1.
Un ama de casa permite a sus hijos pequeños mirar la televisión un máximo de 200 horas por mes y sólo después de terminar sus tareas escolares. Ella lleva un control riguroso del tiempo que sus hijos mantienen la televisión encendida cada mes, de modo que se trata de una variable continua, X que medida en unidades de 100 horas, tiene la siguiente función de densidad:
0 x 1 x para 1 x 2 f x 2 x para 0 , en otra parte El promedio de horas de televisión que espera la mamá que vean sus hijos es: Solución
Por definición, la media se calcula por:
x f x dx
donde:
x 2 x f x 2 x x2 0
0 x 1 1 x 2 en otra parte
entonces:
0
0 d x
1 3
2
x
2
0
1
3
x
3
3
2
2 1
1
1
d x
x
x 2 dx
0d x
2
2
1 x3 x 2 0 3 1 0
, así la media o valor esperado es
1,
Pero como cada unidad es de cien horas c/u, la respuesta es: 100 hr
2.
Los empleados en Cooper-Price and Lybrand trabajan en promedio de 55,8 horas por semana, con una desviación estándar de 9,8 horas. Los ascensos son más probables para los empleados que están dentro del 10% de los que pasan más tiempo trabajando, ¿cuánto debe trabajar usted para mejorar sus oportunidades de ascenso? Solución =
55.8 horas,
=
9.8 horas
usar la tabla de distribución normal estandarizada. P ( X k ) 0.10
X
P ( X k ) 0.90
1.28
X
P ( X k ) 0.90
55.8
9.8
z k 1.28 X
1.28
68.344
Rpta: Para aumentar las posibilidades de ascenso y estar dentro del 10% que trabaja más, se debe trabajar 68.34 horas. 3.
Para r ecolectar los datos de un proyecto de investigación, un estudiante de mercadeo en una universidad pequeña en el centr o de Estados Unidos, contó en 50 cur sos de negocios el número de estudiantes que habían comprado recientemente discos compactos. En 12 clases no encontró estud iantes que hubieran hecho dicha compra; 3 estudiantes habían comprado en 8 clases, 4 habían comprado en 9 clases, 5 en 15 clases y 7 estudiantes, de las seis clases restantes habían aumentado su co lección de música. El estudiante deseaba comenzar su investigación resumiendo sus datos. La probabilidad de que 3 estudiantes hayan comprado discos compactos es:
X 0 3 4 5 7
Rpta:
P(X=3) =
f i (frecuencias)
12 8 9 15 6 50
P(X=xi) 0.24 0.16 0.18 0.3 0.12 1
Nº de cursos comprados por 3 alumnos
8
Nº de cursos comprados por el total de a lumnos
50
0.16 16%
4. La distribución normal estándar se caracteriza porque: Solución 2 z
1
La función de densidad de la distribución normal estandarizada es f ( z )
2
e
2
. Entonces
su media es:
2
z f ( z )
1
z
2
2
2
ze
2
e
1
z
2
dz
1
e 2
e
1
2
0
0
Es absolutamente necesario hacer
0
f ( x)
2
e
1
y
0
Y así obtener:
Además para estandarizar la función de distribución normal 1
( x
)
2
f ( z )
1
2
z 2 2
e
.
2
2
Respuesta: varianza
y
1
media
0
5. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay
20 discos en una caja y se eligen algunos aleatoriamente, interesa determinar la cantidad de discos defectuosos obtenidos en la selección. El valor esperado y la var ianza de la cantidad de discos defectuosos es: Solución
Al producir o fabricar discos existen dos posibles resultados: defectuoso o no defectuoso, es decir 2 valores (binario), o sea la variable aleatoria sigue el patrón de una distribución de probabilidad binomial:
P x
Siendo
1 x ! n
n !
n
x
x !
x
la probabilidad de que un disco salga defectuoso. Entonces
10%
0.1
La esperanza o media de obtener discos defectuosos está dada por la fórmula
siendo
n
20
n
el número de pruebas. Entonces (0.1) (20)
2
La varianza se halla mediante:
2
2
n
(1
)
(20)(0.1)(1 0.1)
2
1.8
6. Determine el valor de C de manera que la función pueda servir como distribución de
probabilidad de la variable discreta X: 1 f X c X 2 , 2
para x 0,1, 2, 3
Para que f sea función de probabilidad, debe cumplir:
Entonces: 1
3
f x 1, 1
2
i 0.1, 2,3.
c
3 2
0
f
c
9 2
16c
0 f 1 f 2 f 3 1
c
19
c
2
1
1
1 c
16
2 1 2 1 2 1 2 1 c 0 c 1 c 2 c 3 1 2 2 2 2
7. Los corredores de una maratón local terminaron el trayecto en un tiempo promedio de
180,3 minutos; s = 25,7. ¿Qué tan rápido deben correr para terminar dentro del primer 10%? Solución
180.3 Z
X
25.7
P( Z z ) 10%
Area [de - hasta 0] 0. 5
P( Z z ) 0.1
Como 0.1 < 0.5 entonces z < 0
Area de [- hasta z] 0.1
z
0
Pero por la simetría esto equivale a: 0.5 Área de (0 hasta -z) = 0.1
0.1
0.1 z
0
-z
Notar que -z > 0 Área de (0 hasta –z) = 0.5 – 0.1 = 0.4 Buscando el valor 0.4 dentro de la tabla (aprox 0.3997), encontramos: -z = 1.28 z = -1.28
Luego: z
X
X
1.28 25.7 180.3 X
147.40400
Respuesta: 1.28
X
180.3
Para terminar dentro del primer 10% los atletas deben de emplear 147.404 minutos
25.7
8. Ya está hecho (repetido en el examen por error). 9. La función de probabilidad de una variable aleatoria X, representa: Solución
Por definición la función de probabilidad está se denota por : x0 ) P( X x) o bien P( X
10. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay
20 discos en una caja y se eligen algunos aleatoriamente, interesa determinar la cantidad de discos defectuosos obtenidos en la selección. ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos 2 discos defectuosos? Solución
Al producir o fabricar discos existen dos posibles resultados: defectuoso o no defectuoso, entonces la variable aleatoria sigue el patrón de una distribución de probabilidad binomial:
n ! p 1 p x
P X
x
n x
x ! n
,
x !
x
0,1, 2,
n
ésta, es la probabilidad de obtener ‘x’ discos defectuosos en ‘n’ extracciones de la caja
mencionada. donde p la probabilidad de que un disco salga defectuoso en una extracción. Entonces p
10%
n
0.1
20
asumimos que extrajeron todos los de la caja Lo que se pide es:
P X
2 1 P X 2 1 P (0) P(1) 1 1, 0.12158 0.27017
P X 2 0.608253
11. Para transformar una distribución normal estándar o típica se debe hacer el siguiente cambio z
Respuesta:
X
12. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay
20 discos en una caja y se eligen algunos aleatoriamente, interesa determinar la cantidad de discos defectuosos obtenidos en la selección. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de discos defectuosos sea menor o igual que 2? Solución
P X
x
n ! p x 1 p
n x
x ! n
,
x !
x
0,1, 2,
n
es la probabilidad de obtener ‘x’ discos defectuosos en ‘n’ extracciones de la caja mencionada.
Donde: p
10%
n
0.1
20
asumimos que extrajeron todos los de la caja Lo que se pide es:
P X
2 P (0) P(1) P(2)
0.1215766546 0.2701703436 0.2851798071
0.6769268053
Entonces:
P X 2 0.6769268053
13. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay
20 discos en una caja y se eligen algunos aleatoriamente, interesa determinar la cantidad de discos defectuosos obtenidos en la selección. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de discos defectuosos sea igual a 1? Solución
n ! p 1 p x
P X
x
n x
x ! n
,
x !
x
0,1, 2,
n
es la probabilidad de obtener ‘x’ discos defectuosos en ‘n’ extracciones de la caja mencionada.
Donde: p
10% n
0.1
20
asumimos que extrajeron todos los de la caja Lo que se pide es:
P X
1
P(1)
0.2701703436
Entonces:
P X
1
0.2701703436
14. Una empresa industrial compra varias máquinas de escribir nuevas al final de cada año,
dependiendo el número exacto de la frecuencia de reparaciones en el año anterior. Suponga que el número de máquinas X, que se compra cada año tiene la siguiente distribución de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo año tenga que comprar máximo 2 máquinas? X
0
1
2
3
f(X)
1/2
3/10
2/5
1/5
Solución
P (X 2) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P (X
2)
P (X
2)
1 2 6 5
3 10
2 5
(Respuesta)
15. Si Z es una variable aleatoria con distribución normal estándar, el valor de k cuya área entre 0 y k corresponde a 0,2291 , es: Solución
Respuesta: Observando en la tabla de la distribución normal estandarizada se tiene k = 0.61
