica. (3) ((p ⊃ q) ⊃ r) ≡ (~r ⊃ ~(p ⊃ q) l° Caso 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 l 0
(10)(9)(11) (2) (8) (1) (4)(6)(3) (5)(12)(7) (13) 2° Caso
l 1 0
0 0
0
10 1 1 1 0
0
(12)(4)(13) (2) (5) (1) (7)(6)(3) (8)(10)(9) (11)
En el primer caso en (7) hay contradicción, en el segundo en (4); luego, la forma proposicional es una tautología. (6)
(((p ⊃ (q ∧ r)) ∧ ((q ∧ r) ⊃ s)) ∧ (s ⊃ t)) ⊃ ~(p ∧ ∼t) l 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 l 0 1 0 0 0 1 1 1 0
161
(12)(6) (18)(17)(19) (4) (20)(16)(21)(7)(15) (3)(9) (8)(10)(11)
(2) (14)(5)(13)
(1)
En (16) hay una contradicción, por tanto la forma proposicional es tautológica.
(8)
((p ∧ q) ∨ r) ≡ ((p ∨ q) ∧ r) ler. caso: 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
(8) (7)(4) (2)(6) (1) (10)(4)(11) (3)(5) 2do. caso: 1 1 1
01
0
1 1 1
1 1
(8)(7)(9) (2)(6) (1) (10)(4)(11) (3)(5)
En el primer caso hay contradicción en (4), en el segundo en (2) pues sea verdadero o falso su primer argumento al tener el segundo verdadero la disyunción no puede ser falsa.
(10)
((p ∧ ∼q) ⊃ (r ∨ s) ≡ ∼(r ∨ s) ⊃ ∼(p ∧ ∼q) ler. caso: 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 (13)(l8)(14)(15) (2) (16)(19)(17) (1)(4) (7) (6) (8) (3) (5) (10)(9)(11)(12)
2do. caso: 1 1 1 0 0
0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0
(8) (4) (9)(10) (2) (6) (5) (7) (1) (18)(11)(13)(12) (3) (19)(14)(17)(15)(16)
En el primer caso hay contradicción en (2), en el segundo en (3); luego la forma proposicional es tautología.
AUTOEVALUATIVO 7: I PARTE página: 42
1.1. Primer paso: construcción de la implicación colocando como antecedente la confusión de las premisas y como consecuente la conclusión. ((p q) (r q)) (p r)
Segundo paso: determinar si la implicación anterior es tautología: ((p 1 0 1 0
⊃ 1 1 0 1
q) 1 1 0 0
∧ (∼r ⊃ ∼q)) 1 01 1 0 1 1 01 1 0 1 0 01 1 1 0 1 01 1 1 0
⊃ (p ⊃ r) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
162
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
10 10 10 10
0 0 1 1
0 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
Tercer paso: la respuesta; el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisas implica tautológicamente a la conclusión, luego el razonamiento es válido.
1.8. Primer paso: construcción de la implicación. (((p q) (q r)) r p Segundo paso: determinar si la implicación anterior es tautológica. (((p 1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 1 0 1
q) 1 1 0 0 1 1 0 0
(q r)) 0 1 0 01 0 1 0 01 0 0 1 01 1 0 1 01 1 1 1 10 1 1 1 10 0 0 1 10 1 0 1 10
0 0 0 1 0 0 0 0
r 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 l 1 1
p 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
Tercer paso: respuesta: la forma de razonamiento es válida porque la conjunción de las premisas implica tautológicamente a la conclusión. 1.10. Primer paso: construcción de la implicación: ((p q) q) (p r) Segundo paso: determinar si la implicación anterior es tautológica. ((p 1 0 1 0 1 0 1 0
≡ 1 0 0 1 1 0 0 1
q) 1 1 0 0 1 1 0 0
∧ 0 0 0 1 0 0 0 0
∼q) 01 01 10 10 01 01 10 10
⊃ (p ∨ r) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
Tercer paso: respuesta; la forma de razonamiento es valida porque la conjunción de las premisas implica tautológicamente la conclusión.
AUTOEVALUATIVO 7: PARTE II página: 48
163
2.- Primer paso: forma lógica. p (q r) ~r p . q Segundo paso: construcción de la implicación colocando como antecedente la conjunción de las premisas y como consecuente la conclusión. (p ⊃ ( q ∨ r ) ∧ ( ∼ r ∧ p ) ) ⊃ q Tercer paso: determinar si la implicación anterior es tautológica: (p 1 0 1 0 1 0 1 0
⊃ 1 1 1 1 1 1 0 1
(q 1 1 0 0 1 1 0 0
∨ 1 1 1 1 1 1 0 0
r) 1 1 1 1 0 0 0 0
∧ (∼r ∧ p)) 0 0l 0 1 0 01 0 0 0 01 0 1 0 01 0 0 1 10 1 1 0 10 0 0 1 10 1 1 0 10 0 0
⊃ 1 1 1 1 1 1 1 1
q 1 1 0 0 1 1 0 0
Cuarto paso: respuesta; el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisas implica tautológicamente a la conclusión.
4. Primer paso: forma lógica: (p q) r p q . r Segundo paso: construcción de la implicación colocando como antecedente la conjunción de las premisas y como consecuente la conclusión: ( ( ~ ( p ∧ q ) ⊃ ∼ r ) ∧ (p ∧ q ) ) ⊃ r Tercer paso: determinar si la implicación anterior es tautológica: ( ( ~ ( p ∧ q ) ⊃ ∼ r ) ∧ (p ∧ q ) ) ⊃ r 0 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 01 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 10 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 10 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 10 0 0 0 0 1 0
164
Cuarto paso: respuesta; el razonamiento no es válido porque la conjunción de las premisas no implica tautológicamente a la conclusión. 9. Primer paso: forma lógica: p (q r) r q . p Observación: Todavía puede tomar el avión es ‘q’. ( Luis) vendrá es ‘r’. Segundo paso: construcción de la implicación colocando como antecedente la conjunción de las premisas y como consecuente la conclusión. ((p ⊃ (q ⊃ r)) ∧ (~r ∧ q)) ⊃ ∼p Tercer paso: determinar si la implicación anterior es tautológica. ((p ⊃ (q ⊃ r)) ∧ (~r ∧ q)) ⊃ ∼p 1 1 1 1 1 0 01 0 1 1 01 0 1 1 1 1 0 01 0 1 1 10 1 1 0 1 1 0 01 0 0 1 01 0 1 0 1 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 0 0 0 10 1 1 1 01 0 1 1 0 0 1 10 1 1 1 10 1 1 0 1 0 0 10 0 0 1 01 0 1 0 1 0 0 10 0 0 1 10 Cuarto paso: respuesta; el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisas implica tautológicamente a la conclusión. 13. Primer paso: forma lógica: p (q r) (q r) s s t . (p t) Segundo paso: construcción de la implicación en la que el antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente la conclusión. (((p ⊃ (q ∧ r)) ∧ ((q ∧ r) ⊃ s)) ∧ (s ⊃ t)) ⊃ ∼(p ∧ ∼t) Tercer paso: determinar si la implicáción anterior es tautológica. En este caso, por tener 5 variables proposicionales, emplearemos el Método de Reducción al absurdo. (((p ⊃ (q ∧ r)) ∧ ((q ∧ r) ⊃ s)) ∧ (s ⊃ t)) ⊃ ∼(p ∧ ∼t) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 11 (12)(6) (18)(17)(19)
(4)
(20)(16)(21) (7) (15)
(2) (14)(5) (13) (1) (3) (9)(8) (10)(11)
Cuarto paso: respuesta: el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisas implica tautológicamente a la conclusión. C. DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZ Ejercicios: Página 48 MPP y MTT (objetivo específico 8.5) (1) Demostrar: ~ ~ p
165
1. 2. 3. 4. 5.
~p ⊃ q q ⊃ r ~r ~q ~~p
P P P MTT 2y3 MTT 1 y 4
(5) Demostrar: q l. ~ p ⊃ q P 2. p ⊃ r P 3. r ⊃ s P 4. ~ s P 5. ~ r MTT 3 y 4 6. ~ p MTT 2 y 5 7. q MPP 1 y 6 (6) Demostrar: ~t l. ~ p ⊃ ∼ q P 2. ~ q ⊃ ( r ⊃ ∼ t ) P 3. ~ p P 4. r P 5. ~ q MPP 1 y 4 6. r ⊃ ∼ t MPP 2 y 5 7. ~ t MPP 4 y 6 Ejercicios: Página 49 . Reglas de Inferencia (objetivo específico 8.5) (1) Demostrar: s 1. p ⊃ q P 2. q ⊃ r P 3. ~ r P 4. p ∨ s P 5. p ⊃ r TI 1 y 2 6. ~ p MTT 3 y 5 7. s MTP 4 y 6 (3) Demostrar: q s 1. p ∨ ( q ⊃ ∼ r ) P 2. p ⊃ t P 3. ~ t P 4. ~ r ⊃ s P 5. ~ p MTT 2 y 3 6. q ⊃ ∼ r MTP 1 y 5 7. q ⊃ s TI 7 y 4 (5) Demostrar: r p 1. (p ∨ q) ∨ ((r ⊃ s) ∨ t ) P 2. ~ ( p ∨ q) P 3. ~ t P 4. s ⊃ p P 5. (r ⊃ s ) ∨ t MTP 1 y 2 6. r ⊃ s MTP 3 y 5
166
7. r ⊃ p
TI 6 y 4
Ejercicios: Página 52 Reglas de inferencia (objetivo específico 8.5) (2) Demostrar: ~ q l. p ∨ ( q ⊃ r ) P 2. ~ p ∧ ∼ r P 3. ~ p Simp 2 4. q ⊃ r MTP 1 y 3 5. ~ r Simp 2 6. ~ q MTT 4 y 5 (6) Demostrar: ~ t 1. p ⊃ ∼ q P 2. ( p ⊃ ∼r ) ⊃ ∼ s P 3. ~ q ⊃ ∼ r P 4. t ⊃ s P 5. p ⊃ ∼r TI 1 y 3 6. ~ s MPP 2 y 5 7. ~ t MTT 4 y 6 (8) Demostrar: ~ t 1. ( ~ p ⊃ q ) ∧ ( ~ r ⊃ s ) P 2. ( q ∧ ~ ~ s ) ⊃ ( t ∨ ~ u ) P 3. ~ p ∧ ~ s P 4. ( q ∧ ~ ~ r ) ⊃ ( t ∨ ∼ u ) P 5. ~ t P 6. ~ p Simp 3 7. ~ s Simp 3 8. ~ p ⊃ q Simp 1 9. ~ r ⊃ s Simp 1 10. q MPP 6 y 8 11. ~ ~ r MTT 7 y 9 12. q ∧ ~ ~ r Conj10 y 11 13. t ∨ ~ u MPP4 y 12 14. ~ u MTP 5 y 13 Ejercicios: Página 57 Parte I. Demostraciones Formales de Validez (obj. específico 8.4) En la solución de estos ejercicios se procede de la misma manera que en los anteriores. Confronta tus respuestas con tus compañeros o con el asesor. Ejercicios: Página 57 Parte II. Método Demostrativo (objetivo específico 8.4) (2) Demostrar: r ( s t ) l. p ∧ q P 2. ~ r ⊃ ( s ∧ t ) P 3. ( q ∧ p ) ⊃ ( t ∧ s ) P 4. q ∧ p Conm 1 5. t ∧ s MPP 3 y 4 6. s ∧ t Conm 5 7. ~ ~ r MTT 2 y 6 8. r DN 7 9. r ∧ ( s ∧ t ) Conj 8 y 6
167
(6) Demostrar: ~ ( n ( ~ r ~ q ) ) 1. ~ s ⊃ ∼ ( p ∨ ∼ t ) P 2. t ⊃ ( q ∧ r ) P 3. ~ s P 4. ~ ( ~ p ∨ t) MPP l y 3 5. ~ ~ p ∧ ~ ~ t LM 4 6. p ∧ t DN 5 7. t Simp 6 8. q ∧ r MPP 2 y 7 9. r ∧ q Conm 8 10. ( r ∧ q ) ∨ ~ n Ad 9 11. ~ n ∨ ( r ∧ q) Conm 10 12. ~ ( n ∧ ∼ ( r ∧ q ) ) LM 11 13. ~ ( n ∧ (~ r ∨ ∼ q ) ) LM 12 (9) Demostrar: q s 1. p ⊃ q 2. r ⊃ s 3. ~ p ⊃ ( ~ r ⊃ t ) 4. ~ t 5. ( ~ p ∧ ∼ r ) ⊃ t 6. ~ ( ~ p ∧ ∼ r ) 7. ~ ~ p ∨ ∼ ∼ r 8. p ∨ ~ ~ r 9. p ∨ r 10. ( p ⊃ q ) ∧ ( r ⊃ s ) 11. q ∨ s
(10) Demostrar: p 1. p ∨ ( q ∧ r ) 2. ~ q ∨ ( r ∧ p ) 3. ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q) 4. p ∨ q 5. ~ ~ p ∨ q 6. ~ p ⊃ q 7. ( ∼ q ∨ r ) ∧ ( ~ q ∨ q ) 8. ( ~ q ∨ p ) ∧ ( ~ q ∨ r ) 9. ~ q ∨ p 10. q ⊃ p 11. ~ p ⊃ p 12. ~ ~ p ∨ p 13. p ∨ p 14. p
P P P P Exp 3 MTT 4 y 5 LM 6 DN 7 DN 7 Conj 1 y 2 DC 9 y 10
P P Dist 1 Simp3 DN 4 Imp 5 Dist 2 Conm 7 Simp 8 Simp 9 TI 6 y 10 Imp 11 DN 12
168
(11) Demostrar: ( ~ p ~ r ) ( ~ p r ) l. ( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ r ) P 2. ( s ⊃ p ) ∧ ( r ⊃ s ) P 3. p ⊃ q Simp 1 4. ( q ⊃ r ) ∧ ( p ⊃ q ) Conm 1 5. q ⊃ r Simp4 6. p ⊃ r TI 3 y 5 7. s ⊃ p Simp 2 8. ( r ⊃ s ) ∧ ( s ⊃ p ) Conm2 9. r ⊃ s Simp 8 10. r ⊃ p TI 7 y 9 11. ( p ⊃ r ) ∧ ( r ⊃ p) Conj 12. p ≡ r Eq 11 13. ( p ∧ r ) ∨ ( ~ p ∧ ~ r ) Eq 12 14. ~ ~ ( p ∧ r ) ∨ ( ~ p ∧ ~ r ) DN 13 15. ~ ( p ∧ r ) ⊃ ( ~ p ∧ ~ r ) Imp 14 16. ( ~ p ∨ ~ r ) ⊃ ( ~p ∧ ∼ r ) LM 15 (12) Demostrar: ~ u l. p ∧ ( q ∧ r ) 2. ( p ∧ q ) ∧ ( s ∨ t ) 3. p ⊃ ( t ⊃ ∼ q) 4. ( ~ u ∨ ~ q ) ∨ ∼ s 5. ( ( p ∧ q ) ∧ s ) ∨ ( p ∧ q ) ∧ t ) 6. p ⊃ ( ~ ~ q ⊃ ∼ t ) 7. p ⊃ ( q ⊃ ~ t ) 8. ( p ∧ q ) ⊃ ~ t 9 ~(p ∧ q) ∨ ~t 10. ~ ( ( p ∧ q ) ∧ t ) 11. ( ( p ∧ q ) ∧ t ) ∨ ( ( p ∧ q ) ∧ s) 12. ( p ∧ q ) ∧ s 13. p ∧ ( q ∧ s ) 14. ( q ∧ s ) ∧ p 15. q ∧ s 16. ~ u ∨ ( ~ q ∨ ~ s ) 17. ~ ~ ( q ∧ s ) 18. ~ ( ~ q ∨ ~ s ) 19. u ⊃ ( ~ q ∨ ~ s ) 20. ∼ u
P P P P Dist 2 Cont 3 DN 6 Exp 7 Imp 8 LM 9 Conm 5 MTP As 12 Conm 13 Símp 14 As 4 DN 15 LM l7 Cont 16 MTT 18 y 19
Ejercicios: Página 58 Parte III. Validez de Razonamiento (objetivo específico 8.6) (1) Forma lógica: ∼ (p ∨ q) ∼p Demostración:
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(1) ~ ( p ∨ q ) (2) ~ p ∧ ∼ q (3) ~ p
P LM 1 Simp 2
(5) Forma lógica: p ⊃ ∼ q q ∨ r p . r Demostración: (1) p ⊃ ∼ q P (2) q ∨ r P (3) p P (4) ~ q MPP 1 y 3 (5) r MTP 2 y 4 (8) Forma lógica : p ⊃ q r ⊃ s ~q ∨ ∼s . ~(p ∧ r) Demostración: (1) p ⊃ q (2) r ⊃ s (3) ~ q ∨ ∼ s (4) ~ p ∨ ∼ s (5) ~ (p ∧ s )
P P P DD l, 2 y 3 LM 4
(11) Forma lógica: q ⊃ p ~p ∨ r r ⊃ q . q ≡ r Demostración: (1) q ⊃ p (2) ~ p ∨ r (3) r ⊃ q (4) ~ ~ p ⊃ r (5) p ⊃ r (6) q ⊃ r (7) ( q ⊃ r ) ∧ ( q ⊃ q ) (8) q ≡ r
P P P Imp 2 DN 4 TI 1 y 5 Conj 6 y 3 Eq 7
AUTOEVALUATIVO 8: I PARTE página 62 (a) Razonamiento con forma lógica del MTT. p ⊃ q ~q . ~p Sean:
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p: El juez es honesto. q: La sociedad puede confiar en sus decisiones. Razonamiento: Si el juez es honesto, la sociedad puede confiar en sus decisiones. Sin embargo, la sociedad no confia en sus decisiones. Luego, el juez no es honesto. (b) Razonamiento en forma lógica del MTP. p ∨ q ~p . q Sean: p: Nos adaptamos a la era de la informática y del espacio. q: Seguimos anclados mental y tecnológicamente a la ya vieja era industrial. Razonamiento: O bien nos adaptamos a la era de la informática y del espacio o bien seguimos anclados mental y tecnológicamerlte en la ya vieja era industrial. Por distintos motivos no cambiamos para adaptarnos a la era informática y espacial. Luego, seguimos atados mental y tecnológicamente a la ya superada era industrial. (c) Razonamiento con forma lógica de MPP. (p ∧ q) ⊃ (~r ∧ ∼s) p ∧ q . ~r ∧ ~s Sean: p: La matemática es una ciencia formal. q: La lógica es una ciencia formal. r: Las proposiciones matemáticas tienen que ser contrastadas con el mundo exterior para verificar su verdad. s: Las proposiciones lógicas tienen que ser contrastadas con la realidad exterior para verificar su verdad. Razonamiento: Si la matemática y la lógica son ciencias formales, ni unas ni otras tienen que contrastarse con la realidad externa para verificar su verdad. No hay duda de que ambas ciencias .son formales. Luego, ninguna de sus proposiciones tienen que .ser contrastadas con la realidad para determinar su verdad. (d) Razonamiento con forma lógica Dilema Destructivo (DD). p ⊃ q r ⊃ s ~q ∨ ∼s . ∼p ∨ ∼r Sean: p: El juez aplica la ley. q: El juez administra correctamente la justicia. r: El juez actúa moralmente. s: Su conducta se rige por principios éticos.
171
Razonamiento: Si el juez aplica la ley, administra correctamente la justicia. Si, además, el juez es moral, su conducta se rige por principios éticos. Pero o bien el juez no administra correctamente la justicia o bien su conducta no se rige por principios éticos. Por tanto, o bien el juez no cumple con la Ley o bien no es moral. (e) Razonamiento en forma lógica de Exportación (Exp). ( p ∧ q) ⊃ r p ⊃ (q ⊃ r) Sean: p: Los valores humanos se conquistan. q: Los valores humanos son patrimonios de la humanidad. r: Hay que esforzarse para adquirir los valores humanos. Razonamiento: Si 1os valores humanos se conquistan y, además, son patrimonio de la humanidad, entonces los seres humanos tienen que esforzarse por adquirirlos. En consecuencia, los valores humanos se conquistan implica que si son patrimonio de la humanidad, los hombres tienen que luchar por lograrlos.
AUTOEVALUATIVO 8: II PARTE En la solución de estos ejercicios se procede de la misma manera que en los anteriores. Confronta tus respuestas con tus compañeros o con el asesor.
BIBLIOGRAFIA • • • • • • •
COPI, Irving M. Introducción a la Lógica. Edit. Universitaria de Buenos Aires, 6° Edición, 1968. 475 pp. DANN OBREGON, Ernesto. Lógica. Librería y Editorial S.A., 4° Edic. Santa Fé, Argentina. 535 pp. GAINZA, Jose Luis y otros. Lógica. Librería Gráficos de Cravajal, S.A., Cali Colombia, 289 pp. GARRIDO, Manuel. Lógica Simbólica. Editorial Tecnos, S.A. Madrid. FUCHS, Walter R. Los Padres Descubren 1a Nueva Lógica. Ediciones Omega, S.A., Barcelona, España, 1974. 279 pp. KUPPERMAN, Joel y ACKERMAN, W. Elementos de la Lógica Simbólica. Editorial Labor, S.A., Barcelona, 1973. LANGER, Susanne K. Introducción a la Lógica Simbólica. Siglo Veintiuno. Editores S.A., 2° Edición. Traductor: Francisco González Aramburen.
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CUADRO DESCRIPTIVO
UNIDAD
TEMA
OBJETIVOS TERMINALES 173
UNIDAD III: SILOGISTICA: ENFOQUE TRADICIONAL Y MODERNO
A. LÓGICA TRADICIONAL 9. Efectuar inferencias inmediatas derivadas del “Cuadro Tradicional de Oposición” e inferencias por conversión y obversión. 10. Construir, dadas las formas válidas de la primera figura del silogismo categórico, razonamientos válidos. B. PRUEBA DE VALIDEZ
C. LÓGICA PREDICADOS
11. Efectuar la prueba de validez de un razonamiento silogístico mediante los diagramas de Venn.
DE 12. Simbolizar, en el lenguaje de la lógica de los predicados, la forma lógica de los silogismos típicos y no típicos dados en castellano. 13. Efectuar demostraciones formales de validez de silogismos C.F.T. dentro de la lógica de predicados aplicando las reglas de inferencia.
ESQUEMA DE CONTENIDO
UNIDAD III. SILOGÍSTICA: ENFOQUE TRADICIONAL Y MODERNO
Cuadro Descriptivo Esquema de Contenido Introducción
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A. LÓGICA TRADICIONAL 1. INFERENCIAS INMEDIATAS 1.1. Proposiciones singulares y generales 1.2. Proposiciones Categóricas de Forma Típica 1 .3. Proposiciones Categóricas de Forma No Típica y su traducción a Forma Típica 1.4. El Cuadro Tradicional de Oposición 1.5. Otras Inferencias Inmediatas 1.5.1 . Inferencias por Conversión 1.5.2. Inferencias por Obversión 2. VALIDEZ DE LOS SILOGISMOS 2.1. Silogismos Categóricos de Forma Típica 2.2. Las 4 Figuras de Silogismo C.F.T. 2.3. Formas Válidas del Silogismo 2.4. Silogismos Categóricos de Forma No Típica 2.5. Construcción de Silogismos 2.6. Los Entimemas 2.7. El Sorites 2.8. El Dilema B. PRUEBA DE VALIDEZ 1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS (DIAGRAMA DE VENN) 2. PRUEBA DE VALIDEZ DE SILOGISMOS MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN C. LÓGICA DE PREDICADOS 1. SIMBOLIZACIÓN DE LAS PROPOSICIONES INTRODUCCIÓN 1.1. Simbolización de las Proposiciones Singulares 1.2. Simbolización de Proposiciones Generales de un Predicado 1.3. Simbolización de las Proposiciones Categóricas 1.4. Simbolización de Silogismos Categóricos de Forma Típica 1.5. Simbolización de Silogismos de Forma No Típica 2. MÉTODO DEMOSTRATIVO DE VALIDEZ Y REGLAS DE INFERENCIA INTRODUCCIÓN 2.1. Función Proposicional 2.2. Ejemplo de Sustitución 2.3. Valor de Verdad de las cuantificaciones de las Funciones Proposicionales 2.4. Reglas de Inferencia 2.4.1. Ejemplificación Universal (EU) 2.4.2. Generalización Universal (GU) 2.4.3. Ejemplificación Existencial (EE) 2.4.4. Generalización Existencial (GE) 2.5. Demostración de Validez
Respuestas Bibliografía Índice
175
INTRODUCCIÓN
La lógica proposicional sólo puede analizar formalmente de manera acabada aquellos razonamientos en cuya validez no desempeña ningún papel la estructura interna de las proposiciones que los componen. Y, sin embargo, hay razonamientos válidos que lo son, no en virtud de las conexiones externas sino en virtud de ciertas relaciones entre ciertos elementos internos de las proposiciones simples que los componen. Por eso, es preciso una lógica más potente que nos permita exhibir cumplidamente esos elementos internos de las proposiciones y, así, poder mostrar la forma lógica válida de ese tipo de razonamientos. El
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siguiente es un ejemplo de ese tipo de razonamientos cuya validez escapa a la lógica proposicional.
(a) Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Luego, Sócrates es mortal. Si encomendáramos a la lógica proposicional que nos proporcionara, la forma lógica de este razonamiento, nos proporcionaría, como sabemos, la siguiente: p q r
y así se daría el caso de que un razonamiento que, a la luz de la lógica “natural” y de la intuición es válido, no lo sería a la luz de la Lógica. Si la Lógica sólo contara con la lógica proposicional no le sería posible probar y demostrar la validez de razonamientos de este tipo. Pero no, la lógica dispone de otros recursos, tal como lo vamos a ver en la silogística y en la lógica de predicados.
Ya estarás ansioso por comenzar, así que pasamos, Enseguida, a desarrollar los contenidos ¡Buena Suerte!
A. LOGICA TRADICIONAL
l. INFERENCIAS lNMEDIATAS
OBJETIVO TERMINAL 9: Efectuar inferencias inmediatas derivadas del ‘cuadro tradicional de oposición’ e inferencias por conversión y obversión.
177
Para ello deberás lograr los siguientes objetivos específicos: 9.1. Clasificar una serie de proposiciones en singulares, particulares y universales. 9.2. Distinguir los elementos de esas proposiciones: individuos determinados e indeterminados, sujeto, predicado y cuantificadores. 9.3. Reconocer, en ejemplos dados, los esquemas de las distintas proposiciones categóricas (A, E, I, O ). Determinar, además, su calidad y cantidad. 9.4. A partir de una serie de proposiciones categóricas, efectuar las respectivas inferencias inmediatas derivadas del cuadro tradicional de oposición. 9.5. Asimismo, hacer las respectivas inferencias inmediatas por conversión y obversión.
1.1. Proposiciones Singulares y Generales Puesto que la validez de razonamientos, como el anotado más arriba, depende de las relaciones existentes entre ciertos elementos internos de las proposiciones que los componen, empezaremos por desarrollar procedimientos de análisis que nos permitan desvelar esos elementos internos. La segunda premisa del razonamiento anterior recibe el nombre de proposición singular. Afirma que el individuo Sócrates tiene el atributo de ser humano. ‘Sócrates’ es el término sujeto y ‘humano’ el término predicado. Luego, las proposiciones singulares son aquéllas en que se atribuye a uno o más individuos determinados una o más propiedades. Se consideran individuos no sólo a las personas sino también a cualquier otra cosa: estrellas, minerales, animales, ríos, países, etc. Las proposiciones “Todo es mortal” y “Alguno es humano” son proposiciones generales. Estas difieren de las proposiciones singulares en que no contienen nombres de individuos. En estas proposiciones se predica alguna cualidad de todos o de algunos individuos del universo del discurso, esto se refieren a individuos indeterminados. Por eso empiezan con palabras como: ‘todos’, ‘cualquiera’, ‘algunos’, ‘ninguna’ y algunos semejantes. Por universo del discurso o dominio entendemos, en forma general, el conjunto de individuos a que nos referimos.
1.2. Proposiciones Categóricas de Forma Típica La lógica tradicional se ocupó principalmente de la deducción de un tipo de razonamiento formado por proposiciones generales de un tipo especial llamadas Proposiciones Categóricas. Razonamientos como éste: (b)
Todo los filósofos son pensadores. Algunos griegos son filósofos. Luego, algunos griegos son pensadores.
178
Las tres proposiciones del razonamiento precedente son categóricas. Una proposición categórica es una proposición general acerca de dos clases indicando si una está o no total o parcialmente incluida en otra. Recordemos que una clase es una colección de individuos que tienen en común una propiedad específica. En las proposiciones categóricas, por referirse a clases, el sujeto y el predicado tienen que ser sustantivos. Sin embargo, dado que una propiedad determina una clase, consideraremos también proposiciones categóricas de forma típica a aquellas que tengan adjetivos o frases adjetivares como predicado. Las clases se pueden relacionar de tres formas, a saber, por: • • •
INCLUSIÓN: Si todo miembro de una clase ‘S’ es también miembro de otra clase ‘P’: “S está incluida en P”. INTERCEPCIÓN: Cuando algunos miembros de una clase ‘S’ son también miembros de otra ‘P’: “Algunos S son P”. EXCLUSIÓN: Cuando dos clases no tienen ningún miembro en común: “S no está incluida en P”.
Por su cantidad las proposiciones categóricas pueden ser universales y particulares. Las universales se refieren a todas los individuos de una clase, y, por eso, empiezan con las palabras ‘todos’ y ‘ninguno’ o sus equivalentes. Las particulares se refieren a algunos de los individuos de una clase, y, por eso, empiezan con el término ‘algunos’ o sus equivalentes. La palabra ‘algunos’ es un poco indeterminada. ¿Cuántos individuos significa? ¿uno, dos, tres, cien?. En lógica, aunque se aparte del uso ordinario la palabra ‘algunos’ significa al menos uno. Así, una proposición particular que esquemáticamente se escribe: Algún S es P se entiende que afirma que al menos un miembro de la clase designada por ‘S’ es también miembro de la clase designada por ‘P’. Los términos ‘todos’, ‘ninguno’, ‘algunos’ o sus equivalentes, por expresar la cantidad de individuos a que se refiere la proposición, reciben nombre de ‘Cuantificadores’. Los cuantificadores se dividen en Universales, como ‘todos’, ‘ninguno’, que se refieren a todos los individuos de una clase, y existenciales o particulares, como ‘alguno’, que se refiere a una parte de los individuos de una clase. Las proposiciones categóricas pueden ser también afirmativas y negativas. En ese sentido se dice que tienen cualidad. Además, entre los términos sujeto y predicado de toda proposición categórica de forma típica aparece el verbo ‘ser’ en algunos de sus tiempos. De tal manera que el esquema general de una proposición categórica de forma típica consta de cuatro partes: • El cuantificador, el término sujeto, la cópula (verbo ser), el término predicado. Combinando la cualidad y la cantidad tenemos cuatro tipos de proposiciones categóricas de forma típica: • Tipo A: Universal Afirmativa: Todo S es P: S está incluida en P. • Tipo E: Universal Negativa: Ningún S es P: S y P se excluyen entre sí. • Tipo I: Particular Afirmativa: Algún S es P: S y P tienen individuos comunes. • Tipo O: Particular Negativa: Algún S no es P: hay individuos no comunes a S y P.
179
Las letras A-I para las afirmativas proceden de las vocales de la palabra latina ‘affirmo’ (AFFIRMO); así mismo las letras E-O, de la palabra latina ‘negó’ (NEGÓ), para las negativas.
1.3. Proposiciones Categóricas de Forma No Típica y su Traducción a Forma Típica Además de las proposiciones A, E, I y O, hay otras proposiciones categóricas, más flexibles, no típicas. A continuación nos referiremos a algunas de éstas, explicando, además, la forma de traducirlas a proposiciones categóricas de forma típica. Un primer grupo de proposiciones categóricas de forma no típica es el que presenta como verbo principal a uno distinto del verbo ser. Por ejemplo, “Ningún alumno desea perder el año académico” y “Algunos mamíferos viven en el mar”. Para traducir estas proposiciones categóricas a la forma típica se sustituyen los verbos por una forma apropiada del verbo ser y los predicados por términos que designen las clases definidas por ellos. Así, los ejemplos anteriores adoptarían estas formas típicas de proposiciones categóricas: “Ningún alumno es una persona que desee perder el año académico” y “Algunos mamíferos son animales que viven en el mar”. Un segundo grupo son las que usan cuantificadores distintos a los de las proposiciones categóricas de forma típica: ‘todos’ , ‘ninguno’ y ‘algunos’. Tales son las proposiciones que contienen las palabras ‘cada’, ‘alguien’, ‘quien’, ‘aquel que’, ‘un’, ‘el’ y otros semejantes. En general, la cantidad expresada por estos cuantificadores está claramente determinada. En el caso de los artículos ‘un’ y ‘el’ es necesario tener en cuenta el contexto para determinar si se refieren a todos o a algunos de los individuos de la clase correspondiente. Así; “Un juez es abogado” quiere decir “Todo juez es abogado”; pero, “Un juez es calvo” evidentemente no se refiere a todos los jueces sino a uno sólo, y que, recordando que en Lógica “algunos” significa “al menos uno”, su traducción puede ser “Algunos jueces son calvos”. Otro grupo de proposiciones categóricas de forma no típica son las que contienen expresiones como ‘nadie más que’, ‘solamente’, ‘únicamente’. A éstas se les llama ‘exclusivas’ ya que, en general, afirman que la propiedad atribuida se refiere exclusivamente a los sujetos nombrados. Por ejemplo,
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“Sólo los alumnos presentes pueden realizar el examen” y “Nadie más que los estudiosos tienen éxito”, que se traducen respectivamente a forma típica así : “Todos los que pueden realizar el examen son los alumnos presentes" y “Todos lo que tienen éxito son personas estudiosas” Algunas proposiciones categóricas no contienen términos para indicar la cantidad, como por ejemplo, “Se permite entrar a los niños” y “Hay películas prohibidas”. La cantidad, en estos casos, sólo puede determinarse analizando el contexto en que se producen. Sin embargo, en ejemplos como los dados la cantidad es clara. El primero se refiere a todos los niños y el segundo a algunas películas. Sus traducciones a forma típica serían: “Todos los niños son seres que se les permite entrar” y “Algunas películas son prohibidas”. Hay proposiciones categóricas no típicas que expresan la cantidad de una manera más explícita que las de forma típica. Son las que utilizan cuantificadores numéricos o cuasinuméricos, como: ‘uno’, ‘dos’, ..., ‘muchos’, ‘la mayoría’, ‘bastantes’, ‘pocos’, etc. Para todos los propósitos relacionados con esta parte del programa, en toda proposición categórica en que aparezcan esos cuantificadores se traducirán todos con el cuantificador ‘algunos’. Así, las proposiciones: “Había un jugador en la discoteca”, “Había dos jugadores en la discoteca”, “Había muchos jugadores en la discoteca”, “Casi todos los jugadores estaban en la discoteca” y otras parecidas, se traducirán, a pesar de que no todos los cuantificadores indican la misma cantidad de individuos, como: “Algunos jugadores son personas que estaban en la discoteca”. Sin embargo, hay cuantificadores cuasi-numéricos más complejos que no pueden traducirse por ‘algunos’ como los ejemplos que preceden. Estos cuantificadores son, entre otros: ‘no todos’, ‘todos excepto unos pocos’, ‘casi todos’. Las proposiciones que tienen estos cuantificadores se llaman ‘exceptivas’, y hacen no una sino dos afirmaciones. Por ejemplo, en “Todos son elegibles excepto los jugadores” hay dos afirmaciones, a saber: la primera, “Todos los no jugadores son elegibles”,
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la segunda: “Ningún jugador es elegible”. Cada proposición exceptiva es, pues, compuesta y su traducción equivale a la conjunción de dos proposiciones categóricas de forma típica. El ejemplo dado se traduciría así: “Todos los no jugadores son elegibles y ningún jugador es elegible”. Aparte de las proposiciones anotadas hay otras que sólo en apariencia no son categóricas, como “Nadie puede estar al mismo tiempo en el campanario y en la procesión” o “No hay peces con pulmones”. En efecto, si los analizamos con cuidado nos percatamos que pueden traducirse respectivamente a las siguientes proposiciones categóricas de forma típica: “Ninguna persona que está en el campanario es una persona que está también en la procesión” y “Ningún pez es un animal con pulmones”. Como éstas hay un gran número de proposiciones que requieren una atención y un análisis especial para descubrir su estructura de una proposición categórica de forma típica.
A continuación aparecen unos ejercicios, si hace falta lee de nuevo el material para aclarar tus dudas. AVANZA..!
EJERCICIOS De las siguientes proposiciones categóricas: a) determinar si son o no de forma típica; b) en el caso de no serlo traducirlas a su forma típica; c) identificar los términos sujeto y predicado; d) clasificarlas atendiendo a su cantidad y cualidad. (1) Algunos libros escritos en arameo hace dos mil quinientos años son traducidos actualmente al castellano. (2) Un abogado graduado en la Universidad del Zulia es un profesional eficiente.
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(3) Ningún juez ha sido presionado en el veredicto. (4) Hay matemáticos famosos que han sido filósofos. (5) Nada nuevo hay bajo el sol. (6) Nadie que se precie a sí mismo se entrega al vicio. (7) Algunos países ricos no son moralmente desarrollados. (8) Los que siembras vientos cosechan tempestades. (9) La última guerra mundial fue sumamente cruel. (10) Ningún caballero engaña. (11) Hay empleados honestos. (12) Únicamente los alumnos regulares pueden presentar el examen. (13) No todos los alumnos entendieron la explicación. (14) No se discutió nada importante. (15) Sólo los médicos están autorizados para diagnosticar. (16) Casi todos los alumnos estuvieron presentes. (17) Solamente los ciudadanos mayores de dieciocho años pueden votar en las elecciones. (18) Un alumno del salón no entiende la explicación. (19) Un cáncer es normalmente curable. (20) Alguien de la clase puede no estar de acuerdo con la explicación del profesor. (21) Los errores de opinión pueden ser tolerados allí donde se deja a la razón la libertad de combatirlos. (22) No se puede ir al cine y a la playa al mismo tiempo. (23) El cobarde se envalentona con los débiles. (24) Al menos un testigo dijo la verdad. (25) Un hombre orgulloso no reconoce fácilmente sus errores. (26) Cada uno debe asumir sus responsabilidades. (27) No todo lo que brilla es oro. (28) Los estudiantes sólo pueden entrar con autorización a los laboratorios. (29) Muy pocos son los que han navegado todo el curso del Amazonas. (30) Digno de admiración es quien respeta al pobre.
1.4. El Cuadro Tradicional de Oposición Los lógicos medievales inventaron un gráfico donde quedaban visualizadas las relaciones de oposición de los cuatro tipos de proposiciones categóricas de forma típica en referencia a su cantidad y cualidad. A las proposiciones que, teniendo el mismo sujeto y predicado, difieren por su cantidad o cualidad o por ambas se dice que son OPUESTAS. En el cuadro tradicional de oposición suponemos la existencia de al menos un individuo en las clases respectivas. A excepción de los lógicos modernos, que se plantean la posibilidad de que haya clases vacías lo normal es que las clases definidas por las proposiciones categóricas contengan algún individuo. Por eso, consideraremos todas las inferencias que se pueden realizar en el cuadro tradicional de oposición en el que las clases nunca son vacías. Este gráfico se construye ubicando lo cuatro tipos de proposiciones A, E, I, O, en los vértices de un cuadrado, tal como se ilustra: las universales arriba, las particulares abajo; las afirmativas a la izquierda y las negativas a la derecha.
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GRÁFICO
A partir de este cuadro se pueden obtener fácilmente Inferencias Inmediatas. Hablamos de inferencias inmediatas cuando podemos pasar directamente de una sola premisa a la conclusión. Con ello sólo se presenta la misma proposición con una estructura diferente. Explicaremos ahora cada una de las relaciones de oposición basándonos en el cuadro de la oposición. (i) Proposiciones Contradictorias Cada una es la negación de la otra; por lo tanto, ambas no pueden ser verdaderas o falsas a la vez. Así de la verdad de una se infiere la falsedad de la otra: Si A es verdadera, O es falsa y viceversa. De una proposición categórica se infiere inmediatamente la negación de su contradictoria. Por ejemplo, de la proposición categórica: “Todo hombre es racional” (A) se infiere inmediatamente: “Es falso que algún hombre no es racional” (O) (ii) Proposiciones Contrarias Pueden ser ambas falsas, pero no ambas verdaderas. Por tanto, si A es verdadera se infiere que E es falsa, y, en consecuencia, de A se infiere inmediatamente la negación de E. Por ejemplo, si la proposición: “Todo hombre es racional” (A) es verdadera, de ella se infiere la proposición: “Es falso que ningún hombre es racional” Si A es falsa no se puede concluir de ella ninguna inferencia inmediata.
(iii) Proposiciones Subcontrarias Pueden ser ambas verdaderas, aunque no ambas falsas a la vez. Por lo tanto, si I es falsa, O es verdadera y viceversa. Si I es verdadera no se infiere de ella ni la verdad ni la falsedad de O, ni viceversa. (iv) Proposiciones Subalternas En ellas la verdad de la proposición superior implica la verdad de la inferior, pero no a la inversa; esto es, si A es verdadera, E también lo será; si E es verdadera I también es verdadera. De la falsedad de A y de E no se infiere ni la verdad ni la falsedad de sus respectivas proposiciones subalternas. Resumiendo: Teniendo en cuenta las relaciones del cuadrado de oposición tenemos que:
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•
Si A es verdadera se infiere que
E es falsa I es verdadera O es falsa
•
Si E es verdadera se infiere que
A es falsa I es falsa O es verdadera
•
Si I es verdadera se infiere que
E es falsa O es falsa
•
Si O es verdadera se infiere que
A es falsa I es falsa
•
Si A es falsa se infiere que
O es verdadera
•
Si E es falsa se infiere que
A es verdadera
•
Si I es falsa se infiere que
E es verdadera O es falsa
•
Si O es falsa se infiere que
A es verdadera I es verdadera
Como en un razonamiento se supone que las premisas son verdaderas, sólo nos interesan las inferencias inmediatas que se pueden dar en los cuatro primeros casos.
Antes de seguir adelante, revisa lo que has aprendido, resolviendo estos ejercicios
EJERCICIOS Con base en el Cuadro de Oposición, determina la inferencia inmediata por negación de la contradictoria de las siguientes proposiciones categóricas. (1) (2) (3) (4) (5)
Ningún ciego puede guiar a otro ciego. Algunos que se atrincheras en sus mentiras terminan por creerlas. Todo el que odia a su hermano es un asesino. Algunos que viven afanados no disfrutan de las cosas hermosas de la vida. Todos los que engañan a otros se engañan a sí mismos.
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1.5. Otras Inferencias Inmediatas Además de las inferencias inmediatas que se pueden dar en el Cuadro de la oposición, los lógicos, desde muy antiguo, se dedicaron a otros tipos de inferencias inmediatas a partir, también, de la proposiciones categóricas. De ellas nos ocupamos a continuación. 1.5.1. Inferencias por Conversión La conversión consiste en el simple intercambio de los términos ‘S’ y ‘P’ de una proposición categórica. Solamente son válidas las inferencias por conversión en las proposiciones ‘E’ e ‘I’. Así de la proposición E: “Ningún político es idealista” podemos inferir válidamente por conversión: (E) “Ningún idealista es político”. Igualmente de la proposición I: “Algunos líderes son buenos ciudadanos” inferimos válidamente por conversión: (Y) “Algunos buenos ciudadanos son líderes” podemos resumirlo así: PROPOSICIONES CATEGÓRICAS (A) Todo S es P (E) Ningún S es P (I) Algún S es P (O) Algún S no es P
PROPOSICIONES CONVERSAS (A) Todo P es S (no es una inferencia válida) (E) Ningún P es S (I) Algún P es S (O) Algún P no es S (no es una inferencia válida)
1.5.2. Inferencia por Obversión La obversión hace referencia a lo que, en lógica de clases, llamamos la clase complemento, la cual está conformada por todos los elementos que no pertenecen a la clase en cuestión. Así, por ejemplo, la clase complemento de ‘A’ son todos los elementos que no están en A (no-A); la clase complemento de ‘P’ es ‘no-P’ Veamos: De la proposición A: Todos los prestamistas son avaros podemos inferir válidamente por obversión: (E) Ningún prestamista es no-avaro.
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-
De la proposición O: Algunos árbitros no son honestos
inferimos válidamente por obversión: (I) Algunos árbitros son no honestos (deshonestos), en resumen: PROPOSICIONES CATEGÓRICAS (A) Todo S es P (E) Ningún S es P (I) Algún S es P (O) Algún S no es P
PROPOSICIONES CONVERSAS (E) Ningún S es no-P (A) Todo S es no-P (O) Algún S no es no-P (I) Algún S es no-P
Además de estas inferencias inmediatas, se habla también de conversión por accidente y contraposición, pero aquí no nos ocuparemos de ellas. Ahora a manera de conclusión presentamos un cuadro de resumen de las principales inferencias inmediatas. CUADRO RESUMEN DE LAS PRINCIPALES INFERENCIAS INMEDIATAS
PROPOSICIONE S CATEGÓRICAS
INFERENCIAS INMEDIATAS POR NEGACIÓN POR DE LA CONVERSIÓN CONTRADICTO RIA A: Todo S es P O: Es falso que A: Todo P es S (no algún S no es P es válida) E: Ningún S es P I: Es falso que E: Ningún P es S algún S es P I: Algún S es P E: Es falso que I: Algún P es S ningún S es P O: Algún S no es A: Es falso que O: Algún P no es P todo S es P S (no es válida)
POR OBVERSIÓN
E: Ningún S es noP A: Todo S es no-P O: Algún S no es no-P I: Algún S es no-P
Antes de pasar al siguiente objetivo, deberás Consultar las dudas con tu asesor
AUTOEVALUATIVO 9 Para este ejercicio se requiere que sepas identificar una proposición categórica, determinar los términos S y P, construir su esquema y clasificarlas.
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Lo que te pedimos ahora es que, dada una proposición, puedas efectuar las inferencias inmediatas que hemos estudiado. Para ello te puedes ayudar con el cuadro anterior. En la prueba parcial se te pedirá realizar ejercicios semejantes. (1) Todos los poetas son soñadores. (2) Hay matemáticos famosos que han sido filósofos. (3) Nada nuevo hay bajo el sol. (4) Existen monarquías que funcionan mejor que las democracias. (5) Nadie que se precie a sí mismo se entrega al vicio. (6) Algunos países ricos no son moralmente desarrollados. (7) Los que siembran vientos cosechan tempestades.
Continúa con el estudio… Avanza.
2. VALIDEZ DEL SILOGISMO CATEGÓRICO OBJETIVO TERMINAL 10: Construir dadas las formas válidas de la primera figura del silogismo categórico, razonamientos válidos.
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Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 10.1. Conocidos los modos y figuras del silogismo categórico de forma típica , el estudiante indicará en una serie de ejemplos dadas las figuras y el modo de cada uno. 10.2. Dada una serie de silogismos categóricos, el estudiante determinará cuáles son válidos o no recurriendo al inventario de formas válidas del silogismo categórico de forma típica. 10.3. Dadas las formas válidas de la primera figura del silogismo categórico, el estudiante construirá razonamientos válidos. 10.4. Dada una serie de entimemas y sorites el estudiante determinará cuáles son válidos o no recurriendo al inventario de formas válidas del silogismo categórico de forma típica. 10.5. Dado una serie de dilemas el estudiante refutará cada uno de ello.
2.1. Silogismos Categóricos de Forma Típica. Como ya señalamos en los objetivos anteriores, la lógica tradicional se ocupó de un tipo especial de proposiciones generales, llamadas Proposiciones Categóricas (Obj. 13). A partir de ellas se puede construir un tipo especial de razonamiento llamado Silogismo Categórico. Aquí nos ocuparemos del Silogismo Categórico de Forma Típica. Este consta de dos premisas y una conclusión (todas proposiciones categóricas). Conclusión; y una Premisa Menor que contiene el término ‘S’ (Sujeto) de la conclusión. El término ‘M’ será el que se repite en las dos premisas. Según esto podemos precisar sus características: • • •
Sólo admite proposiciones categóricas. Sólo contiene tres términos ‘S’, ‘P’, y ‘M’. La Premisa Mayor va primero, seguida de la Premisa Menor y por último la Conclusión.
Veamos un ejemplo: Algunos intelectuales son distraídos. Todos los filósofos son intelectuales Algunos filósofos son distraídos. El término ‘S’ (sujeto) de la conclusión: ‘filósofos’ es el término menor, por eso la premisa en la cual aparece, es la Premisa Menor. El término ‘P’ (predicado) de la conclusión ‘distraídos’ es el término mayor, y así la premisa donde aparece, es la Premisa Mayor. Por último, el término ‘M’ (medio) es el que se repite en las premisas y no puede aparecer en la conclusión; en este caso es ‘intelectuales’. De tal modo que el esquema o figura de este silogismo será:
Algunos M son P
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Todos los S son M Algunos S son P o mejor:
Algún M es P Todo S es M Algún S es P
Y clasificando las proposiciones por su cantidad: (Tipo I) M – P (Tipo A) S – M (Tipo I) I – P
(Premisa Mayor) (Premisa Menor) (Conclusión)
Este es un Silogismo Categórico de Forma Típica (en lo sucesivo Silogismo C.F.T). Ahora observemos atentamente: el esquema resulta de enunciar el tipo de cada proposición, lo llamamos modo de Silogismo. En nuestro caso: IAI quedando claro que el orden: Premisa Mayor - Premisa Menor - Conclusión. Por otra parte, el esquema que resulta de relacionar la posición de los términos ‘S’ y ‘P’ en el Silogismo lo llamamos figura del Silogismo. En nuestro ejemplo: M–P S-M S-P Siempre la conclusión será S - P; las variaciones posibles se darán, pues, solamente en las premisas. Así pues, es un Silogismo Categórico de Forma Típica (C.F.T) podemos determinar su modo y figura. Tomemos otro ejemplo: Ningún acróbata sufre de mareos Todas las embarazadas sufren de mareos Ninguna embarazada es acróbata. Su esquema es: Ningún P es M Todo S es M Ningún S es P. Su modo será: EAE Su figura: P - M S-M S-P Hay que hacer notar que: • Distintos silogismos pueden tener el mismo modo y distinta figura y la misma figura y distinto modo.
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•
Todos los silogismos categóricos que no tengan forma típica, pueden ser convertidos a la forma típica colocando de primero la Premisa Mayor.
Una vez que hayas realizado los ejercicios y aclarado tus dudas con en profesor, pasa al siguiente punto. Sigue adelante… EJERCICIOS A. Determinar el modo y la figura de los siguientes silogismos (objetivo 10.1) (1) Todas las fiestas religiosas son feriados bancarios y algunas fiestas religiosas son fiestas religiosas que no caen en días laborables; por lo cual, algunos feriados bancarios son feriados bancarios que no caen en días laborables. (2) Todos los aviadores son arriesgados y ninguna persona temerosa es arriesgada. Así, pues, ninguna persona temerosa es aviador. (3) Todos los planetas son cuerpos que giran alrededor del sol; pero algunos cuerpos celestes son planetas. Por ende, algunos cuerpos celestes son cuerpos que giran alrededor del sol. B. Construye en castellano dos Silogismos C.F.T: con el mismo modo y distinta figura y dos con la misma figura y distinto modo.
2.2. Las 4 Figuras del Silogismo C.F.T. Cuando queremos expresar la forma lógica de un Silogismo, a la manera de la lógica tradicional, debemos, pues, indicar su Modo y su Figura. Si hacemos un inventario de las posibles figuras que puede adoptar un Silogismo C.F.T., encontraremos cuatro diferentes figuras:
PRIMERA FIGURA M-P S-M S-P
SEGUNDA FIGURA P–M S–M S–P
TERCERA FIGURA M-P M-S S-P
CUARTA FIGURA P-M M-S S-P
Todas las demás posibles figuras se pueden reducir a una de éstas, como ya dijimos, simplemente colocando de primero la Premisa Mayor. A manera de práctica determina la forma de los silogismos que han aparecido en el modulo de ejercicios anterior. La forma del ejercicio. (A1) sería: OAO-3. Realiza tú las otras… 2.3. Formas Válidas del Silogismo CFT Ahora bien, si combinásemos todos los modos posibles con las cuatro figuras, obtendríamos 256 formas distintas de Silogismos CFT.
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Sin embargo, todas estas formas no son razonamientos válidos, que es lo que en verdad le interesa a la lógica formal. Por este motivo, los lógicos antiguos y, sobre todo, los escolásticos se dedicaron a enunciar reglas para la formulación de Silogismos válidos. Con ellas, después de analizar las antedichas 256 formas, llegaron a formular un reducido grupo de formas válidas distribuidas según su modo y su figura. Esto les permite determinar rápidamente la validez de cualquier silogismo dado, simplemente comparando con el inventario de formas válidas. Nosotros aquí, para hacerlo más sencillo, las presentaremos en un cuadro con las palabras mnemotécnicas que ellos mismos inventaron a fin de poder recordarlas con mayor facilidad. Estas palabras que hemos colocado entre paréntesis (Barbara, Celarent,…) son los nombres tradicionales de las formas válidas del Silogismo CFT Las vocales que contienen indican el modo: así, por ejemplo, Bárbara → AAA; Fresison: EIO. También quedó señalada la figura: como podemos observar Darii pertenece a la primera figura, de manera que su Modo y Figura son: AII-1. Las consonantes de estos nombres indican, diversas reglas y operaciones que permiten convertir (pasar a) en una forma de la 1° figura, cualquiera de las otras formas restantes. Sin embargo, para el objetivo que nos ocupa, sólo nos interesa conocer los modos válidos de cada figura, como en el cuadro. FIGURAS FIGURAS
PRIMERA FIGURA M–P S–M S–P
M O D O S
AAA (BARBARA)
EAE (CELARENT) AII (DARII) EIO (FERIO)
SEGUNDA FIGURA
TERCERA FIGURA
CUARTA FIGURA
P–M S–M S–P
M–P M–S S–P
P–M M–S S–P
EAE (CESARE) AEE (CAMESTRES) EIO ((FESTINO) AOO (BAROCO)
AII (DARAPTI) IAI (DISAMIS) AII (DATISI) EAO (FELAPTON) OAO (BOCARDO) EIO (FERISON)
AII (BAMALIP) AEE (CAMESTES) EAO (FRESAPNO) EIO (FRESINON) IAI (DIMATIS9
Ahora ilustraremos, con un ejemplo, cómo vamos a usar el cuadro para determinar la validez o no validez de un silogismo CFT Tomemos el siguiente Silogismo: Ningún habitante de otro planeta es humano. Todo humano es racional. Algún racional no es habitante de otro planeta. Su esquema o forma es:
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Ningún P es M Todo M es S Algún S no es P Como hicimos anteriormente, su modo y figura son: EAO-4Si nos remitimos al cuadro vemos que el modo EAO está entre las formas válidas de la 4° figura. Por lo tanto, el Silogismo es válido. Como ves, es sumamente sencillo.
Resuelve los ejercicios que te presentemos y luego compara tus respuestas. De esa manera irás progresando paso a paso EJERCICIOS Determinar la validez o no-validez de los siguientes silogismos CFT recurriendo al inventario de sus formas válidas (objetivo 10.2) (1) Ningún deshonesto es confiable, todo mentiroso es deshonesto; por tanto, ningún mentiroso es confiable. (2) Ningún hombre es eterno y algunos políticos son hombres; así, afortunadamente, ningún político es eterno. (3) Todo ser perecedero es un ser que ha tenido principio y todos los seres son seres perecederos; así pues, todos los seres son seres que han tenido principio. (4) Todo fanático es una persona de mente estrecha y algunos fanáticos son militantes de los partidos, en consecuencia, algunos militantes de los partidos son personas de mente estrecha. (5) Todas las personas que carecen de autoestima son personas que se irrespetan a sí mismas y todas las personas que se copian en los exámenes son personas que carecen de autoestima; por tanto, todos los alumnos que se copian en los exámenes son personas que se irrespetan a sí mismas. (6) Todas las personas que temen son personas carentes de amor. Todas las personas que carecen de amor son egoístas. Por tanto, algunos egoístas son personas que temen. (7) Todos los maestros son personas que forman alumnos responsables. Algunos libros son nuestros maestros. Luego, algunos libros son medios que forman alumnos responsables. (8) Todo trabajo es motor de progreso. Todos los ciudadanos responsables son personas que son motores del progreso. Por tanto, todos los ciudadanos responsables son personas que realizan un trabajo. (9) Todas las personas responsables son personas que se deben imitar. Ningún perezoso es una persona que se deba respetar.
2.4. Silogismos Categóricos de Forma No Típica
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En la argumentación ordinaria los silogismos categóricos adquieren aspectos tan variados que raramente se expresan en forma típica. Los silogismos categóricos de forma no típica presentan, al menos, una de las tres situaciones siguientes: primera, alguna de sus proposiciones (premisas o conclusión) son de forma no típica; segunda, las premisas no están debidamente ordenadas; tercera aparentemente, sus proposiciones contienen más de tres términos. Veamos un ejemplo de cada uno de los casos y su traducción a silogismos C.F.P. Primer caso: Sólo los fanáticos son personas irreflexivas. Algún profesor es irreflexivo. Por tanto, algún profesor es fanático. Este silogismo categórico no es de forma típica porque la premisa mayor no lo es. Traduciendo ésta a su forma típica tendremos un silogismos CFT, así: Todas las personas irreflexivas son fanáticos Algún profesor es irreflexivo Por tanto, algún profesor es fanático. Su estructura:
Todo M es P Algún S es M Algún S es P
Modo y figura: AII-1 Corresponde a la forma DARII, luego es válido. Segundo caso: Ningún reformador es persona insincera. Todas las personas hipócritas son personas insinceras. Luego, ningún reformador es persona hipócrita. Este silogismo categórico es de forma no típica porque el orden en que aparecen las premisas (mayor y menor) no es el que corresponde a un silogismo CFT. Expresado en forma típica quedaría así: Todas las personas hipócritas son personas insinceras. Ningún reformador es persona insincera. Luego, ningún reformador es persona hipócrita. Su estructura:
Todo P es M Ningún S es M Ningún S es P
Modo y figura: AEE-2, que corresponde a la forma CAMESTRES, y, por tanto, es válido. Tercer caso: Ningún dogma es cosa inocua. Todos las ideologías son dogmas Por tanto, toda ideología es cosa dañina
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Es un silogismo de forma no típica porque tiene, al menos aparentemente, cuatro términos: ‘dogma’, ‘inocua’, ‘ideologías’, y ‘dañina’. Para traducirlo a un silogismo CFT tenemos que recordar que ‘inocuo’ quiere decir ‘no-dañino’, de tal manera que la premisa mayor sería: ‘Ningún dogma es cosa no-dañina’. Sin embargo, a pesar del cambio el silogismo seguiría teniendo cuatro términos y habríamos adelantado muy poco. No obstante, por inferencia de obversión esta premisa equivale a : ‘Todos los dogmas son dañinos’. De esta manera los términos ahora son solamente tres, y el silogismo CFT es éste: Todos los dogmas son cosas dañinas. Todas las ideologías son dogmas. Luego, todas las ideologías son cosas dañinas. Su estructura:
Todo M es P Todo S es M Todo S es P
Modo y figura: AAA-1, que corresponde a la forma BARBARA, y, en consecuencia, es válido. Hay silogismos categóricos de forma no típica cuyas proposiciones constituyentes pueden contener hasta media docena de términos aparentemente diferentes, pero que, mediante inferencias inmediatas de obversión y conversión, pueden reducirse a tres y, así, lograr un silogismo CFT. Veamos un silogismo categórico válido con seis aparentes distintos términos. Ningún no-sabio es filósofo. Todos los no-filósofos son no pensadores. Por tanto, todos los pensadores son sabios. Estos son los cinco términos: ‘no sabio’, ‘filósofo’, ‘no-filósofos’, ‘no-pensadores’ y ‘pensadores’. Para pasar este razonamiento a un silogismo CFT tenemos que reducir los términos a tres. Para ello aplicaremos a las premisas las inferencias por conversión y obversión. A la primera premisa (la mayor) se le aplica primero la conversión y, luego, la obversión, así: Ningún filósofo es no-sabio (conversión). Todo filósofo es sabio (obversión). A la segunda premisa (la menor) se le aplica, primero, la obversión; segundo, la conversión; y tercero, la obversión nuevamente. De esta manera: Ningún no-filósofo es pensador (obversión). Ningún pensador es no-filósofo (conversión). Todo pensador es filósofo (obversión). El resultado es el siguiente silogismo CFT. Todos los filósofos son sabios. Todos los pensadores son filósofos. Por tanto, todos los pensadores son sabios.
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Su estructura:
Todo M es P Todo S es M Todo S es P
Modo y figura: AAA-1, que corresponde a la forma BARBARA, y , por ende , es válido. Pasa, ahora, a resolver los ejercicios y confronta tus respuestas EJERCICIOS Traducir cada una de los siguientes silogismos a forma típica, y determinar si son o no válidos recurriendo al inventario de formas válidas del silogismo CFT (objetivo 10.2) (1) Algunos filósofos son distraídos, pues los filósofos son intelectuales y algunos intelectuales son distraídos. (2) Los escritores son creativos y ningún escritor es perezoso, luego ninguna persona perezosa es creativa. (3) Los sabios son personas humildes, así como las personas ponderadas también son sabios; en consecuencia, las personas ponderadas son humildes. (4) Todas las soluciones son mezclas y ninguna mezcla es no-combinación de sustancias; luego, las soluciones son combinaciones de sustancias. (5) Los empresarios no se empobrecen por pagar impuestos, puesto que los empresarios son millonarios y ningún millonario se empobrece por pagar impuestos. (6) Algunos ciudadanos no respetan las opiniones ajenas y ningún demócrata es norespetuosos de las opiniones ajenas; en consecuencia, algunos ciudadanos no son demócratas. (7) Los animales domésticos ayudan a sus dueños, pues los objetos que ayudan asus dueños son útiles y los animales domésticos son útiles. (8) Algún abogado no forma parte de la directiva, puesto que todos los miembros del equipo son abogados y algún miembro del equipo no forma parte de la directiva. (9) Ninguna cosa barata adorna bien la casa, y en casa hay pinturas baratas; luego, en casa hay pinturas que la afean. (10) Ningún silogismo válido tiene cuatro términos. Ningún silogismo de este ejercicio es inválido. Luego, ningún silogismo de este ejercicio tiene cuatro términos. (11) Solo los vanidosos son ignorantes. Nadie que se vanagloria triunfa. Luego, ningún ignorante triunfa. (12) Algunos demócratas no son tolerantes. Solamente los orgullosos son intolerantes. Luego, algunos orgullosos son antidemócratas. (13) Cualquier razonamiento que valga la pena de ser tomado en cuenta para la lógica debe exponerse en lenguaje ordinario. Sin embargo, ninguno de los razonamientos que se expresan en el lenguaje ordinario es de la cuarta figura. Por tanto, ningún razonamiento de la cuarta figura vale la pena de ser tomado en cuenta para la lógica (Copi, Introductorio a la Lógica). (14) Ninguno de los presentes está sin trabajo. Ningún socio está ausente. Por lo tanto, todos los socios tienen empleo (Copi, Introductorio de la Lógica). (15) Todas las cosas baratas son imitaciones, puesto que sólo lo caro es difícil de obtener y ningún original es fácil de lograr. 2.5. Construcción de Silogismos
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Hasta ahora sólo nos hemos dedicado a determinar la validez de silogismos dados. Sin embargo, cuando necesitamos argumentar para probar o sostener nuestras ideas o planteamientos esto no es suficiente, necesitamos elaborar razonamientos convincentes , y, entre éstos, los más comunes suelen ser los silogismos .Por eso, en esta parte, sirviéndonos del inventario de formas válidas del silogismo categórico de forma típica introducidos por la lógica tradicional, expondremos, por medio de ejemplos, cómo debemos proceder para la construcción tanto de silogismos de forma típica como algunos de forma no típica. Haremos especial énfasis en los silogismos de la primera figura, y esto por dos razones: una, porque son los silogismos más frecuentes; dos, porque los silogismos de las restantes formas pueden convertirse a la primera. Antes de convertir cualquier silogismo válido tenemos que recordar que la forma comprende el modo y la figura y que el contenido puede referirse a cualquier materia o tema. Empecemos construyendo un silogismo de la forma DARII, teniendo como tema los políticos. La forma DARII nos proporciona los siguientes datos: • Modo: A I I • Primera figura: M–P S–M S–P Silogismo: Todos los políticos honestos son demócratas (A). Algunos políticos venezolanos son honestos ( I ). Luego, algunos políticos venezolanos son demócratas ( I ). Determina por tu propia cuenta que este razonamiento tiene la figura y el modo de la forma DARII. Segundo ejemplo. Construir un silogismo válido de la forma CAMESTRE cuyo contenido se refiera al ser humano. Datos contenidos en la forma CAMESTRE: • Modo: AEE • Segunda figura: P – M S–M S–P Silogismo: Todos los filósofos son reflexivos (A). Ningún fanático es reflexivo (E). Luego, ningún fanático es filósofo (E). Tercer ejemplo. Construcción de un silogismo de forma no típica de la forma CELARENT cuyo contenido sea de química. Datos que nos da la forma CELARENT: • Modo: EAE. • Primera figura: M – P S–M S–P Silogismo: Ningún gas noble reacciona con otras sustancias.
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Todos los gases cuyos átomos contienen en su última envoltura el máximo número posible de electrones son gases nobles. Por tanto, ningún gas cuyos átomos contienen en su última envoltura el máximo número posible de electrones reacciona con otras sustancias. Observa que la premisa mayor y la conclusión son proposiciones categóricas de forma no típica que, al traducirlas a su forma típica, nos percatamos que corresponden a la forma CELARENT. Esta traducción de las proposiciones de forma no típica se puede hacer mentalmente en el momento en que se está construyendo el silogismo. Así, antes de escribir ‘Ningún gas noble reacciona con otras sustancias’, mentalmente hacemos, cuidando que tenga la forma de la proposición tipo E, su correspondiente traducción ‘Ningún gas noble es un gas que reacciona con otras sustancias’. Con la conclusión hacemos algo similar. Esta traducción se hace con doble propósito: uno, para cerciorarse de que es un silogismo; dos, para asegurarse que la figura y el modo son los correctos.
Antes de realizar los ejercicios siguientes aclara tus dudas con el asesor EJERCICIOS Construir, con el contenido que libremente determines, cuatro silogismos CFT y cuatro de forma no típica con las cuatro formas válidas de la figura primera (Objetivo 10.3) Observación: Los silogismos son múltiples, los ejemplos analizados son suficientes para orientar tus respuestas.
2.6. Los Entimemas El uso de los silogismos categóricos es muy frecuente, pero generalmente no se expresan en forma explícita; con frecuencia, se formulan en forma incompleta dejando el resto sobrentendido. Por ejemplo, la conclusión ‘Luis se ha graduado de médico’, puede inferirse de la premisa ‘Luis está operando en el Hospital Universitario’. Este razonamiento es incompleto, pero la premisa que falta es obvia, pues nadie puede operar en el Hospital Universitario a no ser que se haya graduado de médico. Por eso, el silogismo completo, añadiendo la premisa que falta, es el siguiente: Todos los que operan en el Hospital Universitario son médicos. Luis está operando en el Hospital Universitario. Luego, Luis se ha graduado de médico. Un ENTIMEMA es un silogismo incompleto cuyas partes faltantes se dejan sobrentendidas o implícitas. La mayoría de las veces, puesto que muchas proposiciones son de dominio común, los razonamientos se expresan en forma de entimemas. Para determinar si un entimema es o no válido hace falta dos cosas: una, agregar las partes del razonamiento que faltan; dos, someter el silogismo resultante a alguna prueba de validez que, al no introducirse ningún principio lógico nuevo, son los mismas que se aplican a los silogismos CFT.
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Para determinar si la premisa que falta es la mayor o la menor, es menester recordar que el término menor es el sujeto de la conclusión y la premisa que lo tenga será la premisa menor (segunda premisa), y que el término mayor es el predicado de la conclusión y la premisa que lo incluya será la premisa mayor (primera premisa). De modo que, sabiendo la conclusión, es rutinario el determinar las dos premisas. Tal como venimos haciendo, procede a realizar los ejercicios propuestos. Sigue adelante… EJERCICIOS Completar las partes que faltan a los siguientes entimemas y determinar, mediante el inventario de las formas válidas de los silogismos CFT, si son o no válidos (Objetivo 10.4). (1) Todos los socios propietarios del Colegio de Ingenieros son graduados universitarios, puesto que los socios propietarios de dicho colegio son ingenieros. (2) Nadie entendió bien la materia, pues nadie respondió bien el exámen. (3) Algunos estudiantes son reflexivos y estudiosos, esos estudiantes son el porvenir de la sociedad. (4) Sabe su materia porque es un profesor estudioso. (5) Algunos alumno no tiene descuento en el transporte público, ya que no tienen el carnet estudiantil. (6) Algunos políticos son honestos, pues sus riquezas provienen de lo que ganan. (7) Hay libros que forman alumnos responsables, pues algunos libros son nuestros maestros. (8) El trabajo es el motor del progreso, luego todos los ciudadanos responsables tienen que trabajar. (9) Ningún perezoso debe ser imitado, pues los perezosos no son respetados. (10) Los que no la deben no la temen, por eso yo no la temo.
2.7. El Sorites El sorites es un razonamiento que aparentemente consta de un solo silogismo, pero en realidad está formado por varios. He aquí un ejemplo: Todos los profesores de EUS son responsables. Algunos universitarios son profesores de EUS. Todos los universitarios son personas de buen nivel cultural. Por tanto, algunas personas de buen nivel cultural son responsables. Aquí no hay un silogismo sino dos, a saber: PRIMERO.
Todos los profesores de EUS son responsables. Algunos universitarios son profesores de EUS. Luego, algunos universitarios son responsables (proposición faltante).
SEGUNDO. Algunos universitarios son responsables. Todos los universitarios son personas de un buen nivel cultural. Luego, algunas personas de un buen nivel cultural son responsables.
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Si observamos el sorites analizado nos percatamos que el segundo silogismo tiene la premisa implícita: “Algunos universitarios son responsables” , que es la subconclusión de las dos primeras premisas. El sorites, por tanto, no es un silogismo sino una cadena de silogismos categóricos en los cuales hay algunas proposiciones implícitas. El sorites precedente sólo consta de dos silogismo, pero hay otros que pueden tener tres, cuatro o cualquier número. Un sorites es válido cuando su cadena de silogismos lo es.
Un sorites es un silogismo categórico de forma típica cuando todas sus proposiciones son de forma típica, cuando contiene un término más que sus premisas y cuando toda proposición, a excepción de la conclusión, tiene un término medio con la que le sigue inmediatamente. El autor Irving Copi ilustra lo anterior con el sorites de Lewis Carroll: (1) Todo el que sea cuerdo puede estudiar lógica. (2) Ningún loco está calificado para formar parte de un jurado. (3) Ninguno de sus hijos puede estudiar lógica. Luego, ninguno de sus hijos está calificado para formar parte de un jurado. Tal como aparece, este razonamiento no pareciera cumplir con los requisitos anotados anteriormente para ser sorites; sin embargo, hechas las traducciones y cambios de proposiciones permitidas por la lógica se convierte en el siguiente razonamiento equivalente, que, sin duda, es sorites. (2’) Todas las personas calificadas para formar parte de un equipo son personas cuerdas. (1’) Todas las personas cuerdas son personas que pueden estudiar lógica. (3’) Ningún hijo suyo es una persona que pueda estudiar lógica. Luego, ningún hijo suyo es una persona calificada para formar parte de un jurado. La proposición (2’) se origina así: Primero: cambio de sinónimo: no-cuerdo por loco y traducción a una posición categórica típica, cuyo resultado es: (a) Ninguna persona no-cuerda es una persona calificada para formar parte de un jurado. Segundo: Aplicar la inferencia por conversión a (a) para obtener: (b) Ninguna persona calificada para formar parte de un jurado es una persona nocuerda. Tercero: Aplicar la inferencia por obversión y así obtenemos (2’). (c) Toda persona calificada para formar parte de un jurado es una persona cuerda. Las proposiciones (1’) y (3’) y la conclusión simplemente han sido traducidas a proposiciones categóricas de forma típica. Finalmente, la proposiciones (2’) y (1’) han cambiado de orden para cumplir con la regla que prescribe que toda proposición, a excepción de la conclusión, tiene un término medio con la que la sigue inmediatamente. Veamos si es o no válido. Consta de dos silogismos CFT. El primero es éste: Todas las personas cuerdas son personas que pueden estudiar lógica. Ningún hijo suyo es una persona que puede estudiar lógica. Por tanto, ningún hijo suyo es una persona cuerda. Forma: AEE-2: CAMESTRES, luego es válido. Segundo silogismo:
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Todas las personas calificadas para formar parte de un jurado son personas cuerdas. Ningún hijo suyo es cuerdo . Por tanto, ningún hijo suyo es una persona calificada para formar parte de un jurado. Forma: AEE-2: CAMESTRES, luego es válido. El sorites es válido, puesto que los dos silogismos de que se compone lo son.
Es importante que resuelvas los ejercicios, para que compruebes lo que has aprendido. Avanza… EJERCICIOS Traducir a forma típica cada uno de los siguientes sorites y determinar si son o no válidos (objetivo 10.4) (1) Los trabajadores tienen éxito. Los que tienen éxito son felices y los que son felices son pacíficos. Luego, los trabajadores son pacíficos. (2) Los alumnos son estudiosos. Las personas estudiosas son responsables. Ninguno que robe es responsable. Por tanto, ningún alumno roba. (3) Ningún sabio es orgulloso. Los corruptos mienten. Ninguna persona humilde miente. Luego, ningún corrupto es sabio. (4) Todos los que ingresan a la universidad son disciplinados. Los que desconocen la importancia del tiempo son indisciplinados. Ningún perezoso sabe la importancia del tiempo. Luego, ninguno de los que ingresan a la universidad son perezosos. (5) Todos los rectos de corazón tienen buen carácter. Todos los que tienen buen carácter tendrán armonía en el hogar. Los que tienen armonía en el hogar ayudan al orden de la nación. Los que ayudan al orden de la nación contribuyen a la paz del mundo. Por tanto, todos los rectos de corazón contribuyen a la paz del mundo. 2.8. El Dilema Decimos que uno está en un dilema cuando debe elegir entre dos alternativas, en que, generalmente, ambas son inconvenientes. El dilema es una argumentación que consta de una proposición disyuntiva de dos argumentos opuestos entre sí y tales que, de cualquiera que elija el adversario, sacamos una conclusión en su contra. Sirva de ejemplo el dilema de San Agustín para probar que la religión cristiana es verdadera. Argumentaba así: La religión cristiana se ha propagado con milagros o sin ellos (primera premisa ). Si lo primero, por lo mismo es verdadera, y si lo segundo, éste es el gran milagro (segunda premisa). Por tanto, la religión cristiana es verdadera (conclusión). Otro ejemplo sería el que algunos artistas emplean para probar que siempre son libres: Los artistas o bien son deudores del gobierno o no lo son.
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Si no lo son, se sienten libres y si lo primero también. Por tanto, los artistas en ambos casos son libres. Los dilemas están constituidos por dos premisas y la conclusión. La primera premisa está formada por una disyunción de argumentos opuestos; la segunda es la conjunción de los condicionales. Los dilemas son razonamientos formalmente válidos. Por eso para eludir su conclusión tenemos que probar que una de sus premisas es falsa. En el dilema referente a la libertad de los artistas alguien que no estuviera de acuerdo con la conclusión podría argumentar presentando varios casos de artistas que, por ser deudores del gobierno, están mediatizados por él. Uno de los métodos más ingeniosos para refutar un dilema es replicar con un contradilema en el que la conclusión sea la opuesta. En la refutación puede usarse cualquier contradilema, pero el más efectivo es el que infiere su conclusión casi con las mismas premisas que el dilema. Un ejemplo de contradilema fue el usado por Eulato contra su maestro Protágoras. Este era un profesor griego de retórica del siglo V a. C. Eulato era un alumno pobre que, para poder pagar los honorarios correspondientes, hizo un acuerdo con Protágoras mediante el cual éste le daría las lecciones y Eulato le pagaría cuando ganara el primer caso. Eulato se graduó, pero tardó mucho tiempo antes de defender el primer caso. Protágoras se cansó de esperar y abrió un juicio en contra de su exdiscípulo por el incumplimiento de su contrato. Protágoras presentó su versión del conflicto con un dilema aparentemente inatacable: Eulato debe perder o ganar este caso; si lo pierde, debe pagarme (por decisión del tribunal) y si lo gana, también tiene que pagarme (por los términos del contrato). Por lo tanto, debe pagarme de cualquier manera. Eulato, que hizo su propia defensa, contestó con este contradilema: Este caso lo gano o lo pierdo; si lo gano, no tengo que pagar a Protágoras ( por decisión del tribunal) y si lo pierdo, tampoco tengo que pagárselo (por términos del contrato). Por tanto, en ambos casos dejaré de pagar a Protágoras. El dilema no es un instrumento científico, sino de polémica; sirve más bien para confundir al adversario que para descubrir verdades. El contradilema no es una refutación; simplemente dirige la atención a un aspecto distinto de la misma situación, de tal manera que su conclusión no constituye un desacuerdo en cuanto a los hechos, sino un modo diferente de considerar los mismos . Sin embargo, en un debate una réplica de este tipo produce un efecto devastador en el oponente.
Si resolviste todos los ejercicios ¡Sigue Adelante! Si quedan dudas vuelve a leer cuidadosamente el material.
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AUTOEVALUATIVO Refutar cada uno de los siguientes dilemas (la refutación puede realizarse o bien refutando alguna de las premisas o bien construyendo un contradilema). (objetivo 10.5). (1) En las próximas elecciones o votamos o no votamos. Si votamos seremos responsables por los malos gobernantes electos y si no votamos seremos igualmente responsables por los malos gobernantes electos. Luego, en ambos casos seremos responsables por los malos gobernantes electos. (2) En Venezuela o bien se aprueba la economía libre o bien no se aprueba. Si lo primero, la especulación se desata y si lo segundo, se compromete el desarrollo del país. Luego, en ambos casos es negativo. (3) O digo la verdad o no la digo; si lo primero, me expongo a represalias, y si lo segundo, paso por un cobarde. Luego, en ambos casos estoy perjudicado. (4) Para defender mi punto de vista o uso un dilema o no lo uso. Si lo uso, fácilmente puede ser refutado y si no lo uso no puedo refutar a mi adversario. Luego, en ambos casos es desaconsejable. (5) Los estudiantes disfrutan o no estudiando. Si lo primero, no necesitan recompensas para estudiar y si lo segundo, las recompensas no lograrán que estudie. Por tanto, las recompensas no ayudan a estudiar. (6) El gobierno debe o bien aumentar los impuestos o no aumentarlos. Si los aumenta, la población protesta y si no los aumenta, no puede atender los servicios públicos. Luego, en ambos casos no es conveniente. (7) Me jubilo o no me jubilo. Si lo primero, no me voy a sentir útil a la comunidad y si lo segundo, no dispongo del tiempo para mis distracciones favoritas. Luego, en ambos casos es inconveniente. (8) O bien trabajo o bien no lo hago. Si trabajo, me canso en exceso y si no lo hago, me aburro. Por tanto, ambos casos son negativos.
Avancemos con el estudio del objetivo “Prueba de Validez”
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B. PRUEBA DE VALIDEZ Objetivo Terminal 11: Efectuar la prueba de validez de un razonamiento silogístico mediante los diagramas de Venn.
Para ello deberás lograr los siguientes objetivos específicos: 11.1. Conocidas las convenciones del diagrama de Venn, representar gráficamente una serie de proposiciones categóricas dadas. 11.2. Conocidas las convenciones de los diagramas de Venn, efectuar la prueba de validez de una serie silogismos categóricos dados.
1. Representación gráfica de las proposiciones categóricas mediante el uso del diagrama de Venn: Los llamados “Diagramas de Venn” son unos gráficos propuestos por John Venn (1824 - 1923) como un procedimiento mecánico y entretenido para probar la validez de un razonamiento (silogismo categóricos). Para empezar procederemos a representar gráficamente las cuatros proposiciones categóricas (A, E, I, O.) de acuerdo a las siguientes convenciones: (i) Cada uno de los términos (predicados) del silogismo, “S”, “P”, “M” está representado por un circulo que simboliza un conjunto de individuos o clase. (ii) Si la clase que representa dicho término es vacía no tiene miembros, el circulo va sombreado o rayado. (iii) Si hay algún individuo en dicha clase, se señala con una “X” dentro del circulo. (iv) Si no hay información concreta, el circulo queda en blanco. Veamos: GRÁFICO 1
(v) Las proposiciones categóricas se representan por dos círculos interceptados, rotulados con los términos s y p, del siguiente modo: Proposición Universal Afirmativa (Tipo A)
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“Todo s es p”
Gráfico 2
que quiere decir que la zona de S que no pertenece a P está vacía, no contiene ningún miembro y por esto está sombreada. Así pues, todo los miembros de S están en P.
Las demás proposiciones categóricas quedarán diagramadas así: *Proposición Universal (Tipo E ) “Ningún S es P” Con lo cual queda a la vista que la parte común a S y P está vacía, no hay miembros S que sean P.
Gráfico 3
* Proposiciones Particular Afirmativa ( Tipo O ) “Algún S es P” Significa que en la zona común a S y P existe un individuo “X” que es S y P a la vez.
Gráfico 4
*Proposiciones Particular Negativa (Tipo O). “Algún S no es P”
Gráfico 5
Expresa que en la parte que pertenece a S pero no es P, existe algún individuo “X”
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En resumen: Gráfico 6 Proposiciones CATEGÓRICAS
Proposiciones CONVERSAS
Tipo A Tipo E Tipo I Tipo O Nota: Hay que observar las siguientes precauciones: 1. El Simple diagrama de dos círculos sin ninguna indicación representa clases, pero no proposiciones. 2. Dejar un espacio en blanco no significa nada; ni que hay miembros, ni que no los hay. 3. Un diagrama representa una proposición sólo si se tiene una parte sombreada o se ha insertado una “X”.
Continúa con el siguiente ejercicio, si presentas alguna duda Consulta con tu asesor.
EJERCICIOS: Representar mediante los diagramas de Venn las siguientes proposiciones categóricas: (1) (2) (3) (4) (5)
Todos los que pasan de 40 años, tienden a ser hipertensos. Algunas raíces son comestibles. Ningún deportista quiere ser perdedor. Los que hablan demasiado suelen ser imprudentes. Algunos canarios no tienen un canto hermoso.
2. Prueba de Validez de Silogismos mediante los diagramas de Venn como un método de representación claro y evidente a simple vista; ahora vamos a utilizarlos como una herramienta para determinar (probar) la validez de los razonamientos silogísticos (silogismo categóricos) de una manera simple y directa. Para diagramar un silogismo necesitamos tres círculos interceptados, uno para cada uno de los términos (predicados) que contiene: “S”, “P”, “M”
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“S” y “P” serán los términos Sujeto y Predicado de la conclusión y “M”, el término medio que se repite en las premisas. Tomemos un ejemplo: Todo verdadero sabio es de pocas palabras Todo el que se domina a sí mismo es un verdadero sabio Todo el que se domina a sí mismo es de pocas palabras
(i) En primer lugar construiremos el esquema o figura del silogismo dado: Todo M es P Todo S es M Todo S es P (ii) Luego trazamos los tres círculos interceptados y los rotulamos con los términos S, P, M Así:
Gráfico 7
(iii)Entonces procedemos a diagramar la primera premisa (Premisa Mayor) tal como lo explicamos en el objetivo 14. Todo M es P
Gráfico 8
(iv)Seguidamente, diagramamos (en el mismo gráfico ) la premisa menor. Todo S es M:
Gráfico 9 (v) Par último, analizamos el gráfico para constatar si al diagramar las premisas, la conclusión ha quedado diagramada. Si es así, el razonamiento es válido; de lo contrario no es.
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En efecto, en nuestros ejemplos la conclusión todo S es P está incluida en el diagrama de premisas; por lo cual podemos concluir la validez de dicho silogismo. La fundamentación lógica de este método estriba en la definición misma de validez: un razonamiento deductivo es válido cuando la conclusión se desprende necesariamente de las premisas; es decir, cuando, al afirmar las premisas, queda afirmada la conclusión. Así, en nuestro diagrama, graficar las premisas significa que las estamos afirmando. Si al hacer esto, queda diagramada la conclusión, indica que también ha quedado afirmada. Concluirnos pues que dicha conclusión se desprende necesariamente de ella, que el RAZONAMIENTO ES VÁLIDO. Lo ventajoso de esta prueba está en que esa inclusión de la conclusión en las premisas queda evidencia inmediatamente y a simple vista en el diagrama. La clave para interpretar los diagramas es ésta: Si una vez diagramadas las premisas, la conclusión queda diagramada inequívocamente, el silogismo es válido. Si no queda diagramada, o da lugar a alguna ambigüedad, entonces no es válido. Consideramos otro caso: Todos los deportistas estimulan la competencia. Algunas competencias generan agresividad Algunos deportistas generan agresividad. Su esquema o figura: Todo los S son M Algún M es P Algún S es P El diagrama respectivo será: (En estos casos que tengamos una premisa particular y una universal SE DEBE comenzar por el universo) Todos los S son M:
Gráfico 10
Luego la premisa particular: Algún M es P:
Gráfico 11
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Observe que hemos ubicado la letra X en la línea para indicar que las premisas quedan verificadas, tanto si está a la derecha como a la izquierda de la línea. Finalmente constatamos que la conclusión “Algún S es P” no queda necesariamente incluida en las premisas. En efecto, si “X” estuviese a la derecha de la línea, no quedaría verificada. Por lo tanto el silogismo no es válido.
Consideremos ahora otro ejemplo más: Ningún aviador sufre de vértigo Todos los aviadores son amantes del peligro Ningún amante del peligro sufre de vértigo Su figura o esquema es: Ningún M es P Todo M es P Ningún S es P Diagramamos la primera premisa: Ningún M es P:
Gráfico 12
Diagramamos la segunda premisa: Todo M es S:
Gráfico 13
y observamos que la conclusión: Ningún S es P no se verifica pues no quedó diagramada, por lo tanto el silogismo no es válido. En Resumen: Para probar la validez de un silogismo por los diagramas de Venn: 1. Identificamos los términos “S” y “P” en el silogismo construyendo su figura o esquema. 2. Rotulamos los tres círculos interceptados con dichos tres términos. 3. Diagramamos las dos premisas, graficando primero la universal en caso de que haya una universal y otra particular, y cuidado de colocar la X sobre la línea, al diagramar la particular, si no ésta claro sobre cuál lado de la línea debe ir.
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Observemos si la conclusión quedo inequívocamente graficada (contenida) en el diagrama, de lo cual interpretamos que el silogismo es válido. De lo contrario, no lo es. Resuelve los siguientes ejercicios de Autoevaluación. ¡Ánimo!
AUTOEVALUATIVO Probar la validez de los siguientes silogismos mediante los diagramas de Venn. (1) Todo el que se adelanta a su época puede ser considerado profeta y ningún profeta es reconocido por su gente. Por lo tanto, nadie que sea reconocido por su gente se adelanta a su época. (2) Nadie que se aprecie a si mismo atenta contra su vida; algunos al fumar atenta contra su vida. Es obvio que algunos al fumar no se aprecian a sí mismos. (3) Los que se miman demasiado son narcisistas y, por otra parte, los que se miman demasiado se desentienden de los demás. Así pues, todo el que se desentiende de los demás es narcisista. (4) Si admitimos que todo los procesos bélicos se sustentan en intereses económicos y que ningún proceso bélico es garantía de una paz duradera, entonces debemos concluir que la garantía de una paz duradera no se sustenta en intereses económicos. (5) Todas las aves tienen plumas y algunos ovíparos no tienen plumas. Por consiguiente, algunos ovíparos no son aves. (6) Los niños suelen ser curiosos y algunos curiosos son imprudentes. Por lo tanto, algunos imprudentes son niños.
Continua con el estudio del objetivo “Lógica de Predicados”
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C. LOGICA DE PREDICADOS 1. SIMBOLIZACIÓN DE LAS PROPOSICIONES
OBJETIVO TERMINAL 12: Simbolizar, en el lenguaje de la lógica de predicados, la forma lógica de los silogismos típicos y no típicos dados en castellano
Para ello deberá lograr los siguientes objetivos específicos: 12.1. Conocido el vocabulario primitivo simbolizar, en la lógica de predicados, los distintos tipos de proposiciones con un sólo predicado. 12.2. Simbolizar, en la lógica de predicados, las proposiciones categóricas típicas y no-típicas dadas. 12.3. Simbolizar en el lenguaje de la lógica de predicados diversas, formas típicas y no-típicas de silogismos.
INTRODUCCION Lo que diferencia principalmente, la lógica de predicados de la silogística es que la primera ha logrado simbolizar cada uno de los elementos internos de las proposiciones singulares y generales, y, con ello, ha hecho posible construir un método riguroso de demostraciones de validez de los silogismos con sólo añadir cuatro nuevas reglas de inferencia a las ya empleadas por la lógica proposicional. En esta parte, nos abocaremos a la simbolización completa de las proposiciones singulares, particulares y universales.
l. l. Simbolización de las Proposiciones Singulares Para simbolizar las proposiciones singulares introduciremos tres nuevos símbolos: 1) Las primeras letras minúsculas del alfabeto: ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, . . . ; ‘n’, para representar los individuos determinados del universo del discurso, y las llamaremos Constantes Individuales; 2) las últimas letras minúsculas del alfabeto: ‘x’, ‘y’, ‘z’, para designar los individuos indeterminados del universo del discurso, y las denominaremos Variables Individuales, 3) las letras iniciales mayúsculas de la palabra principal del predicado a las que denominaremos Variables Predicativas o Predicados.
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Para simbolizar una proposición singular se empieza con la definición del vocabulario primitivo. Por definición de vocabularios primitivo entendemos la asignación de símbolos lógicos a los distintos elementos de las proposiciones. Veamos algunos ejemplos de simbolización de proposiciones singulares. Primer ejemplo: Simbolizar la proposición: Rafael Urdaneta fue presidente de la Gran Colombia. Procederemos así: Vocabulario primitivo: a: Rafael Urdaneta Px: x fue presidente de la Gran Colombia ( la ‘P’ es la primera letra de ‘presidente’ que es la palabra principal del predicado; y la ‘x’ un individuo indeterminado). Simbolización: Pa que se lee ‘P de a’. La constante individual siempre se coloca a la derecha de la variable predicativa. Segundo ejemplo: Simbolizar: “E1 Padre de la patria liberó cinco naciones” Vocabulario primitivo: a: El Padre de la patria. Lx: x liberó cinco naciones. Simbolización: La. Hay una cierta libertad para escoger la variable predicativa pues, a veces, no es fácil determinar la palabra principal del predicado. Sea una u otra, todo se clarifica una vez definido el vocabulario.
1.2. Simbolización de Proposiciones Generales de un Predicado Para simbolizar las proposiciones generales de un predicado sólo nos falta introducir los símbolos de los cuantificadores universales y existencial. Para el cuantificador universal ‘todos’ o sus equivalentes emplearemos el símbolo: ‘(x)’ que se lee “para toda x”, donde ‘x’ es un individuo indeterminado. El cuantificador existencial ‘algunos’ o sus equivalentes lo simbolizaremos así: ‘(∃x)’ que se lee “existe, al menos, un x”. Ahora ya podemos simbolizar cualquier proposición general de un sólo predicado. Se empieza definiendo el vocabulario primitivo. Empecemos con las universales. Simbolizaremos la proposición:
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(a) Todos son estudiantes. Vocabulario primitivo. (x): Todos o para todo x Ex: x es estudiante.
La proposición (a) equivale a: (b) Para todo x, x es estudiante que, simbolizada de acuerdo a la definición de vocabulario primitivo, equivale a: (c) (x) Ex. Luego, (c) es la simbolización de (a) y se lee: “Para todo x, x es estudiante” y también: “Para todo x, E de x”. Simbolización de una proposición existencial o particular de un sólo predicado. Sea la proposición: (a) Algunos son filósofos. Vocabulario primitivo: (∃x): Algunos o existe, al menos, un x. Fx: x es filosofo. La proposición (a) equivale a: (b) Existe, al menos, un x tal que x es filosofo. y en símbolos equivale a: (c) (x) Fx. Por tanto, (c) es la simbolización de (a), y se lee igal que (b), es decir: “Existe, al menos, un x tal que x es filosofo” y también: “Existe, al menos, un x tal que F de x”. Tercer ejemplo: Simbolizar una proposición universal negativa con un sólo predicado. Sea la proposición: (a) Ninguno es filósofo. El cuantificador ‘ninguno’, además de ser universal, expresa una negación, y, en consecuencia, (a) equivale a:
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(b) Todos son no-filósofos, que es una inferencia por obversión. Vocabulario primitivo: (x): todos o para todo x. Fx: x es filosofo. Parafraseando (b) tenemos: (c) Para todo x, x es no-filósofo, que en símbolos es: (d) (x) ~ Fx, el cual equivale a (a), y se lee como (c) y también: “Para todo x, no F de x”. En la simbolización de esta proposición, a diferencia de las dos anteriores, no empezamos con la definición del vocabulario por la dificultad que suponía el cuantificador negativo universal ‘ninguno’; pero una vez superada esta dificultad, aún en casos como el anterior, se empieza cualquier simbolización de proposiciones por la definición del vocabulario primitivo. Cuarto ejemplo: Simbolización de una proposición particular negativa. Sea la proposición: (a) Algunos no son estudiantes. Vocabulario primitivo: (∃x): Existe, al menos, un x Ex: x es estudiante La proposición (a) equivale, pues, a: (b) Existe, al menos, un x tal que x no es estudiante. Y ésta, a su vez, es igual a: (c) (x) Ex. que se lee como (b) y, también: "Existe, al menos, un x tal que no E de x ". Proposiciones generales como: • Hay socialistas,
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• Cada uno construye la democracia, • Nadie es perfecto, • Unos son ecologístas, • Cualquiera es ecologísta, antes de simbolizarlas, hay que traducirlas a sus equivalentes usando los cuantificadores ‘todos’, ‘ninguno’ o ‘algunos’.
Así la proposición: (a) Hay socialistas. se traduce a su equivalente (b) Algunos son socialistas. Y para su simbolización se procede de la forma inclicada más arriba. Resumen: • Constantes individuales: ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, . . . , ‘n’, representan individuos determinados del universo del discurso. • Variables individuales: ‘x’, ‘y’, ‘z’, representan individuos indeterminados del universo del discurso. • Variables predicativas: son las primeras letras iniciales mayúsculas de la palabra principal del predicado, y representan a las propiedades que se atribuyen a los individuos del universo del discurso. • Cuantificador universal: ‘(x)’, representa al cuantificador universal ‘todo’ o ‘todos’. • Cuantificador existencial o particular: ‘(∃x)’, representa al cuantificador ‘algún’ o ‘algunos’. Para reafirmar este punto, te presentamos los siguientes Ejercicios. Avancemos…
EJERCICIOS Simbolizar en el leguaje de la Lógica de Predicados las siguientes proposiciones con un solo predicado (objetivo 12.1) (1) Hay marcianos. (2) Alguien llegó tarde. (3) Ninguno es perfecto. (4) Nadie vino. (5) No hay marcianos. (6) Cualquiera está interesado. (7) No todo es oro. (8) Es falso que Luis es estudiante. (9) Mi amigo Pedro es médico. (10) La ciudad más populosa del mundo es peligrosa. (11) Nadie es inmutable
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(12) (13) (14)
Cada uno es responsable de su futuro. Unos estaban implicados. No existen fantasmas.
1.3. Simbolización de las Proposiciones Categóricas Los símbolos introducidos para la definición de vocabulario primitivo son suficientes para simbolizar los cuatro tipos de proposiciones CFT. Veamos. Simbolización de la proposición universal afirmativa (tipo A). Sea la proposición: (a) Todos los hombres son mortales. Vocabulario primitivo: (x): Para todo x. Hx: x es hombre. Mx: x es mortal. Luego, (a) es equivalente a: (b) Para todo x, si x es hombre, entonces x es mortal. Observa que sólo con la implicación cuantificada universalmente se expresa el sentido de (a). Si en (b) sustituimos el cuantificador y sus predicados conforme al vocabulario definido tenemos: (c) (x) (Hx Mx ). que se lee como (b), y, también: “Para todo x, H de x implica M de x”. Observa que es necesario el paréntesis de la implicación para que el cuantificador alcance al antecedente y al consecuente. Simbolización de la proposición universal negativa (tipo E). Sea la proposición: (a) Ningún molusco es vertebrado. Por obversión (a) equivale a: (b) Todo molusco es no-vertebrado. Vocabulario primitivo: (x): Para todo x Mx: x es molusco Vx: x es vertebrado.
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Luego, (b) se puede escribir así: (c) Para todo x, si x es molusco entonces x es no-vertebrado. Si sustituimos (c) por el vocabulario definido tenemos: (d) (x) (Mx Vx) que se lee como (c), y, también: “Para todo x, M de x implica no v de x”.
Simbolización de la proposición particular afirmativa (tipo I) Sea la proposición: (a) Algunos hombres son libres. Vocabulario primitivo: (∃x): Existe, al menos, un x. Hx: x es hombre. Lx: x es libre. Obviamente, (a) equivale a: (b) Existe, al menos, un x tal que x es hombre y x es libre. Observa que sólo la conjunción cuantificada existencialmente expresa el significado de (a) Sustituyendo el cuantificador y los predicados por sus símbolos, (b) equivale a: (c) (x) (Hx Lx) que se lee como (b), y, también: “Existe, al menos, un x tal que H de x y L de x”
Simbolización de la proposición particular negativa (tipo O) Sea la proposición: (a) Algunas letras no son vocales. Vocabulario primitivo:
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(∃x): Existe, al menos, un x Lx: x es letra. Vx: x es vocal. Por lo tanto, (a) equivale a: (b) Existe, al menos, un x tal que x es letra y x no es vocal, que, sustituyendo el cuantificador y los predicados de acuerdo al vocabulario definido equivale a: (c) (x) (Lx Vx) cuya lectura se puede hacer como (b) o como: “Existe, al menos, un x tal que L de x y no Ti de x”. Todas las proposiciones CFT pueden ser negadas, y su simbolización s variará porque delante de sus respectivos cuantificadores se escribirá el negador.
Primer ejemplo, la proposición: No todos los hombres son arquitectos se simboliza así:
~ (x) (Hx ⊃ Ax)
y la proposición:
Es falso que algunos hombres no son racionales
se simboliza de esta manera:
~ (∃x) (Hx ∧ ∼ Rx).
En la simbolización de las proposiciones categóricas de forma no típica, primero, tienen que traducirse a proposiciones CFT, y, luego, simbolizarlas como se ha indicado más arriba. Así, para simbolizar la siguiente proposición de forma no típica: (a) Hay algunos distraídos se traduce a su proposición CFT correspondiente que es: (b) Algunos alumnos son distraídos. Y después se procede como ya se ha explicado, esto es: Vocabulario primitivo: (∃x) Existe, al menos, un x. Ax: x es alumno. Dx: x es distraído. Por tanto (b) se puede expresar así:
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(c) Existe, al menos, un x tal que x es alumno y x es distraído. que en símbolos sería de esta forma: (d) (x) (Ax Dx). La proposición (a) se simbolizaría como (d).
Segundo ejemplo: Sea la proposición categórica de forma no típica: (a) Un juez es abogado. La correspondiente proposición CFT sería: Todos los jueces son abogados. A continuación se simboliza como una proposición CFT tipo A, ya explicado.
Tercer ejemplo: Sea la proposición categórica de forma no típica. Sólo 1os alumnos presentes pueden presentar el examen. Su correspondiente proposición CFT es: Todos los que pueden presentar el examen son los alumnos presentes, que es una proposición de tipo A, y, como tal, se simboliza.
Cuarto ejemplo: Sea la siguiente proposición de forma no típica llamada exceptiva. Todos los alumnos son elegibles, excepto los repitientes. Esta proposición es, en realidad, doble, y está formada por: (a) Todos los alumnos no-repitientes son seleccionables. (b) Ningún alumno repitiente es seleccionable. La (a) es tipo A y la (b) tipo E, y, como tal, se simbolizan. A continuación encontrarás unos ejercicios que te brindarán la Oportunidad de saber lo que has aprendido.
EJERCICIOS
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Simbolizar las siguientes proposiciones categóricas definiendo el vocabulario primitivo y traduciendo a preposiciones CFT las que no lo requieran (objetivo 12.2) (1) Los perros son invertebrados. (2) No hay alumnos incapaces. (3) Ningún caballero es vivo. (4) Existen profesores estudiosos. (5) Hay políticos honestos. (6) Ningún país es completamente democrático. (7) Sólo los trabajadores triunfan. (8) Las solicitudes de los estudiantes fueron atendidas solícitamente. (9) El cáncer es generalmente curable. (10) No todos los estudiantes entendieron. (11) Todo lo que brilla no es oro. (12) No todo lo que brilla es oro. (13) No se dijo nada importante. (14) Sólo los jueces administran justicia. (15) Es falso que ningún médico es profesional. (16) No cualquier profesor es investigador. (17) Sólo los ciudadanos mayores de dieciocho años votan en las elecciones. (18) No hay enfermedades que no sean de cuidado. (19) Es falso que no hay enfermedades peligrosas. (20) Hay alumno de la facultad de derecho que serán jueces. (21) Cada oveja con su pareja. 1.4. Simbolización de Silogismos Categóricos de Forma Típica Dado que los silogismos de forma típica se componen de proposiciones CFT ordenadas debidamente, la simbolización de los mismos es elemental. Veamos un ejemplo. Sea el silogismo de forma típica: Todos los grandes humanistas son demócratas. Algunos abogados son demócratas. Por tanto, algunos abogados son grandes humanistas. Vocabulario primitivo: Hx: x es un gran humanista. Dx: x es demócrata. Ax: x es abogado. Su simbolización es: (x) (Hx ⊃ Dx) (∃x) (Ax ∧ Dx) (∃x) (Ax ∧ Hx) 1.5. Simbolización de Silogismos de Forma No Típica La única diferencia de éstos con los silogismos de forma típica es que, antes de proceder a simbolizarlos, hay que traducirlos a forma típica, recordando, entre otras cosas,
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que todas las proposiciones tienen que ser categóricas de forma típica, y que la primera premisa es la mayor. Sea, por ejemplo, el silogismo de forma no típica sigu.iente: Ningún médico es juez, pues todos los médicos son profesionales de la salud y ningún juez es profesional de la salud. Este silogismo no es de forma típica porque la conclusión aparece como primera proposición. Sabemos que “Ningún médico es juez” es la conclusión porque no contiene el término medio. Ningún juez es profesional de la salud. Todos los médicos son profesionales de la salud. Por tanto, ningún médico es juez. Observa el orden de las premisas. La primera es la premisa mayor que es la que contiene el término mayor, el cual es predicado de la conclusión, es decir, contiene el término “juez”. La simbolización, ahora, es rutinaria: Vocabulario primitivo: Mx: x es médico. Sx: x es profesional de la salud. Jx: x es juez. Su simbolización es: (x) (Jx ⊃ ∼ Sx) (x) (Mx ⊃ Sx) (x) (Mx ⊃ ∼ Jx) Otro ejemplo. sea el silogismo válido: Sólo los esforzados triunfan. Algún zuliano triunfa. Luego, algún zuliano es esforzado. Su correspondiente silogismo de forma típica es: Todos los triunfadores son esforzados. Algún zuliano es triunfador. Por tanto, algún zuliano es esforzado. Observa que todas las proposiciones son categóricas de forma típica y que las premisas han cambiado de orden porque la premisa mayor es la primera. Su simbolización es obvia: Vocabulario primitivo: Tx: x es triunfador. Ex: x es esforzado. Zx: x es zuliano.
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Luego, (x) (Tx ⊃ Ex) (∃x) (Zx ∧ Tx) (∃x) (Zx ∧ Ex) Pasa a resolver el siguiente autoevaluativo ¡Comienza a trabajar y suerte! AUTOEVALUATIVO 9 Construir, si es necesario, en forma típica los siguientes silogismos y, luego, abstraer su forma lógica (objetivo 12.2.). (1) Todos los artistas son personas exigentes y, además, algunos artistas son insolentes; luego, algunas personas insolentes son personas exigentes. (2) Ningún político es idealista y los mártires son idealistas; luego ningún político es mártir. (3) Algunas propuestas son grandes ideales, ya que algunas propuestas son compromisos sociales y todos los compromisos sociales son grandes ideales. (4) Ningún estudiante de esta sección es profesional, pues todos los estudiantes de esta sección son principiantes universitarios y ningún principiante universitario es profesional. (5) Algunos abogados no son jueces, puesto que ningún irresponsable es juez y algunos abogados son irresponsables. (6) Todos los animales son irracionales; luego, ningún irracional es responsable, ya que ningún responsable es animal. (7) Algunos atletas son buenos políticos, ya que todos los buenos políticos son grandes servidores públicos y algunos atletas son grandes servidores públicos. (8) Ningún reptil es mamífero, puesto que el mamífero es animal de sangre caliente y ningún reptil es animal de sangre caliente. (9) Las pinturas originales son caras, porque las pinturas originales son di~ciles de obtener y las pinturas caras son difíciles de obtener. (10) Ningún profesor es fanático, puesto que ningún profesor es una persona de mente cerrada y sólo las personas fanáticas son personas de mentes cerradas. (11) Ningún idealista es corrupto; luego ningún idealista es mentiroso, ya que sólo las personas corruptas son mentirosas. (12) Algunos griegos son filósofos y sólo los reflexivos son filósofos. Por tanto, algunos griegos son reflexivos. (13) Algún científico es artista, puesto que sólo las personas dedicadas son científicos y algunas personas dedicadas son artistas. (14) Algunos griegos no son perversos, puesto que algunos griegos son sabios y nadie que sea sabio es perverso. (15) Sólo las personas objetivas son científicos; sólo los responsables son objetivos. Por lo tanto, todos científicos son responsables. (16) Ninguna persona desleal es confiable y todas las personas no-confiables son personas no-transparentes; en consecuencia, sólo las personas leales son transparentes.
Si presentas alguna duda de lo que has estudiado, vuelve a leer El material, si no avancemos…
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2. MÉTODO DEMOSTRATIVO DE VALIDEZ Y REGLAS DE INFERENCIA OBJETIVO TERMINAL 13: Efectuar demostraciones formales de validez de silogismos CFT dentro de la lógica de predicados aplicando las reglas de inferencia.
Para ello deberás lograr los siguientes objetivos específicos: 13.1. Conocidas las cuatro reglas de inferencia, propias de la lógica de predicados, identificarlas en una serie de inferencias dadas, tanto en el lenguaje natural como en el de la lógica de predicados. 13.2. Dada una demostración de un razonamiento, justificar cada uno de sus pasos señalando la regla aplicada correspondiente. 13.3. A partir de determinadas premisas, demostrar la conclusión del razonamiento aplicando las reglas de inferencia. 13.4. A partir de formas válidas de silogismos CFT, construir silogismos asignándoles un contenido determinado.
INTRODUCCION Para poder construir las demostraciones formales de validez de los .silogismos dentro de la lógica de predicados tenemos que ampliar nuestro repertorio con cuatro nuevas reglas de inferencia. La comprensión de estas cuatro reglas requiere la explicación de función proposicional, de ejemplo de sustitución y de las condiciones requeridas para que los cuantificadores universales y existenciales sean verdaderos.
2.1. Función Proposicional Consideremos las siguiente proposición singular: (a) Einstein es científico. Su simbolización es: (b) Ca
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Tanto (a) como (b) son proposiciones, una en castellano y la otra en la lógica de predicados (a). Si sustituimos en las expresiones (a) y (b) a ‘Einstein’ y a ‘a’ por ‘x’ respectivamente tendremos: (c) x es científico. (d) Cx Las expresiones (c) y (d) son funciones proposicionales. Para nuestro propósito nos referiremos sólo a la expresión (d). Como toda función proposicional está constituida por una variable predicativa y una variable individual, para convertir ‘Cx’ en proposición se puede lograr de dos modos: uno, sustituyendo la variable individual ‘x’ por una constante individual como ‘a’, dando como resultado ‘Ca’; dos, cuantificándola, sea universal o existencialmente, dando las siguientes proposiciones: ‘(x) Cx’ y ‘(∃x) Cx’. Una función proposicional es, pues, una expresión constituida por variables predicativas y variables individuales, y que, al sustituir las variables individuales por constantes individuales o al cuantificarlas con cualquiera de los dos cuantificadores, se constituyen en proposiciones.
2.2..Ejemplo de Sustitución Si decimos, refiriéndonos a las tres únicas personas que sostienen una conversación: Jorge, Ana y Luis: “Todos son ingenieros”, obviamente, se está afirmando que: “Jorge es ingeniero”, “Ana es ingeniero” y “Luis es ingeniero”. Cada una de las tres proposiciones singulares anteriores es un ejemplo de sustitución de la proposición universal: “Todos son ingenieros”. Expresado lo anterior en la lógica de predicados tendríamos lo siguiente: Vocabulario primitivo: Ix: x es ingeniero a: Jorge B: Ana C: Luis. (x) Ix: todos son ingenieros Ia: Jorge es ingeniero. Ib: Ana es ingeniero. Ic: Luis es ingeniero.
‘Ia’, ‘Ib’, y ‘Ic’ son ejemplos de sustitución de ‘(x) Ix’. Los ejemplos de sustitución se pueden dar en las proposiciones universales y particulares, y consiste en atribuir a uno o a varios individuos concretos la propiedad asignada a todos o a algunos de los individuos del universo del discurso respectivo.
2.3. Valor de Verdad de las Cuantificaciones de las Funciones Proposicionales.
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La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera si, y sólo si todos sus ejemplos de sustitución son verdaderos. Es falsa cuando, al menos uno de sus ejemplos de sustitución es falso. En efecto, sea la cuantificación universal siguiente: (x) Px. Es decir, “Todos los individuos, x tienen la propiedad P”. Para que esta proposición sea verdadera es necesario que todos sus ejemplos de sustitución sean verdaderos, pues la cuantificación universal de una función proposicional equivale a la CONJUNCIÓN de todos sus ejemplos de sustitución, y basta que uno de sus argumentos sea falso para que la conjunción, lo sea. Aplicado esto a nuestro ejemplo tendríamos: (x) Px = Pa ∧ Pb ∧ Pc ∧ ... Pn donde ‘pa’, ‘pb’, ‘pc’,... ‘pn’ son todos los ejemplos de sustitución. Para que el segundo miembro de la igaldad sea verdadero, de acuerdo a las reglas del conjuntor, todos los ejemplos de sustitución tienen que ser verdaderos. Es suficiente que uno de ellos sea falso para que la conjunción total sea falsa. La cuantificación existencial de una función proposicional es verdadera si, al menos, uno de sus ejemplos de sustitución es verdadero, y falsa si todos sus ejemplos de sustitución son falsos. En efecto, la cuantificación existencial de una función proposicional equivale a la disyunción de todos sus ejemplo de sustitución, es decir: (∃x)Px = Pa ∨ Pb ∨ Pc ∨ …Pn Ahora bien, la segunda parte de la igualdad anterior será verdadera, de acuerdo a la regla del disyuntor, si, al menos, un ejemplo de sustitución es verdadero, y será falsa si todos sus ejemplos de sustitución son falsos. 2.4. Reglas de Inferencia 2.4.1. Ejemplificación Universal (EU). Esta regla afirma que lo que se predica de todos los individuos de un universo del discurso se predica de cualquiera de esos individuos. Así, si el universo del discurso está compuesto por Carlos, Ana y Luis y afirmamos que “todos son ingenieros”, de ello podemos inferir que cualquiera de los individuos de ese universo del discurso escogido arbitrariamente es ingeniero, también, que cada uno de ellos escogidos determinadamente es ingeniero. Teniendo en cuenta el universo del discurso definido, y simbolizando a un individuo cualquiera del universo del discurso por ‘γ’, a Carlos por ‘a’, Ana por ‘b’ y Luis por ‘c’, de la proposición: “Todos son ingenieros”, podemos inferir “γ es ingeniero” y, también, “a es ingeniero”, “b es ingeniero” y “c es ingeniero”. Haciendo uso de la simbolización lo anterior se expresaría así: Universo del discurso: a, b, c. Proposición: (x) Ix (todos son ingenieros) Ejemplificación universal: (x) Ix y (x) Ix Iγ Ia
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La ejemplificación universal quiere decir que de una proposición universal ‘(x) Ix’, se puede deducir o bien un ejemplo de sustitución con un individuo arbitrariamente escogido del universo del discurso, ‘Yγ’, o bien con cada uno de los individuos determinados del universa del discurso, ‘Pa’, ‘Pb’, ‘Pc’.... 2.4.2. Generalización Universal (GU) Lo que se afirma de un individuo cualquiera escogido arbitrariamente, ‘γ’ de un universo del discurso determinado, se afirma de todos los individuos de ese universo del discurso. Si el universo del discurso, por ejemplo, está constituido por los alumnos de lógica de una sección y afirmamos con verdad que uno cualquiera de ellos escogido al azar es venezolano, podemos inferir con verdad que todos los alumnos de esa sección son venezolanos. Luego, de ‘Vγ’ (“γ es venezolano”) se puede deducir ‘(x) Vx’ (“Todos son venezolanos”). Generalizando, de un ejemplo de sustitución de un individuo cualquiera escogido arbitrariamente obtenido por EU se puede deducir una proposición universal en el respectivo universo del discurso. Dicho de otra forma, de la función proposicional, ‘Px’, de una proposición singular formada con un individuo cualquiera escogido arbitrariamente, ‘Pγ’, obtenido de una proposición universal mediante EU, se puede deducir la cuantificación universal de esa función proposicional, ‘(x) Px’. De ahí la regla de GU: P (x) Px Esto es, de ‘Pγ’ se puede deducir ‘(x) Px’, donde ‘P’ es un predicado cualquiera. 2.4.3. Ejemplificación Existencial (EE) Lo que se dice de algunos individuos en forma indeterminada, en un universo del discurso específico, se dice de, al menos, uno o de varios individuos determinados de ese universo. Si el universo del discurso está constituido por los estudiantes de la Universidad del Zulia y afirmamos: “Algunos son extranjeros”, evidentemente, de esta proposición podemos deducir que hay estudiantes (al menos uno) determinados que son extranjeros. Esto es, de una proposición particular se puede inferir uno o varios ejemplos de sustitución con individuos determinados. Por tanto, generalizando, la regla de ejemplificación existencial se expresa así: (∃x) Px Pa Donde ‘P’ es un predicado cualquiera. Ahora bien, de ‘(∃x) Px’ se puede deducir, al menos, un ejemplo de sustitución, ‘Pa’, pero también pueden deducirse otros ejemplos de sustitución como ‘Pb’, ‘Pc’, etc. Por eso, cuando en una demostración de validez de un razonamiento se aplique la regla de ejemplificación existencial más de una vez, en la primera aplicación se obtiene el ejemplo de sustitución con el individuo ‘a’, es decir, se deduce ‘Pa’; en la segunda aplicación se obtendrá el ejemplo de sustitución con el individuo ‘b’, para deducir ‘Pb’; si hubiera una tercera aplicación se obtendría ‘Pc’, y así sucesivamente. Es decir, de ‘(∃x) Px’ se puede deducir un ejemplo de sustitución que todavía no haya aparecido en la demostración.
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2.4.4. Generalización Existencial (GE) De lo que se predica de un individuo, por ejemplo, de Robert Smith, afirmando: “Robert Smith es extranjero” en el universo del discurso constituido por los alumnos de la Universidad del Zulia, se puede inferir la proposición: “Algunos son extranjeros”, recordando que, en lógica, ‘algunos’ quiere decir ‘al menos uno’. Generalizando, podemos decir que de un ejemplo de sustitución o de una proposición singular se puede deducir la cuantificación existencial de su función proposicional. Luego, la regla de la generalización existencial se formula así: Pa (x ) Px donde ‘P’ es un predicado cualquiera. Resumen de las cuatro reglas de inferencia. • Ejemplificación universal (EU) a) (x) Px Pγ •
Generalización universal (GU)
•
Ejemplificación existencial (EE)
•
Generalización existencial (GE)
b) (x) Px Pa Pγ (x)Px
(∃x) Px Pa
Pa (∃x) Px
Observaciones: • Restricción para el uso de la GU. El ejemplo de sustitución de un individuo cualquiera escogido arbitrariamente tiene que provenir de la aplicación de la EU a una proposición universal. • Restricción para el uso de la EE. El ejemplo de sustitución deducido tiene que hacerse con una constante individual que no haya aparecido antes. Eso significa que en una demostración formal de validez de razonamientos donde sea necesario utilizar tanto la EU como la EE, esta última debe utilizarse primero. • Una última observación. La aplicación de las cuatro reglas de inferencia introducidas pueden efectuarse también con proposiciones que contengan dos o más predicados. Por ejemplo, a la proposición ‘(x) (Px ⊃ Rx)’ se puede aplicar la regla de ejemplificación universal para obtener ‘Pγ ⊃ Rγ' o, según el caso, ‘Pa ⊃ Ra’.
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Pasamos a resolver los siguientes ejercicios
EJERCICIOS: Identificar las reglas de inferencia propias de la lógica de predicados. (1) Los ángulos internos de un triangulo cualquiera valen 180, por tanto los ángulos de TODOS los triángulos son iguales a 180. (2) El pelotero venezolano Luis Aparicio está en el salón de la Fama, por lo tanto, algún pelotero venezolano está en el Salón de la Fama. (3) Todas las circunferencias suman 360°, luego la circunferencia A suma 360°. (4) Los husos horarios suman 15°, luego cualquier hoso horario escogido al azar suma también 15°. (5) Algunos alumno de la Universidad del Zulia proceden del estado Táchira, luego, al menos, uno de los alumnos de la Universidad del Zulia procede del Táchira. (6) Pγ implica (x) Px. (7) Pa implica (∃x) Px. (8) (x) Px implica Pa. (9) (∃x) Px implica Pa. (10) (x) Px implica Pγ.
2.5. Demostración de Validez Una vez introducidas las cuatros reglas de inferencia necesarias para construir demostraciones formales de validez para razonamientos cuya validez depende de las estructuras internas de las proposiciones simples que aparecen en los mismos, procederemos a su aplicación demostrando algunos razonamientos en que se deben aplicar. Primer razonamiento. Todos los griegos son mortales Sócrates es griego. Luego, Sócrates es mortal. Vocabulario primitivo: a: Sócrates Gx: x es griego Mx: x es mortal. En símbolos, es: (x) (Gx ⊃ Mx) Ga
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Ma La demostración formal de validez se realiza de esta manera. Demostrar: Ma 1. (x) (Gx ⊃ Mx) P 2. Ga P/∴Ma 3. Ga ⊃ Ma EU, 1 4. Ma MPP 2, 3 En la línea 3 hemos aplicado la opción (b) de la regla de EU, por cuanto en la premisa (2) el razonamiento se refiere a un individuo determinado, Sócrates, del universo del discurso. La línea 4 es obvia. Segundo razonamiento: Todos los jueces son abogados. Todos los magistrados de la Corte Suprema son jueces. Por tanto, todos los magistrados de la Corte Suprema son abogados. Vocabulario primitivo Jx: x es juez Ax: x es abogado Mx: x es magistrado de la Corte Suprema. En símbolos, es así: (x) (Jx ⊃ Ax) (x) (Mx ⊃ Jx) (x) (Mx ⊃ Ax) Demostración formal de validez. Demostrar: (x)(Mx ⊃ Ax) l. (x) (Jx ⊃ Ax) 2. (x) (Mx ⊃ Jx) 3. Jγ ⊃ Ay 4. Mγ ⊃ Jy 5. Mγ ⊃ Aγ 6. (x) (Mx ⊃ Ax)
P P EU, 1 EU, 2 TI 3, 4 GU 5
En las líneas 3 y 4 se ha aplicado la regla EU en su opción (a), por cuanto en la línea 6 se tiene que aplicar la regla GU, la cual sólo se puede realizar si se tiene un ejemplo de sustitución con un individuo cualquiera escogido arbitrariamente que hemos convenido en simbolizarlo con la letra griega ‘γ’. La línea 5 se obtiene mediante la regla de TI aplicada a las líneas 3 y 4. Y, finalmente, la línea 6 se obtiene aplicando la regla de EU a la línea 5 que es un ejemplo de sustitución con el individuo ‘γ’, esto es, con un individuo cualquiera escogido arbitrariamente del universo del discurso. Tercer razonamiento: Todos los filósofos son reflexivos. Algunos zulianos son filósofos. Luego, algunos zulianos son reflexivos.
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Vocabulario primitivo: Fx: x es filósofo. Rx: x es reflexivo. Zx: x es zuliano. Lo simbolizamos de este modo: (x) (Fx ⊃ Rx) (∃x) (Zx ∧ Fx) (∃x) (Zx ∧ Rx) Su demostración formal es como sigue: Demostrar: (∃x) (Zx ∧ Rx) 1. (x) (Fx ⊃ Rx) P 2. (∃x) (Zx ∧ Fx) P 3. Za ∧ Fa EE 2 4. Fa ⊃ Ra EU 1 5. Fa Simp. 3 6. Ra MPP 4, 5 7. Za Simp. 3 8. Za ∧ Ra Conj. 7, 6 9. (∃x) (Zx ∧ Rx) GE 8 Observa que es obligatorio aplicar, primero la regla de EE y, luego, la EU, debido a la restricción en el uso de la EE, la cual estípula que el ejemplo de sustitución deducido tiene que hacerse con un individuo que no haya aparecido en la demostración. Si se hubiera aplicado primero la regla de EU, el individuo ‘a’ con el cual se hubiera deducido el ejemplo de sustitución, no podría usarse en la aplicación siguiente de la regla EE en virtud de la restricción anotada y tendría que utilizarse el individuo ‘b’. De esta manera no sería posible la demostración formal de validez de este razonamiento válido. Veamos cómo quedaría la pretendida demostración de validez aplicando primero la regla de EU sería así: 1. (x) (Fx ⊃ Rx) P 2. (∃x) (Zx ∧ Fx) /∴ (Zx ∧ Rx) P 3. Fa ⊃ Ra EU 1 4. Zb ∧ Fb EE 2 5. Fb Simp. 4 Hasta ahí se podría seguir ya que del no se puede aplicar el MPP en las filas 3 y 4, puesto que el antecedente de (3), ‘Fa’, es distinto de la línea (5), ‘Fb’. Por eso, siempre que se tengan que aplicar las reglas de EU y EE, ésta última debe aplicarse primero. Las filas 5, 6, 7 y 8 se obtienen, como se indica en la demostración, con las reglas anotadas. En la fila 9 introducimos por primera vez la aplicación de la regla de GE. Para indicar la necesidad de la restricción de EE me voy a referir a un razonamiento obviamente inválido que, aunque vanal y absurdo, es sumamente ilustrativo al respecto. El razonamiento es éste: Algunos zulianos son responsables. Algunos caraqueños son responsables Por tanto, algunos zulianos son caraqueños. La tal demostración “errónea” podría ser ésta:
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Demostrar: (∃x)(Zx ∧ Cx) 1. (∃x) (Zx ∧ Rx) P 2. (∃x) (Cx ∧ Rx) P 3. Za ∧ Ra EE 1 4. Ca ∧ Ra EE 2 (erróneo) 5. Za Simp. 3 6. Ca Simp. 4 7. Za ∧ Ca Conj. 5, 6 8.(∃x)(Zx ∧ Cx) GE 7 El error aparece en la línea (4). Por la segunda premisa, ‘(∃x) (Cx ∧ Rx)’, sabemos que hay, al menos, una persona que es caraqueña y al mismo tiempo es responsable. Si pudiéramos asignarle la constante individual ‘a’, podríamos afirmar, obviamente, ‘Ca ∧ Ra’. Pero no nos es permitido hacer esa asignación, pues en la fila (3) ya ha servido como constante individual para un zuliano. Para evitar estos errores tenemos que tener siempre en cuenta la restricciones de EE, y por tanto, en toda demostración en que se requieran tanto el uso de EE como de EU, EE debe utilizares siempre primero. Pasemos a resolver los siguientes ejercicios EJERCICIOS: Justifica cada una de las filas de la demostración de las siguientes formas de silogismos de forma típica (objetivo 13.2) (1) Demostrar: (x) (Gx ⊃ ∼ Px) (1) (Hx ⊃ ∼ Px) P (2) (x) (Gx ⊃ Hx) P (3) Gγ ⊃ Hγ (4) Hγ ⊃ ∼ Pγ (5) Gγ ⊃ ∼ Pγ (6) (x) (Gx ⊃ ∼ Px) (2) Demostrar: (∃x) (Gx ∧ Sx) (1) (x) (Fx ⊃ Sx) P (2) (∃x) (Gx ∧ Fx) P (3) Ga ∧ Sa (4) Fa ⊃ Sa (5) Fa (6) Sa (7) Ga (8) Ga ∧ Sa (9) (∃x) (Gx ∧ Sx) (3) Demostrar: (∃x) (Mx ∧ ∼ Gx) (1) (x) (Hx ⊃ Mx) P (2) (∃x) (Hx ∧ ∼ Gx) P (3) Ha ∧ ∼ Ga (4) Ha ⊃ Ma (5) Ha (6) Ma (7) ∼ Ga (8) Ma ∧ ∼ Ga (9) (∃x) (Mx ∧ ∼Gx) (4) Demostrar: (x) (Gx ⊃ Mx)
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(1) (x) (Hx ⊃ Mx) (2) (x) (Gx ⊃ Hx) (3) Gγ ⊃ Hγ (4) Hγ ⊃ Mγ (5) Gγ ⊃ Mγ (6) (x) (Gx ⊃ Mx)
P P
Ahora resuelve el autoevaluativo que te ofrecemos a continuación. ¡Comienza a trabajar y Suerte! AUTOEVALUATIVO 13 A. Demostrar la validez de las siguientes formas de los silogismos CFT m~iante el método demostrativo (objetivo 13.3.). 1.
(x) (Sx ⊃ Ex) (∃x) (Sx ∧ ∼ Vx) (∃x) (Ex ∧ ∼ Vx)
2. (x) (Tx ⊃ ∼ Dx) (x) (Gx ⊃ Tx) (x) (Gx ⊃ ∼ Dx)
3. (x) (Fx ⊃ Px) (∃x) (Gx ∧ Fx) (∃x) (Gx ∧ Px) 4. (x) (Ix ⊃ Nx) (x) (Gx ⊃ Ix) (x) (Gx ⊃ Nx)
B. Demostrar la validez de los siguientes silogismos CFT mediante el método demostrativo (objetivo 13.3.). (1) Demostrar la validez de los silogismos CFT No. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14 y 15 de la autoevaluación de las páginas 11 y 12. (2) Demostrar la validez de los silogismos CFT de los No. 1, 4 y 5 de la autoevaluación de la página 24. (3) Demostrar la validez de los silogismos CFT No. 1, 2 y 3 de la autoevaluacion de la página
C. Construye en castellano dos silogismos CFT a partir de las siguientes formas lógicas, determinando el contenido y definiendo su vocabulario primitivo. ‘P’, ‘Q’, y ‘R’, representan cualquier predicado. (objetivo 13.4.). (4) (x) (Px ⊃ Rx) (1) (x) (Px ⊃ Qx) (x) (Qx ⊃ Px) (x) (Qx ⊃ ∼ Rx) (x) (Qx ⊃ Rx) (x) (Rx ⊃ ∼ Px) (2) (∃x) (Rx ∧ Px) (x) (Px ⊃ ∼Qx) (∃x) (Rx ∧ ∼ Qx) (3) (∃x) (Px ∧ ∼ Qx) (x) (Px ⊃ Rx) (∃x) (Rx ∧ ∼ Qx)
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Muy bien… hemos concluido con el estudio de la unidad III, ahora te Invitamos a corroborar los resultados de los ejercicios en el ciclo de respuestas, Pasa a la página siguiente. ÉXITO…
RESPUESTAS A. LÓGICA TRADICIONAL Ejercicios: Página 11 Proposiciones Generales, Singulares y Categóricas (1) Algunos libros escritos en arameo hace dos mil años, S son traducidos actualmente al castellano. P • Es una proposición categórica de forma típica. • Su esquema: Algún S es P. • Por tanto, es particular afirmativa (Tipo I). (2) Un abogado graduado en La Universidad del Zulia es un profesional eficiente: • Es una proposición categórica de forma no típica. • Traducción a su forma típica: Todos los abogados graduados en La Universidad del Zulia, son S profesionales eficientes. P • Su esquema: Todo S es P. • Por tanto, es universal afirmativa (Tipo A) (5) Nada nuevo hay bajo el sol. • Es una proposición categórica de forma no típica. • Su forma típica es: Ninguna cosa es nueva bajo el sol. S P • Su esquema: Ningún S es P. • Por tanto, es universal negativa (Tipo E). (10) Ningún caballero engaña.
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• • • •
Es una proposición categórica de forma no típica. Traducción a su forma típica: Ningún caballero engaña. S Su esquema: Ningún S es P. Por tanto, es universal negativa (Tipo E).
es
persona
que
P
(15) Sólo los médicos están autorizados para diagnosticar • Es una proposición categórica de forma no típica. • Traducción a su forma típica: Todos los autorizados para diagnosticar son médicos. S P • •
Su esquema: Todo S es P. Por tanto, es universal afirmativa (Tipo A).
(20) Alguien de la clase puede no estar de acuerdo con la explicación del profesor. • Es una proposición categórica de forma no típica. • Traducción a su forma típica: Algunos alumnos de la clase no son personas que S pueden estar de acuerdo con la explicación del profesor. P • Su esquema: Algún S no es P. • Por tanto, es particular negativo (Tipo O). (25) Un hombre orgulloso no reconoce fácilmente sus errores. • Es una proposición categórica de forma no típica. • Traducción a su forma típica: Todo hombre orgulloso es un hombre que no reconoce fácilmente sus errores; que a su vez equivale a: Ningún hombre orgulloso es hombre que reconoce fácilmente sus errores S P • Su esquema: Ningún S es P. • Por tanto, es universal negativa (Tipo E). (30) Digno de admiración es quien respeta al pobre. Es una proposición categórica de forma no típica. Traducción a su forma típica: Todas las personas que respetan a los pobres son S dignas de admiración. P • •
Su esquema: Todo S es P. Por tanto, es universal afirmativa (Tipo A).
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Ejercicios: Página 1 5 Cuadro Tradicional de Oposición (1) De E infiero las negaciones de I, la proposición 0 y la negación de A. Las proposiciones inferidas son: a) Es falso que algún ciego pueda guiar a otro ciego. b) Algunos ciegos no pueden guiar a otros ciegos. c) Es falso que los ciegos puedan guiar a otros ciegos. (2) De I se infiere la negación de E. La inferencia es: Es falso que ninguno que se atrinchera en sus mentiras termina por creerlas. (3) De A infiero la negación de 0 , la proposición I y la negación de E. Las inferencias son: a) Es falso que alguno que odia a su hermano es un asesino. b) Alguno que odia a su hermano es un asesino. c) Es falso que ninguno que odia a su hermano es un asesino.
AUTOEVALUATIVO 9: Página: 18 (2) Su esquema: Algún S es P (tipo I). De ella se puede inferir válidamente: * Por negación de la contradictoria: Es falso que ningún matemático famoso haya sido filósofo. * Por conversión: Hay filósofos que han sido matemáticos famosos. * Por obversión: Hay matemáticos famosos que no han sido no-filósofos. (3) No es una proposición categórica, sin embargo, por negación de la contradictoria se puede inferir: es falso que hay algo nuevo bajo el sol. Las demás inferencias no son posibles. Nota: Si te quedó alguna duda, consúltala con tu asesor. (5) Su esquema: Ningún S es P (tipo E). Se puede inferir válidamente: * Por negación de la contradictoria: No es verdad que alguien que se aprecie a sí mismo se entregue al vicio. * Por conversión: Nadie que se entregue al vicio se precia a sí mismo. * Por obversión: Todo el que se precie a sí mismo no se entrega al vicio. (7) Su esquema: Todo S es P (tipo A). Se puede inferir válidamente: * Por negación de la contradictoria: Es falso que algunos que siembran vientos cosechan tempestades. * Por conversión: No es válida su conversa. * Por obversión: Ninguno que siembra vientos no cosecha tempestades.
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Las respuestas de (1), (4) y (6) consúltalas con algún compañero o con tu asesor. Cuando hayas concluido, si deseas ampliar o profundizar este punto te recomiendo la siguiente LECTURA COMPLEMENTARIA: I. COPI; Introducción a la Lógica páginas: Si tienes alguna duda vuelve a trabajar cuidadosamente tu material.
Ejercicios: Página 21 Silogismos Categóricos de Forma Típica (A1) Su esquema: Todo M es S Algún M no es P Algún S no es P Volviéndolo a la forma típica: Algún M no es P Todo M es S Algún S no es P Su modo: Su figura:
OAO M–P M–S S–P
(A2) Su esquema:
Su modo: Su figura:
Todo P es M Ningún S es M Ningún S es P
AEE P–M S–P S–P
Nota: Las respuestas del ejercicio (A3) y del ejercicio B consúltalas con tu asesor y aclara cualquier duda.
Ejercicios: Página 24 Figuras y Formas Válidas del Silogismo C.F.T. (1) Su esquema: Ningún M es P Todo S es M Ningún S es P Su figura y modo: EAE-1 El razonamiento es válido porque tiene la forma CELARENT.
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(2) Su esquema Ningún M es P Algún S es M Ningún S es P Modo y figura: EIE-1 No hay ninguna forma válida que corresponda a ese modo y figura, luego es un silogismo no válido. (4) Su esquema: Todo M es P Algún M es S Algún S es P Modo y figura: AII-3 Corresponde a la forma DATISI, luego es un silogismo válido (7) Su esquema: Todo M es P Algún S es M Algún S es P Modo y figura: AII- 1 Luego, es DARII y, por tanto, válido.
(8) Su esquema: Todo P es M Todo S es M Todo S es P Modo y figura: AAA-2 No hay ninguna forma válida correspondiente, luego, no es válido. (9) Su esquema: Todo P es M Ningún S es M Ningún S es P Modo y figura: AEE-2. Luego, es CAMESTRE y, por tanto, válido. Ejercicios: Página 27 Silogismos categóricos de Forma No Típica (1) Silogismo Categórico de Forma Típica: •
Algunos intelectuales son distraídos.
•
Todos los filósofos son intelectuales.
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•
Por lo tanto, algunos filósofos son distraídos.
Su estructura: Algún M es P Todo S es M Algún S es P Modo y figura: IAI- 1 No hay ninguna forma que corresponda a ese modo y figura, por tanto, es inválido. (5) Silogismo Categórico de Forma Típica: •
Ningún millonario es persona que se empobrece por pagar impuestos.
• •
Todos los empresarios son millonarios. Por tanto, ningún empresario es persona que se empobrece por pagar impuestos
Su estructura: Ningún M es P Todo S es M Ningún S es P Modo y figura .- EAE- 1, que corresponde a la forma CELARENT, luego es válido. (10) Silogismo Categórico de Forma Típica: •
Ningún silogismo válido es un silogismo de cuatro términos.
• •
Todo silogismo de este ejercicio es válido. Luego, ningún silogismo de este ejercicio es un silogismo de cuatro términos.
Para obtener la premisa menor, primero se sustituyó ‘inválido’ por su sinónimo ‘noválido’, y segundo se aplicó la inferencia por obversión. Su estructura: Ningún M es P Todo S es M Ningún S es P Modo y figura: EAE-1, que corresponden a la forma CELARENT, luego es válido. (15) (a) Silogismo ordenado: • • •
Ningún original es fácil de lograr. Todas las cosas difíciles de obtener son cosas caras. Luego, todas las cosas baratas son imitaciones.
Observe que la premisa menor ha sido sustituida por su equivalente. (b) Sustitución de sinónimos:
238
No-imitada por original. No-baratas por caras. No-fáciles por dificiles. Entonces el silogismo sería: • • •
Ninguna cosa no-imitada es fácil de lograr. Todas las cosas no-fáciles de lograr son cosas no-baratas Luego, todas las cosas baratas son imitaciones.
(c) Aplicación a la premisa mayor la conversión y, luego, la obversión; aplicación a la premisa menor la obversión, después la conversión y, finalmente, otra obversión. • • •
Todas las cosas fáciles de lograr son cosas imitadas. Todas las cosas baratas son cosas fáciles de lograr. Luego, todas las cosas baratas son cosas imitadas.
Su estructura : Todo M es P Todo S es M Todo S es P Modo y figura: AAA-l, que corresponden a la forma BARBARA, luego es válido.
Ejercicios: Página30 Construcción de Silogismos Si tienes alguna duda consulta con tu Asesor
Ejercicios: Página 31 Los Entimemas (1) Todos los ingenieros son graduados universitarios (proposición faltante). Todos los socios propietarios del Colegio de Ingenieros son ingenieros. Luego, todos los socios propietarios del Colegio de Ingenieros son graduados universitarios. Forma del silogismo: AAA-l: BARBARA, luego es válido. (2) Todos los alumnos que estudien bien la materia son alumnos que responden bien el examen ( proposición faltante ). Ningún alumno es un alumno que responde bien el examen. Por tanto, ningún alumno es un alumno que entienda bien la materia. Forma: AEE-2: CAMESTRES, luego es válido.
239
(3) Todas las personas reflexivas y estudiosas son el porvenir de la sociedad ( proposición faltante ). Algunos estudiantes son personas reflexivas y estudiosas. Por tanto, algunos estudiantes son el porvenir de la sociedad. Forma del silogismo: AII-1: DARII, luego es valido. (6) Todos los políticos cuyas riquezas provienen de lo que ganan son hombres honestos (proposición faltante). Algunos políticos son políticos cuyas riquezas provienen de lo ganado. Por tanto, algunos políticos son honestos. Forma del silogismo: AII-1 : DARII, luego es válido.
Ejercicios: Página 33 El Sorites (1)a) Todas las personas felices son personas pacíficas Todas las personas exitosas son personas felices. Luego, todas las personas exitosas son personas pacíficas. Forma: BARBARA (1), luego es válido. b) Todas las personas exitosas son personas pacíficas. Todos los trabajadores son personas exitosas. Luego, todos los trabajadores son personas pacíficas. Forma: BARBARA, luego es válido. El sorites es válido ya que los silogismos que lo componen lo son.
(2)a) Todas las personas estudiosas son personas responsables. Todos los alumnos son personas estudiosas Por tanto, todos los alumnos son personas responsables Formas BARBARA (1), luego es válido. b) Ninguna persona que robe es persona responsable Todos los alumnos son personas responsables. Por tanto, ningún alumno es persona que robe. Forma: CESARE, luego es válido. El sorites es válido por ser válidos sus silogismos componentes.
(3)a) Ninguna persona humilde es una persona que miente. Todos los corruptos son personas que mienten.
240
Luego, ningún corrupto es humilde. Forma: CESARE (2) luego es válido b) Todas las personas sabias son humildes. Ningún corrupto es humilde Luego, ningún corrupto es persona sabia. Forma: CAMESTRE (2), luego es válido. El sorites es válido porque los dos silogismos de que se compone son válidos. AUTOEVALUATIVO 14: Página: 36 (1) Se puede refutar rechazando la segunda premisa. Los que votaron pueden argumentar que en una democracia el voto es su principal instrumento de participación y que, a veces, es preciso escoger el menos malo de los aspirantes. El que no votó puede argüir diciendo que lo hace para protestar, puesto que de hacerlo contribuiría al afianzamiento de esta “democracia” aparente. (3) Se puede refutar con este contradilema: O bien digo la verdad o no la digo; si la digo, gano el respeto de la gente y si lo segundo, no delato a mi amigo. Luego, en ambos casos es positivo.
(6) Se puede refutar con este contradilema: O el gobierno aumenta los impuestos o no lo aumenta. Si lo primero, dispondrá de más dinero para invertir, si lo segundo , las familias contarán con mayor presupuesto. Luego, en ambos casos es positivo. C. PRUEBA DE VALIDEZ Ejercicios: Página 39 Representación Gráfica de Proposiciones Categóricas (1) Su esquema: Todo S es P (Tipo A)
Gráfico
(2) Algún S es P (Tipo I)
Gráfico 241
(4) Tipo A: Todo S es P
Gráfico
Las respuestas de (3) y (5) consúltalas con tu asesor o con algún compañero
AUTOEVALUATIVO 11: Página: 44 (1) La figura del silogismo es: Todo los P son M Ningún M es S Ningún S es P El diagrama de las premisas:
válido.
Como se ve en la conclusión quedó diagramada; por lo tanto el razonamiento es Gráfico
(2) Figura:
Ningún P es M Algún S es M Algún S no es P
Gráfico
Interpretación: la conclusión quedó diagramada. El silogismo es válido.
(3) Figura:
Todo M es P Todo M es S Todo S es P
Gráfico
Interpretación: La conclusión no quedó diagramada por lo cual…
(4) Figura:
Todo M es P Ningún M es S Ningún S es P
Gráfico 242
Interpretación…
Las respuestas de (3), (4), (5) y (6) deberás confrontarlas con algún compañero O consultarlas con tu profesor. C. LÓGICA DE PREDICADOS
(2)
Ejercicios: Página: 49 Simbolización de Proposiciones Generales de un Predicado Algunos llegaron tarde. Vocabulario primitivo: (∃x): Existe, al menos, un x. Tx: x llegó tarde. (∃x) Tx.
(4)
Ninguno vino Vocabulario primitivo: (x): Para todo x. Vx: x vino. (x) ~ Vx.
(8)
Vocabulario primitivo: a: Luis Ex: x es estudiante. ~ Ea.
(10)
Vocabulario primitivo: a: La ciudad más populosa del mundo. Px: x es peligrosa. Pa. Ejercicios: Página:53 Simbolización de Proposiciones Categóricas
Observación: en el vocabulario primitivo no incluiremos los cuantificadores (1) Equivale a la proposición: Todos los perros son invertebrados. Vocabulario primitivo: Px: x es perro. Lx: x es invertebrado. La proposición se formula también así: “Para todo x, si x es pero entonces x es mortal.” Por tanto su simbolización es: (x) (Px ⊃ Lx)
243
(7) Equivale a la proposición: Todos los triunfadores son trabajadores. Vocabulario primitivo: Tx: x es triunfador. Rx: x es trabajador (la R es la segunda letra de trabajador, se utiliza porque la T ya está utilizada para triunfador). Su simbolización es: (x) (Tx ⊃ Rx) (11)
Equivale a la proposición: Algo brillante no es oro. Vocabulario primitivo: Bx: x es brillante. Ox: x es oro. Su simbolización es: (∃x) (Bx ∧ ∼ Ox).
(13)
Equivale a la proposición: Todo lo dicho fue no-importante. Vocabulario primitivo: Dx: x es dicho. Lx: x es importante. Su simbolización es: (x) (Dx ⊃ ∼ Lx).
(18)
Equivale a la proposición: Es falso que algunas enfermedades no son de cuidado. Vocabulario primitivo: Ex: x es enfermedad. Cx: x es de cuidado. Su simbolización es: ~ (∃x) (Ax ∧ ∼ Cx).
(20)
Equivale a la proposición: Algunos alumnos de la facultad de derecho serán jueces. Vocabulario primitivo: Ax: x es un alumno de la facultad de derecho. Jx: x es juez. Su simbolización es: (∃x) ( Ax ∧ Tx).
(21)
Equivale a: Toda oveja es una oveja con pareja. Vocabulario primitivo: Ox: x es oveja. Px: x es una oveja con pareja. Se simboliza: (x) (Ox ⊃ Px). AUTOEVALUATIVO 12: Página: 56
(1)Vocabulario primitivo
Ax: x es artista Ex: x es persona exigente. Ix: x es insolente.
Forma Lógica: (x) (Ax ⊃ Ex) (∃x ) (Ax ∧ Cx)
244
(∃x ) (Px ∧ Ix) (3) Silogismo en forma típica: Todos los compromisos sociales son grandes ideales. Algunas propuestas son compromisos sociales. Luego, algunas propuestas son grandes ideales. Vocabulario primitivo:
Cx: x es compromiso social Ix: x es gran ideal. Px: es propuesta
Forma lógica: (x) (Cx ⊃ Ix) (∃x) (Px ∧ Cx) (∃x ) (Px ∧ Ix) (10) Silogismo en forma típica: Ningún profesor es fanático. Todas las personas de mente cerrada son fanáticas. Por tanto, ninguna persona de mente cerrada es profesor. Vocabulario primitivo:
Px: x es profesor. Fx: x es fanático. Cx: x es persona cerrada
Forma lógica: (x) (Px ⊃ ~ Fx) (x) (Cx ⊃ Fx) (x) (Cx ⊃ ∼ Px) (15) Silogismo en forma típica: Todas las personas objetivas son responsables. Todos los científicos son personas objetivas Por consiguiente, todos los científicos son responsables. Vocabulario primitivo:
Cx: x es cientíñco. Ox: x es persona objetiva. Rx: x es responsable.
Forma lógica: (x) (Ox ⊃ Rx) (x) (Cx ⊃ Ox) (x) (Cx ⊃ Rx) (16) Este silogismo tiene cinco términos, luego para traducirlo a silogismos de Forma Típica hay que reducirla a tres. Para ello la premisa mayor: “Ninguna persona desleal es confiable” se transforma por conversión en: “Ninguna persona confiable es desleal”, y ésta, a su vez, por obversión se convierte en: “Toda persona confiable es leal”. A la premisa
245
menor: “Todas las personas no-confiables son personas no-transparentes”, se le aplica, primero, la obversión y, así, se obtiene: “Ninguna persona no-confiable es transparente”; segundo, a ésta se le aplica la conversión convirtiéndose en : “Ninguna persona transparente es no-confiable”; y, tercero, se aplica nuevamente la obversión y se convierte en: “Toda persona transparente es confiable”. Finalmente, la conclusión: “Sólo las personas leales son transparentes”, equivale a: “Todas las personas transparentes son leales”. Luego, el silogismo de forma típica es éste: Toda persona confiable es leal. Toda persona transparente es confiable. Por tanto, todas las personas transparentes son leales Vocabulario primitivo:
Cx: x es confiable. Lx: x es leal. Tx: x es transparente.
Forma lógica: (x) (Cx ⊃ Lx) (x) (Tx ⊃ Cx) (x) (Tx ⊃ Lx) Ejercicios: Página: 62 Reglas de Inferencia (l) Generalización universal (5) Ejemplificación existencial. (10) Ejemplificación universal.
Ejercicios: Página: 66
Demostración de Validez
(1) Demostrar: (x) (Gx ⊃ ∼ Px) (1) (x) (Hx ⊃ ∼ Px) (2) (x) (Gx ⊃ Hx) (3) Gγ ⊃ Hγ (4) Hγ ⊃ ∼ Pγ (5) (x)(Hx ⊃ ∼ Px)
P P EU2 EU 1 GU 5
AUTOEVALUATIVO 13: Página: 68 A (1) Demostrar: (∃x) (Ex ∧ ∼ Vx) (1)(x) ( Sx ⊃ Ex) (2)(∃x ) (Sx ∧ ∼ Vx) (3) Sa ∧ ∼ Va (4) Sa ⊃ Ea (5) Sa (6) Ea (7) ~ Va (8) Ea ∧ ∼ Va
P P EE 2 EU 1 Simp 3 MPP 4, 5 Simp 3 Conj 6,7
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(9) (∃x) (Ex ∧ ∼ Vx)
GE8
B(1) # 1. Forma lógica: (x) (Ax ⊃ Ex) (∃x) (Ax ∧ Ix) (∃x) (Ix ∧ Ax)
Demostrar: (∃x) (Ix ∧ Ax) (1) (x) (Ax ⊃ Ex) (2) (∃x) (Ax ∧ Ix) (3) Aa ∧ Ia (4) Aa ⊃ Ea (5) Aa (6) Ea (7) Ia (8) Ia ∧ Aa (9) (∃x) (Ix ∧ Ax)
P P EE 2 EU Simp 3 MPP 4, 5 Simp 3 Conj 7, 5 GE
Nota: Observa que la regla de EE fue aplicada antes de la EU. Razón: si se hubiera utilizado primero la regla de GLl, al aplicar la regla de EE el ejemplo de sustitución no podría realizarse con la misma constante individual debido a la restricción de la regla EE que dice que el ejemplo de sustitución sólo puede hacerse con una constante individual que no haya aparecido antes en la demostración. B(1) #4. Forma lógica (x) (Ex ⊃ Ux) (x) (Ux ⊃ ∼ Px) (x) (Ex ⊃ ∼ Px) Demostrar: (x) (Ex ~~ Px) (1) (x) (Ex ⊃ Px) P (2) (x) (Ux ⊃ ∼ Px) P (3) Eγ ⊃ Uγ EU l (4) Uγ ⊃ ∼ Pγ EU 2 (5) Eγ ⊃ ∼ Py TI 2,4 (6) (x) (Ex ⊃ ∼ Px) GU 5 Nota: El ejemplo de sustitución de (1) y de (2) tiene que ser un individuo cualquiera escogido arbitrariamente y representado por ‘γ’. De no ser así no se podría aplicar la GU en (5) para obtener la conclusión. B(2) #5. Forma lógica: (x) (Cx ⊃ Ax) (x) (Ax ⊃ Ix)
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(x) (Cx ⊃ Ix) Demostrar: (x) (Gx ⊃ Ix) (1) (x) (Cx ⊃ Ax) (2) (x) (Ax ⊃ Ix) (3) Cγ ⊃ Aγ (4) Aγ ⊃ Iγ (5) Cγ ⊃ Iγ (6) (x) (Cx ⊃ Ix)
P P EU l EU 2 TI 3,4 GU5
Nota: El resto de los ejercicios son semejantes a los resueltos. C (3) Contenido: características humanas. Vocabulario primitivo: Px: x es estudiante. Qx: x es responsable. Rx: x es marabino. Silogismos: Algunos estudiantes no son responsables. Todos los estudiantes son marabinos. Por tanto, algunos marabinos no son responsables,
C(4)
Contenido: Física. Vocabulario primitivo: Px: x es materia Qx: x es estrella Rx: x es energía. Silogismos: Toda la materia es energía Toda estrella es materia Toda estrella es energía.
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BIBLIOGRAFIA • • • • • • • • • • • • •
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