Leyes de los exponentes Aquí están las leyes (las explicaciones están después):
Ley
Ejemplo
x1 = x
61 = 6
x0 = 1
70 = 1
x-1 = 1/x
4-1 = 1/4
xmxn = xm+n
x2x3 = x2+3 = x5
xm /xn = xm-n
x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn
(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn
(xy)3 = x3y3
(x/y) n = xn /yn
(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn
x-3 = 1/x3
Explicaciones de las leyes Las tres primeras leyes ( x1 = x, x0 = 1 y x-1 = sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
1/x) son sólo parte de la
Ejemplo: potencias de 5 ... etc... 52
1×5×5
25
51
1×5
5
50
1
1
5-1
1÷5
0,2
5-2
0,04
1÷5÷5
... etc...
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).
La ley que dice que x mxn = xm+n En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x 5 Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que x m/xn = xm-n Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso"n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4 /x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x 2 (Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.) Esta ley también te muestra por qué
Ejemplo: x2 /x2 =
x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (x m)n = xmn
x0=1 :
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que total m×n veces.
hacer eso "n" veces ,
en
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x 12 Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy) n = xn yn Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x 3y3
La ley que dice que (x/y) n = xn/yn Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x 3 /y3
La ley que dice que Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo: Y eso es todo Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.
Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0? Exponente positivo (n>0) 0n = 0 Exponente negativo (n<0)
¡No definido! (Porque
dividimos entre 0)
Exponente = 0
Ummm ... ¡lee más abajo!
El extraño caso de 00 Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0 0 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":
x0 = 1, así que ... 00 = 1 0n = 0, así que ... 00 = 0 Cuando dudes...
00 = "indeterminado"
LAS LEYES DE EXPONENTES SON: 1. LEY DE LA MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.
2. LEY DE LA DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente.
Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división: o
PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.
o
PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.
3. LEY DE LA INVOLUCION, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.
4. LEY DE LA EVOLUCION, O DE LA EXTRACCION DE RAICES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz.
o
Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en una expresión en notación exponencial.
RELACIÓN ENTRE ALGUNAS DE LAS LEYES DE EXPONENTES: Una de las propiedades básicas de la notación exponencial es que unas leyes llevan inevitablemente a otras.
De la ley de la multiplicación:
De la ley de la división:
De la propiedad del exponente negativo:
De la propiedad de las expresiones radicales:
De la propiedad del exponente 0:
Leyes de los radicales Leyes de los radicales Ley
Descripción y ejemplo
Potencia de un radical
La potencia pasa a ser exponente del radicando y se convierte en fracción, el índice será el denominador y el exponente el numerados.
(ⁿ√x)ᵐ=ⁿ√xᵐ Producto de radicales con un mismo índice
El índice se conserva y los radicandos se
radical
multiplican.
ⁿ√x.ⁿ√y=ⁿ√x.y División de radicales con un mismo índice
El índice se conserva y los radicandos se
radical
dividen.
ⁿ√x/ⁿ√y=ⁿ√x/y Raíz de raíces
El radicando se conserva y los índices se multiplican.
ᵐ√ⁿ√x=ᵐ˙ⁿ√x
Leyes de las Radicales
ⁿ√(xª) = xª/ⁿ ⁿ√ab = ⁿ√a ⁿ√b …………ⁿ√a ⁿ√a/b = ------…………ⁿ√b
ª√ⁿ√b = ªⁿ√b
La radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta
√(a² + b²) ≠ √a² + √b²
La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división
√(a² * b²) = √a² * √b²
Estas son las Leyes de los Exponentes: ============================= Regla del Producto ➊ Cuando tenemos 2 términos con las misma Base los Exponentes se Suman
xª * xⁿ = xª ⁿ ⁺
Regla de la División ➋ Cuando tenemos un Cociente con términos de la misma Base los Exponentes se Restan si a > n xª --- = xª ⁿ ⁻
xⁿ si a = n; el Resultado es (1)
si a < n xª......1 --- = ------xⁿ.....xⁿ ª ⁻
Regla de la Potencia ➌ Cuando tenemos un Termino elevado a mas de una Potencia, las Potencias se Multiplican
(xª)ⁿ = xª*ⁿ
Regla ➍
(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ
Regla del Exponente Cero
➎
Todo número elevado a la Potencia “Cero” es uno x⁰ = 1
Regla del Exponente Negativo ➏ Todo número Elevado a una Potencia Negativa se puede representar como su inverso para cambiarle la Potencia de Negativa a Positiva ..........1 x ⁿ = ----⁻
..........xⁿ
Regla del Radical ➐ Todo Expresión Radical se puede expresar, se puede expresar como un Exponente Fra
