Lógica de Enunciados

Tema 3

Lógica de enunciados

Nociones básicas de la Lógica de enunciados 1ª prueba presencial

(9 febrero)

NOCIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA DE ENUNCIADOS ORACIÓN Y ENUNCIADO FUNCTORES PROPOSICIONALES Negación «no» (¬) Conjunción «y » ( ) Disyunción «o» ( ) Condicional « si…, entonces… entonces…» ( ) Bicondicional « si y sólo si…, entonces… » ( ) R EGLAS EGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS FORMALIZACIÓN DEL LENGUAJE NATURAL EJERCICIOS

BIBLIOGRAFÍA INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL (Alfredo Deaño) Capítulo II ~ páginas 51-XX FORMAS LÓGICAS (Pilar Castrillo C. y Amparo Díez M.) Capítulo II ~ páginas 32-55 LÓGICA SIMBÓLICA (Manuel Garrido)

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Apuntes de Lógica

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NOCIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA DE ENUNCIADOS

Como ya hemos visto, la lógica de enunciados (o lógica proposicional) trata del estudio de la composición de enunciados mediante conectores (y, o, si…entonces, etc.). Este nivel de análisis es el más elemental de la lógica y en él no se analizan los enunciados en sí, sino aquellas formas válidas de deducir un enunciado a partir de otro sin necesidad de analizar por dentro cada uno de ellos.

1 18 By Ana Carrillo

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Nociones básicas de la Lógica de enunciados Dicho de otro modo, la lógica de enunciados estudia la validez de aquellos argumentos que depende exclusivamente de las conexiones entre los enunciados componentes. El análisis del lenguaje en que se basa la lógica de proposiciones divide el lenguaje en: •

enunciados o frases enteras del lenguaje natural ( variables ): p, q, r, s…

•

Conjunciones o conectivas o partículas que enlazan las oraciones ( constantes ): ¬, , , y

→

•

↔

Signos de puntuación que servirán para señalar el alcance de las conjunciones y evitar así ambigüedades sintácticas: ( ), { } y [ ]

Esta distinción entre variables y constantes se ve reflejada en la distinción entre forma y contenido de un razonamiento. Diferencia importante teniendo en cuenta que la lógica de enunciados no deja de ser la consideración abstracta de la forma de los razonamientos prescindiendo de su contenido. Veamos:



•

el contenido será representado por las variables ( enunciados ).

•

la forma será representada por las constantes ( conjunciones ).

ORACIÓN Y ENUNCIADO

Mediante las oraciones enunciamos proposiciones . Se pueden hacer muchas oraciones para una misma proposición (v.gr.: la misma oración en distintos idiomas).

Cuando hablamos conjuntamente de una oración y de la proposición que en ella se expresa, lo estamos haciendo de un enunciado . Enunciado: Oración + Proposición

Igualmente podemos distinguir dos tipos de enunciados: •

Enunciados atómicos (simples) compuestos por sujeto y predicado.

•

Enunciados moleculares ( complejos) compuestos por varios enunciados atómicos.

Los enunciados simples (atómicos) se fundamentan en el principio de bivalencia , según el cual, todo enunciado es verdadero o falso, pero nunca ambas cosas a la vez. Dicho de otro modo, tienen necesariamente un valor de verdad y su comprobación será una mera tarea empírica y no un análisis lógico. Lo indicaremos así, considerando la variable p: p V F

O bien así:


p 1 0

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Nociones básicas de la Lógica de enunciados Pero no todos los enunciados son atómicos, existen los enunciados complejos (moleculares) del discurso que tienen respecto a lo que nos ocupa ahora la peculiaridad de ser veritativofuncionales, es decir su valor de verdad está en función de los valores de verdad de los

enunciados simples que lo componen. Veamos unos ejemplos: El cobre es conductor de la electricidad porque es un metal o falso únicamente en función de sus dos enunciados) El cobre es un conductor de la electricidad y es un metal falsos cada uno de sus dos enunciados) María cree que el autor del Tractatus es Russell únicamente en función de sus dos enunciados)

→

No es el caso que el autor del Tractatus es Russell falsos cada uno de sus dos enunciados)

→

→

SI es

NO es

→

NO es

veritativo-funcional (no es verdadero

veritativo-funcional (pueden ser ciertos o

veritativo-funcional (no es verdadero o falso

SI es

veritativo-funcional (pueden ser ciertos o

De la siguiente manera se representarán los valores de verdad de los enunciados moleculares: Si tomamos dos variables, p y q: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

Si tomamos tres, p, q y r : p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

En general, dado un número n de enunciados, el número de combinaciones posibles de sus valores de verdad será 2n.

Como estamos viendo, a la verdad y falsedad de los enunciados (tanto atómicos como moleculares) se les da el nombre común de valores de verdad ; la primera ( verdad) es el valor de verdad positivo y la segunda ( falsedad) el valor de verdad negativo. Una última consideración respecto a este principio aristotélico de bivalencia: en los últimos tiempos se ha negado sistemáticamente su validez, lo que ha dado origen a las lógicas no clásicas, también llamadas lógicas polivalentes o lógicas multivaluadas. A la lógica, sea o no


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Nociones básicas de la Lógica de enunciados tradicional, que acepte el principio de bivalencia, se la llama lógica clásica y es ésta la que es objeto de esta asignatura.



FUNCTORES PROPOSICIONALES

Veamos ahora los signos cuya misión es servir de enlace y establecer conexiones entre los enunciados, es decir las conjunciones o constantes lógicas. •

Negación «no» (¬)

Sea un enunciado cualquiera p. Este enunciado podemos negarlo. La negación de p será “no- p”, “no es cierto que p” o “es falso que p” y se simbolizará ¬ p. Ahora bien, ¬ p es también un enunciado. Tendrá, pues, un valor de verdad que será el contrario a p. Es decir, si p es verdadero, ¬ p será falso. Veamos: p

¬ p

1 0

0 1

De dos enunciados uno de los cuales ( ¬ p) es la negación del otro ( p), se dice que son contradictorios entre sí (no pueden ser ni verdaderos ni falsos a la vez). Hay que tener en cuenta que un enunciado negativo puede parecer simple y ser en realidad molecular. La expresión “ la lógica no es difícil” expresa en realidad dos enunciados: “no ocurre que la lógica sea difícil”. Igualmente puede ocurrir que esté incluida la partícula no y no constituir un enunciado contradictorio (o de negación). Por ejemplo: “ algunos estudiantes son inteligentes” y “algunos estudiantes no son inteligentes”. Seguramente ambos enunciados sean verdaderos ya que

algunos estudiantes serán inteligentes y otros no lo serán. Por otro lado, dos enunciados no pueden ser verdaderos a la vez y ninguno de ellos ser la negación explícita del otro. Así “ Madrid tiene más de cuatro millones de habitantes” y “Madrid tiene exactamente cuatro millones de habitantes o menos que cuatro”. Son los enunciados

inconsistentes (no pueden ser verdaderos a la vez). De aquí deducimos que todos los enunciados contradictorios también son inconsistentes, pero no todos los inconsistentes son contradictorios ( ver el ejemplo anterior ). Hay que poner en relieve una diferencia importante entre la negación, por una parte, y, por otra parte, las siguientes cuatro conectivas que vamos a ver. La diferencia es que la negación se aplica cada vez a una sola proposición, sea ésta simple (¬ p) o compuesta 4 18 By Ana Carrillo

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Nociones básicas de la Lógica de enunciados ¬( p⋁q). Así pues, la negación es una conectiva monádica o singularia. Sin embargo, las siguientes cuatro conectivas necesitan al menos dos enunciados para poder aplicarse, por lo que será unas conectivas diádicas o binarias.

•

Conjunción «y » ( )

Sean ahora dos enunciados cualesquiera, p y q. En lenguaje natural los relacionaríamos con la conjunción “y”, “pero”, “,” etc. En lógica lo haremos con el símbolo , es decir p q . Los valores de verdad de p q dependenderán de los valores de verdad de p y q. Veamos esta afirmación en una tabla: p

q

p q

1

1

1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

En la tabla se puede observar que esta conjunción sólo es verdadera cuando los dos enunciados de los que se compone también sean verdaderos y falsa en todos los demás casos. Los miembros de una conjunción –uno de ellos o ambos- pueden también estar negados:

p

q

¬q p ¬ q

p

¬p

q

¬q

¬ p ¬q

1

1 0 1 0

0

0

1

1

0 1

0 0

1 1 0 0

0 0 1

1 0 1 0

0 1 0

0 0 0

1

1

1

0 0

1

Evidentemente, mediante la conjunción “y” podemos unir más de dos enunciados: p

q

r

p q r

1

1

1

1

1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0


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Nociones básicas de la Lógica de enunciados Esta conectiva también está aquejada de alguna falta de correlación con su contrapartida del lenguaje natural. El conector “ ” representa una operación conmutativa, en el sentido de que el orden de los enunciados es irrelevante: p q es igual a q p . Hay sin embargo, construcciones conjuntivas de los lenguajes naturales que carecen de esta propiedad. Es el caso de “Juan y María se casaron y tuvieron un hijo” que no equivale a “ Juan y María tuvieron un hijo y se casaron”.

De la misma manera la conjunción “y” usada en el lenguaje natural no siempre supone la unión de dos enunciados. Por ejemplo “Juan y María se casaron” no puede descomponerse en “ Juan se casó” y “ María se casó”. Se trata de un solo enunciado formado por un predicado diádico y dos términos singulares.

•

Disyunción «o» ( )

También podemos aplicar a p y q una operación llamada disyunción, que consistirá en unirlas mediante la partícula “o”, es decir con el símbolo : p q . Pero esta expresión es ambigua. Puede interpretarse en dos sentidos: en sentido excluyente “o se es pagano o se es cristiano” o en sentido no excluyente “ He regresado al tigre,/aparta o te destrozo”.

En el lenguaje natural es mucho más frecuente la disyunción excluyente a la que se le puede añadir la cláusula y no ambos a la vez lo que podríamos simbolizar como ( p q ) ¬ ( p q ). Pero desde el punto de vista lógico, siempre que no indiquemos lo contrario, siempre vamos a referirnos a la disyunción no excluyente, que se puede interpretar como “p” o “q” o ambos a la vez , o lo que es lo mismo p q .

Viendo sus valores de verdad podemos afirmar que para que una disyunción (no excluyente) sea verdadera basta con que al menos uno de los componentes de la misma lo sea:

p

q

p q

1 1

1 1

1 1 1

0

0

0 0

0

¿Qué significa esta última afirmación? Significa que una disyunción compuesta por un enunciado y su propia negación ( p ⋁ ¬ p) constituye una verdad lógica:


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Nociones básicas de la Lógica de enunciados p

¬p p ¬p

1

0

0

1

1 1

Es el llamado principio de tercio excluso (PTE). Algunos lógicos ven en este requisito una gran limitación y defienden la conveniencia de desarrollar lógicas en las que se admitan más de dos valores de verdad. Estas lógicas, que no asumirían el principio de bivalencia, se conocen con el nombre de lógicas polivalentes o lógicas multivaluadas. Nos hemos referido a ellas al hablar anteriormente de las lógicas clásicas y las no clásicas. Los miembros de una disyunción –uno de ellos o ambos- pueden también estar negados: p

q

¬q p ¬ q

p

¬p

q

¬q

¬ p ¬q

1 1

1 0 1 0

0 1

1 1

0

0

1

0

1

1

1 0 1 0

0

0

1 1 0 0

1 1 1

0 0

0 1 1

p

q

r

( p q) r

1 1 1 1

1 1

1

1

1 1 1 1 1 1 1

0

0

0 0 0 0

0

0 0

1

1 1

1

0 0

0 0

0 1

Cabe hablar en este apartado del silogismo disyuntivo, dado que si la disyunción es verdadera siempre podemos deducir de la negación de uno de sus componentes, la afirmación del otro. Pero al contrario no ocurre ya que no puede deducirse de la afirmación de uno, la negación del otro puesto que pueden ser verdaderos todos los componentes de la disyunción. Así, podemos definir el silogismo disyuntivo (o regla de inferencia de la alternativa) como la argumentación cuya premisa está formada por una proposición que expresa una alternancia que no tiene término medio y, por lo tanto, si uno de los extremos es verdadero, el otro será falso y viceversa.

•

Condicional «si…, entonces…» ( ) o Implicación material

Supongamos el enunciado “ si cuatro es un número par, entonces es divisible por dos”. La partícula “si…, entonces…” es también una partícula de unión entre enunciados: Si p, entonces q (p es condición suficiente pero no necesaria de q). Se simboliza así: p q.


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Nociones básicas de la Lógica de enunciados ¿En qué casos será verdadero un enunciado condicional? Viendo su tabla de verdad podremos observar que lo es en todos los casos y que sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso: p

q

p q

1

1

1

1 0 0

0

0

1

1 1

0

Para el primer caso está claro que si tanto el antecedente ( p) como el consecuente (q) son verdaderos, el enunciado condicional será verdadero. En el segundo tampoco tiene dudas. El antecedente es verdadero pero no el consecuente, por lo que entonces p no es condición suficiente para q. Así que no es cierto que si p entonces q ( p q). Para deducir el tercero hay que tener en cuenta que p q quiere decir que si se da p entonces se dará q, pero p no es necesariamente la única circunstancia en la que pueda darse q . Así que como puede darse q sin p, hemos de admitir como verdadero este caso. Y para el último caso argumentaremos lo que para el tercero. Que no se den p o q no hace falso el condicional por ellos formado (si se diera p tal vez también lo haría q). No queda más remedio que darlo por verdadero.

Estas condiciones veritativas se apartan bastante de los usos habituales del lenguaje natural y dan valor de verdad positivo a las siguientes afirmaciones: Primer caso (1-1): “Si cuatro es un número par, entonces es divisible por dos” Tercer caso (0-1): “Si siete es un número par, entonces es mayor que cuatro” Cuarto caso (0-0): “Si siete es un número par, entonces es divisible por dos”

Otro de los aspectos en los que no se corresponde el condicional lógico con el lenguaje natural es el llamado condicional contrafáctico, esto es, aquel condicional cuyo antecedente es falso. Y no coincide porque este implicador material (

) obligaría a

aceptar como verdaderos los siguientes enunciados por el mero hecho de ser falsos sus antecedentes (Frege no conoció la filosofía de Quine): “Si Frege hubiera conocido la filosofía de Quine, no la habría aceptado” “Si Frege hubiera conocido la filosofía de Qu ine, la habría aceptado”

El uso del indicativo aproxima más el lenguaje lógico al natural pero siguen existiendo diferencias, ya que en lenguaje natural afirmamos una conexión implicadora entre antecedente y consecuente: “Si María es madre, entonces es mujer” “Si Juan está soltero, entonces no está cas ado”


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Nociones básicas de la Lógica de enunciados Ante estas discrepancias algunos autores (entre ellos Grice) han decidido hacer una clara separación entre lo que estrictamente una oración dice y lo que implica conversacionalmente (en función del contexto, de las intenciones, etc.). En virtud de esta diferencia podemos saber que el enunciado “ Juan y María se casaron y tuvieron un hijo” carece de la propiedad conmutativa propia de las conjunciones lógicas. Calculemos ahora los valores de verdad de una expresión en la que aparecen todos los functores vistos hasta el momento:

p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

[ ( p q )

r ]

[ ¬ r

( p q ) ]

p q

( p q ) r

¬ r

p q

¬r ( p q)

[( p q) r ] [¬r ( p q)]

1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

0 1

0 1

0

0 1

0 1

0

Hemos visto que a la conectiva condicional también la hemos denominado implicación material, término que no hay que confundir con el de implicación lógica. A saber: Implicación lógica: Esta expresión se coloca entre fórmulas lógicas. Cuando

decimos que un esquema implica a otro, estamos diciendo que, suponiendo que el primero sea verdadero, la estructura de ambos garantiza que el segundo también lo es. Veamos un ejemplo: para una inferencia que es válida, tal que p ( p⋁q), la 

fórmula condicional correspondiente es siempre verdadera, verdadera para todas las interpretaciones que puedan hacerse de sus variables p y q. En este caso decimos que el esquema p implica o implica lógicamente al esquema p⋁q. Podemos, pues, concluir que la implicación es un condicional válido. Implicación condicional: Esta expresión se coloca entre enunciados (si p, entonces

q) y no es más que la conectiva que los relaciona ( ), es decir con ella se 

construyen las fórmulas que luego pueden tener o no tener una implicación lógica.

•

Bicondicional «si y sólo si…, entonces… » ( ) o Coimplicación

Ya hemos visto que el condicional implica que p es condición suficiente pero no necesaria de q. Sin embargo, podríamos querer expresar que p es condición suficiente y necesaria de q, es decir “si y sólo si p, entonces q”, en cuyo caso también podríamos decir que “si p,


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Nociones básicas de la Lógica de enunciados entonces q y si q, entonces p”. Lo simbolizaríamos así: p q que sería la abreviatura de: [( p q) (q p)]. A esta operación le llamaremos bicondicional y su tabla de verdad será: p

q

p q

1

1

1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Un enunciado bicondicional será verdadero cuando tengan el mismo valor de verdad tanto su antecedente como su consecuente. Es importante tener en cuenta que existe una tendencia a echar mano del bicondicional para traducir enunciados que contienen la conectiva “solo si”. Sin embargo, con carácter general, dicha expresión no puede interpretarse así. El enunciado “ Una persona pude ser Presidente de los EE.UU. sólo si ha nacido en esta nación” no implica que el hecho de haber

nacido allí sea suficiente para ser Presidente. En realidad es un enunciado condicional ya que podemos traducirlo como “ si una persona no ha nacido en los EE.UU. no puede ser Presidente de dicha nación”.

Igualmente tendemos a considerar la expresión “a menos que” como si de un bicondicional se tratara. El error de esta interpretación se ve en el enunciado “ Juan no aprobará la lógica a menos que se matricule” ya que en él lo que se expresa es que matricularse es una

condición necesaria pero no suficiente. Nuevamente es una expresión condicional ya que “no p a menos q” significa “ p sólo si q”. Para ser bicondicional tendría que implicar que el hecho de matricularse haría que Juan aprobara la lógica, es decir “si p, entonces q y si q, entonces p”. Probemos ahora a introducir en una misma expresión los cinco signos constantes que hemos visto: [ (¬ p

p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

¬ p

(¬ p q)

0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

r 1 0 1 0 1 0 1 0

q)

r ]

[ ( p

(¬ p q) r

¬q

( p ¬q)

1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1

0 1

0


¬q)

r 1 0 1 0 1 0 1 0

r ]

( p ¬q) r [(¬ p q) r ] [( p ¬q) r ] 1

0 1 1 1

0 1

0

1 1 1 1 1 1 1 1

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Nociones básicas de la Lógica de enunciados Al igual que con la conectiva condicional, con la bicondicional también hay que tener cuidado en no confundirla con la equivalencia: Equivalencia : Se dice que dos esquemas son equivalente si cada uno de ellos

implica el otro. Así, la fórmula ¬( p⋁q) es equivalente a la fórmula ¬ p⋀¬q. Igualmente podemos concluir que una equivalencia es un bicondicional válido o verdadero para todas las interpretaciones posibles de sus componentes.



R EGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS

A partir de los elementos del vocabulario lógico se pueden construir fórmulas. Y para ello hay unas reglas precisas que delimitan con toda exactitud cuándo una secuencia de símbolos constituye una fórmula en el lenguaje proposicional. Para especificar tales reglas, nos serviremos de las letras X e Y aunque no pertenezcan al lenguaje lógico. Con ayuda de estos símbolos metalingüísticos, definiremos la clase de las fórmulas de la lógica enunciativa del siguiente modo: 1.

Toda variable enunciativa es una fórmula.

2.

Si X es una fórmula, también los es ¬X.

3.

Si X e Y son fórmulas, también los son (X

4.

Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen alguna de las cláusulas anteriores.

Y), (X

Y), (X

Y), (X

Y).

Con ayuda de esta definición podemos determinar con toda precisión si una cadena de símbolos del lenguaje que estamos describiendo es o no es una fórmula de dicho lenguaje. Veamos un ejemplo: ¬ p



(q r ) es una fórmula porque: 1. p, q y r son variables enunciativas y por tanto fórmulas 2. si p es una fórmula, también lo es ¬ p. 3. si p, q y r son fórmulas, también lo son (q r ) y también ¬ p

(q

r ).

FORMALIZACIÓN DEL LENGUAJE NATURAL

Cuando nos enfrentamos a la tarea de formalizar enunciados moleculares, lo primero que hay que tener en cuenta es que es preciso hacer explícitos todos y cada uno de los enunciados incluidos en dicha expresión, teniendo presente que en el habla común muchos de tales enunciados aparecen de forma sincopada. Así por ejemplo, en un enunciado como:


Tema 3


Nociones básicas de la Lógica de enunciados Los intelectuales de principios del XVII no podían expresarse libremente pero les quedaba el recurso de ironizar, como hicieron Cervantes y Quevedo. Se pueden detectar 4 enunciados atómicos: 1. Los intelectuales de principios del XVII no podían expresarse libremente 2. A los intelectuales de principios d el XVII les quedaba el recurso de ironizar 3. Cervantes echó mano del recurso de la ironía 4. Quevedo echó mano del recurso de l a ironía

Esta tarea de formalización no consiste en simbolizar sin más enunciados aislados unos de otros, sino teniendo en cuenta el contexto de la inferencia que deseamos evaluar. Veamos los dos siguientes enunciados: 1. María no preparó el examen de Álgebra y lo aprobó. 2. María preparó el examen de Análisis yno l o aprobó. En ellos se puede detectar que la expresión “lo aprobó” son, a pesar de su idéntica apariencia, dos enunciados distintos: q: María aprobó el examen de Álgebra. s: María aprobó el examen de Análisis. Por ello habríamos de formalizarlos así: 1. ¬ p ⋀ q 2. r ⋀ ¬s

Así pues, hemos de respetar el principio de no dar a una misma expresión interpretaciones diferentes, lo que se traduce al empleo de una variable enunciativa distinta para cada enunciado diferente. Cuando se produce una violación de este principio, se incurre en lo que se llama falacia de equivocación. Un ejemplo de ello sería el siguiente razonamiento: “ El hombre es el único animal que tropieza dos veces en la misma piedra. Las mujeres no son hombres. Luego las mujeres no tropiezan dos veces en la misma piedra”.

E igual que hay que estar atentos a distinguir los distintos enunciados, también hay que saber detectar un mismo enunciado detrás de las diferencias estilísticas del lenguaje natural. A saber: Si la historia de la creación incluida en el Génesis es una descripión literal verdadera, entonces los primeros tres días de la existencia de la tierra no hubo sol. El concepto de “día” se define por referencia al sol. No puede ser a la vez el caso de que el concepto se defina así y que la tierra existiera tres días antes de que se creara el sol. De donde se deduce que la historia de la creación dada en el Génesis no es una descripción literal verdadera. Consideremos los dos siguientes enunciados: 1. Durante los tres primeros días de la existencia de la tierra no hubo sol. 2. La tierra se creó tres días antes de que se creara el sol. Si omitimos las pequeñas diferencias semánticas de estos dos enunciados y simbolizamos a ambos con la letra q, podremos formalizar la inferencia de l a siguiente manera:


Tema 3


Nociones básicas de la Lógica de enunciados p q r ¬(r ⋀ q) 

¬ p

Otro requisito para la formalización del lenguaje es elegir correctamente las conectivas que van a unir los enunciados, esto es, que representen adecuadamente las expresiones del lenguaje ordinario como “no”, “o”, “si… entonces…” y otras similares. Otra tarea fundamente es destacar la conectiva dominante o que prima sobre todas las demás. Es decir, hay que agrupar adecuadamente los fragmentos parafraseados. En el lenguaje de la lógica de enunciados, las fórmulas compuestas mediante conectivas pueden incluir como componentes fórmulas a su vez compuestas mediante conectivas. Cada una de tales conectivas tiene un alcance. Por alcance se entiende la expresión más breve en que aparece. Así, por ejemplo el alcance de “¬” en las fórmulas ¬ p y ¬( p⋀q) es distinto. En la primera es únicamente “ p” y en la segunda es toda la fórmula “ ( p⋀q)”. La conectiva que tiene el más amplio alcance en una fórmula se dice que es la conectiva principal de la misma. Una expresión como p

⋁

q

⋀

r es ambigua precisamente porque no

sabemos cuál es la conectiva principal de la misma. Podría ser interpretada como un esquema disyuntivo p ⋁ (q ⋀ r ) o como un esquema conjuntivo ( p ⋁ q) ⋀ r . Como se puede observar, los paréntesis y corchetes son los símbolos mediante los cuales señalamos el alcance de las diversas conectivas en una fórmula. Veamos un ejemplo: Si las hipótesis científicas no pueden dar lugar a predicciones a menos que vayan más allá de lo observado, entonces las hipótesis científicas no son meros resúmenes de observaciones registradas. Se pueden detectar 3 enunciados atómicos, a los que asignaremos las siguientes variables: p: Las hipótesis científicas pueden dar lugar a predicciones q: Las hipótesis científicas van más allá de lo observado r. Las hipótesis científicas son meros resúmenes de observaciones registradas El esquema correspondiente a la forma de este enunciado sería: (¬q



¬ p)



¬r

y no: ¬q



(¬ p



¬r )

Es preciso, por último, tener en cuenta que la negación no siempre afecta a un enunciado atómico, sino que en ocasiones su alcance es la totalidad de un enunciado molecular. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en un enunciado como “ no ocurre que el dinero pueda comprar la felicidad o pueda comprar la amistad”, lo que se niega es el enunciado disyuntivo y se formalizaría

así: ¬( p ⋁ q) o así: ¬ p ⋀¬q ( en la siguiente tabla puede observarse que ambas soluciones son la misma cosa): 13 18 By Ana Carrillo

Tema 3


Nociones básicas de la Lógica de enunciados



p

q

p q

¬ ( p q)

¬p

¬q

¬p ¬q

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 0 0

1

1

1

1

EJERCICIOS

Ejercicio 1

(página 35 – Addenda Formas Lógicas)

Decir cuáles de los siguientes pares de enunciados constan de un enunciado y su negación: a) Todo lo que reluce es oro. No todo lo que reluce es oro. b) Algunos filósofos son altivos. Algunos filósofos no son altivos. c) Juan confía en que la lógica no sea difícil. Juan no confía en que la lógica no sea difícil. d) Juan parte de la base de que la lógica es difícil. Juan parte de la base de que la lógica no es difícil. e) María se comió algunos bombones pero no se comió todos.

Ejercicio 2


Poner un par de ejemplos de pares de enunciados que sean inconsistentes, pero en los que ningún miembro sea la negación del otro miembro del par. a) “la niña creció este año” y “la niña ya había crecido el año pasado” b) “La gata tuvo cinco cachorros” y “La gata tuvo cuatro cachorros”


Tema 3



Ejercicio 3


Indicar cuáles de los enunciados de la serie siguiente son enunciados compuestos susceptibles de ser formalizados mediante “ ”: a) b) c) d) e) f)

Todas las horas hieren. La última mata. La soledad y la creación son de la misma partida. Russell y Whitehead fueron amigos. Russell y Whitehead escribieron los Principia Mathematica. Arrojamos el pasado al abismo sin querer inclinarnos para ver si está bien muerto. Jean P. Sastre dejó sin escribir una ética aunque siempre escribía sobre ética.

Ejercicio 4


Poner un par de ejemplos de enunciados en los que aparezca “y” pero que no puedan ser tomados como ejemplos de enunciados conjuntivos desde el punto de vista lógico. a) “Llegué, ví y vencí” b) “Pedro y Juán riñeron”

Ejercicio 5


Determinar cuáles de los siguientes enunciados pueden esquematizarse como “ p q ”: a) Entonces era otoño en primavera,/ o tal vez al revés (Ángel González) b) El trato constante con la paradoja predispone a los matemáticos a la neurosis o al humor. c) La filosofía es una batalla contra el embrujamiento de nuestra inteligencia por el lenguaje o Wittgenstein se equivoca. d) Toda madre tiene un hijo o una hija. e) Algunos filósofos son empiristas o ninguno lo es. Ejercicio 6


Traducir a condicionales estándar los siguientes enunciados: a) Las células de una planta no pueden sintetizar los alimentos a menos que tengan clorofila.

¬ p q

b) Para que una ley positiva sea legítima es condición necesaria que no atropelle a la moral.

p ¬q

c) Para que un número sea divisible por 2, basta con que sea par. d) No se puede ver a menos que haya luz. 15 18 By Ana Carrillo

p q ¬ p ¬q

Tema 3



Ejercicio 7


Simbolizar los siguientes enunciados por medio del condicional, reservando p para la «inflación baja» y q para «se controla el gasto público»: a) La inflación no bajará a menos que se controle el gasto público.

¬ p q

b) Para que la inflación baje es necesario que se controle el gasto público.

p q

c) La inflación sólo bajará si se controla el gasto público.

p q

Ejercicio 8


Determinar, mediante la oportuna colocación de símbolos de puntuación, las distintas formas en que podría eliminarse la ambigüedad de la expresión p a) p

(q

q r :

r )

b) p ( q r ) c) ( p

q) r

Ejercicio 9


Esquematizar los siguientes enunciados, prestando especial atención a la colocación de los paréntesis y demás símbolos de puntuación: a) Si Wittgenstein está en lo cierto entonces si las leyes de la lógica son tautologías no contienen ninguna información. p: Wittgenstein está en lo cierto q: Las leyes de la lógica son tautologías r : Las leyes de la lógica contienen información p (q ¬r ) b) Si Frege tiene razón el que las leyes de la lógica sean formales no implica que no 

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contengan información. p: Frege tiene razón q: Las leyes de la lógica son formales r : Las leyes de la lógica contienen información p ¬(q ¬r ) c) Si Frege tiene razón y las leyes de la lógica son informativas entonces no es cierto que 

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sean tautologías o que Wittgenstein tenga razón. p: Frege tiene razón q: Las leyes de la lógica son tautologías r : Las leyes de la lógica son informativas s: Wittgenstein está en lo cierto ( p ⋀ r ) (¬q ⋁ ¬r ) 


Tema 3



Ejercicio 10


Formalizar las siguientes inferencias: a) Si mi creencia en que el gato está sobre el felpudo fuera uno de los estados de mi cerebro, entonces podría determinar que tengo la creencia examinando mi cerebro. Si pudiera determinar que tengo la creencia examinando mi cerebro, entonces podría decir que creo que el gato está sobre el felpudo sin adoptar ninguna postura sobre la situación del gato. Pero puedo decir que el gato está sobre el felpudo precisamente si y sólo si adopto una postura acerca de la situación. Por consiguiente dicha creencia no es un estado del cerebro. p: Creer o decir que el gato está sobre el felpudo q: estado del cerebro r : poder determinar que la creencia está examinando el cerebro s: adoptar una postura sobre la situación del gato ( p q) r r ( p ⋀ ¬s) p s p ¬q b) Si las operaciones de nuestra voluntad no fueran causadas, no podríamos tratar de 

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influir en la conducta de los demás. Si no pudiéramos tratar de influir en dicha conducta, argumentar, exhortar y mandar serían gastar saliva en balde. En este caso, buena parte de las acciones de las que se ocupa la moralidad se convertirían en irracionales. Suponiendo que la moralidad no excluye la acción racional, entonces hemos de concluir que las acciones tienen causas. (Este argumento está entresacado de las páginas dedicadas por Russell en sus Philoshophical Essays a mostrar que el determinismo no destruye la moral. Pista: Teniendo en cuenta que todos los enunciados que constituyen el consecuente de la segunda premisa son los mismo que forman el antecedente de la tercera, simbolícense todos ellos mediante r )


Tema 3


Nociones básicas de la Lógica de enunciados c) Si lo mantenido por Wittgenstein en el Tractatus es correcto entonces la filosofía no es una ciencia o no consiste en proposiciones. La filosofía consiste en proposiciones o es una actividad. Si la filosofía no es una ciencia entonces no explica los hechos. Luego si lo mantenido por Wittgenstein en el Tractatus es correcto entonces la filosofía es una actividad o no explica los hechos. p: lo mantenido por Wittgenstein en el Tractatus es correcto q: la filosofía es una ciencia r : la filosofía consiste en proposiciones s: la filosofía es una actividad t : la filosofía explica los hechos p ( ¬q ⋁ ¬r ) r ⋁ s ¬q ¬t p s ⋁ ¬t 

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Lógica de Enunciados

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