Algunos Ejemplos de Resonancia

A l g u n o s e j em em p l o s d e r e s o n a n c i a

1  ..- Un objeto de 2 kg oscila kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza K = 400 N/m. N/m. La

constante de amortiguamiento es b = 2 kg/s. kg/s. Está impulsada por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y N y frecuencia angular w= 10 rad/s. rad/s . a) ¿Cuál a)  ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? b) Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la b) Si resonancia? c) Hallar c)  Hallar la amplitud de las vibraciones en la resonancia? d) ¿Cuál d)  ¿Cuál es la anchura Dwde resonancia? Solución. .- a) Calculamos primero la frecuencia natural del sistema

La amplitud de las oscilaciones viene dada por

b) El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia natural del sistema, es decir, w = wo= 14.1421 rad/s c) La amplitud de las vibraciones en resonancia se obtendrá de la misma fórmula igualando la frecuencia angular de la fuerza con la frecuencia angular natural, w = w o. Si nos fijamos detenidamente en la fórmula y si nos damos cuenta que los valores de m y de b son iguales, observamos que la fórmula se convierte en:

por lo cual la amplitud del movimiento obtenido será siempre la misma, indiferentemente del valor de la frecuencia de la fuerza e igual a 0.3536. 0.3536 . d) La anchura Dw de resonancia la podemos definir como la anchura total a la mitad del máximo. En este caso no va a haber máximo, ya que la representación de A en función de w es una línea recta, luego no tiene sentido hablar de anchura de resonancia.

2. -   Una masa de 0.5 kg cuelga de un resorte. La constante del resorte es de 100 N/m, y la

constante de amortiguamiento del sistema es de 1.4 kg/s. La fuerza que excita al sistema es f = 2 cos 5t. a) ¿Cuáles serán los valores estacionarios de las amplitudes de la velocidad y del desplazamiento y la disipación de potencia promedio? b) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la velocidad y la fuerza? c) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia y cuáles serían, a esta frecuencia, las amplitudes del desplazamiento y velocidad, y la potencia promedio disipada, si la fuerza tiene la misma magnitud que en a)? d) ¿Cuál es la Q del sistema, y sobre qué intervalo de frecuencias la pérdida de potencia será por lo menos 50 por ciento del valor de resonancia?. Solución. a) Las ecuaciones estacionarias para el desplazamiento y para la velocidad vienen dadas por:

siendo w = 5. Para obtener las amplitudes hallamos primero la frecuencia natural del movimiento

La amplitud del desplazamiento:

La amplitud de la velocidad:

La disipación de potencia instantánea viene dada por:

Promediando sobre uno o varios ciclos y sabiendo que (sen 2q)m=1/2, obtenemos la potencia media

b) El ángulo de fase entre la velocidad y la fuerza se determina

c) La frecuencia de resonancia se produce cuando w = w o, luego es igual a 14.1421. La amplitud del desplazamiento en resonancia

La amplitud de la velocidad en resonancia

La potencia media en resonancia

Se puede observar que la amplitud y la potencia han aumentado en resonancia (son los valores máximos. d) El factor de calidad Q, viene dado por:

Para obtener el intervalo de frecuencias en el cual la pérdida de potencia será por lo menos 50 por ciento del valor de resonancia sabemos que la anchura Dw de resonancia la podemos definir como la anchura total a la mitad del máximo. Por lo tanto

Las frecuencias son entonces:

3.- a) La ecuación del movimiento del cuerpo es

b) La energía cinética del sistema para esta condición es

La energía potencial del sistema para esta condición es

c) La ecuación del movimiento que resulta es

siendo:

Por lo tanto:

d) La energía disipada por rozamiento en una oscilación la calcularemos a partir del factor de calidad

La energía total del sistema

La energía disipada será

e) La potencia media aportada es máxima en resonancia.

3. -   Un cuerpo de 0.2 kg de masa está unido al extremo de un resorte de constante

elástica K = 5 N/m, que tiene el otro extremo fijo. Se separa el cuerpo a 8 m de su posición de equilibrio y se abandona, comenzando a contar tiempos en ese instante. Hallar: a) La ecuación del movimiento del cuerpo. b) Las energías cinéticas y potencial del sistema cuando la elongación es máximo.

del valor

 A continuación se aplica al cuerpo una fuerza de rozamiento FR = -0.2 v y una fuerza impulsora f = 8 cos 6t. Una vez el sistema alcanza el estado estacionario, hallar: c) La ecuación del movimiento que resulta. d) La energía disipada por rozamiento en una oscilación. e) En que condiciones la potencia media aportada es máxima. Solución. 3.- a) La ecuación del movimiento del cuerpo es

b) La energía cinética del sistema para esta condición es

La energía potencial del sistema para esta condición es

c) La ecuación del movimiento que resulta es

siendo:

Por lo tanto:

d) La energía disipada por rozamiento en una oscilación la calcularemos a partir del factor de calidad

La energía total del sistema

La energía disipada será

e) La potencia media aportada es máxima en resonancia.