VIAJAN LAS ONDAS DE SISTEMAS DE ENERGÍA ELÉCTRICA ELÉCTRICA LV Bewley Los problemas de las ondas que viajan en las líneas de transmisión de un sistema de energía difiere considerablemente considerablemente de viajar las ondas en circuitos circuitos telefónicos telefónicos o telegráficos. telegráficos. El objetivo primario primario es saber cómo proteger el sistema de voltaje anormal de perturbaciones que puedan daar el aparato o causar discontinuidad de servicio! mientras mientras que el objeto de este es la transmisión. de seales. "tenuación# distorsión# modificación de la forma de onda# y refle$iones sucesivas son deliberadamente buscados en el poder de sistema como un medio de %acer de las las sobretensiones icono# pero estos estos efectos debe ser cuidadosamente evitado o anulado en los circuitos de comunicación a fin de preservar la forma de onda y transmitir la seal con fuer&a# la fidelidad# y sin interferencias. interferencias. En las líneas de alta tensión# la frecuencia sobretensiones originados por causas desconocidas# o en el punto de origen son de magnitud y la forma conocida 'e$cepto desde el punto de vista estadístico(! mientras que en los circuitos de comunicación la forma inicial y la magnitud del tren de ondas se conocen con e$actitud. )ampos e$ternos 'debido a nubes cargadas(# corona corona## descar descarga gass disrup disruptiv tivas# as# faltas# faltas# etc.# etc.# son de gran gran import importanc ancia ia con respecto respecto a
los aumentos aumentos
repent repentino inos! s! pero pero no son de preocu preocupac pación ión en la normal normalida idad d funcio funcionam namien iento to de una línea línea telefó telefónic nicaa o telegráfica. "sí# en las líneas de energía sobretensiones se originan por causas e$ternas o indeseables y todos los esfuer&os esfuer&os se deben deben %acer para resistir resistir o controlarl controlarlos! os! mientras mientras que en comunicación comunicación circuitos circuitos
los
transitorios son los medios directos a la final. Estas diferencias %an llevado a las diferencias correspondientes correspondientes en el enfoque matemático. El ingeniero de energía se satisface con apro$imaciones que sería intolerable para las comunicaciones de ingeniería# y que está dispuesto a tomar una licencia con rigor matemático lo que %aría cualquier genio matemático que se precie. *ayor matemático %a encontrado poca o ninguna aplicación en el estudio de los aumentos repentinos en sistemas de potencia. Esto se %a debido principalmente al %ec%o de que las condiciones de contorno contorno no son lo suficientemente definida definida como para justificar justificar matemática sobre todo porque los resultados de ingeniería deben ser obtenidos en poco tiempo por %ombres que no son matemáti matemáticos. cos. +i nunca# nunca# %ay numerosos numerosos aspectos del problema problema que se prestan prestan ellos, ellos, mismos mismos a e$cursion e$cursiones es matemáticas. Es mi propósito en esta conferencia a
le dará los m-todos de ingeniería# y tal ve&# aquí y allá# a sugerir cómo las matemáticas avan&adas podría aplicarse.
El problema general. La igura / indica una transmisión multi,conductor línea de misión# protegido por un cable de tierra en la cima de las torres# que termina en una estación de energía que contiene un pararrayos# un cortacircuito# un transformador# y un generador. 0na nube# flotando sobre la línea# %a sido acusado por la acción de las corrientes de aire ascendentes en
las gotas de lluvia que caen# y esta carga de la nube %a inducido una estacionaria contra,carga en los conductores de la línea de transmisión. )omo potencial de la nube aumenta# averías locales se producen en toda su masa# uniendo de este modo algunas de sus regiones y de puesta a disposición# a trav-s de caminos parcialmente ioni&ados# un depósito de carga. )on el tiempo la gradiente de campo alcan&a una intensidad suficiente para iniciar una carrera de líder o dardo# que comien&a %acia tierra. El progreso de este dardo no es continuo# pero por sacudidas# cada jer1 dependiendo de la oferta de cargo adicional para la cabe&a de la pin&a. Es como la fuer&a blindada en una guerra relámpago ruptura a trav-s de,que golpea al límite de sus capacidades y debe entonces esperar refuer&os tácticos y apoyo logístico antes de renovar su ataque. " medida que el dardo se acerca la tierra# el campo El propósito de un cable de tierra es interceptar un rayo y# por tanto proteger los conductores de potencia de sobretensiones destructivas. Esas oleadas que vienen en la estación son absorbidos por el pararrayos
2ndas viajeras
gradiente en la línea de transmisión aumenta y esto provoca una migración de la carga a trav-s de las torres en el cable de tierra# y de las partes remotas de los conductores de la línea %acia la región de campo la concentración. El dardo finalmente %ace contacto por ejemplo con el suelo el alambre en la torre y una oleada de relámpago se mueve en ambas direcciones en el cable de tierra# la inducción de las ondas en los conductores de la línea. 3ero cuando estas ondas llegan a la siguiente torre# las refle$iones se producen# y muy pronto todo los tramos limítrofes son ocupados por numerosas ondas que reflejan de nuevo adelante y %acia atrás# y tal ve& flameos %an tenido lugar a la línea de conductores. Estas ondas se están apresurando# con la velocidad de la lu&# %acia la central# donde pueden entrar en los bobinados de los transformadores y generadores# causando fuertes pendientes que puede estropearse el aislamiento# y las oscilaciones que pueden desarrollar destrucción de tensiones en la mayor aislamiento a tierra. 4al ve& un casquillo # o un fallo de aislamiento %ará que el interruptor automático a funcione# interrumpiendo la corriente de alimentación 56 ciclo normal# y esta operación iniciará una nueva transitoria que se llama un 7conmutación aumento 8 9: tal ve& una descarga disruptiva el aislador en la línea se culminara# en la formación de arco intermitente que puede resultar en un edificio acumulativo de voltajes peligrosos llamada 7tierra de arco.7 El ingeniero no aborda este problema en su totalidad . *ás bien se le obliga a %acer un ataque por partes# por el manejo de cada parte del problema como una separada de independiente proposición# aislando de esta manera y derrotándolo por detalle. 3ara este e$tremo# ciertos aspectos del problema se e$aminará en cuatro principales partidas.
Ondas ml!"#$elo%"dad &no!a%"'n !ensor"al(. )onsidere un sistema de n conductores de la línea a-rea de transmisión con voltajes e r # corrientes i, cargos Qr y los flujos
Luego# en t-rminos de electrostática de
*a$well coeficientes potenciales
;onde
es el inverso de
en la matri&
Estos coeficientes se calculan para conductores
cilíndricos paralelos en presencia de suelo mediante la inclusión de las imágenes de los conductores en el suelo superficie.
Los vínculos de flujo magn-tico se dan en t-rminos de la inductancia por coeficientes
Eliminar
resulta
en el que ôsr es el delta de >ronec1er y
"%ora bien# si se tienen en cuenta las p-rdidas (Rra? 6# Grs- 6(# '5( se satisface por la onda viajera
Que sustituido en (6) nos da
Dado que esta ecuación debe ser satisfecha por las ondas de la misma velocidad
Las velocidades se dan por las raíces del determinante 0n índice cerrado se utili&a aquí para suspender la convención de suma
3ara cada raí& de '//( no se corresponden los valores n de al Un : cualquier (n - /( de ellos se puede determinar en función de un valor tomado de manera arbitraria. ;eje que -ste valor sea eft * ? /. +olución &)*(
en el que @ b 'rs\ Es @ c 'rs\ Por la fila A ? / y r ? / columna eliminado# y La rs es el cofactor de bsr en @ b 'sr\ La solución completa se convierte entonces
Por (5) las corrientes correspondientes son
Trans"%"'n pn!os. )onsidere el caso general de la figura C en la cual cualquier n=mero de líneas entrantes terminan en un punto de transición con,consistente de una red interconectada y cualquier n=mero de salientes
líneas. )uando las ondas incidentes en las líneas entrantes lleguen a la transición punto de la# corrientes fluirá en la red# las ondas transmitida se moverá %acia fuera en las líneas de salida# y ondas reflejadas se iniciará de nuevo en las líneas de entrada. En notación tensorial dejarD rs ? mpedancias de sobretensiones de líneas entrantes# La impedancia característica de una línea es el coeficiente de proporcionalidad entre su tensión y corriente !e-i"# +u recíproca se llama admisión oleada. 3ara los aumentos repentinos en líneas de transmisión# estos parámetros son esencialmente constante# y son una indicación de la corriente asociada con un aumento de la tensión dada
? +urge admitancias de líneas entrantes 'inversa de rs", $ mpedancias de sobretensiones de líneas de salida# ? surge impedancias de líneas salientes 'inversa de
",
$ sucursales de la red# ? transformación tensor especificando las intercone$iones total es de la red y las líneas salientes Entonces ? mpedancia de la red y líneas salientes antes de la intercone$ión. ? mpedancia despu-s de la intercone$ión de la red de trabajo y líneas de salida
"%ora
3uede incluir ramas distintas vinculadas a las líneas entrantes. Las ramas de circuito abierto se
%abrán eliminado por # pero las ramas distintas conectadas a la entrada de las líneas tendrán que ser eliminados por las sustituciones.
" partir de lo cual
"%ora dejemos a y +er el incidente y las ondas reflejadas# respectivamente# en la línea de entrada. " continuación# en el punto de transición
;e modo que
" partir del cual
Este sistema de ecuaciones define el ondas de voltaje reflejado La tensión total en el punto de transición sigue entonces por 'F(# el corriente total por 'G(# las corrientes de red restantes por 'A( y la tensiones de la red de &+(, y así sucesivamente. Re-le"ones s%es"$as. El cálculo de las refle$iones sucesivas son muc%as veces un proceso largo y complicado! particularmente en aquellos casos
donde pueden ocurrir los reflejos de toda una serie de vecindarios. 0n ejemplo es el caso de un rayo golpeando el cable de tierra en tramo medio. Las ondas incidentes se mueven en direcciones opuestas %asta de que lleguen a las torres más cercanas# donde se reflejan como consecuencia de la impedancia característica del cable de tierra continua en paralelo con la torre. Las ondas de transmisión alcan&an rápidamente los pies de la torre desde la que se refleja como un resultado de la resistencia de tierra. 2tros reflejan las ondas de la siguiente torre# y de la siguiente# despu-s de que# y así sucesivamente. "sí# dentro de unos pocos microsegundos el sistema está viva con toda una serie de olas que se mueven en diferentes direcciones# llegando en diferentes momentos# de diferentes magnitudes y polaridad# y tener e$perimentado diferentes atenuaciones y distorsiones. )on el fin de llevar un registro de todos estos componentes tiene un dia%ra&a de celosa a sido ideado# tal como se muestra en la figura H para el caso de un rayo golpea un cable de tierra en el tramo medio. El progreso del componente de cada onda se sigue fácilmente ya que se desli&a cuesta abajo a lo largo de su trayectoria en &ig,&ag# dando lugar a refle$iones en cada unión. 3or lo tanto# en cualquier instante de tiempo las olas en todos los puntos de la línea pueden ser identificados! o en cualquier punto de la línea se puede ver la %ora de llegada de cada onda. 3ara construir tal refle$ión celosía es necesario en primer lugar de, minada los coeficientes de refle$ión y refracción en cada unión# y para publicar estos en el boceto del sistema que se está estudiando# al igual que %a %ec%o en la igura H. Los coeficientes son# en general#
'El C es ocasionada por la condición de simetría que permite la amputación a la i&quierda de la carrera( se refracta en el cable de tierra de una ola f (t" que se mueve a la parte superior de la torre /# donde se refleja una -f porción ) '(t" de vuelta %acia su origen# y transmite una porción ) -f (t" a la siguiente sección de cable de tierra y tambi-n abajo de la torre. )uando la ola llega al pie de la torre que refleja una parte ) '' f '8( de vuelta a la torre. ;el mismo modo refle$iones vuelven de la parte superior y el pie de la 4orre C y de las torres más allá. "%ora cada uno de estas refle$iones podrían ser rastreados a cabo de forma independiente en la red y todas olas plenamente en cuenta. 3ero el trabajo es grande. El trabajo puede ser
LV Bewley simplificado mediante la introducción del concepto de 7ola trenes7# y 7retardados operadores 7. El sistema de ondas reflejadas de vuelta en el cable de tierra debido a la llegada a una parte superior de una torre de I onda
y las refle$iones sucesivas.
arriba y abajo de la torre que se ve desde la red sea un 7tren de ondas7 de ipo D
en la que .f (&" es un 7operador de retardador7 tal que el tiempo de llegada de una onda a la que se aplica es retardado por (01tn" tanto.
El tren de ondas transmitida a la siguiente torre por el incidente de onda y su torre de refle$ión es el tipo de onda tren.
En cuanto a los trenes de ondas de los tipos y de la %istoria completa de las refle$iones a%ora puede ser escrito. La ola inicial transmitida por una oleada de relámpago al centro de la lu& es f (t" que llega a la primera torre en el tiempo de 6#A s y da lugar a la 4ipo agito tren de primer orden
Este tren de ondas llega al centro de la luz en tiempo (s) re!e"a la misma como )uando el tren de onda reflejada llega a la torre en el tiempo '/.As( que genera un nuevo tipo agito tren de segundo orden. )ontinuando con este proceso nos encontramos con combinaciones de la forma en el que los productos se %an de interpretar como.
"%ora# además de los trenes de ondas que opera entre el tramo medio y la 4orre /# las contribuciones eventualmente llegan de vecinos torres. "sí# en el tiempo '6.As( no se transmite más allá de la 4orre /# debido a la ola inicial f (t", la onda de tren del primer tipo orden
Este tren de ondas llega a la 4orre C en el tiempo '/.As( donde se genera una ola de tren de tipo de la segunda orden.
Este tren de ondas llega a la 4orre / en el tiempo (0#2s" y genera un tercer tren de ondas orden de tipo
I
este tren de ondas# llegando al centro de la luz ($s)# re!e"a los mismos como
)on la ayuda del diagrama de celosía y operadores retardador# el potencial en cualquier punto puede ser escrito. 3or ejemplo# en el la parte superior de la 4orre /
Ra/o "nd%"do amen!os repen!"nos. +upongamos que una nube que lleva una carga
es de más de una
línea de transmisión# la igura J# y se descarga ya sea para
suelo o a otra nube de acuerdo a alguna función de tiempo cualquier instante es ;ependiendo de la forma y tamao de la carga de la nube# su altura
es decir# la carga restante en la nube en
En la tierra# y su posición con respecto a la línea de transmisión# la línea e$perimentará un gradiente.
en la que G (3" representa la distribución inicial de gradiente 'en el a partir de la descarga de nubes( como una función de la distancia a lo largo de la línea. Bajo la influencia de este campo# las cargas de signo opuesto a la de la nube se escapará a trav-s de los aisladores# o migrara desde el mando a distancia partes del sistema# y se acumulan en los conductores de la línea como límite cargas. La densidad de carga estática en cualquier punto 3 será proporcional al gradiente y para la altura 1 del conductor por encima de tierra 'ya que el campo es sustancialmente uniforme de un centenar de pies más o menos por encima del suelo(. Estos cargos ligados anulan el potencial debido a el campo e$terno# de modo que inicialmente los cargos de línea están dadas por
+upongamos entonces & de los n cables son cables de tierra perfectamente conectado a tierra en toda su longitud# y dejar que estos cables de tierra ideales sean repretantes (4, 5" los índices. Los restantes (n-&" cables son con, poder conductores# y estará representada por (6, 7" índices. "%ora bien# si el gradiente de c ampo G (3" se retira de repente# el límite cargos en los cables de línea no va a cambiar en el primer instante# pero aquellos en el suelo cables son sustituidos al instante por nuevos cargas
desde los cables de tierra deben permanecer a potencial cero. 3or lo tanto.
" partir de 'C( y 'H( todas las cargas Qs y Q '5 se puede encontrar! y desde 'J( los potenciales 6 puede ser determinado. Estos potenciales inmediatamente salir como pares de ondas viajeras 'en direcciones opuestas(. En el primer instante# sin embargo# el %acia adelante y %acia atrás ondas f6 (3-7t" y +6 (9 : 7t" se suman a las tensiones dadas por 'J(# y el flujo de corriente resultante debe ser cero en los conductores de potencia aislados "si
3or lo tanto
es decir# las olas %acia adelante y %acia atrás sobre un conductor son las de la misma forma y magnitud. +in embargo# la liberación de la carga estática no es instantánea# pero de acuerdo con la ley de aprobación de la gestión en nube yp !t"# La correspondiente ondas que viajan se le dan por el teorema de ;u%amels
;onde La aplicación de la integral se limita a las e$presiones relativamente simples para I y \ P, pero la suma puede ser utili&ado para cualquiera de las funciones cuyas gráficas se sabe o se supone. En =ltima instancia# ya que tanto I y \ f / derivan de datos e$perimentales# lo mejor es utili&ar la e$presión de suma. "mbos m-todos gráficos y tabulares se %an ideado para sus soluciones de aplicadas de ingeniería se llevó rápidamente a. La ecuación 'G( se pueda obtener tambi-n mediante la creación de las condiciones en t-rminos de potenciales retardados. +on muy pocos los ingenieros tratan de retraso potenciales# mientras que un n=mero considerable de ellos están familiari&ados con El teorema de ;u%amels trav-s cálculo operacional de
%E&'& *'+E,-'D.D
