1. Analizar el movimiento de un cuerpo rígido y aplicar conceptos de dinámica y energía en una Rueda de Maxwell en traslación y rotación.
1. Encontrar experimentalmente la relación entre la energía potencial y la energía cinética de traslación y rotación de un cuerpo que inicia su movimiento partiendo del reposo sobre un plano inclinado constituido por dos ejes. El movimiento es por rodadura y por consiguiente una de las componentes energéticas del modelo matemático será rotacional, cuyo momento de inercia respecto al eje de giro se calculará indirectamente. indirectamente. 2. Calcular de manera directa los valores de los momentos de inercia de cada componente sumándolos y comparándolos con el resultado anterior.
En el tema de dinámica de una partícula se dedujo que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre ella es igual a la variación de energía cinética de la misma.
La energía cinética de un sistema es la suma de las energías cinéticas de las partículas que lo forman. Cuando un sólido rígido gira en torno a un eje que pasa por su centro de masas las partículas describen un movimiento circular en torno a dicho eje con una velocidad lineal distinta según sea la distancia de la partícula al eje de giro, pero todas giran con la misma velocidad angular ω, ya que en caso contrario el sólido se deformaría. La relación entre ambas velocidades aparece en la figura siguiente:
La energía cinética del sólido causada por el movimiento de rotación será entonces:
El sumatorio es el momento de inercia del sólido con respecto al eje de rotación, luego:
Esta energía corresponde a la energía cinética interna, ya que tiene está referida al centro de masas. Si éste a su vez se está moviendo con respecto a un origen, la energía cinética total del sólido se calculará sumando la energía cinética de rotación y la de traslación del centro de masas (energía cinética orbital):
El momento de inercia de un sólido es una magnitud escalar que viene dada por:
De su definición se deduce que el momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. Por tanto, el sumatorio de la ecuación anterior puede ser sustituido por la siguiente integral:
Donde dm es un elemento de masa del sólido y R2 su distancia al aje de giro del mismo. El elemento de masa dm está relacionado con la densidad ρ del sólido y, si éste es
homogéneo, al sustituir dm en la expresión del momento de inercia podemos sacar la densidad de la integral:
Donde dV es un elemento de volumen del sólido.
En un sistema formado por dos partículas, sobre las que actúan fuerzas externas y fuerzas internas.
En cada instante, la energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de cada partícula; por tanto, la variación de energía cinética del sistema en un intervalo de tiempo será:
Aplicando para cada partícula que la variación de su energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre ella:
Sumando ambas variaciones, obtenemos finalmente que: Es importante destacar que, aunque la suma de las fuerzas internas siempre es cero, no lo es la suma de los trabajos realizados por ellas, ya que para calcular el trabajo hay que tener en cuenta la trayectoria que describe cada partícula.
Teniendo en cuenta que las fuerzas internas suelen ser conservativas, por ser centrales, el trabajo realizado por ellas se puede expresar en función de una energía potencial asociada. Utilizando la relación anterior, queda entonces:
Definimos una nueva magnitud, llamada energía propia (U) como la suma de la energía cinética y la potencial interna:
Conviene hacer notar que la energía cinética debe estar referida a un sistema de referencia inercial, ya que se calcula a partir de las velocidades. Sin embargo, la energía potencial interna es independiente del sistema de referencia, ya que sólo depende de las distancias relativas entre las partículas.
En términos de la energía propia, el trabajo de las fuerzas externas es:
Podemos distinguir tres casos: - Sistema aislado (no actúan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas es nulo de lo que se deduce que en un sistema aislado la energía propia se conserva.
o
Las fuerzas externas son conservativas: en este caso el trabajo de dichas fuerzas se expresa en función de una energía potencial externa. Sustituyendo:
La energía mecánica de un sistema es la suma de la energía cinética, la potencial interna y la potencial externa.
Entonces, cuando las fuerzas internas y externas son conservativas, la energía mecánica del sistema se conserva.
Supongamos que soltamos la rueda de Maxwell del punto A, se puede aplicar el teorema Trabajo-Energía.
= Δ Despreciando el trabajo realizado por la fuerza de fricción sobre la rueda.
= Δ = ΔH Entonces expresando tendremos:
ΔH = Como:
=
Se obtiene para este caso:
=
2 ΔH 1
Un par de rieles paralelos (como plano inclinado) Un nivel
Una regla milimetrada
Una rueda de Maxwell Una balanza
Un cronómetro Un pie de rey
Nivelar el equipo experimental
Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda avance por rotación pura.
Marque los puntos A 0 y Af y mida las distancia A0Af
Marque 4 puntos intermedios en el tramo A 0 y Af, mida sus distancias. Mida con el pie de rey las alturas H 0 hasta Hf de los puntos marcados. Mida el radio del eje de rotación de la rueda de Maxwell en tres
posiciones diferentes en cada lado y obtenga su valor promedio.
Coloque la rueda e reposo en la posición A0, suéltela y simultáneamente mida el tiempo que tarda en recorrer cada tramo marcado entre A 0 y Af, incluyendo estos puntos. Repita esta operación unas tres veces para cada tramo. Con esta medición realice una gráfica de posición en f unción del tiempo y obtenga por derivación la ecuación de la velocidad y calcule la velocidad desde A0 hasta Af.
-En primer lugar para hallar la velocidad en un punto, hacemos una tabla de posición (m) vs tiempo (s) TIEMPO (s) DISTANCIA (m)
t1(s)
t2(s)
t3(s)
tprom(s)
AB= 0.06
6.21
6.76
5.3
6.09
AC=0.12
8.97
9.6
7.98
8.85
AD=0.18
10.95
11.62
10.3
10.96
AE=0.24
12.72
13.29
11.77
12.59
AF=0,30
14.26
14.85
13.38
14.16
GRÁFICA POSICIÓN VS TIEMPO 0.35
0.3
0.3
x=
0.0015t2
- 0.0011t + 0.0099 0.24
0.25
) m ( A I 0.2 C N A0.15 T S I D 0.1
0.18 0.12 0.06
0.05 0 0 . 00
2.00
4. 0 0
6 . 00
8.00
10.00
12 . 00
14.00
16.00
TIEMPO PROMEDIO (s)
-Luego para hallar la velocidad en un punto derivamos la posición (x) respecto del tiempo (t) x = 0.0015t2 - 0.0011t + 0.0099 (m)
=0.0030t1 - 0.0011
=0.0030t - 0.0011 (m/s) 1
Hacer una tabla de velocidad y la diferencia de niveles
ΔH.
- Luego con las alturas
68.4 61.35 57.9 51.7 47.0 40.85
Hacemos un cuadro de velocidad vs diferencias de alturas DIFERENCIAS DE
ALTURAS (ΔH (mm)) Ha - Ha = 0 Ha- Hb =7.5 Ha - Hc =10.5 Ha - Hd = 16.7
VELOCIDAD
(/) 1.21×10− 2.9481×10− 6.4770×10− 1.0099×10−
1.3447×10− 1.7123×10−
Ha - He = 21.4 Ha - Hf =27.55
Gráfica:
GRAFICA DE VELOCIDAD VS DIFERENCIA DE ALTURAS 30
27.55
y = 1.4443x + 2.2598
25
21.4
20
16.7
s a r 15 u t l a
10.5
10
7.5
5 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Construya la gráfica y de la pendiente de la recta obtenga un valor del momento de inercia de la Rueda de Maxwell.
=(ΔH)
De la ecuación
= 2 ∆ℎ 1 = 1 ∆ ℎ á = 1.4443×10− ∆ ℎ 1 ×10−
1.4443×10− = 1× 10−
2×9,81 − 495×10 ×(3,2×10−) 1 =6,834990599×10− .
Este
viene a ser un momento de inercia experimental.
Proceda a tomar datos de la masa y dimensiones de la rueda de Maxwell, a fin de calcular separadamente el momento de Inercia de cada una con respecto a su eje de rotación, súmelas y compare con el obtenido en el paso anterior.
Calculamos el momento de inercia del sistema mediante:
∑ = Entonces Hallando
1. == 2 r
=3,2×10− () =12877267,9×10− () − ×(3,2×10− ) 12877267,9×10 = 2 =0,06593161166×10− (.)
2. ℎ R2= 64,625 (mm)
R1=48,65 (mm)
Ancho= 26,85(mm)
= 2 × ( ) − ×(64,625 48,65 )×10− 411865534,9×10 = 2 − =1,347461987×10 (. ) 3. ℎ ñ = 2 × ( ) R1
1=3,2×10− 2=13,325×10−
a= 24 (mm)
R2
− (3,2 13,325 ) × 10− 34039562,18×10 = 2 − =3,196240427×10 (.)
a
4. 5 A
Ancho = 10,8 (mm)
B
Alto = 7,3 (mm) Largo = 34,05 (mm)
= ×(.+)
D=17,025
Por el teorema de Steiner
=
− ×(10,8 34,05 )×10− 36217634,97 ×10 × 10− 17,025 = 36217634,97× 12
=1,433261755×10− (.2) =5×1,433261755×10− =7,166308773×10− (.2) Por lo tanto el momento de inercia resultante teórico se calcula como
∑ = =13,57890468×10− (.) CONCLUSIONES:
Se comprueba que el momento de inercia de un sistema es la sumatoria de masas por su posición al cuadrado. Se comprueba en un sistema donde no actúan fuerzas externas se conserva la energía. Los cálculos de los momentos de masa experimental y los teóricos tienes márgenes de error debido a que las mediciones no pudieron ser las más precisas o que pudieron ser incorrectas en algún momento.
OBSERVACIONES Y APLICACIONES Se puede llegar a calcular el margen de error
1 % = (13,57890468× 10− 6,834990599×10−) × 13,57890468×10 − % = 49,66463967%
Se observa que el porcentaje de error es muy elevado, esto se debe posiblemente a los errores en la medición o a que puede existir alguna fuerza de fricción entre los ejes paralelos y la barra de rotación Fjfjdjd Jdjdjdjd Djdjdjd}
BIBLIOGRAFÍA
