LÃ³gica de enunciados algunos aspectos bÃ¡sicos

LÓGICA DE ENUNCIADOS ALGUNOS ASPECTOS BÁSICOS

LÓGICA DE ENUNCIADOS ALGUNOS ASPECTOS BÁSICOS

Jos é Herrera Madri gal

Instituto Politécnico Nacional 1995

Lógica de enunciados Primera edición: 1995 © 1995, INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL, Dirección de Publicaciones Tresguerras 27, 06040 México, D.F. ISBN 968-29-8665-6 Impreso y Hecho en México

A MI AMIGO, EL DOCTOR EN FILOSOFÍA, ALEJANDRO HERRERA IBÁÑEZ, QUIEN POR LEY CONMUTATIVA ES

SENCILLO Y SABIO

SABIO Y SENCILLO

ÍNDICE

Capítulo Presentación................................................................

11

1.

Enunciados simples y compuestos..............................

15

2.

Operadores lógicos y tablas de verdad ......................

19

3.

La puntuación en el lenguaje natural y en los lenguajes artificiales..................................................

35

4.

Enunciados tautológicos, contradictorios y contingentes ...........................................................

43

5.

Esquemas de razonamiento válidos elementales........

55

6.

Las leyes de dualidad.................................................

63

7.

La llamada implicación material................................

67

8.

La transformación de los esquemas de inferencia......

79

9.

Más tablas ..................................................................

83

10.

El método demostrativo.............................................

89

11.

La prueba de invalidez...............................................

101

12.

La notación polaca.....................................................

107

Referencias y notas ....................................................

115

Presentación Este trabajo contiene una selección de aspectos de un tema que pertenece al campo de la lógica matemática. Para designar tal tema se usan los nombres de lógica preposicional' y varios más. Existe la circunstancia de que un distinguido investigador, Conrado Flores García, ha publicado, entre otros libros, una obra en dos volúmenes, llamada precisamente Lógica proposicional, y un resumen de la misma obra, el opúsculo denominado Nociones de lógica matemática. En consideración a estos datos, y puesto que en lugar del nombre lógica proposicional' se puede usar alguna de sus expresiones equivalentes, he decidido asignarle a mi trabajo el título de Lógica de enunciados. Los tópicos que expongo en mi escrito pueden ser estudiados sin entrar en otras partes de la lógica matemática. Al respecto, me permito invocar el precedente de las mencionadas publicaciones de Flores García. Este autor organiza a sus libros conforme al sistema de cuadros escalonados, lo cual viene a colación para señalar que si bien los textos de Flores García y el mío tiene el mismo asunto en común, se distinguen de entrada en la manera de estructurar dicho asunto. Por lo que concierne al aspecto de la representación simbólica de los enunciados, empleo una de las notaciones innominadas, neologismo que propongo -a falta de una expresión mejor- para designar algunos lenguajes simbólicos que desde hace mucho tiempo son usuales en la lógica de enunciados, pero que no encajan en el catálogo de las notaciones clásicas.

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José Herrera Madrigal

En mi trabajo predominan las referencias al famoso autor Irving M. Copi. Sus libros, Introducción a la lógica y Lógica simbólica, son las fuentes de ias aclaraciones que expongo en el capítulo 2, tocantes al convenio que permite omitir el uso de la disyunción fuerte. Asimismo, adopto predominantemente el catálogo de los esquemas lógicos que Copi presenta, aunque modifico ese catálogo para traducirlo a la notación innominada que uso, en la cual se aplica el permiso de ahorrar ciertos paréntesis. Más adelante, acudo de nuevo a Copi en varios pasajes, sobre todo en los capítulos 10 y 11. Por lo demás, muchas ex plicaciones de los tópicos de la lógica matemática son un patrimonio común, usufructuado por los investigadores que escriben textos y manuales dedicados a la enseñanza y difusión de tales tópicos. Aunque mi escrito es expositivo, puede servir de atenuante el hecho de que no siempre me limito a la tarea del expositor, pues además, en varios lugares hago comentarios, algunos de carácter filosófico; por ejemplo el que se localiza en el contexto donde expongo la distinción entre los enunciados compuestos. En ese contexto, y conforme a la indicación bibliográfica respectiva, cito al prestigioso autor Luis Vega, quien dice que el célebre libro de Wittgenstein, el Tractatus logico-philosophicus, es "la obra de filosofía de la lógica de mayor relieve que ha producido el presente siglo". Estas palabras me incitaron a tejer una digresión en torno al Tractatus. Asimismo, intercalo datos de la historia de la lógica formal, apoyándome para ello en los brillantes trabajos de Jan Lukasiewicz, Benson Mates e I. M. Bochenski. Y además, al presentar el tópico de la llamada implicación material hago incursiones en la semántica, a propósito de las críticas de algunos autores, señaladamente de W. V. O. Quine, en contra del hábito de llamar 'implicación' ai condicional filónico. Entre las notaciones clásicas de la lógica de enunciados, hállase la de -Lukasiewicz o notación polaca, que expongo en la parte final de mi texto, donde me apoyo en las explicaciones que el propio

Lógica de Enunciados

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Lukasiewicz, brinda al respecto en su famosa obra, Aristotle's syllogistic. From the standpoint of modern formal logic.

Algunos de los tópicos que presento y comento son relativamente difíciles, pero en general mi trabajo es accesible a los estudiantes que reciben lecciones de lógica de enunciados. En cuanto a los maestros que imparten esas lecciones, mi escrito también puede servirles a ellos, como addendum al repertorio bibliográfico que utilizan. La teoría de las funciones de verdad ha resultado especialmente fecunda en la epistemología, ya que ha permitido determinar el carácter a priori de las verdades lógicas. Asimismo, los esquemas de razonamiento válidos elementales, cuyo catálogo expongo en el capítulo 5, se usan en los métodos de las deducciones lógicas y matemáticas. Además, la lógica de enunciados tiene múltiples aplicaciones en otros cam pos. Con respecto a estas últimas me permitiré hacer una breve digresión. Se relata que un utilitarista se negaba en redondo a contestar a qué es igual 7 + 5 mientras no le explicaran para qué servía eso. Por lo visto nuestro utilitarista era un baconiano a ultranza. De todos modos, el relato se non é vero é ben trovato para ilustrar el tópico utilitarista de las aplicaciones prácticas del conocimiento científico. Por lo que atañe a la lógica de enunciados o lógica proposicional, ciertos operadores básicos empléanse en la ingeniería electrónica para diseñar circuitos digitales. La ingeniería electrónica tiene a su vez múltiples aplicaciones, cada vez más amplias y poderosas, en las ciencias fácticas naturales y en las ciencias fácticas sociales. En razón de la gran importancia que tiene el tema de la lógica de enunciados, mi texto es un intento de contribuir a la difusión de dicho tema. Para terminar esta presentación debo agradecerle a mi amigo, el doctor Alejandro Herrera Ibáñez, su atenta indicación sobre la conveniencia de afinar algunas expresiones relacionadas con la lógica estoica. JHM

ENUNCIADOS SIMPLES Y COMPUESTOS

La lógica de enunciados es una rama de la ciencia designada con los nombres de 'lógica matemática','lógica simbólica' y otros. En lo referente a la variedad de los nombres de esta ciencia, un famoso autor, A. Church, brinda una detallada información en un pasaje de su clási-

ca obra, Introducción a la lógica matemática (Introduction to mathematical logic), pasaje al cual me remito.1

Se acostumbra decir que las expresiones formadas por los voca blos de un idioma son declarativas, interrogativas, imperativas y exclamativas. Me parece ingenuo protestar contra la parquedad de este catálogo; más bien, cabe interpretarlo en el sentido de que sólo tiende a esquematizar algunos tipos de expresiones del lenguaje ordinario. Aunque la lógica de enunciados limita su enfoque al primer tipo de expresiones de la clasificación citada, me permitiré manifestar de paso un escrúpulo respecto a las denominadas expresiones imperativas. En la Jurisprudencia se considera que las normas legales no siem pre son de tenor imperativo; por ejemplo, si el lector tiene el estado civil de soltero y desea cambiarlo por el de casado, el cambio es cosa suya; la ley no le impone la obligación de casarse. En este sentido, las normas que regulan el acto de la celebración del contrato matrimonial no son imperativas, sino facultativas; sólo establecen las condiciones que deben cumplirse para efectuar dicho cambio de estado civil.2 La palabra 'imperativo' es angosta, y de ahí que convenga sustituirla por el vocablo 'deóntico'.3 Este último incluye no sólo las normas de tenor imperativo, sino también las de tenor distinto.4 Pero prosigamos con la lógica de enunciados.

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Como he dicho, esta lógica limita su enfoque a las expresiones declarativas, las cuales afirman o niegan algo y, por lo tanto, tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas. Ambas pueden designarse con los nombres de 'enunciados', 'proposiciones' y otros. Aquí emplearé indistintamente los dos nombres mencionados. A partir de estos datos y señalamientos, los enunciados pueden ser clasificados en las dos am plias variedades que veremos luego. En primer lugar, tenemos los enunciados atómicos, simples o elementales, los cuales no contienen partes o ingredientes que sean enunciados; dicho de otra manera, no son divisibles en otros enunciados más elementales. He aquí un ejemplo de enunciado simple: 'Antonio es jurista'. En segundo lugar, tenemos los enunciados moleculares o compuestos, que sí son divisibles en otros ya elementales. Además, en los enunciados compuestos intervienen las partículas 'no', 'y', 'o', entre otras. Véase ahora un ejemplo de enunciado molecular: 'Antonio es jurista y Antonio es filósofo'; más idiomáticamente, 'Antonio es jurista y filósofo'.

OPERADORES LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD

Puesto que en el presente trabajo, el lenguaje ordinario que se emplea para explicar el tema de la lógica de enunciados es el castellano, conviene acudir a los textos de autores hispanoparlantes que ofrecen listas de los operadores lógicos. Una de estas listas es la que se localiza en un pasaje de la obra llamada Lógica matemática, obra que el autorizado tratadista español José Ferrater Mora produjo en colaboración con Hugues Leblanc. Como se indica en tal pasaje, respecto a la parte que versa sobre las conectivas (= operadores), "esta parte estudia so bre todo seis conectivas: 'no1, 'y', 'o', '0...0...', 'si... entonces...1 y '...si y sólo si..,'5 Los operadores de la lista citada se denominan, por su orden, 'negación', 'conjunción', 'disyunción débil1 o 'incluyente', 'disyunción fuerte' o 'excluyente', 'condicional' y 'bicondicional' o 'equivalencia'. En los textos donde se ofrece la lista de los seis operadores, aparecen indicaciones acerca de la distinción entre las dos disyunciones, pero luego se usa sólo una, la disyunción débil. Ello se justifica en un convenio que los autores adoptan expressis verbis o bien lo adoptan tácitamente. Más adelante me ocuparé de este convenio. Cuando se introduce el lenguaje simbólico, en lugar de los enunciados del lenguaje ordinario se emplean letras que pueden ser mayúsculas o minúsculas, cada una de las cuales cumple el oficio de variable enunciativa o proposicional. Además, las partículas de la lista citada se sustituyen por símbolos de alguna notación especial. Variables literales, símbolos de operadores lógicos y, en su caso, paréntesis de puntuación lógica son los ingredientes de las fórmulas enunciativas o proposicionales.

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Aunque en teoría sólo las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, en la práctica se aplican esos calificativos no sólo a las proposiciones mismas, sino que, para abreviar, también se acostumbra llamar verdaderas o falsas a las fórmulas lógicas, costumbre a la cual me adhiero. En lo concerniente a las fórmulas, existen las notaciones clásicas, por ejemplo la usada por Whitehead y Russell en Principia mathematica, la de Scholz y otras, pero existen, asimismo convencio nes de simbolización lógica que aquí me permito llamar 'notaciones innominadas1; se justifica llamarlas así, puesto que no encajan en el catálogo de las notaciones clásicas. Una notación innominada es por ejemplo la de Alfredo Deaño, quien adopta para el operador de la ne gación el símbolo -| y lo usa junto con símbolos de la notación scholziana.6 Otros autores, en lugar de ~|, usan la barra horizontal'—', en combinación con súnbolos tomados de distintas notaciones clásicas. Pues bien, la notación innominada que adopto en el presente trabajo es la si guiente: . En estas fórmulas, junto con las letras de las variables enunciativas o proposicionales aparecen símbolos que corresponden, por su orden, a las mencionadas partículas que cumplen el oficio de operadores o functores lógicos. En la parte final de este trabajo se estudia una de las notaciones clásicas, la del brillante lógico polaco Jan -Lukasiewicz, pero lo que hago ahí no es adoptar semejante notación, sino exponerla, aprovechando las explicaciones que el propio -Lukasiewicz ofrece al respecto. El primero de los operadores de la lista citada, la negación, que aquí se representa mediante la barra horizontal,'—', es monádico, puesto que bajo su alcance cae sólo una proposición atómica o, en su caso, una proposición molecular colocada entre paréntesis. Los demás functores, en cambio, son binarios o diádicos porque conectan enunciados que a su vez pueden ser simples o compuestos.


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El signo monádico '—' no conecta enunciados, no es propiamente una conectiva, aunque se acostumbra llamarla así por extensión. Me parece, sin embargo, que la expresión conectiva monádica no deja de ser un contrasentido chocante, por lo que prefiero usar los nombres operador o functor, como lo he venido haciendo. En la notación aquí adoptada, supuesta una proposición cualquiera p, su negación se escribe -p. Los textos de los cuales proviene este simbolismo fueron escritos originariamente en los idiomas inglés y alemán, en los cuales los adverbios not y nicht generalmente no van antepuestos a las proposiciones; por eso se recurre a perífrasis como it is not the case that p, o bien, es ist nicht der Fall da$ p. En castellano sucede algo parecido. Supóngase el enunciado 'Frankfurt está junto al río Nilo*. Para negarlo, usamos la expresión '-(Frankfurt está junto al río Nilo)', expresión que se lee así: 'no es el caso que Frankfurt esté junto al río Nilo'. Pero en castellano, especialmente en el caso de los verbos impersonales, como, por ejemplo, 'llueve1, sí es normal anteponer a ellos el adverbio 'no'. Podemos aprovechar, pues, esta circunstancia para emplear el socorrido ejemplo 'no llueve' como interpretación de -p. Cabe advertir que la proposición -p, aunque contiene una sola variable, no es una proposición elemental, pues todavía es posible descomponerla en otra, ya elemental, p. Ahora bien, si es verdad que llueve, es falso que no llueve; y si es falso que llueve, es verdad que no llueve. La lógica de enunciados es bivalente porque en ella intervienen sólo dos valores de verdad, a saber, verdadero V y falso F. El valor veritativo funcional de los operadores lógicos se define mediante los procedimientos que pueden llamarse 'tablas originarias de verdad', para distinguirlas de otras que -siguiendo a Patrick Suppes- pueden llamarse 'tablas derivadas'.7 El número de renglones de cada tabla, en los cuales se anotan las combinaciones correspondientes, se determina conforme a la regla que se expresa en la fórmula 2n, donde el 2 representa el número de los valores V y F, mientras que el exponente n representa el número de las variables enunciativas o preposicionales.

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Con respecto al operador de la negación, p es verdadera si y sólo si -p es falsa; y p es falsa si y sólo si -p es verdadera. Aquí interviene una sola variable, por lo que la tabla de la negación contiene sólo dos filas de valores de verdad. Se trata de la tabla siguiente:

A reserva de insistir posteriormente en las aplicaciones de la fórmula 2n, por ahora interesa señalar que las restantes tablas originarias -las de los functores binarios o diádicos- corresponden a esquemas de pro posiciones que contienen dos variables proposicionales y, por lo tanto, para estas fórmulas hay cuatro combinaciones de valores veritativos, esto es, dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, es posible que sean: p verdadera y q verdadera; p falsa y q verdadera; p verdadera y q falsa; y p y q falsas. En el caso del esquema -p, su valor veritativo está determinado por el valor de verdad de la única proposición p. Y cuando se trata de proposiciones moleculares cuyas proposiciones atómicas están com binadas mediante operadores diádicos, el valor de verdad de tales pro posiciones compuestas hállase determinado íntegramente por el valor veritativo de sus proposiciones constituyentes. Veamos ahora el operador de la conjunción 'y', cuyo símbolo es &, llamado ampersand. Para emprender el análisis de este functor, recuérdese el ejemplo: Antonio es jurista y filósofo El anterior ejemplo es la expresión idiomática de un enunciado com puesto por dos enunciados elementales combinados mediante la con junción. Pues bien, tal enunciado compuesto es verdadero si y sólo si


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sus elementos componentes son verdaderos; en los demás casos es falso. Antes de ofrecer la tabla de &, es pertinente indicar que en el modelo aquí adoptado para construir las tablas de las fórmulas que contienen dos variables, se empieza por escribir la fórmula correspondiente; luego se asignan columnas a las dos variables y al operador, poniendo en las columnas de las variables los valores V y F, distribuidos debajo de la fórmula, en un orden tal que exhiba las mencionadas combinaciones de los mismos; por último se anotan en la columna del functor los casos de los valores de éste. La tabla de la conjunción se construye así:

Una vez estudiada la conjunción, veamos ahora la disyunción. Para combinar enunciados mediante disyunciones, había en latín ciertas partículas, de las cuales en el presente contexto interesan sólo aut y vel. Estas partículas frecuentemente se mencionan a propósito del doble oficio que la disyunción desempeña en castellano y en otras lenguas vivas. La disyunción -dicen los especialistas en lógica matemática- se usa en un sentido excluyente y en otro incluyente, por lo que puede estar afectada de ambigüedad. Se agrega que los romanos hallábanse a salvo de esa ambigüedad, pues en el idioma latino los dos usos de la disyunción, el excluyente y el incluyente, tenían sus res pectivas expresiones: aut para el primero y vel para el segundo. Sobre los datos ofrecidos al respecto, me permitiré agregar algunas indica-

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ciones, mismas que -como se verá- son convenientes por razones de orden analítico y didáctico. La partícula aut no siempre combinaba enunciados que fuesen, cada uno, el opuesto del otro, pero eran así en ciertos giros, por ejemplo en el siguiente dictum de Cicerón: "Id est pronuntiatum quod est verum autfalsum"* Por añadidura, el citado dictum de Cicerón muestra que la disyunción podía ser excluyente aunque no se emplease la expresión aut...aut...9 Se trata de un dato interesante para el usuario del idioma castellano, pues en este idioma la disyunción en sentido fuerte se expresa por medio de la constante 'o... o...', si bien la partícula 'o' puede tener el significado excluyente aunque no se reitere, como sucede cuando un varón le dice a su cónyuge: 'Vamos al teatro o al salón de baile 1. Otro ejemplo típico de la disyunción en el mismo sentido es el de la lista llamada carta o menú, donde se ofrecen alternativas de alimentos a precio fijo. Ahí no aparece la expresión 'o...o...', pero la primera 'o' va implícita y el significado de la disyunción dura es obvio: se quiere decir que por el precio fijo se ofrece uno de los alimentos de cada alternativa, no ambos. Sería divertido que alguien consumiese ambos platillos y luego pretendiese pagar el precio fijo, aduciendo que la disyunción está mal redactada y que debe escribirse con '0...0...1 En cuanto a la partícula vel, he aquí un ejemplo del uso de la misma: "Imperatoris Severi oratione prohibiti sunt tutores et curatores, praedia rustica vel suburbana distrahere".10 Este precepto -que fue un senadoconsulto emitido bajo el emperador Septimio Severo- prohibía la enajenación de los predios rústicos o suburbanos, o ambos, administrados por los tutores y los curadores. En la lógica de enunciados, siempre que se alude a la partícula vel, se toma la primera letra de esta partícula, v, como símbolo de la disyunción incluyente, símbolo que recibe el nombre de 'cuña'. Varios autores, para presentar con más detalle las dos versiones de la disyunción, le asignan además un símbolo a la disyunción fuerte, que puede ser por ejemplo , aunque introducen después un conve-


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nio que permite usar sólo la disyunción débil, prescindiendo de la disyunción fuerte. Otros autores, por ejemplo Patrick Suppes, adoptan el símbolo v, pero se ahorran la asignación de un símbolo a la disyunción dura o excluyeme y la presentación de la tabla de este operador; ahorro justificado por el citado convenio que permite usar únicamente la disyunción débil. Sin embargo, cabe preguntar en qué se justifica el convenio mismo, y para ofrecer una respuesta clara y precisa es indispensable ver con detenimiento la distinción entre las dos disyunciones. Pues bien, como indican algunos tratadistas, por ejem plo Copi, si tenemos dos enunciados cualesquiera p y q combinados mediante la disyunción fuerte, ésta no significa que es verdadera cuando al menos uno de los enunciados atómicos es verdadero, antes bien, significa que es verdadera cuando al menos uno y alo sumo uno de esos enunciados es verdadero.11 A veces, por motivos de orden idiomático, se asume como evidente de suyo que la 'o1 simple tiene el sentido de la disyunción dura o fuerte, pero en múltiples ocasiones puede ser am bigua, y entonces, para precisar la alternativa fuerte entre los enunciados, se agrega pero no ambos. Con anterioridad he puesto un ejemplo del latín, en el que la partícula vel se comporta en el sentido de la disyunción incluyente o débil. Veamos ahora, en idioma español, un ejemplo de la misma disyunción. Supongamos el enunciado compuesto: Pablo estudia inglés o francés. La proposición del ejemplo es verdadera con tal de que Pablo estudie por lo menos uno de los dos idiomas, aunque cabe la posibilidad de que estudie ambos. Cuando los autores angloparlantes se refieren a la disyunción en sentido débil, dicen que para indicar explícitamente tal sentido, se usa la expresión or...or both, la cual puede sustituirse por la abreviatura and/or. En particular, la segunda expresión, o su equivalente en castellano, 'y/o', son muy comunes en los contratos y otros documentos jurídicos. Algunos autores hispanoparlantes afirman que la expresión 'y/o'

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- José Herrera Madrigal

es un barbarismo. Cierto que en castellano se cuenta con la expresión 'o ambos', pero resulta más cómodo intercalar 'y/o' entre los miem bros de la disyunción. Así pues, la disyunción blanda es verdadera si y sólo si al menos uno de los enunciados es verdadero; y es falsa si y sólo si ambos son falsos. Véase la tabla de la disyunción incluyente: p

V

q

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

Los especialistas en lógica matemática, al explicar las funciones de verdad, invariablemente se ocupan de la disyunción blanda o incluyente; en cambio, no siempre se ocupan de la disyunción dura o excluyente. Algunos, por ejemplo Suppes, también se refieren al segundo functor, pero lo presentan en forma elíptica.12 Ciertamente, una vez que los autores enuncian de manera explícita el convenio citado -o al menos lo asumen de manera implícita- pueden trabajar sin la disyunción fuerte, usando sólo la otra. Me permito observar que, sin embargo, el convenio, por su tenor mismo, supone la distinción entre las dos disyunciones. Así, por razones de orden analítico y didáctico es pertinente aclarar el convenio, en cuyo caso resulta más práctico asignar un signo especial no sólo a la disyunción débil, sino también a la disyunción fuerte; y conviene ofrecer además las tablas de ambas. Por eso en la notación aquí adoptada, la primera se representa mediante el símbolo v, mientras que la segunda se representa mediante el símbolo . Y una vez expuesta la tabla del operador v, hay que ofrecer ahora la tabla del operador , la cual aparece a continuación:


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Como lo muestra la confrontación de las dos últimas tablas, si dos enunciados se combinan mediante la disyunción incluyente, al menos uno de los enunciados es verdadero; y si se combinan mediante la disyunción excluyeme, al menos uno es verdadero y a lo sumo uno es verdadero. Como afirma Copi, "este significado común parcial, según el cual por lo menos uno de los enunciados disyuntivos es verdadero, constituye todo el significado de la 'o' incluyente y una parte del significado de la 'o' excluyeme".13 En razón del significado mínimo que comparten ambas disyunciones, puede introducirse el convenio justificatorio de la simplificación señalada, misma que ahorra operadores en cuanto elimina el uso de la disyunción fuerte. En el lenguaje ordinario, muchas veces la partícula 'o' y sus equivalentes en otros idiomas, como or y oder, adolecen de ambigüedad. Cuando así sucede, surge el problema de dilucidar el significado de la disyunción acudiendo al contexto, o mediante una solicitud de aclaración, dirigida expresamente al emisor del enunciado. Para evitar semejante problema, cuya solución en múltiples casos es difícil e incluso imposible, los tratadistas adoptan el convenio que les otorga el permiso de la simplificación citada. A este nivel de la exposición que vengo ofreciendo, sería prematuro cualquier ejemplo de ley lógica regida por dicho convenio. Más adelante vamos a constatar que el símbolo de la cuña, v, es el único que se usa en los esquemas típicos válidos que contienen disyunciones; baste haber asentado por lo pronto que un enunciado compuesto en el

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que p y q se combinan mediante la disyunción débil, es decir, un enunciado de la forma p v q, es verdadero si y sólo si al menos una de sus proposiciones atómicas es verdadera; y es falso si y sólo si ambas pro posiciones atómicas son falsas. Veamos ahora el operador 'si...entonces...', llamado 'condicional1. Su símbolo, en la notación que vengo usando, es la flecha, Las proposiciones elementales combinadas por este operador reciben los nombres de 'antecedente' y 'consecuente'. En lenguaje simbólico, una vez que el antecedente y el consecuente se sustituyen por las variables p y q, se introduce el signo del nexo entre ellas y se obtiene la fórmula

misma que se lee de varias maneras:

Si p, entonces q; sip,q; p, sólo si q q, si p; p es condición suficiente para q; y q es condición necesaria para p. He aquí un ejemplo de enunciado condicional: Si hago un circuito turístico por Grecia, entonces viajo por territorio de Europa. En la presente coyuntura surge el problema de la distinción entre condiciones suficientes y condiciones necesarias. Veamos cómo se ilustra esta distinción mediante el enunciado condicional del ejemplo puesto. Efectuar un circuito turístico por Grecia es condición suficiente para efectuarlo por Europa, pero lo primero no es condición necesaria de lo segundo, ya que se puede viajar por Europa sin pasar por Grecia.


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Además, lo segundo es condición necesaria de lo primero, pues nadie puede viajar por Grecia si no viaja por territorio europeo; y, en fin, lo segundo no es condición suficiente respecto a lo primero, ya que no es suficiente viajar por territorio europeo para viajar por Grecia. Y dada una proposición de la forma p q, es verdadera si y sólo si no ocurre el caso de que el antecedente p sea verdadero y el consecuente q sea falso. Ello equivale a que es falsa si el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso; en los demás casos es verdadera. He aquí la tabla del condicional:

El análisis del condicional suscita el tópico de las llamadas 'paradojas de la implicación material', tópico que veremos más adelante, pero ahora conviene abordar ya el último functor de la lista citada. Al ocuparse del operador '...si y sólo si...', los tratadistas -por ejem plo Suppes- dicen que se denomina 'bicondicional' o 'equivalencia'.14 Aquí se adopta para este operador el símbolo de la flecha de doble punta . Y cuando un enunciado molecular contiene dos proposiciones atómicas enlazadas por el bicondicional, dicho enunciado molecular se simboliza mediante la fórmula p q. Como interpretación de esta fórmula puede servir el ejemplo

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2x2 = 4, donde 2 x 2 = 4, y que 2x2 = 4 ----- ► 7 + 5 = 12 La fórmula p

q, a su vez, puede leerse de varias maneras,

a saber: p si y sólo si q, p es equivalente a q, p es condición suficiente y necesaria para q, q es condición necesaria y suficiente para p. Las lecturas últimas se entienden por referencia a las explicaciones ya ofrecidas respecto a la distinción entre condiciones suficientes y condiciones necesarias. En el señalamiento de las funciones veritativas de la negación, la conjunción y las otras que preceden al bicondicional he usado la ex presión '..¿si y sólo si...1, y ahora hay que usarla de nuevo para indicar que un enunciado de la forma p q es verdadero si y sólo si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas, como lo muestra la tabla que vemos a continuación:


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Ahora bien, la confrontación de las tablas originarias cuarta y sexta permite constatar que los casos de los valores veritativos de la disyunción fuerte son inversos a los casos de los valores veritativos del bicondicional. El signo es muy intuitivo, por lo que conviene adoptarlo; y si se adopta, entonces el signo , a su vez, resulta más intuitivo que cualquiera de los otros que se asignan a la disyunción fuerte, sea en las notaciones nominadas o innominadas. Aunque en la lógica de enunciados -como he dicho repetidamente- se adopta el convenio que permite usar sólo el operador de la disyunción dura o excluyeme, he ofrecido, por las razones expuestas, un detallado análisis de las dos versiones de la disyunción, pero una vez aclarada la distinción entre una y otra, el operador , por decirlo así, hace mutis y no volverá a entrar en el escenario del presente trabajo. En virtud de la simplificación señalada, nuestra lista de operadores lógicos es ahora la siguiente: A estos símbolos les corresponden por su orden los nombres de la barra', 'el ampersand1, 'la cuña1, la flecha1 y la flecha de doble punta'. Se trata, en fin, de la notación que usan algunos autores, por ejemplo Patrick Suppes.

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Con la adopción de una notación lógica especial se obtiene un provecho equiparable a las ventajas, tradicionalmente acreditadas, del uso de los símbolos en otros campos de la investigación científica. Por vía de ejemplo, considérese el notable avance que significó para el álgebra ordinaria la invención de los coeficientes. En efecto, gracias a esta invención, en lugar de escribir x + x + x + x + x+x + x + x + x ,

se escribe 9x. Y análogamente, el uso del lenguaje simbólico ha dado un gran impulso a la lógica. Es clásico el señalamiento que Rudolf Carnap hace al respecto.15

LA PUNTUACIÓN EN EL LENGUAJE NATURAL Y EN LOS LENGUAJES ARTIFICIALES

Para señalar la importancia de la puntuación, por lo pronto en el lenguaje natural, me permitiré poner los ejemplos siguientes: SUFRAGIO EFECTIVO. NO REELECCIÓN (1), SUFRAGIO EFECTIVO NO. REELECCIÓN (2). La proposición (2) a duras penas tiene sentido en el lenguaje ordinario, pero de todas maneras es un disparate político, ya que es una com pleta tergiversación del eslogan maderista. El cambio en la colocación del • fue lo que produjo la expresión políticamente disparatada. He imaginado el ejemplo (2) para señalar un caso particularmente drástico de expresión errónea, ocasionada por el uso incorrecto de la puntuación del lenguaje natural. Considérese ahora la expresión 1 + 4 x 7. En esta expresión aparecen símbolos que podemos agrupar mediante paréntesis, de manera que en un caso tenemos 1 + ( 4 x 7 ), cuyo resultado es 29, y en el otro tenemos (1 + 4) x 7, cuyo resultado es 35. En cuanto al lenguaje simbolizado de las proposiciones, hasta ahora he usado fórmulas lógicas exentas de ambigüedad, por lo que no hubo problemas de puntuación, pero cuando aparecen fórmulas compuestas más extensas, pueden ocurrir ambigüedades, y para evitarlas, empléanse signos auxiliares, a saber, los paréntesis de la puntuación lógica. Aunque el nombre de 'paréntesis' designa en primer lugar los paréntesis simples, por extensión puede aplicarse a otros signos pertenecientes a la misma familia, esto es, los paréntesis dobles, los corchetes y las llaves.

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La puntuación lógica indica el modo de agrupar fórmulas que, de suyo, son compuestas y se combinan para formar nuevas fórmulas com puestas. En los Principia de Whitehead y Russell -dicho sea de paso- tales indicadores consisten no sólo en paréntesis, sino en puntos que hacen las veces de paréntesis. No me extiendo en explicaciones al respecto, ya que aquí el simbolismo de los Principia no será usado. En el texto, Lógica, del National Council ofTeachers of Mathematics -en lo sucesivo NCTM- se introduce un convenio para disminuir paréntesis.16 Este convenio se fundamenta en cierta relación que los autores angloparlantes llaman the binding forcé of the propositional connectives, que aquí me permito llamar 'la fuerza enlazante de los operadores lógicos1. En el citado texto del NCTM, se indica que el más débil de los operadores lógicos es la negación y se agrega una estipulación respecto a los functores diádicos, estipulación que asimismo introducen otros autores, por ejemplo Patrick Suppes, quien afirma -en su obra citada- que "las conectivas dominan a 17 & y v". El convenio no se aplica en ciertos casos por ejemplo en el siguiente:

En vano se intentaría dar una lectura, lógica a esa expresión; en cam bio, con el uso de los paréntesis tenemos en un caso y en el otro tenemos Así, en cualquiera de estos últimos ejemplos, las fórmulas requieren paréntesis. Antes de proseguir con la regla sobre los operadores diádicos, es necesario señalar que el convenio incluye la estipulación en el sentido de que la negación, '-', el único operador monádico, es el más débil, pues tiene un alcance menor que el de los operadores diádicos; rige sólo para una variable, o en su caso, para una combinación de varia-


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bles puestas entre paréntesis. Ahora bien, conforme a la estipulación de que el operador '—' es el más débil, está permitido suprimir, en ciertos casos, los paréntesis que encierran fórmulas negadas. Para ejemplificar este permiso, supóngase el esquema En razón del convenio, se suprimen los paréntesis de ambas variables negadas y obtenemos la fórmula Cuando se quiere decir no p o q, se usa el esquema pero, en cambio, para expresar que no es el caso que p o q, la fórmula es El convenio permite suprimir los paréntesis en algunos casos, no en todos. Por lo que atañe a la jerarquía de los functores diádicos, también hay que delimitar su relación con la puntuación lógica. La fórmula

se lee: 'si p y q entonces r'. Se trata, pues, de un esquema condicional, donde la conjunción de p y q es el antecedente de r, es decir, el condicional es el operador dominante, por lo que, merced al convenio, se suprimen los paréntesis y se obtiene la fórmula

El convenio es utilizable cuando no altera el significado del esquema al cual se aplica.

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José Herrer a Madrigal

Para expresar, en cambio, que p y si q, entonces r, empleamos la fórmula

El convenio en este caso no exime de usar paréntesis, ya que es im prescindible usarlos para indicar que la fórmula es una conjunción en la cual el ampersand, &, es el nexo de p con Después de ofrecer ejemplos parecidos a los anteriores Suppes agrega algunos más. Cuando tenemos -dice- la fórmula:

podemos sustituirla por

Una expresión como carece de sentido. Sería fallido cualquier intento de darle una lectura lógicamente significativa. Se trata de otro caso en el cual el convenio no exime del uso de los paréntesis, antes bien, son imprescindibles. En efecto, según como se usen, tenemos en un caso mientras que en el otro, tenemos Lo mismo se aplica, mutatis mutandis, a

Apenas hace falta decir que la anterior relación de casos, ofrecida para explicar el convenio aludido y sus límites, no es enumerativa, sino ejemplificativa.


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Algunos autores, adoptando un convenio más estricto, reducen aún más la puntuación lógica. Sin embargo, en el presente trabajo, que tiene un carácter didáctico, el ahorro de los paréntesis no debe llevarse demasiado lejos, ya que en tal caso se puede dificultar la lectura de las fórmulas. Como se afirma en el texto del NCTM, "los convenios se crearon para ayudar, no para confundir".19

ENUNCIADOS TAUTOLÓGICOS, CONTRADICTORIOS Y CONTINGENTES

Los enunciados compuestos o moleculares a su vez pueden ser tautológicos, contradictorios y contingentes. Aquí conviene acudir a la excelente antología titulada Lecturas de lógica. El compilador y traductor de los textos, Luis Vega, es además autor de las notas que acom pañan a los mismos. Entre las lecturas, la III corresponde al célebre libro de Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, publicado por primera vez en 1921. Pues bien, para servirme de las pala bras de Luis Vega, el Tractatus "es la obra de filosofía de la lógica de mayor relieve que ha producido por ahora el presente siglo".20 Al res pecto viene a colación un pasaje crucial del Tractatus, donde Wittgenstein señala que hay dos casos extremos de las proposiciones compuestas. "En uno la proposición conmuesta es verdadera para todas las posibilidades de verdad; en el otro es falsa para todas las posi bilidades". A las primeras, Wittgenstein las denomina 'tautologías', en tanto que a las otras las designa con el nombre de 'contradicciones'.21 De aquí se desprende que entre los casos extremos hállanse las proposiciones compuestas cuyas combinaciones de valores de verdad no son todas verdaderas ni todas falsas. A estas últimas es usual denominarlas 'proposiciones contingentes'. La distinción entre esos tres tipos de enunciados aparece explícitamente no sólo en obras ya clásicas, como la de Carnap,22 sino incluso en las publicadas en nuestros días -al menos en las que conozco, por ejemplo en las de Conrado Flores García.23 A los enunciados verdaderos para todas las combinaciones de valores veritativos, Wittgenstein los bautizó, pues, con el nombre de 'tautologías1, y desde la época del Círculo de Viena hasta la fecha se acostumbra llamarlos así en los textos de lógica matemática. Es obvio que en tales textos la influencia de Wittgenstein está presente.

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En relación con el anterior comentario sobre el Tractatus, lo más adecuado es transcribir el pasaje donde Robert B lanché afirma: "La tautología, tal como su noción fue precisada por la teoría de las funciones de verdad, puede servir para definir las leyes lógicas, y de ahí la capital importancia de esta noción".24 Wittgenstein usa incidentalmente la expresión 'proposiciones analíticas', expresión que aplica a las tautologías, esto es, a la leyes universales y necesarias de la lógica de enunciados. Estas leyes -leemos en el Tractatus- "no dicen nada (son proposiciones analíticas)"25. Por supuesto, el autor quiere dar a entender que no dicen nada respecto a la realidad empíricamente observable. Cuando se afirma que las tautologías son vacuidades, ello significa que carecen de contenido empírico, que, por decirlo así, su contenido empírico es nulo. Los enunciados tautológicos no hablan de "matters offact", no proporcionan información sobre situaciones de hecho. Como expresa elocuentemente el mismo Wittgenstein, "Yo no sé, por ejemplo, nada sobre [el estado de] el tiempo, cuando yo sé que llueve o no llueve".26 Al decir que 'llueve o no llueve1, semejante enunciado es un ejemplo de una ley lógica, llamada 'ley del tercero excluido'. El enunciado de que se trata no es informativo y, por lo tanto, resulta verdadero siempre, sea cual sea el estado del tiempo. Las tautologías poseen una certeza independiente de cualquier conocimiento acerca de la realidad empíricamente observable. En este sentido son a priori. Cuando se declara, por ejemplo, que 'llueve o no llueve', se dice algo que es así y no puede ser de otra manera. Las tautologías tienen una certeza universal y necesaria. La experiencia enseña que algo es así, pero no enseña que no puede ser de otra manera; luego, la garantía de las verdades lógicas no radica en la experiencia. En este sentido son verdades a priori. En el presente contexto, la expresión a priori no tiene nada que ver con las llamadas ideas innatas. Las doctrinas innatistas tradicionales contienen sólo atrevimientos especulativos inverificados e inverificables. Y una tautología tiene validez a priori en el sentido de que se establece mediante el análisis veritativo funcional, análisis que


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es independiente de las investigaciones de la moderna psicología genética. Cuando afirmo que la influencia de Wittgenstein se llegó a generalizar en los textos de lógica matemática, no me refiero al hecho escueto de que el nombre de 'tautología' está heredado del Tractatus; más bien me refiero a que llamar tautologías a las leyes lógicas, supone la admisión de toda una interpretación filosófica de esas leyes, la cual, como ya lo he constatado, fue construida por Wittgenstein en el Tractatus. Aquí es un lugar especialmente oportuno para citar a Bertrand Russell, quien afirma, refiriéndose al Tractatus, que "este li-

bro, por su intento, objeto y profundidad [...] merece que se le considere un acontecimiento de suma importancia en el mundo filosófico.27 Al comentarlo, Russell señala: "La teoría de Wittgenstein sobre las pro posiciones moleculares se fundamenta en su teoría de las funciones de verdad".28 Y aludiendo a esta teoría dice: "Una función de verdad de una proposición p es una proposición que contiene a p, de modo que su verdad o falsedad depende sólo de la verdad o falsedad de p; de igual manera, una función de verdad de varias proposiciones p, q, r... es una proposición que contiene p, q, r..., y así su verdad o falsedad depende sólo de la verdad o falsedad de p, q, r..."29 La teoría de las funciones de verdad y la noción de tautología han llegado a ejercer una gran influencia en los textos de lógica de enunciados. En efecto, llamar tautologías a las leyes lógicas, significa admitir que son verdaderas para todas las posibilidades de valores de verdad, y esto es precisamente lo que Wittgenstein estableció en el Tractatus.

Me permito agregar que, por otra parte, el contenido del Tractatus es en gran medida inadmisible, no sólo porque algunos aforismos de Wittgenstein hacen recordar el estilo críptico de Heráclito y no se entienden; son tan oscuros que -sirviéndome de una paráfrasis de un conocido pasaje literario- no los entendería el mismo Duns Scotto, llamado 'el Doctor sutil', así resucitase sólo para leerlos. Aparte de esos lugares oscuros, en el Tractatus hay tópicos que ya caducaron; otros nunca fueron viables, ya que consisten sólo en efusiones místicas; pero

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asimismo hay remanentes que han desempeñado un papel protagónico en la lógica matemática. Las tautologías no expresan situaciones de hecho y, por lo tanto, ningún "estado de cosas" puede falsificarlas. Su certeza no depende de la experiencia, pero ¿de qué depende entonces su certeza? Para entender bien la respuesta se requiere tener presente que una tautología es un enunciado compuesto siempre verdadero, sea cual sea el valor veritativo de los enunciados elementales que lo componen. Y las tau-

tologías son así en razón de los significados de los functores lógicos que entran en la construcción de las mismas; significados que se determinan mediante las tablas originarias de verdad. El método de las tablas, utilizado para definir las funciones veritativas, es, asimismo, usual para decidir si un enunciado es tautológico, contradictorio o contingente. A continuación me ocuparé de estos procedimientos decisorios. El enunciado 'llueve o no llueve' -como ya he dicho- es un ejem plo de la llamada 'ley del tercero excluido'. En lenguaje simbólico, tal enunciado se escribe así: p v -p. Véase ahora la tabla siguiente:

La fórmula p v -p, teniendo en cuenta los significados de v y de '-', es una tautología, ya que es verdadera siempre, sea cual sea el valor veritativo de su único enunciado elemental p. Como lo prueba la tabla de p v -p, si p es verdadera, -p es falsa, en cuyo caso la fórmula completa es verdadera; y si p es falsa, -p es verdadera, en cuyo caso la fórmula completa es, asimismo, verdadera.


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Otros ejemplos simples de tautologías son Como he dicho, las proposiciones compuestas pueden ser tautológicas, contradictorias y contingentes. Ya he señalado en qué consisten las tautologías, y todavía volveré a ocuparme de ellas, pero antes veamos las otras variedades de las proposiciones compuestas. A la inversa de los enunciados tautológicos, los enunciados contradictorios son falsos para todas las combinaciones de los valores veritativos. El ejemplo más simple de fórmula contradictoria es la fórmula p & -p, cuya tabla es así:

Y en fin, como ejemplo simple de esquema contingente puede servir cualquiera de las fórmulas cuyas tablas originarias ya he dejado ex puestas al presentar el tópico de los operadores lógicos y sus tablas de verdad. En vista de la importancia que tiene la referida distinción entre las proposiciones compuestas, es pertinente agregar ejemplos de las mismas y de su análisis veritativo-funcional. A diferencia de las tablas derivadas ya expuestas, los nuevos ejemplos de tablas derivadas corresponderán a enunciados que contienen dos variables preposicionales. Entre las tautologías más usuales figuran las dos leyes conmutativas, pero aquí bastará referirme a una, la 'ley conmutativa de la conjunción', que llamaré así o bien 'la primera ley conmutativa'. Su fór-

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muía es Esta ley, una vez entendida su expresión simbólica, es una verdad a tal punto obvia que puede parecer su perfluo usar un procedimiento para demostrarla, pero tal procedimiento es precisamente lo que nos interesa, es decir, lo pertinente aquí es ver cómo se usa la técnica de las tablas de verdad para el análisis probatorio de una tautología, que en el presente caso es la ley conmutativa de la conjunción. Como ya se sabe, un enunciado de la forma es verdadero cuando los enunciados que flanquean al símbolo son ambos verdaderos o ambos falsos. La fórmula es equivalente a q y p. He aquí la tabla de la primera ley conmutativa:

En la tabla anterior, las columnas de & tienen los mismos valores V, F, F y F. Así, la tabla de p & q es igual que la tabla de q & p; por lo tanto, en la primera ley conmutativa, las fórmulas preposicionales que flanquean al símbolo del bicondicional, , tienen el mismo valor de verdad; son equivalentes. Por eso en la columna del bicondicional, , aparecen sólo Vs, y ello significa que la ley analizada es una tautología.


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Veamos ahora las tablas siguientes:

En la primera de las dos últimas tablas, la columna correspondiente al prefijo negador de la tautología, exhibe sólo Fs, lo cual significa que la negación de un enunciado tautológico es una contradicción. Pasando a la otra tabla, en la columna correspondiente al prefijo que niega la fórmula contradictoria aparecen sólo Vs, lo cual, a su vez, muestra que la negación de un enunciado contradictorio es una tautología. En suma, la negación de una tautología es una contradicción y viceversa. Como he dicho, uno de los ejemplos simples de tautologías es la ley de la doble negación, ley que viene a colación porque se usa en el esquema En la columna del prefijo que niega el esquema contradictorio, los valores son los mismos valores de , y esto significa de nuevo que la negación de un enunciado contradictorio es una tautología.

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Entre las proposiciones compuestas figuran en tercer lugar las proposiciones contingentes. Una de éstas es, por ejemplo, p & ( p v q ), cuya tabla aparece a continuación:

Como lo indica la columna de &, la fórmula de que se trata, p & ( p v q ), no en todos los casos es verdadera ni en todos falsa; luego, es contingente. Una vez aclarada la distinción entre proposiciones tautológicas, contradictorias y contingentes, la lógica de enunciados se interesa esencialmente en las primeras, dado que ellas -como he dicho- son leyes lógicas. En los esquemas válidos de razonamiento se distinguen dos grupos: esquemas de inferencia y esquemas de sustitución. Se trata de una distinción que hace Copi. Los esquemas de inferencia pueden ser transformados en esquemas condicionales mediante una técnica especial que vamos a estudiar en su oportunidad. Y respecto a los esquemas de sustitución, cada uno está compuesto por esquemas equivalentes que, en cuanto tales, pueden intercambiarse ahí donde convenga usar uno en lugar de otro.30 En el catálogo que veremos, los esquemas están tomados predominantemente de la nómina de Copi, aunque traducidos a la notación que vengo usando. Copi presenta, pues, 19 formas válidas de razona-


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miento, a las cuales agregaré un reducido grupo de leyes que algunos autores incluyen dentro de sus catálogos de leyes lógicas. Y cabe introducir otras variaciones en dicha nómina, que obviamente no alteran la esencia de la misma.

ESQUEMAS DE RAZONAMIENTO VALIDOS ELEMENTALES

ESQUEMAS DE INFERENCIA 1. Modus ponendo ponens (mp)

2. Modus tollendo tollens (mt)

3. Silogismo disyuntivo (sd)

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4. Silogismo hipotético (sh)

5. Dilema constructivo (de)

6. Dilema destructivo (dd)

7. Adición (ad)


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8. Simplificación (simp)

9. Conjunción (conj)

El último esquema de inferencia, transformable en un esquema condicional mediante la técnica del condicional asociado, es un caso de la ley de identidad, catalogada más adelante.

ESQUEMAS DE SUSTITUCIÓN O LEYES DE EQUIVALENCIA: 10. Doble negación (dn) 11. Leyes de conmutación (conm)

12. Leyes de asociación (asoc)

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13. Leyes de distribución (distr)

14. Leyes de dualidad o teoremas de De Morgan (De M)

15. Transposición (transp)

16. Exportación (exp)

17. Definición del condicional (def cond)


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19. Leyes de idempotencia (ídem)

20. Leyes de identidad

21. Ley de no contradicción

22. Ley del tercero excluido

Los nombres de las formas del catálogo anterior se usan en diversos textos de la bibliografía estándar de lógica matemática. En general, esas formas constituyen el soporte justificatorio de los razonamientos del método demostrativo, que -como veremos- es uno de los recursos para el análisis lógico de los argumentos extensos. Como ya he dicho, el signo se denomina equivalencia o bicondicional. Los esquemas de equivalencia son esquemas de sustitución, por lo que en las pruebas formales de validez de los argumentos, las expresiones enlazadas por pueden usarse cada una en lugar de la otra.

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Asimismo, cabe señalar -siguiendo de cerca a Copi- que toda equivalencia es una tautología o una definición.31 Cuando en la lógica se introduce una definición mediante la expresión = def., el definiendum y el definiens son equivalentes, lo cual puede probarse recurriendo al método de las tablas. Existe la circunstancia de que el término 'definición' se usa en es pecial para designar las leyes 17 y 18a y 18b. Se pueden llamar así, y de hecho así es como se denominan, por ejemplo, en la obra de Telma B. de Nudler y Osear Nudler, Elementos de lógica simbólica?2 Los esquemas de inferencia, una vez que se transforman en proposiciones condicionales mediante cierta técnica especial, pueden ser pro bados conforme al método de las tablas de verdad, pero esto lo veremos después de estudiar otros tópicos, donde aparecerán nuevos ejemplos de tablas de equivalencias lógicas.

LAS LEYES DE DUALIDAD

Para seguir con la tarea de ilustrar el método del análisis veritativo funcional, cabe agregar los ejemplos de las famosas leyes de dualidad, designadas además con los nombres de 'teoremas de De Morgan'. En el catálogo expuesto, dichas leyes corresponden a las fórmulas 14a y 14b. Véanse ahora las tablas de ambas:

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Puesto que en varios lugares de parágrafos anteriores he ofrecido ex plicaciones acerca del análisis veritativo funcional, no hace falta señalar con todo detalle el modo como se construyen las tablas de las leyes de dualidad, pero conviene hacer algunas indicaciones tocantes a los mecanismos de la construcción de ambas tablas, y para ello es particularmente importante recordar la puntuación lógica y el modus operandi de los esquemas de sustitución. Así, respecto de la ley 14a, la conjunción p & q aparece entre paréntesis y está negada por el functor '-', cuya columna contiene valores iguales a los de la columna del operador v, el cual enlaza la negación de p con la negación de q. En razón de esta equivalencia, la columna correspondiente al functor del bicondicional, , contiene sólo Vs. El esquema analizado es, por lo tanto, una tautología. Pasando a la tabla de la ley 14b, en esta ley el functor '-', antepuesto a ( p v q ), tiene valores tales que son iguales a los valores de la conjunción &, que enlaza, a su vez, la negación de p, con la negación de q. También la fórmula 14b, en suma, es una tautología. En relación con el dato de que las leyes de dualidad son designadas además con el nombre de 'teoremas de De Morgan', cabe indicar que se llaman así en recuerdo del matemático y lógico Augustus De Morgan (1806-71), quien estableció dos leyes análogas para la lógica de clases. Pero el conocimiento de las leyes de dualidad, referido a las proposiciones, tiene antecedentes medievales. En efecto, ya Pedro His pano (circa 1205-77), las había enunciado, y Guillermo de Ockham (circa 1295/1300-1349/1350) volvió a enunciarlas. Por eso •Lukasiewicz puede afirmar que "las llamadas leyes de De Morgan fueron conocidas con mucha anterioridad a De Morgan"^

LA LLAMADA IMPLICACIÓN MATERIAL

Hasta una época relativamente reciente, cuando se hablaba de la lógica griega "se pensaba en la lógica peripatética, esto es, en la lógica de Aristóteles y de la escuela que él fundó en Atenas, el Liceo, pero en la etapa del Helenismo, que en términos aproximados abarca desde el año 300 a. C. hasta el advenimiento del Cristianismo, hubo otro gran florecimiento de la lógica en la corriente de los megáricos y estoicos, corriente que, para abreviar, puede ser designada con el nombre de lógica del Helenismo^'. Entre los representantes de esta escuela figuran Euclides (a quien no hay que confundir con el geómetra), Filón, Diodoro y Crisipo. Se acostumbra llamarlos 'dialécticos' o 'erísticos'. En la tradición griega, el nombre 'dialéctica' había tenido un uso proteico y tornadizo, como he indicado en otro lugar.34 Empero, lo que interesa aquí es que en la llamada 'dialéctica del Helenismo', la expresión incluye el aspecto de las anticipaciones de los megáricos y estoicos a la moderna lógica de enunciados. Existe una diferencia fundamental entre la lógica peripatética y la lógica del Helenismo, puesto que -como ha señalado Lukasiewicz - la primera es lógica de términos, en tanto que la segunda es lógica de proposiciones.35 El mismo Lukasiewicz ha dado un impulso muy poderoso a la historiografía de la lógica de enunciados. Entre los demás autores que han participado en la producción de ese tipo de historiografía, destaca Benson Mates, quien admite ampliamente su deuda con Lukasiewicz y adopta el mencionado señalamiento de éste, pero lo enriquece con dilucidaciones nuevas.36 Y también sobre el tema de la lógica del Helenismo, I.M. Bochenski nos brinda importantes datos y explicaciones en su libro imponente por el refinamiento técnico de su elaboración- A history offormal logic?1

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Entre los representantes de la lógica del Helenismo, hállase Filón de Megara, quien sostuvo una especial interpretación de las proposiciones compuestas donde se combinan un antecedente y un consecuente; interpretación que —como veremos en el momento oportuno— es igual a la que Whitehead y Russell, en los Principia, llamaron material implication; la denominaron así para distinguirla -según ellos- de otras formas de implicación, particularmente de la implicación formal. Esta última consiste -para servirme de las palabras de Rudolf Carnapen la relación lógica, esto es, en la relación entre A y B cuando B es la consecuencia lógica de A (the relation holding between A and B, when B is a logical consecuence o/Aj.38 En lo que atañe a la genealogía de la llamada 'implicación material', se acostumbra invocar los testimonios del principal doxógrafo de la escuela lógica del Helenismo, Sexto Empírico, quien atribuye a Filón de Megara el citado criterio sobre las proposiciones en las cuales aparecen un antecedente y un consecuente. Toda proposición que tiene esta forma -decía Filón- "resulta verdadera, a menos que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso". 39 Al respecto, Bochenski, después de glosar otro de los pasajes donde Sexto Empírico se refiere a Filón, señala que el contenido de ese pasaje nos ofrece una perfecta matriz veritativa que puede ser expuesta en la forma siguiente:


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El mismo Bochenski, refiriéndose a la tabla anterior, afirma que ésta "es la matriz veritativa de la implicación material" (the truth-value matrixfor material implicatiori).40

Se considera que algunos casos de la tabla del condicional filónico son fuentes de paradojas. Para ver por qué se consideran así, conviene acudir a la obra ya citada de Telma B. de Nudler y Osear Nudler. Se dice ahí que una proposición molecular de la forma q es claramente verdadera, primero, cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es verdadero. Resulta claro, asimismo, que q es falsa en caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso. "Quedan así justificadas las filas 1 y 3 de la tabla (véase la tabla del condicional). Lo que resulta insólito es que consideremos la proposición como verdadera cuando no se cumple el antecedente (filas 2 y 4 de la tabla)".41 Para el punto de vista del análisis veritativo funcional -se afirma en la misma obra- una proposición de la forma q resulta verdadera sólo porque no se da el caso de la fila 3; sólo por eso es verdadera, cualesquiera que sean las proposiciones puestas en sustitución de p y de q. Se ofrecen al respecto los ejemplos siguientes:

Si la tierra es un planeta, John Locke es un filósofo inglés. Si la tierra es una estrella, John Locke es un filósofo inglés. Si la tierra es una estrella, John Locke es un filósofo francés.42

Pero ¿existe un mundo del discurso en el que se usen expresiones del estilo de tales ejemplos? Sí, el mundo del teatro del absurdo. Supuestamente se quiere decir que para el punto de vista del análisis veritativo funcional, las proposiciones de los ejemplos puestos, pese a su notorio alejamiento del lenguaje ordinario, son verdaderas. El asunto se an-

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toja muy extraño, pues incluso en la obra donde aparecen las expresiones de los ejemplos mencionados, se dice que "no se considerarían verdaderas (aunque tampoco falsas) en el lenguaje ordinario".43 En vista de lo anterior, y para presentar el asunto en forma menos complicada, me serviré de un ejemplo del lenguaje ordinario, ejemplo tomado del texto del NCTM. Sea p la proposición simple 'hace calor' y sea q la proposición simple 'me marcho'. La proposición compuesta q es, pues, la siguiente: 'Si hace calor, me marcho'. Se trata de una proposición que sólo es falsa en el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso; por lo tanto, quien emite tal proposición no miente cuando la condición no se cumple y él se marcha, ni miente cuando la condición no se cumple y él no se marcha. "Su condición no se cumplió, luego su enunciado no le obliga a realizar acción alguna ni positiva ni negativa. Esto hace menos curioso que q sea verdadera incluso cuando p sea falsa".44 En el texto del NCTM el asunto se deja ahí, pero ¿es eso todo? Seguramente el asunto requiere un análisis más detenido. Supóngase de nuevo la pro posición del ejemplo, en la cual el antecedente p y el consecuente q se ligan mediante el operador . En esta proposición condicional, si el antecedente p no se cumple, la realización del consecuente q es potestativa. El antecedente p tiene el estatuto de condición suficiente, no necesaria para q. Y si p no se cumple, el enunciado q resulta verdadero, es decir, es verdadero, tanto si q es verdadera como si es falsa. Aquí es oportuno invocar un señalamiento que hace Quine en su famosa obra Los métodos de la lógica. Como afirma este autor al ocuparse del condicional filónico, "si el que resulta ser falso es el antecedente, en el lenguaje ordinario es como si no hubiésemos emitido la proposición condicional".45 En caso del incumplimiento del antecedente p, la realización del consecuente q es potestativa; quien emitió el enunciado puede actuar como quiera y no se hace acreedor al reproche de haber mentido, pero es como si no hubiese puesto la condición. En la proposición condicio-


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nal del ejemplo y en cualquiera otra cuyo antecedente sea falso, el condicional filónico se aleja de los usos del lenguaje ordinario; sucede así porque el sentido común no admite el nexo entre el antecedente y el consecuente sino en el supuesto de que el antecedente se cumpla. La lógica de enunciados, en cambio, no requiere tal supuesto. Como indica Evandro Agazzi, "en la lógica proposicional no se afirma el consecuente a condición de que se verifique el antecedente, sino que se acepta en bloque la proposición compuesta por medio de conectores y se intenta luego averiguar qué valores de verdad corresponden al conjunto, en función de los valores de verdad de sus componentes" . Ae

Procediendo así, tenemos que todo enunciado de la forma es verdadero, con tal de que el antecedente p sea falso o el consecuente q sea verdadero, habida cuenta de que toda disyunción a su vez resulta verdadera cuando al menos uno de sus elementos es verdadero. En razón de lo anterior, el condicional filónico se define conforme al esquema

Los valores veritativos del definiendum son iguales a los valores veritativos del definiens, como lo muestra la tabla siguiente:

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José Herrer a Madrigal

Así, la tabla parcial de

es igual que la tabla parcial de tienen la misma tabla; por lo tanto, en la columna de aparecen sólo Vs. En suma, desde el punto de vista veritativo funcional, la expuesta definición del condicional filónico, simbolizado por , es rigurosamente exacta, no obstante las perplejidades que algunos casos de su tabla producen al sentido común. La confusión respecto al condicional filónico proviene -según Quinede que varios autores, al presentar el esquema afirman que se lee así: p implica q. Y dado que para la verdad de este esquema sólo se requiere que el antecedente sea interpretado como falso o el consecuente como verdadero, se declara en tono de paradoja: "toda proposición falsa implica cualquier proposición" y "toda proposición verdadera es implicada por cualquier proposición". A lo sumo, cabe adoptar la expresión 'si...entonces...,' como lectura del esquemí , pero resulta incorrecto leerlo como p implica q.47 En la presente coyuntura es imprescindible explicar la distinción entre el uso y la mención de los signos, más concretamente, de los nombres en lenguaje castellano. Un nombre usado es un nombre de aquello que el nombre designa. Un nombre mencionado es un nombre de sí mismo» Así, en la proposición: Antonio es oriundo de la ciudad de Torreón (1) el nombre 'Antonio' se refiere a alguien así llamado, mientras que en la expresión 'Antonio' tiene siete letras (2) el nombre 'Antonio' se refiere a sí mismo. En (1) el nombre 'Antonio' es usado; en (2) es mencionado, esto es, en (2) se habla de la palabra 'Antonio', se alude a ella. Cuando una palabra es mencionada -indica Ferrater Mora en su Diccionario de filosofía- se coloca entre

Lógica de Enunciados------------------------------------------------------------ 75

semicomillas. Se acostumbra distinguir entre las semicomillas, que se escriben para mencionar nombres, y las comillas ordinarias, mediante las cuales citamos un texto o enfatizamos una locución. 48 El lenguaje contiene expresiones que sirven de nexos entre nombres. Ejemplos de estos nexos son '...rima con...' e '...implica...' Así, en la última estrofa del bello soneto de Manuel José Othón, Una estepa del Nazas, la palabra 'bellota' rima con la palabra 'nota1. La expresión '...rima con...' se inserta, pues, entre nombres, y lo mismo sucede respecto a la inflexión verbal 'implica'. El hábito de llamar implicación al signo ha sido impugnado por algunos autores, señaladamente por Quine. En la bibliografía sobre la llamada implicación material -argumenta Quine- el esquema q se lee como p implica q, pero quienes lo leen así no se percatan de que '... implica...' se inserta entre nombres de enunciados, mientras que se inserta entre enunciados o esquemas de enunciados. Otro de los autores que se ocupan del mismo tópico es Manuel Sacristán, en cuya obra, Introducción a la lógica y al análisis formal, aparecen algunos pasajes que hacen recordar la crítica de Quine en contra del hábito de llamar 'implicación' al condicional filónico. En efecto, según Sacristán, "el condicional puede confundirse con la implicación, que es la relación por la cual un enunciado contiene ya a otro u otros, como, por ejemplo, a es mayor que b contiene a b es menor que a". Y cuando se trata de tal relación -continúa Sacristán-"ciertamente no está justificado decir que un enunciado falso implica otro verdadero". Para el mismo autor, "la implicación se escribe entre nom bres de enunciados o de conjuntos de enunciados".49 Por ejemplo, 'el teorema de Pitágoras' es el nombre de un enunciado geométrico, en tanto que 'los axiomas de la geometría euclídea' es el nombre de un conjunto de enunciados. La relación entre los dos nombres se expresa, pues, así: 'los axiomas de la geometría euclídea' implican el 'teorema de Pitágoras'. Y el mismo tratadista, refiriéndose al símbolo del condicional, , dice que este símbolo, en cambio, "no se inser-

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ta entre nombres de enunciados, sino entre enunciados".50 Al respecto, Sacristán pone el ejemplo de la proposición siguiente: Si Juan viene, Luis se marcha, que puede ser verdadera aunque el antecedente no se cumpla, pero no se justifica decir que en semejante proposición el antecedente implica el consecuente, pues la conexión entre uno y otro no es de tipo lógico formal. Sacristán afirma que si bien "toda implicación lógica es expresable mediante un condicional, en cambio no todo condicional es una implicación".51 Aquí es oportuno aludir de nuevo a Ferrater Mora, quien sostiene que la expresión 'implica' [...] debe restringirse a los casos en los cuales el condicional es lógicamente verdadero".52 Sacristán y Ferrater identifican, pues, la implicación con las relaciones de carácter lógico formal. En lo anterior he tratado de exponer los puntos esenciales de las críticas en contra del hábito de emplear la expresión '...implica...' como sinónimo del condicional filónico. En otros textos de lógica matemática, señaladamente en los dos ya citados libros de Copi, se admiten varios tipos de implicación, todos con el denominador común del condicional En esto hay un malentendido, pues la única implicación propiamente dicha es la implicación en sentido lógico formal. Al respecto es necesario agregar algunas aclaraciones. Supóngase el enunciado: Si un cuerpo se somete a la acción del calor, el cuerpo se dilata. El anterior enunciado es la expresión más simple, en forma no cuantitativa, de la ley térmica de la dilatación de los cuerpos. En esta ley el consecuente no es formaliter deducible del antecedente. Las leyes científicas naturales como las del ejemplo son enunciados condicionales, pero no son implicaciones propiamente dichas.

Lógica de Enunciados Enunciados -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 77

Otros autores han estudiando el asunto de las llamadas 'paradojas de la implicación material', pero aquí no puedo ocuparme de ellos; en todo caso, me parece válida la propuesta de abstenerse de llamar 'implicación' al condicional filónico.

LA TRANSFORMACIÓN DE LOS ESQUEMAS DE INFERENCIA

Hasta ahora hemos visto el método de las tablas aplicado a los esquemas de sustitución. Para poder aplicarlo a esquemas de inferencia, éstos tienen que ser previamente transformados en proposiciones condicionales mediante una técnica especial que señalan los tratadistas, por ejemplo Copi, en cuya obra, Introducción a la lógica, leemos: "A todo razonamiento le corresponde un enunciado condicional en el que el antecedente está formado por la conjunción de las premisas, mientras que el consecuente es la conclusión".54 Las tres primeras leyes

del catálogo expuesto son los principales tropos o modos de raciocinio silogísticos construidos por los estoicos, aunque esos tropos, es pecialmente el modus ponendo ponens, venían usándose desde mucho antes en la geometría griega. Parece que fue hasta el siglo XVII cuando se comenzó a designarlos con expresiones latinas. 55 En todo caso, se puede asegurar que son los principales tropos de la silogística elaborada por los estoicos, quienes -como señala Lukasiewicz con todo acierto- son los progenitores de la lógica de enunciados o lógica proposicional. Sobre la distinción entre el silogismo estoico y el silogismo peripatético, el mismo Lukasiewicz hace observaciones nítidas y certeras a las cuales me remito.56 Para ilustrar la técnica de que se trata, emplearé dos ejemplos, correspondientes al modus ponendo ponens ('mp') y al modus tollendo tollens ('mt'). Estos modos se transforman, mediante los condicionales asociados a ellos, en los esquemas preposicionales que aparecen a continuación:

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Y como veremos, ambos esquemas pueden ser analizados conforme al método de las tablas de verdad.

MAS TABLAS

Cuando los esquemas del 'mp' y el 'mt' han adoptado sus formas condicionales mediante la técnica ya explicada, se prueban conforme a las tablas siguientes:

La tabla del lado izquierdo corresponde al 'mp' transformado en un esquema proposicional. No es necesario explicar el análisis en todos sus detalles, por lo que bastará limitarnos a los últimos pasos del mismo . Los valores del antecedente, integrado por la conjunción de las premisas, se obtuvieron en la columna de &, mientras que los valores del consecuente de todo el esquema se obtuvieron en la columna de la conclusión q. Pues bien, al hacer el registro de las combinaciones de los valores así obtenidos, no hay un sólo caso en el que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso; por lo tanto, en la columna del condicional asociado aparecen sólo Vs, lo cual prueba que el esquema analizado es una tautología. La tabla del lado derecho prueba, en fin, la conversión del 'mt' en su respectivo esquema tautológico.

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Considérense ahora los esquemas siguientes:

Los esquemas (1) y (2), que tienen parecido superficial con las formas del 'mp' y el 'mt\ respectivamente, no son válidos. Ambos han recibido sus especiales nombres. El esquema (1) se denomina 'la falacia de afirmar el consecuente', y el esquema (2) se denomina' la falacia de negar el antecedente'.57 Si se hace la tabla de la fórmula (1), la columna del functor principal, esto es, del condicional asociado, exhibe los valores V, F, V y V, lo cual significa que la fórmula no es tautológica y, por ende, no es una forma de raciocinio válida. Análogamente, si se construye la tabla de la fórmula (2), resulta, en suma, que tampoco esta fórmula es lógicamente válida. Las tres primeras leyes del catálogo expuesto son los principales silogismos de los estoicos, y entre los restantes esquemas de inferencia anotados en el mismo catálogo se encuentra la ley del silogismo hipotético, en siglas, sh,cuya tabla es un ejemplo muy socorrido para ilustrar el caso de las tablas de esquemas lógicos que contienen tres variables. Antes de exponer esa tabla es necesario tener presente la regla que se expresa en la fórmula 2n, donde -como hemos visto- 2 representa el número de valores de verdad, mientras que n representa el número de variables enunciativas. Conforme a esta regla se determina el número de las filas de cada tabla, en las cuales aparecen las combinaciones de los valores veritativos. Para la tabla del esquema condicional 'sh' se requieren, pues, ocho filas de valores veritativos, como vemos enseguida:


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Puesto que ahora el esquema contiene tres variables p, q y r, a cada una le corresponden cuatro veces V y cuatro veces F, distribuidas en el orden que muestran las columnas de esas variables. El antecedente de toda la fórmula es la conjunción de las premisas en tanto que la conclusión es el consecuente. En la columna de & se anotan, pues, los valores de la conjunción de las premisas, y en la columna del functor , que representa el nexo de la variable p con la variable r, se anotan los valores de la conclusión. Al confrontar los valores de esas columnas, ninguna vez ocurre el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso. El esquema es tautológico y, eo ipso, es lógicamente verdadero. El uso de las tablas es un método seguro para efectuar el análisis veritativo funcional, ya que permite constatar, de manera enteramente mecánica y por medio de una sucesión finita de anotaciones, la distinción entre enunciados tautológicos, contradictorios y contingentes, pero

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dicho método tiene la seria limitación de que prácticamente no es aplicable a los argumentos extensos, puesto que, de acuerdo con la regla 2™, a medida que aumenta n aumentan las filas correspondientes a las combinaciones de los valores veritativos, lo cual hace que la construcción de las tablas resulte cada vez más difícil y tediosa. Por eso se introduce el método demostrativo, mismo que veremos a continuación.

EL MÉTODO DEMOSTRATIVO

El método de las tablas es adecuado para probar argumentos que contienen uno, dos e incluso, a lo sumo, tres enunciados elementales constituyentes; más allá de este límite se abandona el uso de tablas y se sustituye por el método demostrativo, que tiende a obtener la llamada 'prueba formal de validez de argumentos extensos1, prueba que consiste -como apunta Copi- en tratar de encontrar, por vía deductiva, los nexos entre las premisas de un argumento determinado y la conclusión del mismo, empleando para ello una serie de razonamientos más breves cuya validez ya se conoce de antemano.58 El método demostrativo puede resultar altamente complicado, pero me limitaré a presentar sus aspectos más accesibles. He aquí un argumento que servirá para ejemplificarlo: Si Fernando concluye temprano su trabajo en la oficina, asiste al club, y si Teresa concluye tem prano sus tareas escolares, lee cuentos; ahora bien, Fernando concluye temprano su trabajo en la oficina o Teresa concluye temprano sus tareas escolares; por lo tanto, Fernando asiste al club o Teresa lee cuentos. Cualquier lector que venga siguiendo con atención el hilo del presente trabajo, se ha dado cuenta de que el anterior ejemplo es un caso de uno de los esquemas que figuran en nuestro catálogo, la ley 5, tradicionalmente designada con el nombre de 'dilema constructivo', en siglas, 'de'. Pues bien, para aplicar el método demostrativo al argumento del 'de', se empieza por dividir este argumento en sus enunciados elementales componentes, de la manera que se indica luego:

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A. Femando concluye temprano su trabajo en la oficina B. Fernando asiste al club C. Teresa concluye temprano sus tareas escolares D. Teresa lee cuentos Se trata de ofrecer, pues, la prueba formal de validez del 'de', prueba que además permitirá señalar el contraste entre el método de las ta blas y el método demostrativo. Los enunciados constituyentes del argumento del ejemplo son cuatro, de manera que para probarlo con el primer método -teniendo en cuenta la regla 2n- se hubiera requerido una tabla con 16 filas de combinaciones de valores de verdad. Son demasiadas, y por eso, en lugar de construir semejante tabla, aplicamos en cambio la técnica más breve y cómoda del método demostrativo. Una vez que el argumento se dividió del modo señalado, cada pro posición elemental se sustituye por su letra correspondiente y se introducen los símbolos de los operadores. Además, empléase un signo convencional que puede ser el cual sólo sirve para marcar la separación de las premisas respecto de la conclusión. El formato del argumento queda, pues, así:

Ahora la tarea es probar cómo a partir de las premisas se deduce la conclusión.. Para ello se vuelve a escribir el formato del argumento y se buscan los pasos justificatorios que consisten -como he dicho- en una cadena de razonamientos más breves y elementales cuya validez ya se conoce de antemano. La demostración anunciada es como se indica luego:


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Los renglones 3 y subsiguientes de la columna del lado izquierdo contienen los pasos justificatorios de la demostración. La columna del lado derecho no forma parte del proceso demostrativo, pero sirve de ayuda o de apoyo a este proceso, y por ello conviene incluirla siempre. En algunos casos el paso justificatorio consiste sólo en la sustitución de un enunciado por otro equivalente. Así, de 1 se obtiene 3 por sustitución, en virtud de una conmutación, designada mediante su abreviatura. La ley aplicada en cada caso es fácilmente identificable, habida cuenta de que se conocen las abreviaturas dadas en nuestro catálogo. Es importante destacar que cualquier ejemplo de sustitución de una equivalencia tautológica es un esquema válido. Así, en la definición del condicional,

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se puede sustituir p por -A y q por C, de donde resulta

y por doble negación, tenemos

Ahora bien, las fórmulas que flanquean al bicondicional son inter cambiables, por lo que en la demostración aludida, el paso 4 se justi fica, ya que A v C, a su vez, se sustituye por También cualquier ejemplo de sustitución de un esquema inferencial válido es un esquema válido. Así, en el 'sh’,

p, q y r pueden sustituirse por -A, C y D, respectivamente, de donde resulta

Por eso, en la prueba de que se trata, 6 se deduce válidamente de 4 y 5. Con las anteriores explicaciones acerca de la "columna de ayuda", pueden entenderse sin dificultad los demás datos de la misma. Y en general la estrategia de la prueba del argumento del ejemplo puede servir de modelo para las demostraciones que veremos más adelante.


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Ahora llega el momento de señalar por qué en la exposición anterior se eligió precisamente el ejemplo del 'de’. Esta forma de razonamiento no sólo ha servido para ilustrar el método demostrativo, sino que además puede aprovecharse para ilustrar el convenio citado en los pasajes donde se analizaron las dos versiones de la disyunción. Como se dijo ahí, la partícula 'o’ es ambigua en castellano y en otros idiomas, puesto que se usa en sentido fuerte y en sentido débil. ¿Cuál de ambos tiene esa partícula cuando aparece dentro de argumentos construidos en el lenguaje ordinario, correspondientes al 'de'? Puede suceder que no se cuente con la información necesaria para eliminar la ambigüedad de la partícula 'o’, en cuyo caso la cuestión permanecerá indefinidamente sin respuesta. Semejante cuestión no preocupa, em pero, a los tratadistas de lógica matemática, quienes adoptan dicho convenio, en forma expresa o tácita, y hacen la simplificación que permite usar sólo el functor de la disyunción débil y eliminar el de la disyunción fuerte. Aquí es oportuno retomar el problema de la justificación del convenio. Pues bien, para que la disyunción -en cualesquiera de sus dos versiones- sea verdadera tiene que cumplir un requisito mínimo, el cual consiste -como hemos visto- en que al menos uno de los elementos componentes de la disyunción sea verdadero. El convenio se justifica porque la disyunción débil, simbolizada por la cuña v, satisface dicho requisito mínimo, y afirma que al menos uno de los enunciados atómicos es verdadero, dejando abierta la posibilidad de que sean verdaderos ambos. La lógica de enunciados adopta fundadamente el convenio de que se trata, ya que éste funciona de manera válida en la demostración del 'de', y asimismo es válido para todos los esquemas que figuran en nuestro catálogo y contienen disyunciones. Después de la digresión anterior, suscitada por la pertinencia de completar las aclaraciones respecto a las dos versiones de la disyunción, prosigamos con el tópico de la prueba formal de validez para argumentos extensos. En lo sucesivo, los ejemplos de estos argumentos aparecerán sólo en el lenguaje simbólico. Para servirme de las palabras

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de José Antonio Arnaz, "la demostración formal de la validez de un argumento se hace exclusivamente analizando su forma e indicando las leyes lógicas que justifican las conclusiones". Así pues, habida

cuenta de que la "la columna de ayuda" no es, en rigor, parte integrante de los argumentos mismos, "se pueden hacer demostraciones formales de argumentos expresados únicamente en lenguaje simbólico".59 Supóngase que las letras D, E, F, G, H e I representan los enunciados elementales constituyentes de un argumento. El formato del mismo y de su prueba son así:


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Conforme a la fórmula 2n, la prueba del argumento anterior hubiese requerido una tabla de 64 filas de combinaciones de valores; en cam bio, recurriendo al método demostrativo, la prueba se obtuvo con apoyo en algunos cuantos esquemas lógicos elementales. Asimismo, conviene explicar en qué consisten esencialmente dos variedades especiales del método demostrativo, designadas con los nombres de 'prueba condicional1 y 'prueba indirecta' o 'método de reducción al absurdo'. Aunque la segunda de estas vías es un caso de la primera, cada una tiene sus características peculiares, y por eso se acostumbra presentarlas por separado y asignarles nombres distintos. En la presente exposición, por su misma elementalidad, no cabe entrar en los detalles complicados de los dispositivos que pueden em plearse para ampliar dichas pruebas, pero veamos lo más relevante de ambas. La prueba condicional, en siglas, 'pe', facilita considerablemente la demostración de argumentos extensos cuyas conclusiones sean enun ciados de la forma . Siempre que se quiera probar tales ar gumentos -dice Suppes- "la mejor estrategia es el uso de la prueba condicional".60 Para entender el modus operandi de la 'pe' es necesario te ner presente la ley de exportación, esto es, la ley 16 de nues tro catálogo, y asimismo es necesario recordar la técnica del condicional asociado, expuesta en un lugar anterior, donde ya he señalado, siguiendo a Copi, que todo argumento puede expresarse mediante un enunciado condicional en el que la conjunción de las premisas es el antecedente, mientras que el consecuente del mismo enunciado es la conclusión.61 Ahora cabe citar de nuevo a Copi, quien afirma que "wn argumento es válido si y sólo si su condicional asociado es una tautología".62 Pues bien, cuan-

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do tenemos un argumento compuesto por una serie de premisa P y la conclusión resulta que

es equivalente, por ley de exportación, al argumento

El argumento 2 contiene todas las premisas de 1 más una premisa que es el antecedente de la conclusión de 1, mientras que la nueva conclusión es el consecuente de la conclusión de 1. Una vez asentado lo anterior, veremos el ejemplo de un argumento, incluyendo la demostración de su validez mediante la 'pe1. El ejem plo es como sigue:


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En 5 se introduce la 'pe', pues J es la premisa que se agrega y N es la nueva conclusión. Los pasos de 6 en adelante se justifican en las leyes que se indican en la columna de ayuda. En los renglones que siguen veremos también lo más elemental de otro procedimiento demostrativo, a saber, la llamada 'prueba indirecta', igualmente designada con el nombre de 'método de reducción al absurdo'. Aquí usaré el segundo nombre, en siglas, 'maab'. Este procedimiento es un caso particular de la 'pe', como se verá mediante el ejem plo que emplearé para ilustrarlo. La 'pe' es una invención relativamente reciente, pues a juzgar por un dato de Suppes, "en 1929, Alfredo Tarski demostró en forma explícita y por primera vez que la regla de la prue ba condicional es una regla válida de inferencia".63 El 'maab', en cam bio, tiene raíces vetustas, ya que fue usado en la obra de Euclides, la cual -para servirme de las palabras de Farrington- "es una de las más famosas en la historia del mundo".64 Se trata de la obra que contiene los más importantes desarrollos del pensamiento matemático griego, recopilados y ampliados por Euclides. En tal obra se intenta probar indirectamente un teorema cuando para ello se introduce por hipótesis o ex hypothesi, un enunciado opuesto a la conclusión del presunto teorema, y si en el curso de los raciocinios aparece una contradicción, la hipótesis es falsa, de donde resulta verdadero lo contrario de la hipótesis: el teorema del caso. El mismo método puede usarse de manera análoga en la lógica de enunciados. Veremos el ejemplo de otro argumento y de su prueba de validez, aplicando ahora la prueba indirecta del 'maab'.

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El ejemplo es el siguiente:

En 5 se introduce el 'maab'. El enunciado del paso 11 es una contradicción y, por lo tanto, garantiza en forma indirecta la validez del argumento analizado. El 'maab' es un caso particular de la 'pe', pues la premisa adicional que se introduce ex hypothesi -la negación de la conclusión del argumento- es la condición de la prueba indirecta del mismo.

LA PRUEBA DE INVALIDEZ

El método de las tablas, por la razón ya expuesta, es prácticamente ino perante para argumentos extensos, y de ahí que la lógica de enunciados recurra al método demostrativo, que tiene grandes ventajas en la medida en que es capaz de remediar dicha insuficiencia de la técnica de las tablas, pero puede suceder que resulten fallidos los intentos de probar un argumento dado. Cuando así sucede, de ello no se sigue que el argumento en cuestión sea inválido; acaso es válido, aunque su prue ba no se obtuvo, tal vez por falta de capacidad o de entrenamiento para lograr el proceso deductivo adecuado, o porque no se realizaron bastantes esfuerzos para lograrlo. Es posible, pues, que la prueba buscada resulte fallida porque el método demostrativo no fue usado de manera correcta, pero puede suceder que el argumento, sea inválido, en cuyo caso -como afirma Suppes- "continuaríamos interminablemente, tratando de encontrar una deducción válida". Y refiriéndose al caso en el que un argumento parece refractario a la prueba formal de validez, agrega: "En ningún momento sería posible decidir necesariamente que el argumento es inválido, mediante un uso paulatino de nuevas premisas, implicaciones tautológicas y condicionalizaciones".65 Ahora bien, este inconveniente del método demostrativo puede ser superado, a su vez, recurriendo a la llamada 'prueba de invalidez', en siglas, 'pdi'. Para ilustrarla, sea el argumento

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En la 'pdi', el método de las tablas empléase de manera especial, ya que presupone la técnica del condicional asociado al argumento res pectivo. En efecto, mediante esta técnica la 'pdi' empieza por tranformar el argumento del ejemplo en el siguiente esquema condicional:

En tal fórmula, el antecedente está compuesto por las premisas com binadas mediante conjunciones, mientras que el consecuente de la misma fórmula es la conclusión. La 'pdi', como su nombre lo indica, asume que el argumento es inválido, lo cual, habida cuenta de la tabla del condicional, requiere que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso. Hagamos, pues, la suposición de que el argumento es inválido, asignando por lo pronto Fs a los miembros de la conclusión. Asimismo, y como suponemos la verdad del antecedente, asignemos V a cada premisa. En la primera, puesto que ya hemos asignado F a W, hay que asignar V a X. Pasando a la segunda premisa, tenemos que asignar V a Y, puesto que ya hemos asignado V a X. Por último, dado que ya hemos asignado V a Y y F a Z, tenemos que asignar estos mismos valores a los miembros de la disyunción de la tercera premisa. En razón de tales asignaciones de valores, se prueba que el argumento es inválido. Una proposición condicional, de acuerdo con la definición de ----- ► , es falsa cuando su tabla contiene por lo menos un renglón en el que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso. Pues bien, cuando se asignaron valores a los enunciados del argumento del ejemplo, lo que se hizo no fue otra cosa que encontrar un renglón así, y ello bastó para demostrar la invalidez del argumento, sin construir la tabla completa.

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En la 'pdi' se usa, pues, el método abreviado de las tablas de verdad. Cuando el argumento contiene muchas premisas que por añadidura son de suyo complicadas, puede haber necesidad de efectuar varios "tanteos", encaminados a encontrar las adecuadas asignaciones de valores; pero en todo caso se trata de un método mucho más breve y cómodo que construir la tabla completa.66

LA NOTACIÓN POLACA

En relación con el tópico del que ahora voy a ocuparme, hay que acudir a Ferrater Mora, quien señala que la escuela clásica de la lógica polaca se denomina 'Circulo de Varsovia -Lwow'67 Entre los miem bros del 'Círrculo V-L' figuraron Jan Lukasiewicz y su eminente colega Alfredo Tarski. Sin entrar aquí en una mayor información sobre esta famosa escuela, interesa señalar concretamente que el primero de tales autores inventó la notación que lleva su nombre, 'notación de Lukasiewicz ', misma que además es designada con el rótulo de 'notación polaca'. El uso del simbolismo de Lukasiewicz es un rasgo tí pico de la lógica matemática elaborada en Polonia, antes de la Segunda Guerra Mundial, mientras que en otras latitudes, tal simbolismo casi no se ha usado ni se usa. No obstante, se acostumbra incluirlo en el cuadro de las notaciones clásicas y, por lo tanto, es universal y en principio puede ser usado. En fin, aparte de los tratadistas polacos, de hecho algunos autores, tales como Alan Ross Anderson68 y Roberto José Vernengo,69 han usado el simbolismo de que se trata, con la particularidad de que ambos lo aplicaron a la lógica deóntica. Ahora bien, aunque la notación polaca, exceptis excipiendis, no se emplea, considero que es digna de estudio y de difusión, no sólo por sus méritos intrínsecos de originalidad y exactitud, sino además porque aparecen obras del 'Círculo V-L', traducidas al inglés o bien a otros idiomas, en las cuales las fórmulas de la notación aludida se mantienen. El conocimiento de la misma puede servir para el aprovechamiento de las traducciones de obras de los grandes lógicos polacos. Algunos autores, no obstante que emplean notaciones distintas de la inventada por Lukasiewicz , hacen referencias a esta notación,

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acompañadas de aclaraciones y comentarios. Aquí me permitiré hacer algo semejante, glosando, en los lugares adecuados, los pasajes más relevantes de las explicaciones que el eminente lógico polaco ofrece al respecto, en su excelente obra, Aristotle's syllogistic. From the standopoint of modern formal logic. Con la exposición de este tópico daré por terminado el presente trabajo. En la notación polaca, lo primero que llama la atención es que sus fórmulas contienen signos puramente alfabéticos, pero lo más importante de la misma consiste sobre todo en que está totalmente exenta de paréntesis. Se trata de un simbolismo muy elogiado, ya que su modus operandi, no obstante la eliminación de los paréntesis, permite una lectura completamente inequívoca de las fórmulas. En la notación polaca, los esquemas de las funciones veritativas son:

Me permito señalar que todas las otras notaciones, en cambio, son mixtas, en el sentido de que incluyen signos alfabéticos y no alfabéticos. Los esquemas de la notación polaca, traducidos a nuestra notación mixta, corresponden, por su orden, a las fórmulas:


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Lukasiewicz nos informa sobre su notación y dice que en las fórmulas de la misma, las letras mayúsculas representan los functores. Además dice que las variables proposicionales se designan por medio de las letras p, q, r... (I denote propositional variables byp, q, r...).10 Y dadas las correspondencias entre la notación polaca y nuestra notación mixta, tenemos las indicaciones siguientes:

Np

se lee no p Kpq se

lee p y q Apq se lee p o q Cpq se lee si p, q Epq se lee p si y sólo si q En el curso del presente trabajo, he designado con los nombres de 'enunciados' o 'proposiciones' a las expresiones declarativas que pueden ser verdaderas o falsas, mientras que Lukasiewicz les asigna a tales expresiones el nombre de 'argumentos'. La notación polaca tiene, pues, la relevante característica de que permite prescindir de los paréntesis. "El principio de mi notación -afirma Lukasiewicz- está en escribir los functores antes de los argumentos (to write the functors befare the arguments). Así puedo evitar paréntesis. Este simbolismo [...] que inventé y he utilizado en mis escritos lógicos desde 1929, puede ser aplicado lo mismo a las matemáticas que a la lógica".71 Una vez expuestas las anteriores generalidades de la notación polaca, hay que ver ahora más de cerca el funcionamiento de la misma. "Consideremos -dice •Lukasiewicz- la expresión (the expression) Cpq,

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la cual significa que si p, entonces q, y se denomina implicación (it is 72 callea implication)". En vista de la confrontación entre la notación puramente alfabética de -Lukasiewicz y nuestra notación mixta, el símbolo C de la fórmula Cpq corresponde a , pero recuérdese que es un error tomar este signo como si fuese sinónimo de 'implica', y la misma objeción se puede hacer, mutatis mutandis, al dictum de -Lukasiewicz en el sentido de que "C is called implication".

Se trata de un malentendido, habida cuenta de las críticas de algunos autores -señaladamente de Quine- en contra del hábito de llamar 'implicación' al condicional filónico; críticas que ya he expuesto en otro lugar al que ahora me remito.73 Pero prosigamos con el tópico de la notación polaca. En Cpq, el functor C, representa el nexo del antecedente p y el consecuente q. Lukasiewicz desarrolla luego una explicación sobre la manera como su simbolismo puede emplearse para expresar una fórmula de una ley lógica. Se trata de la fórmula CCpqCCqrCpr que see lee Si ( si p, entonces q ), entonces [si ( si q, entonces r ), entonces (si p, entonces r)]. Más adelante, Lukasiewicz volverá al ejemplo CCpqCCqrCpr y agregará otro ejemplo, a saber, CCKpqrCKNrqNp. Para explicar am bos esquemas, usará paréntesis provisionales, los cuales ayudarán a entender el modo en que se agrupan los argumentos constituyentes de las fórmulas. Sirviéndome de una analogía, así como en el trabajo ar-


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quitectónico se usan andamios, asi -Lukasiewicz ejemplifica su notación mediante fórmulas que tienen el andamiaje de paréntesis accesorios a las mismas. Esta puntuación accesoria es el soporte de las explicaciones respecto a la notación de que se trata. Para entender el esquema CCpqCCqrCpr, se requiere tener presente que C es functor de los dos argumentos proposicioriales (two propositional arguments) que vienen inmediatamente después de C, formando junto con C una nueva expresión preposicional compuesta. Así son las expresiones Cpq, Cqr y Cpr, que vemos en el esquema de la ley del ejemplo.74 -Lukasiewicz introduce paréntesis en el mismo esquema, de manera que éste adopta la forma siguiente:

C(Cpq)C(Cqr)(Cpr) Como se puede ver ahora, (Cpq) es el antecedente de la fórmula com pleta, mientras que la parte restante, esto es, C(Cqr) (Cpr) es el consecuente, en el entendido de que el consecuente, a su vez, está compuesto por (Cqr) como antecedente y (Cpr) como consecuente. Lukasiewicz señala que el procedimiento expuesto se puede aplicar a todas las demás expresiones lógicas, y para brindar otro ejemplo del mismo procedimiento, ofrece ahora un esquema en el cual además de C, intervienen N y K. He aquí el nuevo ejemplo:

CCKpqrCKNrqNp Ya se sabe que K, al igual que C, es un functor diádico, mientras que N es un functor monádico. Usando diferentes clases de paréntesis,

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se obtiene la expresión

C [C(Kpq)r] {C[ K(Nr)q] (Np)} donde [C(Kpq)r] es el antecedente, mientras que la parte encerrada entre las llaves, {C [K (Nr) q] (Np)},-es el consecuente, y dentro de éste, la conjunción [K (Nr) q] es el antecedente, en tanto que la negación (Np) es el consecuente.75 También ahora los paréntesis cumplen un oficio meramente didáctico: se introducen de manera provisional, para indicar cómo funciona la notación notació n de que se trata. Empero, una vez desmontado el andamiaje de los paréntesis, las fórmulas de los ejemplos usados en cada caso se sostienen por sí mismas. Y como lo había anunciado, con la exposición del tópico de la notación polaca, cierro el presente trabajo.

REFERENCIAS Y NOTAS 1

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Joaquín Escriche, Diccionario razonado razonad o de legislación y juris j uris prude pru denci ncia, a, nueva edición, editado por Filiberto Cárdenas, Madrid, 1873, p. 1167. 3

Georg Henrik von Wright, An essay essay in deontic logic and the the ge No rthh-Hol Holla land nd Publ Pu blish ishin ingg Comp C ompany any,, AmsA msneral theory of action, Nort terdam, 1965, cap. 1, p. 11, nota 1. En esta nota, dice von Wright: "The ñame 'déontic logic' was suggested to me in 1951 by C.D. Broad. 'Deontic' is a derivationfrom the Greek verbs Séona^i ('to bind1) and 5ew ('ought'). Bentham used 'deontology' as ñame of "the science of

morality". Mally, a pioneer of the formal logical study of normative concepts, uses the term 'Deontik'." En efecto, Ernst Mally usó el tér mino 'Deontik' en Grundgesetze des Sollens. Elemente der Logik des Willens, Leuschner & Lubensky, Graz, 1926. Con todo, los estudios de lógica deóntica se difundieron a partir del famoso escrito de von Wright, "Deontic logic", publicado en Mind, Vol. LX, núm. 237, ene ro de 1951, pp. 1-15.

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José Herrera Herre ra Madrigal Madriga l

4

Joaquín Escriche, loe. cit. Ahí se indica que las leyes pueden ser de tenor imperativo, prohibitivo y facultativo. Cf. Dagfinn F0llesdal y Risto Hilpinen, "Deontic logic: an introduction", en Deontic logic: introductory and systematic readings, editado por Risto Hilpinen, D. Reidel Publishing Co. / Bolzano's Dordrecht, Holland, 1971, p. 1. Se lee ahí: "/« accordance with Bolzano and Quine' s definition of logical truth, deontic logic can be defined as the study ofthose sentences in which only logical words and normative expressions occur essentially. Normative expressions expressions include include the words words obligation, obligation, duty, duty, permission, permission, right, and related expressions. These expressions may be termed deontic words, and sentences involving them the deontic sentences..." 5

José Ferrater Mora y Hugues Leblanc, Lógica matemática, mat emática, 3a. ed., FCE, México-Buenos Aires, 1965, II, 7, p. 26. 6

Alfredo Deaño, Introducción a la l a lógica formal, 2a. ed., Alian za Universidad, Madrid, I975,passi I975, passim. m. 7

Patrick Suppes, Intr In trod oduc ucció ción n a la lógi ló gica ca simbó si mbóli lica ca,, trad. de Gabriel Aguirre Carrasco, CECSA, México, 1966, parte I, 1.6 p. 36. 8

M. T. Cicerón, "Tusculanorum quaestionum ad M. Brutus", I, VII, en M. Tull Tu ll Cice Ci cero roni nis, s, Oper Op era a omni om nia, a, edición de J. A. Amar, Bibliopolam Lefevre, tomo XV, París, MDCCCXXIV. 9

L. Rubio, Introducci Intr oducción ón a la sintaxi si ntaxiss estructu estr uctural ral del d el latín la tín (Co lección Convivium, núm. 4), Ariel, Barcelona, 1976, Vol. n, cap. V, 3a. parte, pp. 191 y ss. Ahí se ofrecen ejemplos de la reiteración de partículas disyuntivas disyunt ivas con arreglo a la l a figura del polisíndenton. poli síndenton. 10 11

Vid. Digesto, 1.1 pr., de reb. cred. 27, 9 (Ulpiano).

Irving M. Copi, Introduc Introducción ción a la lógica, lógica, trad. de Néstor Míguez, 6a. ed., EUDEBA, Buenos Aires, 1968, 2a. parte, cap. VIH, II, p. 222 (el subrayado es de Copi). En el mismo sentido, Alice Ambrose y Morris Lazerowitz, Fundamentos de lógica simbólica, trad. de Fran cisco González Aramburo, UNAM, México', 1968, cap. III, 12, p. 40.

Lógica de Enunciados 12

117

Patrick Suppes, op. cit., p. 29.

13

Irving M. Copi, op. cit., p. 223 (los subrayados son de Copi). En el mismo sentido, Copi., Lógica simbólica, trad. de Andrés Sestier Bouclier, CECSA, México, 1979, cap. II, p. 26. 14

Patrick Suppes, op. cit., parte I, cap. 2, p. 61.

15

Rudolf Carnap. Introduction to symbolic logic and its applications, traducida del alemán por William H. Meyer y John

Wilkinson, Dover Publications, Inc., Nueva York , 1958, cap. A, la. parte, pp 1 y ss. Ahí, refiriéndose a esa obra suya, dice Carnap: "This book presents a system of symbolic logic, together with illustrations of its use. Such a system is not a theory (Le. a system of assertions about objects), but a language (Le. a system ofsigns and of rules for the ir use)". Y también: "Had the mathematician been confined to words and denied the use of numeráis and other special symbols, the development of mathematics to its present high level would have been notmerely more difficult, but psychologically impossible. To appreciate this point, one need only attempt to transíate into the word-language 3 2 3 e.g. so elementary a formula as "(x+y) =^ + 3x*y + 3xy + y " (The third power ofthe sum oftwo arbitrary numbers equals the sum ofthe following summands...) The symbolic method gives mathematics an advantage in its investigation of numbers, numerical functions, etc.; symbolic logic seeks this same advantage in full generality for its treatment of concepts of any kind" (Ibid.). En el mismo sentido, Stephen Colé Kleene, Mathematical logic, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1967, parte I, cap. 1,1, p. 5. Vid. la nota 5. 16

Lógica, obra del National Council of Teachers of Mathematics,

2a. ed., Trillas (colección de Temas de Matemáticas, núm. 12), Méxi co, 1990, p. 28. En el prólogo de la misma obra se ofrece la lista de los que colaboraron en dicho número de la colección citada, lista en cabezada por George Arbogast. 17

Patrick Suppes, op. cit., cap. I, pp. 33 y 34.

118


18

Ibidem.

19

Lógica NCTM, loe. cit.

20

"L. Wittgenstein: Tractatus logico-philosophicus (1922)", en Lecturas de lógica, selección, traducción y notas de Luis Vega, Uni versidad Nacional de Educación a Distancia (UNED), Madrid, 1981, p. 89. 21

Ludwig Wittgenstein, Tractatus... texto bilingüe (alemán-espa ñol), con una introducción de Bertrand Russell, versión española de Enrique Tierno Galván, 2a. ed., Alianza Editorial, Madrid, 1973, Vid. proposición 4.46. 22

Rudolf Carnap, op. cit., 5b, p. 18.

23

Conrado Flores García, Lógica proposicional, Trillas, México, 1984, Vol. 1, 1.9. También, Flores García, Nociones de lógica mate mática, Trillas, México, 1986, pp. 77 y ss. 24

Robert Blanché, Introducción a la lógica contemporánea, trad. de Leandro de Sesma, Ediciones Carlos Lohlé, Buenos Aires, 1963, cap. II, 14, p. 63. 25

Ludwig Wittgenstein, op. cit. 6.1 y 6.11.

26

Ibid., 4.461. Se requiere citar ad litteram, en el original alemán, el ejemplo de que se trata. He aquí el pasaje al respecto: "Ich weifi z, B. nichts über das Wetter, wenn ich wei/3, dafi es regnet oder nicht regnet". Me permito observar que en la versión española se traduce Wetter por 'tiempo', lo cual no es correcto, pues debe traducirse por el 'estado del tiempo'. En alemán se distingue entre Zeit (el tiempo como duración) y Wetter (el tiempo en el sentido de estado meteorológico). Esta distinción corresponde a la distinción en inglés entre time y weather. 27 28

Vid. Tractatus, Introducción, p. 11. Ibid, p. 17.


119

Ibidem.

30

Irving M. Copi, Lógica simbólica, 3.1., p. 51; También 3.2., p. 57. En el mismo sentido, Copi, Introducción a la lógica, 2a. parte, cap. IX, pp. 254 y 255. 31

Irving M. Copi, Introducción a la lógica, p. 255.

32

Telma B. de Nudler-Oscar Nudler, Elementos de lógica simbó lica, Kapelusz, Buenos Aires, 1973, cap. 2,7, p. 37. 33

Lukasiewicz , "Contribución a la historia de la lógica de las pro posiciones", en la citada Antología de la UNED, p. 120. 34

José Herrera Madrigal, el ensayo "Platón y la Sofística: obra de Guillermo Héctor Rodríguez", en Cuadernos de filosofía, núm. 53, UAM, 1990, passim. 35

Jan Lukasiewicz , en op. cit., p. 109 y ss.

36

Benson Mates Lógica de los estoicos, trad. de Miguel García Baró, Editorial Tecnos, Madrid, 1985, cap. I, p. 15. Refiriéndose ahí a su libro citado, Mates dice: "El presente libro intenta dar una descrip ción fidedigna de la lógica estoica. Lo que se propone es, pues, sólo una pequeña parte del programa sugerido por Lukasiewicz . Repite, con algunas cuantas excepciones de poca importancia, las conclusio nes del autor polaco y la apoya con nuevas pruebas". Mates ofrece lue go una relación de las añadiduras que hace a las conclusiones de Lukasiewicz . 37

I. M. Bochenski, A history of formal logic, traducida al inglés por Ivo Thomas, Chelsea Publishing Co., N. Y., 1970, parte III, pp. 105 y ss. 38 39

Rudolf Carnap, op. cit., A. 3b, p. 8. Hipótesis pirrónicas (Hip. pirr.), 11, 110.

120


40

I. M. Bocheñski, op. cit., parte III, p. 117.

41

Telma B. de Nudler y Osear Nudler, op. cit, cap. 2,4, p. 28.

42

Ibidem.

43

Ibidem.

44

Vid. Lógica, NCTM., p. 24.

45

W. V. O. Quine, Los métodos de la lógica, trad. de Manuel Sa cristán, Ediciones Ariel, Barcelona, 1962, parte primera, 3, p. 48. 46

Evandro Agazzi, La lógica simbólica, trad. y prólogo de J. Pérez Ballestar, 2a. ed., Editorial Herder, Barcelona, 1973. tercera parte, cap. VII, 20, pp. 180 y 181 (el subrrayado es mío). 47

W. V. O. Quine, op. cit, parte primera, 7, pp. 77 y 78.

48

José Ferrater Mora, Diccionario de filosofía, 3a. ed., Alianza Editorial, Madrid, 1986, Vol. 3, p. 2178. 49

Manuel Sacristán, Introducción a la lógica y al análisis formal, Ariel, Barcelona, 1973, parte segunda, sección primera, cap. V, 30, p. 74. 50

Ibid., p. 75.

51

Ibidem.

52

José Ferrater Mora, Diccionario..., Vol. 2, p. 1641.

53

Irving M. Copi, Introducción a la lógica, 2a. parte, cap. VIII, III, pp. 228 y ss. 54

Ibid., p. 246. El subrrayado es mío.

55

Nicola Abbagnano, Diccionario de filosofía, trad. de Alfredo N. Galletti, 2a. ed., FCE, México-Buenos Aires, 1974, p. 815. 56

Jan -Lukasiewicz , op. cit, p. 111 y ss.

57

Vid. Irving M. Copi, Introducción a la lógica, 2a. parte, cap.

VJU, IV, p. 241.


121

Ibid., cap. IX, pp. 252 y ss.

59

José Antonio Arnaz, Iniciación a la lógica simbólica, Editorial Edicol, México, 1975, cap. III, p. 68 (el subrayado es de Arnaz). 60

Patrick Suppes, op. cit., parte primera, 2.2., p. 57.

61

Supra, p.

62

Irving M. Copi, Lógica simbólica, 3.5., p. 72 (el subrayado es

mío). 63

Patrick Suppes, op. cit., 2.2., p. 55. Vid. nota.

64

B. Farrington, Ciencia y filosofía en la Antigüedad, trad. de P. Marset y E. Ramos, 6a. ed., Ariel, 1980, cap. VIII, p. 151. 65

Patrick Suppes, op. cit., 2.2., p. 58.

66

Irving M. Copi, Introducción a la lógica, 2a. parte, cap. IX, II, pp. 262 y ss. 67

José Ferrater Mora, Diccionario..., Vol. 4, p. 3385.

68

Alan Ross Anderson, "A reduction of deontic logic to alethic modal logic", en Mind, enero de 1958, Vol. LXVU, núm. 265, pp. 101-103. 69

Roberto José Vernengo, Curso de teoría general del derecho, 2a. ed., Cooperadora de Derecho y Ciencias Sociales, Buenos Aires, 1976, cap. 1, pp. 62 y ss.; también cap. 2, pp. 89 y ss. 70

Jan loikasiewicz, Aristotle's syllogistic. From the standpoint of modern formal logic, 2a ed., Oxford at the Clarendon Press, 1958, cap. IV, p. 78. 71

1bidém.

72

Ibidem.

73

Supra, 72 y ss.

74

Jan Lukasiewicz , Aristotle's syllogistic..., p.79

75

Ibidem.

Impreso en los Talleres Gráficos de la Dirección de Publicaciones del Instituto Politécnico Nacional, Tresguerras 27, 06040 México D.F. Diciembre de 1995. Tiraje: 2,000

LÃ³gica de enunciados algunos aspectos bÃ¡sicos

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