Á
pto. Pedagó Ped agógi gico T R I L C E D pto. D erecho erechos s de E dici dición A sociación E du cati cativa
TRILCE
Tercera Tercera E dici dición , 20 07 . Tod To d os los D erech erechos os R eservad eservad os. E sta pub p ub licación no p u ed e ser rep ro du cid a, ni en tod o n i en p arte, ni reg istra d a e n , o tran sm itid a p o r, u n sist sistem a d e recuperaci ecu peración de inform nform ación , en ning ningun un a form a y po r n in gún gú n m edi ed io, sea m ecán ecá n ico, fo to q u ím ico, electr ectró n ico, m agn ag n éti ético, co , electro ó p tico, p o r fo to co p ia, o cua cu a lq u ier o tro, sin el p erm iso p revi ev io d e la ed e d ito rial.
Ál gebra INTRODUCCIÓN La palabra Á lgebra viene de "ilm al-jabr w'al muqabala" título árabe d el libro escrito en el siglo IX por el m atem ático árabe M uham m ad ibn M usa A l-K hw arizm i. E ste título se trad uce com o "C iencia de la restauración y la reducción".
El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones. Por ello, todas las operaciones algebraicas, reglas, fórmulas, definiciones, etc. tienen un sólo objetivo: el cálculo de incógnitas. Una de las características es que utiliza símbolos o letras para representar números. Po r ejem plo la letra "x", pu ede representar el valor de una tem peratura, un a edad , un a velocidad o la m edida d e un ángulo; pero el Á lgebra n o estudia estas m agnitudes, no s m uestra las operaciones en general sin precisar qu é tipo de m agnitud se está tratando. E l Á lgebra actual trata co n estructuras m ás com plejas que los nú m eros y sobre estas estructuras define o peraciones sim ilares a las operaciones aritm éticas. E sta n ueva Á lgebra se d ebe a E variste G alois.
C O N C E P TO S B Á S I C O S EXPRESIÓN ALGEBRAICA E s un conjun to de núm eros y letras relacionad os en tre sí por los operadores m atem áticos de la adició n, sustracción, m ultiplicación, división, potenciación y/o rad icación, en un núm ero lim itad o de veces, por ejem plo : P (x;y;z) = 5 x 2
F (x;y) 2 x
3 x 3 y 2 yz ; llam ad a racional entera o polinom io.. 1 y
7 ; llam
H (x;y;z) 2 4 z
5x y
ad a racional fraccionaria.
; llam ada irracional.
(*) M agnitud : Todo aquello susceptible a ser m edido.
TÉ R M I N O A L G E B R A I C O E s aquella expresión algeb raica que no presenta o peraciones de adición ni sustracción.
ELEMENTOS DEL TÉRMINO ALGEB RAI CO sign o exponen tes
P(x;y) =
5
- 7 x y
8
coeficien te parte literal
Parte Literal : E stá
form ad a po r las letras con sus respectivos expo nentes qu e representan ciertas m agnitud es, com o po r ejem plo: 4 3 4 3 P(x;y;z) = 6 x y z ; la parte literales : x y z
Coeficiente Numérico : E s el núm ero
que gen eralm en te se coloca d elante d e la parte literal, cuan do el coeficien te es entero po sitivo ind ica el nú m ero de veces qu e se repite com o sum ando la parte literal, así pu es tenem os :
y 3 y 3 y 3 ...... y3
80 y 3
80 veces
7
Álgebra Tam bién se puede tener un coeficiente literal , com o po r ejem plo : 2 P(x) = ax
elco eficien te es "a".
TÉRMINOS SEMEJANTE S Son aqu ellos que presentan la m ism a parte literal, com o por ejem plo : 2y3 z ;
3
y3 z ; 7 y3 z 5
R E D U C C I Ó N D E TÉ R M I N O S A LG E B R A I C O S Las o peraciones de ad ición o sustracción entre térm inos algebraicos sólo se puede efectuar entr e aquellos términos que sean semejantes , para lo cual se calcula la sum a o resta d e los coeficientes nu m éricos, perm an eciendo invariable la parte literal, veam os algunos ejem plos : E jem plo :
8
*
9 y3 z 6 y3 z 15 y3 z
*
2x 4 y3
4 z 5 x 4 y 3 10 z 7 x 4 y 3 6 z
TRILCE
C ap ítulo
LEYES DE EXPONENTES ECUACIONES EXPONENCIALES
1 POTENCIACIÓN
TEOREMAS
E s la o peración m atem ática q ue tiene por objetivo encontrar una expresión llam ad a p otencia (p), con ociendo previam ente o tras do s expresiones d enom inadas base (b) y exponente (n).
1.
bn
b base ;b R p ; donde n exp o nente ; n Z p poten cia ;p R
Multi pli caci ón
: bases igu ales. a m .a n
4 2 E jem plo : x .x
2.
División
a m n
x 4 2 x6
: bases igu ales. am an
A sípues, en 2 3 = 8 : 2 es la base, 3 es elexponente y 8 es la potencia.
E jem plo :
x10 x
7
am n
;a = 0
x10 7 x 3
DEFINICIONES 1.
3.
Exponente cero
(a m )n ao
2.
1 ;a= 0 4.
Multi pli caci ón : exponentes iguales.
E xponente uno
a n b n = (ab)n
a1 = a
E jem plo :
a3 b3 c3 (abc)3
E jem plo : 4 1 3.
4
(x 2 .y 3 )5
(x 2 )5 .(y3 )5 x10 .y15
Exponente entero positivo 5. an = a.a.a. ...... .a ; n
División
: exp onentes iguales.
2
an
"n" veces
E jem plo : 7 3 4.
a m .n
E jem plo : (x 2 )5 x 2 .5 x 10
1 ; (3)o 1 ; 7 o 1
E jem plo : 5 o
Potencia de potencia.
bn
7 .7 .7 343
E jem plo : 2 1
1 21
x3
1
1 2
an
n
;b = 0
E jem plo :
Exponente negativo . an
a b
x y 3 y
;a = 0
; 3 2
3
2
1 32
1
x 4 (x 4 )2 x 8 y3 (y 3 )2 y 6
9
9
Álgebra
RADICACIÓN
TEOREMAS
E s una d e las operaciones m atem áticas inversas a la po tenciación cuyo objetivo es en con trar un a exp resión llam ad a raíz (b ), co n o cien d o o tras d o s expresio ne s denom inadas rad icando (a) e índice (n).
1.
:
Multi pli caci ón
n
E jem plo :
n
b ; do nde
a
3
A sípues : en raíz.
n a b
64
sign o radical Índice ; n Z R adicando R aíz;b R
: índices iguales.
2.
División
3
3
n
a .b
3 xy
x. y
: índices iguales. n n
x
E jem plo :
4 :3 es elíndice, 64 elradicando y 4 la
n
a. b
y
a
n
b
a
;b = 0
b
x
y
DEFINICIONES : 3. 1.
a ,b R ,n
Raíz de raíz .
Z
m n n
a
b a bn
E jem plo :
3
x
E jem plos : n
a
9 3
3 9 32
: D ebem os tener en cuenta qu e dentro del conjunto de los núm eros reales no se define a la rad icación cua nd o el índice es pa r y el radican do negativo, com o en los ejem plos :
R.
3.
2.
am b
m a m b ;a > 0
m
m k a nk ; k Z
am
3.
a)
2
an
b ; ab 0 a
x
16
C om o base y exponente a la vez E j. 2x x 5 ; xx 3
2
8 (2) 4
Form ando parte de algún exponente E j. 5x1 125 ; 23
b) 3
6
x
n
a b
m an
E jem plo : 2 (8 )3
a
E s aqu ella ecuación do nd e al m eno s un o de sus m iem bros no es una expresión algebraica, asípues tenem os:
Exponente fraccionario . n
x
m .n
I N TR O D U C C I Ó N A L A S E C U A C I O N E S TRASCENDE NTES
32 no existe en R . 2.
n
1.
8 2 8 (2)3
2004 existe en
32
PROPIEDAD ES ADIC IONALES
b a bn
Observación
4
a
c)
A fectada po r algún operador E j. Logx2 x 1 ; C os(2x) 0,5
a R n Z
ECUACIÓN EXPONENCIAL : n
*
a ; n # im par | a | ; n # par
|a| : valor absoluto de "a", sign ifica el valor po sitivo de "a".
E jem plo :
10
an
3
x3
x
;
x2
|x |
E s la ecu ació n trascend en te q ue p resenta a su incógnita form ando parte de algún exponen te. 2 E jem plo : 5 x 1
25
TRILCE
Teorema :
Transform and o al segundo m iem bro se tend rá : ax
E jem plo : 7
x 1
a y x y ;a >
7
5 x
x
3
3
33
x
3
3
x 1 5 x
P ara reso lver algu n as ecu acio nes trascenden tes, a veces es necesario recu rrir al proceso de com paración com únm ente llam ado m étod o de an alogía, el cualcon siste en dar form a a una p arte de la igualdad tom ando com o m od elo la otra. Veam os un ejem plo :
xx
3
2x = 6 x= 3
Observación :
E jem plo :
3
0;a = 1
x
3
3 (represen ta u n valor de "x").
Sin em bargo, debem os ind icar que el m étod o de an alogía sólo no s brinda u na solución, pud iendo haber otras, sino veam os el siguiente ejem plo : En :
x
Pero x
x
x
2 se observa que x = 2
2 =
4
4
4 , con lo cualtenem os :
4 de dond e :x = 4.
11
Álgebra
E J E R C I C I O S P R O P U E S TO S 01 . C alcular : A + B ; sabiendo que : A
0
(2 3 )
1 ( ) 2 2
6 5
0
06 . Si el expo nente de "x" en : 1
216
a
a2
1
B
1 1 ( ) 2 ( )4 2 2 3
a) 5 d) 20
a
xb
3
x b es 4, entonces el exp onente d e "x" en :
(x a 1 )2 b .
4 d) 16
b) 10 e) 25
c) 15
b) 2 e) 1
07 . Sabiendo que :
2 x 1 3
2 4 x
.3
8 3x (3 )
a
n
R ed ucir :
02. R educir :
c) 8
n 1 0 . .
a
33
3 2 x
a) a 0
4 b) a
2 d) a
e) a 1
c)a
08. Sim plificar : a) 1 d) 3
c) 3 37
18
b) 3
12
33 33 3 3
e) 3 24
.......
03. R educir :
4 32 1 9 U 16
a) 48 d) 64
b) 50 e) 32
1 5
a) 3
b) 9
d)
e)
3
3
3 3 n 3
3
c) 27 3
09. H allar el valor de "", siel exponen te final de "x" en : c) 16
3
x x
5
x es la un idad. A dem ás : 3
04. Sim plificar : b
6 a.16 b .3 a 2 b
a) 10 d) 25
18 a b
a) 2 d) 8
b) 4 e) 12
c) 6
5
b) 15 e) 30
c) 20
10. H allar el exponen te final de : x x x ...... x x
05. Sabiendo que :
3 3 f(x) x
x
100 radicales
x 2 /3
a)
f
f(x)(x ) ,para : x = 3. d)
12
3
"n" radicales
C alcular : M
33
a) 3 1 /2
b) 3
d) 3 1 /3
e) 31 /2
c) 3 1
3 99 3
90
1
2100 100
2
1 1
b)
e)
2 99 2
99
3100 3
1 1
100
c)
2100 2
1
100
TRILCE 11 . H allar "x" :
19 . R esolver :
4 x.8 x 1 a) 1/3 d) 5/3
2 2 x 1.16 3 x 2
b) 2/3 e) 4/3
12. A l resolver : 16
32x
8
4 2x
p q
.
a)
5
5
d)
5
5
2
b) 3 e) 6
5
2
5
25
5
x
4
c) 5 5
x
1
77
1
13 . R esolver : x 2 3 x
3
e) 5
7
c) 4
3
b)
20 . R esolver : x7
Ind ique : p + q.
4
x
c) 4/5
se obtiene la fracción irred uctible :
a) 2 d) 5
x
2. x
a) 7
1 ( ) b) ( ) 7 7
1 7 d) ( ) 7
e) 7 7
c)
1 7
5 21 . C alcular :
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2 0 2 (11)0 4 5 3
14 . R esolver :
9 x 2 a) 2
b) 3
d) 0,3
e) 6
15. C alcular "x", si : a) -3 d)
1 2
a) 12 d) 9
x
9
a) 3 1 d) 3 6
1 4
a) 9
b) 15 e) 18
9
x
x 4
.
1 3
b)
1
c)
3 e) 3
4 x 3 5
.
c) 3 3
9
4 5 x
6 2y 5
b) 3 2 e) 3 9
1
23. R educir :
c) 10
a) 1
b) 3 3
d) 4
e) 3 24
.5 2
5
2 3 y
c) 318
24 . C alcular :
18 . R esolver : x 13
x
5n 10 n n 1 8 2
13
1 x x x x x x
37
a) 25 d) 50
c) -1
3
c) 2
672 ; e indicar : E
17. H allar "x", de : x x
1
1 1 3 1 1 9 3 1 9 3
d) 27 16 . R esolver : x x
b) 1 e) 2
8 5
22. R educir :
b) 4 e)
a) 0 d) -6
c) 0,5
2
3
3 2 x 240
3
b) 20 e) 1
c) 13 a) 2 d) 4
b) 8 e) 16
3 1
c) 64
13
Álgebra 25. Sabiendo que :
P (x) 5 x C alcular : N
3
x 5
5x
a) 6 d) 8
5x
b) 51 /5
d)
e) 5 3
5
c) 21
31 . R esolver :
3 4 x.9 6 x .27 10 x a) 4 d) 7
P(5 ) P(5) .
a) 5 1 /5
b) 3 e) 10
c) 51 /3
81 4 x
b) 5 e) 8
c) 6
32 . R esolver :
81 3
2x
27 4
2x
26 . Si el expo nente de "x" en : a) 2 a
b) 4
c)
a
x b 1. x c es 5, entonces el exponente d e "x" en : ab c
a) 1 d) 4
d)
(x 5 a 1 )a
b) 2 e) 5
1 4
e) 8
4
27. R educir : a
a) 0 d) 3
n n 1
2
33 . R esolver :
c) 3
n
1
a
x 2 2x
7
x
7
b) 1 e) 4
c) 2
34 . R esolver : a) a
n
b)
d) a n 1
n2
c)
a
e) a n
n
a
4 x 1
48 2 2x 3
n
a) 1 d) 4
28. Sim plificar :
b) 2 e) 5
c) 3
35. C alcular "x", si: 55 55 5 5 55
55
5
..........
5
55
n 5
6
5
3
x
5
"n" radicales
a) 5
b) 10
d) 5 5
e) 5
29. Si : a a
aa
a
c) 25
a) 1
b)
d) 3
e)
1 2
c) 2
1 4
a 1 , entonces el equivalente reducido de : 36. H allar "x" : (2 x )2
(a 1)(a 1) es :
a) 1
b) a
d) a 2
e)
a
c) 1/4
a) 4 d) 2
2 32 . b) 8 e) 32
c)16
a 37 . H allar "x" en :
30. E n la siguiente ecuación : 6 3
x2
3
x2
3
x 2 .......
3
x2
xk
E lm iem bro de la izquierda co nsta de "n" rad icales. Si :
k
14
80 3
n
y x
n 2
. C alcular : (n+ x).
a) 9 d) 6
5 15
5x 5 5 x 1 5 4
b) 12 e) 10
c) 92
TRILCE 38 . H allar "x" de :
44. R educir : xx
a) 5 1
b) 5 2
d) 5 4
e) 5 5
1
625
5 c) 5 3
39 . R esolver :
3
6 .3 x
x
64
a) 7
b)
d)
e) 15
13
3x
3 x2
n
mx
a) d)
1 3
d) m np
e) x m np
M
3
3
M
a) 4,5
M 8 a) 2 2 d) 8
8 n 2
16 .(2 n ) 3
b) 3,5
3
b)
(0 ,5 ) x 2
12
b)
22
d) 2 2
e)
23
4 x
c) 2
43. M ostrar el equivalente de :
a) 2 d)
2
2
b) 2 2
2
2
e) 2
2 2
22
c) 2
4m
4n
2m
m
2n
c)
2 3
48 . C alcular :
x2
22
b) 1 e) -4
33
a) 2
2 6 2 2 8
2
n
a) 2 1 d) 2 4x
x
47. Si : m + n = 2m n ; reducir :
42. R educir : .
xx
c) x x
8
2
2
x
e) 4
c) 2,5
2x 3 2
1 x .1 x
1 x
e) x
x
c) 9
2 n 1.4 2 n 1
e)
1 x
46 . C alcular :
41. Sim plificar :
d)
x
x
b) x 1
e) 9 3
3
c) x
39
b) 2
3
m px x
nx
b) 1
d)
p
45 . E fectuar :
40 . R esolver : x
.n n .p p
m p .n m .p n
a) 2
a) x 2
xx
m
Sabiendo que :
c) 11
8
m
E
2 1
2
2
a) 2
b)
d) 8
e)
3
39
33
1 3 3
2 /2
2
39
c) 1/2
2
49. H allar el valor de :
E
c) 4
1 3 3
para : x 2
a) 4
d)
1 4
x 1
x
8x
.
x 1
x
8x
.
x 1
.....
2
b) 16
e)
c)
1 2
1 16 15
Álgebra 50. Sim plificar :
55 . H allar "x" de :
2 2 3 7 2 7 2 7 .....2 n 7 4 4 2 4 3 n 7 7 7 .....4 7
n . 4 7 3
x a)
2
d)
2
d)
2
2
e)
56 . R esolver ecuación :
2
4 c) -
1 2
3n
1 2
3
x 2
1 2
3
x2
1 2
E ntonces el cociente d e las soluciones es :
n
a) -1 d) 2
n e) 2n 1
1
c) 4 2 2 1
2
x2
b) 2 n
n
2
b) 2 2
Señale el exponen te de 7.
a)
(x 2 )2
2
b) 0 e) 3
c) 1
57 . C alcular "x" en : 51 . H allar "x" en :
m 27 27
a) 6 d) -8
x 1
39
x 2
b) 7 e) -7
x
. a
xn
, sien do : m
a) n
b)
n
d) n n
e)
n
58. Si : x R
x 1 3
xx
c) 8
52 . Ind ique "x" en :
a
xn x
2 x 1 4
. a
23x
xx
x
c)
n
n
n
/x 1 ; y adem ás : x
1 ; a 0
x
x
x 1
x
x
x
C alcular : 2x. a) 1/5 d) -2/5
b) 3/5 e) 1
c) -4/5
a) 1/4 d) 1/2
53 . R esolver :
2 3
a) d)
19 2 1 9
2 x 3
9 4
9 x 4
.
b)
76 3
2 3
19 x
8 27
c)
0
8
x x
a)
5 d)
e) 2
1 4 2 4
2x2
b)
e)
2
2 ;x
1
0
c)
2
2 2
2
60 . H allar "x" : (x > 0).
2 2 y 4 , y 2 x y 6 , el valor de
a) -4 d) -2
b) 4 e) 0
2 x 2 y es :
1 x1 x x
c) 2 a) 2 d) 2
16
c) 1
59. H allar "x", en : 27
5 4 . S i:
2 2x
b) 2 e) 1/8
b) 4 5 e) 8
1 /2
x1 /2 x
1 /2 x
c) 5 4
TRILCE
laves Claves 01.
b
31.
b
02.
c
32.
c
03.
d
33.
c
04.
d
34.
b
05.
d
35.
c
06.
c
36.
c
07.
c
37.
e
08.
a
38.
e
09.
b
39.
b
10.
c
40.
a
11.
e
41.
a
12.
b
42.
d
13.
d
43.
a
14.
c
44.
b
15.
b
45.
d
16.
b
46.
d
17.
c
47.
d
18.
a
48.
a
19.
a
49.
b
20.
c
50.
c
21.
c
51.
d
22.
d
52.
c
23.
a
53.
b
24.
d
54.
b
25.
a
55.
b
26.
a
56.
a
27.
b
57.
c
28.
a
58.
c
29.
b
59.
c
30.
a
60.
c
17
Álgebra
18
TRILCE
C a pít ulo
2
POLIN OM I OS
NOTACI Ó N D E E XP R E S I O N E S A L G E B R A I C A S
3
P (2 7) 2 (2)
5 (2) 1 16 10 1
Se u tiliza para indicar las variables de u na expresión. E jem plos : *
PROPIEDADES :
P (x) variable : "x".
"P "de x
*
para un polino m io P(x).
1.
Sum a de coeficientes = P(1).
2.
Térm ino independiente = P(0).
F(x ;y) variables : x, y. .
CAMBIO DE VARIABLE
variables x ; y ; z Q (x ;y ;z) ax by cz constan tes a ; b ; c
A sí com o las variab les pueden reem plazarse por nú m eros, tam bién p ued en ser reem plazada s po r otro s po lino m ios, así tenem os:
"F "de xy
*
P (5 ) 27
"Q "de xyz
VALOR NUMÉRI CO (V.N.)
1.
D ado : P( x) = 2x+ 11 . Obtener P( x+ 7) Para obtener lo pedido, se reem plaza :
x po r x 7 en P(x).
E s el resultad o que se o btien e al reem plazar las va riab les de u na exp resió n a lge b raica p o r va lo res determ inad os.
P (x) 2 x 11
E jem plo : 1.
x 7
R eem plazando : P(5; -2; 3) = 5 2 2.
3 ( 2 )(3 ) 7
P (x 7 ) 2x 25
2.
D ado : P (x 3) 3x 4 Determinar : P(2x 5) .
Determinar P (3) , si :
Se reem plaza (x + 3) por (2x - 5) previa preparación del polino m io com o :
P (x) x 3 2x 10 .
P(x+ 3) = 3(x + 3 - 3)+ 4
E n este caso, se pide elV.N . de P (x) para :
A hora : P(2x-5) = 3(2x-5-3)+ 4 Luego : P(2x-5) = 6x - 20
x = 3.
P (3 ) 3 3
2 (3 ) 10
P (3) = 23 3.
x7
P (x 7 ) 2 (x 7 ) 11
D eterminar el V.N . de la si guiente expr esión : P (x;y;z) x 2 3yz para : x = 5; y = -2; z = 3
POLINOMIO
P (x 7) 2x 3 5x 1
Es toda expresión algebraica racional y enter a. C uando tiene un tér mino se denomi na monomio, con dos se denomina binomio, con tres trinomio, etc.
Para este caso, se resuelve la ecuación : x + 7 = 5; de donde : x = -2.
R ecordem os qu e en un a e xpresión A lgebraica R acional entera :
A l reem plazar :
N inguna variab le está afectad a por algún signo rad ical o exp onen te fraccionario.
Determinar P(5), si :
19
Álgebra N ingu na variable se encuentra en el deno m inador.
POLINOMIOS ESPEC IALES
E jem plo :
1.
P (x;y) 3 x 2
Polinomio H omogéneo : cuan do
7 y 5 polinom io (trinom io).
E jem plo :
P(x;y;z) = 2 x 2 y z no es po lino m io. .
P (x ;y) 2 x 4 y 3 x 5 y 2 5 x 6 y
GRADO
: E s la catego ría q ue se asigna a u n polino m io; y depende de los exponentes de sus variables.
7
Grado Absoluto : es variables .
la sum a d e los expo nentes de sus
Grado Relativo : es
el exp onen te de la
7
7
H om ogéneo de grado 7.
G R A D O S D E U N MO N O MI O :
variable
sus térm ino s son
de igual grad o absoluto.
2.
en
Polinomio Completo : cua nd o
tien e to d o s lo s exponentes de la variable en referencia, desde elm ayor hasta el cero incluido. E jem plo :
referen cia.
"x" tien e expon ente "1"
5 E jem plo : P(x; y) 2a 3 x 4 y
3
2
P (x; y) 2 x y 7 x y
4
"x" tien e expo nen te cero
5y
G . A. = 5 + 4 G .R . (x) = 4
com pleto con respecto a "x" .
G .R . (y) = 5
Propiedad : para un
G R A D O S D E U N P O L I N O MI O D E D O S Ó M Á S TÉRMINOS : Grado Absoluto : es el m ayo r grad o
absoluto d e uno de
sus m ono m ios.
G rado R elativo : es el m ayo r exponente d e la variable en referen cia.
po lino m io com pleto P (x).
# térm inos = G rado + 1 3.
Polinomio Ordenado : es
aquel cuyos exponentes de la variab le en referencia (ordenatriz)van au m entad o (orden creciente) o dism inu yendo (orden decreciente). E jem plo : aum enta
E jem plo : m a yo r
P (x;y)
3
4 5
6
2x y 7 x y 6 x y
G rados
4
9
2
7
9
20
ordenado ascend entem ente respecto a "y".
E s aq u el p o lin o m io cu yo s térm ino s presen tan coeficientes iguales a cero, com o por ejem plo :
D o s po lino m io s so n id én tico s si su s térm in o s sem ejan tes tienen igual coeficien te, así pues :
bx c
Q (x) m x 3
nx p
son idénticos,si: a = m ; b = n ; c = p. :dos po lino m ios idénticos tienen elm ism o valor nu m érico p ara cad a sistem a de valores asignad os a sus variab les.
20
3
POLINO MIO ID ÉNTIC AMENTE NULO
POLINOMIOS I DÉNTICOS
Propiedad
4
4 x y 6 x y 5 xy
8
G .A. = 9 G .R . (x) = 6 G .R . (y) = 5
P (x ) ax 3
P (x; y)
m a yo r
P (x) ax 3
bx 2 c
será idénticam ente n ulo, si : a = 0;b = 0;c = 0.
Propiedad : todo
po linom io idénticam ente n ulo tiene valor num érico igual a cero para cualquier sistem a de va lores asignad os a sus variab les.
TRILCE
E J E R C I C I O S PROP UESTOS 01. H allar : P [P(3)]. Si : P(x) = 2x - 5. a) 1 d) -1
b) 3 e) 5
08 . D ado el polinom io :
P (x ;y ) (a 4 )xy 2
c) -3
(20 b)x 2 y ax 2 y
Si: P (x ;y) 0 .C alcular :
a
02 . Si se cum ple : P(x) P(x 1) x para algún po lino m io no constante.
a) 8 d) 14
C alcular : P (4 ) P (0 ) . a) 9 d) 0
b) 10 e) 15
c) 20
siendo : (a
b). A dem ás :
a) 15 d) 21
(P (x ))
H allar : P (Q (1)) . a) b d) -b
c) 20
P (x ) (2 x 1)n nx con "n" im par,sila sum a d e sus coeficientes aum entad o en el dup lo de su térm ino independiente resulta 16, entonces "n" es :
Q (x) bx a
P (Q (x)) Q
b) 18 e) 28
09 . Sea el polinom io :
03 . Sean los polino m ios :
P (x) ax b
b ab
b) 19 e) 13
c) 17
10 . D ado el polinom io : b) a e) ab
c) 1
R (x ) (2x 4
3)m (m x5 1)5 (2 x m x m )3
04 . D ado el polinom io : In d iqu e el co eficien te p rincip al, si el térm in o independiente es 72.
P (x ;y) 4 m n x 2m 3 n y5 n m Si : G A (P) = 10
a) 1024 d) 512
G R (x) = 7.
b) 64 e) 2
P (x ) (n 2)x n 9 y (n 3)x n 8 y 2
c) 16
P (x,y) 7 x y
(n 4 )x n 7 y 3 ......
05 . D ado el polinom io : 2 m 3
c) 624
1 1 . S i:
C alcular su co eficien te. a) 5 d) 8
b) 243 e) 64
es ordenado y com pleto. H allar elnú m ero de térm ino s. 5 m 4
4x y
4 m 5
3x y
6 m 2
x y
Si : G R (x) + G R (y) + G .A . = 32. E ntoces elvalor de "m " es :
a) 7 d) 5
b)9 c) 13
c) 11
1 2 . S i: a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
P (F(x )) 12 x 17
06 . Si el po linom io : R (x ;y ;z) x a
b
a
x 7 y b x 20 z12
b) 9 e) 1
c) 5
07. D eterm inar cuál es la sum a d e los coeficientes "m " y "n",de m odo qu e para cualqu ier valor de "x",se cum ple:
7 x a) -1 d) 0
O btener : F(10). a) 23 d) 21
es hom ogéneo. C alcular : (a b )2 . a) 16 d) 3
P (x 2) 6 x 1
b) 20 e) 19
c) 22
13 . D ada la expresión : P (x) , talque :
P (x) P (x 1) P (x 2) , ad em ás : P(1) 3 ; P (2 ) 4 . C alcular :P(P(P (0))).
m (x 1) n (x 2)
b) 1 e) 2
c) -2
a) 7 d) 1
b) 4 e) 14
c) 3
21
Álgebra 14 . D ado el polinom io :
2 1 . S i:
a 5
a 1
7 a
3x 5 x 7 P (x ) x H allar la sum a de valores que pued e asum ir "a". a) 6 d) 18
b) 11 e) 21
c) 13
b a
yb
a b
2 zc
C alcular : a + b + c. a) 3 d) 9
b) 5 e) 15
P (x ) x
D onde : f(x 2) 2 x 4
g (x 2) 3 x 2
c) 7
b y P (P (x )) 8 x 4 24 x 2 c
b) 32 e) 26
c) 30
23 . Indique el grado de :
H allar la sum a d e coeficientes del polinom io R (x). b) 9 e) -6
R (x ;y)
a 1 a5 2 x y
a 1 a4 4 x y
a) 7 d) 6
125 x15 ) 2 (x 5)
b) 8 e) 3
c) 4
24 . Si el po linom io :
K a) 0 d) 23 499
x11 a
c) -7
H allar : F (5 )
[F (1) F (2) F (3 ) ... F (99 )] b) 243 e) 1
c) 1024
18 . H allar : m - n + p; si se sabe q ue el po lino m io:
Q (x) x m 10 x m n 5 x p n 6 es com pleto y o rdenado en form a decreciente. a) 8 d) 10
c) 87
2 2 . S i:
a) 28 d) 31
R (x) 5 x 2 P (x 1)
3 18 17. Si: F (x ) x (x
b) 78 e) 99
E lvalor de : a + b + c, es :
3 x (x 2)q(x )
a) 11 d) 13
6x 1
H allar : H (5).
P (x) ax 2
16 . Si se cum ple : 2
(x 1) f(x ) g (x )
a) 62 d) 93
15 . E n el polinom io hom ogéneo : P (x,y,z) (xy)3 a
H
b) 2 e) 4
c) 6
a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
a
P (x,y,z) a x b
b b x c cc x a
c) 7
25 . Sean los po linom ios :
P (x ) ax 3
bx 2 cx d ; Q (x ) ax 2 d ;
R (x) ax b . Si: P (0 ) 2 ; Q
19. Si la siguiente expresión m atem ática se red uce a un po lino m io :
P (x;y) nx n m y x r 1 y m ym 5 x 3 es hom ogéneo y con grad o relativo respecto a "y" igual a 3. H allar el grado relativo de "x".
(1)
R (2 ) 1 .
H allar "x", talque :R (x) 0 . a) -3 d) 1
b) -1 e) 3
c) 0
H allar elvalor de : a - 2c + b. a) -1 d) 2
b) -2 e) 0
c) 1
26. D eterm inar en cuan to difieren "p" y "q" para que con cualquier valor de "x" se cum pla q ue :
27 8 x p (x 4 ) q (2 x 3)
20 . S ea "f" un a fun ción d efinida en el con junto de los n úm eros rea les tal qu e ve rifica las sigu ien tes prop ieda des :
f(x y) f(x) f(y); f(1) 2
a) 7 d) 3
b) 5 e) 2
c) 1
27 . H allar : m . n, si el po lino m io es ho m ogén eo.
C alcular : f(1 2...10) .
P (x ;y) x n 3 y7 a) 220 d) 55
22
b) 20 e) 110
(x 2 y 2 )4 x m y 4
c) 40 a) 100 d) 140
b) 124 e) 70
c) 144
TRILCE 28 . E l grado de ho m ogeneidad del polinom io :
P (x ;y) x a y 2 b c x a b y 2 c x a 2 c y a es 6. C alcular elvalor de : E = a + b + c. a) 9 d) 3
b) 7 e) 11
2b
34. D ado el m onom io :
M (x;y) 4 a b x 2 a 3 b y 5 b se tiene : G A (M ) = 10; G R (x) = 7. Señalar su coeficiente.
a
c) 5 a) 2 d) 16
b) 4 e) 64
c) 8
29 . Sea el polinom io :
P(2 x) a 0 x 2a1 x 2
2 2 a 2 x 3 ... 2 5 a 5 x 6
H allar la sum a d e coeficien tes de P(x), si su térm ino independiente es a 5 2 y adem ás:
a0
a1 a 2 a 3 a 4 8 ; a 0 0
a) 3 d) 2
b) 5 e) 1
c) 7
f(x ) a (x 1)(x 2) b (x 2)(x 3) c (x 1)(x 3)
2x 9
a) 4 d) 7
b(3 2 x)8 5
b) 5 e) 8
c) 6
36 . D efinim os un po linom io P (x) x R .
a) 1 d) 5
b) 4 e) 3
c) 2
37 . H allar : m - n + p; si se sabe que el po lino m io:
Si: f(x) g (x ); x R
Q (x) x m 10 x m n 5 x p n 6 es com pleto y o rdenado en form a decreciente.
D eterm ine el valor de : a+ b+ c. a) -1 d) 2
P (x) a(2 x)10 H allar : a + b.
P (x ) (x n 2)4 (x n 3 )3 2 en el cualel térm ino independiente es 17. C alcular "n".
30 . D ado s los polinom ios :
g (x ) x 2
35. Si la sum a de coeficientes del po lino m io P(x) es 13.
b) 0 e) 1/2
c) 1
a) 8 d) 10
b) 2 e) 4
c) 6
38 . Sab iendo que el polinom io : 31. Si: f(x )
xc
x
x 1 f(f(x)) será :
a)
A (x;y) 7 x a 2 y b 3
1 ; c 1 .
es hom ogéneo. H allar "a".
c
b)
x 1
d) 1
x
c)c
x 1
a) 0 d) -3
b) 2 e) -4
(a c 3)x (b c 5)
1 y h (x 1) 3 x 1 , se tien e q ue se an ula para : x = 2001; x = 2002; x = 2003; x = 2004. H allar : a-b+ c.
h(f(0 )) h (5 ) es :
a) 82 d) 28
c) 1
39 . Si el polino m io :
e) x
R (x ) (a b 2)x 2
32. Si : f(x 2) x 2
8 x cy d 1 5 x 2 a 3 y b 1
b) -17 e) -4
c) 193 a) -1 d) 0
b) 2 e) 2001
c) 1
33. H allar "n", siel grad o de :
x xn 3
a) 5/3 d) 56/5
b) 56 e) 5/6
x
4 0. S ea P(x) un po lino m io m ónico d e grad o 3; halle la sum a d e co eficien tes del térm ino cuadrático y lineal, siendo su térm ino independiente igual a 5. Adem ás :
es 5
P (x 1) P (x) nx 2 c) 56/3
a) 1 d) 3
b) 0 e) 4
c) 2
23
Álgebra 41 . D ado un po linom io lineal P(x), que presenta resultad os m ostrad os en el cuad ro :
x
1
2
P (x ) 4
6
a) 7 d) 5
b) 9 c) 13
48. D ad a la fun ción "f", tal qu e : f
3 x 3 2
C alcule : P(5) P(0 ). a) 18 d )14
b) 16 e) 8
42. Si : f(x 2 2 x 1) x
a) x c) x
2
2
c) 12
b) x 2
2 x2 4
e) x 2 x 2
C alcular :
d) (x 2 )
2 b) 7 e) 8
1
P (x ;y) (m a) 4 d) 10
43. ¿Para cuántos valores de "b" elpo lino m io :
b 2y4
3)x
9 m
b) 6 e) 12
P 1 ax 1
b) 2 e) M ás de 4
m x
m 2
.y 3
y17 2 m
c) 8
50. Siendo :
es hom ogéneo? a) 1 d) 4
c) 10
m
4
P (x ;y) ab x a b y a b
xR
49 . P ropo rcionar la sum a de co eficientes del sigu iente trinom io :
2 x2 2
2 x 2 18
f(1) f(1)
a) 11 d) 9
3 , entonces f(x 2) es:
2x 2
c) 11
c) 3
a 2x 3a 1
O btener : P 1 2
44. C alcular : m - n, si el po lino m io :
P (x;y) 3 x 2 m n 4 .ym n 2 7 x 2m n 2 .y m n
7 x 2 m n 3 y m n 1
es de grad o 10 y la diferencia entre los grados relativo s a "x" e "y" es 4. a) 6 d) 15
b) 9 e) 18
c) 14
a) 1 d) -2
b) 2 e) 0
c) -3
51. Si : f(x 1) f(x ) 2 x 4 ;y f(0 ) = 2, entonces f(1) f(1) vale : a) 0 d) -2
b) 2 e) -6
c) 6
45. Sielpolino m io P(x;y) es idéntiam ente n ulo. H allar :ab. P (x ;y) (a b)x 3 y 2 x 4 y 5 a) 10 d) 60
18 x 3 y (b a)x 4 y5
b) 20 e) 80
c) 40
52. Si : f(x x )
x x 1
xx
2x 2
A dem ás : f(x x 1) 3125 . C alcular : P
f(x 2) .
46 . E n elpolinom io : P (x 1) (2 x 1)n (x 2)n 128 (2 x 3 ) donde "n" es im par,la sum a d e coeficientes y eltérm ino independiente sum an 1, luego el valor de "n" es : a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
c) 9
4 7 . S i:
a) 16 d) 14
b) 10 e) 12
c) 18
53 . Q (x) es un p o lino m io qu e cum ple las siguientes condiciones : I. Q (3 ) = Q (5 ) = 0 II. G rado m ínim o III. Sum a de coeficientes 16. C alcular el térm ino independiente de Q (x).
P (x) (n 2 )x
n 9
y (n
3 )x
n 8 2
y
(n 4 )x
n 7 3
y
...
es ordenado y com pleto. H allar elnú m ero de térm ino s.
24
a) 18 d) 45
b) 15 e) 32
c) 30
TRILCE 54. Sabiendo que : n 1
P (x;y) (5 x 3 y) 5 n es tal que la sum a de co eficien te es igual al térm ino ind epend iente aum entad o en 1 02 4. H allar "n". a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
a
xab
H allar : f x 2 1 , x 0 x
c) 8
x 2 1 a) x
55 . Si el trino m io :
F (x )
58. Si: f(x 1) x 2
b x bc c xa c
c)
x
es ho m ogéneo de grado (10 ), d e qu é grado es el m o n om io . S (x ;y;z) a) 7 d) 33
b) 13 e) 30
a
b c
a b c
x . y . z
c) 27
Si: a
e)
2
1 x
2
x b ) a(x b x c ) b(x a x c ) abc
b)
x 1)2
(x 2
x 1)2
x 1)2
59 . Sean : P, Q do s po linom ios dado s por :
Q
(x )
bx 2 cx d
2x 3
Si: P (x) Q
x2 3x 1 (x 1) , determ
inar el valor de :
a+ b + c + d
b c .
a) 6 d) 15
x 1 2 x
2 d) (x
(x 2
P (x) ax 3
56. C alcular la sum a de coeficientes delsiguiente p olino m io com pleto : P (x ) c(x a
1
2
b) 9 e) 18
c) 12
a) 0 d) 3
b) 1 e) 5
c) 2
60. Si: R (x 3 ) x 1
57 . E l polinom io : A (x) ax m bx n cxp dx q m p es com pleto y o rdenado, con sum a d e coeficientes igual a 13. Indicar : a + b + c + d.
5
A dem ás : R (F 2 x (
9
)
7)
20 x 1
C alcular : F(x). a) 5 d) 6
b)10 e) 9
c) 8 a) 15x - 9 d ) 18x - 29
b) 8x - 129 e) -18x + 129
c) 18x - 129
25
Álgebra
laves Claves
26
01.
c
31.
c
02.
b
32.
e
03.
c
33.
c
04.
d
34.
c
05.
c
35.
e
06.
b
36.
b
07.
a
37.
c
08.
d
38.
c
09.
c
39.
c
10.
a
40.
a
11.
a
41.
d
12.
e
42.
c
13.
a
43.
c
14.
d
44.
c
15.
c
45.
e
16.
d
46.
c
17.
e
47.
b
18.
c
48.
e
19.
e
49.
d
20.
e
50.
a
21.
d
51.
c
22.
e
52.
a
23.
b
53.
c
24.
b
54.
d
25.
e
55.
c
26.
b
56.
e
27.
c
57.
a
28.
c
58.
e
29.
b
59.
b
30.
c
60.
c
