1 !"#$%&%&' )*
Calcule la resistencia inducida de un ala de envergadura b y alargamiento que vuela en régimen estacionario en el seno de un fluido incompresible de densidad a velocidad U , sabiendo que la velocidad vertical, w( y , y,0±), en la estela viene dada por la expresión
w(, y, 0 ) A B cos C 2 cos 2 cos 2 U
donde y b cos , 0 , y A, B y C son son constantes conocidas. 2
!"#$%&%&' )+
Considere un ala de envergadura b que vuela en régimen supersónico el seno de la atmósfera en reposo, de densidad , con velocidad U . La componente vertical de la velocidad en la huella de la estela lejana puede aproximarse por la expresión wh
ad
2y
; y b/2 U b donde a y d son son constantes conocidas. Determine la sustentación y la resistencia inducida.
!"#$%&%&' ), y0), situados en el Considere una distribución de torbellinos en el plano de Trefftz de intensidad ( y plano z =0 =0 y alineados con la corriente incidente U , paralela al eje x, que representan la estela de un ala de envergadura b, que vuela en una trayectoria horizontal con velocidad uniforme U , en el seno de una atmósfera en reposo de densidad . La intensidad de los torbellinos está dada por la expresión
( y0 ) U
a0 a1 (2 y0 / b ) 2a0 (2 y0 / b )2 1 (2 y0 / b) 2
b 2
y0
b 2
w( y y) =0. y0 b / 2 , z =0.
en el intervalo
w( y y) en el intervalo y0 b / 2 . y y). M M e del ala, la resistencia inducida, y el momento de balanceo si se tratara de la
estela de un ala larga.
!"#$%&%&' )-
Considere un cono esbelto, de semiángulo ( << 1), que vuela a través del aire en calma en régimen supersónico M > 1, M 2 1 ) con ángulo de ataque nulo. Calcule ( M el coeficiente de presión sobre el cono
U
2 !"#$%&%&' ).
Considere un cuerpo esbelto de longitud l , de sección cuadrada cuyo lado h sigue la ley h( ) = h0 , con = x/l , h0<< l , 0 l, volando a través del aire en calma en régimen subsónico con velocidad U y ángulo de ataque nulo. Calcule el potencial de velocidades de perturbación del campo lejano de dicho cuerpo.
!"#$%&%&' )/
Considere un cuerpo esbelto e revolución, de longitud l , cuya sección sigue la ley de áreas S ( ) = S 0 3, con = x/l , S 0<< l 2, 0 l, volando a través del aire en calma en régimen subsónico con velocidad U y ángulo de ataque nulo. Calcule el comportamiento próximo del potencial de velocidades de perturbación del campo lejano de dicho cuerpo.
!"#$%&%&' )0
Considere un cuerpo esbelto de revolución, de longitud l , que vuela con ángulo de ataque nulo a M = 2 , cuya ley de áreas está dada por la expresión S ( ) 2l 2 (3 2 2 3 ) , = x/l , 0 1; 1 . Determine el campo de velocidades sobre el cuerpo.
!"#$%&%&' )1
Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, de velocidad U , presión p y densidad . El tubo de Pitot está formado por una proa de longitud l de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d , l >> d . Suponga que los orificios de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos Calcule el coeficiente de presión, c pe, en las tomas de presión estática, situadas en x = l e. Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que l e >> l . Calcule el error, E = 1U m/U ,que se comete en la determinación de la velocidad debido a este efecto, en función de l e/d . U m es r la velocidad medida, definida e como 1/ 2 U m 2(po pe) / , y po U x es la presión de remanso de la p corriente incidente. Determine el valor de las componentes de l la velocidad sobre la proa.
!"#$%&%&' )2
Considere un cuerpo esbelto de revolución que tiene una ley de radios dada por
r x x 1
2 x
, 0 x L , 1
3 L
que vuela en régimen supersónico. Calcule las componentes axial y radial de la velocidad de perturbación en la superficie del cuerpo.
3
!"#$%&%&' *)
Considere un cuerpo esbelto de longitud l cuyas secciones transversales son elipses de semiejes a( x) y ka( x) , con a( x) << l y k < 1 de orden unidad e igual para todas las secciones . Calcule la distribución de fuerzas sobre el cuerpo F z ( x), que para cada x representa la fuerza desde la proa hasta la sección x, cuando el cuerpo vuela a ángulo de ataque a través del aire en calma con velocidad U en el seno de una atmósfera de densidad .
!"#$%&%&' *) 3
Calcule, utilizando la teoría de los cuerpos esbeltos, la posición del centro de presiones en cada una de las ojivas siguientes. Todas ellas son axilsimétricas, tienen la misma longitud, l , y radio máximo, R(l ). Las funciones R( x) que las representan son: R! x " R!l " x cónica l
2 ! " ! " %' # $ *( & ) R! x " R!l " x l
R x R l 2 x x l l
! " !"
R x R l
2 x x l l
# $
2
ojival parabólica elíptica
!"#$%&%&' **
Considere un cuerpo esbelto de longitud L formado por una ojiva cónica de longitud cL (1/5 c 1) y un cuerpo cilíndrico de radio L, con << 1. En la parte cilíndrica del cuerpo hay unas alas planas de forma en planta triangular, siendo 2 b la envergadura del conjunto, con b << L. Supuesto que el cuerpo vuela con ángulo de ataque ( << 1) y velocidad U a través de una atmósfera en calma de densidad . Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de cuerpos esbeltos calcule, en función del parámetro c la sustentación producida por el cuerpo así como y la posición del centro de presiones. z U
y
cL
L
x
cL b x
z b
L y
4 b( x)/2
!"#$%&%&' *+
Considere un ala esbelta plana, cuya forma en planta queda definida por la ecuación b( )=b f [(3 – k )
2
b f /2
– (2 – k ) 3],
x
con = x/l , b f << l , 0 l. El ala vuela a través del aire en calma con velocidad U y ángulo de ataque l << . Determine el valor del parámetro k para que se cumpla la condición de Kutta en el borde de salida, y para ese valor, calcule la posición del centro de presiones. Suponga ahora k = –2, escriba la ecuación que determina la nueva posición del centro de presiones.
!"#$%&%&' *,
En la figura se muestra un ala esbelta de y cuerda máxima L ( L >> b) que vuela a b través del aire en calma con velocidad b( x) U U y ángulo de ataque << 1. La forma en planta del ala está definida por las 0 1 expresiones: b b1 ( x ) b 0 , 0 0, b2 ( x ) b , 0 1, con = x/ L. Dentro de la validez de la teoría de alas esbeltas, determine, en función de 0 (0 0 1), la posición del centro de presiones del ala.
!"#$%&%&' *-
Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2b y cuerda en la raíz L ( L >> b), cuya forma en planta queda definida por la expresión
y U
b
x 2 , a a L siendo = x/ L, con 0 1, y a un parámetro adimensional (1/2 a 1) que identifica a los distintos miembros de la familia de alas. Supuesto y b
que vuelan con ángulo de ataque pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la posición del centro de presiones.
!"#$%&%&' *.
Considere un ala esbelta cuya forma en planta está definida por la expresión 2
3
x x b( x) l a (3 2 a) ( a 2) , 2 l l l Con x l a Sabiendo que la sección máxima del ala se alcanza en x = l , indique si el ala cumple o no la 1
x
5 hipótesis de Kutta en el borde de salida. Determine la posición del centro de presiones del ala en función del parámetro a.
!"#$%&%&' */
Considere una familia de alas esbeltas planas de cuerda máxima l cuya forma en planta está definida por la expresión b( )
l 2
k
(2k 2 )
; x /l
; 0 1 ;
1
determine el valor de k para que se cumpla la condición de Kutta en la sección final (borde estacionario), y para este valor de k , considerando que el ala vuela con ángulo de ataque a través del aire en calma, determine el coeficiente de sustentación del ala.
!"#$%&%&' *0
Se considera un ala esbelta de forma en planta triangular, longitud l y envergadura 2 b, cuyas secciones al cortar por planos x = constante son arcos de circunferencia (figura E4.2.1), de modo que el ala está recortada sobre un cilindro circular de radio mucho mayor que la envergadura del ala. Calcule la sustentación producida por el ala cuando vuela con un ángulo de ataque , con << 1 a través del aire en calma con velocidad U en el seno de una atmósfera en reposo de z densidad .
U
x
6 !"#$%&%&' *2
Considere un cuerpo esbelto cuyo fuselaje es cónico, de longitud L y de radio final L, con <<1. El cuerpo está provisto de alas, como se indica en la figura. Supuesto que vuela con ángulo de ataque a través del aire en calma, determine la distribución de sustentación a lo largo del eje del cuerpo. Determine también la posición del centro de presiones. z
L
L
x
U y L/8 x L/8
L/4
!"#$%&%&' +)
Considere un ala esbelta de longitud l cuyas secciones transversales son elipses de semiejes a y ka, con a<
Nota: recuerde que dS / dx l An sin n , donde S ( x) es la distribución de áreas al cortar el cuerpo n 1
por secciones normales a su eje longitudinal.
7
!"#$%&%&' +*
Un cuerpo esbelto cuyas secciones rectas son elipses de semiejes b( x) y 2b( x), respectivamente, y longitud l , vuela a M = 2 con ángulo de ataque nulo en el seno de una atmósfera en reposo, a una altura 2l del suelo. Sabiendo que la ley de variación de b( x) está dada por la expresión
1/ 2
, b( x) x 1 2 x 3 l con << 1, 0 x l , determine el coeficiente de presión en la línea que es la proyección vertical de la trayectoria sobre el suelo. z
z
U
b(l ) l
x
y
2b(l ) 2l
2l
!"#$%&%&' ++
Calcule, en función del ángulo de ataque las fuerzas aerodinámicas F y y F z , y para = 0, la fuerza F x, que actúan sobre el cuerpo esbelto de revolución de longitud l cuya ley de áreas es: s(x) 1 2lx( 4 x )3/ 2(1 x ) 3/ 2 , 2
l
l
siendo <<1 y 0 x l .
!"#$%&%&' +,
Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2 b y cuerda en la raíz L ( L >> b), cuya forma en planta queda definida por la expresión y b 2 , a a siendo = x/ L, con 0 1, y a un parámetro adimensional (1/2 a 1) que identifica a los distintos miembros de la
y
U
b x L
familia de alas. Supuesto que vuelan con ángulo de ataque pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la posición del centro de presiones.
8 !"#$%&%&' +-
Considere un cuerpo esbelto de revolución de longitud l , con área final no nula y volumen 3 V = l k /16. Determine el valor de la sección final que define el cuerpo óptimo (resistencia de onda mínima) que satisface estas ligaduras.
!"#$%&%&' +.
Considere un cuerpo y esbelto de longitud l l z formado por un fuselaje de revolución cónico y un 2b(l ) ala plana de forma en x x planta triangular cuyos bordes de ataque quedan definidos por 2r b(l )=kb(l ) z l b( x)/2 = x/l , con << 1, siendo el radio del 2r b(l ) fuselaje cónico x r b(x) = kb( x k 1. Calcule en función del parámetro k la sustentación producida por el cuerpo cuando vuela a través de aire en calma con ángulo de ataque << 1. Determine la geometría del cuerpo que produce sustentación mínima.
!"#$%&%&' +/
Considere un tren de alta velocidad que se mueve con velocidad U t en el seno de una atmósfera de densidad . El tren está sometido a un viento lateral de intensidad U w = U t, con << 1, perpendicular a la vía. Suponiendo que el efecto de la vía y otras particularidades de la infraestructura ferroviaria son despreciables, de modo que se puede suponer que el tren se desplaza sobre un suelo plano, calcule la fuerza lateral sobre la cabeza motriz. Suponga que las secciones rectas del tren son semielipses de altura a( x) y anchura a( x), con < 1, siendo a( x) = a(l )(1 x2/l 2), en 0 x l , y a( x) = a(l ) para x > l . La longitud de la cabeza tractora es 2 l . Represente la distribución de fuerza lateral a lo largo del tren. z
z a( x l
U t
y
x
l
y
a( x) x U w
9
!"#$%&%&' +0
Considere un cuerpo esbelto de revolución de longitud l , con área final no nula y volumen 3 V = l k /16. Determine el valor de la sección final que define el cuerpo óptimo (resistencia de onda mínima) que satisface estas ligaduras.
!"#$%&%&' +1
Se desea construir un cuerpo esbelto de longitud l de forma que la densidad de cada sección, ( x) esté dada por la ley d S ( x) ( x) o l S ( x) d x donde o es una densidad conocida. Determine la ley de áreas S ( x) que hace que el cuerpo tenga resistencia de onda mínima, de entre todos los que tienen la misma masa M y el centro de masas situado a una distancia d = 3l /8 de la proa del cuerpo. Compruebe la validez de la solución obtenida.
!"#$%&%&' +2
Considere un cuerpo esbelto de longitud l formado por un fuselaje cuya forma externa responde a las expresiones: r ( ) 2 l 2 ,
0
r ( ) = l ,
1 2
1 2
z U
x
,
1 ,
con x = x/l y << 1. El cuerpo tiene un ala de espesor nulo cuya semienvergadura varía de la forma:
y U
r ( x)
b( x)
x
3
1 . 4 b( ) l 2(2 1) ,
distribución de sustentación a lo largo del eje del cuerpo cuando éste vuela con ángulo de ataque << 1 y sin guiñada a través del aire en calma.
calcule, indique claramente la o las expresiones que determinan el momento pedido).
10
!"#$%&%&' ,)
Considere un cuerpo esbelto de longitud l formado por un fuselaje cuya forma externa responde a las expresiones: y l /2 l /2 r ( ) = 4 l ( 1 ), 0 1/2, r ( ) = l, 1/2 1 con = x/l y << 1. El cuerpo tiene un ala de espesor nulo, cuya semienvergadura varía de la forma:
r ( x)
b( x)
x
z
2
b( ) = 2 l( 1 4 + 2 ), 1/2 1,
x
ribución
de fuerza lateral a lo largo del eje del cuerpo cuando éste vuela con ángulo de ataque <<1 a través del aire en calma. cuerpo cuando éste vuela con ángulo de ataque nulo.
!"#$%&%&' ,*
Considere la ojiva esbelta de revolución, cuya ley de radios se ajusta a la expresión R( x) = [ x(2 L x)]1/2, 0 x L, <<1, que vuela a través del aire en calma con ángulo de ataque << 1 y velocidad U en régimen supersónico ( M > 1).
c p( x,y), debida a la componente transversal del campo próximo en una sección típica ( x = cte) del cuerpo. Calcule también la distribución de sustentación en la misma sección, cl ( x,y).
!"#$%&%&' ,+
Considere un fuselaje esbelto axilsimétrico que cumple las siguientes especificaciones: La longitud total es L. La variación con el ángulo de ataque, , del momento de las fuerzas aerodinámicas respecto al morro, M , vale dM 1 U 2 L3 K 2
K 1 8 d e las
ligaduras anteriores y tiene resistencia de
onda mínima.
de áreas. .
11 !"#$%&%&' ,,
Se ha construido un cuerpo esbelto axilsimétrico en dos escalones, sujeto a las siguientes ligaduras: Longitud total, L. Longitud de cada escalón L/2. Area de la base del primer escalón (zona posterior): A. Area de la base del segundo escalón (zona anterior): A/2. dR( x)/dx = 0 para x = L/2 y x = L. Para calcular el campo aerodinámico alrededor de dicho cuerpo, se superponen en el eje x manantiales de acuerdo con la ley: 4U A sin sin 3 x L 1 cos KL 2 s ligaduras. Para ello determine K . R( x). gaduras 1, 2 y 3.
!"
f x
!
"
!
"
!"#$%&%&' ,-
Se desea construir un fuselaje axilsimétrico esbelto macizo de longitud L y densidad constante cuyo centro de gravedad esté situado a una distancia d = 5 L/8 de la pros y con S ( L) = S o. distribución de áreas del fuselaje que cumple las ligaduras anteriores y tiene mínima resistencia de onda.
!"#$%&%&' ,.
Se desea construir un misil esbelto, compuesto de un fuselaje axilsimétrico y un ala plana que cumpla las siguientes especificaciones: 1 La longitud del fuselaje es l y la cuerda del ala l /2, coincidiendo el borde de salida del ala con la sección final del fuselaje. 2 El ala es de forma en planta rectangular y alargamiento = 0.5, formada por perfiles simétricos, iguales, de intradós y extradós parabólicos; el espesor máximo se alcanza en el punto medio de la cuerda y vale max 4 2 l 3
3 El volumen del misil (fuselaje y ala) es V 3 2 l 3 8 y el centro de masas del mismo, supuesto de densidad uniforme, se encuentra a una distancia 3 l /4 del morro. ras especificadas en 3) y tenga resistencia de onda mínima. Esquematice dicha ley de áreas.
NOTA: Desprecie consistentemente infinitésimos de orden superior.
12
!"#$%&%&' ,/
y
Considere el ala esbelta, plana, cuya forma en planta se indica en la figura, volando a través del aire en calma, con ángulo de ataque y velocidad U . Determine, en función del parámetro , los valores de los coeficientes de sustentación y de resistencia inducida, la posición del centro de presiones y el valor de la sustentación. 0 L/10.
L/2
L/2
= 0. L/10
x z
y
!"#$%&%&' ,0
Considere el ala cuya geometría se define en la figura, volando con ángulo de ataque nulo a través del aire en calma en régimen supersónico ( M 2 ). Calcule y represente la ley de áreas a considerar para el cálculo de la resistencia de onda de dicho ala mediante la regla de Hayes en los casos 0, /2, /4. Comente, si las hubiera, las particularidades de las soluciones obtenidas.
M
c
c/2
<<1
c/2
x
!"#$%&%&' ,1
Considere un ala rectangular volando a ángulo de ataque nulo a M 2 y provista de perfiles simétricos iguales a lo largo de la envergadura, dados por la expresión: 3/ 2 ze x 1 x , 0 x 1 , 1 en variables adimensionalizadas con la cuerda, c. y
NOTA. Desprecie consistentemente infinitésimos de orden superior.
13 !"#$%&%&' ,2
Considere un ala de forma en planta triangular y alargamiento = 1, tal como se indica en la figura Las secciones del ala al cortar por planos x = cte son rombos cuyo espesor máximo sigue la ley 3/ 2 2 1/ 2 ! x " 4 l + 2 , = 2 x 3 l de
Oswatitsch-Keune. Hayes ( M 2 ) en los casos y /2. Aproxime las intersecciones del ala con los
distintos planos por polígonos. z
y
l
y
( x)
b( x) l /4
l /4 x
!"#$%&%&' -)
En la figura se ha representado una aeronave cuya distribución de singularidades se puede sustituir por las de un cuerpo esbelto axilsimétrico y dos manantiales situados en el plano z = 0, uno a cada lado del cuerpo (representados por sendas esferas en el esquema). Indique, en función del ángulo , la posición sobre el eje x de tales manantiales para el cálculo de la resistencia de onda de la aeronave.
z
y
l /2 l /2
Q
Q
l /2 l /2
x
14 !"#$%&%&' -*
Defina el número de Mach crítico. Estime el valor de este número de Mach para el caso de un perfil cuya distribución de coeficiente de presión en el extradós, en régimen incompresible, sigue la ley: c p( x) = 0,4 para 0 x c/5, y c p( x) = 0,5(1 x/c) para c/5 x c.
15 !"#$%&%&' -+
En la figura A se han representado (necesariamente de forma idealizada) las distribuciones de coeficiente presión en el extradós correspondientes a los tres efectos (espesor, curvatura y ángulo de ataque) que configuran un cierto perfil de ala. Supuesto que dichas distribuciones corresponden al caso incompresible, y supuesto que es aplicable la teoría linealizada, determine la variación con el ángulo de ataque (0 0,04) del número de Mach crítico, M cr , del perfil en consideración. Represente el resultado obtenido en el gráfico de la figura B. Explique claramente el proceso seguido para calcular el resultado pedido. Nota: En la página siguiente se ha incluido el gráfico donde se muestra la variación con el número de Mach de la corriente incidente del coeficiente de presión crítico y del coeficiente de presión sobre un perfil de acuerdo con la corrección de Kármàn-Tsien. c pe
c pe
espesor
0,2
0,1 0 c pe
0,9
curvatura
x/c
0
1/2
0
1
Mcr x/c
0
1/2
/
1 0,7
15
ángulo de ataque
10
Figura A
5 0
0,8
0,6 x/c
0
1/2
SOLUCIÓN: [radian] 0 Mcr
1 0,01
0,02
0,03
0,04
0,5
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Figura B
