UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Buenos Aires
TRABAJO PRÁCTICO N°1: M E D I C I O N E S C O N I N D E T E R M I N A C I O NE NE S
1. OBJETIVOS : El objetivo del presente es aprender a distinguir los distintos rangos de precisión en la medición de magnitudes físicas. Para ello se seguirán los siguientes pasos: Realizar mediciones de un cilindro metálico con 3 instrumentos de distinto grado de apreciación: regla, calibre y micrómetro. Comparar la precisión de dichos instrumentos y los intervalos de incertidumbre que induce cada uno de ellos al medir. A partir de las medidas realizadas (con cada uno de los instrumentos), calcular en forma indirecta el volumen del cilindro y determinar el intervalo de error inducido en el cálculo. Realizar gráficos de comparación de las mediciones realizadas con la regla, el calibre y el micrómetro. Extraer conclusiones. ATERIALES UTILIZADOS : 2. M ATERIALES
I. II. II. III. IV.
Cili Cilind ndro ro metá metálilico co.. Regl Regla a mili milime metr trad ada. a. Calibre. Mic Micróm rómetro etro..
3. DESARROLLO : En primera instancia se midió con la regla milimetrada (apreciación: 1 mm) el diámetro de la base del del cili cilind ndro ro (Ø) (Ø) y lueg luego o la altu altura ra (h). (h). Lueg Luego o se repi repititió ó éste éste proc proced edim imie ient nto o con con el cali calibr bre e (apreciación: 0.05 mm) y con el micrómetro (apreciación: 0.01 mm). Con los valores obtenidos se confeccionó la siguiente tabla:
Regla Calibre Micrómetro
Diámetro Ø 0 19 mm 19 mm 18.97 mm
FÍSICA I – CICLO LECTIVO 2006
Altura h0 23 mm 23 mm 23.04 mm
Página
1
de
8
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Buenos Aires
Recordemos que Ø = Ø ± Δ y que h = h ± Δ , de aquí se deduce que el volumen del cilindro V 0 Ø 0 h = V ± Δ estará influenciado por los errores cometidos en ambas mediciones. 0 V Nos interesa calcular cuál es la propagación de error en el cálculo de indirecto del volumen V. El volumen del cilindro V 0 estará definido por la fórmula:
V0 =
ز . h . π 4
Para el producto el error relativo resultante es igual a la suma de los errores relativos de cada uno de los factores, entonces el error relativo del cálculo de V será: 0
εv
= 2 εØ + εh + επ + ε¼
El factor racional ¼ es una constante y por ende no introduce ningún tipo de error ε = 0. ¼
El factor 2 multiplicando al error relativo del diámetro se debe a que dicha magnitud es elevada al cuadrado en la fórmula de cálculo del volumen. El número irracional π es también una constante pero en éste caso sí se introduce un error. Puesto que resultaría imposible e inútil considerar todas sus cifras decimales decidimos truncarlo y por lo tanto introducimos un error. Para resultar despreciable, el error relativo de π se calculará 10 veces menor que 2 ε + ε . Ø
h
2 εØ + εh > 0.1 επ La tabla muestra los errores relativos introducidos por el redondeo del número π: Número de Iteración 1 2 3 4 5 6 7
π0
Δπ
3 3,1 3,14 3,141 3,1415 3,14159 3,141592
0,1415926 0,0415926 0,0015926 0,0005926 0,0000926 0,0000026 0,0000006
επ
< 0,1 < 0,1 < 0,001 < 0,001 < 0,0001 < 0,000001 < 0,000001
El siguiente paso es calcular para cada uno de los tres instrumentos individualmente el error relativo que inducen.
FÍSICA I – CICLO LECTIVO 2006
Página
2
de
8
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Buenos Aires
A) REGLA MILIMETRADA Ø = 19.0 ± 1 mm H = 23.0 ± 1 mm Δ εØ
εh
Ø
=
0
=
Ø
19 mm
Δ
1 mm
h
=
1 mm
0
=
h
=
0.0526…
=
0.0435…
23 mm
2 εØ + εh = 2 . 0.05263 + 0.04347 = 0.14873 Considerando éste resultado usaremos la iteración N° 3 del cálculo de π, y el error resultante será: εv
= 2 εØ + εh + επ + ε¼ = 0.0435 + 0.0016 = 0.0451
Calculando el valor V0 del volumen: ز . h . π
V = 0
=
(19 mm)² . 23mm . 3.14
4
=
6517.8550 mm³
4
Calculando el error absoluto Δ V: ΔV =
εv
.
V0 = 0.0451 . 6517.855 mm³ = 293.9552 mm³
Finalmente podemos expresar el volumen del cilindro como: V = V ± Δ = 6517.8550 mm³ ± 239.9552 mm³ 0
V
Redondeando éstas expresiones a valores enteros:
FÍSICA I – CICLO LECTIVO 2006
Página
3
de
8
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Buenos Aires V
= 6518 mm³ ± 240 mm³ = 6.5 cm³ ± 0.2 cm³ REGLA
B) C ALIBRE Ø = 19.00 ± 0.05 mm H = 23.00 ± 0.05 mm Δ εØ
εh
0.05 mm
Ø
=
=
0
Ø
19 mm
Δ
0.05 mm
h
=
=
0.00263…
=
0.00217…
=
0
h
23 mm
2 εØ + εh = 2 . 0.00263 + 0.00217 = 0.00743 Considerando éste resultado usaremos la iteración N° 5 del cálculo de π, y el error resultante será: εv
= 2 εØ + εh + επ + ε¼ = 0.00743 + 0.00009 = 0.00752
Calculando el valor V0 del volumen: ز . h . π
V = 0
=
(19 mm)² . 23mm . 3.1415
4
=
6520.96862 mm³
4
Calculando el error absoluto Δ V: ΔV =
εv
.
V0 = 0.00752 . 6520.96862 mm³ = 49.03768 mm³
Finalmente podemos expresar el volumen del cilindro como: V = V ± Δ = 6520.96862 mm³ ± 49.03768 mm³ 0
V
FÍSICA I – CICLO LECTIVO 2006
Página
4
de
8
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Buenos Aires
Redondeando éstas expresiones a valores enteros: V
= 6521 mm³ ± 49 mm³ = 6.52 cm³ ± 0.05 cm³ CALIBRE
C) MICRÓMETRO Ø = 18.97 ± 0.01 mm H = 23.04 ± 0.01 mm Δ εØ
εh
=
=
0.01 mm
Ø
=
0
Ø
18.97 mm
Δ
0.01 mm
h
=
0.000527…
=
0.000434…
=
0
h
23.04 mm
2 εØ + εh = 2 . 0.000527 + 0.000434 = 0.001488 Considerando éste resultado usaremos la iteración N° 5 del cálculo de π, y el error resultante será: εv
= 2 εØ + εh + επ + ε¼ = 0.001488 + 0.00009 = 0.001578
Calculando el valor V0 del volumen:
V = 0
ز . h . π
=
(18.97 mm)² . 23.04 mm . 3.1415
4
=
6511.69738 mm³
4
Calculando el error absoluto Δ V:
FÍSICA I – CICLO LECTIVO 2006
Página
5
de
8
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Buenos Aires
ΔV =
εv
.
V0 = 0.001578 . 6511.69738 mm³ = 10.275458 mm³
Finalmente podemos expresar el volumen del cilindro como: V = V ± Δ = 6511.69738 mm³ ± 10.275458 mm³ 0
V
Redondeando éstas expresiones a valores enteros: V
= 6512 mm³ ± 10 mm³ = 6.51 cm³ ± 0.01 cm³ MICRÓMETRO
A continuación se representarán los valores obtenidos en un gráfico.
FÍSICA I – CICLO LECTIVO 2006
Página
6
de
8
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Buenos Aires
FÍSICA I – CICLO LECTIVO 2006
Página
7
de
8
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Facultad Regional Buenos Aires
4. CONCLUSIONES : Tras las mediciones del mismo elemento con tres instrumentos distintos se pudo determinar comparativamente el grado de precisión de cada uno. El grado de precisión estará determinado por el error relativo porcentual, que para la medición de realizada con la regla es aproximadamente 4.51; para la medición del calibre es aprox. 0.74 y para la medición efectuada micrómetro es aprox. 0.15. Al utilizar las mediciones obtenidas para calcular el volumen, se pudo observar cómo se propagan proporcionalmente los errores; para esto se debió elegir el valor representativo de la constante irracional π procurando no introducir una mayor indeterminación al cálculo. Al observar el gráfico de la página anterior, se puede verificar que las mediciones fueron realizadas en forma correcta puesto que existe un intervalo de superposición entre las rectas determinadas por cada una de las mediciones.
FÍSICA I – CICLO LECTIVO 2006
Página
8
de
8
