MEDICIONES Y TEORÍA DE ERRORES FISICA I
UNSCH INGENIERÍA CIVIL |
2016 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
CURSO
: FÍSICA I (FS – 142)
DOCENTE
: KLÉBER JANAMPA QUISPE
HORARIO
: LUNES (5 – 8 pm)
ALUMNOS
: HUICHO AUCCATOMA, Michael CASTRO CÁRDENAS, Renzo Jair
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INDICE .......................................................................................... ......................................................................... ..........................................................
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a) Identificar las fuentes de error. b) Determinar el verdadero valor de magnitudes físicas medidas directa e indirectamente. c) Familiarizarse con equipos de medición de laboratorio.
La es un proceso básico de la ciencia que consiste en un patrón seleccionado con el objeto o fenómeno, cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud. 1.1.2 Clases de Medidas La medida o medición diremos que es directa, cuando disponemos de un instrumento de medida que la obtiene comparando la variable a medir con una de la misma naturaleza física. Medición indirecta es aquella en la que una magnitud buscada se estima midiendo una o más magnitudes diferentes, y se calcula la magnitud buscada mediante cálculo a partir de la magnitud o magnitudes directamente medidas. 1.1.3 Teoría de Errores Las magnitudes físicas son determinadas experimentalmente por medidas o combinación de medidas. Estas medidas obtenidas por algún equipo de laboratorio generan una debido a muchos factores. Debido a esta inseguridad es que se desarrolla la Teoría de Errores. A continuación desarrollaremos conceptos fundamentales: 4
Es la diferencia entre el valor obtenido, al utilizar un equipo, y el valor verdadero de la magnitud medida. Es el valor ideal que se obtendría al utilizar equipos de medición perfectos, por lo que se deduce que este valor, no puede ser obtenido en la práctica. Sin embargo se le considera existente con un error ∆x.
= ±∆ ̅ ∈ [( ∆) ,( + ∆)]
Es así que el valor verdadero define un intervalo de valores; aproximándose al valor más probable (valor medio )
Como su nombre indica es un promedio aritmético, o media aritmética, de un conjunto de medidas realizadas a una determinada magnitud física.
Es una medida de dispersión de una serie de datos 1.1.4 Tipos de Errores
Es el error que posee todo instrumento, debido a que tiene una .
5
Es el error que se genera al realizar varias mediciones de una magnitud física. El Error estadístico se puede calcular al igual que la desviación estándar.
1.1.5 Combinación del error sistemático y error estadístico Este error representa una combinación de los errores principales de medición, el sistemático y estadístico, al sumar los cuadrados se asocia a un resultado de la estadística y se obtiene de suponer que las fuentes de error son independientes unas de otras.
Proviene del cociente entre el error efectivo o absoluto y el valor medio.
Este error sirve para otorgar un mayor significado al error relativo, por lo cual se le transforma en porcentaje.
1.1.6 Propagación de Errores en Mediciones Indirectas Cuando las magnitudes no se miden directamente, es decir derivan de otras que si son medidas directamente; como por ejemplo para hallar el volumen de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados; es así que para un caso general Z es una función que depende de los parámetros x, y, z, etc.
Tenemos x, y; que se midieron directamente, por lo tanto: 6
Por ejemplo:
∆= (∆) + (∆) ̅ = ∆ ̅ = ( ∆) +( ∆) +( ∆) ∶ ∆ ̅ ∶ ∆ ̅ ×100%
Una regla graduada Un calibrador vernier Un micrómetro Una balanza Una pieza cilíndrica Un paralelepípedo Un ladrillo con dimensiones similares al paralelepípedo
1. En la , calculamos las lecturas mínimas de: la balanza, la probeta y el cronómetro. Luego efectuamos cálculos con dichos instrumentos. 2. En la , realizamos 10 mediciones al espesor de 10 hojas de cuaderno con la ayuda del micrómetro. Anotamos dichas mediciones. Con dichos datos calculamos el promedio y la desviación estándar de la media, para así determinar errores (sistemático, estadístico, absoluto, relativo y porcentual). Anotamos los resultados. 3. En la , con la ayuda de la regla graduada realizamos 5 mediciones a las dimensiones (largo, ancho y altura) de un ladrillo y luego lo masamos. 7
4.
5.
6. 7.
Con dichos datos calculamos el promedio y la desviación estándar de la media, para así determinar errores (sistemático, estadístico, relativo y porcentual). Anotamos los resultados. En la , ahora con el calibrador Vernier repetimos las mediciones al ladrillo y, también ( ) al paralelepípedo de concreto (lo masamos). Con dichos datos calculamos el promedio y la desviación estándar de la media, para así determinar errores (sistemático, estadístico, relativo y porcentual). Anotamos los resultados. En la , con el calibrador Vernier realizamos 5 mediciones al diámetro de la esfera metálica. Con dichos datos calculamos el promedio y la desviación estándar de la media, para así determinar errores (sistemático, estadístico, relativo y porcentual). Anotamos resultados. Medimos las masas del paralelepípedo de concreto y ladrillo, y la esfera metálica. Anotamos los resultados. , en caso de densidades la unidad de medida es el g/cm3 por lo que debemos realizar una ; es decir dividimos los resultados obtenidos entre 10.
Luego de efectuar las mediciones correspondientes, hacemos uso de tablas para su mejor apreciación.
0.1 g 2.5 ml 0.01 s
90.5 g 50 ml 2.15 s
8
Espesor de 10 hojas de cuaderno
() 0.067 0.068 0.066 0.068 0.067 0.068 0.064 0.063 0.071 0.076
Paralelepípedo Masa del paralelepípedo: 370.5 g 120 120 119 119 120
119 118 116 118 119
17 18 18 19 19
Paralelepípedo 120.02 120.18 120.12 115.58 120.36
119.2 120.66 116.2 118.76 118.94
18.32 19.32 21.52 18.26 21.42
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Esfera (diámetro)
2.852 2.854 2.858 2.858 2.872
Paralelepípedo de concreto 100.70 100.60 100.70 100.86 100.92
90.5 g
→∆=0.05
30.70 30.70 31.80 30.84 30.88
∆
40.82 40.16 41.16 41.30 40.84
∆
0.05 g
Por ser una sola medida = 0 g
∆= 0.05 +0
→ ∆ ̅ = .. = 5.52 × 10− 10
→ ∆ ̅ ×100 %=0.55 % Probeta 50 ml
→∆=1.25 → ∆̅ = 1.5025 = 25× 10− → ∆̅ × 100 %=2.5 % Cronómetro 2.15 s
→∆=0.005 → ∆̅ = 0.2.01055 = 2.33× 10− → ∆̅ ×100 %=0.23 %
∴ = 90.5 ± 0.55 % ∆ ∆= 1.25 +0
∆
Por ser una sola medida = 0 ml
1.25 ml
∴ = 50 ± 2.5 % ∆ ∆= 0.005 +0 0.005 s
∆
Por ser una sola medida = 0s
∴ = 2.15 ± 0.23 %
Nos indican obtener el espesor de resultados obtenidos en la Tabla II
así que dividiremos entre 10 a los
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Espesor de una hoja 0.067 0.068 0.066 0.068 0.067 0.068 0.064 0.063 0.071 0.076
=.
8×10 (− − 2×10 − 18×10 − 2×10 − 8×10 − 2×10 − 38×10 − 48×10 − 32×10 82 ×10−
( 64×10 ) −
− 4×10 − 324×10 − 4×10 − 64×10 − 4×10 − 1444×10 − 2304×10 − 1024×10 − 6724×10 ( ) =. ×−
̅ ∑ ( ) ∆ = 10×9 = 1.33×10− →∆ =0.005
∆= 1 .33×10− +0.005 →∆= 0.00513 → ∆̅ = 0.0.000513 678 =0.076 → ∆̅ × 100 %=7.6 % ∴= 0.0678 ±7.6 %
12
USANDO CALIBRADOR VERNIER Paralelepípedo
120.02 120.18 120.12 115.58 120.36
768×10 ̅(−
− 928×10 − 868×10 − 3672×10 1108×10−
̅ =. ∑ ̅ ( ) →∆ = 5×4 =√0.845784 →∆ =0.01 ∆= √0.845784 +0.01 →∆=0.92 Paralelepípedo
119.20 120.66 116.20 118.76 118.94
=118.752
448×10 (−
− 1908×10 − 2552×10 − 8×10 118×10−
(768 ̅)×10 −
− 928868 ×10 − ×10 ×10− 3672 ×10− 1108 ( ̅) =16.91568
(448 ×)10−
×10− 1908 − 25528 × ×10 − 10 ×10− 118 ( ) =10.36786
∑ ( ) →∆ = 5×4 =√0.518393 →∆ =0.01 ∆= √0.518393 +0.01 13
→∆
= 0.72
Paralelepípedo
18.32 19.32 21.52 18.26 21.42
ℎ =19.768
1448×10 (− − 448×10 − 1752×10 − 1508×10 1652×10−
(1448 )×10 −
×10− 448 ×10− 1752 ×10− 1508 ×10− 1652 (ℎ ℎ) =10.37008
∑ (ℎ ℎ ) →∆ℎ = 5×4 =√0.518504 →∆ℎ =0.01 ∆ℎ= √0.518504 +0.01 →∆ℎ= 0.72 = ℎ− → ∆ = (119.0.92252) +(118.0.77252) +(19.0.77268) →∆ =0.038 →∆ ×100 %=3.8 % =119.252 ×118.752×19.768 =279942.82 ∴= 279942.82 ±3.8 % 14
USANDO REGLA PATRÓN
Paralelepípedo
̅) − 4×10 ̅(− ( 16×10 4×10− 16×10−
120 120 119 119 120
− − 6×10 36×10 − − 6×10 36×10 4×10− 16×10− ̅ =119.6 ( ̅) =1.2
̅ ∑ ( ) ∆ = 5×4 =√ 0.06 ∆ =0.5 ∆= √0 .06 +0.5 ∆ = 0.56
Paralelepípedo
119 118 116 118 119
( ( ) 1 0
2
=118
0 1
1 0 4 0 1
( ) = 6
∑ ( ) ∆ = 5×4 =√ 0.3 ∆ =0.5 ∆= √ 0.3 +0.5 →∆ = 0.74 15
Paralelepípedo
17 18 18 19 19
12×10 ) − (− (144×10 2×10− 4×10−
ℎ =18.2
− 2×10 − 8×10 8×10−
− 4×10 − 64×10 − 64×10
(ℎ ℎ) =2.8
∑ ℎ) =√ 0.14 ∆ℎ = (ℎ5×4 ∆ℎ =0.5 ∆ℎ= √0 .14 +0.5 ∆ℎ = 0.62
= ℎ− ∆ = (119.0.566) +(0.11874) +(0.18.622 )
∆ =0.035
∆ ×100 %=3.5 % =119.6 ×118×18. 2 =256852.96 ∴= 256852.96 ±3.5 % = 279942.82 ±3.8 % ( ) = 256852.96 ±3.5 %
Entonces tenemos los siguientes resultados:
(Regla Patrón)
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Podemos apreciar que los resultados son casi cercanos pues están en milímetros cúbicos y si lo convertimos a otra medida de mayor magnitud no habría tanta diferencia; en cuestión de cifras significativas. Por otra parte podríamos mencionar que tendríamos más confianza en valor verdadero medido con el Calibrador Vernier puesto que sus medidas son más exactas (menor error sistemático); y además su error porcentual no se aleja tanto del medido con la regla Patrón.
∆
90.5 g
∆
0
0.05 g
∆
0.05 g
⁄
Como la unidad de la densidad es entonces las medidas en milímetros (TABLA V) tendremos que convertirlo a cm, así como su error sistemático.
Esfera metálica
2.852 2.854 2.858 2.858 2.872
68×10 (−
((68) )×10 −
− ×10− 48×10 (48) − ×10− 8×10 (8) − ×10− 8×10 (8) 132×10− (132) ×10− ( ) =.×−
∑ (ℎ ℎ ) ∆ = 5×4 = 1.224×10− ∆ =0.01 ∆ ∆ℎ= 1 .224×10− +0.001 ∆ℎ ̅ = = 0,001 cm
= 0.0036
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̅ = 4 () 36 2 ̅ = −
Es así que tenemos definida la densidad en función de dos medidas directas (masa y diámetro)
∆̅ = (0.90.055) +(3× 0.2.08036588) ∆̅ =0.0038 ∆̅ ×100 %=0.38 % Con la fórmula que despejamos anteriormente, calculamos la densidad:
= − = (.)(.)− = ⁄ ∴ =. ±. % ⁄ En la TABLA VI, debemos calcular el valor verdadero así como el error relativo y porcentual de la densidad del paralelepípedo de concreto. Por tratarse de la densidad (g/cm3) Siendo el calibrador Vernier, su
que es lo mismo decir
, entonces;
310.6 g
∆ 0
∆
0.05 g
∆
0.05 g
18
() 10.07 10.06 10.07 10.086 10.092
Paralelepípedo De Concreto
() ̅() ( ̅)() .
̅ =. * *
∆ =0.001 ∆ = =√ 3.416 x 105
10.07 10.06 10.07 10.086 10.092
̅ =.
-0.0056 -0.0156 -0.0056 0.0104 0.0164
0.00003136 0.00024336 0.00003136 0.00010816 0.00026896
( ̅) = .
∆= ∆ +∆ = (0.001) +( 3.416 x 105) →∆=0.0059 () ℎ() () 3.07 3.07 3.18 3.084 3.088
=. * *
Paralelepípedo De Concreto
3.07 3.07 3.18 3.084 3.088
=.
-0.0284 -0.0284 0.0816 -0.0144 -0.0104
( )() 0.00080656 0.00080656 0.00665856 0.00020736 0.00010816
( ) =.−
∆ℎ =0.001 ∆ℎ = =√ 4.2936 x 104
∆ℎ= ∆ℎ +∆ℎ = (0.001) +( 4.2936 x 104) →∆ℎ=0.021 19
() 4.08 4.02 4.12 4.13 4.08
Paralelepípedo De Concreto
() () 4.08 4.02 4.12 4.13 4.08
=. * *
=.
-0.0036 -0.0696 0.0304 0.0444 -0.0016
( )() 0.00001296 0.00484416 0.00092416 0.00197136 0.00000256
( ) = .−
∆ =0.001 ∆ = =√ 3.8776 x 104
∆ℎ= ∆ +∆ = (0.001) +( 3.8776 x 104) →∆ℎ=0.02 =
De donde la densidad promedio es igual a:
= . × .. × . =. ⁄
̅ = ̅ = ̅ ℎ − − ℎ ̅ = 20
Ahora, la densidad (medida indirecta), ya definida, esta expresada en función de masa, largo, altura y ancho (medidas directas). Luego:
∆̅ = (310.0.056) +(1× 0.0.00059756) +(1× .0.0098421 ) +(1× 4.0.008562 ) ∆̅ =0.0084 ∆̅ ×100 %=0.84 % Por tanto el valor verdadero, viene dado por:
∴= . ±. % ⁄
∆
370.5 g
∆
0
() 120.02 120.18 120.12 115.58 120.36
̅ =.
0.05 g
∆
0.05 g
Paralelepípedo de ladrillo
.
() 768×10 ̅()− 120.02 120.18 120.12 115.58 120.36
(768 ̅)×10(−)
− ×10− 928×10 928 − ×10− 868×10 868 − ×10− 3672×10 3672 1108×10− 1108 ×10− ̅ =. ( ̅) =.
̅ ∑ ( ) →∆ = 5×4 =√0.845784 →∆ =0.01 ∆= √0.845784 +0.01 →∆=0.92 21
() 18.32 19.32 21.52 18.26 21.42
ℎ =19.768
Paralelepípedo De Ladrillo
ℎ() 1448×10 ()− 18.32 19.32 21.52 18.26 21.42
() (1448 )×10 −
− × 10− 448×10 448 − × 10− 1752×10 1752 − × 10− 1508×10 1508 1652×10− 1652 × 10− =. ( ) =.
∑ (ℎ ℎ ) →∆ℎ = 5×4 =√0.518504 →∆ℎ =0.01 ∆ℎ= √0.518504 +0.01 →∆ℎ= 0.72
() 119.20 120.66 116.20 118.76 118.94
=.
Paralelepípedo De Ladrillo
() 448×10 ()− 119.20 120.66 116.20 118.76 118.94
(448 ×10 )(− )
− ×10− 1908×10 1908 − ×10− 2552×10 2552 − × 10− 8×10 8 118×10− 118 × 10− =. ( ) =.
∑ ( ) →∆ = 5×4 =√0.518393 →∆ =0.01 22
∆= √0.518393 +0.01 →∆ = = 0.72
De donde la densidad promedio es igual a:
= . × .. × . =. ⁄ ̅ = ̅ = ̅ ℎ − − ℎ ̅ =
Ahora, la densidad (medida indirecta), ya definida, esta expresada en función de masa, largo, altura y ancho (medidas directas). Luego:
∆̅ = (370.0.055) +(1× 119.0.92252 ) +(1× 19.0.77268 ) +(1× 118.0.77252) ∆̅ =0.038 ∆̅ ×100 %=3.8 % Por tanto el valor verdadero, viene dado por:
∴=. ±. % ⁄ 23
Al momento de calcular la medida de las dimensiones del ladrillo (paralelepípedo) se observó irregularidades en su forma que ocasionaron variaciones en el rango de las medidas. Mostramos cierta dificultad al momento de familiarizarse con nuevos instrumentos de medición como: el calibrador Vernier y el micrómetro.
Aprendimos a utilizar diferentes tipos de instrumentos de medición como: el calibrador Vernier, la regla patrón, la balanza y el micrómetro; además, entendimos que todo instrumento de medición, de por sí, tiene errores y que toda medida no es exacta. Logramos diferenciar el error sistemático del estadístico. Logramos calcular el error del área, volumen y densidad (medidas indirectas) generados al calcular sus valores, a partir de mediciones directas (largo, ancho, altura y masa). Lo más resaltante de ésta primera práctica fue lograr cuantificar el error o incertidumbre.
Las princípiales fuentes de error se pueden clasificar en 4 grandes grupos y estas mismas se puede subdividir en otras que veremos a continuación.
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Error debido al instrumento de medida
Errores debidos al operador
.
.
cansancio.
. Error por fatiga o
Errores debidos a los factores ambientales
. Los objetos metálicos se dilatan cuando aumenta la temperatura y se c ontraen al enfriarse. . Influyen mínimamente. Humedad, presión atmosférica, polvo y suciedad en general. También de origen mecánico, como las vibraciones.
Errores debidos a las tolerancias geométricas de la propia pieza
. La pieza puede estar sometida a fuerzas en el momento de la medición por debajo del límite elástico tomando cierta deformación que desaparece cuando cesa la fuerza. . Se puede estar midiendo un cilindro cuya forma aparentemente circular en su sección presente cierta forma oval. . Estas deformaciones provienen del cambio en la estructura interna del material
La diferencia se basa en que la “exactitud en la medida” no es una magnitud y no se puede expresar numéricamente. Se dice que una medición es más exacta cuanto más pequeño es el error de la medición, mientras que la precisión es la proximidad entre los valores medidos en mediciones repetidas y es así que se puede expresar numéricamente mediante medidas de dispersión.
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Es la relación que existe entre la variación del instrumento y la del efecto medido. En conclusión es la magnitud más pequeña que puede medir el instrumento.
Las cifras significativas representan el uso de una o más escalas de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Se dice que 4,7 tiene dos cifras significativas, mientras que 4,70 tiene tres. Para distinguir los ceros (0) que son significativos de los que no son, estos últimos suelen indicarse como potencias de 10 en notación científica, por ejemplo 5000 será 5x103 con una cifra significativa
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"ANALISIS DE ERRORES”. Sánchez del Rio, C. Ed. Eudema, Madrid 1989. “FISICA: MECÁNICA”. Alonso. y Finn. Volumen I. 1970. “FISICA RECREATIVA”. H.M. Guzmán. Primera edición.2007. “LABORATORIO DE FISICA” Miguel Ángel Hidalgo y José Medina. https://www.fisicalab.com/
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