ERRORES EN LAS MEDICIONES
Unidad 2
ERRORES EN LA MEDICIONES 2.1
INTRODUCCIÓN
La química es una ciencia que estudia las propiedades, la composición y la transformación de la materia, basada en leyes empíricas que han sido desarrolladas a partir de la Ley de la conservación de la materia, un hecho trascendental para la ciencia, lograda a partir de la experimentación. Para cumplir con los objetivos del presente programa, la química depende de la observación y de la experimentación, fundamentalmente de los métodos de investigación científica. 2.2
OBSERVACIÓN
En el método científico la observación consiste en el estudio de un fenómeno que se produce en sus condiciones naturales. La observación debe ser cuidadosa, exhaustiva y exacta. A partir de la observación surge el planteamiento del problema que se va a estudiar, lo que lleva a emitir alguna hipótesis o suposición provisional de la que se intenta extraer una consecuencia. 2.3
EXPERIMENTACIÓN
La experimentación consiste en el estudio de un fenómeno, reproducido generalmente en un laboratorio, en las condiciones particulares de estudio que interesan, eliminando o introduciendo aquellas variables que puedan influir en él. Se entiende por variable todo aquello que pueda causar cambios en los resultados de un experimento y se distingue entre variable independiente, dependiente y controlada. Variable independiente es aquélla que el experimentador modifica a voluntad para averiguar si sus modificaciones provocan o no cambios en las otras variables. Variable dependiente es la que toma valores diferentes en función de las modificaciones que sufre la variable independiente. Variable controlada es la que se mantiene constante durante todo el experimento. Todo experimento debe ser reproducible, es decir, debe estar planteado y descrito de forma que pueda repetirlo cualquier experimentador que disponga del material adecuado. Los resultados de un experimento pueden describirse mediante tablas, gráficos y ecuaciones de manera que puedan ser analizados con facilidad y permitan encontrar relaciones entre ellos que confirmen o no las hipótesis emitidas. 2.4
MAGNITUDES FUNDAMENTALES
En la experimentación química suele utilizarse: longitud, masa, tiempo, temperatura, cantidad de sustancia y la Intensidad de corriente. 2.4.1
Mediciones
Es una técnica que por medio del cual se le asigna un número a las propiedades intrínsecas de la materia, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. 2.4.2
Medidas directas
Son aquellas que se realizan con una sola lectura del aparato calibrado. 2.4.3
Medidas indirectas
Son aquellas que exigen varias medidas directas y posterior cálculo del experimentador, por ejemplo para medir el volumen de un cilindro, ésta se debe realizar en forma indirecta ya que la altura o el diámetro se miden independientemente, para luego utilizar la fórmula del cuerpo cilíndrico y su cálculo respectivo. 2.5
PRECISIÓN Y EXACTITUD
2.5.1
Instrumentos de Medición
Un buen instrumento de medición ha de poseer las siguientes cualidades: fidelidad, precisión y sensibilidad. 7
ERRORES EN LAS MEDICIONES i)
Fidelidad Se dice que un instrumento de medición es fiel si reproduce el mismo registro frente a la misma cantidad de la magnitud que se mide.
ii)
Precisión Un aparato de medida es preciso si los errores absolutos que se producen en su uso son mínimos
iii)
Sensibilidad Un aparato de medida es tanto más sensible cuando más claramente acuse pequeñas diferencias de cantidad de la magnitud medida.
2.6
NÚMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
El número de cifras significativas se refiere al número de dígitos informados para dar el valor de una magnitud medida o calculada, indicando la precisión del valor. Así, hay tres cifras significativas en 9.12 cm, mientras que 9.123 cm tiene cuatro. Para contar el número de cifras significativas en una magnitud medida dada, observe las reglas siguientes: 2.7
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica se emplea cuando se trabaja con números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo la masa de un átomo de oro es aproximadamente: 0.000 000 000 000 000 000 000 327 gramos Éste número extremadamente pequeño se puede escribir en notación científica: 3.27 * 10-22 gramos Al escribir números pequeños o grandes, no es conveniente escribir todos los ceros, por ejemplo 5 600 000 = 5.60 * 106 0.000 35 = 3.50 * 10-4
Cada número tiene 3 cifras significativas 2.8
REDONDEO DE DATOS
El resultado de redondear un número como 22.8 en unidades es 23, pues 22.8 está más próximo de 23 que de 22. Análogamente, 22.8146 se redondea en centésimas (o sea con dos decimales a 22.81 porque 22.8146 está mas cerca de 72.81 que de 22.82. Al redondear 22.465 en centésimas nos hallamos en un dilema, ya que está equidistante de 22.46 y de 22.47. En tales casos se procede a redondear al entero par que preceda al 5. Así pues 22.465 se redondea a 22.46; 253.575 se redondea a 253.58.
1. Todos los dígitos son significativos, excepto los ceros al principio del número y posiblemente los ceros terminales (uno o más ceros al final de un número). Así 9.12 cm, 0.912 cm y 0.00912 cm, todos ellos tienen 3 cifras significativas. 2. Los ceros terminales, finalizando a la derecha del punto decimal, son significativos. Cada uno de los tres números siguientes tienen tres cifras significativas: 9.00 cm, 9.10 cm, 90.0 cm. 3. Los ceros terminales en un número, sin un punto decimal explícito pueden ser o no significativos. Si alguien da una medición como 900 cm, usted no puede saber si se pretenden expresar una, dos o tres cifras significativas. Si la persona escribe 900. cm (note el punto decimal) los ceros son significativos En forma más general, usted puede eliminar cualquier incertidumbre en esos casos, expresando la medición en notación científica. Ejemplo 2.1.- 1Convertir 25 pies a metros Solución.- El lector puede hacer uso de los siguientes criterios para efectuar la conversión. a) pie ®
cm ®
m
25 pies *
1
30.48 cm 1m * = 7.62 m 1 pie 100 cm
El lector puede hacer uso de factores de conversión de la forma más conveniente, los ejemplos son alternativas de solución. 8
ERRORES EN LAS MEDICIONES b) pie ® pulg ®
cm
®
m
25 pies *
12 pulg 2.54 cm 1m * * = 7.62 m 1 pie 1 pulg 100 cm
Ejemplo 2.2.- Expresar 11.4 g/cm 3 en lb/pulg3. Solución: El lector puede hacer uso del siguiente procedimiento:
11.4
æ 2.54cm ö g 1lb * *ç ÷ cm3 453.6g è 1pulg ø
2.9
TEORÍA DE ERRORES
2.9.1
Medida y Error
3
=11.4
g 1lb 2.543 * cm3 lb * * = 0.412 3 cm 453.6g 1pulg3 pulg3
La medida experimental es la base de todo el conocimiento científico. Medir es comparar una determinada propiedad de un sistema con el valor que esa misma propiedad toma en otro sistema de referencia o patrón y al que hemos asignado previamente un número determinado. Por ejemplo, para medir la longitud de un cuerpo lo que hacemos es compararla con la de una regla, en la que se ha fijado previamente que cierta distancia entre dos puntos equivale a 1 m (o una pulgada, o una vara, etc). Como resultado de una medida se obtiene siempre un número que se escribe seguido del nombre del patrón o unidad. Ejemplo: una masa puede ser 21.3 g pero no 21.300 Sin embargo, esto no es todo. En el ejemplo anterior, si decimos que la masa vale 21.3 g podría parecer que este es el valor exacto de esta magnitud, es decir, que la masa es exactamente 21.30000..... g con infinitos ceros detrás del tres, lo que no tiene sentido. Las razones son varias. La primera y más importante, es que las leyes de la Física nos dicen que existen al menos algunas magnitudes que es imposible medir con infinitas cifras (la posición y el momento en mecánica cuántica). El problema es que aunque no existiera esta limitación intrínseca, nuestra habilidad y la perfección de los aparatos que usamos siempre van a introducir un margen de error en las medidas. A efectos prácticos lo que esto significa es que sólo podemos determinar un intervalo de valores en el que es probable que esté el verdadero valor de la magnitud. Volviendo al ejemplo de la masa: si decimos que una masa es 21.3 g, lo queremos expresar realmente que es probable (o casi seguro) que esté entre 21.2 g y 21.4 g. Ese intervalo de valores se expresa como: El valor del centro del intervalo se denomina media y representa lo que nosotros suponemos que vale la propiedad medida. Cuanto menor es el intervalo, mejor conocemos el verdadero valor de la magnitud que medimos. Siguiendo con el ejemplo de la masa escribiríamos: m = 21.3 ± 0.1 g. Esa mitad del valor del intervalo se denomina error absoluto, se representa por Dx, y es la suma de todas las posibles fuentes de error que concurren en la medida. Los errores absolutos se escriben precedidos del signo ± y seguidos de sus unidades. Así, en el ejemplo del apartado anterior el error absoluto sería ± 0.1 g. El error absoluto indica cómo es de bueno nuestro conocimiento de la magnitud física, pero es poco útil para comparar el conocimiento que tenemos sobre dos o más magnitudes. Así, si medimos dos masas de 1 Kg y 1 g con el mismo error absoluto de 0.1 g, es evidente que conocemos con más precisión la primera y que el error absoluto no sirve para expresarlo. Para evitar esta limitación de error absoluto, definimos error relativo (Dx/x). Como se ve, el error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor del centro del intervalo. En el ejemplo anterior Dx/x = 0.1/21.3 El error relativo carece de unidades (es un cociente de magnitudes con las mismas unidades) y suele expresarse en tanto por ciento. Dx * 100% e = x 2.9.2 Origen de los Errores De lo dicho anteriormente se deduce que cualquier medida experimental lleva asociada un determinado error, resultado de todos los factores que influyen sobre ella. Estos son básicamente el propio experimentador y el aparato de medida. Evidentemente, si el experimentador no sabe manejar el aparato de medida y no pone el suficiente cuidado al leer sus escalas, todo ello se traducirá en fuentes de error. Sin embargo, incluso observadores expertos pueden introducir inconscientemente inexactitudes cuando hacen suposiciones no justificadas en el acto de medir. Por ejemplo, si se utiliza un termómetro de laboratorio para medir la temperatura de una bañera llena de agua, es lícito suponer que la medida no va a depender de la temperatura inicial del termómetro, sin embargo, si utilizamos ese mismo termómetro de para medir la temperatura de 1 cm 3 de agua, es muy posible que obtengamos un resultado erróneo, ya que en este caso la medida va a estar dominada por la temperatura del aparato, no de la muestra a analizar. No hay una regla general para detectar y corregir este tipo de errores. Como son más difíciles de detectar que de corregir, el experimentador deberá analizar en cada experimento las hipótesis implícitas en el método de medida que utiliza y verificar si son ciertas.
9
ERRORES EN LAS MEDICIONES La otra fuente de error es el propio aparato de medida. Aunque se use correctamente, la calidad de las medidas realizadas con cualquier dispositivo viene siempre afectada por su precisión. Esta nos indica el error mínimo del aparato debido a sus características propias. Aunque existen varios factores que influyen sobre ella (por ejemplo, la fidelidad del aparato, o su capacidad de dar siempre la misma lectura en las mismas condiciones experimentales), la precisión suele venir determinada por la resolución del aparato, es decir, la mínima división de su escala. Por ejemplo: 1 mm en una regla milimetrada o 1 minuto en un reloj con manecillas. Un aparato es preciso cuando al medir varias veces la misma magnitud, los resultados son muy similares unos a otros. Un aparato es exacto cuando el resultado de las medidas es o esta muy cerca del resultado real (si pudiéramos conocerlo). La precisión del aparato se puede verificar haciendo varias medidas. Para conocer la exactitud es a menudo necesario hacer la misma medida con varios aparatos diferentes. Cuando un aparato no es exacto, usualmente la desviación entre el dato real y el obtenido es siempre la misma o muy parecida. Es decir, tenemos siempre el mismo error sistemático. Por ejemplo, la hora dada por un error adelantado cinco minutos siempre tendrá un error sistemático de, precisamente, cinco minutos, independientemente de que nosotros lo sepamos o no, y solo podríamos saberlo pidiéndole la hora a varios compañeros. Errores sistemáticos pueden también producirse por la mala práctica del experimentador, y han de corregirse siempre que sea posible. Alternativamente, puede ocurrir que los errores cometidos no sean siempre los mismos, comportándose de forma imprevisible, aleatoria, unas veces aumentando, otras disminuyendo la medida, y en cantidades diferentes en cada intento de medir. Las causas pueden ser pequeñas variaciones en la magnitud a medir, a la limitada precisión de los aparatos o un experimentador poco hábil. Este tipo de error se denomina error aleatorio. Su característica principal es que no podemos hacer más que acotarlo en valor absoluto utilizando la teoría estadística de errores y está siempre presente (aunque sea muy pequeño) en cualquier medida. Cuando se efectúa una medición experimental, ésta no es exacta, esto quiere decir que no se conocerá el valor exacto o verdadero, por lo tanto existe una diferencia entre el valor medio y el valor verdadero, a esto se designa con el nombre de error de una medida experimental. El error de una medida es la diferencia entre el valor obtenido en esta medida y el valor verdadero de la magnitud que se mide. 2.10
CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES
Se clasifican en dos grupos: sistemáticos y casuales 2.10.1 Errores Sistemáticos Se caracterizan por tener la misma magnitud y el mismo signo, bajo las mismas condiciones por ejemplo el retardo de un reloj, Estos pueden ser: i) Errores instrumentales Son errores debido a los instrumentos que se emplean, por sus imperfecciones de construcción y/o mala calibración ii) Errores Naturales Son errores debido la incidencia de la influencia de algunos fenómenos físicos, como por ejemplo la dilatación térmica de los materiales, la presión atmosférica, la refracción de la luz, etc. iii) Errores personales Son errores causados por la posición del experimentador, uno de los errores más comunes es el error de paralaje, Retardo en la observación, falta de reflejos en el uso del cronómetro. 2.10.2 Errores Casuales Estos errores por lo general son insignificantes, se compensan unos con otros. Se caracterizan por tener casualidad de ocurrencia y cantidad, además, pueden ser positivos o negativos. Se los detectan en un grupo de medidas mediante el uso de la Teoría Estadística. 2.11
TEORÍA ESTADÍSTICA DE ERRORES
Esta probado estadísticamente que el error disminuye si se realiza varias veces la medición, y se toma como valor más probable la media aritmética de los valores obtenidos; cuanto mayor sea el número de lecturas, el valor medio de ellas se aproxima más al verdadero. Existen métodos adecuados para combinar las inseguridades de los diversos factores que influyen en el resultado. El número mínimo de medidas admisible para una magnitud física es de tres medidas. 10
ERRORES EN LAS MEDICIONES
2.11.1 Valor Medio [ X ] Es la media aritmética de una serie de medidas. Cuando las inseguridades será mas preciso, o sea más próximo al valor verdadero cuanto mayor sea siguiente expresión matemática. X + X2 + X3 + .............XN X= 1 = N Donde: X1, X2, ……….XN = N
son debidas a errores accidentales. El valor medio el número de medidas, se determina a partir de la
1 N å Xi N i =1
son las medidas obtenidas =
Número de medidas u observaciones
2.11.2 Desviación Media [MD] La desviación media es otra forma de medir el esparcimiento y es la distancia promedio entre cada valor de la distribución y la media aritmética.
MD =
åX-X N
Ejemplo 2.3.- Las mediciones de pH de una solución de ácido sulfúrico realizado por 5 estudiantes son los siguientes: 5.0, 5.1, 4.9, 4.8 y 5.0. a) Calcular la media aritmética y b) la desviación media. Solución.a)
Xi X=å N
5.0 + 5.1 + 4.9 + 4.8 + 5.2 = 5
5.0
=
b) La desviación media es: MD =
5.0 - 5.0 + 5.1 - 5.0 + 4.9 - 5.0 + 4.8 - 5.0 + 5.2 - 5.0 = 0.6 5
2.11.3 Desviación Estándar Es un perfeccionamiento de la desviación media y considerando como el más importante en la cuantificación del esparcimiento.
s=
å(x
i
-x
)
2
n -1
2.11.4 Varianza Es una consecuencia de la desviación estándar, es decir, es decir:
s2 =
å(x
i
-x
)
2
n -1
2.12 ERROR DEL VALOR MEDIO (ERROR ESTÁNDAR) [E] Se llama error del valor medio a la discrepancia o relación que existe entre el valor verdadero (x) y el promedio de las mediciones
x. E=x-
x
Este error puede ser positivo o negativo y se puede expresar como:
±E Este error es menor cuanto mayor sea el número de observaciones. El error del valor medio es igual a la desviación estándar dividido por el número de mediciones 11
ERRORES EN LAS MEDICIONES El error del valor medio es igual a la desviación estándar dividido por el número de observaciones.
s
E=
(n - 1)
Despejando “x” de la anterior ecuación:
x = x±E Que representa una interpretación probabilística de que el valor de “x” se encuentre en ese intervalo que se denomina “Intervalo de Confianza” Ejemplo 2.4.- Determinar: a) la media aritmética, b) desviación estándar, c) varianza, error del valor medio, error relativo y porcentual de las siguientes mediciones: n
xi (mm)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 å
152 151 150 151 153 152 153 152 151 150 1515
(x - x ) 0.5 - 0.5 - 1.5 - 0.5 1.5 0.5 1.5 0.5 - 0.5 - 1.5
(x - x )2 0.25 0.25 2.25 0.25 2.25 0.25 2.25 0.25 0.25 2.25 10.5
a) Media aritmética
x=
1 n 1515 å xi= 10 = 151.5 mm n i =1
b) Desviación estándar
å ( x - x) = 10.5 = 1.08 mm n -1 9 2
s=
La desviación estándar también puede ser calculada por:
(å x )
2
s=
åx
2
-
i
n -1
i
n
Para ello los datos son: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 å
åx
xi (mm) 152 151 150 151 153 152 153 152 151 150 1515 2 i
=
(1515)
2
x i2 23104 22801 22500 22801 23409 23104 23409 23104 22801 22500 229533
= 2295225
Por tanto:
(å xi ) -
2
å xi2 = n s= n -1
229533 - 2295225 10 = = 9
c) Varianza
12
10.5 9
1.08
ERRORES EN LAS MEDICIONES
s2
2 1 å ( x - x) n -1
=
1 = = (10.5) 1.167 9
d) Error del valor medio
s = 1.08= 0.36 n -1 9
E= Por tanto el valor verdadero será:
x = 151.5 ± 0.36 e) Error relativo
Er =
E x
0.36 = =2.37 * 10-3 151.5
f) Error porcentual:
%E = Er * 100% = 2.37 * 10 2.12
-3
* 100% = 0.24%
PROPAGACIÓN DE ERRORES
En la práctica muchas veces se presenta el caso de la determinación de una magnitud física efectuada a partir del cálculo, con valores obtenidos en la medida directa de las magnitudes que figuran en la ley representativa del fenómeno. La determinación indirecta de la desviación presupone que la magnitud que quiere medirse sea una función F = F(X, Y, ……) de otras magnitudes, X , Y, …… etc, independientes entre sí, y cuyos valores provienen de observaciones directas. 2.12.1 Determinación de la precisión final a partir de variables dependientes Para su mejor comprensión consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.5 En laboratorio se ha determinado las siguientes dimensiones de un cilindro, a partir de estos datos calcule el volumen del cilindro. D[cm] h[cm]
5.4 8.0
5.0 7.8
5.2 7.9
5.3 7.5
5.5 7.7
5.4 7.9
5.0 8.0
5.1 7.8.
5.3 7.9
Solución.Para la determinación del volumen del cilindro, en principio se determinará el diámetro y la altura. Determinación del diámetro n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 å
Di (cm) 5.4 5.0 5.2 5.3 5.5 5.4 5.0 5.1 5.3 5.2 52.4
Media aritmética =
Di
2
29.16 25.00 27.04 28.09 30.25 29.16 25.0 26.01 28.09 27.04 274.84
52.4 = 5.24 10
å Di = (52.4) = 2745.76 2
s=
åD
2 i
( åD ) -
n -1
n
i
2
2
274.84 - 2745.76 10 = 0.264 = 0.17 = 9 9
d) Error del valor medio 13
5.2 8.1
ERRORES EN LAS MEDICIONES
s
E=
n -1
=
0.17 9
= 0.057
Por tanto el valor verdadero será:
D = 5.24 ± 0.057 h[cm]
8.0
7.8
7.9
7.5
7.7
7.9
8.0
7.8
Determinación de la Altura n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 å
hi 2 64.00 60.84 62.41 56.25 59.29 62.41 64.00 60.84 62.41 65.61 618.06
hi (cm) 8.0 7.8 7.9 7.5 7.7 7.9 8.0 7.8 7.9 8.1 78.6
78.6
Media aritmética =
(å h ) = (78.6) 2
10 2
i
(å h )
2
s=
åh
i
2
-
n -1
i
n
= 7.86
= 6177.96
6177.96 618.06 10 = 9
0.17 =
d) Error del valor medio
E=
s n -1
=
0.17 9
= 0.057
Por tanto el valor verdadero será:
h = 7.86 ± 0.057 El volumen de un cilindro se calcula mediante la fórmula:
V=
π 4
2
D h
Se puede considerar 2 métodos: i) Método Logarítmico Cálculo de
V:
V=
π 2 π D h = (5.24 cm )2 * 7.86 cm = 169.5 cm 3 4 4
Cálculo del error del volumen “DV” A partir de:
V=
π 4
2
D h
Aplicando logaritmos: 14
7.9
8.1
ERRORES EN LAS MEDICIONES
ln V = ln π - ln 4 + 2 ln D + ln h Diferenciando los logaritmos:
ΔV ΔD Δh = 0-0+2 + V D h æ ΔD Δh ö + ΔV = 2ç ÷*V h ø è D Reemplazando datos:
æ 0.057 0.057 ö 3 3 + ΔV = ç 2 * ÷ *169.5 cm = 4.92 cm 5.24 7.86 ø è Por tanto el volumen buscado es:
V = V ± ΔV V = 169.5 ± 4.92 cm 3 El lector también puede calcular por el siguiente método: ii) Método Diferencial
D = 5.24 ± 0.057 h = 7.86 ± 0.057 A partir de:
V=
π 4
2
D h
Aplicando derivadas parciales:
dV =
¶V ¶V dD + dh ¶D ¶h
Operando parcialmente:
¶V π π = * 2Dh = Dh ¶D 4 2 ¶V π 2 = D ¶h 4
Por tanto:
Reemplazando datos:
ΔV =
dV =
π π D * h * dD + D 2 * dh 2 4
DV =
p p D * h * DD + D 2 * Dh 2 4
π π * 5.24cm * 7.86cm * 0.057 + (5.24cm)2 * 0.057cm = 4.92 cm 3 2 4
Por lo tanto el volumen buscado es:
V = V ± ΔV V = 169.5 ± 4.92 cm 3
15
ERRORES EN LAS MEDICIONES 2.13
AJUSTE A UNA RECTA
Experimentalmente es muy frecuente que supongamos que dos magnitudes x e y están relacionadas y que hagamos mediciones de y para distintos valores de x. Por ejemplo, puede medirse el volumen de un determinado gas en función de la temperatura a presión constante. Una vez obtenidos las dos series de datos, x e y, podemos preguntarnos si de verdad existe una relación entre ambos (en el ejemplo anterior entre el volumen y la temperatura del gas). Una forma sencilla de saberlo es representar los valores en una gráfica y ver si existe alguna función para la que se cumpla y = f(x) (exacta o aproximadamente). Uno de los casos más comunes es cuando la relación entre ambas variables es linear, es decir y se puede escribir como: y=ax+b Donde a y b son constantes. Sin embargo, este método “visual” de establecer la dependencia entre dos variables puede llevarnos a error, puesto que incluye un componente subjetivo. Lo que necesitamos es un método matemático que nos cuantifique la bondad de la suposición que hacemos, en este caso que y es una función lineal de x y que nos de los valores de a y b para la mejor recta posible (la que pase lo más cerca posible de todos los pares x,y). Es decir, que nos sirva para verificar la hipótesis de que la relación entre las variables x e y es lineal. Este método es el método de los mínimos cuadrados 2.14 MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Supongamos que hay n pares de mediciones (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn) y que los errores están en su totalidad considerados en los valores de y (es decir, conocemos exactamente el valor de x). Si suponemos que yi es exactamente ax i + b, el error cometido en la medida será: yi – a xi – b. La mejor recta será aquella cuyos valores de a y b minimicen la suma de los errores para todas las mediciones, porque será aquella que en conjunto se desvíe menos del conjunto de datos en general. Sin embargo, esto tiene el problema de que algunos errores pueden ser positivos y otros negativos. Si lo que nosotros miramos es la suma total, algunos se cancelarían entre sí, lo que no tiene sentido. Para evitarlo lo que hacemos es minimizar la suma de los cuadrados de los errores, que siempre será positiva. Tenemos entonces:
D
å=( yi - axi - b )
2
= min
y
Aplicando la condición de mínimo
¶D = å -2 xi ( y i - ax i - b ) = 0 ¶a ¶D = å -2 ( y i - ax i - b ) = 0 ¶b
a=
(yi – axi - b)
åxy -åx y åx - åx x i
i
i
2
i
i
b = y - ax
x
Sin embargo, nosotros podríamos obtener valores de a y b para cualquier conjunto de datos, estuvieran relacionados o no. El parámetro que nos cuantifica si de verdad y es una función lineal de x es el coeficiente de correlación, que tiene la expresión:
r =
{
nå xi y i -å xi å y i
}
é nå x 2 - ( x )2 ù énå y 2 - ( y )2 ù i i i i ë ûë û
1/2
Los valores de r se encuentran siempre en el intervalo [-1, 1]. Si r®1, existe correlación entre x e y, es decir, y depende linealmente de x. Por el contrario si r®0 debe concluirse que x e y son independientes (o que y no depende linealmente de x) y por lo tanto carece de sentido expresar y = ax + b. En general, si r< 0.8, la correlación entre x e y es deficiente. El coeficiente de correlación nos permite entonces verificar la hipótesis de partida que indicaba que la relación entre los valores x e y es lineal. Si la hipótesis es verdadera, el coeficiente será próximo a 1 (en valor absoluto), y si es falsa, r será menor de 0.8. A pesar de lo tedioso de los cálculos que hay que llevar a cabo para hacer un ajuste lineal por el método de mínimos cuadrados, hay que tener en cuenta que la mayoría de las calculadoras de bolsillo, así como software diverso, realizan este tipo de ajuste. Más en concreto, la hoja de cálculo Microsoft Excel permite realizar ajustes lineales de una forma rápida y sencilla. Los pasos a seguir son los siguientes: 1. Insertar los valores de xi en la columna A y los de yi en la columna B. 2. Señalar las dos columnas y abrir el asistente para gráficos: a. Tipo de gráficos: dispersión b. Siguiente c. Siguiente d. Siguiente e. Finalizar 16
ERRORES EN LAS MEDICIONES 3. Una vez se tienen dibujados los puntos, colocarse con el ratón sobre uno de ellos y presionar el botón derecho 4. Seleccionar “Agregar línea de tendencia” a. En la pestaña Tipo escoger “Lineal” b. En la pestaña Opciones señalar i. Presentar ecuación en el gráfico ii. Presentar el valor de R cuadrado en el gráfico c. Aceptar A continuación, con las “Opciones de gráfico” se introduce un título y los nombres y unidades de las magnitudes correspondientes a cada uno de los ejes (ver figura 1). Ejemplo 2.7.- Para la determinación de la velocidad de una partícula un estudiante obtuvo los siguientes datos: Espacio (m) Tiempo (s)
2.5 1
4 2
7 3
9.5 4
10 5
12 6
14 7
15 8
19 9
17 10
Determinar la velocidad de la partícula por ajuste de mínimos cuadrados.
Figura 2.1: Ejemplo de ajuste por mínimos cuadrados. Aplicación al cálculo de la velocidad desarrollada por un móvil Ejemplo 2.8.- Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s Valor que se considera exacto:
Errores absoluto y relativo de cada medida: Medidas
Errores absolutos
Errores relativos
3,01 s
3,01 - 3,12 = - 0,11 s
-0,11 / 3,12 = - 0,036
(- 3,6%)
3,11 s
3,11 -3,12 = - 0,01 s
-0,01 / 3,12 = - 0,003
(- 0,3%)
3,20 s
3,20 -3,12 = + 0,08 s
+0,08 / 3,12 = + 0,026
(+ 2,6%)
3,15 s
3,15 - 3,12 = + 0,03 s
+0,03 / 3,12 = + 0,010
(+ 1,0%)
Ejemplo 2.9.- Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar: a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m. b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m. a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m 17
ERRORES EN LAS MEDICIONES E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 ,59 = 0 , 025 = 2,5 % b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0,0015 = 0 , 15 % Observamos que el error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error relativo es considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la aproximación es menos precisa. Por ejemplo, si redondeamos el número 2,387 a las centésimas: Error absoluto:
Ea = |2,387 - 2,39| = 0,003.
Error relativo: Er = 0,003 / 2,387 = 0,0013 . Es decir, el 0,13%. Ejemplo 2.10.- La medida de los lados de un rectángulo son 1.53±0.06 cm, y 10.2±0.1 cm, respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error de la medida indirecta. El área es z=1.53×10.2=15.606 cm2 El error relativo del área Dz/z se obtiene aplicando la fórmula del producto de dos magnitudes.
Dz = z Dz
2
2
æ 0.06 ö æ 0.1 ö ç 1.53 ÷ + ç 10.2 ÷ = 0.04044422 è ø è ø
= ) * (0.0404422 ) = 0.63083 (1.53 * 10.2
El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. De acuerdo con la regla 3, la medida del área junto con el error y la unidad se escribirá como 15.6±0.6 cm2 EJERCICIOS 1. 2.
Queremos determinar la distancia que hay entre dos columnas. con una cinta métrica que aprecia milímetros. Realizamos cinco medidas y obtenemos los siguientes valores: 80,3 cm; 79,4 cm; 80,2 cm; 79,7 cm; y 80,0 cm.
¿Cuál es el resultado de ésta medida? ¿Cuál es el error absoluto y relativo de ésta medida? 3.
Para determinar la longitud de una mesa se han realizado cuatro mediciones con una cinta métrica. Los valores obtenidos son los siguientes: 75,2 cm; 74,8 cm; 75,1 cm; y 74,9 cm.
Expresar el resultado de la medida acompañado del error absoluto. ¿Entre qué márgenes se encuentra el valor real de la longitud de la mesa? 3.- Halle la recta y = A + Bx que mejor ajusta el conjunto de puntos: X y
2,31 7,35
4,11 8,81
6,35 10,4
8,82 12,3
10,1 13,5
2.15 BIBLIOGRAFIA http://www.sia.eui.upm.es/fisica/lib/exe/fetch.php?media=asignaturas:practicalab.pdf http://bacterio.uc3m.es/docencia/laboratorio/guiones/guiondeerrores.pdf http://destio.us.es/calvo/alumnos/t05esde1inf02/Principal_1.htm
www.iesabastos.org/archivos/daniel.../Calculo_de_errores.doc - Similares http://www.casado-d.org/edu/ExcelED.pdf http://free-books-online.net/estadistica-descriptiva-excel-2007-pdf-3
18
12,6 14,7
