Lineas

LINEAS DE TRANSMISION: ASPECTOS MECANICOS Y CONDUCTORES

1.7 APLICACIONES PRACTICAS Los siguientes problemas ayudan a dar mayor profundidad al sistema de cálculo que se efectúa normalmente en conductores para Líneas de Transmisión, pero es necesario puntualizar que estos problemas aún no consideran el efecto de sobrecargas en el conductor tales como el viento y hielo. Problema Nº1. El parámetro de la catenaria de un conductor es 2000 m, tendido en un vano 600m. Determinar la longitud y flecha del mismo. Solución: De la ecuación (19):

L´= 2C senh(

a ) 2C

siendo: a= 600m , C= 2000m entonces: L´= 602.2525m Utilizando la ecuación (24):

f ´= C (cosh( siendo: Se obtiene entonces:

a ) − 1) 2C

a = 600m , C = 2000m

f´= 22.542m

Si utilizamos la fórmula (25) aproximada:

f ´=

a2 8C

f´= 22.5 Obsérvese que la flecha aproximada es muy cercana al valor calculado con la fórmula hiperbólica (24).

Problema Nº2. En el gráfico adjunto, el peso unitario del conductor suspendido es 2.2Kg/m, siendo el tiro en el vértice 1800Kg. Determinar la flecha del conductor. Solución: De la ecuación parámetro:

C=

Ingº Juan Bautista R.

To wc

(8),

obtenemos

el


y con los valores datos: To = 1800Kg wc = 2.2Kg/m entonces: C= 818.18182m de la ecuación (24),

f ´= C (cosh(

a ) − 1) 2C

obtenemos la flecha, y como a = 750 m f´ = 87.452m Si calculamos con la fórmula (25) aproximada:

f ´=

a2 8C

f´= 85.9375m Observar la diferencia de exactitud en el cálculo. Problema Nº3 .La flecha de un conductor tendido en un vano de 1200m, es 50.2 m, si el peso unitario del mismo es 2.82 kg/m. Determinar el tiro máximo del conductor. Solución: De la ecuación (24) tenemos que:

f ´= C (cosh(

a ) − 1) 2C

reemplazando datos:

50 ,2 = C (cosh(

1200 ) − 1) 2C

de donde podemos, por tanteos, obtener el valor del parámetro. Si utilizamos, con fines prácticos, la ecuación aproximada (25), obtenemos:

f ´=

a2 8C

por tanto: C = 3585.6574m


50 ,2 =

1200 2 8C


y en consecuencia el tiro en el vértice será:

T o = Cw c To = 3585.6574 x 2.82 To = 10111.554Kg entonces el tiro máximo en el conductor a esta condición será:

 1200  T b = 10111 ,554 cosh    2 x3785 ,6574 

 a  T b = T o cosh    2C 

Tb= 10253.449 Kg Problema Nº4 .En el gráfico adjunto, determinar la ecuación del conductor siendo su peso unitario 2.8kg/m y el tiro en el extremo B de 3200kg.

Solución: La ecuación (42) nos permite calcular el parámetro:

T 1 T a2 C = ( b + ( b )2 − ) 2 wc wc 2 C=

1 3200 3200 2 820 2 ( + ( ) − ) 2 2 ,8 2,8 2

C= 1063.85m por tanto la ecuación del conductor será:

x y = C cosh   C

 x  y = 1063,85 cosh   1063,85 



Si utilizamos la ecuación parabólica aproximada, entonces:

y =C +

x2 2C

x2 2 x1063,85 x2 y = 1063,85 + 2127,7 y = 1063,85 +

Problema Nº.5 .-

El tiro en el extremo superior de un conductor suspendido, es de 3100 Kg , siendo el peso unitario 2.82 Kg/m, determinar la longitud del conductor, para un vano de 1200m. Solución: El parámetro de la catenaria será:

C=

Tb 2 a 2 1 Tb ( ( ) − ) + 2 wc wc 2

1 3100 3100 2 12002 C= ( + ( ) − ) 2 2,82 2,82 2 C = 899.088m la longitud será:

L´= 2 C senh(

a ) 2C

L´= 2 x899,088senh( L´ = 1291.074m


1200 ) 2x899,088


Problema No.6 .La ecuación de un conductor suspendido es:

 x  y = 1100 cosh   1100 

si su flecha es de 15.6 m. Calcular la longitud del conductor. Solución:

Si utilizamos la ecuación (25) aproximada:

f ´=

a2 8C

despejamos el valor del vano:

a = 8 f Ć

a = 8x15,6 x1100

y la longitud del conductor será: L´= 2C senh( L´ = 372.267 m


a = 370,513 m

a ) 2C

L´= 2 x1100 senh(

370 ,513 ) 2 x1100


2.9 APLICACIONES PRACTICAS Los problemas ejemplo que se exponen tienen similitud con aquellos que normalmente se utilizan en desarrollo de proyectos o cálculos de verificación en trabajos de mantenimiento correctivo. Sin embargo es necesario precisar que no se toman en cuenta aún los efectos de sobrecargas (por ejemplo de viento y hielo). Problema Nº1. Un cable de 1225m. Se encuentra tendido en un vano de 1060 m con desnivel 580m. Determinar la saeta del cable. Solución. - Determinaremos primero el par metro de la catenaria utilizando la fórmula (40)

q=

L2 − h 2 a

Siendo L = 1225m; a = 1060; h = 580; se obtiene: q = 1.018

z = 3,162278

Por otra parte:

z = 3,162278

1,2q − 0,2 − 1 1,2 x1,018 − 0,2 − 1

z = 0.327 Por tanto:

C=


a 2Z

C=

1060 = 1620 ,795 m 2 x0 ,327


Longitud del cable si estuviera a nivel:

L´= 2 C senh(

a ) 2C

L´= 2x1620,795senh(

1060 ) = 1078,992m 2 x1620,795

Abscisa del medio vano:

x m = C arccos h (

L ) L´

1225 x m = 1620,795 arccos h( ) = +833,9540m 1078,992

y las abscisas de los extremos serán

a 2 a xb = xm + 2

1060 = +303 ,9540 m 2 1060 xb = +833 ,9540 + + 1363 ,9540 m 2

xa = x m −

x a = + 833 ,9540 −

El valor de la saeta ser entonces:

s = C(cosh(

xa ) − 1) C

s = 1620,795(cosh(

303,9540 ) − 1) = 28,584m 1620,795

Observe que la saeta y el vértice de la catenaria son virtuales. Problema Nº 2.El parámetro de la catenaria de un cable es 2000m; si se encuentra tendido en un vano de 900m con desnivel 180m. Si el peso unitario es 1.8Kg/m, determinar: a) La longitud del cable. b) Ubicación cartesiana de los extremos. c) La flecha y saeta del cable. d) Tiro máximo en el cable. Solución: a) Longitud del cable si estuviera a nivel:

L´= 2 C senh(

a ) 2C

L´= 2 x 2000 senh(

900 ) = 907 ,61299 m 2 x2000

La longitu del conductor es:

L = L´2 + h 2

L = 907 ,61299 2 + 180 2 = 925 ,2899 m

b) Ubicación cartesiana del medio vano:

x m = C arccos h (

L ) L´

x m = 2000 arccos h (

925 ,2899 ) = + 394 ,08967 m 907 ,61299

Ubicación cartesiana de los extremos:

xa = x m −

a 2

x a = +394 ,08967 −

900 = − 55 ,9103 m 2

xb = xm +

a 2

xb = + 394 ,08967 +

900 = +844 ,08967 m 2

c) Flecha del cable si estuviera a nivel:



f ´= C (cosh(

a ) − 1) 2C

f ´= 2000 (cosh(

900 ) − 1) = 50 ,839 m 2 x 2000

Flecha real del cable:

f ´= f ćosh(

xm ) C

f ´= 50 ,839 cosh(

394 ,08967 ) = 51 ,8291 m 2000

Saeta del cable:

s = C (cosh(

xa C

) − 1)

s = 2000 (cosh(

− 55 ,91033 ) − 1) = 0 ,78154 m 2000

d) Tiro máximo en el cable el cual se ubica en el extremo superior:



xb ) C

Tb = To cosh(

T b = 2000 x1,8 cosh(

844 ,08967 ) = 3925 ,4068 Kg 2000

Problema Nº3. Determinar el valor de la flecha de un cable tendido en un vano de 900m con desnivel 180m, si la longitud del mismo es 930m con peso unitario de 0,329Kg/m. Solución : Con la expresión:

q=

L2 − h 2 a

q=

930 2 − 180 2 = 1,01379 900

determinamos el valor de z:

z = 3,162278

1,2q − 0,2 − 1

z = 3,162278

Por lo tanto el parámetro de la catenaria será:

C=

1,2 x1,01379 − 0,2 − 1 = 0,28709

a 2Z

C=

900 = 1567 ,4317 m 2 x0 ,28709

el vano real b será:

b = a2 + h2

b = 900 2 + 180 2 = 917 ,8235 m

finalmente, la flecha (aproximada para instalaciones a desnivel) es:

f =

ab 8C

f =

900 x917 ,8235 = 65 ,87537 m 8 x1567 , 4317

En adición a lo calculado, determinemos la flecha del cable si el desnivel fuera nulo:

a ) − 1) 2C

f ´= C (cosh(

f ´= 1567 ,4317 (cosh(

900 ) − 1) = 65 ,041017 m 2 x1567 ,4317

Longitud del cable con desnivel nulo:

L´= 2 C senh(

a ) 2C

L´= 2 x1567,4317 senh(

900 ) = 912, 41438m 2x1567,4317

La abscisa del medio vano ser :

x m = C arcsen h (

h ) L´

x m = 1567,4317 arcsen h(

180 ) = 307,24961m 912,41438

y entonces, la flecha exacta:

f ´= f ćosh(

xm ) C


f = 65,041017 cosh(

307,24961 ) = 66,2945998m 1567,4317


Problema Nº 4.-

En el gráfico adjunto, el tiro en el extremo superior del cable es 3500Kg; si el peso unitario del mismo es 2.4Kg/m y su sección 2 155.4mm ; determinar: a.- La longitud del cable. b.- La flecha y saeta. c.- El tiro en el extremo inferior.

Solución. El vano real es:

b = a2 + h2

b = 900 2 + 200 2 = 921 ,954 m de la ecuación (65), tenemos:

K = 1+

1 h (arcsen h ( )) 2 2 a

K = 1+

1 200 2 (arcsen h ( )) = 1,0243 2 900

y del problema dado: Tb = 3500Kg wc = 2.4Kg/m En la ecuación (70), tenemos:

C=

1 1 Tb h 1 T h ab ( ( − ) + ( ( b − )) 2 − ) 2 K wc 2 K wc 2 2K

1 1 3500 200 1 3500 200 2 900 x921,954 C= ( ( − )+ ( ( − )) − ) = 1244,7605m 2 1,0243 2,4 2 1,0243 2, 4 2 2 x1,0243 Longitud si estuviera a Nivel:

L´= 2 C senh(

a ) 2C

L´= 2 x1244 ,7605 senh(

900 ) = 919 ,7325 m 2 x1244 ,7605

a) entonces la longitud real del cable (ecuación 16) será :

L = L´2 + h 2

L = 919 ,7325 2 + 200 2 = 941, 2270 m

Por otra parte la abscisa del medio vano; (ecuación 44):

x m = C arcsen h (


h ) L´

x m = 1244 ,7605 arcsen h (

200 ) = 268 ,5897 m 919 ,7325


por tanto las abscisas de los extremos:

a 2 a xb = xm + 2

900 = −181 ,4103 m 2 900 x b = 268 ,5897 + = + 718 ,5897 m 2

xa = x m −

x a = 268 ,5897 −

b) De la ecuación (24) del Capítulo 1:

f ´= C (cosh(

a ) − 1) 2C

f ´= 1244 ,7605 (cosh(

900 ) − 1) = 82 , 2307 m 2 x1244 ,7605

por lo que la flecha del cable (ecuación 28) será :

f ´= f ćosh(

xm ) C

f = 82,2307 cosh(

268,5897 ) = 83,325m 1244,7605

Así mismo, de la ecuación (30):

s = C(cosh(

xa ) − 1) C

s = 1244,7605(cosh(

− 181,4103 ) − 1) = 13,24m 1244,7605

c) El tiro en el vértice es:

T o = Cw c

T o = 1244 ,7605 x 2,4 = 2987 ,4253 kg

por tanto el tiro en el extremo inferior será:

T a = To cosh(

xa C

)

Ta = 2987,4253 cosh(

−181,4103 ) = 3019,21kg 1244,7605

Problema Nº5. En el gráfico adjunto, el tiro en el soporte B es 1079.15Kg, si el peso unitario del cable es de 0.435Kg, calcular el tiro en el extremo inferior. Solución. El vano real será:

b = a2 + h2

b = 600 2 + 92 2 = 607,012m por otra parte, la constante K (ecuación 65) para este problema es:

K = 1+ K = 1+


1 92 2 (arcsen h ( )) = 1,0116 2 600

1 h (arcsen h ( )) 2 2 a


Por lo que el par metro del cable se obtiene de la ecuación (70):

C=


C=

1 1 1079 ,15 92 1 1079 ,15 92 2 600 x607 ,012 ( ( − )+ ( ( − )) − ) = 2387 ,8931 kg 2 1,0116 0 ,435 2 1,0116 0,435 2 2 x1,0116

T o = Cw c

T o = 2387 ,8931 x0 ,435 = 1038 ,7335 kg

Longitud del cable si estuviera a nivel:

L´= 2 C senh(

a ) 2C

L´= 2 x 2387,8931senh(

600 ) = 601,5796m 2 x2387,8931

y por tanto, de la ecuación (44):

x m = C arcsen h (

h ) L´

x m = 287 ,8931 arcsen h (

92 ) = 363 ,7735 m 601 ,5796

y entonces el extremo inferior será:

xa = x m −

a 2

x a = 363 ,7735 −

600 = 63 ,7735 m 2

y el tiro inferior:

T a = To cosh(

xa C

)

Problema Nº6. En el gráfico siguiente:


T a = 1038 ,7335 cosh(

63,7735 ) = 1039 ,104 kg 2387 ,8931


Estando el cable tendido en el vano AB, se decide trasladar la torre B a la posición B' (240m en sentido longitudinal a línea). Si en el vano AB, el coeficiente de seguridad de trabajo del cable es 2.9. Calcular el nuevo en el vano AB'. Datos del cable: Peso unitario: 1.517Kg/m Tiro de rotura: 12925Kg Solución. El tiro en el extremo B será:

Tb =

TR cs

Tb =

12925 = 4456 ,897 kg 2 ,9

como se trata de cables a nivel, determinamos el par metro de la catenaria utilizando la ecuación (42) del primer capítulo:

C=

T 1 Tb a2 ( + ( b )2 − ) 2 wc wc 2

C=

1 4456 ,897 4456 ,897 2 410 2 ( + ( ) − ) = 2930 ,798 m 2 1,517 1,517 2

por tanto el tiro-vértice será:

T o = Cw c

T o = 2930 ,798 x1,517 = 4446 ,020 kg

Con este tiro será tendido también el vano AB' (410+240= 650m). entonces el tiro en B' será:

650   TB ´ = 4446,020 cosh  = 4473,384kg  2 x2930,798 

 a  TB ´ = To cosh   2C 

finalmente el nuevo coeficiente de seguridad, en la posición B´:

cs =

TR T B´

Problema Nº7. En el gráfico siguiente:


cs =

12925 = 2,88 4473 ,384


La torre B es trasladada a la posición B', templándose el cable con el mismo tiro; si el coeficiente de seguridad (cs) en B es 2.8, calcular el cs en B' siendo el cable de características: Peso unitario: 0.435Kg/m Tiro de rotura: 3778.000Kg. Solución. Tiro en B:

Tb =

TR cs

Tb =

3778 = 1349 , 285 kg 2 ,8

estando el cable a nivel en el vano AB:

T 1 T a2 C = ( b + ( b )2 − ) 2 wc wc 2 y el tiro en el vértice:

1 1349,285 1349,285 2 500 2 C= ( + ( ) − ) = 3091,697m 2 0, 435 0,435 2

T o = Cw c

T o = 3091 ,697 x0 ,435 = 1344 ,88 kg

con el que será tendido en vano AB. Además para el cable desnivelado: Longitud del cable si estuviera a nivel:

L´= 2 C senh(

a ) 2C

L´= 2 x3091,697 senh(

500 + 120 ) = 621,039m 2 x3091,697

por tanto la abscisa del medio vano será:

x m = C arcsen h (

h ) L´

x m = 3091 ,697 arcsen h (

150 ) = 739 ,663 m 621 ,039

y la ubicación del extremo B' será:

xb = xm +

a 2

x b = 739 ,663 +

500 + 120 = 1049 ,663 m 2

por tanto el tiro TB´ en este extremo será:

Tb = To cosh(

xb ) C

Tb = 1344,888 cosh(

finalmente el coeficiente de seguridad será:

cs =

TR T B´


cs =

3778 = 2 ,65 1423 ,1462

1049,663 ) = 1423,1462kg 3091,697


Problema Nº8. En la figura adjunta:

El coeficiente de seguridad en B es 2.8, determinar el nuevo, si la torre B es trasladada a la posición B'. El cable es de peso unitario 1.517Kg/m, con tiro de rotura de 12925Kg. Solución. En la posición AB: Vano real:

b = a2 + h2

b = 250 2 + 180 2 = 308 ,058 m

de la ecuación (65):

K = 1+

1 h (arcsen h ( )) 2 2 a

K =1+

1 180 2 (arcsen h ( )) = 1, 223 2 250

además el tiro en el extremo B es :

Tb =

TR cs

Tb =

12925 = 4616,071kg 2,8

por tanto, en la ecuación (70):

C=




C=

1 1 Tb h 1 4616 ,071 180 2 250 x308 ,058 ( ( − )+ ( ( − )) − ) = 2411 ,203 m 2 K wc 2 1,223 1,517 2 2 x1,223

con el tiro-vértice de:

T o = Cw c

T o = 2411 ,203 x1,517 = 3657 ,795 kg

Por otra parte, en la posición B' vano real:

b = a2 + h2

b = (250 + 280 ) 2 + (180 + 200 ) 2 = 652 ,150 m

Longitud del cable, si fuera a nivel:

a ) 2C

L´= 2 C senh(

L´= 2 x 2411,203 senh(

250 + 280 ) = 531,067m 2 x 2411,203

Por tanto la ubicación del medio vano es:

x m = C arcsen h (

h ) L´

x m = 2411,203 arcsen h(

380 ) = 1604,295m 531,067

por lo que la ubicación cartesiana de B' es:

xb = xm +

a 2

x b = 1604 ,295 +

530 = 1869 , 295 m 2

lo que significará que el tiro TB´ será:

T b = To cosh(

xb C

T b = 3657 ,795 cosh(

)

cs =

y el coeficiente de seguridad:

1869 ,295 ) = 4813 ,166 kg 2411 ,203

TR TB ´

cs =

12925 = 2,68 4813,166

Problema Nº9. Un cable tendido y desnivelado (vano de 1200m y desnivel de 200m), tiene una longitud de 1246m. Calcular el tiro en el extremo superior si su peso unitario es de 1.826Kg/m. Solución. Determinaremos primero la catenaria del cable:

q=

L2 − h 2 a

q=

1246 2 − 200 2 = 1,02487 1200

por tanto:

z = 3,162278

1,2q − 0,2 − 1

z = 3,162278

Y el parámetro de la catenaria: C =

Con el tiro en el vértice de:


a 2Z

To = Cwc

C=

1,2 x1,02487 − 0, 2 − 1 = 0,38486

1200 = 1558 ,98 m 2 x0 ,38486

To = 1558,98 x1,826 = 2846,697kg


si el cable estuviera a nivel:

L´= 2 C senh(

a ) 2C

L´= 2 x1558,98 senh(

1200 ) = 1229,845m 2 x1558,98

por tanto la abscisa del medio vano será:

x m = C arcsen h (

h ) L´

200 x m = 1558,98 arcsen h( ) = +252,420m 1229,845

y la ubicación del extremo derecho:

xb = xm +

a 2

x b = 252 ,420 +

1200 = 852 ,420 m 2

Finalmente el tiro en este extremo será:

Tb = To cosh(

xb ) C


Tb = 2846,697 cosh(

852, 420 ) = 3282,942kg 1558,98


4.6 APLICACIONES PRACTICAS Problema Nº1. -: Un conductor, en cierto vano, y bajo diferentes circunstancias climáticas, estará sometido a las condiciones siguientes:

Hipót

Temp

Viento 2

Hielo

ºC

kg / m

mm

I

− 15

19 ,5

12 ,7

II

0

39

6,35

III

5

10

4

Si el peso unitario del conductor es 0.790 kg/m, y su diámetro 18.8 mm. Determinar cuál de las condiciones somete al conductor a mayor sobrecarga. Solución: Condición I:

(φc + 2e) 1000

viento:

wv = p v

hielo:

wh = 0,0029 ( e 2 + eφ c )

Peso unitario resultante: wr

wv = 19 ,5

wh = 0 ,0029 (12 ,7 2 + 12 ,7 x18 ,8) = 1,16 kg / m

= ( wc + wh ) 2 + wv2

Coeficiente de sobrecarga: m =

wr wc

(18 ,8 + 2 x0 ,790 e) = 0 ,397 kg / m 1000

m1 =

wr = (0,790 + 1,16) 2 + 0,3972 = 1,9902kg / m

1,9902 = 2 ,519 0,790

Condición II:

(φc + 2e) 1000

viento:

wv = p v

hielo:

wh = 0,0029 ( e 2 + eφ c )

Peso unitario resultante: wr =

Coeficiente de sobrecarga:

m2 =

wv = 39

(18 ,8 + 2 x 6,35 ) = 2,06787 kg / m 1000

wh = 0 ,0029 (6 ,35 2 + 6,35 x18 ,8) = 0,4631 kg / m

(0 ,790 + 0,4631 ) 2 + 2,06787

2,4179 = 3,06 0,790

Condición III: viento:


wv = 10

(18 ,8 + 2 x 4,0 ) = 0,268 kg / m 1000

2

= 2, 4179 kg / m


wh = 0,0029 ( 4,0 2 + 4 ,0 x18 ,8 ) = 0 ,26448 kg / m

hielo:

peso unitario resultante: wr = coeficiente de sobrecarga: Conclusión: Hipótesis II

(0 ,790 + 0,26448 ) 2 + 0 ,268 2 = 1,088 kg / m

m3 =

1,088 = 1,377 0,790

m2 > m1 > m3 Por lo que la condición más exigente para el conductor extendido es la

Problema Nº 2. El conductor ORIOL, se encuentra suspendido entre 2 torres ubicadas en una Línea de Transmisión en el Departamento de Junín (Perú), con vano 450m; si el cable (wc = 0.790 kg/m, TR = 7730kg, φc = 18.8mm) trabaja (en un determinado instante) con To = 1405,45 kg (en su vértice). Determinar la flecha del cable considerando la presión del viento en Junín y una costra de hielo de 12.7mm. Solución: Sobrecarga de hielo:

wh = 0,0029(e 2 + eφc )

Sobrecarga de viento:

p v = 0 ,00481 x75 2 = 23 ,625 kg / m 2

wv = p v Peso total con sobrecargas: wr Parámetro de la catenaria:

Flecha del conductor:

wh = 0,0029(12,7 2 + 127 x18,8) = 1,160kg / m

(φc + 2e) 1000

wv = 23 ,625

(18 ,8 + 2 x12 ,7 ) = 1,044 kg / m 1000

= ( wc + wh ) 2 + wv2 wr = (0 ,790 + 1,160 ) 2 + 1,04 4 = 2,21 kg / m To 1405,45 C= = = 635,95m wr 2,21 f ´=

a 450 2 = = 39 ,8 m 8C 8 x635 ,95 2

Problema Nº3 El conductor Grulla (ACSR, 1680Kg/m, TR=14240Kg, diámetro 29.1mm), suspendido en un vano de 460m, sometido a la presión de viento de 70Kg/m2 y 12.7mm de costra de hielo, si la temperatura es de 0ºC y el tiro (horizontal) es de 2 966,7 kg. Determinar la longitud del cable. Solución:

wv = pv

(φc + 2e) (29,1 + 2 x12,7 ) = 70 = 3,815k g / m. 1000 1000

wh = 0,0029(e2 + eφc ) = 0,0029(12,7 2 + 12,7 x29,1) = 1,54kg / m

wr = ( wc + wh ) 2 + wv2 = (1,680 + 1,54) 2 + 3,8152 = 4,99kg / m



C=

To 2966 ,7 = = 594 ,529 m wr 4 ,99

L´= a +

a3 460 3 = 460 + = 471,474m 2 24C 24 x594,529 2

Problema Nº 4 El conductor Falcon (ACSR, 39.2mmφc , 3.040Kg/m, TR= 25400kg), está suspendido en un vano de 1400m, si a la temperatura de 0ºC, tiene una costra de hielo de 6.35mm, y un tiro en el vértice de 5291,67kg, determinar la saeta del cable, sí el desnivel es 160m.

wh = 0 ,0029 (e 2 + eφ c ) = 0 ,0029 (6,35 2 + 6,35 x39 ,2 ) = 0,84 kg / m

Solución:

wr = wc + wh = 3,040 + 0,84 = 3,88 kg / m To 5291 ,67 = = 1363 ,83 m wr 3,88 Determinación de la abscisa del medio vano xm Longitud si el vano fuera a nivel: C=

L´= 2C senh(

a 1400 ) = 2 x1363 ,83 senh( ) = 1462 , 2832 m 2C 2 x1363 ,83

entonces:

h 160 x m = C arcsen h( ) = 1363,83 arcsen h( ) = 148,9313m L´ 1462,2832 Abscisas de los extremos:

1400 = −551 ,068 m 2 a 1400 xb = x m + = 148 ,9313 + = + 848 ,9313 m 2 2 x a = 148 ,9313 −

Saeta:

s = C(cosh(

xa − 551,068 ) − 1) = 1363,83(cosh( ) − 1) = 112,855m C 1363,83



Problema Nº5 2

Un conductor ACSR (125.1mm , 14.31mmφc , TR=3777Kg, 0,435Kg/m), está suspendido en un vano de 620m, desnivel 112m; si a la temperatura de –5ºC está sometido a la presión de viento de 2 19.5Kg/m y 6.35mm de hielo, con un tiro horizontal de 800,2 kg. Calcular la longitud, flecha y saeta del cable, así como la tensión en los extremos y a 75% del vano. Solución: (φ + 2 e) (14,31 + 2 x6,35 ) wv = pv c = 19,5 = 0,526 k g / m. 1000 1000

wh = 0,0029( 6,352 + 6,35 x14,31) = 0,38kg / m wr = ( wc + wh ) 2 + wv2 = (0,435 + 0,38) 2 + 0,526 2 = 0,97kg / m C=

To 800 ,2 = = 824 ,95 m wr 0,97

Abscisa del medio vano xm

L´= 2C senh(

a 620 ) = 2 x824 ,95 senh( ) = 634 ,695 m 2C 2 x824 ,95

h 120 x m = C arcsen h( ) = 824,95 arcsen h( ) = 146,33m L´ 634,695 Ubicación de los extremos:

a 620 = 146 ,33 − = −163 ,67 m 2 2 a 620 xb = x m + = 146 ,33 + = + 456 ,33 m 2 2 x a = xm −

flecha:

f ´= C (cosh(

a 620 ) − 1) = 824 ,95 (cosh( ) − 1) = 58 ,934 m 2C 2 x824 ,95

f = f ćosh(

xm 146,33 ) = 58,934 cosh( ) = 59,86m C 824,95

saeta:

s = C(cosh(

xa − 163,67 ) − 1) = 824,95(cosh( ) − 1) = 16,28m C 824,95

tiro en los extremos:

Ta = To cosh(

xa − 163,67 ) = 800,2 cosh( ) = 816kg C 824,95

T b = To cosh(

xb 456 ,33 ) = 800 ,2 cosh( ) = 925 ,7791 kg C 824 ,95

Tiro a 75% del vano: 0.75(620)= 465m



x = x a + 465 = −163,67 + 465 = +301,33m x  301,33  Tx = To cosh  = 800,2 cosh  = 854,1786kg C   824,95 



5.5 APLICACIONES PRACTICAS Problema Nº1 Un conductor Alum-Acero, tiene las caracteristicas siguientes:

A=

288 ,6 mm 2

E=

8000 kg / mm

TR =

10163 kg

2

φc =

2 ,05 mm

α=

0 ,0000177 º C −1

wc =

1,083 kg / m

se encuentra sometido a la temperatura de 10ºC con tiro en el vértice de 1847.82Kg, (sin sobrecargas). Determinar los esfuerzos y tiros que soporta el cable a las temperaturas de -5, +25 y 50ºC, sin sobrecargas; para el vano de 320m. Solución: Las condiciones iniciales son:

θ1 = + 10º C wr 1 = 1,083kg / m σo1 = 6, 403kg / mm2 siendo:

σo1 =

To1 1847,82 = = 6,403kg / mm2 A 288,6

y las condiciones finales:

θ 2 = − 5;+25; +50º C wr 2 = wc = 1,083kg / m σo 2 = Calcular wr2 = wc = 1.083Kg/m (sin sobrecargas) por otra parte, de las caracteristicas del cable:

α E = 0,0000177 x8000 = 0 ,1416

E 8000 = = 0,004 2 24 A 24x 288,6 2 Al reemplazar en la ECE se obtiene:

σo 2 [σo 2 + 0,1416(θ 2 − 10) + 5,315] = 480,415 2

que como se observa es una ecuación cúbica de la forma:

f (σ o 2 , θ 2 ) = 0

en la que para cada valor de temperatura θ2, podemos obtener el esfuerzo En consecuencia, los resultados son: a) Para θ2 = -5ºC

σo2 = 6.89Kg/mm2


σo2:


To2 =

σo2.A= (6.89)(288.6)=1990,939kg To 2

1990 ,939 C= = = 1835 ,5 m wr 2 1,083 b) Para θ2 = 25ºC

a2 320 2 f ´= = = 6 ,96 m 8 C 8 x1835 ,5

σo2 = 5,982Kg/mm2 To2 =

σo2.A = 1726,4kg T o2

1726 ,4 = 1594 ,1m wr 2 1,083 c) Para θ2 = 50ºC C=

=

σo2 = 5,41Kg/mm2 To2 =

σo2.A = 1562,4kg


f ´=

a2 320 2 = = 8,02 m 8C 8 x1594 ,1


C=

a2 320 2 f ´= = = 8,87m 8C 8x1442,7

To 2 1562,4 = = 1442,7m wr 2 1,083

Conclusiones: -Al aumentar la temperatura, el esfuerzo y el tiro en el cable disminuyen. -De la misma forma, al aumentar la temperatura, el parámetro de la catenaria (C) disminuye de valor, lo que quiere decir que la flecha se incrementa. -El coeficiente de seguridad (cs) se incrementa con la temperatura. -Esta es la forma empleada para determinar la tablas de esfuerzos a diferentes temperaturas, y que servirán para templar la línea durante el proceso de construc ción. Por otra parte, si nos referimos al gráfico Si la estructura (soporte) de la posición A, la colocamos en la posición A', evidentemente el tiro To (y también el parámetro C) no cambia. Incluso, para la estructura A es mejor la ubicación A' (por que es sometida a menor esfuerzo), sin embargo disminuimos el vano, como contraparte. Problema Nº 2 El conductor (ACSR) CONDOR de características:

A=

455 ,1mm 2

E=

6800 kg / mm

TR =

12925 kg

2

φc =

27 ,72 mm

α=

0,0000181 º C −1

wc =

1,522 kg / m

Se encuentra instalado en un vano de 460m, a la temperatura de 10ºC, con presión de viento de velocidad 90kph, trabajando con un tiro en el vértice de 2692.708Kg. Determinar el tiro en el vértice a -10ºC y costra de hielo de 12.7mm Solución: Condiciones iniciales son:

θ1 = + 10º C wr 1 = 1,083kg / m σo1 = 6, 403kg / mm2 Cuyos valores se obtuvieron:

p v = 0,00481v 2 = 0,00481x90 2 = 34,02kg / m 2 wv = pv

(φc + 2e) (27,72 + 2 x0) = 34,02 = 0,943kg / m 1000 1000

wr 1 = (wc + wh ) 2 + wv2 = 1,51782 + 0,9432 = 1,787kg / m



σ o1 =

To 1 2692 ,7 = = 5,92 kg / mm 2 A 455 ,1

condiciones finales:

wh = 0,0029(12,7 2 + 12,7 x27,72) = 1, 49kg / m wr2 = wc + wh = 1.5178 + 1.49 = 3,008kg/m To2 y σo2 serán calculados Al reemplazar y resolver la ECE obtenemos el resultado:

σo2 = 9.72Kg/mm2 y entonces: 2

2

To1= 9.72Kg/mm x 455.1mm = 4423.57Kg. Problema Nº 3 Construir los gráficos esfuerzos vs temperatura y flechas vs temperatura, para el mismo vano de cálculo, con el conductor Cóndor, a partir de las condiciones: θ1 =10ºC, pv = 0, wh= 0, con tiro vértice de 2585Kg. Solución. -

σo1 =

To1/A= 2 5.68Kg/mm Condiciones variable:

2585/455.1=

finales:

θ2

σo2 ,To2 a determinar. reemplazando en la ECE: Efectuando los cálculos: A = 0.1224(θ2 -10) + 15.02 B= 667.83

f(σo2 , θ2) = 0 será


17,00

5,80 5,60

16,00 5,40 15,50 5,20

15,00

=

wr2 = wc = 1.5178Kg/m (sin sobrecargas)

Por tanto la ecuación

6,00

16,50

Flechas

Condiciones iniciales: θ1 = 10ºC, wr1 = wc = 1.5178Kg/m

17,50

5,00

14,50 14,00 Flechas

0

10

15

25

30

40

45

15,21 15,53 15,75 16,13 16,34 16,74 16,90

Esfuerzo 5,80

5,68

5,60

5,47

5,40

5,27

Temperatura (ºC)

5,22

4,80

Esfuerzos

Gráfico de Esfuerzos y Flechas Del problema anterior tomamos la ecuación de cambio de estado, con vano de estudio de 460m


σo22[σo2 + 0.1224( θ2 -10) + 15.02]= 667.83 Los resultados de la solución de esta ECE se resumen en el cuadro adjunto. Problema Nº4 El conductor ACSR, Cóndor de características:

A= E=

455 ,1mm 2 6800 kg / mm 2

φc = α=

27 ,72 mm 0,0000181 º C −1

TR =

12925 kg

wc =

1,522 kg / m

se encuentra instalado en un vano de 800m, con desnivel 600m, con un tiro en el vértice de 2300Kg, a la temperatura de 10ºC sin sobrecargas. Calcular el coeficiente de seguridad de trabajo del cable a la temperatura de -10ºC sin viento, ni hielo. Solución: Condiciones iniciales θ1 = 10ºC wr1 = wc = 1.5178Kg/m (sin sobrecargas) To1 = 2300Kg

σo1 = 2300/455.1 = 5.054Kg/mm2 condiciones finales: θ2 = -10ºC wr2 = wc = 1.5178Kg/m (sin sobrecargas) To2 a determinar. En la condición inicial, el parámetro es:

C=

To1 2300 = = 1515,35m wr 1 1,5178

longitud del cable si estuviera a nivel:

L´= 2 C senh(

a 800 ) = 2 x1515 ,35 senh( ) = 809 ,3227 m 2C 2 x1515 ,35

y la ubicación del medio vano:

x m = C arcsen h (

h 600 ) = 1515 ,351 arcsen h ( ) = 1039 ,866 m L´ 809 ,3227

por tanto el extremo derecho es:


xb = x m +

a 800 = 1039 ,866 + = 1439 ,866 m 2 2


T b = To cosh(

y el tiro en este extremo:

xb 1439 ,866 ) = 2300 cosh( ) = 3418 ,7903 kg C 1515 ,351

por tanto el coeficiente de seguridad en la condición inicial es: cs 1 = 12925/3418,7903 cs 1 = 3.78 A fin de aplicar la ECE, tenemos:

α E = 0,000018 x6800 = 0 ,1224

E 6800 = = 0,00137 2 24A 24x 455,12 así mismo, para el ángulo de desnivel:

h  600    cos δ = cos  atang( ) = cos  atang( ) = 0,8 a  800    resolviendo obtenemos la ECE para vanos desnivelados:

σo2 = 5.17Kg/mmý deducimos entonces que el tiro en el vértice de la catenaria será: To2= 5.17 x 455.1 = 2352,867kg al que le corresponde el parámetro: C2= 2352.867 / 1.5178 = 1550,1825m por otra parte, la longitud del cable si estuviera a nivel es:

L´= 2 C senh(

a 800 ) = 2 x1550 ,1825 senh( ) = 808 ,9071 m 2C 2 x1550 ,1825

por tanto la abscisa del medio vano será

x m = C arcsen h (

h 600 ) = 1550 ,1825 arcsen h ( ) = 1064 ,2426 m L´ 808 ,9071

con una ubicación del extremo superior de:

xb = xm +

a 800 = 1064 ,2426 + = 1464 ,2426 m 2 2

y por tanto el tiro en este extremo será:

Tb = To cosh(

xb 1464,2426 ) = 2352867 cosh( ) = 3482,873kg C 1550,1825



finalmente el coeficiente de seguridad de trabajo a la temperatura de -10ºC, será: cs = 12925 / 3482.873 = 3,71 Problema Nº5 Suponga que el conductor Condor ACSR, del problema anterior, ha sido templado (saetado) con el tiro de 2300Kg en un vano de 1200m, con desnivel 800m, a la temperatura de 10ºC. Determinar el incremento de la saeta cuando la temperatura es 40ºC. Solución: Condiciones iniciales: θ1 = 10ºC wr1 = wc = 1.5178Kg/m To1 = 2300Kg

σo1 = 2300 /455.1 = 5.054Kg/mm2 con ésta condición, el parámetro será: C = 2300(kg)/1,5178(Kg/m) C = 1515,351m Longitud del cable si estuviera a nivel:

L´= 2 C senh(

a 1200 ) = 2 x1515 ,351 senh( ) = 1231 ,601 m 2C 2 x1515 ,351

por lo que la ubicación del medio vano será:

h 800 x m = C arcsen h( ) = 1515,351arcsen h( ) = 925,661m L´ 1231,601 La ubicación del punto mas bajo es:

xa = xm −

a 1200 = 925 ,661 − = 325 ,61m 2 2

entonces la saeta será:

s = C(cosh(

xa 325,61 ) − 1) = 1515,351(cosh( ) − 1) = 35,1285m a 10ºC C 1515,351

A fin de aplicar la ecuación de cambio de estado para vanos desnivelados:

α E = 0,000018 x6800 = 0 ,1224

E 6800 = = 0,00137 2 24A 24x 455,12 Que al res olver la ECE obtenemos:

σo2 = 4.97Kg/mm2 Ingº Juan Bautista R.

cosδ = 0,8


al cual le corresponde el tiro en el vértice de: To2= 4.97 x 455.1= 2261.847Kg con parámetro de catenaria: C= 2261.847/1.5178 = 1490.2141m en este caso, la longitud del cable si estuviera a nivel es:

L´= 2C senh(

a 1200 ) = 2 x1490,2141senh( ) = 1232,6854m 2C 2 x1490,2141

por tanto, la abscisa del medio vano será:

h 800 x m = C arcsen h( ) = 1490,2141arcsen h( ) = 909,5923m L´ 1232,6854 y la ubicación del extremo mas bajo:

x a = xm −

a 1200 = 909 ,5923 − = 309 ,5923 m 2 2

entonces la saeta será:

s = C (cosh(

xa 309 ,5923 ) − 1) = 1490 , 2141 (cosh( ) − 1) = 32 ,274 m a 40ºC C 1490 ,2141

La variación de la saeta será: Variación de saeta = 35.1285 - 32.274 = 2.854m.



T o ≤ 18 %TR si no se cumple la condición el tiro de templado es exactamente igual al 18% del Tiro de Rotura.

6.6 TABLA DE REGULACION Para cada tramo de línea y con el vano ideal (ar) para ese tramo, se confecciona una tabla de regulación para diferentes temperaturas, calculando los diferentes esfuerzos correspondientes. Esta tabla se utiliza en el campo durante el proceso de templado o tensando del conductor, debido a que el esfuerzo de templado se ha calculado para la temperatura promedio, y como en obra no necesariamente se tiene dicha temperatura, se calculan los esfuerzos equivalentes para otras temperaturas. Para cada esfuerzo calculado (con la ECE) se determina la flecha correspondiente, por lo que la tabla es también una tabla de flechas. Hay que recordar que en cada tramo el daTo de vano es ar, y para calcular las flechas de cada vano del tramo utilizaremos la relación

f = fr (

a 2 ) ar

en donde f es la flecha (m) del vano ar (m) y a es el vano del cual se obtendrá su flecha f. Problema Nº1 Confeccionar la tabla de regulación del conductor

A= 455 ,1mm 2 E = 6860 kg / mm 2

φc = 27 ,762 mm Cóndor ACSR, 54/7 hilos, cuyos datos se muestran, −1 para el tramo de vanos 390, 413, 384, 402 y 392m; α = 0 ,00001935 º C

TR

wc =

desde 0ºC a 40ºC, con incrementos de 5ºC. La hipótesis de templado es 15ºC sin viento, ni hielo y la TCD es del 14.9% elegido convenientemente para el diseño.

12950 kg

1,522 kg / m

Solución: Vano de cálculo n

ar =

∑a 1 n

3

∑a

=

390 3 + 4133 + 384 3 + 402 3 + 3923 = 396,6m 390 + 413 + 384 + 402 + 392

1

Para utilizar la ECE:

θ1 = 15º C wr 1 = 1,522kg / m σo1 = 4,24kg / mm2


θ2 = 0 − 40º C wr 2 = 1,522kg / m σo 2 = Determinar


En las condiciones iniciales: wr1= wc =1.522Kg/m (sin sobrecargas) To1= 0.149xTR= 1929.6 2 σo1= To 1/A= 1929.6/455.1=4.24Kg/mm En las condiciones finales: σo2 variable entre 0ºC a 40ºC, con incrementos de 5ºC. wr2= wc = 1.522Kg/m (sin sobrecargas) σo2 a determinar para cada temperatura. Utilizando la ECE, al reemplazar los valores datos obtenemos:

E = 0,0014 24 A 2

α E = 0,1327

entonces la ecuación del conductor es:

σo 2 2 [σo 2 + 0,1327(θ2 −15) + 24,13] = 510,1

que como se observa es una función matemática de la forma: f (σ o 2 ,θ 2 ) = 0 2

en donde para cada θ2(ºC) obtendremos un σo2(Kg/mm ).

que al tabular, los resultados son: Resultados: Temperatura ºC

Esfuerzo σo Kg/mm2

Tiro To kg

Parámetro C (m)

Flecha m

0 5 10 15 20 25 30 35 40

4.38 4,33 4,28 4,24 4,19 4,15 4,10 4,06 4,02

1993.3 1970,6 1947,8 1929,6 1906,6 1887,7 1866,7 1847,7 1829,5

1309.6 1294,7 1279,7 1267,8 1252,8 1240,9 1226,0 1214,0 1202,0

15.00 15,18 15,36 15,5 15,7 15,84 16,04 16,20 16,36

Las flechas del cuadro de resultados corresponden al vano ar = 396.6m, para calcular las flechas de los vanos en el tramo utilizaremos la relación:

f = fr (

Siendo: fr , ar: flecha y vano de regulación. f: flecha del vano que se regula. a: vano cuya flecha se calcula. TABLA DE FLECHAS Condiciones iniciales: 15ºC, EDS:14.9%


a 2 ) ar


Temp º C

0

5

10

15

20

25

30

Vano(m )

σo

4 ,38

4,33

4 ,28

4 ,24

4 ,19

4 ,15

4,10

390

Flechas

14 ,50 14 ,70 14 ,85 14 ,98 15 ,18

15 ,32 15 ,50

413

16 ,26 16 ,46 16 ,60 16 ,80 17 ,00

17 ,18 17 ,39

384

14 ,06 14 ,23 14 ,40 14 ,53 14 ,72 14 ,85 15 ,04

402

15 ,41 15 ,60 15 ,78 15 ,92 16 ,13 16 ,27 16 ,48

392

14 ,65 14 ,80 15 ,00

15 ,14 15 ,35 15 ,47 15 ,67

6.7 DETERMINACION DE LA PLANTILLA La plantilla es fundamentalmente útil para localizar las estructuras en el perfil, y consiste en la determinación de dos curvas principales del conductor: Curvas de LibramienTo y de Levantamiento. Para el conductor de guarda, es suficiente la Curva de Levantamiento. La Curva de libramiento, se determina para la condición (Hipotesis) de máxima flecha y se emplea para ubicar o localizar los soportes en los planos de perfil. También se utiliza para verificar distancias mínima de la líneas a paredes o terreno lateral, distancias debido a oscilación de la cadena de aisladores. Desplazando verticalmente hacia abajo de esta curva, se obtienen otras dos que corresponden a las curvas de distancia mínima de la línea a tierra y de pie de apoyos o de localización de estructuras. La curva de distancia mínima de la línea a tierra depende de la tensión de servicio de la línea, la utilización que se le dé al terreno (por ejemplo carreteras) y el tipo de estructura que se utilizan para soportar el conductor. Esta distancia está generalmente especificada en las normas técnicas de cada pais. En el Perú: dmin= 5.3 + VN/150 (m) donde: VN: tensión de servicio en KV Es necesario también, al respecto verificar las distancias mínima de las líneas especificadas y dadas por las normas VDE. Se observa que se debe precisar la hipótesis de cálculo del conductor que corresponda a la flecha máxima, que generalmente es la de esfuerzos mínimos. Los valores de flechas máximas se grafican con las escalas conocidas: ESCALA ESCALA VERTICAL HORIZONTAL 1:200 1:2000 1:500 1:5000 La distancia vertical entre las Curvas de LibramienTo y de localización de estructuras es igual a la altura útil de la estructura - soporte, es decir la altura del conductor sobre el terreno. Las tres curvas mencionadas se dibujan en papel transparente o en mica delgada y se ubica la plantilla obtenida en el perfil desplazándola de izquierda a derecha, manteniendo la verticalidad, haciendo que la curva 2 de distancias mínima de la líneas, sea tangente al terreno, como lo muestra el gráfico siguiente.



6.9 APLICACIONES PRACTICAS Problema Nº1 El conductor de características dadas, deberá ser extendido en un vano de 300m, si el coeficiente de seguridad mínimo deberá ser de 2,5, así como la Tensión de Cada Día (TCD) no deberá superar el 18%, Se desea calcular el Esfuerzo de templado.

A= E=

125 ,1m 2 8094 kg / mm

TR =

2

3777 kg

φc =

14 ,31mm

α =

0 ,0000191 º C −1

wc =

0, 435 kg / m

Y las Hipótesis de cálculo serán:

Hipót

Temp

Viento

Hielo

2

ºC

kg / m

mm

I

−5

6,35

−

II

+ 15

−

−

III

+ 40

−

−

Solución: a) Cálculo de sobrecargas: HIPOT I: θ = -5ºC Peso del hielo:

wh = 0,0029( e 2 + eφc ) = 0,0029( 6,352 + 6,35x14,31) = 0,38kg / m

Peso resultante: wr= wc + wh = 0.435 + 0.38 = 0.815Kg/m HIPOT II: θ = 15ºC; no hay viento, ni hielo: wr =wc = 0.435kg/m. HIPOT III: θ=+40ºC Sin sobrecargas. wr =wc = 0.435kg/m. b) Esfuerzos y tiros nominales en cada hipótesis. HIPOT II: TCD= 18% (dato) Entonces el tiro en el vértice:

T o = 0,18TR = 0 ,18 x377 = 679 ,86 kg

por lo que esfuerzo en el vértice es: σo

=

To 679,86 = = 5,434kg / mm2 A 125,1

HIPOT I: Tiro máximo en el extremo del cable:

Tmax = Tb =

TR 3777 = = 1510,8kg cs 2,5

y el parámetro de la catenaria en esta hipótesis:

C=

1 Tb T a2 1 1510,8 1510,8 2 3002 ( + ( b )2 − ) = ( + ( ) − ) = 1847,6536m 2 wc wc 2 2 0,815 0,815 2

Y entonces el tiro en el vértice es:


T o = Cwr = 1847 ,6536 x0 ,815 = 1505 ,8376 kg


Con el esfuerzo en el vértice:

σo =

To 1505 ,8376 = = 12 ,037 kg / mm 2 A 125 ,1

Resolvemos ahora la Ecuación de Cambio de Estado (ECE) c) Para la ecuación de cambio de estado del conductor, los datos son:

θ1 =

− 5º C

wr 1 =

0 ,815 kg / m

σ o1 = 12 ,037 kg / mm

Al resolver obtenemos:

θ2 =

+ 15 º C

wr 2 = 0 ,435 kg / m 2

σ o2 =

Calcular

σo 2 = 7,17kg / mm2

e) Elección del esfuerzo del templado: de los cálculos, en resumen, tenemos que en la Hipótesis de Templado el esfuerzo deberá ser: σ o 2 ≤ 5 ,434 kg / mm 2 en razón que este esfuerzo corresponde al EDS=18% como máximo. Por otra parte, a partir de la Hipótesis I hemos calculado el esfuerzo necesario para tener un mínimo de coeficiente de seguridad igual a 2,5 exigido, es decir: σ o 2 = 7 ,17 kg / mm 2 Por tanto el esfuerzo de templado es:

σ o = Menor{5,434 ;7 ,17 }kg / mm 2 = 5, 434 kg / mm 2 y el tiro de templado:

T o = σ o A = 5,434 x125 ,1 = 679 ,793 kg

f) Tiro máximo en el conductor, en el templado:

T b = T o cosh( Siendo el parámetro:


xb 300 ) = 679 ,793 cosh( ) = 682 ,927 kg C 1562 ,7425

C=

To 679,793 = = 1562,7425m wr 0,435


Ubicado, por supuesto, en el extremo del cable. g) Cálculo de tiros y esfuerzos reales en la Hipótesis I (Máximos Esfuerzos) Aplicamos la ECE: Condiciones iniciales (templado) y las condiciones finales (Hipót I), son respectivamente:

θ1 = + 15º C wr 1 = 0,435kg / m σo1 = 5,437kg / mm2 Al resolver la ECE obtenemos:

θ2 = − 5º C wr 2 = 0,815kg / m σo 2 = Calcular

σo2 = 9,72kg/mm2 a –5ºC

tiro en el vértice en esta hipótesis:

T o = σ o A = 9,72 x125 ,1 = 1215 ,972 kg h) Tiro máximo y factor de seguridad de diseño (en la HIPOT I, máximos esfuerzos) Tiro máximo:

Tb = To cosh(

a 300 ) = 1215,972 cosh( ) = 1229,927kg 2C 2x991,017

Siendo el parámetro C de la catenaria:

C = To wr = 1215 ,972 x0 ,815 = 991 ,017 m entonces: Esfuerzo máximo:

σmax =

Tb 1229,927 = = 9,831kg / mm2 a –5ºC A 125,1

Coeficiente de seguridad del diseño:

cs =

TR 3777 = = 3,07 > 2,5 Tb 1229 ,927 2

Como se observa, al templar el conductor con el esfuerzo seleccionado de 5.434Kg/mm , a la temperatura de 15ºC; el coeficiente de seguridad es 3.07 (mayor que 2.5 exigido) cuando el cable pase a la temperatura de –5ºC (en la Hipótesis de esfuerzos máximos). Problema Nº2 El Conductor ALDREY (aleación de aluminio), de características:

A=

53 ,5m 2

E=

6000 kg / mm

TR =

1525 kg

2

φc =

9,36 mm

α=

0 ,000023 º C −1

wc =

0 ,146 kg / m

Será calculado para las hipótesis siguientes:



Hipót

Temp

Viento

Hielo

2

ºC

kg / m

mm

Templado

+ 15

−

−

Esf .Máximos

+ 10

39

−

FlechaMáxima

+ 40

−

−

Con el vano de cálculo de 200m, con coeficiente de seguridad mínimo de 3,0 y una Tensión de Cada Día del 22% determinar el Esfuerzo de Templado. Solución: Cálculo de sobrecargas en cada hipótesis de cálculo: HIPOTESIS I: No hay viento, ni hielo, por tanto: wr = wc = 0.146Kg/m. HIPOTESIS II:

(φc + 2e) (9,36 + 2 x0) = 39 = 0,365kg / m 1000 1000

viento:

wv = p v

peso unitario Total:

wr = 0 ,1462 2 + 0 ,365 2 = 0,3931 kg / m

HIPOTESIS III: No hay ni vienTo, ni hielo:

En la HIPOTESIS II el Tiro máximo es:

Esfuerzo máximo:

σ b = σ max =

wr = wc = 0.146Kg/m

Tb = Tmax =

TR 1525 = = 508 ,333 kg cs 3,0

T b 508 ,333 = = 9,5015 k / mm 2 A 53 ,5

En las Hipótesis II calculamos la catenaria a fin de calcular el tiro vértice y el esfuerzo en el vértice: HIPOTESIS II:

C=

T 1 Tb a2 1 508 ,333 508 ,333 2 200 2 ( + ( b )2 − )= ( + ( ) − ) = 1289 ,261 m 2 wc wc 2 2 0,3931 0 ,3931 2

Tiro vértice:

C = To wr = 1289, 261x0,3931 = 506,8085m

Y el esfuerzo en el vértice:

σo =

T o 506 ,8085 = = 9, 473 kg / mm 2 A 53 ,5

A partir de la Hipótesis II con la ECE, calculamos los esfuerzos en la Hipótesis I de templado.



Condiciones finales: Hipótesis I de templado:

θ2 = + 15º C wr 2 = 0,146kg / m σo 2 = Calcular Condiciones iniciales Hipótesis II:

θ1 = + 10º C wr 1 = 0,365kg / m σo1 = 9,473kg / mm2 Valores que al ser reemplazados en la ECE obtenemos:

σo2 = 6.66Kg/mm2

Elección del esfuerzo de templado. El esfuerzo máximo a aplicar al conductor deberá ser:

σmax ≤ 18%TR =

0,18TR 0,18x1525 = = 513kg / mm2 A 53,5

En consecuencia, el esfuerzo de templado será:

σ o = Menor{5,13 ;6,66 } = 5,13 kg / mm 2


a +15ºC

Ejemplo: En el gráfico adjunto, lo vanos son a1 = 304m y a2 = 256m, los desniveles son h1 =-9m y h2 =+18m; el peso unitario del conductor es wc = 1,083 kg/m. Siendo el Tiro en el conductor de T o = 1471,86 kg, determinar el Tiro vertical en el soporte 2. Solución: El parámetro de las catenarias son C = To/wc = 1471,86/1,083 = 1359,058m En el vano 1:

L´1 = 2Csenh(

a1 304 ) = 2 x1359,58senh( ) = 304,634m 2C 2 x1359,58

 h   −9  x m1 = Csenh −1  1  = 1359,58senh −1   = −40,145m  304,634   L´1  a 304 x 2 = x m1 + 1 = −40,145 + = +111,855m 2 2 Si x 2 > 0 → Tv 21 > 0 Hacia abajo  + 111,855  x  TV 21 = +To senh 2  = +1471,86 senh  = +121,275 kg C  1359,58  En el vano 2:

L´2 = 2 x1359,58senh(

256 ) = 256,37m 2 x1359,58

Posición cartesiana del medio vano:

h x´ m 2 = Csenh −1  2  L´2

  + 18   = 1359,58 senh −1   = +95,34m  256,37  

Posición cartesiana del soporte 2 con ejes XÝ´

x´ 2 = x´ m 2 −

a2 256 = +95,34 − = −32,66m 2 2

Si x´ 2 < 0 → Tv 21 > 0 Hacia abajo Por tanto, el Tiro vertical en el soporte 2 debido a la presencia del conductor en el vano 2 será:

 − 32,66   x´  T x´2 = +To senh 2  = +1471,86 senh  = +35,374 kg  C   1359,058  El tiro Vertical neto en el soporte 2 será:

Tv 2 = Tv 21 + Tv 22 = +12,275 + 35,374 = +156,649 kg ( Hacia abajo ) En consecuencia no requiere contrapeso por efecto “up lift”. El vano Peso (ap) en el soporte 2 será:

a p = x 2 − x´2 = +111,855 − −32,66 = 144,64m Ejemplo: En la figura, T o = 1400 kg; wc = 1,083; h1 = +28; h2 = +32; a1 = 240m; a2 = 248m. Determinar el Tiro vertical resultante en el soporte 2.

El parámetro de las catenarias son: C =

To 1400 = = 1292,7m wc 1.083

L´1 = 2Csenh(

a1 240 ) = 2 x1292,7 senh( ) = 240,345m 2C 2 x1292,7

h   + 28  x m1 = Csenh −1  1  = Csenh −1   = +150,26m  240,35   L´1  a 240 x 2 = x m1 + 1 = +150,26 + = +270,26m 2 2 Si x 2 > 0 → Tv 21 > 0 Hacia abajo  + 270,26  TV 21 = +1400 senh  = +294,83 kg  1292,7  En el vano 2:

L´2 = 2 xCsenh(

248 ) = 248,38m 2 xC


h x´m 2 = Csenh −1  2  L´2

  + 32   = 1292,7 senh −1   = +166,088m  248,38  


x´2 = x´m 2 −

a2 248 = +166,088 − = +42,08m 2 2

Si x´2 > 0 → Tv 21 < 0 Hacia arriba Por tanto, el Tiro vertical en el soporte 2 debido a la presencia del conductor en el vano 2 será:

 42,08   x´  T x´2 = −To senh 2  = −1400 senh  = −45,58 kg  C   1292,7  El tiro Vertical neto en el soporte 2 será:

Tv 2 = Tv 21 + Tv 22 = +294,83 + −45,5835,374 = +249,25 kg ( Hacia abajo) En consecuencia no requiere contrapeso por efecto “up lift”. El vano Peso (ap) en el soporte 2 será:

a p = x 2 − x´2 = +270,6 − +42,08 = +228,52m Y el Tiro Vertical resultante resulta también:

TV 2 = wc a p = 1,083 x 228,52 = 247,48kg

Ejemplo: En el gráfico adjunto, lo vanos son a1 = 280m y a2 = 320m, los desniveles son h1 =-42m y h2 =+40m; el peso unitario del conductor es wc = 1,083 kg/m. Siendo el Tiro en el conductor de T o = 1400 kg, determinar el Tiro vertical en el soporte 2. Solución: El parámetro de las catenarias son C = T o/wc = 1400/1,083 = 1292,705m

L´1 = 2Csenh(

a1 280 ) = 2 x1292,7 senh( ) = 280,467 m 2C 2 x1292,7

h   − 42  x m1 = Csenh −1  1  = Csenh −1   = −208,874 m  280,467   L´1  a 280 x 2 = x m1 + 1 = −208,874 + = −68,874m 2 2 Si x 2 < 0 → Tv 21 < 0 Hacia arriba En el vano 2:

L´2 = 2 x1292,7 senh(

320 ) = 320,697 m 2 xC


h x´ m 2 = Csenh −1  2  L´2

  + 40   = 1292,7 senh −1   = +174,17 m  320,697  


x´2 = x´m 2 −

a2 320 = +174,17 − = +14,17 m 2 2

Si x´2 > 0 → Tv 21 < 0 Hacia arriba El vano Peso (ap) en el soporte 2 será:

a p = x 2 − x´ 2 = −68,874 − +14,17 = −83,04m Y el Tiro Vertical resultante es:

TV 2 = wc a p = 1,083(− 83,04 ) = −89,936kg

Por tanto el soporte requiere contrapaeso, y será necesario calcularlo. Si asumimos los datos siguientes: Peso de la cadena de aisladores mas accesorios: Fuerza del viento sobre la cadena de aisladores: Fuerza del viento sobre el conductor:

Q = 90,6 kg QV = 10,80 kg wv = 0,551 kg/m

El valor del contrapeso es:

  1   β β 1  C =  2To sen  + Qv ctgϕ − Q  + wv cos ctgϕ  a v − wc a p 2   2 2 2    Ecuación que tiene la forma:

C = a + ba v + ca p  1  β  1  a =  2To sen  + Qv ctgϕ − Q  2  2 2     β  b = + wv cos ctgϕ  2   c = − wc Realizando los cálculos:

      1 β β  1 a =  2 x1400 sen   + (10,80) ctgϕ − (90,6)  =  2800 sen  + 5, 4 ctgϕ − 45,3 2 2 2 2      

  β  b = + 0,551 cos ctgϕ  2  

c = −1,083

Supongamos ahora que el soporte es de alineamiento, entonces β = 0 En consecuencia los parámetros a, b, c serán

a = [5, 4ctgϕ − 45,3]

b = +[0,551ctgϕ ]

c = −1,083 Es decir el valor del contrapeso estará dado por la relación:

C = [5,4ctgϕ − 45,3] + (0,55ctgϕ )a v − 1,083a p Si la cadena de aisladores no debería inclinarse más de 35° sexagesimales, entonces w = 35°,

C = [5, 4ctg 35° − 45,3] + (0,55ctg 35°) a v − 1,083a p C = −37,588 + 0,787 a v − 1,083a p Esta ecuación permite calcular el valor del contrapeso requerido para valores diferentes del vano viento y del vano peso. Para el presente ejemplo, el vano viento es:

1 1 (a1 + a 2 ) = (280 + 320) = 300m 2 2 a p = −83,04m av = y por tanto

C = −37,588 + 0,787 a v − 1,083a p = −37,588 + 0,787(300 ) − 1,083(− 83,043) = 75,95 kg Contrapeso que ser requiere para eliminar el efecto “up lift” y al mismo tiempo permite que la cadena de aisladores no oscile mas allá de 35° respecto de la vertical.


APLICACION Supongamos que un conductor tipo ACSR (aluminio con alma de acero) que tiene los datos siguientes:

A= E=

455,1m 2 6860kg / mm 2

φc = α=

27,762mm 0,00001933º C −1

TR =

12950kg

wc =

1,522kg / m

Será extendido en un vano especial de 1200m y se desea verificar si es posible extenderlo con el desnivel de 1000m. Para ello se requiere conocer cual será el Coeficiente de seguridad del conductor cuando la condición climática es de 0ºC con costra de hielo de 12,7 mm teniendo en cuenta que como mínimo dicho coeficiente será de 2,5; siendo además que el esfuerzo de templado deberá ser de 2,2724 kg/mm2 a +15ºC sin sobrecargas de Viento o hielo. Solución: En la condición de Templado (+15ºC) no existen sobrecargas de viento o hielo, sin embargo en la condición de 0ºC tenemos sobrecarga de hielo, por lo que:

wh = 0,0029(e 2 + eφ c ) = 0,0029(12,7 2 + 12,7 x 27,762) = 1,49021kg / m El peso unitario resultante total será:

wr 2 = wc + wh = 1,522 + 1,49021 = 3,01221kg / m Planteamos ahora la solución de la Ecuación de Cambio de estado. De la ecuación (18): 2

2

 1000  h m=  =  = 0,69444  1200  a Además para las condiciones iniciales:

C1 =

σ o1 A 2,2724 x 455,1 = = 679,494 m wr 1 1,522

La longitud del cable si estuviera a nivel en esta condición es:

L´1 = 2C1 senh(

a 1200 ) = 2 x 679,494 senh( ) = 1689,796m 2C1 2 x679,494

De la ecuación (20):

n=

L1 a

σ o1  1689,796  2,2724   α (θ 2 − θ 1 ) − E + 1 = 1200 0,0001933(0 − 15) − 6860 + 1 = 1,407755    



La ecuación (22):

r=

L1 wr 2 1689,796 x3,0122 = = 0,00081518 2 EA 2 x6860 x 455,1

Por tanto la ECE exacta, a resolver es:

[senh( β 2 )]2 + mβ 2 2

− nβ 2 = r

[senh( β 2 )]2 + 0,69444β 2 2

− 1,407755β 2 = 0,00081518

De donde luego de resolver obtenemos:

β 2 = 0,883198 Radianes

hiperbóli cos

Por tanto, el parámetro de la catenaria es:

C2 =

1200 a = = 679,349 m 2 β 2 2 x0,883198

El tiro en el vértice:

T02 = C 2 wr 2 = 679,349x3,0122 = 2046,335058 La longitud del cable si el desnivel fuera nulo:

L´2 = 2C 2 senh(

a 1200 ) = 2 x679,349 senh( ) = 1362,20676 m 2C 2 2 x679,349

Ubicación cartesiana del medio vano:

x m = C 2 arcsen h(

1000 h ) = 679,349 arcsen h( ) = +462,216m L´2 1362,20676

Ubicación cartesiana de la Torre más alta:

xb = x m +

a 1200 = +462,216 + = +1062,216 m 2 2

Por tanto el Tiro en esta Torre es:

Tb = To 2 cosh(


xb 1062,216 ) = 2046,335058 cosh( ) = 5100,76645kg C2 679,349


Este último valor es el tiro máximo en ésta condición, por lo que el coeficiente de seguridad será:

cs =

TR 12950 = = 2,5388 Tb 5100,76645

En consecuencia, es posible decidir por el extendimiento del conductor.


Lineas

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