PROBLEMAS 1. Con objeto de estimar la cantidad media que gasta un cliente en una comida en un restaurante, se recogieron los datos de una muestra de 49 clientes. Suponga que la desviación estándar de la población es $5. Si la media muestral es $24.80, ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media poblacional? Solución:
n=49 𝜎 2 = 52 𝑥 =24.80 𝛿=0.95 0.95
0.05
0.05 -K
K
] K=1.96
P[
L.I=24.80-(1.96)√ L.I=23.4 L.S=24.80 (1.96)√ L.S=26.2 23.4
La cantidad media que gasta un cliente en una comida en un restaurante varia entre 23.4 y 26.2 al 95% de confianza.
2. Se llevó acabo un estudio para saber cuantos minutos se veía televisión en los hogares de una ciudad, en el horario de 8:00 a 11:00 de la noche. Se conoce que la desviación estándar poblacional es de 13,5 minutos. De una estimación mediante un intervalo de confianza de 95% para la media del tiempo que se ve televisión por semana en el horario antes señalado, si la media muestral es de 90 minutos.
No existe el 𝝁 ni 𝑥 que son valores indispensables para hallar el intervalo de confianza
𝛿=0.95 𝜎=5.5
3. Una revista reporto que el ingreso familiar anual medio de sus suscriptores es de $119155. Suponga que la estimación del ingreso familiar anual medio está basado en una muestra de 80 familias y que por datos de estudios anteriores la desviación estándar poblacional es = $30000. Obtenga un intervalo de
estimación de 90%, 95% y 99% para la media poblacional. ¿Qué le pasa a la amplitud del intervalo de confianza a medida que el nivel de confianza aumenta? ¿Parece razonable? Explique n=80 𝑥 =$119155 𝜎=$30000
i)
0.90 0.05
0.05 k
-k
] K=1.65
P[
L.I=
55
5 √
L.I=113620.7318 L.S=
55
5 √
L.S=124689.2682 113620.7318
124689.2682
El ingreso familiar anual medio de suscriptores varia entre 113620.7318 y 124689.2682 dólares al 90% de confianza.
ii)
0.95
0.025 -k
0.025 k
] K=1.96
P[
L.I=
55
√
L.I=112580.9601 L.S=
55
√
L.S=125729.0399
112580.9601
125729.0399
El ingreso familiar anual medio de suscriptores varía entre 112580.9601 y 125729.0399 dólares al 95% de confianza.
iii)
0.99
0.005
0.005
-k
P[ L.I=
k
] K=2.58
55
2.58 √
L.I=110501.4169 L.S=
55
√
L.S=127808.5831
110501.4169
127808.5831
El ingreso familiar anual medio de suscriptores varía entre 110501.4169 y 127808.5831 dólares al 99% de confianza.
A medida que el nivel de confianza 4. Para estimar la media de consumo por cliente, en un aumenta ,el intervalo de confianza gran restaurante setambién reunieron datos. de una muestra de aumenta
49 clientes durante un periodo de 3 semanas. Si la media
de muestra es de $22.60 dólares y la desviación estándar muestral es 8, ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población? n=49 𝑥 =22.60 𝑠 𝛿=0.95 0.95
0.025
0.025
-t
t ]
P[ P[
]= t=2.008 2.008 √
L.I=
L.I=20.30514
√
L.S= L.S=24.89485714 5
24.89485714
La media de consumo por cliente oscila entre 20.30514 y 24.89485714 al 95% de confianza
5. Una
muestra aleatoria de 100 propietarios de automóviles en la ciudad de Trujillo indica que los automóviles recorren anualmente en promedio 25000 kilómetros con una desviación estándar de 4000 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el verdadero recorrido promedio anual.
6. Una muestra aleatoria
de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. Determine un intervalo de confianza del 99% para el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular, asumiendo que la distribución de los contenidos de nicotina es aproximadamente normal. 7. El número medio de horas de vuelo de los pilotos de Continental Airlineses 49 horas por mes. Suponga que esta media se basó en las horas de vuelo de una muestra de 100 pilotos de esa empresa y que la desviación estándar muestral haya sido 8.5 horas. a. Dé el intervalo de estimación de 95% para le media poblacional de las horas de vuelo de los pilotos. b. La media en las horas de vuelo de los pilotos de UnitedAirlines es 36 horas por mes. Use los resultados de “a” para analizar la diferencia entre la cantidad de horas de vuelo de los pilotos en las dos líneas aéreas. The Wall Street Journal informa que UnitedAirlines tiene el costo laboral más elevado de todas las aerolíneas. La información dada en estos ejercicios, ¿Sirve para entender por qué se puede esperar que UnitedAirlines tenga los costos más elevados?
8. Las primeras semanas de 2011 fueron buenas para el mercado de acciones. En una muestra de 25 fondos abiertos se encontraron las siguientes ganancias obtenidas desde principio del año al 24 de enero del 2011 7. 1. 1.2 2. 1.2 1.4 0 0 5 2.5 1.5 3. 2.1 2. 1. 2 6 9
8. 5 2. 7
4. 5. 3.8 8. 6.2 0. 0 4 5 6 5.4 4.3 2. 1.6 2. 6 0
¿Cuál es la estimación puntual de la media poblacional de las ganancias en fondos abiertos desde principio del año hasta esa fecha? Puesto que la población tiene una distribución normal, calcule un intervalo de confianza de 95% para la media población de las ganancias en fondos abiertos desde principio del año hasta esa fecha. 9. Un grupo investigador realiza encuestas entre los viajeros de negocios en las que se califica la calidad de los aeropuertos de salida internacional. La calificación máxima es once. Se seleccionó una muestra aleatoria simple de 50 viajeros de negocios y a cada uno se les pidió su calificación para el aeropuerto internacional “Jorge Chavez”. Las calificaciones que dieron estos 50 viajeros fueron 6 7 4 9 4
8 4 9 6 7
8 5 8 5 4
9 7 9 5 7
7 5 6 8 6
8 2 3 3 4
5 10 3 3 9
8 8 8 9 9
10 5 8 6 4
5 4 8 4 8
Hallar el intervalo de confianza de 95% para la media poblacional de las calificaciones.
10. Los agentes de ventas de una empresa presentan un informe semanal que enumera los clientes contactados durante la semana. En una muestra de 65 informes semanales la media muestral es 19.5 clientes por semana. La desviación estándar es 5.2. De intervalos de confianza de 90% y 95% para la media poblacional del número de clientes contactados semanalmente por el personal de ventas. PROBLEMAS
1. Para determinar el porcentaje de todas las amas de casa que usan cierto detergente, se eligen aleatoriamente 196 hogares. Si 108 de ellos usan ese producto. Estimar al 99% de confianza el porcentaje de amas de casa que usan el detergente? 2. Se hizo un estudio con 611 oficinistas para investigar su atención al teléfono, el estudio registraba la frecuencia con que contestaban el teléfono y la frecuencia con que dejaban que la llamada pase al buzón de voz. De estos oficinistas, 281 indicaron constatar siempre las llamadas y no utilizar el buzón de voz. Dé la estimación puntual de la proporción poblacional de oficinistas que siempre responden al teléfono. Dé el intervalo al 90% de confianza para la proporción de la población de oficinistas que siempre contestan el teléfono. 3. La mayor parte de las empresas que informaban tener ganancias había superado las estimaciones. En una muestra de 162 empresas, 104 superaron las estimaciones, 29 coincidieron y 29 se quedaron cortas. ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de empresas que se quedaron cortas? Dé un intervalo de confianza de 95% para la proporción que supero las estimaciones.
4. Se desea saber la proporción de personas que tienen Internet. En una muestra de 100 personas seleccionadas al azar se halla que el 60% tienen Internet. Estimar al 95% de confianza la proporción poblacional de las personas que tienen Internet. 5. Se está interesado en la proporción de mujeres que cargan gasolina por autoservicio. Después de que el propietario realizara una encuesta con 100 mujeres pudo determinar que 80 de las clientas se sirven ellas mismas. Elabore un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de mujeres que utilizan autoservicio. Interprételo. 6. De acuerdo con las estadísticas publicadas, la cantidad de vehículos que no están asegurados. ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de vehículos no asegurados? Dé un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional. 7. En un estudio realizado con 369 padres que trabajan, se encontró que 200 consideran que pasan muy poco tiempo con sus hijos debido al trabajo. Dé una estimación puntual de la proporción poblacional de padres que trabajan y piensan que pasan muy poco tiempo con sus hijos debido al trabajo ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de padres que trabajan y piensan que pasan muy poco tiempo con sus hijos debido al trabajo? 8. Aunque para los viajeros de negocios, los horarios y los costos son factores importantes al elegir una línea aérea, en un estudio realizado se encontró que para los viajeros de negocios el factor más importante que la línea tenga un programa de viajeros frecuente. En una muestra de 1993 pasajeros que participaron en el estudio, 618
indicaron como factor más importante un programa más frecuente. ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción poblacional de viajeros de negocios que consideran el programa de viajero frecuente como el factor más importante al elegir una línea aérea? Dé un intervalo de confianza de 95% para estimar la proporción poblacional. 9. La juventud de un país usa internet intensamente; el 87% de los jóvenes entre 12 y 17 años son usuarios de Internet. En una muestra de usuarios de internet de esta edad, 9% votó por MySpace como el sitio de internet más popular. Suponga que en este estudio participaron 1400 jóvenes. ¿Cuál es la estimación por intervalo de la proporción poblacional de quienes consideran que este sitio es el más popular? Use el 95% de confianza. 10. Una empresa de pizzas está estudiando la posibilidad de colocar como publicidad que garantiza sus entregas de pizzas en menos de 30 minutos. Para determinar si es capaz de lograrlo realiza un muestreo de 40 entregas de pizzas. (Tiempo de entrega en minutos) Numero orden Tiempo entrega Numero orden Tiempo entrega Numero orden
de 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13 14
de 25 15 30 31
30 20 22 12 26 32 23 23 27 29
de 15 16 17
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
18
de 12 21 20 30 27 28 28 25 26 20 15 32 31 13 de 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39 40
Tiempo entrega
de 32 30 27 20 25 15 12 21 31 21 31 27
a) Hallar la proporción de la población que recibe su pizza en 30 minutos o menos. b) Determine el error estándar de dicha proporción. c) Determine la probabilidad de que las entregas de pizzas a tiempo sean del 80% al 90% d) Determine un intervalo de confianza para la entrega a tiempo de las pizzas con una confianza del 99%
Problemas de Aplicación ( ESTIMACION PARTE 3) 1. El gerente regional, de dos tiendas de una empresa comercial, una en el centro de la ciudad y otra en un centro comercial, ha observado que los productos que se venden bien en una tienda no se venden bien en la otra. El gerente cree que esto se debe a diferencias demográficas entre los clientes de las dos tiendas. El gerente pide que se investigue la diferencia entre las medias de las edades de los clientes que compra en la tienda del centro de la ciudad (población 1) y la población de clientes que compra en la tienda del centro comercial (población 2) tienen como desviaciones estándar = 9 años y 2 = 10 años. Se eligen dos muestras aleatorias simples independientes de las poblaciones 1 y 2, obteniéndose los siguientes resultados: = 36, = 40 años; 2 = 36, 2 = 35 años. Estimar al 95% de confianza la diferencia entre las medias poblacionales 1 y 2 respectivamente.
2. Se esperaba que el día de San Valentín el desembolso promedio fuera $ 100.89 .El gasto promedio en una muestra de 40 hombres fue de $135.67 y el gasto promedio en una muestra de 30 mujeres fue de $68.64. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar poblacional en el gasto de los hombres es de $ 35 y en el gasto de las mujeres es de $ 20. Estime al 99% de confianza la diferencia entre dos medias poblacionales del gasto de los hombres y el gasto de las mujeres. 3. Resuelva el problema 1, en la cual no se conocen las varianzas poblacionales, pero las varianzas muestrales son: = 64 y 2 = 121 respectivamente. Suponga homogeneidad de varianzas. 4. Resuelva el problema 2, en la cual no se conocen las varianzas poblacionales, pero las varianzas muestrales son: = 900 y 2 = 440 respectivamente. Suponga heterogeneidad de varianzas. 5. En una encuesta se pidió a los ejecutivos de empresas grandes su opinión acerca de sus perspectivas económicas para el futuro. Una de las preguntas era: ¿Piensa Ud. que en los próximos 12 meses aumentará en su empresa el número de empleados de tiempo completo? En esa encuesta 220 de 400 ejecutivos respondieron “sí”, mientras que en la encuesta realizada el año anterior, 192 de 400 respondieron “sí”. Estime al 95% de confianza la diferencia entre las proporciones en estas dos encuestas. 6. Una empresa grande de seguros de automóviles toma muestras de personas del sexo masculino, asegurado por la empresa, casados y solteros y determina cuántos
hicieron uso del seguro en los tres años anteriores. Asegurados Solteros: = 400 .Cantidad que hizo uso del seguro: 76. Asegurados Casados: 2 = 400, cantidad que hizo uso del seguro: 90. Estime al 95% de confianza la diferencia entre las proporciones de las dos poblacionales. 7. Las negociaciones salariales entre una empresa y el sindicato de sus trabajadores están a punto de romperse. Existe un desacuerdo considerable sobre el nivel salarial promedio de los trabajadores en la planta A y en la planta B. Los salarios fueron fijados por el antiguo acuerdo laboral de hace tres años y se basan estrictamente en la antigüedad. Debido a que los salarios están controlados muy de cerca por el contrato laboral, se asume que la variación en los salarios es la misma en ambas plantas y que los salarios están distribuidos normalmente. Sin embargo, se siente que existe una diferencia entre los niveles salariales promedio debido a los patrones de antigüedad diferentes entre las plantas. El negociador que representa a la gerencia desea hallar un intervalo de confianza del 99% para estimar la diferencia entre los niveles salariales promedio. Planta A Planta B
=23 2=
19
Media= 17.53 Media= 15.50
$ $
= $ 9.59 2
= $ 9.33
8. Una revista realiza un estudio en los alumnos de dos universidades acerca de sus calificaciones en estadística estos fueron los resultados. I II
60 100
75 90
90 85
95 70
85 65
75 85
60 90
100 80
70 75
Construya un intervalo de confianza del 95 % para . Suponga heterogeneidad de las varianzas 2 poblacionales. =9 =78.89 =14.5297 ̅ =82.2 2 =9 2 =10.929
0.95
0.025
0.025
+
-t P[
t ]
t=2.120 2
(78.89-82.2)-(2.120)√
-16.17793075
2
2
2
(78.8982.2)+(2.120)√
9.517930746
La diferencia entre las calificaciones de dos universidades referentes a estadística varian entre -16.17793075 y 9.517930746 al 95% de confianza.
9. Los siguientes datos son el número de ventas que una muestra de 9 vendedores de productos químicos en Trujillo y una muestra de seis vendedores en Chiclayo realizaron en cierto periodo fijo: Trujillo 59 Chiclayo 50
68 36
44 62
71 52
63 70
46 41
69
54
48
Suponiendo que las poblaciones muestreadas pueden aproximarse con distribuciones normales. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para . Suponga homogeneidad de varianzas poblacionales.
10. Una investigación de dos tipos de fotocopiado revelo que 25 fallas del primer tipo de equipo fueron reparadas en un tiempo promedio de 83.2 minutos con una desviación estándar de 19.3 minutos, mientras que 25 fallas del equipo del segundo tipo fueron reparadas en un tiempo promedio 90.8 minutos, con una desviación estándar de 21.4 minutos. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para - 2 . Suponga homogeneidad de varianzas poblaciones. 11. Supóngase que deseamos investigar si en promedio el sueldo del hombre excede en más de $20 por semana al de la mujer en cierta industria. Si los datos revelan que 22 hombres ganan en promedio $292.50 por semana con una desviación estándar de = 15.60, mientras que 20 mujeres perciben en promedio $266.10 por semana con una desviación estándar de 2 = $18.20. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para - 2 . Suponga homogeneidad de varianzas poblacionales.
2
=22
= $292.50
2 =20
̅ =$266.10
-t
5
2
2 2 =18.20²=331.24
t ]
P[
t=1.684 2
5
(292.50-266.1)-
266.1)+
√
5
√
5
22
22
2
2
2
(292.50-
17.61500967
2
35.18499033
La diferencia entre los promedios del hombre y mujeres varían entre 17.61500967 y 35.18499033 al 90% de confianza.
12.Al estudiar el flujo de tránsito en dos bulliciosos cruces entre las 4PM y las 6PM, se encontró que en 15 días laborales hubo en promedio 247.3 automóviles que acercándose al primer cruce desde el sur dieron vuelta a la izquierda, mientras que en 20 días laborales hubo en promedio 254.1 automóviles que aproximándose al segundo cruce desde el sur dieron vuelta a la izquierda. Las correspondientes desviaciones estándar muéstrales son = 15.2 y 2 = 18.7. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para Suponga 2. heterogeneidad de varianzas poblaciones. =15 2 =20
= 247.3 ̅ =254.1
0.90
0.05
2
15.2²=231.04 2 2 =18.7²=349.69
0.05
]
P[ -t
t t=1.690
(247.3-254.1)-1.690√
254.1)+1.690√
2 2
2
-16.49169937
2
2
2.89169372
2
(247.3-
La diferencia entre el flujo de transito de dos bulliciosos cruces varían entre -16.49169937 y 2.89169372 al 90% de confianza.
13. En un programa de capacitación industrial, algunos aprendices son instruidos con el método A, el cual consiste en instrucción mecanizada, y algunos son capacitados con el método B, que entraña también la atención personal del instructor. Muestras aleatorias de tamaño 10 son tomadas de grupos de aprendices capacitados por cada uno de estos métodos, y las calificaciones que obtuvieron en una prueba de aprovechamiento son:
Método A 71 Método B 72
75
65
69
73
66
68
71
74
68
77
84
78
69
70
77
73
65
75
Encuentre un intervalo de confianza del 90% para 2 . Suponga homogeneidad de varianzas poblacionales. Método A:
=10
Método B:
2 =10
=70 2 =74
=0.90 (intervalo de confianza)
2
=3.3665²=11.3
2 2 =5.3955²=29.1
-t
t ]
P[ t=1.734
Varianzas poblacionales homogéneas:
2
(70-74)-
74)+
√
2
√
-7.487211527
2
-0.512788472
(70-
14. De la población estudiantil de una universidad grande se tomaron muestras aleatorias independientes de calificaciones de hombres y mujeres para determinar cuál sexo tiene el promedio más alto. Los resultados fueron como sigue: Hombres Mujeres
̅ 1 =2.1 ̅ 2 =2.3
=50 2 =75
= 0.8 =0.7
Determine si hay una diferencia entre los hombres y mujeres construyendo un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre los promedios. Suponga homogeneidad de varianzas poblaciones. Solución: =0.99 (intervalo confianza)
de
]
P[
-t
]=
P[
t
t=2.626 2
2
2
5
5
(50-75)-
75)+
√ 5 √ 5
5
2
(50-
5
-25.35549743
2
-24.64450257
15.Se realizó un estudio para calcular la diferencia entre salarios de maestros universitarios de ciencias y empleados industriales que una vez fueron profesores universitarios de ciencias. Se obtuvieron dos muestras aleatorias independientes de información salarial. Suponga heterogeneidad de varianzas poblaciones. Los resultados fueron como sigue Maestros universitarios
=50
̅ 1 =$34.96
= $1200
Empleados
2
̅ 2 =$35.44
=60
=$1000
Construya un intervalo de confianza del 90% para e interprételo.
2
-
Solución: =0.90 ]
P[ ]=
P[
-t
t=2.626
(34.96-35.44)-
35.44)+
√
-560.4197249
2
√
2
t
(34.96-
2
2
559.4597249
La diferencia entre los salarios de maestros universitarios de ciencias y empleados industriales varían entre -560.4197249 y 559.4597249 al 90% de confianza.
16. Se compararon dos marcas de cigarrillos, C y D, respecto a su contenido de nicotina en miligramos, dieron los siguientes resultados. Marca C Marca D
=40 2 =50
̅ 1 =14.3 ̅ 2 = 15.7
= 2.9 = 3.8
Construya un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las medias de contenido de nicotina para las dos marcas de cigarrillos. Suponga heterogeneidad de varianzas poblaciones.
Solución: =0.99 (intervalo de confianza) ]
P[ ]=
P[
-t
t=2.632
(14.3-15.7)-
√
-3.259336158
2
2
(14.3-15.7)+
t
√
0.459336157
La diferencia entre las medidas de contenido de nicotina entre las dos marcas varían entre -3.259336158 y 0.459336157 al 99% de confianza.
17. Muestras del pago por hora para los choferes para los choferes de camiones en las ciudades A y B proporcionan los siguientes datos Ciudad A Ciudad B
=30 2 =30
̅ 1 = $5.30 ̅ 2 = $5.40
= $0.16 = $0.15
Establezca un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de pago por hora para los choferes para las dos ciudades. Suponga heterogeneidad de varianzas poblaciones. Solución: =0.95
]
P[ ]=
P[ t=2
(5.30-5.4)-2√
2
-0.18008329
22
2
2
(5.30-5.4)+2√
2
22
-0.01991671
La diferencia entre las medias de pago por hora para los choferes varían entre -0.18008329y -0.01991671 al 95% de confianza.
18. Se vende pólizas de seguro a los residentes en toda la ciudad. El propietario desea estimar la diferencia en las reclamaciones promedio de las personas que viven en zonas urbanas y en aquellas que residen en los suburbios. Obtenga un intervalo de confianza del 95% sobre las reclamaciones promedio registradas para los dos grupos. Suponga homogeneidad de varianzas poblaciones. Los datos son los siguientes: Zona urbana Suburbios
=180 2 =50
̅ 1 = $2025 ̅ 2 = $1082
= $918 = $512
Suponga homogeneidad de varianzas poblaciones: 5
2
]
P[ ]=
P[ t=1.972
5
5
(2025-1082)-1.972√
1.972√
675.6721459
2
(2025-1082)+
5
2
1210.327854
La diferencia en las reclamaciones promedios de las zonas urbanas y los suburbios varían entre 675.6721459 y 1210.327854 al 95% de confianza.
