LISTA DE EJERCICIOS DE LÓGICA Y CONJUNTIO 2017 I.- Determine cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no.
01) Los reptiles son vertebrados. v ertebrados. 02) Los estibadores en Corinto ganan menos de $20 al día. 03) ¡Qué linda es Selva Negra! 04) El 2% de 40 es 8. 05) ¿Por qué se matricularon en Cálculo I? 06) El número 1 no es un número primo. 07) ¿Lo tomas o lo dejas? 08) Un triángulo rectángulo tiene sus tres lados iguales. 09) Es posible que hoy llueva. 10) El algoritmo está bien enunciado si el programa corre. 11) ¿Pintamos esa casa?
14) O me llevas al cine o me llevas a bailar. 15) 8 + 7 = 14 + 1 16) Todo cuadrado tiene 5 lados. 17) Si (3)(10) = 30 entonces (10)(3) = 18 18) El lapicero es de color azul o negro. 19) Las gallinas son mamíferos. 20) No es cierto que no me guste bailar. 21) Llueve y o bien nieva o sopla el viento. 22) Si 2 rectas no se cortan necesariamente son paralelas. 23) No es cierto que viese la película y leyese la novela.
12) 4 es un número impar o 15 es un número primo.
24) Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la licenciatura.
13) 4 es menor que 7 y 4 es igual a 7.
25) He aceptado el trabajo y he dejado de pintar.
II.- Señala cada proposición simple con una “S” y cada proposición compuesta con una “C” y escribi r junto a cada proposición compuesta el conectivo o modificador modificador utilizado.
01) La música es muy suave o la puerta está cerrada. 02) A las focas no les crece el pelo. 03) Nicaragua esta al norte de Costa Rica y Costa Rica al norte de Nicaragua. 04) Si Luis es un buen jugador, entonces participará en el partido del colegio.
08) Tomaremos café. 09) Pintaremos la casa de verde. 10) No es verdad que Carmen es rubia y tiene los ojos verdes. 11) No es cierto que el día esta caluroso. 12) El 25% de 400 es 200. 13) Hugo Chávez está muerto.
05) Esta proposición es compuesta si y solo si se puede descomponer en otras.
15) El mundo no es perfectamente redondo.
06) Lima es capital de Perú y Bogotá es de Colombia.
16) La Revolución es necesaria.
07) La puerta principal del colegio es de madera.
17) Marte es un planeta sin vegetación.
III.- Simbolizar las proposiciones siguientes.
01) No ocurre que, Luis ha venido demasiado tarde y Juan ha venido demasiado pronto. 02) No es cierto que Juan estudia Física o lee versos, y no escribe cartas. 03) Si este mineral no es duro, entonces no está compuesto de cristales de cuarzo. 04) O sus deberes están terminados, o, si no están terminados, tendrán que hacerlos por la noche.
08) Si tengo tiempo y no estoy cansado, iré a la tienda. 09) Si ni Juan estudia ni Carlos hace la tarea, entonces la nota máxima es 75. 10) Si en la tarde está nublado, entonces te quedas en casa o deberás tomar un taxi. 11) Juan estudia Física o lee cartas y no escribe versos. 12) Si río y no lloro, no estoy feliz.
05) Si llueve mañana y no se repara el techo, la casa se inundará.
13) Si Juan no canta bien, entonces Carlos aprueba o Marín no estudia.
06) La cosecha sobrevivirá, si y solo si se construyen zanjas de riego, y si la cosecha no sobrevive, los campesinos tendrán tendrán que emigrar.
14) Si obtengo el puesto y no trabajo duro, entonces no me ascenderán.
07) Juan debe rendir testimonio y decir la verdad o no tiene
15) Si la matemática es fácil, entonces la química es real o la física es aplicada.
16) Si en la esta nublado, no te quedarás a cenar y deberás tomar un taxi. 17) Perdió su empleo o no fue hoy a trabajar. 18) O Juan no está aquí o María está, si y solo si Roger no fue a la librería. 19) El triángulo es equilátero si y solo si es equiángulo. 20) Si trabajo duro y tengo talento, entonces seré músico. 21) Él es alto, o es bajo y apuesto.
28) Iré al cine o al teatro, si me invitas. 29) En el caso de que venga Cipriano, vendrán Fulgencio y Eustaquia. 30) Si hay guerra, no crecerá el paro ni la inflación. 31) Federico se irá a las Fiji o a las Seychelles si y sólo si le toca la lotería y no se arruina en la ruleta. 32) El Hombre Lobo es un invento, y si lo mismo ocurre con Drácula, entonces los niños son engañados. 33) Si la bolsa baja mucho, es conveniente comprar, y cuando la bolsa sube mucho, también es conveniente comprar.
22) No llueve y no hace frio. 23) Llueve o no hace frio.
34) Si no sabes inglés y ni francés, te contrato en mi empresa, si y sólo si, sabes informática o contabilidad.
24) Si es rico entonces no es feliz. 25) El ser rico es una condición necesaria para ser feliz. 26) Si estudio lógica matemática entonces seré un destacado profesional.
35) Si no es cierto que se puede ser rico y dichoso a la vez, entonces la vida está llena de frustraciones y no es un camino de rosas.
27) Si no hay ruidos y no estás sordo, entonces debes oírme. IV.- Si “r” es verdadera, “s” es falsa, “t” es falsa y “m” verdadera, encontrar los valores de verdad de las siguientes proposiciones.
01) ሾ(− ∧ ) → ሿ 02) ሾ−( ∨ ) ∨ ( → )ሿ
03) ሾ( ∨ ) → ( ∨ )ሿ
05) ሼሾ( ∧ ) → ( ↔ )ሿ ∨ (− → )ሽ
04) ሼ → ሾ( ∨ ) ∧ ሿሽ → −
06) ሾ−( ∧ ) → ሿ
V.- Sean a, b y c proposiciones distintas. Determine por medio de tablas de verdad ¿cuáles son tautologías?, ¿cuáles son contradicción? y ¿cuáles son contingencia?
01) ሾ → (− → −)ሿ
05) ሾ( → ) → ( → )ሿ
09) ሼሾ ∨ (− ∧ )ሿ ∨ (− ∧ −)ሽ
02) ሾ−( ∨ ) → ( ∨ )ሿ
06) ሾ( ∧ ) → ( ∨ )ሿ
10) ሾ( ∧ ) → ሿ
03) ሼሾ → ( ∨ )ሿ ∨ ሽ
07) ሼ( ∧ ) → ሾ( ↔ ) ∨ ሿሽ
11) ሼ → ሾ( → ) ↔ ( → )ሿሽ
04) ሾ( ∨ ) → −ሿ
08) ሼ( → −) ∧ ሾ( ∨ ) ∨ ሿሽ
12) ሼሾ( → ) ↔ ( → )ሿ → ሽ
VI.- Si y son proposiciones simples ¿a cuáles de las siguientes implica tautológicamente la proposición (− ∨ )?
01)
05) (− ∧ )
09) −(− ∧ )
02) ( → )
06) −
10) −( → )
03) ( → )
07) −( → −)
11) −( → )
04) −
08) ( ∧ )
12) (− → −)
VII.- Sean las proposiciones: : Managua es ciudad de Nicaragua. : Rivas tiene fronteras con Honduras. : Zelaya es el departamento más grande de Nicaragua. a) Determine el valor de verdad de , y . b) Traduzca al lenguaje ordinario las siguientes proposiciones compuestas.
01) ( ∨ −)
03) ሾ( ↔ ) ∧ ( ↔ )ሿ
05) ሾ → (− ∨ −)ሿ
02) ሾ( ∧ ) → −ሿ
04) ሾ ∧ (− → )ሿ
06) ሾ → (− → )ሿ
VIII.- Si y son proposiciones simples. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicamente equivalentes a la proposición −( ∧ )?
01) 02) (− ∧ −)) 03)
05) ( → −) 06) ( → −) 07) −( → −)
09) – 10) – 11) −(− ∨ −)
IX.- Determinar:
01) Si (− → ) es lógicamente equivalente a (− ∧ −).
07) Si ( → ) es lógicamente equivalente a ( → ).
02) Si −( → ) es lógicamente equivalente a (− ∧ ).
08) Si (− ∨ ) implica tautológicamente a (− → ).
03) Si ሾ ∨ ( ∧ )ሿ es lógicamente equivalente a .
09) Si ( ∧ ) implica tautológicamente a ( ↔ ).
04) Si ( → −) es lógicamente equivalente a −( ∧ ).
10) Si ( ∧ ) ∧ ( ∧ ) son tautológicamente equivalentes a ( ∧ ) ↔ ( ∧ ).
05) Si ሾ−( ∨ ) ∨ ( ∧ )ሿ es lógicamente equivalente a −. 06) Si ( ∧ −) es lógicamente equivalente a ( → ).
X.- Determine si los siguientes argumentos son válidos o no, haciendo uso de una tabla de verdad.
01)
02) ( → ) ( → −) −
04)
03) ( ∧ ) (− → −)
05) ( ∧ ) → ( → )
07)
06) ( → ) ( ∨ ) −
08) ( ↔ ) − ( ∨ )
10)
( → ) ( → ) ( ∨ )
09) ( ∧ ) → −( ∨ ) → ( → ) (− → )
11) ↔ ( ∨ ) −( → )
(− → −) −(− ∨ −) ( ∧ )
( → ) ( ∨ ) −(− → ) ( ∧ −)
12) ∨ ( ↔ ) ( ∧ )
11) La ballena es un mamífero y no necesita branquias. Si no necesita branquias, debe respirar por la boca. Luego, no es cierto que la ballena sea mamífero y no respire por la boca. 12) Si llueve y salgo a la calle y no llevo paraguas, me mojo. Sin embargo, he salido a la calle, no llevo paraguas, pero no me mojo. Luego, no llueve. 13) Si Juan descubre al asesino y éste es el heredero, la herencia pasará a Luis. Sólo si el mayordomo es el asesino, Luis se quedará sin herencia. Juan descubre al asesino y Luis se queda sin herencia. Luego, el asesino no es el heredero, sino el mayordomo. 14) Sólo si se provoca a los tiburones mediante amenazas o detectan sangre, atacarán. Luego, si no se quiere ser atacado por los tiburones, hay que considerar vital evitar que detecten sangre o evitar amenazarles provocativamente. 15) Si descubro las ruinas de la Atlántida, seré un arqueólogo famoso. Si encuentro las minas del rey Salomón, me haré rico. O bien encuentro las minas del rey Salomón o bien encuentro las ruinas de la Atlántida. Luego, me haré rico o seré un arqueólogo famoso.
∧ ( ∨ ) ( ↔ )
16) Sólo si se provoca a los tiburones mediante amenazas o detectan sangre, atacarán. Luego, si no se quiere ser atacado por los tiburones, hay que considerar vital evitar que detecten sangre o evitar amenazarles provocativamente. 17) Sólo si llueve mucho, entonces o bien la cosecha será grande o bien los pantanos se llenarán de agua. Pero si llueve mucho, habrá demasiados mosquitos. Resulta que la cosecha es grande. Luego, habrá mosquitos a montones. 18) Si se es joven, no hay que vacilar en filosofar. Si se es viejo, no hay que cansarse de filosofar. Luego, si eres joven o si eres viejo, o bien no debes vacilar en filosofar o bien no debes cansarte de ello. 19) Si bajo los precios, venderé mucho. Y si la calidad de mi mercancía es buena, mis clientes estarán satisfechos. Luego, si bajo los precios y la calidad de mi mercancía es buena, venderá mucho y mis clientes estarán satisfechos. 20) No es cierto que los marcianos beban tequila, pero no beban vino. Si no beben tequila, no cantan rancheras. Pero si beben vino, no cantan rancheras, pero sí fandangos. Luego, los marcianos o no cantan rancheras o cantan fandangos.
XI.- Efectué las siguientes operaciones con conjuntos.
01) Sean los conjuntos:
08) Dado los conjuntos:
= ሼ⁄ ú ሽ, = ሼ ⁄ ሽ, = ሼ⁄ < 5, ∈ ሽ, = ሼ6,7,8,9ሽ. Determine: a) − b) ∪ c) ∩
= ሼ5, 7,9, 11, 13, 15, 16, 18, 19ሽ, = ሼ3,5,7,9,11,19ሽ , = ሼ5,13, 16, 17, 18ሽ, = ሼ3,9, 15, 18ሽ. Determine: a) △ b) − c) − ( ∩ ) d) ( − ) ∩ .
d) △ d) ∪ ( ∩ )
02) Dado los conjuntos:
09) Dados los conjuntos:
= ሼ,,,,, ,, ℎ,,,,, ሽ , = ሼ, , , ሽ , = ሼ,, , ሽ, = ሼ,, ℎ,ሽ. Determine: a) ( − ) b) ( △ ) ∪ c) ( − ) ∩
= ሼ⁄ ñሽ, = ሼ, , , , ሽ,
03) Dado los conjuntos: = ሼ,, ,, ,, ሽ, = ሼ, , , , ሽ, = ሼ, , ,ሽ , = ሼ,, ,ሽ. Determine: a) ∩ b) ( △ ) c) ( − )
04) Dado los conjuntos: = ሼ1,2,3,4,5,6,7,8,9,10ሽ, = ሼ2, 4,6, 8ሽ, = ሼ1,2,3,4ሽ, = ሼ3,4, 5,6,8ሽ. Determine: a) ∪ b) ( △ ) c) − ( ∪ )
05) Dado los conjuntos = ሼ,, ,, ,, ሽ, = ሼ, , , , ሽ, = ሼ,, , ሽ, = ሼ,, ,ሽ. Determine: a) ∩ b) ( △ ) c) ( − ) ∩
06) Dado los conjuntos: = ሼ3,7,9,11,15,17,18ሽ, = ሼ3, 7,9, 11ሽ, = ሼ7, 11, 15,17ሽ, = ሼ3,9, 15, 18ሽ. Determine: a) △ b) − c) − ( ∩ ) d) ( − ) ∩
07) Dado los conjuntos: = ሼ,, ,, ሽ, = ሼ, , ሽ , = ሼ, ,, ሽ, = ሼ,, ሽ. Determine: a) △ b) ( △ ) c) − ( ∩ ) d) ( − ) ∩ .
= ሼ, , , , , ሽ,
= ሼ, , , , ሽ.
Determine: a) △ b) − c) − ( ∩ ) d) ( − ) ∩ . 10) Dado los conjuntos: = ሼ,,,,,,,ℎ,,ሽ , = ሼ, , , , , ሽ , = ሼ,, ,,ℎ, ሽ, = ሼ,, ,,ℎ, ሽ. Determine: a) ∩ b) ( △ ) c) ( − ) ∩
11) Dado los conjuntos: = ሼ1,2,3,4,5,6,7,8,9,10ሽ, = ሼ2, 4,6, 8ሽ, = ሼ1,2,3,4ሽ, = ሼ3,4, 5,6,8ሽ. Determine: a) ∩ b) ( − ) − c) ( ∩ ) ∪ ( ∪ )
12) Dado los conjuntos: = ሼ1,2,3,4,5,6,7,8,9,10ሽ, = ሼ2, 4,6, 8ሽ, = ሼ1,2,3,4ሽ, = ሼ3,4, 5,6,8ሽ. Determine: a) ( ∪ ) b) ( △ ) − c) ( ∩ ) ∪ ( ∪ )
13) Dado los conjuntos: = ሼ1,2,3,4,5,6,7,8,9,10ሽ, = ሼ2, 4,6, 8ሽ, = ሼ1,2,3,4ሽ, = ሼ3,4, 5,6,8ሽ. Determine: a) ( ∪ ) △ b) ( ∩ ) ∪ c) ( ∩ ) ∩
14) Dados los conjuntos: = ሼ ⁄ + − 12 = 0ሽ, = ሼ⁄2 − 6 = 0ሽ. Determine: a) ∩ b) ∩ c) △ d) ( − )
XII.- Dados los conjuntos A, B y C no vacíos, represente en diagramas de Venn Euler las siguientes operaciones:
01) ( ∪ ) ∩ 02) ( ∪ ) − 03) ∪ ( ∩ ) 04) ( ∩ ) − 05) ( ∪ ∪ ) ( ∩ )
06) ( △ ) ∩ 07) ∩ ( ∪ ) 08) ( ∪ ) ∩ 09) ( ∪ ) ∪ 10) − ( ∪ )
11) − 12) ( ∩ ) 13) ( ∩ ) ∪ ( ∪ ) 14) ሾ( ∩ ) ∪ ( ∪ )ሿ 15) ( ∪ )
16) ( ∩ ) 17) ( △ ) ∪ 18) ( − ) − 19) ∪ 20) ( △ )
XIII.- Representar en diagrama de Ven:
01) − ( ∪ ) =
06) ( ∩ ) − =
02) − ( ∪ ) =
07) ( ∩ ∩ ) = ó
03) − ( ∪ ) =
08) (∆) =
04) ( ∩ ) − =
09) ( ∆ ) =
05) ( ∩ ) − =
10) ( ∆ ) ∩ =
XIV.- Resolver los siguientes ejercicios aplicando las técnicas de conteo adecuadas.
01) De los 30 estudiantes de una clase de inglés, 26 aprobaron el 1° parcial y 21 el 2° parcial. Si 2 reprobaron ambos exámenes. ¿Cuántos aprobaron la clase? 02) De los 40 estudiantes de una clase de matemática, 30 aprobaron el 1° parcial y 27 el 2° parcial. Si 8 reprobaron ambos exámenes. ¿Cuántos aprobaron la clase? 03) En una carpintería de 250 obreros, 110 fabrican sillas, 180 fabrican mesas y 10 de ellos no fabrican ningún mueble. ¿Cuántos fabrican ambos muebles? 04) En una carpintería de 200 obreros, 120 fabrican sillas, 70 fabrican mesas y 50 de ellos no fabrican ningún mueble. ¿Cuántos fabrican ambos muebles? 05) Al entrevistar 100 familias se observó que, 75 de ellas leen el diario la Prensa, 55 el Nuevo Diario y 10 ninguno de los dos diarios. ¿Cuántas familias leen ambos diarios?, ¿cuántas solo la Prensa o solo el Nuevo Diario? 06) En una encuesta realizada a 110 estudiantes se encontró que 5 de ellos practican tenis de mesa, 45 tenis de campo y 20 ninguno de los dos deportes. ¿Cuántos practican ambos deportes?
11) En un grupo de 150 personas se les preguntó si querían nadar o montar bicicleta, como únicas dos alternativas. De estas, 75 decidieron nadar, 70 montar bicicletas y 30 no realizar ninguna de las dos alternativas. ¿Cuántas decidieron nadar y montar bicicletas? ¿Cuántas solamente nadar? 12) En una unidad habitacional viven 120 familias y se sabe que 70 de ellas tienen carro, que 30 poseen un DVD y que 17 tienen ambas cosas. Se desea conocer: a) ¿Cuántas familias tienen exclusivamente carro? b) ¿Cuántas familias son dueñas exclusivamente de un DVD? c) ¿Cuántas familias son propietarias de un carro o de un DVD? d) ¿Cuántas familias no poseen ni carro ni DVD? 13) Un pueblo pequeño posee 300 carros para el transporte público de sus habitantes. Se sabe que 110 de estos carros tienen más de 20 años de edad, que 120 son de la Nissan y que 50 son de la Nissan con más de 20 años de edad. Determine el número de carros que: a) No son de la Nissan.
07) De un total de 65 secretarías entrevistadas para un
b) No son de la Nissan y tienen más de 20 años.
trabajo, 40 de ellas conocían “ Windows Vista”, 35 “Windows Seven” y 20 ninguno de los dos Sistemas Operativos.
c) Son de la Nissan con 20 años o menos.
¿Cuántas
conocían
ambos
programas?
Y
¿cuántas
d) No son de la Nissan y tienen 20 o menos años.
solamente “Windows Vista”?
e) Tienen 20 o menos años.
08) De un total de 60 clientes que visitaron una tienda de artículos de computadoras, 37 compraron una impresora, 3 0 una memoria de 32G y 20 no compraron ninguno de los dos artículos. ¿Cuántos clientes compraron ambos artículos?, ¿cuántos solamente una impresora?
14) En la clase de Educación Física se inscribieron 200 estudiantes, se les pregunto si querían nadar o trotar como únicas dos alternativas. Decidieron trotar 85 de ellos, 60 también aceptaron nadar. En total, ¿cuántas tomaron natación? ¿Cuántas tomaron natación pero no aceptaron trotar?
09) De un total de 80 alumnos, 36 llevan matemática, 50 física y 12 no llevan ninguna de las dos clases. ¿Cuántos alumnos llevan ambas clases?, ¿cuántos solamente física? 10) De un total de 80 alumnos encuestados acerca de la preferencia de las lecturas, 54 contestaron que prefieren la novela, 36 arte dramático y 12 ninguno de los dos tipos. ¿Cuántos prefieren la novela y el arte dramático?, ¿cuántos alumnos prefieren solo la novela?
15) Un archivo de datos de tamaño igual a 96K debe de ser copiado en un minidisco de capacidad 143K. Si 100K del disco está ocupado en otros archivos. ¿Cuál es la mínima cantidad del disco que debe de ser borrada para almacenar el nuevo archivo?
