FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS S ISTEMAS
“MEDICIONES: Mediciones, calculo de errores y su propagación” Profesor
:
Integrantes
:
Prof. Santa Cruz Delgado, José
Pizarro Jorge, Kevin Aarón Aberga Farro, Lucero Violeta Palacios Torres, Christian Abel Rengifo Durand, Josué Raúl
Turno
:
Mañana
Ciclo
:
I Ciclo
Lima – Perú 2013
OBJETIVOS Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el resultado de una medición realizada. Reconocer los diferentes tipos de errores que existen y evaluar el error sistemático para cada tipo de medición.
Desarrollar una conciencia del “error” como algo ineludible asociado a las
mediciones hechas notando que los errores siempre estarán presentes en los procesos de medición. Aprender a calcular el error propagado y el resultado de una medición indirecta. Conocimiento sobre los errores en las medidas tomadas en el laboratorio. Tablas de datos y tratamiento de datos.
MARCO TEORICO La Física es una ciencia que se basa en la capacitación de observación y experimentación del mundo que nos rodea. La superación superación de los detalles prácticos prácticos que hacían difícil la medición precisa de alguna magnitud física, dio lugar a los avances de la historia de esta Ciencia. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos e n contacto
con un termómetro, y cuando están juntos, algo de energía o “calor” se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando por resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo, afectando así, a la misma cantidad que deseamos medir. Además todas las mediciones son afectadas en algún grado por errores e rrores experimentales debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida (errores sistemáticos). O las limitaciones impuestas por nuestros sentidos (errores per sonales), que deben registrar la información o dato.
MEDICIÓN Técnica que se utiliza para determinar el valor numérico de una propiedad física comparándola con una cantidad patrón que se ha adoptado con unidad. La mayoría de las mediciones efectuadas en el laboratorio se relacionan con magnitudes como longitud, masa, tiempo, ángulo o voltaje.
a. El objeto o fenómeno cuyas dimensiones se quieren medir. b. El instrumento de medición (ejm: regla milimétrica, cronometro, probeta). c. La unidad de medida, el cual está incluida en e l instrumento de medición (mm, s,
ml).
Obs: A veces es necesario especificar las direcciones de ciertas magnitudes vectoriales y tensoriales.
EXPRESIÓN GENERAL DE LA MEDICIÓN
Cuando se realiza una sola medición, el resultado lo podemos expresar: X = X0 ± ∆ X
Donde X0 es el valor leído en el instrumento y x es el error absoluto (por ejemplo se obtiene tomando la mitad de la lectura mínima que se puede hacer con el instrumento, aproximación o precisión del instrumento).
∆X =
Donde X es el valor probable dado por la media aritmética de las mediciones y dx es el promedio de las desviaciones o errores.
TIPOS DE MEDICIONES:
Medición Directa: La medida o medición diremos que es directa, cuando disponemos de un instrumento de medida que la obtiene, así si deseamos medir la distancia de un punto a a un punto b, y disponemos del instrumento que nos permite realizar la medición, esta es directa. Ejemplo: La determinación del volumen de un objeto usaremos la probeta graduada; la evaluación del tiempo de caída de una moneda al piso desde una altura dada, con el cronómetro; etc.
Medidas Indirectas: No siempre es posible realizar una medida directa, porque no disponemos del instrumento adecuado que necesitas tener, porque el valor a medir es muy grande o muy pequeño depende, porque hay obstáculos de otra naturaleza, etc. Medición indirecta es aquella que realizando la medición de una variable, podemos calcular otra distinta, por la que estamos interesados.
EXACTITUD Y PRECISIÓN DE UNA MEDICIÓN Todo experimento debe planearse de manera que siempre de la formación deseada y que la distinga de todas las otras posibles. Por lo tanto deberá cuidarse de la exactitud y/o precisión aceptable de los datos.
Exactitud: La exactitud indica el grado en que los datos experimentales se acercan a los correspondientes valores absolutos o considerados verdaderos idealmente. La exactitud describe la veracidad de un resultado experimental. Estrictamente hablando el único tipo de medición totalmente exacto es el contar objetos. Todas las demás mediciones contienen errores y expresan una aproximación de la realidad.
Precisión: La precisión expresa el grado con que un valor Experimental puede reproducirse en experimentos repetidos, es decir, cuan cerca está el valor medio del conjunto de sus medidas. En los instrumentos la precisión se puede determinar por la Mínima medida con que se puede llevar a cabo la medición, es decir, es la aproximación del mismo, y esto representa la calidad del instrumento por cuanto la medición que hagamos con dicho instrumento, poseerá muy poco error experimental, siendo en consecuencia el resultado una medición de alta precisión.
TEORÍAS DE ERRORES ERROR: Se determina mediante la diferencia entre el valor de una medición y el valor esperado que lo consideramos verdadero o ideal cualitativamente. También se llama incertidumbre, la cual se puede expresar de diversas maneras, siendo las más usuales: la desviación estándar, la desviación promedio, etc.
CLASES DE ERROR:
ERRORES SISTEMÁTICOS: Son los que se producen siempre, suelen conservar la magnitud y el sentido, se deben a desajustes del instrumento, desgastes, etc. Dan lugar a sesgo en las medidas. Los principales son: Errores teóricos: Son debido a las aproximaciones concernientes a las ecuaciones o relaciones que podrían ser Muy complejas y que necesitan aproximarse. Se usan en la Calibración de los instrumentos o en la determinación de Mediciones indirectas Ejemplo: Determinación del
periodo de un péndulo para Ángulos pequeños donde ө ≈ senө. Aquí en la solución de la ecuación diferencial se usa la aproximación de la solución en seria: Error Relativo
Ө ° (Valor abs0oluto)
Ө (radianes)
Sen. Ө
Porcentual
5
0.08727
0.08716
(%) 0.13
10
0.17453
0.17365
0.51
15
0.26180
0.25882
1.15
Errores Instrumentales: Estos vienen especificados por el fabricante del instrumento y son etiquetados como “limite de precisión” o “limite de error”. Es decir el error debido al instrumento será igual a la cuenta mínima o la lectura más pequeña que se obtenga con el instrumento. Es decir la lectura será igual a la medición ± Una división de la mínima escala del instrumento.
Errores Ambientales : Estos errores no son tan fáciles de evitar debido a los cambios en las propiedades del medio. Entre los factores ambientales más importantes que se deben de considerar son la temperatura, la presión y la humedad. Debido a esto se debe recomendar aislar el experimento y controlador el ambiente (en una región o tiempo limitado).
Errores de Observación: Tiene su origen en la postura que toma el
operador para la lectura de la medición resultando en lecturas muy altas o muy bajas, muy tempranas o muy tardes. La posición correcta, una atención cuidadosa, la revisión del equipo y la comparación de un observador con otro son comunes para reducir o eliminar este error.
Errores Aleatorios: Son los que se producen de un modo no regular,
variando en magnitud y sentido de forma aleatoria, son difíciles de prever, y dan lugar a la falta de calidad de la medición.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Para simplificar el tratamiento de la incertidumbre en una medición consideramos que cuando hagamos una sola medición el error absoluto estará representado solamente por la mitad de la aproximación (lectura mínima del instrumento).
∆x = (lect.min)
Donde la aproximación, sensibilidad o lectura mínima es la división más fina del instrumento. En el caso de la regla milimétrica la mínima lectura será 1/1000 m. Cuando se hacen varias mediciones repetidas de una variable directa como (x), la incertidumbre en la medición crece y el error absoluto estará en funci ón del valor promedio de (x) y de la siguiente variable: Aquí x es el valor promedio leído con el instrumento de medición y O es la desviación estándar. A veces aparece en el denominador (n-1) en vez de n, por que el valor absoluto representa un mejor estimador de la desviación típica de una población de la que se ha tomado una muestra. Para valores n >30, prácticamente no hay diferencia entre las dos Definiciones. El error absoluto se calculara con ayuda de la siguiente Fórmula: Finalmente la formula de expresar el resultado de una Medición directa será: X=X ± ∆ X
Donde: X
:
Resultado de la medición
X
:
Valor más probable
∆X
:
Error absoluto
Además se debe considerar que: a) X llamado valor medio o promedio , se obtiene de la siguiente manera; dado un conjunto de n mediciones experimentales, el valor medio o promedio se calculara por :
∑
X=
X
__
n b) Desviación (d X): Es la diferencia entre un valor cualquiera de una serie de medidas y su valor medio, tomado en su valor absoluto.
dX = |Xi - X | c)
Desviación media (dX0):
dX=
∑
Xi - X| _________ n
Donde: n = Numero de Mediciones.
EL ERROR RELATIVO (ER ):
Es la relación que existe entre el error absoluto y la magnitud medida, es a dimensional, y suele expresarse en porcentaje. Er =
EL ERROR RELATIVO PORCENTUAL (ER (%)): Representa el producto del error relativo por 100. Es el indicador anterior en porcentaje.
Erel (%) = (
.100) %
Si tenemos un valor Xref considerando “Valor teórico” o Valor de referencia y obtenemos un valor experimental (Xexp) a partir de mediciones directas o indirectas, podemos comparar nuestro resultado con la siguiente fórmula:
Erel (%) = |
| . 100 (%)
En lo que sigue en este curso de laboratorio, emplearemos muy a menudo esta fórmula (15) para comparar diferentes Cantidades físicas (espacio, tiempo,
masas, aceleraciones, coordenadas, densidades, etc.) y poder dar conclusiones en función a este resultado.
PROPAGACIÓN DEL ERROR INCERTIDUMBRE: Se presentan en caso de todas las mediciones indirectas. Por ejemplo, para calcular el área total de un cilindro, se debe medir el diámetro del cilindro y la altura del mismo, siendo estas mediciones directas, evidentemente estas mediciones están afectadas de errores. Al reemplazar los valores en la fórmula para calcular el área procederemos a sumar y multiplicar cantidades afectadas de errores que traen como consecuencia la propagación de errores. Para el tratamiento de este tipo de errores se han deducido formulas a través de la matemática superior, que se presentan más adelante en forma práctica
ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN DIRECTA: Si para determinar el valor de una magnitud es necesario realizar una adición o sustracción el ERROR ABSOLUTO TOTAL esta dado por la SUMA de los términos que intervienen en la operación. Por ejemplo según la figura N° 2 para determinar la longitud total, se tendrá
L1 = L01 ± ∆ L01
L0t = L01 + ∆ L02
L2 = L02 ± L02
∆ L0t = ∆L01 + L02
Obtenemos:
Lt = L02 ± ∆ L02
ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN INDIRECTA: Cuando la magnitud a medir proviene de aplicar una formula ya sea en forma de producto, cociente o una combinación de ambos, el Error total esta dado por la suma de los errores relativos de los términos que intervienen en la fórmula. Por ejemplo para determinar el volumen del objeto ilustrado en la figura N°3, se realizara el siguiente:
V0 = a0 . b0 . c0 A = a0 b = b0 c = c0
∆a0 ∆b0 ∆c0
∆V/V0 = ∆a0 + ∆b0/b0 + ∆C0/C0
Cuando se realiza una medición indirecta (para lo cual se usa alguna fórmula matemática) como por ejemplo hallar el volumen de un cono, se medirán el radio de la base y la altura , pero en estas mediciones se introducen errores, por lo que estos errores por lo que estos errores se propagan, hasta en el volumen calculado.
Tipo de calculo Suma o resta
Multiplicación o división
Elevar a una potencia
Ejemplo*
Error Propagado en x
X=p +q-r X=p *q / r X =
() () ()
p, q y r son variables experimentales cuyos errores absolutos son Δp, Δq y Δr ; respectivamente, y es una constante
INSTRUMENTOS DE MEDIDA
NONIO DEL CALIBRADOR VERNIER O PIE DE REY
PROCEDIMIENTOS Haga un reconocimiento y describa cada uno de los instrumentos de medición que el grupo recibe, anote la lectura mínima así como el cálculo del error asociado a los instrumentos en la tabla que se muestra a continuación:
INSTRUMENTO Regla de Madera Regla Milimétrica de Metal Wincha de 5 m
APROXIMACION 1 cm 1 mm 1 mm
ERROR ABSOLUTO ASOCIADO 0.5 cm 0.5 mm 0.5 mm
Modelo de Nonio de Madera Pie de Rey o Vernier (Stainless Hardened) Pie de Rey o Vernier Caliper (U.S.A) Micrómetro de Metal Balanza de Tres Barras Cronómetro Analógico Cronómetro Digital Termómetro
0.1 mm 0.05 mm
0.05 mm 0.025 mm
0.02 mm
0.01 mm
0.01 mm
0.005 mm
CASO 1 1. Tome un paralelepípedo de madera y mida sus tres dimensiones como se muestra en la Figura Nº 3 con: Una regla de metal graduada en milímetros Un calibrador vernier o pie de rey (el mas Preciso) Y anótelos en la tabla N° 4: 2. De acuerdo a lo anterior, determine
El área total El volumen total Y anótelos en la tabla N° 4.
Tabla N° 4: Datos experimentales para el paralelepípedo
Mida :
Largo a Ancho b Alto c A (Área) V (Volumen)
Con la regla
Con el Vernier
X X X
X X X
Medidas con Pie de Rey a: 43.30; 43.40; 43.40; 43.40; 43.30 b: 64.10; 65.00; 64.70; 64.70; 64.90 c: 52.40; 52.65; 52.50; 52.60; 52.60
̅ ̅
Hallamos el Área
̅ () () () () ̅ () () ̅ ̅ √ ̅
Hallando el Volumen
( ) ( ) ( ̅ ) () () ()
Medidas con Regla de Metal a: 4.5; 4.45; 4.3; 4.2; 4.32 b: 6.35; 6.5; 6.45; 6.4; 6.45 c: 5.3; 5.15; 5.2; 5.2; 5.2
̅ ̅
Hallamos el Área
̅ ( ) ( ) ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) ̅ ̅ √
Hallamos el Volumen
̅
( ) ( ) ( ̅ ) ( ) ( ) ( )
CASO 2 a.
Seleccione una canica de porcelana o de vidrio y mida su diámetro con:
b.
Un calibrador vernier (el mas Preciso) Un micrómetro Y anótelos en la tabla N° 5:
Con los datos del diámetro medido llene la tabla Nº 5 y repita el cálculo del paso 2, para la canica
Tabla N° 5: Datos experimentales para la canica Con el Vernier Con el Micrómetro Mida :
Diámetro D Radio r A (Área) V (Volumen)
X X X
X X X
Observación: No se olvide de colocar las unidades en todos los cálculos, así como hacer un correcto redondeo y usar los decimales apropiadamente.
Hallando con el vernier
Diámetro
Radio
̅ ̅
Área
̅ Volumen
̅
Hallamos con el micrómetro Diámetro
Radio
̅
̅
Área
̅ Volumen
̅
CUESTIONARIO 1. Si el nonio del Pie de Rey o Calibrador de Vernier hubiese tenido 100 divisiones ¿Cuál será la aproximación y el error absoluto que usted cometería al usar este vernier? la aproximación normal de un pie de rey es de 0.02 mm debido a que un pie de rey contiene 50 divisiones entonces: 1 / 50 = 0.02 y el error absoluto será: Error absoluto = aproximación / 2 = 0.01 Pero si este calibrador tuviera 100 divisiones seria: 1 / 100 = 0.01 y el error absoluto será: Error absoluto = aproximación / 2 = 0.005
2. Sin un cronometro tiene una aproximación de una centésima de segundo (0,01s)¿Cuál será la medición si registrara 32,54 s? En el cronometro. La aproximación = 0.01 s Error absoluto = aproximación / 2 = 0.005 s
Entonces la medida registrada será: 32.54 ± 0.005 s
3. De cinco ejemplos de cantidades físicas que pueda determinarse en forma directa y también en forma indirecta. El volumen de un cuerpo: directa por medio de la formula e indirecta por la teoría de Arquímedes La densidad, El peso, La dureza y La fuerza
4. ¿Qué otros errores además de los indicados puede usted asociar a las mediciones directas? Errores introducidos por el instrumento: error de apreciación, error de exactitud, error de interacción, falta de definición en el objeto sujeto a medición, errores sistemáticos, etc.
5. Medir la frecuencia de latidos del corazón o del pulso de cada uno de los integrantes del grupo con ayuda del cronometro digital. Expresar esta medición con sus respectivos errores de cada uno.
Lucero: 80 latidos En 1:04; luego 1:02; y 1:01 segundos
Kevin: 80 latidos En 1:0; luego 0:58; y 0:57 segundos.
Raùl: 80 latidos En 1:00; luego 1:03; y 1:05
Cristhian: 80 latidos En 1:02; luego 1:03; y 1:03
6. ¿Con que instrumento usted mediría el espesor de una hoja de cuaderno?, describa el instrumento, haga un esquema si fuera posible de cómo mediría dicho espesor. Se podría usar un caballete digital que mide hasta 0.001" <> 0.0254 mm o también con un micrómetro que este en el orden des centésimas y milésimas.
7. ¿Cómo aplicaría este tema en su carrera profesional? La medición es muy importante en cualquier trabajo ya que todo necesita de un a medición exacta de cualquier aparato u objeto, medir la presión, el volumen, temperatura, etc.
OBSERVACIONES
Se observo que los pasos a seguir mostrados en el manual son fundamentales en el informe. Se entiende que los temas llevados en el laboratorio son necesarios en toda ingeniera. En relación a lo que hicimos en el laboratorio cuando medimos el paralelepípedo nos damos cuenta que no es exacta, como nos dimos cuenta cuando hicimos la toma de datos. En las tablas de mediciones se observa el error absoluto asociado li geramente significativo, ello es el resulto de diferentes factores tales como: instrumentos mal calibrados, falta de experiencia en la toma de datos, mala técnicas de medición, visión del observador y entre otros.
CONCLUSIONES
Se aprendió a identificar los errores obtenidos en una medición.
Identificamos el error propagado y el resultado de la medición indirecta.
Comprendimos que siempre estarán presentes los errores en una medición aunque sea mínimamente. Cuando medimos un valor en el laboratorio debemos expresarlo siempre acompañado por su error absoluto.
SUGERENCIAS
Apuntar toda información valiosa hecha por el profesor para facilitarnos el desarrollo del informe. Es recomendable al momento de utilizar la regla milimétrica tomarla con las 2 manos para no deformarla y de esta forma no pierda su precisión. Para realizar las mediciones se debe de tener un poco de destreza para disminuir los errores absolutos asociados.
BIBLIOGRAFIA
TINS: Laboratorio de Física General
http://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3n
http://www.monografias.com/trabajos81/fisica-informe-errores/fisica-informeerrores2.shtml http://es.scribd.com/doc/7016191/Interpretacion-de-Mediciones-y-Calculo-deErrores http://www.angelfire.com/magic2/imaitakako/cantidades.html
