Lic. Rosell Alejandro Valderrama Chumbes Mg. Luis Enrique Falcón Delgado
Cálculo Financiero PROESAD
Programa de Educación Superior a Distancia
Título: cálculo
financiero
Autor: Mg. Luis Enrique Falcón Delgado Diseño interior: Doris Sudario S. Diseño de tapa: Eduardo Grados S. Responsables de edición: Edwin Sucapuca Sucapuca, Christian Vallejos Angulo, Lizardo Vásquez Villanueva, Mariela Malásquez Marín. Primera edición, marzo 2012 El contenido de esta publicación (texto, imágenes y diseño), no podrá reproducirse total ni parcialmente por ningún medio mecánico, fotográfico, electrónico (escáner y/o fotocopia) sin la autorización escrita del autor. Universidad Peruana Unión - Facultad de Ciencias Empresariales Programa de Educación Superior a Distancia PROESAD Centro de Producción de Materiales Académicos CEPMA Sede Central - UPeU Carretera Central km. 19 Ñaña, Lima / Telf. (01) 618-6336 / 618-6300 / Anexo: 3084 www.upeu.edu.pe e-mail
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Presentación Introducirse al estudio de las finanzas requiere de una base fundamental como lo es las matemáticas financieras. Siendo ésta una de las mejores inversiones en información que un estudiante puede hacer. ¿Por qué? Porque el éxito en cualquier organización desde las pequeñas tiendas de la esquina hasta las grandes corporaciones multinacionales requiere la comprensión y el manejo adecuado de cálculos financieros. Este libro es el resultado de la experiencia docente del autor con alumnos de las carreras profesionales de contador público y administración de empresas, así como con profesionales del mundo de las finanzas. Con este texto se cubren las necesidades de ambos colectivos que, aunque diferentes, no son excluyentes. Teoría y praxis forman un todo y deben complementarse si se quiere lograr un conocimiento, lo suficientemente riguroso, para entender y analizar las operaciones financieras. El texto contiene, por una parte, los conceptos teóricos que permiten fundamentar el análisis de los instrumentos financieros existentes, así como el diseño de otros nuevos y, por otra parte, con la ayuda de ejemplos y ejercicios, dichos conceptos se aplican en la descripción del funcionamiento de las operaciones financieras más habituales en el mercado. Por este motivo, el presente texto va dirigido principalmente a empresarios, estudiantes y profesionales no financieros, que sin tener necesariamente conocimientos de finanzas, sin embargo, tengan la curiosidad y deseen conocer los fundamentos de las matemáticas financieras como herramienta vital de las finanzas corporativas modernas.
íNDICE UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS ACTUARIALES SESIÓN Nº 1: Conceptos básicos....................................................................................................... 17. 1. Origen de las matemáticas financieras............................................................ 17 1.1. Crédito............................................................................................................................. 17 2. El valor del dinero en el tiempo............................................................................. 18 2.1. Costo de oportunidad.............................................................................................. 19 3. Tasas de interés.................................................................................................................... 22 3.1. Capitalización de interés....................................................................................... 23 4. Monto o valor futuro (S)............................................................................................ 24 5. Interés comercial y real................................................................................................ 25 5.1. ¿Qué tipo de interés se usa o se aplica en la prática?......................... 26 6. Plazo comprendido entre dos fechas................................................................. 26 6.1. Días inicial y final...................................................................................................... 26 6.2. Fecha de vencimiento............................................................................................ 27 7. Horizontes y subhorizontes temporales.......................................................... 29 8. Métodos de afectación al interés y al principal cuando se reduce el monto............................................................................................................ 30 8.1. PPLI(Primero Principal Luego Interés)........................................................... 30 8.2. PILP(Primero Interés Luego Principal)........................................................... 31 PRÁCTICA DIRIGIDA................................................................................................................. 32
UNIDAD II LEYES FINANCIERAS EN LA PRÁCTICA SESIÓN Nº 2: Interés simple................................................................................................................. 37. 1. Introducción.......................................................................................................................... 37 2. Interés con principal y tasa nominal constante....................................... 37 2.1. Calculando el capital inicial o principal (P)................................................ 40 2.2. Calculando la tasa de interés (j)....................................................................... 41 2.3. Calculando el tiempo (n)...................................................................................... 43
3. Interés con principal constante y tasa nominal variable................ 44 4. Monto o valor futuro simple con principal y tasa nominal variable...................................................................................................................................... 46 5. Monto o valor futuro simple con principal constante y tasa nominal variable................................................................................................................ 48 6. Valor presente o valor actual simple con principal y tasa nominal constante............................................................................................................ 50 7. Valor presente o valor actual simple con principal constante y tasa nominal variable............................................................................................... 52 8. Ecuaciones de valor equivalentes.......................................................................... 54 PRÁCTICA DIRIGIDA................................................................................................................. 58 SESIÓN Nº 3: Interés compuesto....................................................................................................... 63. 1. Introducción.......................................................................................................................... 63 2. Interés con principal y tasa efectiva constante......................................... 63 2.1. Calculando el capital inicial o principal (P)................................................ 65 2.2. Calculando la tasa de interés (i)....................................................................... 67 2.3. Calculando el tiempo (n)...................................................................................... 69 3. Interés con principal constante y tasa efectiva variable.................. 71 4. Monto o valor futuro compuesto con principal y tasa efectiva constante.............................................................................................................. 73 5. Monto o valor futuro compuesto con principal constante y tasa efectiva variable................................................................................................. 75 6. Valor presente o valor actual compuesto con principal y tasa efectiva constante............................................................................................. 77 7. Valor presente o valor actual compuesto con principal constante y tasa efectiva variable....................................................................... 79 8. Ecuaciones de valor equivalentes.......................................................................... 81 9. Interés compuesto con tasa j capitalizable.................................................... 84 9.1. Valor futuro con tasa j capitalizable............................................................... 87 9.2. Valor presente o valor actual con tasa j capitalizable.......................... 88 PRÁCTICA DIRIGIDA................................................................................................................. 90
UNIDAD IIi OPERACIONES DE DESCUENTO, TASAS, INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN Y LAS SEIS LLAVES MAESTRAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS SESIÓN Nº 4: Operaciones de descuento.................................................................................... 97. 1. Introducción.......................................................................................................................... 97 2. Descuento comercial........................................................................................................ 98 2.1. Descuento comercial unitario............................................................................. 98 2.2. Descuento comercial sucesivo o en cadena.............................................. 99 3. Descuento bancario........................................................................................................101 3.1. Descuento bancario simple...............................................................................101 3.2. Descuento bancario compuesto......................................................................105 4. Descuento racional.........................................................................................................109 4.1. Descuento racional simple.................................................................................109 4.2. Descuento racional compuesto.......................................................................114 5. Operaciones de descuento en la práctica......................................................120 PRÁCTICA DIRIGIDA...............................................................................................................123 SESIÓN Nº 5: Tasas....................................................................................................................................129. 1. Introducción........................................................................................................................129 2. Tasa vencida y anticipada..........................................................................................130 3. Tasa nominal proporcional....................................................................................130 4. Conversión de una tasa nominal a efectiva...............................................131 5. Tasa efectiva equivalente............................................................................................133 6. Tasa activa y pasiva.........................................................................................................134 6.1. Tasa de interés pasiva..........................................................................................134 6.2. Tasa de interés activa...........................................................................................135 7. Tasa compensatoria y moratoria.........................................................................136 7.1. Aplicación de tasa compensatoria y moratoria en pagarés...........137 8. TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX.......................................................................................138 9. Tasa con capitalización discreta y continua..............................................139 9.1. Tasa con capitalización discreta......................................................................139 9.2. Tasa con capitalización continua....................................................................139 10. Tasa explícita e implícita..............................................................................................140 PRÁCTICA DIRIGIDA...............................................................................................................142
SESIÓN Nº 6: Inflación y devaluación.......................................................................................145. 1. Introducción........................................................................................................................145 2. Cálculo de la tasa de inflación.............................................................................146 3. Cálculo de la tasa de interés real.......................................................................149 3.1. Tasa efectiva inflada..............................................................................................150 4. Tipo de cambio.....................................................................................................................151 4.1. Tipo de cambio directo........................................................................................152 4.2. Tipo de cambio cruzado......................................................................................152 5. Tasa de interés en moneda extranjera............................................................153 PRÁCTICA DIRIGIDA...............................................................................................................155 SESIÓN Nº 7: Las seis llaves maestras de las matemáticas financieras........157. 1. Introducción........................................................................................................................157 2. Factor simple de capitalización (FSC).................................................................158 3. Factor simple de actualización (FSA).................................................................159 4. 5. 6. 7.
Factor de capitalización de la serie (FCS).......................................................160 Factor de depósito al fondo de amortización (FDFA)...........................161 Factor de actualización de la serie (FAS).......................................................162 Factor de recuperación del capital (FRC).......................................................163 PRÁCTICA DIRIGIDA...............................................................................................................165
UNIDAD Iv ANUALIDADES Y PROGRAMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS SESIÓN Nº 8: Anualidades vencidas y anticipadas..........................................................171. 1. Introducción........................................................................................................................171 2. Anualidades vencidas u ordinarias..................................................................173 2.1. Valor futuro S de una anualidad vencida..................................................173 2.2. Valor presente P de una anualidad vencida............................................176 3. Anualidades anticipadas............................................................................................180 3.1. Valor futuro S de una anualidad anticipada.............................................180 3.2. Valor presente P de una anualidad anticipada......................................184 PRÁCTICA DIRIGIDA...............................................................................................................188
SESIÓN Nº 9: Anualidades diferidas y perpetuas.............................................................191. 1. Introducción........................................................................................................................191 2. Anualidades diferidas...................................................................................................191 2.1. Valor futuro S de una anualidad diferida...................................................192 2.2. Valor presente P de una anualidad diferida............................................193 3. Perpetuidades.......................................................................................................................196 3.1. Valor futuro S de una perpetuidad................................................................196 3.2. Valor presente P de una perpetuidad.........................................................196 PRÁCTICA DIRIGIDA...............................................................................................................199 SESIÓN Nº 10: Programas de amortización de créditos............................................201. 1. Introducción........................................................................................................................201 2. Amortización con interés simple..........................................................................201 2.1. Amortización con interés global.....................................................................202 2.2. Amortización con interés sobre saldos insolutos (al rebatir).........204 3.
4.
Amortización con interés compuesto................................................................206 3.1. Sistema de amortización constante (método alemán).....................207 3.2. Sistema de amortización única al vencimiento (método americano simple).................................................................................................208 3.3. Sistema de pagos constantes (método francés)...................................209 3.4. Sistema de pagos con período de gracia..................................................210 3.5. Sistema de pagos VAC (valor de actualización constante)..............212 Costo efectivo del crédito...........................................................................................214 4.1. Uso del VAN y la TIR en la evaluación de crédito.................................215 PRÁCTICA DIRIGIDA...............................................................................................................221
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................223
SUMILLA El curso pertenece al área de formación profesional y a la sub-área de finanzas. Propone capacitar al estudiante en la formulación de modelos matemáticos básicos para resolver los problemas financieros. El curso es de naturaleza teórico-práctica y abarca los siguientes tópicos: técnica mercantil, interés simple y compuesto, amortización de préstamos, anualidades o rentas, seguros de vida y alternativas de inversión.
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS CÓMO ESTUDIAR LOS MÓDULOS DIDÁCTICOS O TEXTOS AUTOINSTRUCTIVOS MÉTODO A2D El método A2D para autodidactas, de Raúl Paredes Morales, es un método de fácil aplicación para la mayoría de los estudiantes, inclusive para los no autodidactas. Si el estudiante aplica este método, su trabajo intelectual será más rápido y eficaz. A2D responde a las letras iniciales de los 3 pasos, que se propone para la lectura de un módulo didáctico o cualquier otro texto.
Antes de la lectura
A2D
Durante la lectura Después de la lectura
Antes de la lectura Consiste en la exploración preliminar y se debe: ÂÂEchar un vistazo general empezando por el índice, reconociendo unidades y lecciones que se van explicando en el módulo didáctico. ÂÂAnotar las dudas que van surgiendo durante el vistazo general, para esclarecerlas durante la lectura o después de ella. ÂÂAdoptar una actitud positiva.
Durante la lectura Ésta es la fase más importante del método, el ritmo de lectura lo pone cada lector. Debes tener presente los siguientes aspectos: ÂÂMantén una actitud positiva. ÂÂParticipa activamente en la lectura: tomando apuntes, subrayando, resumiendo y esquematizando. ÂÂSi no entiendes lo que lees o encuentras una palabra desconocida, consulta con tu profesor, tutor o un diccionario.
Después de la lectura Esta fase va a afianzar la lectura, mejorando tu comprensión lectora, para ello debes tener en cuenta lo siguiente: ÂÂRepasa los apuntes tomados durante la lectura. ÂÂOrganiza el trabajo y planifica el horario de estudio. Trata de que sea siempre a la misma hora. ÂÂRealiza los trabajos diariamente. No dejes que se te acumulen las tareas. ÂÂProcura ampliar las lecciones con lecturas complementarias. ÂÂAl final de cada capítulo haz tu cuadro sinóptico o mapa conceptual. ÂÂElabora tu propio resumen.
Enriquece tu vocabulario para entender mejor las próximas lecturas.
UNIDAD I UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS ACTUARIALES Sesión Nº 1: Conceptos básicos
COMPETENCIAS CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL Estudia el origen de las Organiza un mapa con- Valora la matemática fimatemáticas financie- ceptual de las matemá- nanciera como tema de ras. ticas financieras. estudio.
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Sesión
conceptos básicos
1. ORÍGEN DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que yo creo es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Investigando se encontró que las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, creo que «alguien» se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda. Es casi natural considerar que, al igual que otras múltiples actividades que realiza el ser humano, el comercio, con sus formas y modalidades, que hoy nos parecen asombrosas y alucinantes, como el mercado de capitales, es el resultado de un proceso, cuyo inicio hay que ubicarlo en algunos momentos o instituciones del pasado. El hombre ha logrado satisfacer sus necesidades a través de actividades comerciales diferentes, siendo el criterio diferenciador el tipo objeto de intercambio empleado por él. En tal sentido, se identifican las siguientes etapas que fueron apareciendo no necesariamente en orden secuencial: Trueque o permuta: se intercambia un bien por otro (ej. papas por arroz). Etapa monetaria: aparece el dinero que sirve para efectuar transacciones, y comprar así los bienes. Etapa de crédito: además de mi propio dinero, me endeudo para comprar algún bien. Etapa de los documentos o instrumentos financieros: se formalizan más los acuerdos o convenios entre los participantes del mercado; se convierten así en instrumentos de vida propia que son negociados. De todo lo expuesto anteriormente, podemos señalar que las matemáticas financieras aparecieron cuando apareció el crédito, a continuación, la definiremos.
1.1. Crédito Es el traspaso del derecho al uso de un bien por parte de una persona natural o jurídica que goza de tal derecho y que renuncia a ese uso a favor de otra persona natural o jurídica, la cual lo
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adquiere por un plazo determinado o no. Esta definición de «crédito» abarca cualquier operación de préstamo de cualquier bien, algunas de tanta envergadura como un crédito en dólares otorgado por el Banco Interamericano de Desarrollo (BID) a un país latinoamericano o como una concesión por 20 años para explotar yacimientos mineros en nuestra selva peruana, a la vez que algunas tan simples como el préstamo de una calculadora entre dos compañeros de curso durante una evaluación. Ahora, si bien la acepción más conocida de “crédito en dinero” es aquella en la cual una institución financiera le presta dinero a una persona natural o jurídica, es importante reconocer que este concepto involucra un conjunto bastante amplio de operaciones, como por ejemplo: depósitos de ahorro que realizan personas naturales o jurídicas en instituciones financieras (cuentas de ahorro, depósitos a plazo, depósitos de CTS, etc.), préstamos de carácter comercial (ventas a plazo) y, entre otros, la inversión en empresas productivas (el inversionista “le presta” dinero a la empresa). Esto, sin duda, evidencia que en las operaciones de crédito en dinero el acreedor (la persona que prestó el dinero) exija al deudor (la persona que recibió el dinero en préstamo) el pago de una renta por el dinero prestado, renta que recibe el nombre de interés, concepto que veremos con más detalle más adelante.
2. EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Para muchas personas resulta discutible el hecho de que se cobren intereses en las operaciones de crédito en dinero. Incluso, existen determinadas civilizaciones en que ello está penado por la ley, con base en preceptos religiosos. A fin de situar este tema en la perspectiva adecuada, evitando las discusiones de carácter ético o religioso, es importante convencer al lector de que –dada una cierta lógica– resulta difícil discutir la aplicación de intereses en un préstamo en dinero. Obviamente, otro asunto es la cuantía o magnitud de tales intereses, a lo cual se hará referencia más adelante. Supóngase que a usted se le enfrenta al problema de decidir entre dos alternativas mutuamente excluyentes (puede decidirse por solo una de ellas o por ninguna): a) Recibir hoy una donación de $10.000. b) Recibir una donación de $10.000 dentro de 1 año. No cabe prácticamente ninguna duda que usted preferiría la alternativa (a). Si le preguntasen los motivos, lo más probable es que usted mencionaría a lo menos uno de los factores que se mencionan a continuación: a) La pérdida de poder adquisitivo (debido a la existencia de inflación, con $10.000 disponibles hoy puedo adquirir más bienes y servicios que con $10.000 dentro de un año). b) El riesgo (más vale tener $10.000 seguros hoy, que tener una promesa de que recibiré $10.000 dentro de un año). c) Los usos alternativos del dinero (con $10.000 colocados a trabajar hoy, podría tener más de $10.000 dentro de un año).
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Alcanzado un cierto acuerdo sobre lo recientemente planteado, cabe preguntarse –entonces– por qué alguien prestaría $10.000 hoy a 1 año plazo y aceptaría que al vencimiento de ese plazo le devolviesen los mismos $10.000. Parece evidente que se trata del mismo problema anteriormente planteado, de tal forma que cualquiera que haya preferido la primera alternativa de ese problema, no podría ahora defender una postura contraria a la de cobro de intereses. De esta manera, obviando el problema del riesgo que enfrenta el acreedor al prestar dinero, el cobro de intereses en las operaciones de crédito en dinero puede ser defendido desde dos perspectivas: la pérdida de poder adquisitivo del dinero a lo largo del plazo del préstamo (en una economía con inflación) y la existencia de los llamados «costos de oportunidad» en el uso del dinero. El primero de estos factores resulta relativamente obvio, ya que el acreedor a lo menos debiera considerar que, una vez recuperado el dinero prestado, él pudiera adquirir un conjunto de bienes equivalente al que podía adquirir con la suma prestada en el momento del préstamo. El segundo de los factores es más novedoso para las personas que recién se aproximan al tema, relacionándose con la existencia de alternativas rentables para el uso de una determinada cantidad de dinero.
2.1. Costo de oportunidad Es la ganancia o rentabilidad de la mejor alternativa desechada o sacrificada al asignar un bien o recurso a un uso específico, existiendo usos alternativos rentables para ese mismo bien o recurso. De acuerdo a ello, el concepto de «costo de oportunidad» es aplicable a cualquier bien o recurso con usos alternativos y la ganancia o rentabilidad no necesariamente se mide en términos monetarios. Así, por ejemplo, el alumno que se encuentra asistiendo a una sesión de cátedra podría determinar cuál es el costo de oportunidad en que incurre al utilizar su tiempo en esa actividad y tal costo podría estar medido en términos de una determinada “satisfacción” sacrificada. No obstante, aquí interesan los costos de oportunidad en el uso de una cantidad de dinero, medidos en términos de la ganancia o rentabilidad monetaria sacrificada, al realizar una asignación determinada de esa cantidad de dinero. Resulta evidente que si bien, en algunos períodos de bajísimas inflación, la pérdida de poder adquisitivo podría ser considerada no relevante, siempre existirían usos alternativos rentables para la suma de dinero prestada, de tal forma que el acreedor debiera considerar que el interés del préstamo fuera suficiente para –a lo menos– compensar el costo de oportunidad en que incurrió al prestar dinero. Cabe hacer aquí una breve precisión respecto del caso de las instituciones financieras que prestan dinero, por cuanto para ellas existe un costo explícito de «captación» del dinero. Estas instituciones son intermediarias que captan dinero, pagando una renta por ello (tasa de interés pasiva), con la final de colocar o prestar ese dinero, cobrando a su vez una renta (tasa de interés activa). A fin de que la institución financiera obtenga una ganancia o «spread» en estas operaciones, es necesario que la tasa activa supere a la suma de los costos de captación y de administración directa e indirecta de tales operaciones.
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En definitiva, el cobro de intereses en las operaciones de crédito en dinero –en su aceptación amplia– proviene fundamentalmente de la existencia de costos de oportunidad en el uso del dinero, los cuales conducen al llamado valor del dinero en el tiempo. Se asigna mayor valor a $1 disponible hoy que a $1 disponible mañana, porque colocando hoy $1 en una alternativa rentable es posible tener mañana más de $1. El valor del dinero en el tiempo conduce a la existencia de matemáticas especiales para cálculos crediticios, pues se debe reconocer que no siempre es pertinente sumar dos cantidades que se encuentran ubicadas en distintos momentos en el tiempo, o bien, no es posible saber si es conveniente por –ejemplo– pagar dos cuotas semestrales de $9.000 o solo una cuota anual de $20.000 en un determinado crédito. Ejemplo El costo de oportunidad Usted cuenta con las siguientes tres únicas y mutuamente excluyentes1 alternativas para «invertir» $250.000, a un mes de plazo, todas ellas con el mismo nivel de riesgo: a) Realizar un depósito en un banco local, que ofrece pagarle a fin de mes un interés de $2 por cada $100 depositados. b) Colocar el dinero en una alternativa que reportará un interés de $4.750 al final del mes. c) Colocar el dinero en una alternativa que reportará, al final del mes, un interés de $0,25 por cada $100 del depósito previamente reajustado por inflación. Se pide: 1) Determinar cual sería la mejor alternativa, si se estimase una tasa de inflación mensual de 1,6% para el mes relevante. 2) Determinar cual sería la ganancia bruta (en), la tasa de rentabilidad bruta (sobre $) de cada alternativa y el costo de oportunidad relevante (en $ y en tasa) al seleccionar cada una de las alternativas. Verificar la respuesta 1). 3) Determinar a partir de cual tasa de inflación (mínima o máxima) se entraría a modificar la respuesta 1). Desarrollo: 1. Se calcula cuanto dinero se tendría al final del mes con cada una de las alternativas a) 250.000 + 250.000 (2/100) 250.000 + 5.000 $255.000 b) 250.000 + 4.750 $254.750 c) Primero se reajustan los $250.000, de acuerdo a la tasa de inflación. Con esta operación, el deudor le devuelve al acreedor la pérdida de poder adquisitivo que sufrió durante el período. 1
El término mutuamente excluyente indica que si emprendemos una de las alternativas, entonces no podremos emprender ninguna de las otras.
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250.000 + 250.000(0,016) 250.000 + 4.000 $254.000 Ahora se calculan los intereses sobre los $254.000. 254.000 + 254.000 (0,25/100) 254.000 + 635 $254.635 Por tanto, la mejor alternativa es la alternativa a). 2. Cifras en $ (ganancias) Alternativa Ganancia Bruta Costo de Oportunidad a) $5.000 $4.750 b) $4.750 $5.000 c) $4.635 $5.000 Cifras en tasa (rentabilidad) Alternativa a) b) c)
Ganancia Neta $250 –$250 –$365
Rentabilidad Bruta Tasa Costo Oportunidad 2,00% 1,90% 1,90% 2,00% 1,85% 2,00%
Ganancia Neta 0,10% –0,10% –0,15%
Por lo tanto, resulta evidente que la respuesta 1) es correcta, por cuanto –dado que todas las alternativas tienen el mismo nivel de riesgo– el evaluador debe elegir aquella que le otorgue la mayor ganancia o rentabilidad neta positiva, lo que implica necesariamente restarle a la ganancia o rentabilidad bruta aquella ganancia o rentabilidad que igualmente se habría obtenido si se hubiera llevado a cabo la mejor alternativa desechada (costo de oportunidad o tasa de rentabilidad alternativa).
3. En este caso, todas las alternativas cubren la pérdida de poder adquisitivo del período (250.000) (0,016) = $4.000, con ganancias brutas «después de inflación» de $1.000 la alternativa a), $750, la alternativa b) y $635 la alternativa c), manteniéndose la primacía de la alternativa a). No obstante, la única alternativa que considera un reconocimiento explícito de la pérdida de poder adquisitivo es la alternativa c), de tal forma que a tasas de inflación mayores que 1,6% su ganancia bruta «antes de inflación» será gradualmente mayor que $4.635, mientras las otras dos alternativas mantienen inalteradas sus ganancias brutas.
Por calcular, entonces, a qué tasa de inflación mensual f, la ganancia bruta de la alternativa c) iguala a la de la alternativa a).
[250.000 + 250.000 f ] (1,0025) = 255.000 250.000 (1 + f ) (1,0025) = 255.000 (1 + f ) 250.625 = 255.000 (1 + f ) = 255.000/250.625 f = 1,017456 – 1 f = 0,017456 = 1,75%
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Esto significa que con una tasa de inflación mensual superior a 1,75%, la alternativa c) superaría a la alternativa a) y pasaría a ser la mejor alternativa.
3. TASAS DE INTERÉS La tasa de interés es el precio pagado a los que prestan dinero, mientras que en el caso del capital social, los inversionistas esperan compensación en la forma de dividendos y capital ganado. El interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado como préstamo, la forma cómo se expresa el precio es la tasa de operación comercial. La unidad de tiempo es el año. La tasa se expresa en porcentajes (%). El interés que se paga por una suma de dinero prestado depende de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestado y con el tiempo de duración del préstamo. Asimismo, a la oferta monetaria y variables socioeconómicas, etc. Este concepto, no es nuevo, nuestro Señor Jesucristo lo explicó hace más de dos mil años en una de sus parábolas. A continuación la citaremos: “El reino de los cielos es también como un hombre, que al salir de viaje, llamó a sus siervos, y le confió sus bienes. A uno le dio cinco talentos, a otros dos, y al tercero uno. A cada uno según su capacidad. Y se fue lejos. El que había recibido cinco talentos, en seguida negoció con ellos, y ganó otros cinco. Del mismo modo el que había recibido dos, ganó otros dos. Pero el que había recibido uno, cavó en la tierra, y escondió el dinero de su señor. Después de mucho tiempo, vino el señor de aquellos siervos, y arregló cuentas con ellos. Llegó el que había recibido cinco talentos, trajo otros cinco talentos, y dijo: ‘Señor, cinco talentos me confiaste, aquí tienes otros cinco talentos que gané con ellos’. Su señor le dijo: ‘¡Bien, siervo bueno y fiel! Sobre poco has sido fiel, sobre mucho te pondré, entra en el gozo de tu Señor’. Llegó también el que había recibido dos talentos, y dijo ‘Señor, dos talentos me confiaste, aquí tienes otro dos talentos que gané con ellos’. Su Señor le dijo: ‘¡Bien, siervo bueno y fiel! Sobre poco has sido fiel, sobre mucho te pondré, entra en el gozo de tu señor’. Llegó también el que había recibido un talento, y dijo: ‘Señor, sabía que eres hombre duro, que siegas donde no sembraste, y juntas don de no esparciste, ‘y de miedo, fui y escondí tu talento en la tierra, aquí tienes lo que es tuyo’. Su Señor respondió: ‘Siervo malo y negligente, sabías que siego donde no sembré, y junto donde no esparcí. ‘Por eso debías haber dado mi dinero a los banqueros, y yo hubiera recibido lo mío con el INTERÉS. ‘Quitadle el talento y dadlo al que tiene diez talentos. ‘Porque al que tiene, le será dado, y tendrá en abundancia, y al que no tiene, aun lo que tiene, le será quitado. ‘Y al siervo inútil echadlo fuera, en las tinieblas, allí será el llanto y el crujir de dientes’. SAN MATEO 25:14-30. De esta manera, la tasa de interés es el porcentaje de variación entre un capital inicial (P) y un capital final ó monto (S) después de un periodo de tiempo es decir: i = S − P (1) P Pero S – P = I (interés), entonces: I i = (2) P
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Donde: “ I ” son los intereses que se generan “ P ” es el capital inicial (en el momento n=0) “ S ” es el capital final (en el momento n) “ i ” es la tasa de interés que se aplica “ n ” es el tiempo que dura la inversión Ejemplo Cálculo de la tasa de interés Si un banco concedió un préstamo de $10.000 y cobro $1.500 de interés después de un año, ¿cuál fue la tasa del período que el banco aplicó? Solución: Los datos son: i=? P = $10.000 I = $1.500 n = 1 año Reemplazando en la ecuación (2), tenemos:
i=
$1.500 = 0.15 ≈ 15% $10.000
El banco está cobrando una tasa anual del 15%. Actualmente el Banco Central de Reserva del Perú (BCRP) de acuerdo con su Ley Orgánica D.L. Nº 26123 del 29/12/92, dentro de sus atribuciones, puede establecer la tasa máxima de interés compensatorio, moratoria y legal pero solo para las operaciones ajenas al sistema financiero y las operaciones de este sistema serán determinadas por la libre competencia. El interés generado por un principal que se simboliza por la letra I está en función de múltiples variables, entre las cuales se encuentran: La magnitud del principal (capital) colocado o invertido. La tasa de interés implícita o explícita. El tiempo: a mayor tiempo, mayor interés para un mismo principal y una misma tasa de interés. El riesgo de la operación; se supone que mayor riesgo al principal le corresponde una mayor tasa de interés que genera un mayor interés. Otras variables de carácter económico, político, social, etcétera.
3.1. Capitalización del interés Si este proceso se da una sola vez durante la vigencia de la cuenta se presenta un régimen de interés monocapitalizado como el del interés simple; si ocurre múltiples veces, se trata de un Cálculo financiero
23
Universidad Peruana Unión
régimen de interés multicapitalizado como el del interés compuesto. Lo anterior se puede apreciar en la figura 1, así como con un ejemplo sencillo. Figura 1 Capitalización del interés INTERÉS
Única Capitalización
Múltiples Capitalizaciones
Interés Simple
Interés Compuesto
Ejemplo Comparación entre interés simple y compuesto Supongamos que podemos colocar durante 5 años un capital de $1.000 en dos bancos, el primero en interés simple y el segundo en interés compuesto, con una tasa del 10% anual en ambos casos. En el primer banco, cada año, el capital inicial produciría un interés de 1.000*10%=100. Así, al acabar el primer año tendríamos $1.100. Al final del segundo año (al no acumularse el interés) tendríamos $1.200 (el capital sobre el que calculamos el interés permanece constante $1.000, y al final del tercero $1.300, del cuarto $1.400 y del quinto $1.500. En el segundo banco el primer año obtendríamos un interés de 1.000*10%=100 y al acabar el primer año tendríamos $1.100. Para calcular el interés en el segundo año (al acumularse los intereses) tendríamos 1.100*10%=110, y al final del segundo año tendríamos $1.210. Al final del tercer año tendríamos $1.331, al final del cuarto $1.464,10 y al final del quinto $1.610,51. Como puede observarse en el ejemplo, el interés compuesto produce un mayor capital final que el interés simple para un mismo capital, duración y tanto.
4. MONTO O VALOR FUTURO (S) Si se conoce el capital inicial y el interés generado hasta determinado momento, el monto o valor futuro para ese tiempo se puede calcular con la siguiente fórmula: S = P + I (3)
Unidad I
24
PROESAD
Ejemplo Cálculo del monto o valor futuro (S) Si un banco concedió un préstamo de $10.000 y cobro $1.500 después de un año, ¿a cuánto asciende el monto o valor futuro? Solución: Los datos son: S=? P = $10.000 I = $1.500 Reemplazando en la ecuación (3), se tiene: S = 10.000 + 1.500 = $11.500 El monto o valor futuro asciende a $11.500.
5. INTERÉS COMERCIAL Y REAL Cuando el tiempo en un préstamo está dado en días, se vuelve necesario convertir la tasa anual, semestral, trimestral, cuatrimestral, etc., a una tasa de interés por día. Cuando la tasa anual, semestral, etc., se convierte a tasa diaria utilizando el año natural (365 días o 366, si el año es bisiesto2) como divisor en la fórmula del interés simple o del monto (valor futuro), el interés obtenido se llama interés real o interés exacto. Ahora, cuando se lleva la conversión utilizando como divisor el número 360, se dice que se está utilizando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés comercial o interés ordinario. A lo anterior se le conoce como año bancario, el cual se refiere a un período de 360 días. El año bancario tiene como submúltiplos, entre otros a los semestres, cuatrimestres, trimestres, bimestres, meses, quincenas y días bancarios, cuyo número de días se indica en la siguiente tabla: Período bancario
Año Semestre Cuatrimestre Trimestre Bimestre Mes Quincena Día 2
Número de días 360 180 120 90 60 30 15 1
Un año es bisiesto, cuando el mes febrero cuenta con 29 días. Esto sucede cada cuatro años.
Cálculo financiero
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5.1. ¿Qué tipo de interés se usa o se aplica en la práctica? El año comercial, y por ende el interés comercial, es usado por los bancos, bolsa de valores, bolsa de comercio, casas comerciales y demás instituciones financieras, debido a que el interés es mayor que el interés real. Los bancos acostumbran a calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días, pero para la duración del tiempo de préstamos a plazos menores que un año, cuentan los días efectivos calendarios.
6. PLAZO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS Desde hace muchos años, con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra suponer el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno. Observe que 360 días tiene los siguientes divisores: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 y 180. Estos divisores permiten un gran número de simplificaciones, muy útiles cuando se trabaja sin calculadora o computadora. Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. Es importante que el lector aplique sus costumbres locales en la solución de los problemas.
6.1. Días inicial y final Es importante mencionar que para calcular el período de tiempo comprendido entre dos fechas la primera se excluye y la segunda se incluye; esto porque según la legislación vigente para que un depósito o inversión genere intereses debe haber permanecido como mínimo un día en la institución financiera desde la fecha de su deposito como lo demostramos en el siguiente cuadro. Ejemplo Número de días: días inicial y final ¿Cuál será el tiempo transcurrido entre el 01 de agosto de 2003 y el 15 de setiembre de 2003? Solución: Mes Agosto Setiembre Total
Días 31 30
Días transcurridos 30 15 45
Observaciones Se excluye el 01 de agosto Se incluye el 15 de setiembre
Como puede observarse en el ejemplo, del 01 de agosto al 15 de setiembre de 2003 han transcurrido 45 días.
Unidad I
26
PROESAD
6.2. Fecha de vencimiento La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente. Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3 meses deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo préstamo se reciba a 90 días, deberá pagarse el 8 de junio, si la costumbre es contar solo el día final. Si la fecha final corresponde a un día festivo, la costumbre local indicará si el pago debe efectuarse el primer día laboral siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses. Para calcular el tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha final de períodos mayores a un año, la costumbre comercial es calcular el tiempo aproximado, computando los años de 360 días y los meses de 30 días. Y para períodos menores de un año, la costumbre comercial es contar los días calendarios que hay entre dos fechas. Veamos a continuación cada uno de ellos. Tiempo aproximado El número de días comerciales que transcurren, entre dos fechas, puede calcularse considerando los meses de 30 días y años de 360 días; y restando las fechas. Ejemplo Número de días: aproximados Calcular el número de días aproximados entre el 25 de marzo y el 15 de octubre del mismo año, utilizando días comerciales y restando las fechas. Solución: Considerando días comerciales En este caso, consideramos los meses de 30 días y el año de 360 días. Mes Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Total
Días 5 (30 - 25) 30 30 30 30 30 30 15 200
Restado las fechas Si queremos restar las fechas, podemos observar que los meses si se pueden restar fácilmente pero no lo días, entonces convertimos los meses y los días de tal forma que se puedan restar. Decimos, 10 meses 15 días equivale a 09 meses 45 días. Recuerde, estamos considerando los meses de 30 días. Una vez convertido se procede a restar la fechas:
Cálculo financiero
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Mes 10 03
Día 15 25
Mes 09 03 06
Día 45 25 20
De esto, 6 meses 20 días, equivale a (=6*30)+20 días) = 200 días. Tiempo exacto El número de días naturales que transcurren entre dos fechas, sin contar una de las dos, puede calcularse con la tabla de fechas siguiente: Día
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
1
1
32
60
91
121
152
182
2
2
33
61
92
122
153
3
3
34
62
93
123
154
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
Día
213
244
274
305
335
1
183
214
245
275
306
336
2
184
215
246
276
307
337
3
4
4
35
63
94
124
155
185
216
247
277
308
338
4
5
5
36
64
95
125
156
186
217
248
278
309
339
5
6
6
37
65
96
126
157
187
218
249
279
310
340
6
7
7
38
66
97
127
158
188
219
250
280
311
341
7
8
8
39
67
98
128
159
189
220
251
281
312
342
8
9
9
40
68
99
129
160
190
221
252
282
313
343
9
10
10
41
69
100
130
161
191
222
253
283
314
344
10
11
11
42
70
101
131
162
192
223
254
284
315
345
11
12
12
43
71
102
132
163
193
224
255
285
316
346
12
13
13
44
72
103
133
164
194
225
256
286
317
347
13
14
14
45
73
104
134
165
195
226
257
287
318
348
14
15
15
46
74
105
135
166
196
227
258
288
319
349
15
16
16
47
75
106
136
167
197
228
259
289
320
350
16
17
17
48
76
107
137
168
198
229
260
290
321
351
17
18
18
49
77
108
138
169
199
230
261
291
322
352
18
19
19
50
78
109
139
170
200
231
262
292
323
353
19
20
20
51
79
110
140
171
201
232
263
293
324
354
20
21
21
52
80
111
141
172
202
233
264
294
325
355
21
22
22
53
81
112
142
173
203
234
265
295
326
356
22
23
23
54
82
113
143
174
204
235
266
296
327
357
23
24
24
55
83
114
144
175
205
236
267
297
328
358
24
25
25
56
84
115
145
176
206
237
268
298
329
359
25
26
26
57
85
116
146
177
207
238
269
299
330
360
26
27
27
58
86
117
147
178
208
239
270
300
331
361
27
28
28
59
87
118
148
179
209
240
271
301
332
362
28
29
29
88
119
149
180
210
241
272
302
333
363
29
30
30
89
120
150
181
211
242
273
303
334
364
30
31
31
90
212
243
365
31
151
Unidad I
28
304
PROESAD
Para años bisiestos, febrero tiene 29 días y el número de cada día a partir del 1 de marzo, es uno más que el número dado en la tabla. Ejemplo Número de días: exactos Calcular el número de días naturales entre el 25 de marzo y el 15 de octubre del mismo año, utilizando días de cada mes y la tabla de fechas. Solución: Utilizando los días de cada mes En este caso, consideramos los meses de acuerdo a los números de días que le corresponden. Mes Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre
Días 6 (31 - 25) 30 31 30 31 31 30 15
Total
204
Utilizando las tablas de fechas En este caso, la solución es mucho más sencilla, simplemente nos ubicamos en la tabla de fecha y buscamos las fechas del problema. Encontramos en ella que para el 15 de octubre la tabla muestra 288 días y para el 25 de marzo 84 días. Se procede entonces a restar ambas fechas. Mes 15/Octubre 25/Marzo
Días 288 84
Diferencia
204
Se puede observar que en ambos casos el resultado es el mismo. Entre el 15 de marzo y el 15 de octubre hay 204 días exactos.
7. HORIZONTES Y SUBHORIZONTES TEMPORALES El horizonte temporal de una cuenta es el intervalo de tiempo que existe desde que se abre la cuenta hasta que se cierra; su plazo se simboliza con la letra n. n
Apertura de la cuenta
Cierre de la cuenta
Cálculo financiero
29
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Un subhorizonte temporal es un intervalo de tiempo dentro del horizonte temporal de la cuenta. Cuando el horizonte temporal se divide en subhorizontes temporales uniformes, su plazo se simboliza con la letra h. por ejemplo, en un préstamo que debe amortizarse en el plazo de 120 días, con cuotas cada 30 días, el horizonte temporal puede dividirse en cuatro subhorizontes uniformes; entonces se tiene: n = 120 días y h = 30 días. n = 120 días 0 h 30 h 60 h 90 =30 =30 =30
h =30
120
8. MÉTODOS DE AFECTACIÓN AL INTERÉS Y AL PRINCIPAL CUANDO SE REDUCE EL MONTO Cuando una deuda se amortiza con un pago, el monto de la misma se reduce en tal cantidad, pero los importes de sus componentes (interés y capital) pueden reducirse de acuerdo con diversos métodos. Por ejemplo, si a las 9:00 a.m. del día de hoy tengo una deuda por $660, compuesto de $600 de capital y $60 de interés, y durante el transcurso del día y antes de su término se realiza un pago de $300, entonces el monto se reducirá a $360 ($660 – $300), ¿a qué importes se reducen el interés y el principal? Al inicio del día Monto
Antes del término del día Pago Monto
$660 Principal 600
$300 Interés 60
Principal ?
$360 Interés ?
Principal ?
Interés ?
La respuesta a esta pregunta depende del método de afectación al interés y al principal cuando se reduce el monto por elegir: dos de los métodos más usados son los siguientes:
8.1. PPLI (Primero Principal Luego Interés) Si el importe del pago es menor o igual al principal al inicio del día, se aplica por completo para reducirlo; de lo contrario, se cancela por completo el principal y la diferencia rebaja el interés. Este método se usa en interés simple. En el ejemplo dado, si se usa el método PPLI, el pago de $300 se aplica por completo para rebajar el principal. Al inicio del día Monto
Antes del término del día Pago Monto
$660 Principal 600
$300 Interés 60
Principal 300
$360 Interés 0
Unidad I
30
Principal 300
Interés 0
PROESAD
8.2. PILP (Primero Interés Luego Principal) Si el importe del pago es menor o igual al principal al inicio del día, se aplica por completo para reducirlo; de lo contrario, se cancela por completo el interés y la diferencia rebaja el principal. Este método se usa en interés compuesto. En el ejemplo dado, si se usa el método PILP, el pago se aplica a $60 al interés y $240 al principal. Al inicio del día Monto
Antes del término del día Pago Monto
$660 Principal 600
$300 Interés 60
Principal 300
$360 Interés 60
Principal 300
Interés 0
Cálculo financiero
31
GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________ 4. ______________ _____________________________________________
¿ ? ¿ ?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor. 1. Usted deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 que generó $225 de interés en el plazo de un mes, ¿cuál fue la tasa de interés de ese período? Rpta. 5% mensual 2. El BWS le concedió un préstamo de $5.000 y cobró $500 de interés después de seis meses, ¿cuál fue la tasa del período que el banco aplicó? Rpta. 10% semestral 3. Usted deposita en una cuenta corriente la suma de $2.000 y lo mantiene durante un trimestre; la tasa de interés para ese período de tiempo ascendió a 5%. ¿Cuál fue el interés generado al término del trimestre? Rpta. $100 4. Cierta persona deposita en una cuenta del Interbank la suma de $8.000 y lo mantiene durante un año; la tasa de interés para ese período de tiempo ascendió a 12%. ¿Cuál fue el interés generado al término del trimestre? Rpta. $960 5. Usted deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 y lo mantiene durante un mes. Al término de dicho plazo usted cuenta con un monto de $4.725. Calcule la tasa de interés que el banco le pagó. Rpta. 5% mensual 6. Kamila deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 y lo mantiene durante un mes. Si el banco paga una tasa de interés del 5%, ¿cuál es el monto actual de la cuenta? Rpta. $4.725
32
7. Calcular el número de días naturales entre el 25 de marzo de 1997 y el 15 de octubre de 1998. Rpta. 569 días 8. Un padre de familia ha depositado en una cuenta de ahorros la suma de $7.500, en el Banco Bovespa, del día 01 de agosto al 15 de noviembre del año 2002, a una tasa de interés simple del 45%. Posteriormente ésta disminuyó a 32% a partir del 15 de setiembre, y a partir del 1 de noviembre ésta se incrementó a 36%. ¿Cuántos días transcurre en estos períodos? Rpta. 45 días, 45 días y 14 días 9. Siendo las 9:00 a.m. del día de hoy, tengo una deuda por $1.500, compuesto de $1.250 de capital y $250 de interés, y durante el transcurso del día y antes de su término se realizó un pago de $500, ¿a cuánto se reduce el principal y el interés si el acreedor utiliza el método PPLI? Rpta. $750 principal y $250 interés 10. ¿A cuánto se reduce el principal y el interés si el acreedor utiliza el método PILP? Rpta. $1.000 principal y $0 interés
33
UNIDAD II UNIDAD II LEYES FINANCIERAS EN LA PRÁCTICA Sesión Nº 2: Interés simple Sesión Nº 3: Interés compuesto
COMPETENCIAS CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL Identifican las distintas Aplican las leyes finanleyes financieras. cieras en el desarrollo de las operaciones financieras.
ACTITUDINAL Respetan las opiniones y los pensamientos de sus compañeros y profesores, dentro y fuera del aula.
2
PROESAD
Sesión
INTERÉS SIMPLE
1. INTRODUCCIÓN Existen dos modalidades básicas de interés: el interés simple y el interés compuesto, los cuales difieren en la base sobre la cual se calculan los intereses devengados. En este capítulo, nos ocuparemos del interés simple. El interés simple es el importe que produce un capital generado por una tasa de interés nominal j durante un plazo determinado, en una operación cuya característica fundamental es que dicho capital permanece constante hasta el vencimiento de la misma. La capitalización, que es la adición del interés ganado al capital original, se produce únicamente al término de todo el plazo de la operación. La capitalización simple es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (períodos menores de un año), ya que para períodos más largos se utiliza la “capitalización compuesta o interés compuesto”, que veremos en el siguiente capítulo.
2. INTERÉS CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL CONSTANTE Se supone que durante el horizonte temporal de la cuenta a interés simple: • El principal permanece invariable antes del cierre de la cuenta. • La tasa de interés nominal j anunciada que se aplica sobre el principal no sufre variaciones. La fórmula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguiente: I = P*j*n (1) Donde: “ I ” son los intereses que se generan “ P ” es el capital inicial o principal (en el momento t=0) “ j ” es la tasa de interés nominal que se aplica “ n ” es el tiempo que dura la inversión
Cálculo financiero
37
Universidad Peruana Unión
La fórmula anterior calcula el interés simple cuando el principal y la tasa de interés nominal no varían durante el tiempo, cuyo resultado es proporcional al tiempo y al importe del principal; lo que significa que a mayor plazo de vigencia de la cuenta, se percibe mayor interés. Al utilizar la fórmula (1), se deben tener en cuenta dos aspectos básicos: 1. La j se debe utilizar en forma decimal, es decir, sin el símbolo de porcentaje (%). Recuerde que para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre 100. 2. La tasa de interés y el tiempo debe estar expresados en la misma unidad de tiempo. Si la tasa es anual, el tiempo debe ir en año, si la tasa es mensual, el tiempo irá en meses, etc. Dado que la tasa de interés nominal puede referirse a diferentes plazos, se designará con las siguientes siglas: Tabla 1 Plazos de la tasa de interés nominal Tasa nominal Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Diaria
Siglas TNA TNS TNC TNT TNB TNM TNQ TND
Ejemplo 1 Cálculo del interés (I) Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de 30%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Solución: Los datos son: I=? P = $5.000 TNA = 30% n = 1 año La unidad de tiempo de j y n coincide. Por tanto, reemplazando los valores en la ecuación (1) se tiene: I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.500 Carlos pagará al final del plazo $1.500 de interés.
Unidad II
38
PROESAD
Ejemplo 2 Cálculo del interés (I) Luis Alberto solicita un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses, a una TNS de 18%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Solución: Los datos son: I=? P = $10.000 TNS = 18% n = 4 meses La unidad de tiempo de j y n no coincide. Por tanto, antes de sustituir es necesario convertir la TNS a una TNM. Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene: I = 10.000 * 0,18 *
4 = $1.200 6
Luis Alberto pagará al final del plazo $1.200 de interés. Ejemplo 3 Cálculo del interés (I) ¿De qué interés simple podrá disponerse el 27 de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000 a una TNM del 2%? Solución: En este caso, contando los días con la tabla de fechas, encontramos que el número de días es de 287. Por tanto, sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene: I = 2.000 * 0, 02 *
287 = $382, 67 30
Se podrá disponer de un interés de $382,67. A continuación, veremos algunos ejemplos sobre interés simple, donde se nos pide hallar, ya no el interés (I), sino el capital inicial (P), la tasa de interés (j) y el tiempo (n).
Cálculo financiero
39
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2.1. Calculando el capital inicial o principal (P) La fórmula que nos sirve para calcular el capital inicial o principal: P =
I (2) j*n
Ejemplo 1 Cálculo del capital inicial (P) Por un préstamo que se solicitó al BWS a pagar en un año, Carlos Portanova pagó $1.500 de interés, ¿qué cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TNA del 30%. Solución: Los datos son: P=? TNA = 30% I = $1.500 n = año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene: P=
1.500 = $5.000 0, 30 * 1
Carlos pidió prestado la suma de $5.000. Ejemplo 2 Cálculo del capital inicial (P) ¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por Luis Alberto al BWS a pagar en cuatro meses a una TNS de 18%, si el banco durante dicho período me cobró un interés de $1.200? Solución: Los datos son: P=? TNS = 18% I = 1.200 n = 4 meses Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
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1.200 = $10.000 P= 4 0, 18 * 6 El préstamo solicitado asciende a $10.000. Ejemplo 3 Cálculo del capital inicial (P) ¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 13 de febrero a una TNM del 2%, si para el 27 de noviembre había ganado $382,67 de interés? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene: P=
382, 67 = $2.000 287 0, 02 * 30
La inversión efectuada el 13 de febrero asciende a $2.000, el mismo que devenga un interés de $382,67 en 287 días.
2.2. Calculando la tasa de interés (j) La fórmula a utilizar para calcular la tasa de interés es la siguiente: j =
I (3) P*n
Ejemplo 1 Cálculo de la tasa de interés (j) Por un préstamo de $5.000 que se solicitó al BWS a pagar en un año, Carlos Portanova pagó $1.500 de interés, ¿qué TNA aplicó el banco? Solución: Los datos son: j=? P = $5.000 I = $1.500 n = 1 año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (3), se obtiene:
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=j
1.500 = 30% 5.000 * 1
El banco aplicó una TNA de 30%. ¿Por qué una TNA? Porque en la fórmula n es 1 (anual), por tanto, j debe ser anual. Recuerde tanto j como n deben estar en la misma unidad de tiempo. Ejemplo 2 Cálculo de la tasa de interés (j) Luis Alberto solicitó un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses. Si el banco le cobró $1.200 de interés, ¿qué TNS cobró el banco? Solución: Los datos son: j=? P = $10.000 I = $1.200 n = 4 meses Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (3), se tiene: =j
1.200 = 18% 4 10.000 * 6
El banco aplicó una TNS de 18%. Ejemplo 3 Cálculo de la tasa de interés (j) El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000. Al 27 de noviembre había ganado intereses por $382,67, ¿qué TNM obtuvo el inversionista? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (3), se obtiene: =j
382, 67 = 2% 287 2.000 * 30
El inversionista obtuvo una TNM de 2%.
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2.3. Calculando el tiempo (n) La fórmula que nos permite para calcular el tiempo (n) es la siguiente: n =
I (4) P*i
Ejemplo 1 Cálculo del tiempo (n) Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a una TNA de 30%. Si el banco cobra $1.500 de interés, ¿cuántos años duró la deuda? Solución: Los datos son: n=? TNA = 30% P = $5.000 I = $1.500 Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (4), se obtiene: = n
1.500 = 1 5.000 * 0, 30
La deuda tuvo una duración de un año. Ejemplo 2 Cálculo del tiempo (n) Luis Alberto solicitó un préstamo al BWS por $10.000 a una TNS de 18%. Si el banco le cobró $1.200 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación? Solución: Los datos son: n=? TNS = 18% P = $10.000 I = $1.200 Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (4), se tiene:
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= n
1.200 = 4 0, 18 10.000 * 6
La operación duró cuatro meses. Ejemplo 3 Cálculo del tiempo (n) El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000 a una TNM de 2%. Si pasado cierto tiempo he ganado $382,67 de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene: = n
382, 67 = 287 0, 02 2.000 * 30
La inversión se mantuvo 287 días.
3. INTERÉS CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA NOMINAL VARIABLE En los ejemplos anteriores se calculo el interés cuando el principal y la tasa nominal son constantes, pero ¿cómo debe calcularse el interés simple cuando una persona coloca una inversión a un plazo fijo al cual no pueden efectuársele cargos o abonos luego de la apertura y antes del término del horizonte temporal, mientras que la tasa de interés está sujeta a las variaciones del mercado? Cuando en el horizonte temporal de la cuenta el principal no cambia y se produce variaciones en la magnitud de la tasa de interés nominal, cuyos respectivos plazos pueden cambiar, por ejemplo de TNA a TNS a TNM, etc. (j tiene un comportamiento variable), el interés simple se obtiene al modificar de manera conveniente F, de acuerdo con el plazo de j para que n pueda incluir los plazos de vigencia de las tasas variables durante el horizonte temporal. La fórmula que calcula el interés generado en un horizonte temporal cuando las tasas o los períodos de tasa son variables es la siguiente: z h I = P∑ jk ∗ k (5) Fk k =1 Donde:
“z” es el número de subhorizontes, donde la j no sufre variaciones “jk” es la tasa nominal anunciada vigente en k-ésimo horizonte “nk” es el número de periodos de la tasa jk en k-ésimo horizonte “F” es el plazo de la tasa de interés nominal
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Ejemplo 1 Cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa nominal variable El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Calcule el interés en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: I=? P = $5.000 TNA1 = 28% TNA2 = 25% TNA3 = 22% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Según la tabla de fechas, el horizonte temporal total de la operación es de 287 días. Y dentro de dicho horizonte encontramos tres subhorizontes; el primero de ellos de 146 días; el segundo de 73 días y el tercero de 68 días. Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene: 146 73 68 I = 5.000 * 0, 28 * + 0, 25 * + 0, 22 * = $1.029, 03 630 360 360 El interés generado asciende a $1.029,03. Ejemplo 2 Cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa nominal variable El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes: Tasa A partir del TNA 28,0% 13/02 TNS 12,5% 09/07 TNT 5,5% 20/09 Calcule el interés en la fecha de cierre.
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Solución: Los datos son: I=? P = $5.000 TNA1 = 28% TNS2 = 12,5% TNT3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Este problema es el mismo al ejemplo anterior, en cuanto a horizonte y subhorizontes temporales. Un horizonte temporal total de 287 días y tres subhorizontes de 146, 73 y 68 días. Lo que cambia son las tasas nominales, manteniéndose el principal constante. Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene: 146 73 68 I = 5.000 * 0, 28 * + 0, 125 * + 0, 055 * = $1.029, 03 360 180 90 Se puede observar que el resultado es el mismo al del ejemplo anterior. Ante esto surge una pregunta: ¿cómo puede la operación tener el mismo resultado si las tasas nominales son variables? La respuesta es que dichas tasas son equivalentes. Por ejemplo, la TNA de 25% del ejemplo anterior es equivalente a la TNS de 12,5% del ejemplo actual y la TNA de 22% es equivalente a la TNT de 5,5%. Para calcular la TNS equivalente de una TNA de 25%, se procede de la siguiente manera: TNS =
0, 25 = 12, 5% 2
Y para calcular la TNT equivalente de una TNA de 22%, se procede de la siguiente manera: TNS =
0, 22 = 5, 5% 4
De lo anteriormente expuesto, se concluye que el interés generado asciende a $1.029,03.
4. MONTO O VALOR FUTURO SIMPLE CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL VARIABLE A la suma del capital más el interés simple ganado se le llama monto simple o valor futuro simple, y se simboliza mediante la letra S. por tanto, S = P + I (6)
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Al sustituir la ecuación (1) en la (5) se obtiene:
S = P + Pjn
Factorizando la expresión anterior se tiene: S = P[1 + jn] (7) Las ecuaciones (6) y (7) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo n, a una tasa de interés de j% por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad S al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Recuerde un dólar hoy vale más que un dólar mañana. Ejemplo 1 Cálculo del monto o valor futuro (S) Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de 30%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo? Solución: Los datos son: S=? P = $5.000 TNA = 30% n = 1 año El monto o valor futuro se puede obtener de dos maneras, veamos cada una de ellas: Método 1 En primer lugar hallamos el interés, el cual es como sigue: I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.500 Utilizando la ecuación (6) para calcular el valor futuro, se tiene: S = 5.000 * 0,30 * 1 = $6.500 Método 2 El monto o valor futuro se obtiene directamente utilizando la ecuación (7): S = 5.000[1 + 0,30 * 1] = $6.500 Carlos pagará al final del plazo un monto de $6.500.
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Ejemplo 2 Cálculo del monto o valor futuro (S) Luis Alberto solicita un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses, a una TNS de 18%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo? Solución: Los datos son: S=? P = $10.000 TNS = 18% n = 4 meses Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (7), se obtiene: 4 S = 10.000 1 + 0, 18 * = $11.200 6 Luis Alberto pagará al final del plazo un monto de $11.200. Ejemplo 3 Cálculo del monto o valor futuro (S) ¿De qué monto podrá disponerse el 27 de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000 a una TNM del 2%? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (6), se obtiene: 287 = $2.382, 67 S = 2.000 1 + 0, 02 * 30 Se podrá disponer de un monto de $2.382,67.
5. MONTO O VALOR FUTURO SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA NOMINAL VARIABLE El monto final cuando se presentan variaciones en la tasa nominal y el principal constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente: z h S = P 1 + ∑ jk * k (8) Fk k =1
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Ejemplo 1 Cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa nominal variable El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Calcule el monto en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: S=? P=$ TNA1 = 28% TNA2 = 25% TNA3 = 22% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene: 146 73 68 = $6.029, 03 S = 5.000 1 + 0, 28 * + 0, 25 * + 0, 22 * 360 360 360 El monto asciende a $6.029,03. Ejemplo 2 Cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa nominal variable El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes: Tasa A partir del TNA 28,0% 13/02 TNS 12,5% 09/07 TNT 5,5% 20/09 Calcule el monto en la fecha de cierre.
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Solución: Los datos son: S=? P = $5.000 TNA1 = 28% TNS2 = 12,5% TNT3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene: 146 73 68 S = 5.000 1 + 0, 28 * + 0, 125 * + 0, 055 * = $6.029, 03 360 180 90 El monto asciende a $6.029,03.
6. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL SIMPLE CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL CONSTANTE El siguiente ejemplo servirá para mostrar el significado del concepto de valor presente, llamado también valor actual. Suponga que usted, el día de hoy recibe un préstamo de $20.000 a 10 meses de plazo y con una tasa de interés simple de 2% mensual. El monto a pagar será: S = 20.000[1 + 0,02 * 10] = $24.000 Por el capital prestado usted deberá pagar $24.000 dentro de 10 meses. $24.000 es el monto o valor futuro (S) de $20.000. Recíprocamente, se dice que $20.000 es el valor presente o valor actual (P) de $24.000. La formula para hallar el valor actual simple, se puede hallar despejando P en la ecuación (7): P = S 1 (9) 1 + jn Ejemplo 1 Cálculo del valor presente o valor actual (P) Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS a pagar en un año. Si el banco cobra una TNA de 30% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $6.500, ¿qué principal fue lo que solicitó Carlos al BWS?
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Solución: Los datos son: P=? S = $6.500 TNA = 30% n = 1 año Sustituyendo los valores en la ecuación (9), se tiene: 1 P = 6.500 = $5.000 1 + 0, 30 * 1 Carlos solicitó al BWS la suma de $5.000.
Ejemplo 2 Cálculo del valor presente o valor actual (P) Luis Alberto solicita un préstamo al BWS a pagar en cuatro meses. Si el banco cobra una TNS de 18% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $11.200, ¿qué principal fue solicitado por Luis Alberto al BWS? Solución: Los datos son: P=? S = $11.200 TNS = 18% n = 4 meses Sustituyendo los valores en la ecuación (9), se tiene: 1 P = 11.200 = $10.000 4 1 + 0, 18 * 6 Luis Alberto pidió prestado la suma $10.000 al BWS.
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Ejemplo 3 Cálculo del valor presente o valor actual (P) ¿Qué principal tuvo que ser depositado el 13 de febrero, si fue invertido a una TNM del 2%, para que el 27 de noviembre tenga un monto de $2.382,67? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (9), se obtiene: 1 P = 2.382, 67 = $2.000 1 + 0, 02 * 287 30 El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $2.000.
7. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA NOMINAL VARIABLE El valor presente o valor actual cuando se presentan variaciones en la tasa nominal y el principal constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente: 1 (10) P = S z h 1 + ∑ jk * k Fk k =1 Ejemplo 1 Cálculo del valor actual cuando el principal es constante y la tasa nominal variable El 13 de febrero se efectúa un depósito bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre, la misma que ascendía a un monto de $6.029,03. Calcule la cantidad que tuvo que depositarse el 13 de febrero. Solución: Los datos son: P=? S = $6.029,03 TNA1 = 28% TNA2 = 25%
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TNA3 = 22% h1 = 146 h1 = 73 h1 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (10) se tiene: 1 P = 6.029, 03 = $5.000 1 + 0, 28 * 146 + 0, 25 * 73 + 0, 22 * 68 360 360 360 El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $5.000. Ejemplo 2 Cálculo del valor actual cuando el principal es constante y la tasa nominal variable El 13 de febrero se abre una cuenta en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo el monto de la cuenta asciende a $6.029,03; asimismo, se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes: Tasa A partir del TNA 28,0% 13/02 TNS 12,5% 09/07 TNT 5,5% 20/09 Calcule la cantidad que fue depositado en el banco. Solución: Los datos son: P=? S = $6.029,03 TNA1 = 28% TNS2 = 12,5% TNT3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (10) se tiene: 1 P = 6.029, 03 = $5.000 1 + 0, 28 * 146 + 0, 125 * 73 + 0, 055 * 68 360 180 90 La cantidad que fue depositado en el banco asciende a $5.000.
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8. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES Es usual que deudores y acreedores hagan un convenio para refinanciar sus deudas, es decir para reemplazar un conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro conjunto de obligaciones que le sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas. En las operaciones financieras y mercantiles suelen presentarse situaciones en las cuales deudores y acreedores –por convenir a sus intereses– se ponen de acuerdo para cambiar las condiciones pactadas originalmente, lo que genera nuevas relaciones contractuales, como sucede en:
Refinanciación de deudas. Sustitución de varias deudas que vencen en fechas diferentes, por un solo pago. Pagos anticipados con relación a una o varias fechas de vencimiento prefijadas. Prórrogas de vencimiento de plazos pactados, etcétera.
Para facilitar el planteamiento y resolución de este tipo de situaciones, se utiliza una gráfica conocida como diagrama de tiempo el cual consiste en una línea recta horizontal en la que generalmente se anotan las fechas y cantidades originales por un lado y las que las sustituyen, por el otro lado de la recta. Todas las cantidades que aparecen en el diagrama de tiempo, se trasladan mediante las fórmulas de interés simple, hasta una fecha común que es conocida como fecha focal. En este punto se igualan los valores de la deuda original con los de la nueva estructura de las obligaciones. Al igualar las dos cantidades se obtendrá la ecuación de valor. La solución de este tipo de problemas se logra cuando se resuelva la ecuación de valor para la variable que en ella aparece como incógnita. Esta solución variará un poco de acuerdo a la ubicación de la fecha focal. Esto es cierto solo en el caso de interés simple. Por tanto, en el interés simple, las ecuaciones de valor se plantean con una tasa nominal j o tasa de interés simple y si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento, como sí ocurre con el interés compuesto. Ejemplo 1 Ecuaciones de valor equivalentes Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente manera: $7.200 en este momento y $13.400 dentro de dos meses. Si desea pagar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la TNA es de 24,36%? Solución: En primer lugar es necesario establecer la fecha focal, ya que no fue establecido en el enunciado. Si el deudor desea saldar su deuda el día de hoy, no deberá pagar $20.600 que es la suma de (7.200 + 13.400), pues los $13.400 son un valor futuro (vencen dentro de dos meses), mientras que los $7.200 vencen hoy (valor presente). Dos o más cantidades no se pueden sumar mientras no coincidan, en el tiempo, sus valores de vencimiento. Lo que se puede hacer es calcular el valor presente de los $13.400 y solo entonces, podríamos sumarlos con los $7.200. Por tanto, el día de hoy parece una fecha focal “natural” en este problema; aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal. Unidad II
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El diagrama de tiempo sería el siguiente: Deuda original $7.200
$13.400
0 x
2
meses
Deuda propuesta
El 0 representa el momento actual o presente y X representa la cantidad total por pagar el día de hoy para saldar la deuda; esto es, el pago propuesto. La cantidad indica que el valor futuro de $13.400 se traslada al momento actual, debido a que este punto se ha tomado como fecha focal. Trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor actual del monto, dos meses antes de su vencimiento. Esto es: 1 P = 13.400 = $12.877, 19 1 + 0, 2436 * 60 360 Al trasladar el monto (valor futuro) a la fecha focal, todas las cantidades (7.200, 12.877,19 y X) se encuentran, ya en una fecha común en la que es posible su comparación y, por tanto, se puede plantear la ecuación de valor siguiente: Valor total de las deudas = Valor total de las deudas Originales propuestas Esto es: 1 7.200 + 13.400 =X 1 + 0, 2436 * 60 360 X = $20.077,19 Esta persona tendrá que pagar $20.077,19 el día de hoy y saldar así la deuda. Anteriormente, se sabía que el resultado depende de la localización de la fecha focal y que si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento. Para demostrar esta afirmación, consideremos ahora como fecha focal al final de los primeros 30 días; esto es, el primer mes. En este caso se debe obtener el valor futuro de $7.200 por 1 mes; el valor futuro de X por 1 mes; en cambio a los $13.400 le obtenemos su valor presente por 1 mes. La ecuación de valor sería:
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30 30 1 + 7.200 1 + 0, 2436 * 13 . 400 = X 1 + 0, 2436 * 30 360 360 1 + 0, 2436 * 360 7.346, 16 + 13.133, 39 = X [1, 0203] X=
20.479, 55 = 20.072, 09 1, 0203
Se observa que en este caso el resultado varía. Esto puede suceder, de hecho sucede, utilizando interés simple.
Ejemplo 2 Ecuaciones de valor equivalentes El día 29 de setiembre la empresa Los Amigos S.A.C., tiene una deuda con el Banco Santander de $4.000 que vence el 15 de octubre y otra deuda de $5.000 que vence el 15 de noviembre. Los Amigos S.A.C., renegoció con el banco y consolidó sus deudas en una sola cuenta a interés simple con vencimiento al 30 de diciembre del mismo año, a una TNA constante de 24%. Se requiere saber el monto que cancelará Los Amigos S.A.C. el 30 de diciembre. Solución: En el problema el día 30/12 parece una fecha focal “natural”, aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal. Si elegimos como fecha focal el 30/12, entonces la deuda de $4.000 que vence el 15/10 y la deuda de $5.000 que vence el 15/11, la tenemos que trasladar hasta la fecha focal. Por tanto, se puede plantear la siguiente ecuación de valor: 76 45 =X + 5.000 1 + 0, 24 * 4.000 1 + 0, 24 * 360 360 X = $9.352, 67 Los Amigos S.A.C., tendrá que pagar el 30 de diciembre la suma de $9.352,67.
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Ejemplo 3 Ecuaciones de valor equivalentes Kamila Romero solicitó en préstamo $4.000 que se registra en una cuenta a interés simple que genera una TNM de 2% para cancelarlo dentro de 90 días. La señorita Romero se adelanta al vencimiento del préstamo y amortiza $1.800 el día 25 y $1.000 el día 75, ¿cuánto deberá pagar el día 90 para cancelar su deuda? Solución: Como es una operación a interés simple en la que debe haber una sola capitalización, la ecuación de valor equivalente debe plantearse con la fecha focal ubicada al final del horizonte temporal (día 90). Para dar solución al problema, se plantea la ecuación de valor siguiente: 90 65 15 4.000 1 + 0, 02 * + 1.800 1 + 0, 02 * + 1.000 1 + 0, 02 * + X 30 30 30 4240 = 2.888 + X X = $1.352
Al final de plazo (en el día 90) deberá pagarse el importe de $1.352 para cancelar la deuda.
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GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________ 4. ______________ _____________________________________________
¿ ? ¿ ?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor. Interés con principal y tasa nominal constante 1. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a pagar en un año, a una TNA de 25%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Rpta. $625 2. El Universo S.A.C., solicita un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses, a una TNC de 10%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Rpta. $562,50 3. ¿De qué interés simple podrá disponerse el 20 de diciembre, si el 30 de marzo se invirtió $5.000 a una TNT del 5%? Rpta. $736,11 4. Por un préstamo que se solicitó al BBVA a pagar en un año, Carito pagó $625 de interés, ¿qué cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TNA del 25%. Rpta. $2.500 5. ¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por El Universo S.A.C. al Interbank a pagar en tres meses a una TNC de 10%, si el banco durante dicho periodo me cobró un interés de $562,50? Rpta. $7.500 6. ¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 30 de marzo a una TNT del 5%, si para el 20 de diciembre se contaba con $736,11 de interés? Rpta. $5.000
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7. Por un préstamo de $2.500 que se solicitó al BBVA a pagar en un año, Carito pagó $625 de interés, ¿qué TNA aplicó el banco? Rpta. TNA de 25% 8. El Universo S.A.C. solicitó un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses. Si el banco le cobró $562,50 de interés, ¿qué TNC cobró el banco? Rpta. TNC de 10% 9. El 30 de marzo se efectúo una inversión por $5.000. Al 20 de diciembre había ganado intereses por $736,11, ¿qué TNT obtuvo el inversionista? Rpta. TNT de 5% 10. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a una TNA de 25%. Si el banco nos cobra $625, ¿cuántos años duró la deuda? Rpta. 1 año 11. El Universo S.A.C. solicitó un préstamo al Interbank por $7.500 a una TNC de 10%. Si el banco le cobró $562,50 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación? Rpta. 3 meses 12. El 30 de marzo se efectúo una inversión por $5.000 a una TNT de 5%. Si pasado cierto tiempo he ganado $736,11 de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión? Rpta. 265 días Interés con principal constante y tasa nominal variable 13. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000 bajo un régimen de interés simple. La TNS vigente al momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y a 13% el 25 de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, calcule el interés en la fecha de cierre. Rpta. $2.503,33 14. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000, en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del TNA 30,0% 30/03 TNS 14,0% 09/07 TNT 6,5% 25/10
Calcule el interés en la fecha de cierre. Rpta. $2.503,33
Monto o valor futuro simple con principal y tasa nominal constante 15. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a pagar en un año, a una TNA de 25%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo? Rpta. $3.125 16. El Universo S.A.C. solicita un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses, a una TNC de 10%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo? Rpta. $8.062,50 17. ¿De qué monto podrá disponerse el 20 de diciembre, si el 30 de marzo se invirtió $5.000 a una TNT del 5%? Rpta. $5.736,11
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Monto o valor futuro simple con principal constante y tasa nominal variable 18. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000 bajo un régimen de interés simple. La TNS vigente al momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y a 13% el 25 de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, calcule el monto en la fecha de cierre. Rpta. $14.503,33 19. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000, en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del TNA 30,0% 30/03 TNS 14,0% 09/07 TNT 6,5% 25/10
Calcule el monto en la fecha de cierre. Rpta. $14.503,33
Valor presente o valor actual simple con principal y tasa nominal constante 20. Carito solicita un préstamo al BBVA a pagar en un año. Si el banco cobra una TNA de 25% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $3.125, ¿qué principal solicitó Carito al BBVA? Rpta. $2.500 21. El Universo S.A.C. solicita un préstamo al Interbank a pagar en tres meses. Si el banco cobra una TNC de 10% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $8.062,50, ¿qué principal fue solicitado por El Universo S.A.C. al Interbank? Rpta. $7.500 22. ¿Qué principal tuvo que ser depositado el 30 de marzo, si fue invertido a una TNT del 5%, para que el 20 de diciembre tenga un monto de $5.736,11? Rpta. $5.000 Valor presente o valor actual simple con principal constante y tasa nominal variable 23. El 30 de marzo se efectúa un depósito bajo un régimen de interés simple. La TNS vigente al momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y a 13% el 25 de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, la misma que ascendía a un monto de $14.503,33. Calcule la cantidad que tuvo que depositarse el 30 de marzo. Rpta. $12.000 24. El 30 de marzo se abre una cuenta en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo el monto de la cuenta asciende a $14.503,33; así mismo, se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del TNA 30,0% 30/03 TNS 14,0% 09/07 TNT 6,5% 25/10
Calcule la cantidad que fue depositado en el banco. Rpta. $12.000
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Ecuaciones de valor equivalentes 25. Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente manera: $5.200 en este momento y $5.200 dentro de dos meses. Si desea pagar su deuda completamente dentro de 30 días, ¿cuánto tendrá que pagar, si la TNA es de 20%? Rpta. $10.401,42 26. Textiles Pacífico S.A.C. tiene una deuda con el BSHC una deuda de $7.500 que vence el 15 de marzo y otra deuda de $12.500 que vence el 15 de abril. La empresa renegoció con el banco y consolidó sus deudas en una sola cuenta a interés simple con vencimiento al 25 de abril del mismo año, a una TNT constante de 5%. Se requiere saber el monto que cancelará Textiles Pacífico S.A.C. el 25 de abril. Rpta. $20.240,27 27. Verónica Kamila solicitó en préstamo $2.500 que se registra en una cuenta a interés simple que genera una TNT de 8% para cancelarlo dentro de 90 días. La señorita Verónica se adelanta al vencimiento del préstamo y amortiza $500 el día 30 y $1.000 el día 70, ¿cuánto deberá pagar el día 90 para cancelar su deuda? Rpta. $1.155,55
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3
PROESAD
Sesión
INTERÉS compuesto
1. INTRODUCCIÓN El interés es compuesto si, a intervalos de tiempo preestablecidos, el interés vencido es agregado al capital por lo que también gana intereses. Es decir, los intereses generados en cada período se integran al capital, y este monto gana intereses al siguiente período. Su característica fundamental es que el interés generado en cada período de interés se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geométrico, a diferencia del interés simple, donde su crecimiento es lineal o proporcional al tiempo.
2. INTERÉS CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE La fórmula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente: I = P[(1 + i)n - 1]
(1)
Donde: “ i ” es la tasa de interés efectiva que se aplica La fórmula anterior calcula el interés compuesto cuando el principal y la tasa de interés efectiva no varían durante el tiempo, cuyo resultado es proporcional al tiempo y al importe del principal; lo que significa que a mayor plazo de vigencia de la cuenta se percibe mayor interés. Al utilizar la fórmula (1), se deben tener en cuenta dos aspectos básicos: 1. La i se debe utilizar en forma decimal, es decir, sin el símbolo de porcentaje (%). Recuerde que para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre 100. 2. La tasa de interés y el tiempo debe estar expresados en la misma unidad de tiempo. Si la tasa es anual, el tiempo debe ir en año, si la tasa es mensual, el tiempo irá en meses, etc.
Cálculo financiero
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Dado que la tasa de interés compuesta o tasa de interés efectiva puede referirse a diferentes plazos, se designará con las siguientes siglas: Tabla 1 Plazos de la tasa de interés nominal Tasa nominal Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Diaria
Siglas TEA TES TEC TET TEB TEM TEQ TED
Ejemplo 1 Cálculo del interés (I) El BIF otorgó un préstamo a una empresa local por $10.000 para que lo devuelva en un año, a una TEA de 25%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Solución: Los datos son: I=? P = $10.000 TEA = 25% n = 1 año La unidad de tiempo de i y n coincide. Por tanto, reemplazando los valores en la ecuación (1) se tiene: I = 10.000[(1+0,25) - 1] = $2.500 Esto significa que la empresa al final del plazo deberá pagar por concepto de intereses la suma de $2.500.
Ejemplo 2 Cálculo del interés (I) Carrusel E.I.R.L., solicita un préstamo al Interbank por $10.000 pagar en cinco meses, a una TES de 18%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
Unidad II
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PROESAD
Solución: Los datos son: I=? P = $10.000 TES = 18% n = 5 meses Reemplazando los valores en la ecuación (1) se tiene: 150 I = 10.000 (1 + 0, 28 )180 − 1 = $1.478, 94
Esto significa que al final del plazo Carrusel E.I.R.L. deberá pagar por concepto de intereses la suma de $1.478,94.
Ejemplo 3 Cálculo del interés (I) ¿De qué interés compuesto podrá disponerse el 27 de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000 a una TEM del 2%? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene: 287 I = 2.000 (1 + 0, 02) 30 − 1 = $417, 16
Se podrá disponer de un interés de $417,16. A continuación, veremos algunos ejemplos sobre interés compuesto, donde se nos pide hallar, ya no el interés (I), sino el capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n).
2.1. Calculando el capital inicial o principal (P) La formula que nos sirve para calcular el capital inicial o principal: P =
I (2) (1 + i)n − 1
Cálculo financiero
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Ejemplo 1 Cálculo del capital inicial (P) Por un préstamo que se solicitó al BIF a pagar en un año, una empresa pagó $2.500 de interés, ¿qué cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TEA del 25%? Solución: Los datos son: P=? TEA = 25% I = $2.500 n = 1 año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene: P=
2.500 = $10.000 (1 + 0, 25) − 1
$10.000 fue lo que se pidió prestado al banco para que al final de un año se pague un interés de $2.500.
Ejemplo 2 Cálculo del capital inicial (P) ¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por Carrusel E.I.R.L. al Interbank a pagar en cinco meses a una TES de 18%, si el banco durante dicho período cobra un interés de $1.478,94? Solución: Los datos son: P=? TES = 18% I = 1.478,94 n = 5 meses Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene: P=
1.478, 94 (1 + 0, 18)
150 180
= $10.000 −1
El préstamo solicitado asciende a $10.000. Unidad II
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PROESAD
Ejemplo 3 Cálculo del capital inicial (P) ¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 13 de febrero a una TEM del 2%, si para el 27 de noviembre se contaba con $417,16 de interés? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene: P=
417, 16 (1 + 0, 02)
= $2.000
278 30
−1
La inversión efectuada el 13 de febrero asciende a $2.000, el mismo que devenga un interés de $417,16 en 287 días.
2.2. Calculando la tasa de interés (i) La fórmula a utilizar para calcular la tasa de interés es la siguiente: 1/n
I i = + 1 P
−1
(3)
Ejemplo 1 Cálculo de la tasa de interés (j) Por un préstamo de $10.000 que se solicitó al BIF a pagar en un año, una empresa pagó $2.500 de interés, ¿qué TEA aplicó el banco? Solución: Los datos son: i=? P = $10.000 I = $2.500 n = 1 año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (3), se obtiene: 1/1
2.500 i= + 1 10.000
− 1 = 25%
El banco aplicó una TEA de 25%. ¿Por qué una TEA? Porque en la fórmula n es 1 (anual),
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por tanto, i debe ser anual. Recuerde tanto i como n deben estar en la misma unidad de tiempo. Ejemplo 2 Cálculo de la tasa de interés (j) Carrusel de Villa E.I.R.L., solicitó préstamo al Interbank por $10.000 a pagar en cinco meses. Si el banco le cobró $1.478,94 de interés, ¿qué TES cobró el banco? Solución: Los datos son: i=? P = $10.000 I = $1.478,94 n = 5 meses Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (3), se tiene: 1/(150 /180 )
1.478, 94 i= + 1 10.000
− 1 = 18%
El banco aplicó una TES de 18%.
Ejemplo 3 Cálculo de la tasa de interés (j) El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000. Al 27 de noviembre había ganado intereses por $417,16, ¿qué TEM obtuvo el inversionista? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (3), se obtiene: 1/( 287 / 30 )
417, 16 i= + 1 2.000
− 1 = 2%
El inversionista obtuvo una TEM de 2%.
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2.3. Calculando el tiempo (n) La fórmula que nos permite para calcular el tiempo (n) es la siguiente: I log + 1 P (4) n = log (1 + i) Ejemplo 1 Cálculo del tiempo (n) El BIF otorgó un préstamo a una empresa local por $10.000 para que lo devuelva en un año, a una TEA de 25%. Si el banco nos cobra $2.500 de interés, ¿cuántos años duró la deuda? Solución: Los datos son: n=? TEA = 25% P = $10.000 I = $2.500 Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (4), se obtiene:
2.500 log + 1 10.000 = 1 n= log (1 + 0, 25)
La deuda tuvo una duración de un año. Ejemplo 2 Cálculo del tiempo (n) Carrusel E.I.R.L., solicitó un préstamo al Interbank por $10.000 a una TES de 18%. Si el banco le cobró $1.478,94 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación? Solución: Los datos son: n=? TES = 18% P = $10.000 I = $1.478,94
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Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (4), se tiene: 1.478, 94 log + 1 . 10 000 = 0, 8333 n= log (1 + 0, 18 )
Se observa que el resultado es 0,8333 semestres. Esto es así porque la tasa que estamos usando es semestral y por tanto el resultado es semestral. Para calcular el número de meses, simplemente multiplicamos 0,8333 x 6, lo que nos da como resultado 5 meses. Ahora, si queremos que la fórmula nos arroje el número de meses de manera directa, entonces la TES tenemos que convertirla primeramente a TEM. El cálculo sería el siguiente:
i = (1 + 0,18)1/6 - 1 = 0,02797
A continuación reemplazamos en la fórmula:
1.478, 94 log + 1 . 10 000 =5 n= log (1 + 0, 02797 )
Se puede observar que ambos caso, la operación duró 5 meses. Ejemplo 3 Cálculo del tiempo (n) El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000 a una TEM de 2%. Si pasado cierto tiempo he ganado $417,16 de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (3), se obtiene: 417, 16 log + 1 = 9, 5667 2.000 n= log (1 + 0, 02) Se observa que el resultado es 9,5667 meses. Para calcular el número de días, simplemente multiplicamos 9,5667 x 30, lo que nos da como resultado 287 días.
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PROESAD
Ahora, si queremos que la fórmula nos arroje el número de días de manera directa, el cálculo sería el siguiente: 417, 16 log + 1 = 278 2.000 n= log (1 + 0, 0006603) Se puede observar que ambos caso, la operación duró 287 días.
3. INTERÉS CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE La fórmula que calcula el interés generado en un horizonte temporal cuando las tasas o los periodos de tasa son variables es la siguiente: z hF I = P ∏ (1 + ik ) k k − 1 (5) k =1 Ejemplo 1 Cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés compuesto. La TEA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Calcule el interés en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: I=? P = $5.000 TEA1 = 28% TEA2 = 25% TEA3 = 22% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene: 146 73 68 I = 5.000 (1 + 0, 28 ) 360 (1 + 0, 25) 360 (1 + 0, 22) 360 − 1 = $1.003, 62
El interés generado asciende a $1.003,62.
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Ejemplo 2 Cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés efectiva variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes: Tasa A partir del TEA 28,0% 13/02 TES 11,8% 09/07 TET 5,1% 20/09 Calcule el interés en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: I=? P = $5.000 TEA1 = 28% TES2 = 11,8% TET3 = 5,1% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Este problema es el mismo al ejemplo anterior, en cuanto a horizonte y subhorizontes temporales. Un horizonte temporal total de 287 días y tres subhorizontes de 146, 73 y 68 días. Lo que cambia son las tasas efectivas, manteniéndose el principal constante. Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene: 146 73 68 I = 5.000 (1 + 0, 28 ) 360 (1 + 0, 118 )180 (1 + 0, 051) 90 − 1 = $1 1.003, 62
Se puede observar que el resultado es el mismo al del ejemplo anterior. Ante esto surge una pregunta: ¿cómo puede la operación tener el mismo resultado si las tasas efectivas son variables? La respuesta es que dichas tasas son equivalentes. Por ejemplo, la TEA de 25% del ejemplo anterior es equivalente a la TES de 11,8% del ejemplo actual y la TEA de 22% es equivalente a la TET de 5,1%. Para calcular la TES equivalente de una TEA de 25%, se procede de la siguiente manera: TES =
2
(1 + 0, 25) − 1 = 11, 8%
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Y para calcular la TET equivalente de una TEA de 22%, se procede de la siguiente manera: TEA =
4
(1 + 0, 22) − 1 = 5,1%
De lo anteriormente expuesto, se concluye que el interés generado asciende a $1.003,62.
4. MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE Un dólar disponible el día de hoy vale más que un dólar que haya de recibirse el próximo año porque, si se tiene ahora, usted podría invertirlo, ganar intereses y terminar el próximo año con más de un dólar. Esto se puede ver en la figura 1. Figura 1 Valor futuro compuesto en función del tiempo y diversas tasas de interés Factor de valor futuro
Tasa del descuento
8.00
15%
6.00
10%
4.00
5% 2.00 0%
1.00 0.00
0
5
10
15
Tiempo
La figura 1 muestra la forma en la que $1 (o cualquier otra suma) crece con el tiempo a varias tasas de interés. Cuánto más alta sea la tasa de interés, más veloz será la tasa de crecimiento. La tasa de interés es, de hecho, una tasa de crecimiento; si una suma es depositada y gana un 5%, entonces los fondos en depósito crecerán a la tasa de 5% por período. A la suma del capital más el interés compuesto ganado se le llama monto compuesto o valor futuro compuesto, y se simboliza mediante la letra S. por tanto, S = P + I (6) Al sustituir la ecuación (1) en la (6) se obtiene:
S = P + P[(1 + i)n - 1]
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Factorizando la expresión anterior se tiene: S = P[(1 + i)n] (7) Ejemplo 1 Cálculo del monto o valor futuro (S) El BIF otorgó un préstamo a una empresa local por $10.000 para que lo devuelva en un año, a una TEA de 25%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo? Solución: Los datos son: S=? P = $10.00 TEA = 25% n = 1 año El monto o valor futuro se puede obtener de dos maneras, veamos cada una de ellas: Método 1 En primer lugar hallamos el interés, el cual es como sigue: I = 10.000[(1+ 0,25) - 1] = $2.500 Utilizando la ecuación (6) para calcular el valor futuro, se tiene: S = 10.000 + 2.500 = $12.500 Método 2 El monto o valor futuro se obtiene directamente utilizando la ecuación (7): S = 10.000[(1 + 0,25)] = $12.500 La empresa pagará al final del plazo un monto de $12.500. Ejemplo 2 Cálculo del monto o valor futuro (S) Carrusel E.I.R.L., solicita un préstamo al Interbank por $10.000 pagar en cinco meses, a una TES de 18%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo?
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Solución: Los datos son: S=? P = $10.000 TES = 18% n = 5 meses Reemplazando los valores en la ecuación (7) se tiene: 150 S = 10.000 (1 + 0, 18 )180 = $11.478, 94
Esto significa que al final del plazo la empresa deberá pagar un monto de $11.478,94. Ejemplo 3 Cálculo del monto o valor futuro (S) ¿De qué monto compuesto podrá disponerse el 27 de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000 a una TEM del 2%? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene: 287 S = 2.000 (1 + 0, 02) 30 = $2.417, 16
Se podrá disponer de un monto de $2.417,16.
5. MONTO O VALOR FUTURO COMPUESTO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE El monto final cuando se presentan variaciones en la tasa efectiva y el principal constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente: z hF S = P ∏ (1 + ik ) k k (8) k =1 Ejemplo 1 Cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés compuesto.
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La TEA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Calcule el monto en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: S=? P = $5.000 TEA1 = 28% TEA2 = 25% TEA3 = 22% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene: 146 73 68 S = 5.000 (1 + 0, 28 ) 360 (1 + 0, 25) 360 (1 + 0, 22) 360 = $6.003, 62
El monto asciende a $6.003,62. Ejemplo 2 Cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés efectiva variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron:
Tasa A partir del TEA 28,0% 13/02 TES 11,8% 09/07 TET 5,1% 20/09
Calcule el monto en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: S=? P = $5.000 TEA1 = 28% TES2 = 11,8% TET3 = 5,1%
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PROESAD
h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene: 146 73 68 S = 5.000 (1 + 0, 28 ) 360 (1 + 0, 118 )180 (1 + 0, 051) 90 = $6.0 003, 62
El monto asciende a $6.003,62.
6. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE El siguiente ejemplo servirá para mostrar el significado del concepto de valor presente, llamado también valor actual. (Ver figura 2) Figura 2 Valor actual compuesto en función del tiempo y diversas tasas de interés
Tasa del descuento
Factor de valor futuro
0.80
0.60
0.40 5% 10%
0.20
15% 0.00
0
5
10
15
Tiempo
Suponga que usted, el día de hoy recibe un préstamo de $20,000 a 10 meses de plazo y con una tasa de interés compuesta de 2% mensual. El monto a pagar será:
S = $20.000[(1 + 0,02)10] = $4.379,89
Por el capital prestado usted deberá pagar $24.379,89 dentro de 10 meses. $24.379,89 es el monto o valor futuro (S) de $20.000. Recíprocamente, se dice que $20.000 es el valor presente o valor actual (P) de $24.379,89. Esto significa que $20.000 hoy es equivalente a $24.379,89 dentro de 10 meses a una tasa de interés compuesta del 2% mensual.
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La figura 2 muestra que el valor presente de una suma que haya de recibirse en alguna fecha futura disminuye (1) a medida que la fecha de pago se extiende más hacia el futuro y (2) a medida que aumenta la tasa de descuento. La fórmula para hallar el valor actual compuesto, se puede hallar despejando P en la ecuación (7): 1 P = S (9) n (1 + i) Ejemplo 1 Cálculo del valor presente o valor actual (P) Una empresa local solicitó un préstamo al BIF a pagar en un año. Si el banco cobra una TEA de 25% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $12.500, ¿qué principal fue lo solicitó dicha empresa? Solución: Los datos son: P=? S = $12.500 TEA = 25% n = 1 año Sustituyendo los valores en la ecuación (9), se tiene: 1 P = 12.500 (1 + 0, 25) La empresa solicitó al BIF la suma de $10.000.
Ejemplo 2 Cálculo del valor presente o valor actual (P) Carrusel E.I.R.L. solicita un préstamo al Interbank pagar en cinco meses. Si el banco cobra una TES de 18% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $11.478,94, ¿qué principal fue solicitado por Carrusel E.I.R.L. al Interbank? Solución: Los datos son:
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P=? S = $11.478,94 TES = 18% n = 5 meses Reemplazando los valores en la ecuación (9) se tiene: 1 = $10.000 P = 11.478, 94 150 (1 + 0, 18 )180 Carrusel E.I.R.L. solicitó al Interbank la suma de $10.000.
Ejemplo 3 Cálculo del valor presente o valor actual (P) ¿Qué principal tuvo que ser depositado el 13 de febrero, si fue invertido a una TEM del 2%, para que el 27 de noviembre tenga un monto de $2.417,16? Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (9), se obtiene: 1 = $2.000 P = 2.417, 16 287 (1 + 0, 02) 30 El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $2.000.
7. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL COMPUESTO CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA EFECTIVA VARIABLE El valor presente o valor actual cuando se presentan variaciones en la tasa efectiva y el principal constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente: 1 P = S z hk Fk ∏ (1 + ik ) k =1
(10)
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Ejemplo 1 Cálculo del valor presente o valor actual cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable El 13 de febrero se efectúa un depósito bajo un régimen de interés compuesto. La TEA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre, la misma que ascendía a un monto de $6.003,62. Calcule la cantidad que tuvo que depositarse el 13 de febrero. Solución: Los datos son: P=? S = $6.003,62 TEA1 = 28% TEA2 = 25% TEA3 = 22% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (10) se tiene: 1 = $5.000 P = 6.003, 62 146 73 68 (1 + 0, 28 ) 360 (1 + 0, 25) 360 (1 + 0, 22) 360 El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $5.000.
Ejemplo 2 Cálculo del valor presente o valor actual cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable El 13 de febrero se abre una cuenta en un banco que paga una tasa de interés efectiva variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo el monto de la cuenta asciende a $6.003,62; así mismo, se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del TEA 28,0% 13/02 TES 11,8% 09/07 TET 5,1% 20/09
Calcule la cantidad que fue depositado en el banco.
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Solución: Los datos son: P=? S = $6.003,62 TEA1 = 28% TES2 = 11,8% TET3 = 5,1% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Reemplazando los valores en la ecuación (10) se tiene: 1 = $5.000 P = 6.003, 62 146 73 68 (1 + 0, 28 ) 360 (1 + 0, 118 )180 (1 + 0, 051) 90 La cantidad que fue depositado en el banco asciende a $5.000.
8. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES Ya se vio, en el capítulo anterior, que una ecuación de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de un conjunto de deudas propuesto para reemplazar al conjunto original, una vez que sus valores de vencimiento han sido trasladados a una fecha arbitrariamente elegida, llamada fecha focal. Como se vio, al estudiar las ecuaciones de valor a interés simple, observamos que los resultados varían al cambiar la fecha focal, en un mismo problema. En las ecuaciones de valor a interés compuesto, el resultado no se altera al tomar distintas fechas; por tanto, puede seleccionarse cualquier fecha para llevar a cabo la igualdad de las obligaciones, siendo el resultado siempre el mismo. Las ecuaciones de valor a interés compuesto son una de las técnicas más útiles de la matemática financiera para la resolución de diversos problemas financieros. Ejemplo 1 Ecuaciones de valor equivalentes Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente manera: $7.200 en este momento y $13.400 dentro de dos meses. Si desea pagar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la TEA es de 24,36%? Solución: Como se mencionó en el capítulo anterior, si el deudor desea saldar su deuda el día de
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hoy, no deberá pagar $20.600 que es la suma de (7.200 + 13.400), pues los $13.400 son un valor futuro (vencen dentro de dos meses), mientras que los $7.200 vencen hoy (valor presente). Dos o más cantidades no se pueden sumar mientras no coincidan en el tiempo sus valores de vencimiento. Lo que se puede hacer es calcular el valor presente de los $13.400 y solo entonces, podríamos sumarlos con los $7.200. Por tanto, el día de hoy parece una fecha focal “natural” en este problema; aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal y el resultado sería el mismo. El diagrama de tiempo sería el siguiente: Deuda original
$7.200
$13.400
0 X
2
meses
Deuda propuesta El 0 representa el momento actual o presente y X representa la cantidad total por pagar el día de hoy para saldar la deuda; esto es, el pago propuesto. La cantidad indica que el valor futuro de $13.400 se traslada al momento actual, debido a que este punto se ha tomado como fecha focal. Trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor actual del monto, dos meses antes de su vencimiento. Esto es: 1 = $12.921, 85 P = 13.400 60 / 360 (1 + 0, 2436 ) Al trasladar el monto (valor futuro) a la fecha focal, todas las cantidades (7.200, 12.921,85 y X) se encuentran, ya en una fecha común en la que es posible su comparación y, por tanto, se puede plantear la ecuación de valor siguiente: Valor total de las deudas = Valor total de las deudas Originales propuestas Esto es: 1 =X 7.200 + 13.400 60 / 360 (1 + 0, 2436 ) X = $20.121, 85
Esta persona tendrá que pagar $20.121,85 el día de hoy y saldar así la deuda.
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Anteriormente, se mencionó que el resultado no depende de la localización de la fecha focal. Para demostrar esta afirmación, consideremos ahora, como fecha focal el momento en que vence los $13.400; esto es, el segundo mes. En este caso se debe obtener el valor futuro de $7.200 por 2 meses; el valor futuro de X por 2 meses; en cambio los $13.400 permanece inalterado, puesto que se encuentra en la fecha focal. La ecuación de valor sería: 60 60 7.200 (1 + 0, 2436 ) 360 + 13.400 = X (1 + 0, 2436 ) 360
7.466, 42 + 13, 400 = X [1, 037] X=
20.866, 42 = 20.121, 85 1, 037
Se observa que el resultado es el mismo en ambos casos.
Ejemplo 2 Ecuaciones de valor equivalentes El día 29 de setiembre la empresa Los Amigos S.A.C., tiene una deuda con el Banco Santander una deuda de $4.000 que vence el 15 de octubre y otra deuda de $5.000 que vence el 15 de noviembre. La empresa renegoció con el banco y consolidó sus deudas en una sola cuenta a interés compuesto con vencimiento al 30 de diciembre del mismo año, a una TEA constante de 24%. Se requiere saber el monto que cancelará Los Amigos S.A.C. el 30 de diciembre. Solución: En el problema el día 30/12 parece una fecha focal “natural”, aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal. Si elegimos como fecha focal el 30/12, entonces la deuda de $4.000 que vence el 15/10 y la deuda de $5.000 que vence el 15/11, la tenemos que trasladar hasta la fecha focal. Por tanto, se puede plantear la siguiente ecuación de valor: 76 45 4.000 (1 + 0, 24 ) 360 + 5.000 (1 + 0, 24 ) 360 = X
X = $9.295, 11 Los Amigos S.A.C., tendrá que pagar el 30 de diciembre la suma de $9.295,11.
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Ejemplo 3 Ecuaciones de valor equivalentes Kamila Romero solicitó en préstamo $4.000 que se registra en una cuenta a interés compuesto que genera una TEM de 2% para cancelarlo dentro de 90 días. La señorita Romero se adelanta al vencimiento del préstamo y amortiza $1.800 el día 25 y $1.000 el día 75, ¿cuánto deberá pagar el día 90 para cancelar su deuda? Solución: Para dar solución al problema, se plantea la ecuación de valor siguiente: 90 65 15 4.000 (1 + 0, 02) 30 = 1.800 (1 + 0.02) 30 + 1.000 (1 + 0, 02) 30 + X
4.244, 83 = 2.888, 86 + X X = $1.355, 97 Al final del plazo (en el día 90) deberá pagarse el importe de $1.355,97 para cancelar la deuda.
9. INTERÉS COMPUESTO CON TASA J CAPITALIZABLE El interés compuesto también puede ser generado por una tasa nominal j capitalizable m veces (m es el número de períodos que capitaliza la tasa nominal en su respectivo plazo). El período convenido para convertir el interés en capital se llama período de capitalización o período de conversión. El número de veces por año en los que los intereses se capitalizan, se llama frecuencia de capitalización. Si el período de capitalización de intereses es, digamos mensual, entonces las expresiones siguientes son equivalentes: “el interés es capitalizable mensualmente”, “es convertible mensualmente”, “es compuesto mensualmente”, “es interés nominal mensual” o “compuesto por mes”. Todos significan que cada mes los intereses se capitalizan o se integran al capital, es decir, se suma al capital al término de cada mes. Al dar la tasa de interés en un problema de interés compuesto se menciona enseguida el periodo de capitalización. Por ejemplo:
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38% anual capitalizable cada semestre 40% capitalizable mensualmente3 2.55% mensual capitalizable cada mes 10.2% trimestral con capitalización quincenal 25% convertible cada mes4 A continuación se ha elaborado la tabla 2 que muestra las frecuencias de capitalización más comunes. Tabla 2 Intereses y frecuencia de capitalización Si los intereses se capitalizan cada → La frecuencia de capitalización es Año 1 Semestre 2 Cuatrimestre 3 Trimestre 4 Mes 12 Quincena 24 Día 360 En la práctica, las tasas pasivas son expresadas en términos nominales con una frecuencia de capitalización determinada, de acuerdo con el tipo de operación realizada. Los ahorros capitalizan mensualmente y los depósitos a plazo capitalizan a diario. La fórmula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente: n*m j I = P 1 + − 1 (11) m
Donde: “ j ” es la tasa de interés nominal “ m ” es la frecuencia de capitalización Ejemplo 1 Interés con capitalización mensual Kamila Romero deposita en una cuenta de ahorros del BWS la suma de $5.000. Calcule los intereses que obtendrá Kamila después de un año si el banco aplica una TNA de 12% con capitalización mensual. 3 4
Se entiende que se trata de una tasa de interés anual, con capitalización de intereses en forma mensual. Ésta es otra forma de indicar la capitalización de los intereses. El 25% es anual y los intereses se capitalizan cada mes o mensualmente.
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Solución: Los datos son: I=? P = $5.000 i = 12% n = 1 año Sustituyendo los valores en la ecuación (11), se obtiene: 1*12 0, 12 I = 5.000 1 + − 1 = $634, 13 12
Al final del plazo Kamila obtendrá $634,13 de intereses.
Ejemplo 2 Interés con capitalización diario Kamila Romero deposita en una cuenta a plazo fijo del BWS la suma de $5.000. Calcule los intereses que obtendrá Kamila después de un año si el banco aplica una TNA de 12% con capitalización diaria. Solución: Los datos son: I=? P = $5.000 i = 12% n = 1 año Sustituyendo los valores en la ecuación (11), se obtiene: 0, 12 1*360 − 1 = $637, 37 I = 5.000 1 + 360 Al final del plazo Kamila obtendrá $637,37 de intereses. Como hemos observado en los ejemplos anteriores (1 y 2), los intereses son mayores cuando, en un año, la TNA se capitaliza muchas más veces durante el mismo. Veamos, un resumen, de esto en la tabla 3.
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Tabla 3 Comparación de una inversión a una TNA de 12% con diferentes períodos de capitalización Período de Inversión TNA Capitalización m Intereses $5.000 12% Anual 1 $600,00 $5.000 12% Semestral 2 $618,00 $5.000 12% Cuatrimestral 3 $624,32 $5.000 12% Trimestral 4 $627,54 $5.000 12% Mensual 12 $634,13 $5.000 12% Quincenal 24 $635,80 $5.000 12% Diario 360 $637,37
9.1. Valor futuro con tasa j capitalizable La fórmula que nos permite calcular el valor futuro con una tasa j capitalizable es la siguiente: n*m S = P 1 + j (12) m Ejemplo 1 Valor futuro con capitalización mensual Kamila Romero deposita en una cuenta de ahorros del BWS la suma de $5.000. Calcule el monto que obtendrá Kamila después de un año, si el banco aplica una TNA de 12% con capitalización mensual. Solución: Los datos son: S=? P = $5.000 i = 12% n = 1 año m = 12 Sustituyendo los valores en la ecuación (12), se obtiene: 0, 12 1*12 S = 5.000 1 + = $5.634, 13 12 Al final del plazo Kamila obtendrá un monto de $5.634,13.
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Ejemplo 2 Valor futuro con capitalización diario Kamila Romero deposita en una cuenta a plazo fijo del BWS la suma de $5.000. Calcule el monto que obtendrá Kamila después de un año, si el banco aplica una TNA de 12% con capitalización diaria. Solución: Los datos son: S=? P = $5.000 i = 12% n = 1 año m = 360 Sustituyendo los valores en la ecuación (12), se obtiene: 0, 12 1*360 S = 5.000 1 + = $5.637, 37 360 Al final del plazo Kamila obtendrá un monto de $5.637,37.
9.2. Valor presente o valor actual con tasa j capitalizable La fórmula que nos permite calcular el valor futuro con una tasa j capitalizable es la siguiente: 1 P = S n*m (13) j 1 + m Ejemplo 1 Valor actual con capitalización mensual Kamila Romero depositó en una cuenta de ahorros del BWS durante un año. Si el banco aplicó una TNA de 12% con capitalización mensual y el monto obtenido al final del plazo asciende a $5.634,13. Calcule el principal que depositó Kamila hace un año. Solución: Los datos son:
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P=? S = $5.634,13 i = 12% n = 1 año m = 12 Sustituyendo los valores en la ecuación (13), se obtiene: 1 = $5.000 P = 5.634, 13 0, 12 1*12 1 + 12 Kamila depositó hace un año un capital de $5.000.
Ejemplo 2 Valor actual con capitalización diaria Kamila Romero depositó en una cuenta de ahorros del BWS durante un año. Si el banco aplicó una TNA de 12% con capitalización diaria y el monto obtenido al final del plazo asciende a $5.637,37. Calcule el principal que depositó Kamila hace un año. Solución: Los datos son: P=? S = $5.637,37 i = 12% n = 1 año m = 360 Sustituyendo los valores en la ecuación (13), se obtiene: 1 = $5.000 P = 5.637, 37 0, 12 1*360 1 + 360 Kamila depositó hace un año un capital de $5.000.
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GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________ 4. ______________ _____________________________________________
¿ ? ¿ ?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor. Interés con principal y tasa efectiva constante 1. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a pagar en un año, a una TEA de 25%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Rpta. $625 2. El Universo S.A.C., solicita un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses, a una TEC de 10%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Rpta. $555,75 3. ¿De qué interés compuesto podrá disponerse el 20 de diciembre, si el 30 de marzo se invirtió $5.000 a una TET del 5%? Rpta. $772,45 4. Por un préstamo que se solicitó al BBVA a pagar en un año, Carito pagó $625 de interés, ¿qué cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TEA del 25%. Rpta. $2.500 5. ¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por El Universo S.A.C. al Interbank a pagar en tres meses a una TEC de 10%, si el banco durante dicho periodo me cobró un interés de $555,75? Rpta. $7.500 6. ¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 30 de marzo a una TET del 5%, si para el 20 de diciembre se contaba con $772,45 de interés? Rpta. $5.000
90
7. Por un préstamo de $2.500 que se solicitó al BBVA a pagar en un año, Carito pagó $625 de interés, ¿qué TEA aplicó el banco? Rpta. TEA de 25% 8. El Universo S.A.C. solicitó un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses. Si el banco le cobró $555,75 de interés, ¿qué TEC cobró el banco? Rpta. TEC de 10% 9. El 30 de marzo se efectúo una inversión por $5.000. Al 20 de diciembre había ganado intereses por $772,45, ¿qué TET obtuvo el inversionista? Rpta. TET de 5% 10. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a una TEA de 25%. Si el banco nos cobra $625, ¿cuántos años duró la deuda? Rpta. 1 año 11. El Universo S.A.C. solicitó un préstamo al Interbank por $7.500 a una TEC de 10%. Si el banco le cobró $555,75 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación? Rpta. 3 meses 12. El 30 de marzo se efectúo una inversión por $5.000 a una TET de 5%. Si pasado cierto tiempo he ganado $772,45 de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión? Rpta. 265 días Interés con principal constante y tasa efectiva variable 13. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000 bajo un régimen de interés compuesto. La TES vigente al momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y a 13% el 25 de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, calcule el interés en la fecha de cierre. Rpta. $2.584,64 14. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000, en un banco que paga una tasa de interés efectiva variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes: Tasa A partir del TEA 32,250% 30/03 TES 14,000% 09/07 TET 6,301% 25/10
Calcule el interés en la fecha de cierre. Rpta. $2.584,64
Monto o valor futuro compuesto con principal y tasa efectiva constante 15. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a pagar en un año, a una TEA de 25%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo? Rpta. $3.125 16. El Universo S.A.C. solicita un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses, a una TEC de 10%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo? Rpta. $8.055,75 17. ¿De qué monto podrá disponerse el 20 de diciembre, si el 30 de marzo se invirtió $5.000 a una TET del 5%? Rpta. $5.772,45
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Monto o valor futuro compuesto con principal constante y tasa nominal efectiva 18. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000 bajo un régimen de interés compuesto. La TES vigente al momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y a 13% el 25 de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, calcule el monto en la fecha de cierre. Rpta. $14.584,64 19. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000, en un banco que paga una tasa de interés efectiva variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del TEA 32,250% 30/03 TES 14,000% 09/07 TET 6,301% 25/10
Calcule el monto en la fecha de cierre. Rpta. $14.584,64
Valor presente o valor actual compuesto con principal y tasa efectiva constante 20. Carito solicita un préstamo al BBVA a pagar en un año. Si el banco cobra una TEA de 25% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $3.125, ¿qué principal solicitó Carito al BBVA? Rpta. $2.500 21. El Universo S.A.C. solicita un préstamo al Interbank a pagar en tres meses. Si el banco cobra una TEC de 10% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $8.055,75, ¿qué principal fue solicitado por El Universo S.A.C. al Interbank? Rpta. $7.500 22. ¿Qué principal tuvo que ser depositado el 30 de marzo, si fue invertido a una TET del 5%, para que el 20 de diciembre tenga un monto de $5.772,45? Rpta. $5.000 Valor presente o valor actual compuesto con principal constante y tasa efectiva variable 23. El 30 de marzo se efectúa un depósito bajo un régimen de interés compuesto. La TES vigente al momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y a 13% el 25 de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, la misma que ascendía a un monto de $14.584,64. Calcule la cantidad que tuvo que depositarse el 30 de marzo. Rpta. $12.000 24. El 30 de marzo se abre una cuenta en un banco que paga una tasa de interés efectiva variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo el monto de la cuenta asciende a $14.584,64; así mismo, se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del TEA 32,250% 30/03 TES 14,000% 09/07 TET 6,301% 25/10
Calcule la cantidad que fue depositado en el banco. Rpta. $12.000
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Ecuaciones de valor equivalentes 25. Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente manera: $5.200 en este momento y $5.200 dentro de dos meses. Si desea pagar su deuda completamente dentro de 30 días, ¿cuánto tendrá que pagar, si la TEA es de 20%? Rpta. $10.401,20 26. Textiles Pacífico S.A.C. tiene una deuda con el BSHC una deuda de $7.500 que vence el 15 de marzo y otra deuda de $12.500 que vence el 15 de abril. La empresa renegoció con el banco y consolidó sus deudas en una sola cuenta a interés simple con vencimiento al 25 de abril del mismo año, a una TET constante de 5%. Se requiere saber el monto que cancelará Textiles Pacífico S.A.C. el 25 de abril. Rpta. $20.236,52 27. Verónica Kamila solicitó en préstamo $2.500 que se registra en una cuenta a interés simple que genera una TET de 8% para cancelarlo dentro de 90 días. La señorita Verónica se adelanta al vencimiento del préstamo y amortiza $500 el día 30 y $1.000 el día 70, ¿cuánto deberá pagar el día 90 para cancelar su deuda? Rpta. $1.156,43 Interés compuesto con tasa j capitalizable 28. Carlos Fernández deposita en una cuenta de ahorros del Interbank la suma de $2.500. Calcule los intereses que obtendrá Carlos después de un año si el banco aplica una TNS de 12% con capitalización mensual. Rpta. $670,60 29. Pedro Gonzáles deposita en una cuenta a plazo fijo del BWS la suma de $5.000. Calcule los intereses que obtendrá Kamila después de un año si el banco aplica una TNT de 4% con capitalización diaria. Rpta. $867,35 30. Carlos Fernández deposita en una cuenta de ahorros del Interbank la suma de $2.500. Calcule el monto que obtendrá Carlos después de un año si el banco aplica una TNS de 12% con capitalización mensual. Rpta. $3.170,60 31. Pedro Gonzáles deposita en una cuenta a plazo fijo del BWS la suma de $5.000. Calcule el monto que obtendrá Pedro después de un año si el banco aplica una TNT de 4% con capitalización diaria. Rpta. $5.867,35 32. Carlos Fernández depositó en una cuenta de ahorros del Interbank durante un año. Si el banco aplicó una TNS de 12% con capitalización mensual y el monto obtenido al final del plazo asciende a $3.170,60. Calcule el principal que depositó Carlos hace un año. Rpta. $2.500 33. Pedro Gonzáles depositó en una cuenta de ahorros del BWS durante un año. Si el banco aplicó una TNT de 4% con capitalización diaria y el monto obtenido al final del plazo asciende a $5.867,35. Calcule el principal que depositó Pedro hace un año. Rpta. $5.000
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UNIDAD III UNIDAD III OPERACIONES DE DESCUENTO, TASAS, INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN Y LAS SEIS LLAVES MAESTRAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Sesión Nº 4: Operaciones de descuento Sesión Nº 5: Tasas Sesión Nº 6: Inflación y devaluación Sesión Nº 7: Las seis llaves maestras de las matemáticas financieras
COMPETENCIAS CONCEPTUAL Estudian las operaciones de descuento, tasas, inflación y devaluación y las seis llaves maestras de las matemáticas financieras.
PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL Construyen organizado- Respetan los resultados res visuales para el de- de las distintas operasarrollo de las operacio- ciones financieras. nes matemáticas.
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Sesión
operaciones de descuento 1. INTRODUCCIÓN En el sistema financiero una operación de descuento consiste en obtener el pago anticipado de títulos valores: letras de cambio, pagarés u otros documentos, mediante la cesión o endoso del derecho del poseedor a otra persona natural o jurídica. Esto, además de permitir al prestamista disponer de inmediato del dinero correspondiente a los intereses, le da un mayor rendimiento que la tasa señalada en la operación. De hecho, las tasas de interés para operaciones de descuento son las más altas del sistema financiero peruano. De esto, se puede señalar que la operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro. Descontar un título-valor, es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida para una fecha futura, bajo las condiciones convenidas en el título-valor. Un título valor (letras, pagaré, etc.) como un bien mobiliario puede ser vendido, es decir descontado, una o más veces antes de la fecha de su vencimiento y cada comprador descuenta el título-valor por el tiempo que falta para su vencimiento. Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital. Para estas operaciones, se usan ciertas expresiones léxicas que es necesario conocer: a) Descuento: Es la diferencia entre el valor nominal y el valor que se recibe, en el momento de descontar el título-valor. Se simboliza por la D. b) Tasa de descuento: Es el tanto por ciento de descuento, o sea, el porcentaje del valor nominal que deduce el prestamista, al descontar el título-valor. Es simbolizada por la d. c) Plazo: Es el término que se utiliza para expresar el periodo de duración del préstamo. Se simboliza por la n. d) Valor descontado o valor presente de un título-valor: Es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en dinero que se recibe en el momento de descontar la obligación o, en otras palabras, es el valor efectivo o líquido. El valor descontado es simbolizada por la P.
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e) Valor nominal de un título-valor: El valor nominal del título-valor a descontar es el que está inscrito en la obligación. Si el título-valor no gana intereses, el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada. Es simbolizada por la S. Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos: Comercial Unitario Sucesivo
Clases de descuento5 Bancario Simple Compuesto
Racional Simple Compuesto
A continuación, vamos a empezar con el estudio del descuento comercial.
2. DESCUENTO COMERCIAL Es la rebaja concedida sobre el precio de lista de un artículo que se oferta. El interés que se aplica es un interés simple, el cual tiene el mismo tratamiento que el descuento bancario en su modalidad simple que veremos en breve. De esto, es usual que las empresas fabricantes y los mayoristas proporcionen a sus clientes listas de precios propuestos por cada producto. El precio mostrado en estas listas es el llamado precio de lista y es el precio sugerido para menudeo, esto es, el precio de lista puede o no ser el precio final a pagar por el consumidor. Las empresas fabricantes y los mayoristas venden a sus productos a los minoristas con un descuento basado en el precio de lista, llamado descuento comercial. El descuento comercial es un porcentaje del precio de lista, y recibe el nombre de tasa de descuento. El precio de lista menos el descuento comercial se llama precio neto. Los descuentos comerciales se aplican generalmente a las ventas hechas por el fabricante al mayorista; por el mayorista al minorista y cuando el fabricante vende directamente al minorista. Los descuentos pueden ser simples o unitarios y en cadena o sucesivos.
2.1. Descuento comercial unitario En las operaciones comerciales, es costumbre ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna razón; por ejemplo: promociones especiales de venta; por compras al por mayor; por pronto pago y por otras causas que sería inoficioso enumerar. Para calcular el descuento comercial unitario, podemos utilizar la fórmula siguiente: D = S * d (1)
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Cuadro tomado del libro “Funciones y herramientas de Excel para la gestión financiera”, de Carlos Aliaga Valdez y Carlos Aliaga Calderón, reconocidos profesores de finanzas.
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Donde: “ D ” son los intereses de descuento. La diferencia entre S y P “ S ” es el capital final o valor nominal del título valor “ d ” es la tasa de descuento que se aplica Una vez que conocemos el importe del descuento, se puede calcular el valor descontado o valor presente (que equivale al capital final (S) menos el importe del descuento (D)). Para esto podemos utilizar cualquiera de las dos fórmulas siguientes: P = S - D (2) Sustituyendo “D” por su equivalencia, tenemos:
P = S - (S * d)
Sacando factor común “S”, tenemos: P = S[1 - d] (3) Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Calcular los intereses de descuento comercial que aplica Tiendas Carsa por un artefacto, cuyo precio de lista es de $478, si se aplica un descuento comercial de 23%. Asimismo, calcular el valor descontado. Solución: Los datos son: D=? S = $478 d = 23% Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1) y (3), se obtiene: D = 478 * 0,23 = $109,94 P = 478[1 - 0,23] = $368,06 El descuento asciende a $109,94. De esta manera el valor descontado del artefacto asciende a $368,06
2.2. Descuento comercial sucesivo o en cadena Con frecuencia, ocurre que, sobre una misma factura, se hacen varios descuentos por diferentes razones independientes entre sí. Estos descuentos sucesivos reciben el nombre de descuento en
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cadena o en serie. Por ser los descuentos independientes, cada uno de ellos se efectúa sobre el valor bruto de la factura, después de deducir el descuento anterior. Para calcular el descuento sucesivo, podemos utilizar la fórmula siguiente:
D = S[1 - (1 - d1)(1 - d2),...,(1 - dn)] (4)
El valor descontado o valor presente en un descuento comercial sucesivo o en cadena se puede calcular utilizando la fórmula siguiente:
P = S[(1 - d1)(1 - d2),...,(1 - dn)] (5)
Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Sobre una factura de $50.000 se conceden los siguientes descuentos. a) Por compra al por mayor b) Por promoción especial de ventas c) Por despachos sin empaques
8% 5% 6%
Calcule los intereses de descuento comercial y el valor descontado. Solución: Los datos son: D=? S = $50.000 d1 = 8%, d2 = 5%, d3 = 6% Estos descuentos en cadena operan así:
Valor bruto de factura $50.000 $46.000 $43.700
% Descuento 8% 5% 6%
Valor neto de factura $46.000 $43.700 $41.078
El valor neto de la factura asciende a $41.078. Por tanto, los intereses de descuento ascienden a $8.922. El mismo resultado se puede calcular, sustituyendo los valores en la ecuación (4). D = 50.000[1 - (1 - 0,08)(1 - 0,05)(1 - 0,06)] = $8.922 Para el cálculo del valor descontado se aplica la ecuación (5) y se obtiene:
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P = 50.000[1 - 0,08)(1 - 0,05)(1 - 0,06)] = $41.078 Por tanto, los intereses de descuento ascienden a $8.922 y el valor descontado a $41.078.
3. DESCUENTO BANCARIO El descuento bancario es el interés calculado sobre el valor nominal o valor futuro del título-valor aplicando una tasa adelantada (d), importe que al deducirse de su respectivo valor nominal nos permite encontrar el valor líquido que dispondrá en el presente el descontante del título-valor.
3.1. Descuento bancario simple El descuento bancario simple es el producto del valor nominal del título-valor por la tasa anticipada nominal d, y por el número de períodos que faltan para el vencimiento del descuento. Descuento con tasa d nominal constante Para el cálculo de este descuento, se aplica la siguiente fórmula: D = S * d *n (6) El valor descontado o valor presente en un descuento bancario simple se puede calcular utilizando la fórmula siguiente: P = S[1 - (d * n)] (7) Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Calcular los intereses de descuento bancario simple que aplica el Banco Citibank por una letra de cambio que asciende a $2.000, faltando un año para su vencimiento. El banco cobra una TNA del 15%. Asimismo, calcular el valor descontado. Solución: Los datos son: D=? S = $2.000 d = 15% n = 1 año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (6), se obtiene: D = 2.000 * 0,15 * 1 = $300 Para calcular el valor descontado, se aplica la ecuación (7) y se tiene: P = 2.000[1 - (0,15 * 1)] = $1.700 Cálculo financiero
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El descuento asciende a $300. El valor descontado o valor presente, asciende a $1.700, el cual quiere decir que una letra de cambio cuyo valor nominal o valor de vencimiento es de $2.000, equivale a $1.700, faltando un año para su vencimiento y aplicando una tasa del 15% anual. Ejemplo 2 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cuatro meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario simple que efectúo el banco que aplicó una TNS de descuento anticipada de 18%. Se pide también calcular el valor descontado. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d = 18% n = 4 meses Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (6), se obtiene: 120 = D 5= .000 * 0, 18 * $600 180 Para calcular el valor descontado, se aplica la ecuación (7) y se tiene: 120 P = 5.000 1 − 0, 18 * = $4.400 180 El descuento asciende a $600. El valor descontado o valor presente, asciende a $4.400, el cual quiere decir que una letra cuyo valor nominal o valor de vencimiento es de $5.000, equivale a $4.400, faltando cuatro meses para su vencimiento y aplicando una TNS de 18%. Ejemplo 3 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 287 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario simple que efectúo el banco que aplicó una TNM de descuento anticipada de 2%. Calcule también el valor descontado. Solución:
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Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (6), se obtiene: 287 = D 5= .000 * 0, 02 * $956, 67 30 Para calcular el valor descontado, aplicamos la ecuación (7) y se tiene: 287 P = 5.000 1 − 0, 02 * = $4.043, 33 30 El descuento asciende a $956,67. El valor descontado o valor presente, asciende a $4.043,33, el cual quiere decir que una letra cuyo valor nominal o valor de vencimiento es de $5.000, equivale a $4.043,33, faltando 287 días para su vencimiento y aplicando una TNM de 2%. Descuento con tasa d nominal variable Ahora, muchas veces sucede que las tasas nominales sufren variaciones durante el plazo del descuento, para esta situación, utilizamos la fórmula siguiente. z h D = S∑ dk * k (8) Fk k =1
Donde: “ z ” es el número de subhorizontes, donde la j no sufre variaciones “ dk ” es la tasa nominal anunciada vigente en k-ésimo horizonte “ nk ” es el número de períodos de la tasa jk en k-ésimo horizonte “ F ” es el plazo de la tasa de interés nominal El valor descontado o valor presente en un descuento bancario simple cuando las tasas o los periodos de tasa son variables es la siguiente: z h P = S 1 − ∑ dk * k (9) Fk k =1
Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado, cuando el principal es constante y la tasa nominal variable Calcule el descuento bancario simple que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $10.000. El pagaré se descontará el 4 de mayo y vencerá el 16 de septiembre del mismo año. La TNA será del 12% hasta el 30 de junio y a partir de esa fecha se incrementará al 15%. Solución:
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Los datos son: D=? S = 10.000 d1 = 12% d2 = 15% h1 = 57 h2 = 78 Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (8), se obtiene: 57 78 D = 10.000 * 0, 12 * + 0, 15 * = $515 360 360 Para el cálculo del valor descontado, aplicamos la ecuación (9) y se tiene: 57 78 P = 10.000 1 − 0, 12 * + 0, 15 * = $9.485 360 360 El descuento asciende a $515 y el valor descontado o valor presente a $9.485. Ejemplo 2 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado cuando el principal es constante y la tasa nominal variable Calcule el descuento bancario simple que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $5.000. El pagaré se descontará el 13 de febrero y vencerá el 27 de noviembre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las tasas de descuento fueron las siguientes:
Tasa A partir del TNA 28,0% 13/02 TNS 12,5% 09/07 TNT 5,5% 20/09
Calcule el interés descuento en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d1 = 28% d2 = 12,5% d3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68
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Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (8), se obtiene: 146 73 68 D = 5.000 * 0, 28 * + 0, 125 * + 0, 055 * = $1.029, 03 360 180 90 Para el cálculo del valor descontado, aplicamos la ecuación (9) y se tiene: 146 73 68 P = 5.000 1 − 0, 28 * + 0, 125 * + 0, 055 * = $3.970, 97 360 180 90 El descuento asciende a $1.029,03 y el valor descontado o valor presente a $3.970,97.
3.2. Descuento bancario compuesto El descuento bancario compuesto es una sucesión de operaciones de descuento bancario simple, en las que después de la primera, su valor líquido se constituye en el valor nominal de la siguiente, y así sucesivamente hasta llegar a la fecha del descuento. Descuento con tasa i efectiva constante Para el cálculo de este descuento, se aplica la siguiente fórmula:
D = S[1 - (1 - d)n] (10)
El valor descontado o valor presente en un descuento bancario compuesto se puede calcular utilizando la fórmula siguiente:
P = S[(1 - d)n] (11)
Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Calcular los intereses de descuento bancario compuesto que aplica el Banco Citibank por una letra de cambio que asciende a $2.000, faltando un año para su vencimiento. El banco cobra una TEA del 15%. Solución: Los datos son: D=? S = $2.000 d = 15% n = 1 año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (10), se obtiene:
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D = 2.000[1 - (1 - 0,15)] = $300 Aplicando la ecuación (11) para el cálculo del valor descontado se tiene: P = 2.000(1 - 0,15) = $1.700 El descuento asciende a $300 y el valor descontado o valor presente, asciende a $1.700. Ejemplo 2 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cuatro meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario compuesto que efectúo el banco que aplicó una TES de descuento anticipada de 18%. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d = 18% n = 4 meses Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (10), se obtiene: 120 D = 5.000 1 − (1 − 0, 18 )180 = $619, 61
Aplicando la ecuación (11) para el cálculo del valor descontado se tiene: 120 P = 5.000 (1 − 0, 18 )180 = $4.380, 39
El descuento asciende a $619,61 y el valor descontado o valor presente a $4.380,39. Ejemplo 3 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 287 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario compuesto que efectúo el banco que aplicó una TEM de descuento anticipada de 2%.
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Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (10), se obtiene: 287 D = 5.000 1 − (1 − 0, 02) 30 = $878, 71
Aplicando la ecuación (11) para el cálculo del valor descontado se tiene: 120 P = 5.000 (1 − 0, 18 )180 = $4.380, 39
El descuento asciende a $878,71 y el valor descontado o valor presente a $4.121,29. Descuento con tasa i efectiva variable Ahora, muchas veces sucede que las tasas efectivas sufren variaciones durante el plazo del descuento, para esta situación, utilizamos la fórmula siguiente. z hk Fk D = S 1 − ∏ (1 − ik ) (12) k =1
El valor descontado o valor presente en un descuento bancario compuesto cuando las tasas o los periodos de tasa son variables es la siguiente: z hk Fk D = S ∏ (1 − ik ) (13) k =1 Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable Calcule el descuento bancario compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $10.000. El pagaré se descontará el 4 de mayo y vencerá el 16 de septiembre del mismo año. La TEA será del 12% hasta el 30 de junio y a partir de esa fecha se incrementará al 15%. Solución: Los datos son: D=? S = 10.000 d1 = 12% d2 = 15% h1 = 57 h2 = 78
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Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (12), se obtiene: 57 78 D = 10.000 1 − (1 − 0, 12) 360 (1 − 0, 15) 360 = $539, 43
Al aplicar la ecuación (13) para encontrar el valor descontado, se tiene: 57 78 D = 10.000 (1 − 0, 12) 360 (1 − 0, 15) 360 = $9.460, 57
El descuento asciende a $539,43 y el valor descontado o valor presente a $9.460,57.
Ejemplo 2 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable Calcule el descuento bancario compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $5.000. El pagaré se descontará el 13 de febrero y vencerá el 27 de noviembre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las tasas de descuento fueron las siguientes:
Tasa A partir del TEA 28,0% 13/02 TES 12,5% 09/07 TET 5,5% 20/09
Calcule el interés descuento en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d1 = 28% d2 = 12,5% d3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (12), se obtiene: 146 73 68 D = 5.000 1 − (1 − 0, 28 ) 360 (1 − 0125)180 (1 − 0, 055) 90 = $1.027, 82
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Al aplicar la ecuación (13) para encontrar el valor descontado, se tiene: 146 73 68 P = 5.000 (1 − 0, 28 ) 360 (1 − 0, 125)180 (1 − 0, 055) 90 = $3.9 972, 18
El descuento asciende a $1.027,82 y el valor descontado o valor presente a $3.972,18.
4. DESCUENTO RACIONAL El descuento racional efectuado al valor nominal de un título-valor que vence en el futuro, es su respectivo interés deducido por anticipado, calculado con la tasa de interés nominal j o con la tasa de interés efectiva i sobre el importe que verdaderamente recibe el descontante; este importe constituye el valor presente del título-valor. De este modo, el descuento racional calculado sobre el valor nominal del título-valor y el interés vencido calculado sobre su respectivo valor presente durante un mismo plazo, con la misma tasa, producen iguales resultados; incluso, se ha comprobado la identidad Descuento = Interés. Este descuento se denomina racional, matemático o verdadero porque existe perfecta reversibilidad entre sus variables, lo que significa que a través de la tasa de descuento (tasa j o tasa i) el valor del título-valor puede convertirse en un valor presente y viceversa; lo que no sucede con el descuento bancario, como veremos más adelante. El descuento racional puede ser simple o compuesto.
4.1. Descuento racional simple Este tipo de descuento, obtiene el descuento racional simple efectuado al valor nominal de un título-valor que vence en una fecha futura aplicando una tasa nominal j de cualquier plazo, por el período de tiempo que media entre la fecha de vencimiento del título-valor y el momento en que se descuento dicho título. Descuento con tasa d nominal constante Para el cálculo de este descuento, se aplica la siguiente fórmula: 1 D = S 1 − (14) 1 + dn Este tipo de descuento produce el mismo resultado que el interés simple calculado sobre el valor presente del título-valor, siendo el valor presente la diferencia del valor nominal y el importe del descuento. El valor descontado o valor presente en un descuento racional simple se puede calcular utilizando la fórmula siguiente: 1 P = S (15) 1 + dn Si la formula anterior, le parece algo conocida, está en lo cierto. La formula es idéntica, cuando
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calculamos el valor presente utilizando interés simple. Por tanto, este tipo de descuento produce el mismo resultado que el interés simple calculado sobre el valor presente del título-valor. Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Calcular los intereses de descuento racional simple que aplica el Banco Citibank por una letra de cambio que asciende a $2.000, faltando un año para su vencimiento. El banco cobra una TNA del 15%. Solución: Los datos son: D=? S = $2.000 d = 15% n = 1 año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (14), se obtiene: 1 D = 2.000 1 − = $260, 87 1 + 0, 15 * 1 Sustituyendo los valores en la ecuación (15) para calcular el valor descontado se tiene: 1 D = 2.000 = $1.739, 13 1 + 0, 15 * 1 El descuento asciende a $260,87 y el valor descontado o valor presente a $1.739,13. Ejemplo 2 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cuatro meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectúo el banco que aplicó una TNS de descuento anticipada de 18%. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d = 18% n = 4 meses
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Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (14), se obtiene: 1 D = 5.000 1 − = $535, 71 1 + 0, 18 * 120 180 Sustituyendo los valores en la ecuación (15) para calcular el valor descontado se tiene: 1 P = 5.000 = $4.464, 29 120 1 + 0, 18 * 180 El descuento asciende a $535,71 y el valor descontado o valor presente a $4.464,29.
Ejemplo 3 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 287 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectúo el banco que aplicó una TNM de descuento anticipada de 2%. Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (14), se obtiene: 1 D = 5.000 1 − = $803, 02 1 + 0, 02 * 287 30 Sustituyendo los valores en la ecuación (15) para calcular el valor descontado se tiene: 1 P = 5.000 = $4.196, 98 1 + 0, 02 * 287 30 El descuento asciende a $803,02 y el valor descontado o valor presente, asciende a $4.196,98. Descuento con tasa d nominal variable La fórmula para calcular el descuento cuando las tasas nominales sufren variaciones, es la
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siguiente. 1 (16) D = S 1 − z hk 1 + ∑ dk * Fk k =1 El valor descontado o valor presente en un descuento racional simple cuando las tasas o los periodos de tasa son variables es la siguiente: 1 (17) P = S z h 1 + ∑ dK * k Fk k =1 Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado cuando el principal es constante y la tasa nominal variable Calcule el descuento racional simple que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $10.000. El pagaré se descontará el 4 de mayo y vencerá el 16 de septiembre del mismo año. La TNA será del 12% hasta el 30 de junio y a partir de esa fecha se incrementará al 15%. Solución: Los datos son: D=? S = 10.000 d1 = 12% d2 = 15% h1 = 57 h2 = 78 Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (16), se obtiene: 1 D = 10.000 1 − = $489, 78 1 + 0, 12 * 57 + 0, 15 * 78 360 360 Al aplicar la ecuación (17) para encontrar el valor descontado, se tiene: 1 P = 10.000 = $9.510, 22 1 + 0, 12 * 57 + 0, 15 * 78 360 360
Unidad III
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PROESAD
El descuento asciende a $489,78 y el valor descontado o valor presente a $9.510,22. Ejemplo 2 Cálculo del interés del descuento y del valor descontado cuando el principal es constante y la tasa nominal variable Calcule el descuento racional simple que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $5.000. El pagaré se descontará el 13 de febrero y vencerá el 27 de noviembre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las tasas de descuento fueron las siguientes:
Tasa A partir del TNA 28,0% 13/02 TNS 12,5% 09/07 TNT 5,5% 20/09
Calcule el interés descuento en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d1 = 28% d2 = 12,5% d3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (16), se obtiene: 1 D = 5.000 1 − = $853, 39 1 + 0, 28 * 146 + 0, 125 * 73 + 0, 055 * 68 360 180 90 Al aplicar la ecuación (17) para encontrar el valor descontado, se tiene: 1 P = 5.000 4.146, 61 = $4 1 + 0, 28 * 146 + 0, 125 * 73 + 0, 055 * 68 360 180 90 El descuento asciende a $853,39 y del valor descontado o valor presente a $4.146,61.
Cálculo financiero
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Universidad Peruana Unión
4.2. Descuento racional compuesto Este tipo de descuento obtiene el descuento racional compuesto efectuado al valor nominal de un título-valor que vence en una fecha futura aplicando una tasa efectiva de cualquier plazo, por el período de tiempo que media entre la fecha de vencimiento del título-valor y el momento en que se descuento dicho título. El descuento racional compuesto es el único tipo de descuento en el que la tasa de descuento que se anuncia es la que efectivamente se cobra, lo que no sucede con los otros descuentos que se han tratado anteriormente. En el sistema financiero peruano este descuento es el único permitido por las entidades reguladoras del sistema, por lo que su aplicación es de uso obligatorio. El descuento racional compuesto produce el mismo resultado que el interés compuesto calculado sobre el valor presente del título-valor, siendo el valor presente la diferencia del valor nominal y el importe del descuento Descuento con tasa i efectiva constante Para el cálculo de este descuento, se aplica la siguiente fórmula:
D = S[1 - (1 + d)-n] (18)
El valor descontado o valor presente en un descuento racional compuesto se puede calcular utilizando la fórmula siguiente: P = S[(1+ d)-n] (19) Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Calcular los intereses de descuento racional compuesto que aplica el Banco Citibank por una letra de cambio que asciende a $2.000, faltando un año para su vencimiento. El banco cobra una TEA del 15%. Solución: Los datos son: D=? S = $2.000 d = 15% n = 1 año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (18), se obtiene: D = 2.000[1 - (1 + 0,15)-1] = $260,87
Unidad III
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PROESAD
Al aplicar la ecuación (19) para encontrar el valor descontado, se tiene:
P = 2.000[(1 + 0,15)-1] = $1.739,13
El descuento asciende a $260,87y del valor descontado o valor presente, asciende a $1.739,13.
Ejemplo 2 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cuatro meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectúo el banco que aplicó una TES de descuento anticipada de 18%. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d = 18% n = 4 meses Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (18), se obtiene: 120 − D = 5.000 1 − (1 + 0, 18 ) 180 = $522, 37
Al aplicar la ecuación (19) para encontrar el valor descontado, se tiene: 120 − P = 5.000 (1 + 0, 18 ) 180 = $4.477, 63
El descuento asciende a $522,37 y del valor descontado o valor presente a $4.477,63.
Ejemplo 3 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 287 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectúo el banco que aplicó una TEM de descuento anticipada de 2%.
Cálculo financiero
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Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (18), se obtiene: 287 − D = 5.000 1 − (1 + 0, 02) 30 = $862, 91
Al aplicar la ecuación (19) para encontrar el valor descontado, se tiene: 287 P = 5.000 (1 + 0, 02) 30 = $4.137, 09
El descuento asciende a $862,91 y del valor descontado o valor presente a $4.137,09.
Descuento con tasa i efectiva variable La fórmula para calcular el descuento cuando las tasas efectivas sufren variaciones, es la siguiente: 1 1 − z D = S hk Fk ∏ (1 + dk ) k =1
(20)
El valor descontado o valor presente en un descuento bancario compuesto cuando las tasas o los periodos de tasa son variables es la siguiente: 1 P = S z hk Fk ∏ (1 + dk ) k =1
(21)
Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable Calcule el descuento racional compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $10.000. El pagaré se descontará el 4 de mayo y vencerá el 16 de setiembre del mismo año. La TEA será del 12% hasta el 30 de junio y a partir de esa fecha se incrementará al 15%. Solución:
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PROESAD
Los datos son: D=? S = 10.000 d1 = 12% d2 = 15% h1 = 57 h2 = 78 Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (20), se obtiene: 1 = $470, 86 D = 10.000 1 − 57 78 (1 + 0, 12) 360 (1 + 0, 15) 360 Sustituyendo los valores en la ecuación (21) para calcular el valor descontado se tiene: 1 = $9.529, 14 P = 10.000 57 78 (1 + 0, 12) 360 (1 + 0, 15) 360 El descuento asciende a $470,86 y el valor descontado o valor presente a $9.529,14.
Ejemplo 2 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado cuando el principal es constante y la tasa efectiva variable Calcule el descuento racional compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $5.000. El pagaré se descontará el 13 de febrero y vencerá el 27 de noviembre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las tasas de descuento fueron las siguientes: Tasa A partir del TEA 28,0% 13/02 TES 12,5% 09/07 TET 5,5% 20/09 Calcule el interés descuento en la fecha de cierre. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d1 = 28%
Cálculo financiero
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Universidad Peruana Unión
d2 = 12,5% d3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 73 h3 = 68 Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (20), se obtiene: 1 = $662, 54 D = 5.000 1 − 146 73 68 (1 + 0, 28 ) 360 (1 + 0, 125)180 (1 + 0, 055) 90 Sustituyendo los valores en la ecuación (21) para calcular el valor descontado se tiene: 1 = $4.337, 46 P = 5.000 146 73 68 (1 + 0, 28 ) 360 (1 + 0, 125)180 (1 + 0, 055) 90 El descuento asciende a $662,54 y el valor descontado o valor presente a $4.337,46. Descuento con tasa j capitalizable El descuento racional compuesto también puede ser generado por una tasa nominal j capitalizable m veces (m es el número de periodos que capitaliza la tasa nominal en su respectivo plazo). La formula que nos permite calcular los intereses de descuento es la siguiente: −n j D = S 1 − 1 + (22) m
El valor descontado o valor presente en un descuento racional compuesto con j capitalizable se puede calcular utilizando la fórmula siguiente: −n j P = S 1 + (23) m
Ejemplo 1 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Calcular los intereses de descuento que aplica el Banco Citibank por una letra de cambio que asciende a $2.000, faltando un año para su vencimiento. El banco cobra una TNA del 15% capitalizable mensualmente. Solución:
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Los datos son: D=? S = $2.000 d = 15% n = 1 año Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (22), se obtiene: 360 − 0, 15 30 D = 2.000 1 − 1 + = $276, 98 12
Sustituyendo los valores en la ecuación (23) para calcular el valor descontado se tiene: 360 − 30 0 , 15 = $1.723, 02 P = 2.000 1 + 12
El descuento asciende a $276,98 y el valor descontado o valor presente, asciende a $1.723,02. Ejemplo 2 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cuatro meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectúo el banco que aplicó una TES de 18% capitalizable mensualmente. Solución: Los datos son: D=? S = 5.000 d = 18% n = 4 meses Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (22), se obtiene: 120 − 0, 18 30 D = 5.000 1 − 1 + = $557, 56 6
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Sustituyendo los valores en la ecuación (23) para calcular el valor descontado se tiene: 120 − 0, 18 30 P = 5.000 1 + = $4.442, 44 6
El descuento asciende a $557,56 y el valor descontado o valor presente a $4.442,44. Ejemplo 3 Cálculo del interés de descuento y del valor descontado Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $5.000 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 287 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectúo el banco que aplicó una TEM de 2% capitalizable mensualmente. Solución: Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (22), se obtiene: 287 − D = 5.000 1 − (1 + 0, 02) 30 = $862, 91
Sustituyendo los valores en la ecuación (23) para calcular el valor descontado se tiene: 287 − P = 5.000 (1 + 0, 02) 30 = $4.137, 09
El descuento asciende a $862,91 y el valor descontado o valor presente a $4.137,09.
5. OPERACIONES DE DESCUENTO EN LA PRÁCTICA Resumiendo lo que hemos visto en las secciones anteriores, en el sistema financiero peruano solo está permitido el uso del descuento racional compuesto, puesto que este tipo de descuento es el único en el que la tasa de descuento que se anuncia es la que efectivamente se cobra, lo que no sucede con los otros descuentos. Por tanto, en el sistema financiero peruano este descuento es el único permitido por las entidades reguladoras del sistema, por lo que su aplicación es de uso obligatorio. Asimismo, hemos visto en los ejemplos anteriores que la institución financiera que descuenta el título-valor, solo nos cobra la tasa de interés, y en la práctica esto no es así. Estas instituciones, además de la tasa de interés nos cobran ciertas comisiones, gastos, seguros, impuestos, etc. Las comisiones son cantidades que se pagan o cobran por la prestación de un servicio. La comisión se expresa en tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo.
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PROESAD
Por tanto, los bancos en sus prácticas, además de la tasa de descuento, cobran otros tipos de conceptos, los cuales al agregarse al descuento, disminuyen el valor efectivo del título-valor y como consecuencia resulta más alta la tasa de interés de la operación. En otras palabras el costo efectivo de la operación de descuento es mayor a la tasa que anuncia el banco para este tipo de producto. Recuerde, la tasa efectiva está determinado por lo que efectivamente recibimos y lo que efectivamente pagamos. Ejemplo 1 Cálculo del interés (I) Calcular el valor descontado o valor presente que se recibe al descontar un pagaré de $5.000, 120 días antes de su vencimiento, si el banco cobra además $5 por gastos bancarios y el 0,2% por concepto de comisiones, sobre el pagaré. El BWS aplica una TEA de 9%. El banco abona el neto a la cuenta corriente de la empresa. Solución: Los datos son: P=? S = $5.000 d = 9% n = 120 días En primer lugar, calculamos el valor descontado del pagaré. Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (17), se obtiene: 120 − P = 5.000 (1 + 0, 09 ) 360 = $4.858, 41 A continuación, a este importe le restamos los gastos bancarios ($5) y las comisiones ($10). Por tanto, monto que el BWS abonará a la cuenta corriente de la empresa es como sigue:
P = 4.858,41 - (5 + 10) P = $4.843,41 El banco abonará a la cuenta corriente de la empresa la suma de $4.843,41. Ahora, si queremos calcular el costo efectivo de la operación de descuento, veamos dos escenarios: a) Cuando el banco sólo me cobra la tasa de interés
La tasa efectiva a 120 días de esta operación es: i=
5.000 − 4.858, 41 141, 59 = = 2.914% 4.858, 41 4.858, 41
Cálculo financiero
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Para calcular la TEA, capitalizamos la tasa efectiva a 120 días, el cual es como sigue:
TEA = [(1 + 0,02914)3 - 1] = 9%
Podemos observar que cuando el banco solo me cobra la tasa que anuncia, entonces esa tasa es la TEA.
b) Cuando el banco además de la tasa de interés me cobra gastos bancarios y comisiones
La tasa efectiva a 120 días de esta operación es: i=
5.000 − 4.843, 41 156, 59 = = 3.233% 4.843, 41 4.843, 41
Para calcular la tasa efectiva anual, capitalizamos la tasa efectiva a 120 días, el cual es como sigue:
TEA = [(1 + 0,03233)3 - 1] = 10,01%
Lo contrario, podemos observar que cuando el banco, aparte de cobrarme la tasa de interés, me cobra otros costos, entonces la tasa efectiva es mayor a la tasa que anuncia.
Unidad III
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GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________ 4. ______________ _____________________________________________
¿ ? ¿ ?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor. Descuento comercial unitario 1. Calcular los intereses de descuento comercial y el valor descontado o precio neto que aplica Saga Falabella por una cámara digital, cuyo precio de lista es de $350, si se aplica un descuento comercial de 25%. Rpta. $87,50 y $262,50 Descuento comercial sucesivo o en cadena 2. Sobre una factura de $7.500 se conceden los siguientes descuentos. a) Por compra al por mayor b) Por promoción especial de ventas c) Por despachos sin empaques
6% 4% 2%
Calcule los intereses de descuento comercial el valor descontado de la factura. Rpta. $867,36 y $6.632,64
Descuento bancario simple con tasa d nominal constante
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3. Calcular los intereses de descuento bancario simple que aplica el Banco Interfip por una letra de cambio que asciende a $4.250, faltando un año para su vencimiento. Calcular también el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. El banco cobra una TNS del 12%. Rpta. $1.020 y $3.230 4. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $3.750 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cinco meses para su vencimiento. Calcular también el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Se requiere conocer el importe del descuento bancario simple que efectúo el banco que aplicó una TNT de descuento anticipada de 8,5%. Rpta. $531,25 y $3.218,75 5. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $8.820 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 136 días para su vencimiento. Calcular también el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Se requiere conocer el importe del descuento bancario simple que efectúo el banco que aplicó una TNQ de descuento anticipada de 1,25%. Rpta. $999,60 y $7.820,40 Descuento bancario simple con tasa d nominal variable 6. Calcule el descuento bancario simple que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $12.500. El pagaré se descontará el 13 de febrero y vencerá el 9 de julio del mismo año. La TNA será del 14% hasta el 26 de mayo y a partir de esa fecha se incrementará al 16%. Asimismo, calcular el valor descontado o valor presente del pagaré. Rpta. $740,28 y $11.759,72 7. Calcule el descuento bancario simple que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $25.000. El pagaré se descontará el 8 de enero y vencerá el 20 de octubre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las tasas de descuento fueron las siguientes: Tasa A partir del TNS 8,0% 08/01 TNT 4,5% 26/05 TNQ 0,8% 05/09
Calcule el interés descuento en la fecha de cierre, así como el valor descontado o valor presente del pagaré. Rpta. $3.408,33 y $21.591,67
Descuento bancario compuesto con tasa i efectiva constante 8. Calcular los intereses de descuento bancario compuesto que aplica el Banco Interfip por una letra de cambio que asciende a $4.250, faltando un año para su vencimiento. A su vez calcule el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. El banco cobra una TES del 12%. Rpta. $958,80 y $3.291,20 9. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $3.750 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cinco meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario compuesto que efectúo el banco que aplicó una TET de descuento anticipada de 8,5%. A su vez calcule el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Rpta. $516,05 y Rpta. $3.233,95
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10. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $8.820 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 136 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario compuesto que efectúo el banco que aplicó una TEQ de descuento anticipada de 1,25%. A su vez calcule el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Rpta. $950,66 y Rpta. $7.869,34 Descuento bancario compuesto con tasa i efectiva variable 11. Calcule el descuento bancario compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $12.500. El pagaré se descontará el 13 de febrero y vencerá el 9 de julio del mismo año. La TEA será del 14% hasta el 26 de mayo y a partir de esa fecha se incrementará al 16%. Asimismo, calcular el valor descontado o valor presente del pagaré. Rpta. $775,44 y $11.724,56 12. Calcule el descuento bancario compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $25.000. El pagaré se descontará el 8 de enero y vencerá el 20 de octubre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las tasas de descuento fueron las siguientes: Tasa A partir del TES 8,0% 08/01 TET 4,5% 26/05 TEQ 0,8% 05/09
Calcule el interés descuento en la fecha de cierre, así como el valor descontado o valor presente del pagaré. Rpta. $3.270,51 y Rpta. $21.729,49
Descuento racional simple con tasa d nominal constante 13. Calcular los intereses de descuento racional simple que aplica el Banco Interfip por una letra de cambio que asciende a $4.250, faltando un año para su vencimiento. Asimismo, calcular el valor descontado o valor presente de la letra de cambio pagaré. El banco cobra una TES del 12%. Rpta. $822,58 y $3.427,42 14. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $3.750 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cinco meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectúo el banco que aplicó una TNT de descuento anticipada de 8,5%. Asimismo, calcular el valor descontado o valor presente de la letra de cambio pagaré. Rpta. $465,33 y $3.284,67 15. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $8.820 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 136 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectúo el banco que aplicó una TNQ de descuento anticipada de 1,25%. Asimismo, calcular el valor descontado o valor presente de la letra de cambio pagaré. Rpta. $897,84 y Rpta. $7.922,16 Descuento racional simple con tasa d nominal variable 16. Calcule el descuento racional simple que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $12.500. El pagaré se descontará el 13 de febrero y vencerá el 9 de julio del mismo año. La TNA será del 14% hasta el 26 de mayo y a partir de esa fecha se incrementará al 16%. A su vez calcule el valor descontado o valor presente del pagaré. Rpta. $698,89 y $11.801,11
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17. Calcule el descuento racional simple que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $25.000. El pagaré se descontará el 8 de enero y vencerá el 20 de octubre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las tasas de descuento fueron las siguientes:
Tasa A partir del TNS 8,0% 08/01 TNT 4,5% 26/05 TNQ 0,8% 05/09
Calcule el interés descuento en la fecha de cierre, así como el valor descontado o valor presente del pagaré. Rpta. $2.999,41 y Rpta. $22.000,59
Descuento racional compuesto con tasa i efectiva constante 18. Calcular los intereses de descuento racional compuesto que aplica el Banco Interfip por una letra de cambio que asciende a $4.250, faltando un año para su vencimiento. A su vez calcule el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. El banco cobra una TES del 12%. Rpta. $861,93 y $3.388,07 19. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $3.750 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cinco meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectúo el banco que aplicó una TET de descuento anticipada de 8,5%. A su vez calcule el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Rpta. $476,73 y Rpta. $3.273,27 20. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $8.820 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 136 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectúo el banco que aplicó una TEQ de descuento anticipada de 1,25%. A su vez calcule el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Rpta. $939,50 y $7.880,50 Descuento racional compuesto con tasa i efectiva variable 21. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $8.820 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 136 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectúo el banco que aplicó una TNQ de descuento anticipada de 1,25%. Asimismo, calcular el valor descontado o valor presente de la letra de cambio pagaré. Rpta. $897,84 y Rpta. $7.922,16 22. Calcule el descuento racional compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $12.500. El pagaré se descontará el 13 de febrero y vencerá el 9 de julio del mismo año. La TEA será del 14% hasta el 26 de mayo y a partir de esa fecha se incrementará al 15%. Asimismo, calcular el valor descontado o valor presente del pagaré. Rpta. $672,07 y $11.827,93 23. Calcule el descuento racional compuesto que se efectuará a un pagaré con valor nominal de $25.000. El pagaré se descontará el 8 de enero y vencerá el 20 de octubre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las tasas de descuento fueron las siguientes:
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Tasa A partir del TEA 8,0% 08/01 TES 4,5% 26/05 TET 0,8% 05/09
Calcule el interés descuento en la fecha de cierre, así como el valor descontado o valor presente del pagaré. Rpta. $3.108,86 y $21.891,14
Descuento con tasa j capitalizable 24. Calcular los intereses de descuento racional compuesto que aplica el Banco Interfip por una letra de cambio que asciende a $4.250, faltando un año para su vencimiento. El banco cobra una TES del 12% capitalizable mensualmente. Calcular también el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Rpta. $898,90 y $3.351,10 25. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $3.750 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cinco meses para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectúo el banco que aplicó una TET de 8,5% capitalizable mensualmente. Calcular también el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Rpta. $488,92 y Rpta. $3.261,08 26. Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $8.820 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 136 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectúo el banco que aplicó una TEQ de 1,25% capitalizable quincenalmente. Calcular también el valor descontado o valor presente de la letra de cambio. Rpta. $939,50 y Rpta. $7.880,50 Operaciones de descuento en la práctica 27. Una persona descuenta un pagaré por $8.500 en un banco, 90 días antes de su vencimiento, a una TEA de 10%. Si paga además $10 por conceptos de gastos bancarios y 0,2% por concepto de comisiones, sobre el pagaré. Calcular el abono que hará el banco en la cuenta corriente del cliente y el costo efectivo de la operación. Rpta. $8.272,86 y 11,44% 28. Textiles Pacifico S.R.L. descuenta un pagaré por $8.500 en un banco, 45 días antes de su vencimiento, a una TEA de 10%. Si paga además $10 por conceptos de gastos bancarios y 0,2% por concepto de comisiones, sobre el pagaré. Calcular el abono que hará el banco en la cuenta corriente del cliente y el costo efectivo de la operación. Rpta. $8.372,33 y 12,87%
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PROESAD
Sesión
Tasas
1. INTRODUCCIÓN En el sistema financiero, los productos transados son colocaciones y captaciones, cuyo costo, denominados tasa de interés, se fija de acuerdo con las reglas del mercado, bajo la regulación y supervisión de organismos especializados, creados de acuerdo a ley. En el Perú la entidad encargada de la regulación y supervisión es la Superintendencia de Banca y Seguros SBS. Existe una terminología muy variada para designar las diversas tasas de interés vigentes en el sistema financiero, muchas de ellas representan el mismo concepto a pesar de tener diferentes denominaciones. En la tabla 1 se trata de agrupar, clasificar y definir esas tasas, en función de algún elemento común que las relacione. Tabla 1 Clasificación de las tasas (tomado de Carlos Aliaga)
Vencida Anticipada
Según se aplique directamente al valor presente de un capital o al valor futuro de un título-valor.
Nominal proporcional Efectiva equivalente
De acuerdo con el número de periodos de tiempo.
Activa Pasiva
Según el balance bancario para sus operaciones de colocaciones y captaciones respectivamente. Por la contraprestación del uso del dinero e indemnización por incumplimiento.
Compensatoria Moratoria TANM Tasa activa en moneda nacional TAMEX Tasa activa en moneda extranjera TIPMN Tasa de interés pasiva en moneda nacional TIPMEX Tasa de interés pasiva en moneda extranjera
Según el tipo de moneda.
Discreta Continua
Por el tipo de capitalización.
Explícita Implícita
De acuerdo con su participación o no en la operación.
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2. TASA VENCIDA Y ANTICIPADA La tasa vencida es la relación del interés con el capital inicial. La aplicación de una tasa vencida al capital inicial genera interés a medida que transcurren los periodos durante el horizonte temporal. La tasa anticipada es la relación del interés con el capital final. La aplicación de una tasa anticipada al capital final descuenta interés a medida que transcurren los periodos durante el horizonte temporal.
3. TASA NOMINAL PROPORCIONAL También conocida como tasa convencional o referencial y lo fija un Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir, tasa nominal o tasa nominal anual. Lo importante es que cuando hablamos de tasa nominal estamos hablando de un interés simple que solamente podemos dividirlo o multiplicarlo para calcular el monto o capital final de una operación. La tasa nominal es aquella que corresponde a diferentes fracciones de tiempo, generalmente periodos menores de un año con los cuales es directamente proporcional. Se utiliza cuando necesitamos calcular el interés (I) en una operación y la tasa de interés mencionada (nominal) está en distintos términos a los periodos (m) pudiendo ser estos periodos de calculo menores o mayores al periodo que se refiere la tasa nominal. Ejemplo 1 Tasa nominal proporcional Convertir una TNA de 15% en una TNS, TNC, TNT, TNM, TNQ y TND. Solución: Las tasas equivalentes son como sigue:
Tasa nominal Siglas Cálculo Tasa proporcional Semestral TNS 15/2 7,500 % Cuatrimestral TNC 15/3 5,000 % Trimestral TNT 15/4 3,750 % Mensual TNM 15/12 1,250 % Quincenal TNQ 15/24 0,625 % Día TND 15/360 0,041 %
De esto se deduce que una TNA de 15% es proporcional a: 7,5% semestral (=15/2 = 7,5) 3,75% trimestral (=15/4 = 3,75) 1,25% mensual (=15/12 = 1,25).
Unidad III
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PROESAD
Ejemplo 2 Tasa nominal proporcional Convertir una TND de 0,05% en una TNQ, TNM, TNT, TNC, TNS y TNA. Solución: Las tasas equivalentes son como sigue: Tasa nominal Siglas Cálculo Quincenal TNQ 0,05 x 15 Mensual TNM 0,05 x 30 Trimestral TNT 0,05 x 90 Cuatrimestral TNC 0,05 x 120 Semestral TNS 0,05 x 180 Anual TNA 0,05 x 360
Tasa proporcional 0,750 % 1,500 % 4,500 % 6,000 % 9,000 % 18,000 %
De esto se deduce que una TND de 0,05% es proporcional a: 1,5% mensual (=0,05 x 30 = 1,5). 4,5% trimestral (=0,05 x 90 = 4,5) 9,0% semestral (=0,05 x 180 = 9,0)
4. CONVERSIÓN DE UNA TASA NOMINAL A EFECTIVA La tasa efectiva i es la verdadera tasa de rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera. Para convertir una tasa nominal capitalizable m veces durante su plazo, en una tasa efectiva capitalizada n veces durante el horizonte temporal de la operación financiera, se utiliza la siguiente fórmula: m i = 1 + J − 1 (1) m La fórmula anterior convierte una tasa nominal capitalizable m veces durante su plazo, en una tasa efectiva capitalizada durante n períodos de tasa, en la cual la relación (que también es la tasa efectiva del período capitalizable) y n hacen referencia a la misma unidad de tiempo. Es conveniente señalar además que cuando se nos da como dato una tasa nominal, a la tasa proporcional (que vimos en el punto anterior) correspondiente al período de capitalización se le denomina también tasa efectiva. Ejemplo 1 Cálculo de la tasa efectiva Un banco ofrece préstamos a una TNA de 10% ¿Cuál es la TEA si la capitalización fuera anual?
Cálculo financiero
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Solución: Utilizando la ecuación (1) tenemos: 1
0, 10 i = 1 + − 1 = 10% 1 La TEA que cobra el banco es 10%. En este caso, el banco me cobra la tasa que anuncia. Una TNA es igual a una TEA solo cuando los intereses se capitalizan anualmente. Lo mismo, una TNS será igual a una TES, sólo si los intereses se capitalizan semestralmente. Ejemplo 2 Cálculo de la tasa efectiva Un banco ofrece préstamos a una TNA de 10% ¿Cuál es la TEA si la capitalización fuera mensual? Solución: Utilizando la ecuación (1) tenemos: 12
0, 10 i = 1 + − 1 = 10, 47% 12 Una TNA de 10% se convierte en una TEA de 10,47%, debido a que los intereses se capitalizan de manera mensual. Ejemplo 3 Cálculo de la tasa efectiva Un banco ofrece préstamos a una TNA de 10% ¿Cuál es la TEA si la capitalización fuera diaria? Solución: Utilizando la ecuación (1) tenemos: 0, 10 i = 1 + 360
360
− 1 = 10, 52%
Una TNA de 10% se convierte en una TEA de 10,52%, debido a que los intereses se capitalizan de manera diaria.
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Ejemplo 4 Cálculo de la tasa efectiva Un banco ofrece préstamos a una TNA de 18% ¿Cuál es la TES si la capitalización fuera semestral? Solución: Utilizando la ecuación (1) tenemos: 1
0, 18 i = 1 + − 1 = 9% 2 En este ejemplo, se comprueba que cuando se nos da como dato una tasa nominal, a la tasa proporcional correspondiente al período de capitalización se le denomina también tasa efectiva. La TES es 9%.
5. TASA EFECTIVA EQUIVALENTE Como se ha visto en los capítulos anteriores cuando hablamos de tasa efectiva estamos hablando de un interés compuesto que para convertirla en distintas unidades de tiempo tenemos que utilizar las operaciones matemáticas llamadas: radicación y potenciación. La tasa efectiva equivalente, es aquella, que en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Mejor dicho dos tasas con diferentes periodos de capitalización, son equivalentes, si producen el mismo valor actual o futuro, en cualquier periodo. Ejemplo 1 Tasa efectiva equivalente Convertir una TEA de 15% en una TES, TEC, TET, TEM, TEQ y TED. Solución: Las tasas equivalentes son como sigue: Tasa nominal Siglas
Cálculo
Tasa equivalente
2 1 + 0, 15 − 1 ( ) 7,238 % Semestral TES 4,768 % Cuatrimestral TEC 3 (1 + 0, 15) − 1 4 1 + 0, 15 − 1 ( ) Trimestral TET 12 1 + 0, 15 − 1 ( ) Mensual TEM
24 1 + 0, 15 − 1 Quincenal TEQ ( ) 360 Día TED 1 ( + 0,15) − 1
3,555 % 1,171 % 0,584 % 0,038 %
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De esto se deduce que una TEA de 15% es equivalente a: 7,238% semestral 3,555% trimestral 1,171% mensual. Ejemplo 2 Tasa efectiva equivalente Convertir una TED de 0,05% en una TEQ, TEM, TET, TEC, TES y TEA. Solución: Las tasas equivalentes son como sigue: Tasa nominal Siglas Cálculo Tasa equivalente 15 Quincenal TNQ 0,752 % (1 + 0, 0005) − 1 30 1,511 % Mensual TNM (1 + 0, 0005) − 1 90 4,602 % Trimestral TNT (1 + 0, 0005) − 1 120 6,182 % Cuatrimestral TNC (1 + 0, 0005) − 1 180 9,415 % Semestral TNS 1 ( + 0, 0005) − 1 360 Anual TNA (1 + 0, 0005) − 1 19,716 % De esto se deduce que una TED de 0,05% es equivalente a: 1,511% mensual 4,602% trimestral 9,415% semestral
6. TASA ACTIVA Y PASIVA Estas tasas son las que cobran los bancos e instituciones que se mueven dentro del sistema financiero. Hay una diferencia enorme entre uno y otro concepto, a continuación definiremos cada una de ellas.
6.1. Tasa de interés pasiva A los pagos que efectúan u ofrecen las empresas financieras a las captaciones de fondos que ésta realiza al público, se les conoce como tasa pasiva, porque son obligaciones que tienen las entidades financieras y son registradas en el pasivo del balance. Las tasas pasivas aplicadas por las instituciones del sistema financiero a los usuarios finales se expresan generalmente en términos nominales y con una frecuencia de capitalización determinada; por ejemplo., los ahorros capitalizan mensualmente, mientras los depósitos a plazo capitalizan a diario.
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Las operaciones pasivas que efectúan estas empresas son: a) b) c) d)
Cuentas corrientes Depósitos de ahorros Depósitos a plazos Depósitos de CTS
Ejemplo Tasa de interés pasiva La señorita Livni Vidal, tiene una cuenta de ahorros en el BBVA, cuyo monto es de $3.000, los cuales permanecen por un espacio de tres años, a una TNA del 6% con capitalización mensual. ¿Cuál es el monto que retirará Livni una vez cumplido el plazo? Solución: Los datos son: S=? P = $3.000 i = 6% n = 3 años Utilizando la ecuación (7) del capítulo de interés compuesto se tiene: 0, 06 36 S = $3.000 1 + = $3.590, 04 12 En este caso, como es una cuenta de ahorros, el banco capitaliza los intereses mensualmente. Por tanto, Livni recibirá al final de los tres años, la suma de $3.590,04.
6.2. Tasa de interés activa Tasas de interés aplicadas para fondos disponibles a colocaciones, inversiones y otros tipos de operaciones que por su naturaleza son registradas en los distintos rubros del activo del balance. Son pues, las tasas que cobran las empresas del sistema financiero, cuando efectúan colocaciones (préstamos). Las operaciones activas que efectúan estas empresas son: a) Préstamos b) Descuentos c) Sobregiros, etc. La tasa activa, generalmente está expresada en términos efectivos.
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Ejemplo Tasa de interés activa El BCP ha prestado a la empresa Los Amigos S.A.C., debidamente representada por su Gerente General, el señor Marco Bonilla, la suma de $3.000 a una TEA de 20% a pagar en 3 años. ¿Cuál es el monto que pagará la empresa una vez cumplido el plazo? Solución: Los datos son: S=? P = $3.000 i = 20% n = 3 años Utilizando la ecuación (7) del capítulo de interés compuesto se tiene: 3 S = $3.000 (1 + 0, 20 ) = $5.184
Podemos observar que la suma original de $3.000 se ha incrementado notablemente. De esta manera, la empresa Los Amigos S.A.C., tendrá que pagar al final de los tres años, la suma de $5.184. Se puede ver que para un mismo importe y un mismo periodo de tiempo –$3.000 y 3 años–, el BCP pagó de intereses (tasa pasiva) en tres años a la señorita Vidal, la suma de $590,04 y cobró de intereses (tasa activa) por un préstamo a la empresa Los Amigos S.A.C., la suma de $2.184. Sin duda un gran negocio del BCP.
7. TASA COMPENSATORIA Y MORATORIA Una tasa de interés es compensatoria cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias, la tasa de interés convencional compensatoria, está representada por la tasa activa para las colocaciones y la tasa pasiva para las captaciones que cobran o pagan respectivamente las instituciones del sistema financiero, en el proceso de intermediación del crédito. Una tasa de interés importante es la moratoria que constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio en las fechas convenidas. El interés moratorio se calcula sobre el monto de la deuda correspondiente al capital, adicionalmente a la tasa de interés convencional compensatoria o a la tasa de interés legal, cuando se haya pactado. El deudor incurre en mora a partir del día siguiente de la fecha de vencimiento de una cuota si ésta no se cancela. Una deuda en mora afecta a una tasa efectiva de interés compensatorio y paralelamente a una tasa efectiva de interés moratorio.
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7.1. Aplicación de tasa compensatoria y moratoria en pagarés Un pagaré es un documento mediante el cual una persona natural o jurídica se obliga a pagar a una institución financiera una cantidad determinada de dinero, con interés o sin él, en una fecha dada. La persona que hace la promesa de pagar es el deudor u otorgante, y la persona que cobra el pagaré es el beneficiario o tenedor. En todo pagaré interviene los siguientes conceptos: a) Fecha: es la fecha en la que se extiende el pagaré. b) Fecha de vencimiento: es la fecha en la cual debe ser pagada la deuda. c) Plazo: es el tiempo que transcurre entre la fecha en que se extiende el pagaré y la fecha de vencimiento. d) Valor nominal: es la cantidad marcada en el pagaré. Si en el pagaré se indica que el valor nominal causará intereses a determinada tasa, entonces el valor nominal es el capital obtenido en préstamo; en cambio, si en el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a determinada tasa, entonces el valor nominal es el monto a pagar en la fecha de vencimiento. e) Valor de vencimiento: es la cantidad que debe ser pagada en la fecha de vencimiento. Esto es, el capital más los intereses, si los hubiera. El siguiente documento reúne las características mínimas de todo pagaré.
Documento No. Por $7.500,00 Por este PAGARÉ me (nos) obligo (amos) a pagar incondicionalmente a la orden de: Banco de Crédito del Perú – BCP en la ciudad de Lima, el día 27 de noviembre de 2005 la cantidad de siete mil quinientos dólares. Valor recibido a mi (nuestra) entera satisfacción. La suma incluye intereses a la TEM de 4% hasta la fecha de su vencimiento, y si no es pagada al vencimiento causará intereses moratorios a una TEM de 2%. Lugar y fecha: Lima, 13 de febrero de 2005 Nombre: Kamila Romero Angeles Domicilio: Av. Los Alamos 480, Surco _________________ Ciudad: Lima Acepto (amos)
A continuación, explicaremos las características de este pagaré: a) b) c) d) e) f)
Kamila Romero Angeles es el deudor (persona que hace la promesa). Banco de Crédito del Perú es el beneficiario (Banco que cobra el pagaré). $7.500,00 es el valor nominal del pagaré. 13 de febrero de 2005 es la fecha en que fue expedido el pagaré. 27 de noviembre de 2005 es la fecha de vencimiento del pagaré. 287 días es el plazo del pagaré.
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Ejemplo Cálculo del interés compensatorio y moratorio Supóngase que el pagaré anterior se canceló el 03 de diciembre. Calcule el importe del interés compensatorio, del interés moratorio y la cantidad total a pagar. Solución: El importe del interés compensatorio se calcula como sigue: 6 ic = 7.500 (1 + 0, 04 ) 30 − 1 = $59, 06
El importe del interés moratorio se calcula como sigue: 6 im = 7.500 (1 + 0, 02) 30 − 1 = $29, 76
La cantidad total a pagar el 05 de diciembre se calcula como sigue: S = 7.500 + 59, 06 + 29, 76 = $7.588, 82 Kamila deberá pagar el 05 de diciembre la suma de $7.588,82.
8. TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX A partir del 11 de marzo de 1991, el Banco Central de Reserva del Perú utiliza la siguiente terminología para las operaciones activas y pasivas que efectúan las entidades del sistema financiero nacional: TAMN Tasa Activa Moneda Nacional TAMEX Tasa Activa Moneda Extranjera TIPMN Tasa de Interés Pasiva Moneda Nacional TIPMEX Tasa de Interés Pasiva Moneda Extranjera Las tasas activas se expresan en términos efectivos y las tasas pasivas en términos nominales con una frecuencia de capitalización determinada, de acuerdo con el tipo de operación realizada. Los ahorros capitalizan mensualmente y los depósitos a plazo capitalizan a diario. La magnitud de las tasas en moneda extranjera depende del riesgo de la operación y de la moneda que se utilice en la transacción.
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9. TASA CON CAPITALIZACIÓN DISCRETA Y CONTINUA 9.1. Tasa con capitalización discreta La tasa con capitalización discreta es una tasa nominal cuyo plazo de capitalización supone espacios definidos de tiempo, como anuales, semestrales, mensuales, e incluso horas y minutos, cuyo resultado se acerca a un límite cuando el plazo de capitalización se hace más pequeño. Ejemplo Tasa con capitalización discreta Si una TNA de 15% capitaliza a diario y cada hora, calcule su TEA. Solución: Si los intereses se capitalizan cada día, la TEA será: 0, 15 i = 1 + 360
360
− 1 = 16, 1797947%
Si los intereses se capitalizan cada hora, la TEA será: 0, 15 i = 1 + 360 * 24
360*24
− 1 = 16, 1832719%
Si los intereses se capitalizan cada día la TEA sería 16,1797947% y si los intereses se capitalizan cada hora, la TEA sería 16,1832719%.
9.2. Tasa con capitalización continua La tasa con capitalización continua es una tasa nominal cuyo plazo de capitalización se hace cada vez más pequeño y tiende a infinitos periodos y, por tanto, incrementa la tasa efectiva. Ejemplo Tasa con capitalización continua Si una TNA de 15% capitaliza cada minuto, calcule su TEA. Solución: Si los intereses se capitalizan cada minuto, la TEA será:
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0, 15 i = 1 + 360 * 24 * 60
360*24*60
− 1 = 16, 1833102%
Si los intereses se capitalizan cada minuto la TEA sería 16,1833102%.
10. TASA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA La tasa explícita es una tasa anunciada en las operaciones mercantiles y financieras. La tasa implícita o tasa interna de retorno (TIR) no figura expresamente en la operación financiera o mercantil, pero está oculta en el costo total cuando se compara un precio de contado con un precio al crédito generalmente más elevado, o cuando un préstamo debe cancelarse en varias cuotas. De acuerdo con el tipo de información disponible, la tasa implícita se calcula con las diversas tasas de interés, o con el principio de equivalencia financiera. Ejemplo 1 Cálculo de la tasa implícita Una cámara digital marca SONY puede comprarse al contado a $200 o con un crédito a 60 días en $225, calcule la tasa implícita mensual de la cámara digital. Solución: La tasa implícita se puede calcular como sigue: 30
225 60 i= − 1 = 6, 07% 200 La TEM implícita es de 6,07%. Ejemplo 2 Cálculo de la tasa implícita Una computadora portátil marca toshiba tiene un precio de contado de $1.200, pero al crédito puede adquirirse con una cuota inicial de $200 y cinco cuotas mensuales de $235, ¿qué TEM y TEA se aplicó en el financiamiento? Solución: El problema puede plantearse en la siguiente ecuación de valor: 1.200 − 200 =
225 225 225 225 225 + + + + 2 3 4 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)5
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Para dar solución al problema, tenemos que encontrar aquella tasa de interés i que hace que los dos miembros de la ecuación sean iguales. Al aplicar el método de «prueba y error», puede asignarse diversos valores a i hasta conseguir que el valor del segundo miembro de la ecuación se iguale con el importe de $1.000. i 0% 4% x 5%
Valor $1.125,00 $1.001,66 $1.000,00 $974,13
Se puede observar que la tasa de interés es superior a 4%, pero inferior a 5%, por lo que al interpolar dichas tasas puede encontrarse que la TEM es de 4,06% aproximadamente, como se explica a continuación. 1.001, 66 − 1.000 x= ( 5 − 4 ) = 0, 0604295 1.001, 66 − 974, 13 i = 4% + 0, 06 = 4, 06% Se puede observar que la tasa i que hace que los dos miembros de la ecuación sean iguales es 4,06%. Entonces la TEM implícita en el financiamiento es de 4,06. Ahora, ¿Por qué una TEM y no TEA? La respuesta es sencilla, es una TEM porque la ecuación de valor o el flujo de caja de la operación esta en meses. Si se quiere calcular la TEA se procede como sigue: i = (1 + 0, 0406 ) − 1 = 61, 2% 12
La TEA implícita es de 61,2%.
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GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________
¿?
4. ______________ _____________________________________________
¿?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor.
Tasa nominal proporcional 1. Convertir una TNA de 25% en una TNS, TNC, TNT, TNM, TNQ y TND. Rpta. 12,50%, 8,33%, 6,25%, 2,08%, 1,04%, 0,07% 2. Convertir una TND de 0,015% en una TNQ, TNM, TNT, TNC, TNS y TNA. Rpta. 0,225%, 0,45%, 1,35%, 1,80%, 2,70%, 5,40%. Conversión de una tasa nominal a tasa efectiva 3. El BWS está ofreciendo préstamos a una TNA de 12% ¿Cuál es la TEA si la capitalización semestral? Rpta. 12,36% 4. El BBVA está ofreciendo préstamos a una TNS de 8,5% ¿Cuál es la TET si la capitalización fuera mensual? Rpta. 4,31%
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5. Interbank está ofreciendo préstamos a una TNS de 14% ¿Cuál es la TET si la capitalización fuera trimestral? Rpta. 7% 6. El BCP ofrece préstamos a una TNA de 18% ¿Cuál es la TES si la capitalización fuera trimestral? Rpta. 9,20% Tasa efectiva equivalente 7. Convertir una TEA de 18% en una TES, TEC, TET, TEM, TEQ y TED. Rpta. 8,63%, 4,22%, 5,67%, 1,39%, 0,69%, 0,05% 8. Convertir una TED de 0,03% en una TEQ, TEM, TET, TEC, TES y TEA. Rpta. 0,45%, 0,90%, 2,74%, 3,67%, 5,55%, 11,40% Tasa activa y pasiva 9. Luiggi Carozzi, deposita en una cuenta a plazo fijo del BBVA la suma de $5.000, los cuales permanecen por un espacio de 18 meses, a una TNA del 8% con capitalización diaria. ¿Cuál es el monto que retirará Luiggi una vez cumplido el plazo? Rpta. $5.637,41 10. Fernando Gonzáles recibe un préstamo del BCP por $5.000 a una TEA de 22% a pagar en 18 meses. ¿Cuál es el monto que pagará Fernando una vez cumplido el plazo? Rpta. $6.737,67 Tasa compensatoria y moratoria 11. En el siguiente pagaré, suponga que la señorita Karina cancela su deuda el 05 de noviembre. Calcule el importe del interés compensatorio, del interés moratorio y la cantidad total a pagar. Rpta. $44,04, $21,97, $4.566,01
Documento No. Por $4.500,00 Por este PAGARÉ me (nos) obligo (amos) a pagar incondicionalmente a la orden de: Banco de Crédito del Perú – BCP en la ciudad de Lima, el día 20 de octubre de 2005 la cantidad de cuatro mil quinientos dólares. Valor recibido a mi (nuestra) entera satisfacción. La suma incluye intereses a la TEA de 24,50% hasta la fecha de su vencimiento, y si no es pagada al vencimiento causará intereses moratorios a una TEA de 11,58%. Lugar y fecha: Lima, 08 de enero de 2005 Nombre: Karina Falcón Delgado Domicilio: Av. Los Alamos 480, Surco __________________ Ciudad: Lima Acepto (amos)
Tasa con capitalización discreta y continua
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12. Si una TNS de 9,52% capitaliza a diario y cada hora, calcule su TEA. 20,96725037%, 20,9730782% 13. Si una TNA de 20% capitaliza cada minuto, calcule su TEA. Rpta. 20,9730874 Tasa explícita e implícita 14. Una impresora HP de última generación puede comprarse al contado a $450 o con un crédito a 60 días en $505, calcule la tasa implícita mensual y bimestral de la impresora. Rpta. 5,93%, 12,22% 15. Una computadora portátil marca compact tiene un precio de contado de $1.200. Usted puede financiar la PC en dos tiendas de la siguiente manera: • Saga Falabella: sin inicial y seis cuotas mensuales de $230. • La Curacao: una inicial de $200 y seis cuotas mensuales de $195.
¿Qué TEM y TEA aplicó cada una de las tiendas y cuál es la mejor? Rpta. Saga: 4,15% y 62,81%; Curacao: 4,68% y 73,11%
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PROESAD
Sesión
inflación y devaluación 1. INTRODUCCIÓN La inflación es el fenómeno que se caracteriza por el incremento generalizado de los precios de los bienes y servicios, cuyo efecto, entre otros es la pérdida del poder adquisitivo de la moneda que distorsiona el mercado de créditos. La devaluación de la unidad monetaria de un país es un proceso de disminución de su valor con relación a otro activo, como el oro o las monedas de otros países. De esta manera, la unidad monetaria de cada país está sujeta a cambios en su poder adquisitivo por inflación o por devaluación, cuyas causas exceden el análisis en este texto. En el estudio de los procesos inflacionarios se usan indicadores como índice de precios al consumidor (IPC), el índice de precios al por mayor (IPM), u otro específico que rija para determinada actividad productiva. Un índice de precios es un indicador estadístico de carácter estimativo que refleja la variación del precio de una canasta de artículos entre dos momentos de cierto horizonte temporal; este indicador no necesariamente es un índice de costo de vida, ya que éste puede evolucionar por cantidad, calidad y precio. En la tabla 1 se muestra el índice de precios al consumidor a nivel nacional (IPC) y su variación porcentual 2003-2005 de la economía peruana.
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Tabla 1 IPC a nivel nacional y variación porcentual: 2004-2005 ÍNDICE PROMEDIO VARIACIÓN PORCENTUAL Meses MENSUAL Mensual Acumulada 2004 2005 2004 2005 2004 2005 Enero 103,23 106,47 0,55 0,04 0,55 0,04 Febrero 104,30 106,20 1,03 -0,26 1,59 -0,21 Marzo 104,86 106,73 0,54 0,50 2,14 0,29 Abril 104,83 106,82 -0,04 0,09 2,11 0,38 Mayo 105,17 106,94 0,33 0,11 2,44 0,49 Junio 105,66 107,22 0,47 0,27 2,92 0,75 Julio 105,95 107,31 0,27 0,08 3,20 0,83 Agosto 105,90 107,24 -0,05 -0,06 3,15 0,77 Setiembre 105,99 107,24 0,09 -0,01 3,24 0,77 Octubre 106,07 107,39 0,07 0,14 3,31 0,91 Noviembre 106,38 107,46 0,30 0,06 3,62 0,97 Diciembre 106,42 107,95 0,04 0,46 3,66 1,43 FUENTE: Instituto Nacional de Estadística e Informática
2. CÁLCULO DE LA TASA DE INFLACIÓN La tasa de inflación p es una tasa efectiva, que indica que el crecimiento sostenido de los precios de los bienes y servicios de la economía, en un período dado, con base en una canasta básica de consumo familiar, tomada en una fecha cuya estructura de costos corresponde a una base dada. Si se designa IP0 al índice de precios en un momento dado e IPn al índice de precios en un momento posterior, la tasa de inflación acumulada en ese periodo puede calcularse con la siguiente ecuación: π =
IPn −1 IP0
(1)
La fórmula anterior calcula la inflación de un plazo determinado cuando se dispone de índices de precios que pueden ser en caso IPC, IPM u otro diferente. Ejemplo 1 Cálculo de la inflación Utilizando la tabla 1, calcule la inflación del periodo del 1 de enero al 30 de abril de 2005. Solución:
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PROESAD
Los datos son: P=? IPCabril 05 = 106,82 IPCdiciembre 04 = 106,42 Reemplazando los valores en la ecuación (1) se tiene: π=
106, 82 − 1 = 0, 0229841 = 2, 30% 106, 42
La inflación del periodo fue de 2,30%. Dado que los índices de precios se refieren al último día de cada período, en el ejemplo anterior, el IP0 debe ser el índice al 31 de diciembre del año 2004; de este modo, la inflación medida con estos con estos índices incluye el período comprendido desde el 1 de enero hasta el 30 de abril del año 2005. Al ser p (la tasa de inflación) una tasa efectiva que indica la variación de precios, puede aplicársele lo desarrollado en el capítulo de interés compuesto; así, si se conoce la inflación de un período, puede hallarse tasas de inflación equivalentes para otros períodos y proyectar la inflación futura sobre la base de inflaciones pasadas, al suponer que se mantendrá la misma tendencia en el futuro. La siguiente ecuación calcula la inflación a partir de índices de precios o a partir de otras tasas de inflación: π, = (1 + π )
f /h
− 1 (2)
Ejemplo 2 Cálculo de la inflación Utilizando la tabla 1, calcule las tasas de inflación de los siguientes periodos. a) b) c) d) e)
Desde el 1 al 31 de enero de 2005. Desde el 1 de febrero del año 2004 hasta el 28 de febrero del año 2005. La inflación del año 2005. Desde el 1 de mayo de 2005 al 15 de mayo de 2005. Desde el 1 de mayo de 2005 al 22 de junio de 2005.
Solución: a) Desde el 1 al 31 de enero de 2005. π=
IPCenero05 106, 47 = − 1 = 0, 000469836 = 0, 046% IPCdiciembre04 106, 42
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b) Desde el 1 de febrero del año 2004 hasta el 28 de febrero del año 2005. π=
IPCfebrero05 106, 20 = − 1 = 0, 028770706 = 2, 87% IPCenero04 103, 23
c) La inflación del año 2005. π=
IPCdiciembre05 107, 95 = − 1 = 0, 014376997 = 1, 44% IPCdiciembre04 106, 42
d) Desde el 1 de mayo de 2005 al 15 de mayo de 2005. 15
15
IPCmayo05 31 106, 94 31 π= = − 1 = 0, 000543416 = 0, 054% 106, 82 IPCabril05
f) Desde el 1 de mayo de 2005 al 22 de junio de 2005. 52
52
IPC junio05 61 107, 22 61 π= = − 1 = 0, 003191252 = 0, 32% 106, 82 IPCabril05
Ejemplo 3 Cálculo del IPC Utilizando la tabla 1, calcule el IPC del mes de enero del año 2006, si se conoce que la inflación de este mes fue de 0,2060%. Solución: El cálculo del IPC del mes de enero de 2006 es como sigue: IPCenero06 = 107, 95 (1 + 0, 00206 ) = 108, 17 Comprobando se tiene: π=
IPCenero06 108, 17 = − 1 = 0, 00206 = 0, 2060% IPCdiciembre05 107, 95
Se comprueba que el IPC del mes de enero de 2006 es de 108,17.
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Ejemplo 4 Cálculo de inflación proyectada Según el INEI, la inflación del mes de enero de 2006 es 0,2060%. ¿Cuál será la inflación proyectada del año si la tendencia se mantiene? Solución: El cálculo de la inflación anual proyectada es como sigue: π = (1 + 0, 00206 ) − 1 = 2, 50% 12
La inflación anual sería de 2,50% si la tendencia se mantiene.
3. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS REAL Hasta ahora, en el estudio de las tasas de interés, se obvió el efecto de la inflación, pues se consideró el valor nominal de la unidad monetaria sin tener en cuenta la variación de su poder adquisitivo a través del tiempo por el incremento generalizado de los precios de los bienes y servicios. La tasa de interés real mide el grado en que la inflación distorsiona los costos o rentabilidad nominales, disminuyendo al valor de la tasa efectiva de interés. Esta tasa real puede ser positiva o negativa en función al nivel inflacionario existente. El hecho de descontar la tasa de inflación a la tasa efectiva de interés se denomina deflactación y la formula es la siguiente. i =
i−π 1+ π
(3)
La ecuación anterior calcula la tasa de interés real cuando se conoce la tasa efectiva y la tasa de inflación; en este caso, ambas tasas deben corresponder al mismo horizonte temporal. Ejemplo 1 Cálculo de la tasa de interés real Kamila deposita $5.000 en una cuenta del BBVA que paga una TEA de 12%. El depósito tuvo una vigencia de seis meses y la tasa de inflación que se acumuló en ese periodo fue de 2,50%. Calcule la tasa de interés real semestral que ganó Kamila. Solución: En primer lugar calculamos la TES, el cual es como sigue: TES =
2
(1 + 0,12) − 1 = 0, 0583
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A continuación, reemplazamos los valores en la ecuación (3): i=
0, 0583 − 0, 025 = 0, 03248 = 3, 25% 1 + 0, 025
La tasa de interés real semestral de Kamila fue de 3,25%.
3.1. Tasa efectiva inflada Si se manejan flujos de caja nominales, y se supone, que la economía se ve afectada por la inflación y, por tanto, la unidad monetaria es erosionada de forma permanentemente por la inflación: • ¿Cómo podrían expresarse las unidades monetarias de hoy, en unidades monetarias del futuro (afectadas por la inflación) con poder adquisitivo nominal de ese entonces? • ¿Cómo podría asegurarse que el rendimiento financiero de un capital sea una tasa real previamente determinada (tasa real meta o deseada que podría ser una tasa mínima? Para estos efectos debe indexarse la tasa real meta o deseada (que es la tasa de rendimiento que se exigirá al respectivo capital) con la tasa de inflación que según la estimación, se producirá durante el horizonte temporal de la operación. Este proceso permitirá expresar los valores monetarios de hoy con poder adquisitivo de ese entonces, y asegurar el rendimiento de la tasa real predeterminada. La tasa efectiva inflada pueda calcularse con la siguiente ecuación: i = (1 + i) (1 + π ) − 1
(4)
Ejemplo 1 Cálculo de la tasa efectiva inflada Kamila deposita $5.000 en una cuenta del BBVA y requiere percibir una tasa efectiva real de una TEA de 12%, ¿a qué tasa efectiva semestral debería colocarse ese capital, si se proyecta una tasa de inflación de 2,5% durante dicho periodo? Compruebe la operación. Solución: En primer lugar calculamos la TES, el cual es como sigue: TES =
2
(1 + 0,12) − 1 = 0, 0583
A continuación, reemplazamos los valores en la ecuación (4): i = (1 + 0, 0583) (1 + 0, 025) − 1 = 0, 084757 La inversión debería colocarse a una TES de 8,48%, para que cuando se calcule la tasa real, ésta sea igual a una TES de 5,83% y a una TEA de 12%.
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PROESAD
Para deflactar, se sustituye los valores en la ecuación (3), donde se obtiene: i=
0, 084757 − 0, 025 = 0, 0583 = 5, 83% 1 + 0, 025
La tasa efectiva real es de 5,83%. Si se quiere calcular la TEA se procede como sigue: i = (1 + 0, 0583) − 1 = 0, 12 = 12% 2
Se comprueba que la inversión debería colocarse a una TES de 8,48%.
4. TIPO DE CAMBIO El tipo de cambio corresponde al precio de una moneda expresado en función de otra. Una cotización de moneda extranjera es la formalización del deseo de comprar o vender a un precio anunciado; esta cotización puede ser directa o indirecta. El tipo de cambio es doble, puesto que existe un precio para el comprador y otro para el vendedor. Los dos participantes asumen una posición bivalente, pudiéndose considerar a la vez compradores y vendedores (venden su moneda y compran otra). Debido a esta posible confusión y dado que los precios o tipos de cambio son fijados por las instituciones financieras, las cotizaciones se expresan desde su punto de vista. Así, cuando nos referimos a la posición compradora (en inglés bid) queremos decir que es el precio que el intermediario va a pagarnos por adquirir nuestra moneda, puesto que él es el comprador; mientras que si hablamos de la posición vendedora (en inglés offer o ask) nos indicará el precio que nos costará comprarle dicha moneda al intermediario, puesto que él nos la vende. El precio de compra es siempre menor que el de venta, pues la diferencia es lo que posibilita el beneficio del intermediario. En la tabla 2 se muestra los principales tipos de cambio al 20 de junio de 2006. Tabla 2 Principales tipos de cambio: martes 20 de junio de 2006 UNIDAD Moneda local por US$ MONETARIA Compra Venta Libra esterlina 0,5429 0,5431 Yen japonés 115,51 115,54 Euro 0,7948 0,7949 Franco suizo 1,2401 1,2403 Dólar canadiense 1,1198 1,1204 Real brasileño 2,253 2,255 Peso mexicano 11,27 11,57 Peso chileno 545,00 550,00 Peso boliviano
8,02
8,10
Soles por monedas 5,993 0,0028 4,095 2,624 2,905 1,443 0,281 0,006 0,402
FUENTE: Sección Negocios de El Comercio
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Una cotización directa, consiste en enunciar el valor de una unidad monetaria extranjera en términos de moneda nacional. Por ejemplo S/. 4,095 por cada € 1,00. Una cotización indirecta, consiste en manifestar el valor de una unidad monetaria nacional con respecto a cada una de las monedas extranjeras. Por ejemplo € 1,00 por cada S/. 0,2442.
4.1. Tipo de cambio directo Ejemplo 1 Tipo de cambio directo Suponga que con S/.409.500 se puede adquirir € 100.000 (euros). Calcule el tipo de cambio vigente. Solución: En el presente caso, al relacionar la primera cantidad con la segunda se tiene: S/.409.500 = S/.4,095 €100.000 Esto se puede interpretar que con S/.4,095 puede adquirirse € 1,00. Del mismo modo, al relacionar la segunda cantidad con la primera, se tiene: €100.000 = €0,244 S/ 409.500 Lo que puede interpretarse que con € 0,244 se puede adquirir S/.1,00.
4.2. Tipo de cambio cruzado Ejemplo 1 Tipo de cambio cruzado Suponga que con S/.409.500 se puede adquirir € 100.000 y este importe se utiliza para adquirir ¥ 146.250.000 (yenes japoneses). Calcule el tipo de cambio vigente de cada yen japonés por cada nuevo sol. Solución: En el presente caso, la compra de ¥ 146.250.000 no fue directa mediante una única operación, sino luego de una intermediación en la que se adquirió previamente € 100.000. Al relacionar la primera cantidad con la tercera se tiene: S/.409.500 = S/.0,0028 ¥146.250.000 Unidad III
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En este caso, el valor S/.0,0028 no es un tipo de cambio directo sino un tipo de cambio cruzado. Lo que puede interpretarse que con S/.0,0028 se puede adquirir ¥1,00.
5. TASA DE INTERÉS EN MONEDA EXTRANJERA Para calcular la tasa efectiva en moneda nacional que genera una operación transada en moneda extranjera, es necesario conocer la tasa de interés que devenga la moneda extranjera, conocer el tipo de cambio de la moneda extranjera al inicio de la operación y estimar el tipo de cambio de la moneda extranjera al término de la operación. La fórmula que nos permite calcular la tasa de interés en moneda extranjera es la siguiente: TCn iMN −1 ME = (1 + iME ) TC0
(5)
La fórmula anterior calcula la tasa efectiva de interés en moneda nacional por operaciones efectuadas en moneda extranjera, donde iME es la tasa equivalente que genera la moneda extranjera, y TC0 y TCn son los tipos de cambios en moneda nacional en las fechas de inicio y término de la operación respectivamente. Cuando la relación entre los TCs de la moneda nacional es mayor que uno, ocurre una devaluación o una depreciación de la moneda nacional; en este caso, la ganancia en moneda nacional se genera por la tasa iME y por la tasa de devaluación que se generó en el periodo de la operación. Cuando la relación entre los TCs de la moneda nacional es menor que uno, ocurre una revaluación o una apreciación de la moneda nacional; en este caso, la moneda nacional gana por la tasa iME, pero pierde por la tasa de revaluación que se generó en el periodo de la operación. Ejemplo 1 Tasa de interés en moneda extranjera El 13 de febrero cuando el TC era S/.3,38 por US$1,00, se compró un certificado bancario en US$ a un plazo de 180 días que rinde una TEA de 8%. En la fecha de vencimiento de la operación el TC fue S/.3,45. Calcule la tasa efectiva en S/. que rindió ese certificado en ese plazo. Solución: Sustituyendo los valores en la ecuación (5) se tiene: 180 3, 45 S /. 360 1 0 08 iUS = + , ( ) − 1 = 1, 039230 * 1, 020710 − 1 = 6, 075% $ 3, 38
La TES en S/. que rindió el certificado en ese plazo fue de 6,075%. En este caso, se observa que ocurre una devaluación o revaluación de la moneda.
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Ejemplo 2 Tasa de interés en moneda extranjera El 13 de febrero cuando el TC era S/.3,38 por US$ 1,00, se compró un certificado bancario en US$ a un plazo de 180 días que rinde una TEA de 8%. En la fecha de vencimiento de la operación el TC fue S/.3,33. Calcule la tasa efectiva en S/. que rindió ese certificado en ese plazo. Solución: Sustituyendo los valores en la ecuación (5) se tiene: 180 3, 33 S /. 360 1 0 08 iUS = + , ( ) − 1 = 1, 039230 * 0, 985207 − 1 = 2, 386% $ 3, 38
La TES en S/. que rindió el certificado en ese plazo fue de 2,386%. En este caso, se observa que ocurre una revaluación o depreciación de la moneda.
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GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________
¿?
4. ______________ _____________________________________________
¿?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor. Cálculo de la tasa de inflación 1. Utilizando la tabla 1, calcule la inflación del periodo del 1 de enero de 2004 al 31 de mayo de 2005. Rpta. 0,49% 2. Utilizando la tabla 1, calcule las tasas de inflación de los siguientes periodos. a) Desde el 1 al 28 de febrero de 2004. b) Desde el 1 de julio de 2005 al 20 de julio de 2005. c) Desde el 1 de julio de 2005 al 18 de setiembre de 2005.
Rpta. 1,04% Rpta. 0,054% Rpta. 0,0160%
3. Si la tasa de inflación anual fue 2,5%, ¿cuál fue la tasa de inflación promedio mensual? Rpta. 0,2059% 4. Suponga que la inflación del mes de enero de 2006 es 0,258%. ¿Cuál será la inflación proyectada del año si la tendencia se mantiene? Rpta. 3,014%
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Cálculo de la tasa de interés real 5. Peter Rivera deposita $10.000 en una cuenta del BBVA que paga una TEA de 11,50%. El depósito tuvo una vigencia de doce meses y la tasa de inflación que se acumuló en ese periodo fue de 2,80%. Calcule la tasa de interés real anual que ganó Peter. Rpta. 8,46% 6. Peter Rivera deposita $10.000 en una cuenta del BBVA y requiere percibir una tasa efectiva real de una TEA de 11,50%, ¿a qué tasa efectiva anual debería colocarse ese capital, si se proyecta una tasa de inflación de 2,8% durante dicho periodo? Compruebe la operación. Rpta. 14,62% Tipo de cambio 7. Suponga que con S/.262.400 se puede adquirir SFr100.000 (francos suizos). Calcule el tipo de cambio o cotización vigente directa e indirecta. Rpta. S/.2,624 y SFr0,381 8. Suponga que con S/.262.400 se puede adquirir SFr100.000 y este importe se utiliza para adquirir €64.078,14 (euros). Calcule el tipo de cambio vigente de cada euro por cada nuevo sol. Rpta.S/.4,095 Tasa de interés en moneda extranjera 9. El 9 de julio cuando el TC era S/. 3,32 por US$ 1,00, se compró un certificado bancario en US$ a un plazo de 120 días que rinde una TEA de 6,50%. En la fecha de vencimiento de la operación el TC fue S/. 3,38. Calcule la tasa efectiva en S/. que rindió ese certificado en ese plazo. Rpta. 3,967% 10. El 9 de julio cuando el TC era S/. 3,32 por US$ 1,00, se compró un certificado bancario en US$ a un plazo de 120 días que rinde una TEA de 6,50%. En la fecha de vencimiento de la operación el TC fue S/. 3,29. Calcule la tasa efectiva en S/. que rindió ese certificado en ese plazo. Rpta. 1,199%
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PROESAD
Sesión
las seis llaves maestras de las matemáticas financieras 1. INTRODUCCIÓN Las matemáticas financieras, por lo general, se basa en seis expresiones o fórmulas, las cuales permiten al analista económico y evaluador de proyectos a manejar en forma apropiada el valor del dinero en el tiempo y el costo de oportunidad del capital. Como una unidad estas seis fórmulas reciben el nombre de factores financieros. Los principales factores financieros que efectúan las transformaciones de valor equivalente son las siguientes:
FSC
Factor Factor simple de capitalización
Ecuación
FSA
Factor simple de actualización
1 P = S* n (1 + i)
FCS
Factor de capitalización de la serie
(1 + i)n − 1 S =R* i
n S = P * (1 + i )
FDFA Factor de depósito al fondo de amortización
i R = S* n (1 + i) − 1
FAS
Factor de actualización de la serie
(1 + i)n − 1 P =R* n i (1 + i)
FRC
Factor de recuperación del capital
i (1 + i)n R =P* n (1 + i) − 1
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Donde: “P” es el capital inicial o inversión realizada “S” es el monto, capital final o valor futuro “i” es la tasa de interés efectiva de un determinado periodo de tiempo “R” renta uniforme o flujo de caja anual “n” es el tiempo que dura la inversión Para efectuar transformaciones de capitales y rentas aplicando la equivalencia financiera es necesario utilizar los factores financieros, que se derivan de sumas de progresiones que se aplican a la teoría rentas en las anualidades. Estos factores financieros (incluidos entre corchetes) realizan las funciones de equivalencia financiera.
2. FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACIÓN (FSC) Denominado como capitalización continua o factor de interés compuesto. Es el valor máximo que alcanza una cantidad de capital inicial que crece a un interés compuesto y se transforma en un capital final. Este componente sirve para transformar un stock inicial P de efectivo en un stock final S de efectivo, aplicando una tasa efectiva i durante un determinado número de periodos capitalizados n. Las siglas originales en inglés según George A. Taylor, significa “Single-Payment CompoundAmount Factor”, que en español Tarquin y Blank denominan como “Factor Cantidad Compuesta Único Pago”. Para el cálculo de este factor, se aplica la siguiente ecuación: n S = P (1 + i)
(1)
Ejemplo Factor simple de capitalización (FSC) Supongamos que Sebastián, ha determinado colocar un capital de $10.000 en el Banco de Crédito que paga una TNA de 8%. ¿Cuál es su stock final de capital después de cinco años? Solución: Los datos son: S=? P = $10.000 i = 8% n = 5 años
Unidad III
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El análisis se puede ilustrar en la línea de tiempo como sigue: S = $14.693,28
P = $10.000 0
1
2
3
4
5
Final de año
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene: 5 S = 10.000 (1 + 0, 08 ) = $14.693, 28
Sebastián tendría al final de los cinco años, la suma de $14.693,28.
3. FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACIÓN (FSA) Conocido como factor de descuento o tasa de actualización. Es el valor actualizado del capital en una fecha futura. Este factor sirve para trasladar una cantidad del futuro S hacia el presente P, aplicando una efectiva i durante un determinado número de períodos capitalizado n. Las siglas en inglés significa “Single-Payment Present-Worth Factor”, que en español se conoce como “Factor Valor Presente Pago Único”. Para el cálculo de este factor, aplicamos la siguiente ecuación: 1 P = S n (2) (1 + i) Ejemplo Factor simple de actualización (FSA) Sebastián cuenta con un stock final de capital de $14.693,28, producto de un ahorro en el Banco de Crédito quien paga una TNA de 8% durante 5 años a plazo fijo ¿Cuál fue su stock inicial de capital, o cuánto tuvo que depositar hace 5 años para tener hoy $14.693,28? Solución: Los datos son: P=? S = $14.693,28 i = 8% n = 5 años
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La línea de tiempo para la operación es como sigue: Final de año 0
1
2
3
4
5 S = $14.693,28
P = $10.000
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2): 1 P = 14.693, 28 = $10.000 5 (1 + 0, 08 ) El stock inicial o valor actual fue de $10.000. Es decir, Sebastián tuvo que depositar hace cinco años $10.000 para tener después de dicho plazo $14.693,28.
4. FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DE LA SERIE (FCS) Conocido como factor de capitalización de una serie uniforme. Es el valor actual que se recibe o paga en forma anual durante un período dado. Este factor traslada una serie uniforme compuesta de rentas uniformes R o iguales hacia el momento final de la última renta S, aplicando una tasa efectiva i cuyo plazo coincide con el plazo de cada una renta durante el número de períodos capitalizados n contenidos en el horizonte temporal. La sigla original proviene del inglés “UniformSeries Compound-Amount Factor”, que en español significa “Factor Cantidad Compuesta Serie Uniforme”. Para el cálculo de este factor, se aplica la ecuación siguiente: (1 + i)n − 1 S = R i Ejemplo
(3)
Factor de capitalización de la serie (FCS) Supongamos que Sebastián cuenta con una renta equivalente a $2.504,56 cada año, disponible para ahorrarlo en el Banco de Crédito que paga 8% de interés anual, durante cinco años. ¿Cuál es el stock final o valor futuro de dicha serie uniforme de capital? Solución: Los datos son: S=? R = $2.504,56
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PROESAD
i = 8% n = 5 años La línea de tiempo para la operación se muestra a continuación: Capitalización
$ 3.407,43 3.155,03 2.921,32 2.704,93 2.504,55 2.504,56 2.504,56 2.504,56 2.504,56 2.504,56 $14.693,28
0
1
2
3
4
5
R
R
R
R
R
Reemplazando en la ecuación (3), tenemos: (1 + 0, 08 )5 − 1 S = 2.504, 56 = $14.693, 28 0, 08 El valor futuro asciende a $14.693,28, producto de la capitalización de seis rentas uniformes de $2.504,56.
5. FACTOR DE DEPÓSITO AL FONDO DE AMORTIZACIÓN (FDFA) Conocido como factor de fondo de amortización. Es el monto de dinero que se destina para un depósito uniforme anual, que es necesario cumplir anualmente. Este factor convierte una cantidad ubicada en el futuro, S en una serie compuesta de renta uniformes equivalentes R, aplicando una tasa efectiva i cuyo plazo coincide con el plazo de cada renta durante el número de períodos capitalizados n contenidos en el horizonte temporal. Siendo éste un proceso inverso del FSC. La sigla en inglés significa “Sinking Fund Deposit Factor”, siendo denominado por otros tratadistas como “Factor Fondo de Amortización” Para esto aplicamos la ecuación siguiente: i R = S n (1 + i) − 1
(4)
Ejemplo Factor de depósito al fondo de amortización (FDFA) Sebastián cuenta con un stock final de capital de $14.693,28, producto de sus ahorros en el Banco de Crédito, que pagó una TNA de 8%, durante cinco años. ¿Cuál es el flujo constante o renta anual que tuvo que depositar Sebastián para obtener un stock final de $14.693,28?
Cálculo financiero
161
Universidad Peruana Unión
Solución: Los datos son: R=? S = $14.693,28 i = 8% n = 5 años El diagrama de tiempo para el FDFA es el siguiente: 2.504,56 2.504,56 2.504,56 2.504,56 2.504,56
0
1
2
3
4
5
R
R
R
R
R S = $14.693,28
Descuento
Reemplazando en la ecuación (4), se obtiene: 0, 08 R = 14.693, 28 = $2.504, 56 5 (1 + 0, 08 ) − 1 Sebastián tuvo que depositar anualmente y por cinco años la suma de $2.504,56.
6. FACTOR DE ACTUALIZACIÓN DE LA SERIE (FAS) Conocido como factor de la serie uniforme cantidad compuesta. Es aquel monto de efectivo que aumenta con los depósitos uniformes a fin de cada año, cuyo crecimiento se registra a interés compuesto anualmente. Este factor trae al momento cero P una anualidad simple compuesta por rentas uniformes R, aplicando una tasa efectiva i cuyo plazo coincide con el plazo de cada renta durante el número de períodos capitalizados n contenidos en el horizonte temporal. Como tal es una operación inversa al factor de recuperación del capital (FRC), siendo conocido en inglés como “Uniform-Series Present-Worth Factor” y denominado por Tarquin como “factor Valor Presente Serie Uniforme”. Este factor es hallado aplicando la ecuación siguiente: (1 + i)n − 1 P = R (5) n i (1 + i)
Unidad III
162
PROESAD
Ejemplo Factor de actualización de la serie (FAS) Sebastián cuenta con una renta equivalente a $2.504,56 anuales, disponible para ahorrarlo en el Banco de Crédito que paga una TNA de 8%, durante cinco años. ¿Cuál es el valor actual de esa serie uniforme? Solución: Los datos son: P=? R = $2.504,56 i = 8% n = 5 años El diagrama de tiempo para el FAS es el siguiente: 2.504,56 2.504,56 2.504,56
0
$ 2.319,04 2.147,26 1.988,20 1.840,93 1,704,57 $10.000.00
2.504,56 2.504,56
1
2
3
4
5
R
R
R
R
R
Descuento
Sustituyendo los datos en la ecuación (5), se obtiene: (1 + 0, 08 )5 − 1 P = 2.504, 56 = $10.000 5 0, 08 (1 + 0, 08 ) El stock inicial o valor actual asciende a $10.000.
7. FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL (FRC) Es el pago anual que se programa para cancelar el préstamo en el período establecido con interés compuesto sobre el saldo no reembolsado. Este factor convierte una cantidad del presente P, en una serie compuesta de rentas uniformes equivalentes R, aplicando una tasa efectiva i cuyo plazo coincide con el plazo de cada renta durante el número de períodos capitalizados n contenidos en el horizonte temporal. Este proceso es inverso al factor de actualización de la serie (FAS), como tal, transforma un stock inicial de efectivo en un flujo constante. La sigla en inglés significa “Capital Recovery Factor”.
Cálculo financiero
163
Universidad Peruana Unión
Este factor se halla aplicando la siguiente ecuación: i (1 + i)n R = P n (1 + i) − 1
(6)
Ejemplo Factor de recuperación del capital (FRC) Sebastián cuenta con un capital inicial de $10.000, y desea colocarlo en el Banco de Crédito, que paga una TNA de 8%, durante cinco años. ¿Cuál es el flujo constante o renta anual del capital con que podrá contar los próximos cinco años? Solución: Los datos son: R=? P = $10.000 i = 8% n = 5 años El diagrama de tiempo para el FRC es el siguiente:
P = $10.000
2.504,56
0
2.504,56 2.504,56 2.504,56
2.504,56
1
2
3
4
5
R
R
R
R
R
Sustituyendo los valores en la ecuación (6), se obtiene: 0, 08 (1 + 0, 08 )5 R = 10.000 = $2.504, 56 5 (1 + 0, 08 ) − 1 La cuota o flujo constante asciende a $2.504,56.
Unidad III
164
GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________
¿?
4. ______________ _____________________________________________
¿?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor.
Factor simple de capitalización (FSC) 1. Carito deposita $2.500 en una cuenta de ahorros del BBVA que paga una TNA de 10,25% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es su stock final o valor futuro de capital después de dos años? Rpta. $3.066,14 2. Kamila deposita $7.500 en una cuenta a plazo fijo del Interbank que paga una TNA de 12,75% capitalizable diariamente. ¿Cuál es su stock final o valor futuro de capital después de 18 meses? Rpta. $9.080,41 Factor simple de actualización (FSA) 3. Carito cuenta con un stock final de capital de $3.066,14, producto de un ahorro en el BBVA a una TNA de 10,25% capitalizable mensualmente durante dos años. ¿Cuál fue su stock inicial de capital, o cuánto tuvo que depositar hace dos años para tener hoy $3.066,14? Rpta. $2.500
165
4. Kamila cuenta con un stock final de capital de $9.080,41, producto de un ahorro a plazo fijo en el Interbank una TNA de 12,75% capitalizable diariamente durante 18 meses. ¿Cuál fue su stock inicial de capital, o cuánto tuvo que depositar hace 18 meses para tener hoy $9.080,41? Rpta. $7.500 Factor capitalización de la serie (FCS) 5. Carito cuenta con una renta equivalente a $115,65 cada mes, disponible para ahorrarla en el BBVA que paga una TNA de 10,25% capitalizable mensualmente, durante dos años. ¿Cuál es el stock final o valor futuro del capital? Rpta. $3.066,14 6. Kamila cuenta con una renta equivalente a $15,26 cada día, disponible para ahorrarla en el Interbank que paga una TNA de 12,75% capitalizable diariamente, durante 18 meses. ¿Cuál es el stock final o valor futuro del capital? Rpta. $9.080,41 Factor de depósito al fondo de amortización (FDFA) 7. Carito cuenta con un stock final de capital de $3.066,14, producto de sus ahorros en el BBVA, que pagó una TNA de 10,25% capitalizable mensualmente, durante dos años. ¿Cuál es el flujo constante o renta mensual que tuvo que depositar Carito para obtener un stock final de $3.066,14? Rpta. $115,65 8. Kamila cuenta con un stock final de capital de $9.080,41, producto de sus ahorros a plazo fijo en el Interbank, que pagó una TNA de 12,75% capitalizable diariamente, durante 18 meses. ¿Cuál es el flujo constante o renta diaria que tuvo que depositar Kamila para obtener un stock final de $9.080,41? Rpta. $15,261777
166
Factor de actualización de la serie (FAS) 9. Carito cuenta con una renta equivalente a $115,65 mensuales, disponible para ahorrarla en el BBVA que paga una TNA de 10,25% capitalizable mensualmente, durante dos años. ¿Cuál es el stock inicial o valor actual de esa serie uniforme de capital? Rpta. $2.500 10. Kamila cuenta con una renta equivalente a $15,261777 diarios, disponible para ahorrarla en el Interbank que paga una TNA de 12,75% capitalizable diariamente, durante 18 meses. ¿Cuál es el stock inicial o valor actual de esa serie uniforme de capital? Rpta. $7.500 Factor de recuperación del capital (FRC) 11. Carito cuenta con un capital inicial de $2.500 y desea colocarlo en el BBVA, que paga una TNA de 10,25% capitalizable mensualmente, durante dos años. ¿Cuál es el flujo constante o renta mensual del capital? Rpta. $115,65 12. Kamila cuenta con un capital inicial de $7.500 y desea colocarlo en el Interbank, que paga una TNA de 12,75% capitalizable diariamente, durante 18 meses. ¿Cuál es el flujo constante o renta diaria del capital? Rpta. $15,261777
167
UNIDAD IV UNIDAD IV ANUALIDADES Y PROGRAMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS Sesión Nº 8: Anualidades vencidas y anticipadas Sesión Nº 9: Anualidades diferidas y perpetuas Sesión Nº 10: Programas de amortización de créditos
COMPETENCIAS CONCEPTUAL Comprende las anualidades y programas de amortización de créditos.
PROCEDIMENTAL Analizan y construyen organizadores visuales que permiten desarrollar ejercicios prácticos.
ACTITUDINAL Interioriza los contenidos desarrollados para aplicarlos en su vida profesional.
8
PROESAD
Anualidades y programas de amortización de crÉdito
Sesión
1. INTRODUCCIÓN Una anualidad se define como una serie de pagos, por lo general iguales, realizados en intervalos de tiempo. A simple vista el término anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año (anual); sin embargo, esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser mensuales, quincenales, etc. Como ejemplos de anualidad tenemos: • • • • • •
El cobro quincenal del sueldo. El pago mensual de la renta de la casa. Los pagos mensuales de la tarjeta de crédito. El pago mensual por el servicio del cable. Los abonos mensuales para pagar la computadora comprada al crédito. El pago de la prima del seguro de vida, etc.
Según Héctor Vidaurri Aguirre6 , “el concepto de anualidad es de gran importancia en matemática financiera, ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago único realizado al final del plazo”. El término transcurrido entre dos pagos sucesivos se llama período de pago o período de renta. Este período de pago, tal como se ha mencionado, puede ser anual, semestral, mensual, etc. Al tiempo que transcurre entre le primer periodo de pago y el final del último periodo de pago se llama plazo de la anualidad. Existen diversas formas de clasificar las anualidades, entre ellas tenemos: a) Utilizando el tiempo Entre ellas pueden ser ciertas y contingentes: Una anualidad cierta es aquella en la cual los pagos comienzan y terminan en fechas perfectamente definidas. Por ejemplo, al comprar un equipo de sonido en Saga Falabella, se establecen de antemano las fechas de iniciación y terminación del crédito. Asimismo, una variante de este tipo de anualidades son las anualidades perpetuas o perpetuidades. Estas anualidades se inician en una fecha fija y la duración de los pagos es por tiempo limitado. 6
Profesor del Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO-México).
Cálculo financiero
171
Universidad Peruana Unión
Una anualidad contingente es aquella en la cual la fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas dependen de algún suceso que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuando. Por ejemplo, el contrato de un seguro de vida en el Pacífico Perú Vida, donde se establece que la suma asegurada se entregue al beneficiario del seguro en 6 o más pagos mensuales iguales. Se sabe que los pagos deben efectuarse al morir el asegurado, pero ¿cuándo ocurrirá esto?. Este tipo de anualidades no se estudiarán en este texto. b) Utilizando los pagos Dentro de éstas, pueden ser vencidas y anticipadas: Una anualidad vencida, también llamada anualidad ordinaria, es aquella cuyos pagos se realizan al final de cada periodo de pago. Una anualidad anticipada es aquella cuyos pagos se realizan al principio de cada periodo de pago. c) Utilizando los intereses Pueden ser simples o generales: Una anualidad simple, es aquella cuyo período de pago coincide con el período de capitalización de los intereses. Por ejemplo, realizar depósitos mensuales en una cuenta de ahorros que paga intereses capitalizables cada mes. Una anualidad general es aquella cuyo período de pago no coincide con el período de capitalización de los intereses. Por ejemplo, cuando se realizan depósitos quincenales en una cuenta de ahorros cuyos intereses se capitalizan cada mes. d) Utilizando el momento de iniciación de la anualidad Dentro de esta clasificación tenemos, diferidas o inmediatas: Una anualidad diferida es aquella en la cual los pagos se aplazan por un cierto tiempo. Por ejemplo, se compra hoy, a crédito una computadora portátil, la cual se pagará mediante 12 pagos mensuales y el primer pago se llevará a cabo después de 3 meses. Una anualidad inmediata es aquella en la que no existe aplazamiento alguno de los pagos, es decir, los pagos se realizan en el período inmediato a la firma del contrato o del pagaré. De esto, tomando una característica de cada una de las diferentes clasificaciones, es posible formar 16 tipos diferentes de anualidades. Por ejemplo: • • • •
Anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas. Anualidades contingentes, generales, vencidas y diferidas. Anualidades ciertas, simples, anticipadas y diferidas. Anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas, etc.
Sin embargo, de estos 16 tipos de anualidades, las más usuales son: • Las anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas; conocidas simplemente como anualidades vencidas. • Las anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas; conocidas simplemente como anualidades anticipadas. • Las anualidades ciertas, simples, vencidas y deferidas; conocidas simplemente como anualidades diferidas.
Unidad IV
172
PROESAD
En este capítulo nos ocuparemos de las primeras dos clases. A continuación, estudiaremos la primera de ellas.
2. ANUALIDADES VENCIDAS U ORDINARIAS De todas las clases o tipos de anualidades antes mencionadas, las anualidades vencidas u ordinarias son las que se utilizan con mayor frecuencia en el mundo financiero. Su característica principal recae en que los pagos se realizan al final de cada periodo de pago.
2.1. Valor futuro S de una anualidad vencida El monto o valor futuro de una anualidad vencida es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados al final de cada periodo de pago. Para el cálculo del valor futuro de una anualidad vencida, se utiliza el factor de capitalización de la serie (FCS), cuya ecuación es la siguiente: (1 + i)n − 1 S = R (1) i Ejemplo 1 Valor futuro S de una anualidad vencida Supóngase que se deposita $1.000 al final de cada mes en un banco que paga una TEM de 1,5% capitalizable cada mes. ¿Cuál será el monto al finalizar el cuarto mes? Solución: Los datos son: S=? R = $1.000 i = 1.5% n = 4 meses El diagrama de tiempo es el siguiente:
0
$1.000
$1.000
$1.000
$1.000
1
2
3
4 S
meses
Nótese que el cero en el diagrama de tiempo corresponde al momento actual y coincide con el inicio del mes 1; el número 1 marcado en el diagrama de tiempo corresponde al final del mes 1 y coincide con el inicio del mes 2, y así sucesivamente.
Cálculo financiero
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Universidad Peruana Unión
Debido a que los depósitos se realizan al final de cada mes, los primeros $1.000 ganarán intereses por 3 meses, los segundos $1.000 ganarán intereses por 2 meses, etc. El último depósito no gana intereses. Ahora, si la fecha focal se localiza en el momento final, o al final de la cuarta renta, entonces se puede formar la siguiente ecuación de valor: S = 1.000 * (1, 015) + 1.000 * (1, 015) + 1.000 * (1, 015) + 1.000 3
2
1
S = $4.090, 90 Reemplazando en la ecuación (1), hallamos el mismo resultado: (1 + 0, 015)4 − 1 S = 1.000 = $4.090, 90 0, 015 El valor futuro de la anualidad asciende a $4.090,90, producto de la capitalización de cuatro rentas iguales de $1.000. Ejemplo 2 Valor futuro S de una anualidad vencida El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Para esto planea depositar $200 en una cuenta de ahorros al final de cada mes y durante los próximos 8 años. Si la TNA es del 27% capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años? Solución: Los datos son: S=? R = $200 i = 27% n = 8 años Reemplazando los valores en la ecuación (1), tenemos: 0, 27 (8)(12) − 1 1 + 12 = $66.364, 47 S = 200 , 0 27 12 El valor futuro de la anualidad asciende a $66.364,47. Al final de los 8 años la cuenta asciende a $66.364,47. Unidad IV
174
PROESAD
Renta uniforme en función de S Despejando R en la ecuación (1), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las rentas uniformes, en función del valor futuro o monto. Esta fórmula es el factor de depósito al fondo de amortización (FDFA): i (2) R = S n (1 + i) − 1 Ejemplo 3 Renta uniforme en función de S A cuánto ascenderá el depósito al final de cada mes que un padre de un niño de 10 años tendrá que hacer, para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria y poder juntar un monto de $66.364,47, si se considera una TNA del 27% capitalizable mensualmente y si estos depósitos se van hacer durante 8 años. Solución: Los datos son: R=? S = $66.364,47 i = 27% n = 8 años Sustituyendo los valores en la (2), tenemos: 0, 27 12 = $200 R = 66.364, 47 0, 27 (8)(12) 1 + − 1 12 El padre de familia tendrá que depositar al final de cada mes $200, durante 8 años para que al final de los mismos pueda tener $66.364,47. Cálculo de n en función de S Despejando n en la ecuación (1), se encuentra la fórmula que nos permite calcular el número de las rentas uniformes, en función del valor futuro o monto.
s * i log 1 + R n= log (1 + i)
(3)
Cálculo financiero
175
Universidad Peruana Unión
Ejemplo 4 Cálculo de n en función de S En cuanto tiempo, un padre de familia obtendrá un monto de $66.364,47, si efectúa depósitos mensuales al final de los mismos de $200, a una TNA de 27% capitalizable mensualmente. Solución: Los datos son: n=? S = $66.364,47 R = $200 i = 27% Sustituyendo los valores en la (3), tenemos: 0, 27 66.364, 47 * 12 log 1 + 200 = 96 n= 0, 27 log 1 + 12 El padre de familia tendrá que efectuar 96 depósitos al final de cada mes de $200 para que al final de los mismos pueda tener $66.364,47.
2.2. Valor presente P de una anualidad vencida Hasta aquí hemos determinado el valor futuro (S) de una anualidad. A continuación vamos a determinar el valor presente o valor actual (P) de una anualidad vencida; esto es el valor al comienzo del plazo. El valor presente de una anualidad se define como la suma de los valores presentes de todos los pagos. Para el cálculo del valor actual de una anualidad vencida, se utiliza el factor de actualización de la serie (FAS), cuya ecuación es la siguiente: (1 + i)n − 1 P = R n i (1 + i)
(4)
Ejemplo 1 Valor presente P de una anualidad vencida Supóngase que una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagos al final de cada
Unidad IV
176
PROESAD
mes de $1.000 cada uno, que incluyen intereses a una TEM de 2% con capitalización cada mes. Se desea obtener el valor presente de los pagos. Solución: Los datos son: P=? R = $1.000 i = 2% n = 4 meses El diagrama de tiempo es el siguiente:
$1.000
0
$1.000
1
$1.000
2
$1.000
3
P
4
meses
Ahora, si la fecha focal se localiza en el momento actual, entonces se puede formar la siguiente ecuación de valor: P=
1.000
(1, 02)
1
+
1.000
(1, 02)
2
+
1.000
(1, 02)
3
+
1.000
= $3.807, 73
(1, 02)
4
Del mismo modo, reemplazando en la ecuación (4), tenemos: (1 + 0, 02)4 − 1 P = 1.000 = $3.807, 73 4 0, 02 (1 + 0, 02) De esto, podemos señalar que $3.807,73 es el valor actual de 4 pagos al final de cada mes de $1.000 cada uno, y representa la cantidad de dinero pedida en préstamo por el deudor. El valor presente de una anualidad se puede interpretar, también, como la cantidad que se debe invertir en este momento para poder efectuar cierto número de retiros en el futuro. Esto es, si una persona invierte en este momento $3.807,73 al 2% mensual capitalizable cada mes, entonces podrá retirar $1.000 cada mes, durante 4 meses. Ejemplo 2 Valor presente P de una anualidad vencida La señora Norma Morales está apunto de jubilarse y estima que necesitará $2.000 cada
Cálculo financiero
177
Universidad Peruana Unión
mes durante los próximos 15 años. Su banco le paga una TNA de 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes? Solución: Los datos son: P=? R = $2.000 i = 20% n = 15 años Sustituyendo los valores en la ecuación (4), se tiene: 0, 20 (15)(12) − 1 1 + 12 = $113.875, 99 P = 2.000 0, 20 0, 20 (15)(12) 1 + 12 12 La señora Norma Morales debe tener un depósito en el banco de $113.875,99. Renta uniforme en función de P Despejando R en la ecuación (1), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las Despejando R en la ecuación (4), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las rentas uniformes, en función del valor presente o valor actual. Esta fórmula es el factor de recuperación del capital (FRC): i (1 + i)n R = P n (1 + i) − 1 Ejemplo 3 Renta uniforme en función de P
(5)
La señora Norma Morales está a punto de jubilarse y cuenta con unos ahorros en el banco, los cuales ascienden a $113.875,99 que gana una TNA de 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el flujo constante o renta mensual del capital con que podrá contar la señora Norma para los próximos 15 años? Solución: Los datos son: R=? P = $113.875,99 i = 20% n = 15 años
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178
PROESAD
Reemplazando los valores en la ecuación (5), se tiene: 0, 20 0, 20 (15)(12) 1 + 12 12 = $2.000 R = 113.875, 99 0, 20 (15)(12) 1 + − 1 12 La señora Norma Morales podrá contar mensualmente y por un espacio de 15 años, la suma de $2.000 mensuales. Cálculo de n en función de P Despejando n en la ecuación (4), se encuentra la fórmula que nos permite calcular el número de las rentas uniformes, en función del valor presente o valor actual.
P * i − log 1 − R n = log (1 + i) Ejemplo 4
(6)
Cálculo de n en función de P La señora Norma Morales está apunto de jubilarse cuenta con unos ahorros en el banco, los cuales ascienden a $113.875,99 que gana una TNA de 20% capitalizable mensualmente. Asimismo, estima que necesitará $2.000 mensuales para gastos diversos. ¿Por cuántos meses podrá contar la señora Norma con dicha cantidad de dinero? Solución: Los datos son: n=? P = $113.875,99 R = $2.000 i = 20% Reemplazando los valores en la ecuación (6), se tiene: 0, 20 113.875.99 * 12 − log 1 − 2.000 = 180 n= 0, 20 log 1 + 12 2 La señora Norma Morales podrá contar con $2.000 mensuales durante 180 meses.
Cálculo financiero
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3. ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada es aquella en la cual los pagos se llevan a cabo al inicio del período de pago, a diferencia de una anualidad vencida, en que los pagos se llevan a cabo al final. Como ejemplos tenemos: los pagos anuales (primas) de seguro de vida, la renta de una casa u oficina, etc. La diferencia cuantitativa entre una anualidad vencida y una anualidad anticipada (Ver figura 1) radica en que en la primera, la última renta no percibe intereses pues coincide con el final del cobro; mientras que en la segunda la última renta se abona o cobra al empezar el último período, de tal forma que percibe intereses en este último periodo. Se puede observar que la anualidad anticipada comienza con un pago y concluye un período después de que se haya cubierto el último pago. De esta manera, el n-ésimo pago gana intereses por un periodo debido a que fue depositado al inicio del último periodo.
3.1. Valor futuro S de una anualidad anticipada El monto o valor futuro de una anualidad anticipada es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados al inicio de cada periodo de pago. Para el cálculo del valor futuro de una anualidad anticipada, se utiliza la ecuación siguiente: (1 + i)n+1 − (1 + i) (7) S = R * i Figura 1 Anualidades vencidas y anticipadas Anualidad Vencida
0
R
R
R
R
R
R
R
1
2
3
n-3
n-2
n-1
n
Anualidad Anticipada R
R
R
R
R
R
R
R
0
1
2
3
n-3
n-2
n-1
n
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PROESAD
Ejemplo 1 Valor futuro S de una anualidad anticipada Supóngase que se deposita $1.000 al inicio de cada mes en un banco que paga una TEM de 1,5% capitalizable cada mes. ¿Cuál será el monto al finalizar el cuarto mes? Solución: Los datos son: S=? R = $1.000 i = 1.5% n = 1 año El diagrama de tiempo es el siguiente:
$1.000
$1.000
0
1
$1.000
$1.000
2
3
4
meses
S
Nótese que el cero en el diagrama de tiempo corresponde al momento actual y coincide con el inicio del mes 1; el número 1 marcado en el diagrama de tiempo corresponde al final del mes 1 y coincide con el inicio del mes 2, y así sucesivamente. Debido a que los depósitos se realizan al inicio de cada mes, los primeros $1.000 ganarán intereses por 4 meses, los segundos $1.000 ganarán intereses por 3 meses, etc. El último depósito gana intereses por un mes. Ahora, si la fecha focal se localiza en el momento final, o al final de la cuarta renta, entonces se puede formar la siguiente ecuación de valor: S = 1.000 * (1, 015) + 1.000 * (1, 015) + 1.000 * (1, 015) + 1.000 * (1, 015) 4
3
2
1
S = $4.152, 26 Reemplazando en la ecuación (7), hallamos el mismo resultado: (1 + 0, 015)4 +1 − (1 + 0, 015) S = 1.000 * = $4.152, 26 0, 015 El valor futuro de la anualidad asciende a $4.152,26, producto de la capitalización de cuatro rentas iguales de $1.000.
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Universidad Peruana Unión
Ejemplo 2 Valor futuro S de una anualidad anticipada El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Para esto planea depositar $200 en una cuenta de ahorros al inicio de cada mes y durante los próximos 8 años. Si la TNA es del 27% capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años? Solución: Los datos son: S=? R = $200 i = 27% n = 8 años Sustituyendo los valores en la (7), tenemos: 0, 27 (8)(12) +1 0, 27 − 1 + 1 + 12 12 S = 200 * = $67.857, 67 0, 27 12 El valor futuro de la anualidad asciende a $67.857,67. Al final del de los 8 años la cuenta asciende a $67.857,67. Renta uniforme en función de P Despejando R en la ecuación (7), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las rentas uniformes, en función del valor futuro o monto. R =
S*i (1 + i )
n +1
− (1 + i )
(8)
Ejemplo 3 Renta uniforme en función de P A cuanto ascenderá el depósito al inicio de cada mes que un padre de un niño de 10 años tendrá que hacer, para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria y poder juntar un monto de $67.857,67, si se considera una TNA del 27% capitalizable mensualmente y si estos depósitos se van hacer durante 8 años. Solución:
Unidad IV
182
PROESAD
Los datos son: R=? S = $67.857,67 i = 27% n = 8 años Sustituyendo los valores en la (8), tenemos:
R=
0, 27 67.857.67 * 12
0, 27 (8)(12) +1 0, 27 − 1 + 1 + 12 12
= $200
El padre de familia tendrá que depositar al inicio de cada mes $200, durante 8 años para que al final de los mismos pueda tener $67.857,67. Cálculo de n en función de S Despejando n en la ecuación (7), se encuentra la fórmula que nos permite calcular el número de las rentas uniformes, en función del valor futuro o monto. S * i log + 1 + i R − 1 (9) n = log (1 + i) Ejemplo 4 Cálculo de n en función de S En cuanto tiempo, un padre de familia obtendrá un monto de $67.857,67, si efectúa depósitos mensuales al inicio de los mismos de $200, a una TNA de 27% capitalizable mensualmente. Solución: Los datos son: n=? S = $67.857,67 R = $200 i = 27% Sustituyendo los valores en la (9), tenemos:
Cálculo financiero
183
Universidad Peruana Unión
0, 27 67.857, 67 * 12 0, 27 + 1+ log 200 12 − 1 = 97 n= 0, 27 log 1 + 12 El padre de familia tendrá que efectuar 97 depósitos al inicio de cada mes de $200 para que al final de los mismos pueda tener $67.857,67.
3.2. Valor presente P de una anualidad anticipada Hasta aquí hemos determinado el valor futuro (S) de una anualidad. A continuación vamos a determinar el valor presente o valor actual (P) de una anualidad anticipada; esto es el valor al comienzo del plazo. El valor presente de una anualidad se define como la suma de los valores presentes de todos los pagos. Para el cálculo del valor actual de una anualidad anticipada, se utiliza la siguiente ecuación: (1 + i) − (1 + i)1−n P = R * (10) i Ejemplo 1 Valor presente P de una anualidad anticipada Supóngase que una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagos al inicio de cada mes de $1.000 cada uno, que incluyen intereses a una TEM de 2% con capitalización cada mes. Se desea obtener el valor presente de los pagos. Solución: Los datos son: P=? R = $1.000 i = 2% n = 4 meses El diagrama de tiempo es el siguiente:
$1.000
$1.000
$1.000
$1.000
0
1
2
3
P
Unidad IV
184
4
meses
PROESAD
Ahora, si la fecha focal se localiza en el momento actual, entonces se puede formar la siguiente ecuación de valor: P = 1.000 +
1.000
(1, 02)
1
+
1.000
(1, 02)
2
+
1.000
(1, 02)
3
P = $3.883, 88 Del mismo modo, reemplazando en la ecuación (10), tenemos: (1 + 0, 02) − (1 + 0, 02)1−4 P = 1.000 * = $3.883, 88 0, 02 De esto, podemos señalar que $3.883,88 es el valor actual de 4 pagos al inicio de cada mes de $1.000 cada uno, y representa la cantidad de dinero pedida en préstamo por el deudor. Ejemplo 2 Valor presente P de una anualidad anticipada La señora Norma Morales está apunto de jubilarse y estima que necesitará $2.000 al inicio de cada mes durante los próximos 15 años. Su banco le paga una TNA de 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes? Solución: Los datos son: P=? R = $2.000 i = 20% n = 15 años Reemplazando los valores en la ecuación (10), se tiene: 0, 20 0, 20 1− (15)(12) 1 + − 1 + 12 12 = $115.773, 93 P = 2.000 * 0, 20 12 La señora Norma Morales debe tener un depósito en el banco de $115.773,93.
Cálculo financiero
185
Universidad Peruana Unión
Renta uniforme en función de P Despejando R en la ecuación (10), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las rentas uniformes, en función del valor presente o valor actual. P*i R = 1−n 1 + i ) − (1 + i ) (
(11)
Ejemplo 3 Renta uniforme en función de P La señora Norma Morales está a punto de jubilarse y cuenta con unos ahorros en el banco, los cuales ascienden a $115.773,93 que gana una TNA de 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el flujo constante o renta mensual del capital con que podrá contar la señora Norma para los próximos 15 años? Solución: Los datos son: R=? P = $115.773,93 i = 20% n = 15 años Reemplazando los valores en la ecuación (11), se tiene:
R=
0, 20 115.773, 93 * 12
0, 20 0, 20 1−(15*12) 1 + − 1 + 12 12
= $2.000
La señora Norma Morales podrá contar mensualmente y por un espacio de 15 años, la suma de $2.000 mensuales. Cálculo de n en función de P Despejando n en la ecuación (10), se encuentra la fórmula que nos permite calcular el número de las rentas uniformes, en función del valor presente o valor actual.
P * i log 1 + i − R n = 1− log (1 + i)
Unidad IV
186
(12)
PROESAD
Ejemplo 4 Cálculo de n en función de P La señora Norma Morales está a punto de jubilarse cuenta con unos ahorros en el banco, los cuales ascienden a $115.773,93 que gana una TNA de 20% capitalizable mensualmente. Asimismo, estima que necesitará $2.000 mensuales para gastos diversos. ¿Por cuántos meses podrá contar la señora Norma con dicha cantidad de dinero? Solución: Los datos son: n=? P = $115.773,93 R = $2.000 i = 20% Reemplazando los valores en la ecuación (12), se tiene:
0, 20 0, 20 115.773, 93 * 12 log 1 + − 2.000 12 = 180 n = 1− 0, 20 log 1 + 12 La señora Norma Morales podrá contar con $2.000 mensuales durante 180 meses.
Cálculo financiero
187
GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________
¿?
4. ______________ _____________________________________________
¿?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor.
Valor futuro S de una anualidad vencida 1. Una familia desea empezar a ahorrar para realizar un viaje a la ciudad de Acapulco. Para esto se deposita cada fin de mes $200 en una cuenta bancaria que genera intereses a una TNA del 16% capitalizable mensualmente. Se tiene planeado viajar en un año, ¿cuánto se habrá ahorrado al final del año? Rpta. $2.584,06 2. En el momento de cumplir, su hija, su primer cumpleaños un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona una TNA de 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumentó sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. Rpta. $51.736,64 3. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona una TNA de 6%, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. Rpta. $46.204,09 4. A cuánto ascenderá el depósito al final de cada mes que una familia tendrá que efectuar en un banco local para realizar un viaje a Acapulco y poder juntar un monto de $2.584,06, si se considera una TNA del 16% capitalizable mensualmente y si estos depósitos se van hacer durante 1 año. Rpta. $200
188
5. En cuánto tiempo, una familia obtendrá un monto de $2.584,06, si efectúa depósitos mensuales al final de los mismos de $200, a una TNA de 16% capitalizable mensualmente. Rpta. 12 depósitos mensuales Valor presente P de una anualidad vencida 6. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar una TNA de 9% con capitalización mensual. Rpta. $48.758,17 7. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, al final del último pago, si se carga una TNA de 12% con capitalización mensual? Rpta. $57.128,78 8. Una mina en explotación, ubicada en el centro del Perú, tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es de una TNA de 8%. Rpta. $53.680.651,19 9. Un distribuidor de automóviles ofreció al señor Jaime Cucho un automóvil Audi del año mediante un pago inicial de $8.000 y 30 pagos mensuales de $2.866,66 cada uno. Si la casa distribuidora aplica una TNA de 30% capitalizable mensualmente, encuentre el valor de contado del automóvil. Rpta. $68.000 10. Un distribuidor de automóviles ofreció al señor Jaime Cucho un automóvil Audi del año al precio de contado de $68.000. Asimismo, existe la posibilidad de financiarlo con un pago inicial de $8.000 y 30 pagos mensuales. Si la casa distribuidora aplica una TNA de 30% capitalizable mensualmente, encuentre el valor de cada cuota. Rpta. $2.866,66 Valor futuro S de una anualidad anticipada 11. ¿Cuál es el monto al cabo de 8 años si al inicio de cada bimestre se depositan $750 en una cuenta de ahorros, si la TNA es de 7,35% capitalizable cada dos meses? Rpta. $49.205,51 12. Susy Gonzáles depositó $210 al principio de cada mes en un fondo que paga una TNA de 16% convertible mensualmente. Después de 2 años ella no hizo más depósitos, pero dejó el dinero en depósito por otros dos años y medio a la misma tasa de interés. ¿A cuánto asciende el fondo al final de ese tiempo? Rpta. $8.886,45 13. ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada bimestre durante 10 años para acumular $100.000, si la TNA es del 7,44% capitalizable cada bimestre. Rpta. $1.118,83 14. ¿Cuántos depósitos mensuales anticipados de $1.000,80 cada uno deben hacerse, con el fin de tener un monto de $100.000? La TEM es del 2,5%. Rpta. 50 depósitos mensuales 15. ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada mes para acumular $150.000 en dos y medio años, si la TEM es del 1,57% capitalizable cada mes? Rpta. $3.891,93
189
Valor presente P de una anualidad anticipada 16. Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la TNA es del 12% convertible mensualmente. Rpta. $252.464,64 17. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana una TNA de 9%, convertible mensualmente? Rpta. $49.666,42 18. Una persona renta un departamento por $2.150 al mes durante un año. La renta se debe pagar por adelantado cada mes. ¿Cuál es valor actual de las rentas de un año, tomando como base una TNA de 21,5%. Rpta. $23.443,27 19. Una computadora puede ser adquirida pagando $170 de pago inicial y 24 pagos de $170 cada uno. ¿Cuál es el precio de contado si el interés cobrado es una TNA de 32% capitalizable mensualmente? ¿Qué cantidad de interés se está pagando? Rpta. $3.155,21; $1.094,79 20. ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona una TNA de 6% para proveer la sustitución de los equipos de una empresa cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo? Rpta. $301.239,17
190
9
PROESAD
Sesión
Anualidades diferidas y perpetuas 1. INTRODUCCIÓN Cuando en un contrato de crédito u operación similar que debe amortizarse con cuotas uniformes, por acuerdo expreso de las partes, el pago de esas rentas empieza después del vencimiento de uno o varios períodos de renta, contados a partir del inicio del plazo pactado, se está ante el caso de una anualidad diferida.
2. ANUALIDADES DIFERIDAS Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza hasta después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo; desde el momento en que la operación quedó formalizada recibe el nombre momento inicial o de convenio. El intervalo de tiempo que transcurre entre el momento inicial y el inicio del plazo de la anualidad se llama período de gracia o período de diferimiento. El período de gracia se mide utilizando como unidad de tiempo el correspondiente a los períodos de pago. Por ejemplo, si dentro de cuatro meses se dará el primer pago de una anualidad vencida de $500 mensuales, y cuyo plazo es de seis meses, se tendrá el siguiente diagrama de tiempo. Momento Inicial
0
500 1
2
3
4
0
1
500
500
500
500
500
5
6
7
8
9 meses
2
3
4
5
6
Plazo de la anualidad
Período de gracia Comienzo del plazo de la anualidad
En este ejemplo el período de gracia es de 3 años, ya que el final del tercer mes coincide con el comienzo de la anualidad vencida, el cual es de 6 meses. Para resolver problemas de anualidades diferidas no es necesario deducir nuevas fórmulas, ya que éstas pueden ser tratadas como anualidades vencidas o anticipadas. En este libro, al resolver
Cálculo financiero
191
Universidad Peruana Unión
problemas de anualidades diferidas, éstas se tratarán como anualidades vencidas, ya que esto es lo más usual.
2.1. Valor futuro S de una anualidad diferida El monto o valor futuro de una anualidad diferida es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo, desde el momento en que una determinada operación quedó formalizada. Ejemplo 1 Valor futuro S de una anualidad diferida La compañía Holandesa Foretrend Company adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demorarán 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400,000, suponiendo que la TNA es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse. Solución: Los datos son: S=? R = $2.400.000 i = 8% n = 15 años El diagrama de tiempo es el como sigue:
0
6
R R R
R R R
7 8
19 20 21 Años
En el diagrama R, representa la ganancia anual. Para calcular el valor futuro de una serie uniforme de rentas, utilizamos la fórmula del FCS. Reemplazando los valores en la ecuación del FCS, se tiene: (1 + 0, 08 )15 − 1 S = 2.400.000 = $65.165.073, 43 0, 08 El valor futuro de las ganancias asciende a $65.165.073,43.
Unidad IV
192
PROESAD
2.2. Valor presente P de una anualidad diferida El valor presente de una anualidad diferida se define como la suma de los valores presentes de una serie de pagos iguales efectuados después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que una determinada operación quedó formalizada. Ejemplo 1 Valor presente P de una anualidad diferida En el problema anterior, hallar el valor presente de las utilidades que la compañía Holandesa Foretrend Company obtendrá, al momento de adquirir los yacimientos de mineral. Solución: Los datos son: P=? R = $2.400.000 i = 8% n = 15 años En el problema anterior, hallar el valor presente de las utilidades que la compañía Holandesa Foretrend Company obtendrá, al momento de adquirir los yacimientos de mineral. En éste, tal como observamos en el diagrama de tiempo anterior, las ganancias se producen a partir del año 7 hasta el año 21, lo que tenemos que hacer primero es actualizar esa serie uniforme de beneficios, hasta el inicio del año 7 o finales del año 6, que es lo mismo. Para esto utilizamos el factor de actualización de la serie (FAS). Reemplazando los valores en la ecuación del FAS, se tiene: (1 + 0, 08 )15 − 1 P = 2.400.000 85 = $20.542.748,8 15 0, 08 (1 + 0, 08 ) La serie uniforme R de beneficios actualizada al inicio del año 7, asciende a $20.542.748,85. Una vez que tenemos esta cantidad, la misma la actualizamos hasta el momento 0, que es la fecha en que la compañía adquiere los yacimientos de mineral. Para esto, actualizamos dicho importe, utilizando el factor simple de actualización (FSA). Reemplazando los valores en la ecuación del FSA, se tiene: 1 P = 20.542.748, 85 = $12.945.416, 38 6 (1 + 0, 08 ) El valor presente de los beneficios que obtendrá Foretrend Company por la adquisición de los yacimientos de mineral asciende a $12.945.416,38.
Cálculo financiero
193
Universidad Peruana Unión
Renta uniforme en función de P Para calcular la renta uniforme en una anualidad diferida, se debe tener en cuenta que mientras transcurre el período de gracia, una de las siguientes situaciones se lleva a cabo: 1. Que al final de cada período de pago se liquiden o paguen los intereses generados por el capital original. Es este caso estamos hablando de un período de gracia normal o parcial. 2. Que los intereses generados dentro del período de gracia se capitalicen. En este caso, estamos frente a un período de gracia total. En la mayor parte de las situaciones reales se lleva a cabo la segunda opción, pero a continuación veremos algunos ejemplos de cada uno de ellos. Ejemplo 1 Renta uniforme en función de P El señor Víctor Gómez obtiene un préstamo del Banco Intesa por $50.000, el mismo que será destinado para la compra de un auto 0 km. BMW-Serie 5. El préstamo se pagará a través de 60 pagos mensuales, después de un período de gracia total (los intereses no se pagan, si no se capitalizan) de un año. Obtenga el valor del pago mensual sabiendo que la TNA es del 27% capitalizable cada mes. Solución: Los datos son: R=? P = $50.000 i = 27% n = 5 años El diagrama de tiempo es el como sigue: 50.000 0
1
2
11
12 0
13 14 1 2 R R
70 58 R
71 72 59 60 R R
meses plazo de la anualidad
Ahora, como los intereses no se pagan, sino se capitalizan, al final del período de gracia, nuestra deuda ya no sigue siendo la misma ($50.000), a esto hay que sumarle los intereses. Para esto, capitalizamos los intereses, utilizando el factor simple de capitalización (FSC), como sigue: 12
0, 27 S = 50.000 * 1 + = $65.302, 50 12
Unidad IV
194
PROESAD
Una vez que conozco a cuánto asciende mi deuda, después de terminado el período de gracia, recién puedo hallar el valor de cada cuota. Para esto utilizamos el factor de recuperación del capital (FRC). Reemplazando los valores en la ecuación del FRC, se tiene: 0, 27 0, 27 60 1 + 12 12 R = 65.302, 50 = $1.994, 03 0, 27 60 1 + −1 12 El valor de cada cuota, asciende a $1.994,03. El préstamo será cancelado con 60 cuotas mensuales de $1.994,03. Ejemplo 2 Renta uniforme en función de P Resuelva el problema anterior, suponiendo que el banco Intesa, sólo nos ofrece un período de gracia normal, vale decir, durante el periodo de gracia se pagan los intereses. Solución: Los datos son: R=? P = $50.000 i = 27% n = 5 años En este caso Víctor, tendrá que pagar los intereses mensuales que general el capital, durante todo el periodo de gracia. Ahora, una vez finalizado el período de gracia, nuestra deuda sigue siendo la misma ($50.000), esto porque durante el período de gracia se pagaron los intereses. A continuación, hallamos el valor de cada cuota, utilizando el FRC: 0, 27 0, 27 60 1 + 12 12 R = 50.000 = $1.526, 77 0, 27 60 1 + −1 12 El valor de cada cuota, asciende a $1.526,77. Asimismo, se puede observar que el interés total pagado cuando los intereses se capitalizan (período de gracia total) durante todo el período de gracia, es mayor que cuando los intereses se pagan (período de gracia parcial).
Cálculo financiero
195
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3. PERPETUIDADES Una renta perpetua o perpetuidad es una anualidad cuyo plazo no tiene fin. Este tipo de anualidades se presenta cuando se invierte un capital y únicamente se retiran los intereses; por tanto, mientras se mantenga invertido el capital, se tendrá una renta perpetua. Son ejemplos de rentas perpetuas los siguientes: • Los legados hechos a centros de investigación, organismo de beneficencia, universidades, etc., que son invertidos y cuyos intereses son utilizados al final de cada periodo. • Los dividendos provenientes de acciones preferentes de una compañía.
3.1. Valor futuro S de una perpetuidad Puesto que los pagos de una renta perpetua, en teoría no terminan nunca, es imposible calcular el valor futuro de los mismos.
3.2. Valor presente P de una perpetuidad El valor actual de una renta perpetua se encuentra perfectamente definido. Por ejemplo, si una persona deposita en un banco la cantidad de $50.000, la misma que paga una TEM del 1,5% mensual, pasado el mes, esta persona puede retirar $750 ($50.000 * 0,015) dejando intacto e inalterable su capital inicial. Los mismos podría hacer al final del segundo mes, y el capital inicial sería el mismo, y así sucesivamente. De esto se dice que $50,000 son el valor actual de una renta perpetua de $750 por mes. Este tipo de rentas, pueden ser vencidas, anticipadas o diferidas. Sin embargo, las rentas perpetuas vencidas son las más usadas en el mundo de los negocios. En este punto analizaremos este tipo de rentas. Estas rentas las podríamos visualizar a través de la siguiente gráfica:
P 0
1
2
3
4
R
R
R
R
períodos
El valor presente o valor actual de la renta perpetua vencida es aquella cantidad P que, en un periodo de interés, produce R de intereses. En el ejemplo anterior P son los $50.000 que están depositados en el banco y R son los $750 que gana dicho deposito en intereses. Esto es: P * i = R Esto es: P =
Unidad IV
196
R (1) i
PROESAD
Ejemplo 1 Valor presente P de una perpetuidad Según el testamento del reconocido catedrático Jorge Chang, se establece que deberá pagarse al Hospital “Mi Buen Jesús”, una renta perpetua de $50.000, pagaderos al final de cada año. ¿Cuál es el valor actual de ese legado, suponiendo que se encuentra invertido a una TNA de 18%? Solución: Los datos son: R = $50.000 i = 18% Reemplazando los valores en la ecuación (1), se tiene: = P
50.000 = $277.777, 78 0, 18
De esto, el valor actual del legado es de $277.777,78, el cual significa que si invertimos esos $277.777,78 al 18% anual, se generará un interés de $50.000 al año. El Hospital “Mi Buen Jesús” recibirá por tiempo indefinido este importe, salvo que cambie la tasa de interés o bien si parte o todo de dicho legado sea retirado. Ahora, si en lugar de retirar el interés a medida que se gana, se deja capitalizar por cierto número de períodos, al final de los cuales se retira el interés compuesto ganado, dejando intacto el capital inicial, entonces en ese caso tendríamos que hallar el valor actual de una renta perpetua a pagar al final de cada cierto número de períodos de capitalización. En este caso, utilizamos la ecuación siguiente: P =
R
(1 + i )
n
−1
(2)
Ejemplo 2 Valor presente P de una perpetuidad Cierta universidad estadounidense recibe semestralmente una donación por $100.000 para otorgar becas para estudios de postgrado a estudiantes latinoamericanos de escaso recursos económicos. Si la TNA es 25% capitalizable cada mes, determine el valor presente de la donación Solución:
Cálculo financiero
197
Universidad Peruana Unión
Los datos son: R = $100.000 i = 25% Reemplazando en la ecuación (2), se tiene: P=
100.000 6
0, 25 −1 1 + 12
= $759.335, 40
El valor presente de la donación asciende a $759.335,40. La cantidad que se debe invertir el hoy al 25% capitalizable mensualmente, con el fin de retirar $100.000 al final de cada semestre es de $759.335,40.
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198
GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________
¿?
4. ______________ _____________________________________________
¿?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor.
Anualidades diferidas 1. La compañía Norteamericana Repsol adquiere unos yacimientos petrolíferos en la selva peruana; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demorarán 3 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $25.000.000, suponiendo que la TNA es del 7% y que los yacimientos se agotarán después de 25 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse. Rpta. $1.581.225.943 2. Hallar el valor presente de las utilidades que la compañía Repsol obtendrá, al momento de adquirir los yacimientos de petróleo. Rpta. $237.819.881 3. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular el valor de cada cuota, aplicando una TNA de 36% capitalizable trimestralmente. Rpta. $113.492,69 4. Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la TNA del 6% el valor presente de la producción. Rpta. $3.428.396,90
199
5. La señorita Susy Gonzáles obtiene un préstamo del Banco BBVA por $3.000, el mismo que será destinado para la compra de una computadora portátil de última generación. El préstamo se pagará a través de 36 pagos mensuales, después de un período de gracia total (los intereses no se pagan, si no se capitalizan) de un año. Obtenga el valor del pago mensual sabiendo que la TNA es del 24% capitalizable cada mes. Rpta. $149,27 Perpetuidades 6. Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con TNA de 12% convertible mensualmente. Rpta. $475.732,84 7. Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la TNA es del 7%. Rpta. $235.000 8. Encuentre el pago mensual de una perpetuidad cuyo valor presente es de $360,000, suponiendo una TNA de 25% capitalizable cada mes. Rpta. $7.500 9. Según el testamento del reconocido médico George Anderson, se establece que deberá pagarse al Hospital “Metropolitano”, una renta perpetua de $10.000, pagaderos al final de cada año. ¿Cuál es el valor actual de ese legado, suponiendo que se encuentra invertido a una TNA de 15%? Rpta. $66.666,67 10. El testamento de Don Julio Fabre establece que una parte de sus bienes se invertirán de modo de Cáritas reciba, a perpetuidad, una renta de $70.000 al inicio de cada año. Si la TNA es 23% anual, encuentre el valor presente de la donación. Rpta. $374.347,83
200
10
PROESAD
Sesión
programas de amortización de créditos 1. INTRODUCCIÓN El término amortización tiene origen en la palabra francesa “A mort” que tiene un significado relacionada con la muerte. Esto sucede debido a que comúnmente los créditos o préstamos que se contraen se cancelan mediante pagos parciales o abonos. En este caso se dice que el préstamo se amortiza. De este modo al amortizar una deuda la estamos “matando” o “cancelando”, en el mejor de las interpretaciones. Por tanto, en el área financiera, amortizar significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que, generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de tiempo iguales. Aunque esta igualdad de pagos y periodicidad es lo más común, también se llevan a cabo operaciones con algunas variantes. Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican para cubrir los intereses y para reducir el importe de la deuda. Para visualizar este proceso conviene elaborar una tabla de amortización que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortización y el saldo. Esta se puede definir como un cuadro o tabla donde se muestra tanto la cantidad pagada de intereses como la cantidad pagada de capital. La amortización es una de las aplicaciones más importantes de las anualidades. En efecto, cuando se amortiza una deuda efectuando pagos periódicos iguales, la deuda es el valor actual de una anualidad, y éste se calcula utilizando la fórmula de valor presente correspondiente al tipo de anualidad utilizada, vencida o anticipada. La amortización de una deuda puede ser con interés simple o con interés compuesto. A continuación veremos cada una de ellas:
2. AMORTIZACIÓN CON INTERÉS SIMPLE La amortización con interés simple puede llevarse a cabo de dos maneras distintas: a) Con interés global b) Con interés sobre saldos insolutos (al rebatir)
Cálculo financiero
201
Universidad Peruana Unión
2.1. Amortización con interés global En este tipo de amortización los intereses son calculados sobre el total de la deuda, sin tomar en cuenta los pagos parciales efectuados. Ejemplo 1 Amortización con interés global La señorita Lizbeth Ángeles compra una computadora Pentium IV, marca Toshiba al crédito, cuyo precio de contado es $4.800, bajo las siguientes condiciones de pago: tasa de interés global de 48% y 6 meses para pagar dando abonos mensuales iguales en cantidad. Calcule el valor del abono mensual. Solución: Los datos son: S=? P = $4.500 i = 48% n = 6 meses En primer lugar calculamos el monto de la deuda, el cual es como sigue: 0, 48 * 6 = $5.952 S = 4.800 1 + 12 Al dividir este monto entre los 6 meses, se obtendrá el valor del abono mensual de $992 (5.952/6). El interés mensual es de 0,48/12 = 0,04. La tabla de amortización es como sigue: Mes Saldo Amortización inicial 4.800 0 1 2 3 4 5 6
4.800 4.000 3.200 2.400 1.600 800 Total
Interés
800 800 800 800 800 800 4.800
192 192 192 192 192 192 1.152
Total Cuota 992 992 992 992 992 992 5.952
Saldo insoluto 4.800 4.000 3.200 2.400 1.600 800 0
El valor de cada cuota mensual es $992 y el interés total a pagar por el crédito es $1.152 ($5.952 – $4.800).
Unidad IV
202
PROESAD
La amortización de créditos, utilizando el interés global está prohibida en cualquier parte del mundo por dos razones específicas: • Es una regla injusta, ya que no bonifica intereses por los abonos efectuados. • La tasa de interés en realidad es superior a la tasa mencionada. Así, en el ejemplo anterior, cada pago de $992 se divide en dos partes: $800 ($4.800/6) para pagar el capital o principal y $192 ($4.800 * (0,48/12)) para el pago de los intereses. Cada mes, después de realizado un pago, la deuda se reduce en $800, pero el deudor sigue pagando los mismos intereses; esto hace que en realidad la tasa de interés no sea en realidad de 48%, sino aumente cada mes. Por ejemplo, después de 3 abonos la deuda se reduce a $2.400 y el interés sigue siendo de $192; por tanto, la tasa de interés aplicable para el cuarto mes es: i=
192 * 100 * 12 = 96% ( 2.400 )(1)
Al momento del último pago, el deudor paga un interés de $192 sobre una deuda de $800. La tasa de interés realmente aplicada es: i=
192 * 100 * 12 = 288% (800 )(1)
Por tanto, en el ejemplo, solo en el primer mes, la casa comercial aplica o cobra una tasa de 48% anual. Es por esto que este tipo de amortización no está permitido en ningún sistema financiero. Ejemplo 2 Amortización con interés global Comercial Ramírez ofrece una videocámara marca Sony, cuyo precio de lista es de $1.500, bajo las siguientes condiciones de pago: tasa de interés global de 3% mensual y 10 cuotas mensuales de igual cantidad. Calcule el valor del abono mensual. Solución: Los datos son: S=? P = $1.500 i = 3% n = 10 meses En primer lugar calculamos el monto de la deuda, el cual es como sigue: S = 1.500 1 + 0, 03 * 10 = $1.950
Cálculo financiero
203
Universidad Peruana Unión
Al dividir este monto entre los 10 meses, se obtendrá el valor del abono mensual de $195 (1.950/10). La tabla de amortización es como sigue: Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Saldo Amortización inicial 1.500 1.500 150 1.350 150 1.200 150 1.050 150 900 150 750 150 600 150 450 150 300 150 150 150 Total 1.500
Interés
45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 450
Total Cuota 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 1.950
Saldo insoluto 1.500 1.350 1.200 1.050 900 750 600 450 300 150 0
El valor de cada cuota mensual es $195.
2.2. Amortización con interés sobre saldos insolutos (al rebatir) Lo insoluto significa lo no pagado, entonces el saldo insoluto de una deuda en un momento dado es el saldo de deuda vigente a ese momento, conformado por el capital insoluto (capital impago, capital no amortizado o capital “vivo”) vigente y la totalidad de los intereses devengados y no pagados hasta ese momento, de acuerdo a la modalidad de crédito. De esta manera en este tipo de amortización los intereses son calculados sobre el saldo de la deuda, a diferencia de la amortización utilizando el interés global, donde los intereses son calculados sobre el total de la deuda. Es necesario mencionar la diferencia que existe entre amortización y abono. Amortización, como se ha mencionado, significa liquidar el capital mediante una serie de pagos, generalmente iguales, mientras que el abono o pago total es la suma de la amortización más el interés generado en el período. Ejemplo 1 Amortización con interés sobre saldos insolutos (al rebatir) La señorita Lizbeth Ángeles compra una computadora Pentium IV, marca Toshiba al crédito, cuyo precio de contado es $4,800, bajo las siguientes condiciones de pago: tasa de interés sobre saldos insolutos o al rebatir de 48% y 6 meses para pagar. Calcule el importe de los intereses en cada período y de la cuota periódica.
Unidad IV
204
PROESAD
Solución: R=? P = $4.800 i = 48% n = 6 meses En nuestro caso, la amortización mensual es $800 (4.800/6). Los intereses mensuales se deben calcular sobre la parte no pagada del capital (saldo insoluto) que va quedando después de cada amortización. En nuestro ejemplo, desde el inicio hasta el final del primer mes, el saldo insoluto es de $4,800. por tanto, el interés a pagar al efectuar el primer abono será: 0, 48 =I 4= .800 * * 1 $192 12 Al final del primer mes se tendrá que pagar $800 de amortización y $192 de intereses; es decir, se tendrá que dar un abono de $992. El saldo insoluto al inicio del segundo mes es de $4.000 (4.800 – 800). Los intereses a pagar al final del segundo mes será: 0, 48 =I 4= .000 * * 1 $160 12 Al final del segundo mes se tendrá que abonar $960 (800 + 160). Y así se procede con los meses o períodos que siguen. La tabla de amortización es como sigue: Mes 0 1 2 3 4 5 6
Saldo Amortización inicial 4.800 4.800 4.000 3.200 2.400 1.600 800 Total
800 800 800 800 800 800 4.800
Interés
192 160 128 96 64 32 672
Total Cuota 992 960 928 896 864 832 5.472
Saldo insoluto 4.800 4.000 3.200 2.400 1.600 800 0
El precio total pagado por la computadora es de $5.472, de los cuales $4.800 corresponden al capital y $672 a los intereses. De este ejemplo se puede observar que los intereses cobrados aplicados sobre saldos absolutos es menor que el cobrado mediante el interés global. A su vez, se observa que los pagos totales son cada vez menores, esto debido a que los intereses van decreciendo; sin embargo, en la práctica la cuota total es igual cada mes. En nuestro ejemplo, el pago total mensual constante, con intereses incluidos, es de: $5.472 / 6 = $912. Cálculo financiero
205
Universidad Peruana Unión
Ahora, sucede que en las operaciones a crédito de mediano y largo plazo, el cálculo del pago constante, sea éste semanal, quincenal, mensual, etc., se convierte en un trabajo demasiado laborioso y tardío. Por ello, para hallar el interés total sobre saldos insolutos, se puede aplicar la ecuación siguiente: (1 + i)n − 1 S = R * i
(1)
En la ecuación a es el monto de la amortización. Ejemplo 2 Amortización con interés sobre saldos insolutos (al rebatir) Utilice la ecuación (1) para calcular el abono mensual constante en el ejemplo anterior. Solución: Los datos son: R=? P = $4.800 a = $800 i = 48% n = 6 meses Sustituyendo los valores en la ecuación (1), tenemos:
I=
6*
0, 48 12 ( 4.800 + 800 ) = $672 2
Ahora, para hallar el abono mensual, sumamos el valor de contado de la computadora ($4.800) más los intereses ($672) y lo dividimos entre el número de cuotas. Abono =
monto S 4.800 + 672 = = = $912 n n 6
Para pagar la computadora, el cliente deberá abonar seis cuotas mensuales de $912 cada una.
3. AMORTIZACIÓN CON INTERÉS COMPUESTO Dentro de este tipo de amortización, tenemos una gran variedad, las cuales son usadas por distintas instituciones financieras. Veamos cada uno de ellas.
Unidad IV
206
PROESAD
3.1. Sistema de amortización constante (método alemán) Este tipo de amortización es también conocido como plan de amortizaciones al rebatir, donde los intereses son calculados sobre el saldo de la deuda. Asimismo, a este sistema de amortización se le conoce como sistema de pagos decrecientes, esto debido a que como los saldos insolutos disminuyen, las cuotas de interés también disminuyen. A continuación, mostraremos algunos ejemplos. Ejemplo Sistema de amortización constante (método alemán) Una empresa recibe un préstamo del BWS para la construcción de la nueva planta de producción por $100.000. El préstamo será cancelado en 10 cuotas mensuales. El banco aplica una TEA de 34,48%. Calcular el valor de la cuota mensual. Solución: Los datos son: P = $100.000 i = 34,48% n = 10 meses La amortización mensual es de $10.000 (100.000/10). A continuación calculamos el interés mensual, el mismo que será utilizado en la tabla de amortización. i = 12 1 + 0, 3448 − 1 = 2, 5% La tabla de amortización es como sigue: Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Saldo Amortización inicial 100.000 100.000 90.000 80.000 70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 Total
10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 100.000
Interés
2.500 2.250 2.000 1.750 1.500 1.250 1.000 750 500 250 13.750
Total Cuota 12.500 12.250 12.000 11.750 11.500 11.250 11.000 10.750 10.500 10.250 113.750
Saldo insoluto 100.000,00 90.000 80.000 70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0
Se observa en la tabla que la amortización es constante y por tanto las cuotas son decrecientes. Cálculo financiero
207
Universidad Peruana Unión
3.2. Sistema de amortización única al vencimiento (método americano simple) Este sistema de amortización se caracteriza por: a) Solo se realiza una amortización de capital al vencimiento del préstamo, por el total del mismo. b) En las demás cuotas periódicas tan sólo se pagan los intereses del periodo. Ejemplo Sistema de amortización única al vencimiento (método americano simple) Una empresa recibe un préstamo del BWS para la construcción de la nueva planta de producción por $100.000. El préstamo será cancelado en 10 cuotas mensuales. El banco aplica una TEA de 34,48%. Calcule el importe de los intereses en cada período y de la cuota periódica. Solución: La amortización es única al vencimiento, por tanto en los meses previos solo se paga intereses. A continuación calculamos el interés mensual, el mismo que será utilizado en la tabla de amortización. i = 12 1 + 0, 3448 − 1 = 2, 5% En seguida, calculamos el interés mensual: I = 100.000 * (1 + 0, 025) − 1 = $2.500 La tabla de amortización es como sigue:
Mes
Saldo inicial
0
100.000,00
1
100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
2
100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
3
100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
4
100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
5
100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
6
100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
7
100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
8
100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
9
100.000,00
10
100.000,00 Total
Amortización
Interés
Total Cuota
Saldo insoluto 100.000,00
2.500,00
2.500,00
100.000,00
100.000,00
2.500,00
2.500,00
0,00
100.000,00
25.000,00
125.000,00
Unidad IV
208
PROESAD
Se observa en la tabla que la amortización es al final y, por tanto, en los períodos previos sólo se paga intereses.
3.3. Sistema de pagos constantes (método francés) Este sistema se caracteriza por tener cuotas o abonos de amortización constantes a lo largo de la vida del préstamo. El interés que se aplica es sobre los saldos insolutos de la deuda en un período, es decir los pagos totales R, se calculan a partir de la fórmula de anualidades, y dichos pagos incluyen una parte de capital y otra de intereses. Este tipo de amortización es muy utilizado por los bancos, financieras, tiendas comerciales y negocios que venden al crédito. Para hallar el valor de cada una de las rentas constantes, utilizamos el factor de recuperación del capital (FRC). Ejemplo Sistema de pagos constantes (método francés) Una empresa recibe un préstamo del BWS para la construcción de la nueva planta de producción por $100.000. El préstamo será cancelado en 10 cuotas mensuales. El banco aplica una TEA de 34,48%. Calcule el valor de la cuota mensual. Solución: Primeramente tenemos que encontrar la tasa efectiva mensual, el cual es como sigue: i = 12 1 + 0, 3448 − 1 = 2, 5% Sustituyendo los valores en la ecuación de FRC, tenemos: ( 0, 025) (1 + 0, 025)10 R = 100.000 = $11.425, 88 10 (1 + 0, 025) − 1 La tabla de amortización es como sigue:
Mes
Saldo inicial
0
100.000,00
Amortización
Interés
Total Cuota
Saldo insoluto 100.000,00
1
100.000,00
8.925,88
2.500,00
11.425,88
91.074,12
2
91.074,12
9.149,02
2.276,85
11.425,88
81.925,10
3
81.925,10
9.377,75
2.048,13
11.425,88
72.547,35
4
72.547,35
9.612,19
1.813,68
11.425,88
62.935,16
5
62.935,16
9.852,50
1.573,38
11.425,88
53.082,66
6
53.082,66
10.098,81
1.327,07
11.425,88
42.983,85
7
42.983,85
10.351,28
1.074,60
11.425,88
32.632,57
8
32.632,57
10.610,06
815,81
11.425,88
22.022,51
9
22.022,51
10.875,31
550,56
11.425,88
11.147,20
10
11.147,20
11.147,20
278,68
11.425,88
0,00
100.000,00
14.258,76
114.258,76
Total
Cálculo financiero
209
Universidad Peruana Unión
Se observa en la tabla que las cuotas mensuales son iguales.
3.4. Sistema de pagos con período de gracia En el capítulo anterior abordamos el tema de anualidades diferidas, en ella señalábamos que es aquella cuyo plazo comienza hasta después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que la operación quedó formalizada. Asimismo, se había dicho que a ese intervalo de tiempo que transcurre entre el momento inicial y el inicio del plazo de la anualidad se llama período de gracia o período de diferimiento, donde puede suceder una de las dos situaciones siguientes: 1) Que al final de cada período de pago se liquiden o paguen los intereses generados por el capital original. Es este caso estamos hablando de un período de gracia normal o parcial. 2) Que los intereses generados dentro del período de gracia se capitalicen. En este caso, estamos frente a un período de gracia total. A continuación, veremos algunos ejemplos de amortización de créditos utilizando periodo de gracia normal y periodo de gracia total. Ejemplo 1 Sistema de pagos con períodos de gracia Una empresa recibe un préstamo del BWS para la construcción de la nueva planta de producción por $100.000. El préstamo será cancelado en 10 cuotas mensuales. El banco aplica una TEA de 34,48%. Se sabe que el banco nos concede dos períodos de gracia, el primero parcial y el segundo total. Calcule el valor de la cuota mensual. Solución: Primeramente tenemos que encontrar la tasa efectiva mensual, el cual es como sigue: i = 12 1 + 0, 3448 − 1 = 2, 5% Luego, como se obtiene dos períodos de gracia, uno normal y otro total, entonces calculamos los intereses que se tendrá que abonar solo en el primer período, dado que el primer período de gracia es normal. Los intereses generados por el préstamo y se abonarán en el primer mes, asciende a: I = 100.000 (1 + 0, 025) − 1 = $2.500 Ahora, dado que hemos recibido para el segundo mes un período de gracia total, al final del mes dos, mi deuda asciende a $102.500 y ya no los $100.000, debido a que los intereses se capitalizaron. Una vez terminado los dos el períodos de gracia, mi deuda asciende a $102.500 y a continuación calculo el valor de cada cuota, utilizando la ecuación del FRC:
Unidad IV
210
PROESAD
( 0, 025) (1 + 0, 025)8 R = 102.500 = $14.295, 40 8 (1 + 0, 025) − 1 La tabla de amortización es como sigue: Mes
Saldo inicial
Amortización
Interés
Total Cuota
Saldo insoluto
0
100.000,00
1
100.000,00
2
100.000,00
3
102.500,00
11.732,90
2.562,50
14.295,40
90.767,10
4
90.767,10
12.026,23
2.269,18
14.295,40
78.740,87
5
78.740,87
12.326,88
1.968,52
14.295,40
66.413,99
6
66.413,99
12.635,05
1.660,35
14.295,40
53.778,94
7
53.778,94
12.950,93
1.344,47
14.295,40
40.828,01
8
40.828,01
13.274,70
1.020,70
14.295,40
27.553,30
100.000,00 2.500,00
2.500,00
100.000,00 102.500,00
9
27.553,30
13.606,57
688,83
14.295,40
13.946,73
10
13.946,73
13.946,73
348,67
14.295,40
0,00
102.500,00
14.363,22
116.863,22
Total
Se observa en la tabla que las cuotas mensuales son iguales a partir del período tres. Ejemplo 2 Sistema de pagos con períodos de gracia Una empresa recibe un préstamo del BWS para la construcción de la nueva planta de producción por $100.000. El préstamo será cancelado en 10 cuotas mensuales. El banco aplica una TEA de 34,48%. Se sabe que el banco nos concede dos períodos de gracia total. Calcule el valor de la cuota mensual. Solución: Primeramente tenemos que encontrar la tasa efectiva mensual, el cual es como sigue: i = 12 1 + 0, 3448 − 1 = 2, 5% Ahora, como en este caso se obtiene dos períodos de gracia total, calculamos los intereses generados para cada uno de los períodos de gracia que no se abonaron. De esto, los intereses generados en el primer periodo de gracia será: I = 100.000 (1 + 0, 025) − 1 = $2.500 Sin embargo, como dichos intereses no se cancelaron al final del período uno, entonces mi deuda no sigue siendo la misma, sino que se incrementa a $102.500. Cálculo financiero
211
Universidad Peruana Unión
Los intereses generados en el segundo período, que tampoco se abonaron, asciende a: I = 102.500 (1 + 0, 025) − 1 = $2.562, 50 Luego de calcular ambos intereses que no se abonaron, nuestra deuda asciende al final del período dos a $105.062.50. Por tanto, una vez terminado los dos períodos de gracia, mi deuda asciende a $105.062.50 y a continuación calculo el valor de cada cuota, utilizando la ecuación del FRC: ( 0, 025) (1 + 0, 025)8 R = 105, 062, 50 79 = $14.652,7 8 (1 + 0, 025) − 1 La tabla de amortización es como sigue: Mes
Saldo inicial
0
100.000,00
100.000,00
1
100.000,00
102.500,00
2
102.500,00
105.062,50
3
105.062,50
12.026,23
2.626,56
14.652,79
93.036,27
4
93.036,27
12.326,88
2.325,91
14.652,79
80.709,39
5
80.709,39
12.635,05
2.017,73
14.652,79
68.074,34
6
68.074,34
12.950,93
1.701,86
14.652,79
55.123,41
7
55.123,41
13.274,70
1.378,09
14.652,79
41.848,71
8
41.848,71
13.606,57
1.046,22
14.652,79
28.242,14
9
28.242,14
13.946,73
706,05
14.652,79
14.295,40
10
14.295,40
14.295,40
357,39
14.652,79
0,00
105.062,50
12.159,80
117.222,30
Total
Amortización
Interés
Total Cuota
Saldo insoluto
Se observa en la tabla que las cuotas mensuales son iguales a partir del período tres.
3.5. Sistema de pagos VAC (valor de actualización constante) Este tipo de amortización se caracteriza porque las cuotas aumentan en forma sucesiva a través del tiempo. Esto es así debido a que la tasa pactada se ajusta debido a la inflación. Este sistema, tiene las siguientes características: a) El capital se ajusta según el período de conversión, de acuerdo al "índice de ajuste" que se ha definido o acordado. b) El interés se calcula sobre el saldo de la deuda ajustada. c) La tasa de interés establecida es baja, pero se complementa con el índice de ajuste de capital. d) El cálculo del pago de la deuda se hace en base al número de períodos que faltan por vencer.
Unidad IV
212
PROESAD
Ejemplo Sistema de pagos VAC (valor de actualización constante) Una empresa recibe un préstamo del BWS para la construcción de la nueva planta de producción por $100.000. El préstamo será cancelado en 10 cuotas mensuales. El banco aplica una TEA de 34,48%. Asimismo, el interés será ajustado de acuerdo al IPC, el mismo que se proyecta a 2% mensual. Calcule el valor de la cuota mensual. Solución: Primeramente tenemos que encontrar la tasa efectiva mensual, el cual es como sigue: i = 12 1 + 0, 3448 − 1 = 2, 5% Según este sistema, el cálculo de la cuota se efectúa sobre el saldo de la deuda ajustada. Por tanto, para calcular la primera cuota se tiene: 0, 025 (1 + 0, 025)10 R = 102.000 = $11.654, 39 10 (1 + 0, 025) − 1 Para la segunda cuota: 0, 025 (1 + 0, 025)9 R = 94.753, 52 = $11.887, 48 9 (1 + 0, 025) − 1 Para la tercera cuota: 0, 025 (1 + 0, 025)8 R = 86.939, 57 = $12.125, 23 8 (1 + 0, 025) − 1 La tabla de amortización es como sigue: Mes
Saldo inicial
0
100.000,00
1
100.000,00
102,000.00
9,104.39
2,550.00
11,654.39
92,895.61
2
92,895.61
94,753.52
9,518.64
2,368.84
11,887.48
85,234.87
3
85,234.87
86,939.57
9,951.74
2,173.49
12,125.23
76,987.83
4
76,987.83
78,527.59
10,404.55
1,963.19
12,367.74
68,123.04
5
68,123.04
69,485.50
10,877.95
1,737.14
12,615.09
58,607.55
6
58,607.55
59,779.70
11,372.90
1,494.49
12,867.39
48,406.80
7
48,406.80
49,374.93
11,890.37
1,234.37
13,124.74
37,484.57
8
37,484.57
38,234.26
12,431.38
955.86
13,387.24
25,802.88
9
25,802.88
26,318.94
12,997.01
657.97
13,654.98
13,321.93
10
13,321.93
13,588.37
13,588.37
339.71
13,928.08
0,00
112,137.30
15,475.06
127,612.36
Total
Saldo ajustado
Amortización
Interés
Total cuota
Saldo insoluto 100.000,00
Se observa en la tabla que las cuotas mensuales aumentan debido al ajuste por inflación.
Cálculo financiero
213
Universidad Peruana Unión
4. COSTO EFECTIVO DEL CRÉDITO Hasta aquí, hemos visto algunos sistemas de amortización de créditos, donde lo que se cobra por éstos, son tan sólo los intereses. Sin embargo, esto no es así en la práctica, es por ello que cuando una persona solicita un crédito cualquiera a un banco, no solo se debe concentrar en la tasa de interés, sino además de éste se debe informar bien y preguntar sobre todas las comisiones y portes que se sumarán al pago de intereses y el principal que se efectuará mensualmente. Ante esto surge la pregunta del millón: ¿Qué le puede cobrar el banco, además de la tasa de interés? Al respeto la Superintendencia de Banca y Seguros (SBS) publica periódicamente información sobre los costos asociados a los créditos de consumo que ofrecen los bancos del sistema, donde se puede observar los siguientes: a) Seguro de desgravamen: este seguro protege a la entidad bancaria en caso de fallecimiento del cliente deudor. Este seguro cubre el total de la deuda vigente, que no se encuentre en situación morosa, a la fecha de fallecimiento del cliente, siendo de cargo de sus herederos los intereses, comisiones, capital y gastos de préstamos en mora y que no se hayan pagado hasta dicha fecha. En algunos bancos este seguro se aplica sobre el saldo pendiente de pago, salvo en los casos del BBVA Continental y del Trabajo, donde se cobra sobre el monto financiado. Asimismo, este tipo seguro, también es cobrado en los créditos a través de las tarjetas, así como en los créditos hipotecarios. b) Portes: algunos bancos lo denominan gastos administrativos. Son aquellos cobros por el servicio de consulta de saldos, últimos movimientos, cartas y/o comunicados que envían las empresas del sistema financiero. c) Comisiones: los bancos también cobran comisiones, la más conocida de ellas es la comisión de desembolso, que no es otra cosa que un importe que el banco cobra por desembolsar el préstamo, ya sea éste al momento de desembolsar el dinero o si se financia. d) Capitalización de los intereses: también hay considerar la frecuencia en que los bancos y financieras capitalizan los intereses, dado que no es lo mismo que los intereses se capitalizan de manera bimestral, mensual, quincenal o diariamente. Recordemos que mientras muchas más veces se capitalizan los intereses en un año, estos son mayores. Como se dijo anteriormente, en la práctica, las entidades financieras aparte de la tasa de interés que anuncia nos cobra otros tipos de conceptos, lo que encarece el costo del crédito. En otras palabras, un banco me podría ofrecer un préstamo al 20% anual cuando en realidad estoy pagando un 24%, esto por cobros de portes, comisiones, seguros, etc. Por ejemplo, supongamos que recibimos un préstamo de $100 a una tasa de 10%, asimismo, el banco nos cobra una comisión de desembolso del 1% del préstamo. ¿Cuál es el costo efectivo del préstamo? 110 i= − 1 * 100 = 11.11% 99 De lo anterior, podemos expresar que el costo efectivo está dado por la corriente de efectivo del préstamo. En otras palabras el costo efectivo está dada por lo que efectivamente recibí y lo que efectivamente pagué.
Unidad IV
214
PROESAD
4.1. Uso del VAN y la TIR en la evaluación de crédito Antes de pasar a ver algunos ejemplos, es importante definir a dos herramientas importantes en la evaluación de créditos: el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de rendimiento (TIR), los cuales nos permitirán calcular el costo efectivo de un crédito. Valor actual neto (VAN) El valor actual (VA) de una inversión se define como el valor actualizado de la corriente de los flujos de caja que ella promete generar a lo largo de su vida. Para actualizar todos los flujos de caja utilizamos una tasa de descuento, denominada costo de capital o costo de oportunidad del capital empleado en el proyecto de inversión. El valor actual neto (VAN), es todo lo anterior, menos el valor del desembolso inicial o inversión inicial, de ahí el nombre de valor actual neto (VAN). La expresión general del cálculo del VAN es la siguiente:
R R2 R3 R4 Rn 1 + + + + .... + VAN = −P + 1 2 3 4 n (1 + i ) (1 + i ) + i + i + i 1 1 1 ( ) ( ) ( )
(2)
En la ecuación, P es el desembolso inicial o la inversión inicial. Tasa interna de retorno (TIR) Se denomina tasa interna de retorno (TIR) a la tasa de descuento i para la que un crédito bancario tendría un VAN igual a cero. La TIR es, pues, una medida de la rentabilidad relativa de una inversión. Podríamos definir la TIR con mayor propiedad si decimos que es la tasa rentabilidad del prestamista: banco o financiera. Para la empresa o persona natural la TIR representa el costo efectivo del crédito. Entre varias propuestas de bancos o financieras, se deberá elegir aquel que presente la TIR más baja. Ahora, cuando el banco o financiera solo me cobra la tasa de interés que anuncia, el valor del VAN = 0. Sin embargo, esto no sucede en la práctica. De esta manera, el VAN generalmente será mayor a cero. Por tanto, entre varias propuestas de bancos o financieras, se deberá elegir aquel que presente el VAN más baja. De esto se deduce que: a) Cuando el VAN = 0, entonces la tasa de interés que me cobra el banco es igual al costo efectivo del crédito. Por tanto, la tasa de interés es igual a la TIR. b) Cuando el VAN > 0, entonces la tasa de interés que me cobra el banco es menor al costo efectivo del crédito. Por tanto, la tasa de interés es menor a la TIR.
Cálculo financiero
215
Universidad Peruana Unión
Ejemplo 1 Costo efectivo del crédito Se obtiene un préstamo del Banco de Crédito por $3.000 a pagar en cinco meses. El banco aplica una TEM de 2,5%. Calcule el valor de la cuota o abono mensual, así como el costo efectivo del préstamo. Solución: Los datos son: R=? P = $3.000 i = 2,5% n = 5 meses Sustituyendo los valores en la ecuación (1), tenemos: 0, 025 (1 + 0, 025)5 R = 3.000 * 5 (1 + 0, 025) − 1 R = $645, 74 La tabla de amortización es como sigue: Mes 0 1 2 3 4 5
Saldo Amortización inicial 3.000,00 3.000,00 2.429,26 1.844,25 1.244,62 629,99 Total
570,74 585,01 599,63 614,63 629,99 3.000,00
Interés
75,00 60,73 46,11 31,12 15,75 228,70
Total Cuota 645,74 645,74 645,74 645,74 645,74 3.228,70
Saldo insoluto 3.000,00 2.429,26 1.844,25 1.244,62 629,99 0,00
Para calcular el costo efectivo, nos concentramos en lo que efectivamente recibí; en nuestro caso $3.000 y lo que efectivamente pagué; una corriente de efectivo de $645,74 por cinco meses. Ahora, para hallar el costo efectivo del préstamo utilizamos la ecuación del VAN, que es la diferencia entre el valor actual de los pagos o abonos efectuados, menos el préstamo.
Unidad IV
216
PROESAD
Sustituyendo los valores en la ecuación del VAN se tiene: 645, 74 645, 74 645, 74 645, 74 645, 74 VAN = −3.000 + + + + + 4 5 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 1 + + i i 1 ( ) ( ) De esta manera, para hallar el costo efectivo del préstamo, buscamos aquella tasa de interés i que hace al VAN = 0. En nuestro caso, como al préstamo solo se le está cargando la tasa de interés mensual de 2,5%, entonces el costo efectivo del préstamo, o aquella tasa de interés i que hace al VAN = 0, es la misma tasa de interés de 2,5% mensual. Comprobando se tiene: 645, 74 645, 74 645, 74 645, 74 645, 74 = $0 VAN = −3.000 + + + + + (1, 025)1 (1, 025)2 (1, 025)3 (1, 025)4 (1, 025)5 El costo efectivo del préstamo es de 2,5% mensual. En este caso la tasa que me cobra el banco es la misma tasa que se anuncia.
Ejemplo 2 Costo efectivo del crédito Se obtiene un préstamo del Banco de Crédito por $3.000 a pagar en cinco meses. El banco aplica una TEM de 2,5%. Asimismo, el banco cobra mensualmente por portes y seguro $5 y $8 respectivamente. Calcule el valor de la cuota o abono mensual, así como el costo efectivo del préstamo. Solución: Sustituyendo los valores en la ecuación (1), tenemos: 0, 025 (1 + 0, 025)5 R = 3.000 * 5 (1 + 0, 025) − 1 R = $645, 74
Cálculo financiero
217
Universidad Peruana Unión
La tabla de amortización es como sigue: Mes 0 1 2 3 4 5
Saldo Amortización inicial 3.000,00 3.000,00 2.429,26 1.844,25 1.244,62 629,99 Total
Interés
570,74 585,01 599,63 614,63 629,99 3.000,00
75,00 60,73 46,11 31,12 15,75 228,70
Total
Portes y Seguros
645,74 645,74 645,74 645,74 645,74 3.228,70
Total Cuota
13,00 658,74 13,00 658,74 13,00 658,74 13,00 658,74 13,00 658,74 65,00 3.293,70
Saldo insoluto 3.000,00 2.429,26 1.844,25 1.244,62 629,99 0,00
De la misma manera, para hallar el costo efectivo del préstamo utilizamos la ecuación del VAN, que es la diferencia entre el valor actual de los pagos o abonos efectuados – considerando portes y seguros–, menos el préstamo. En el ejemplo, sería: 658, 74 658, 74 658, 74 658, 74 658, 74 VAN = −3.000 + + + + + 2 3 4 5 (1 + i)1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) En este caso, como al préstamo, a parte de los intereses, se le está cargando los portes y el seguro de desgravamen, entonces el costo efectivo del préstamo ya no solo es el 2,5% mensual, sino más. Para hallar el costo efectivo del préstamo, buscamos aquella tasa de interés i que hace al VAN = 0, y para calcular esa tasa i, tenemos tres métodos: (1) una calculadora financiera, (2) hoja de cálculo Microsoft Excel y (3) prueba y error. Veamos cada uno de ellos: Utilizando la calculadora financiera FC-100: Operación MODE 4, MODE 5, 2 SHIFT AC 3000 +/- CFj 658.74 CFj ; 5 Nj IRR NPV Utilizando la hoja de cálculo Excel:
Unidad IV
218
Pantalla 0.00 -3000.00 5.00 3.20 0.00
PROESAD
La entrada de la celda B8 es =TIR(B2:B7).
Utilizando prueba y error: Asimismo, la TIR se puede calcular por prueba y error. Puesto que el VAN con un costo de 2,50% es igual a $60,39, podemos probar con tasas más altas hasta converger hacia un VAN de cero. Con VAN al 3% = $16,84. Con VAN al 3,50% = –$25,75. Entonces la tasa que hace que el VAN sea cero está entre 3% y 3,50%. Por tanto, la TIR es del 3,20%. Podemos observar que empleando cualquiera de las tres herramientas, la tasa i que hace al VAN = 0 es 3,20% mensual. Ahora, si queremos comprobar dicha tasa, reemplazamos en la fórmula del VAN: 658, 74 658, 74 658, 74 658, 74 658, 74 = $0 VAN = −3.000 + + + + + 1 2 3 4 5 (1, 032) (1, 032) 1 , 032 1 , 032 1 , 032 ( ) ( ) ( ) El costo efectivo del préstamo es de 3,2% mensual. En este caso la tasa que me cobra el banco, no es la misma tasa que se anuncia, debido a los costos de portes y seguro de desgravamen.
Ejemplo 3 Costo efectivo del crédito Se obtiene un préstamo del Banco de Crédito por $3.000 a pagar en cinco meses. El banco aplica una tasa de interés del 2,5% mensual. Asimismo, el banco cobra mensualmente por portes y seguro $5 y $8 respectivamente y una comisión por desembolsar el crédito de $100. Calcule el valor de la cuota o abono mensual, así como el costo efectivo del préstamo. Solución: Sustituyendo los valores en la ecuación (1), tenemos: 0, 025 (1 + 0, 025)5 R = 3.000 * 5 (1 + 0, 025) − 1 R = $645, 74
Cálculo financiero
219
Universidad Peruana Unión
La tabla de amortización es como sigue: Mes
Saldo inicial
0
3.000,00
1
3.000,00
570,74
75,00
645,74
13,00
658,74
2.429,26
2
2.429,26
585,01
60,73
645,74
13,00
658,74
1.844,25
3
1.844,25
599,63
46,11
645,74
13,00
658,74
1.244,62
4
1.244,62
614,63
31,12
645,74
13,00
658,74
629,99
15,75
645,74
13,00
658,74
0,00
228,70 3.228,70
65,00
5
629,99 Total
Amortización
Interés
Total
Portes y Seguros
Comisión
Total Cuota
3.000,00
100,00
629,99 3.000,00
100,00
Saldo insoluto
3.293,70
Ahora, para hallar el costo efectivo del préstamo, nos concentramos en lo que efectivamente recibimos y lo que efectivamente pagamos. En nuestro caso, la empresa recibe solo $2.900, debido a que el banco nos cobró una comisión por desembolsar el préstamo de $100. La ecuación del VAN, es como sigue: 658, 74 658, 74 658, 74 658, 74 658, 74 VAN = −2.900 + + + + + 2 3 4 5 (1 + i)1 1 + i 1 + i 1 + + i i 1 ( ) ( ) ( ) ( ) En este caso, como al préstamo, a parte de los intereses, se le está cargando portes, seguro de desgravamen y una comisión de desembolso, entonces el costo efectivo del préstamo ya no sólo es el 2,5% mensual, si no mas. Lo mismo, para hallar el costo efectivo del préstamo, buscamos aquella tasa de interés i que hace al VAN = 0. Utilizando Excel se tiene:
La entrada de la celda B8 es =TIR(B2:B7).
Se observa que aquella tasa i que hace al VAN = 0 es de 4,40% mensual. Reemplazando en la fórmula del VAN, tenemos: 658, 74 658, 74 658, 74 658, 74 658, 74 = $0 VAN = −2.900 + + + + + (1, 044 )1 (1, 044 )2 (1, 044 )3 (1, 044 )4 (1, 044 )5 El costo efectivo del préstamo se elevó de 3,2% a 4,4% mensual, debido a que el banco me está cobrando una comisión por desembolsar el crédito requerido. Por tanto, la tasa que me cobra el banco, no es la misma tasa que se anuncia, debido a los costos de portes, seguro de desgravamen y comisiones.
Unidad IV
220
GLOSARIO DE TÉRMINOS Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario. 1. ______________ _____________________________________________ 2. ______________ _____________________________________________ 3. ______________ _____________________________________________
¿?
4. ______________ _____________________________________________
¿?
5. ______________ _____________________________________________ 6. ______________ _____________________________________________ 7. ______________ _____________________________________________ 8. ______________ _____________________________________________
¿?
9. ______________ _____________________________________________ 10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor.
Amortización con interés simple 1. Automotors anuncia en el diario El Comercio, que se puede adquirir un auto Mercedes Benz, dando una cuota inicial del 40% y el resto a pagar en 10 mensualidades con 5% mensual de interés global. Si el automóvil cuesta $115.000, obtenga el abono mensual y calcule el interés que se está pagando por el crédito. 2. Carlos Gamarra debe $2.160, los cuales pagará en 6 pagos mensuales. Los intereses serán calculados sobre saldos insolutos a la tasa de interés simple del 3,5% mensual. Elabore la tabla de amortización. 3. Suponga que, en ejemplo anterior, se aplica un 3,5% de interés global. Elabore la tabla de amortización. 4. Un DVD se puede comprar al contado en $2.540. A crédito se requiere un pago inicial de $540. Si se cobra una tasa de interés simple global de 44% y la deuda se liquida en 12 pagos semanales, ¿cuál será el valor de cada pago? 5. Calcular el valor de cada pago suponiendo que, en el ejemplo anterior, el interés aplicado es sobre saldos insolutos.
221
Amortización con interés compuesto 6. La empresa Los Amigos S.A.C., recibe un préstamo del Banco Intesa por $10,000 a pagar en tres años, los cuales se va a amortizar de manera semestral. Elaborar el cuadro de amortización correspondiente si la tasa de interés que aplica el banco es una TEA del 32%. a) b) c) d)
Sistema de amortización constante (método alemán) Sistema de pagos única al vencimiento (método americano simple) Sistema de pagos constantes (método francés) Sistema de pagos con período de gracia (el banco nos concede dos períodos de gracia: el primero parcial y el segundo total) e) Sistema de pagos con seguro, portes y comisiones (portes y seguro $15 y $25 respectivamente) 7. Textiles Pacífico S.A.C., recibe un préstamo del BBVA por $100.000 a pagar en cinco años, los cuales se va a amortizar de manera semestral. El banco aplica una TEA del 34%, portes y seguros por $50 y $80 respectivamente (dichos costos no se pagan durante el período de gracia) y una comisión por desembolsar el crédito de $2.500. Asimismo, el banco nos concede dos años de gracia: el primer año gracia parcial, y el segundo, gracia total. Se pide: a) b) c) d) e)
Elaborar el cuadro de amortización utilizando el método francés Formule el flujo de caja o flujo de efectivo del préstamo Calcular el VAN considerando como tasa de descuento sólo la tasa de interés Calcular la TIR del préstamo Calcular el VAN considerando como tasa de descuento sólo la TIR
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PROESAD
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Cálculo financiero
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Unidad IV
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