MEDICIONES Y TEORIA DE ERRORES I) OBJETIVOS: 1.1.) En el presente laboratorio aprendimos a usar correctamente, esto incluye también tomar las lecturas en los instrumentos tales como el vernier (pie de rey), micrómetro y cronometro, entre otros. 1.2.) Que aplicáramos la teoría de errores en las mediciones de las magnitudes físicas que llevamos a cabo en el laboratorio. II) MATERIAL A UTILIZAR: 2.1.) Una regla graduada en milímetros. 2.2.) Un vernier de sensibilidad 0.05 Mm. 2.3.) Un micrómetro de sensibilidad 0.01mm. 2.4.) Un cronometro. 2.5.) Un cilindro sólido. 2.6.) Un paralelepípedo. 2.7.) Un equipo de péndulo simple. 2.8.) Una balanza. III) MARCO TEORICO Y CONCEPTUAL: La teoría de errores nos da un método matemático para determinar con una buena aproximación una cierta cantidad medida en el laboratorio, a la cual definimos como el verdadero valor, aunque este valor jamás sabremos cual es el verdadero valor en la práctica. Para hablar de una medida precisa, debemos de eliminar la mayoría de los errores sistemáticos, y los errores casuales deben de ser muy pequeños, y esto nos permite dar el resultado con un gran número de cifras significativas. 3.1) Medición: Es el proceso de comparación de las magnitudes, para esto debemos emplear el mismo sistema de medidas previamente establecido y que en la práctica deben de ser cumplidas, a continuación mencionaremos tres tipos de medición: 3.2) Clases de Medidas 3.2.1) Medida directa Se asume como unidad de medida una unidad patrón, la medida directa se efectúa por comparación con el patrón escogido como la unidad de medida. Este método es conocido como método de medida relativa, porque los números que nos dan la medida de la magnitud dependen de la unidad de medida seleccionada y pueden ser fijadas de modo arbitrario. 3.2.2) Medida indirecta Una cantidad como la densidad de un cuerpo, son medidas indirecta, ejemplo. Un cuerpo tiene una densidad p igual M V, la densidad esta en función de la masa y el volumen, por lo tanto es una medida indirecta.
3.3) Error en una medición Llámese error a: La diferencia que se tiene a una medición y “el valor verdadero”. La incertidumbre estimada de un valor medio o calculado, la que puede ser expresada mediante la desviación estándar. Por lo general los errores se dividen en dos clases: Errores sistemáticos y errores casuales o aleatorios. 3.4) Clases de errores 3.4.1) Errores Sistemáticos Cuando determinados errores se repiten constantemente en el transcurso de un experimento o bien durante una particular serie de medidas, se dice que los errores están presentes de manera sistemática efectuando así los resultados finales siempre en un mismo sentido. Se pueden ver varias clases de errores sistemáticos como son: 3.4.2) Errores Casuales o Accidentales Son aquellos que se presentan a cada instante en la medición de cualquier magnitud física, siendo imposible determinar la causa de estos errores, pueden ser: A continuación mencionaremos algunos ejemplos de este tipo de errores: a) De apreciación o juicio b) De condiciones de trabajo c) de factor de definición 3.5) Calculo de Errores para Medidas Directas 3.5.1) Tratamiento estadístico.- En la medición de una magnitud física “a”, supongamos lo siguiente: a) Se ha tenido cuidado en eliminar los errores sistemáticos, es decir las medidas son exactas. b) Sólo existen errores aleatorios o causales de modo que las medidas son precisas. c) Las mediciones se repiten n ≥ 10 veces, siguiendo en mismo proceso, con los mismos instrumentos, obteniéndose distintas lecturas. ai = a1 ; a2 ; … ; an d) Para determinar el valor verdadero de la magnitud “a” a partir de las lecturas, se toma el mejor valor de la magnitud a su valor promedio “ā”, dado por: a + a2 + ... + an ∑i =1 ai (1) ai = 1 = n n e) El error cuadrático medio, de una serie de medidas de la magnitud “a” se obtiene mediante la ecuación: n
_
µ=±
∑ (a i − a ) n −1
2
∑e
2
=±
k
n −1
(2)
Donde, “n” es el número de mediadas y ek = (ai - ā), es el error aparente de la cantidad de “a”. f) Si luego de calculado µ, se tiene que algunas lecturas, está fuera del intervalo: ā -3µ ≤ ai ≤ ā + 3µ, esta lectura no es confiable y debe ser eliminada. En esta situación se procede a hacer los cálculos utilizando en número de valores confiables. g) El error estándar; de una serie de medidas de una magnitud “a” se obtiene mediante la ecuación: _
σ =±
µ =± n
∑ (a − a) i
2
(3)
n(n − 1)
h) el error estándar calculado en la ecuación (3), indica que si las lecturas corresponden a una distribución gaussiana, entonces en le intervalo (ā -3σ ≤ a ≤ ā + 3 σ) se encuentra en casi absoluta certeza el valor “verdadero” de la magnitud “a”. La magnitud física debe ser escrita finalmente en la forma siguiente: a=ā±3σ
(4)
3.5.2 Tratamiento No Estadístico.- Llámese tratamiento no estadístico a aquel en que el número de mediciones (n) es menor que 1. Existen dos posibilidades: a) Si el número de medidas de la magnitud física es menor de 10, entonces el error está dado por: a − amin (5) ∆a = max 2 Donde: amax = max.(a1 , a2 , … , an); n<10 amin = min.(a1 , a2 , … , an); n<10 La magnitud se escribe finalmente mediante: a = ā ± Δā
(6)
b) Si sólo se ha efectuado una sola medida, el error Δao, se estima la sensibilidad del instrumento, luego el valor considerado verdadero se obtiene mediante: a = a1 ± Δao (7) 3.5.3. Error Absoluto.- Llámese error absoluto alas cantidades (3δ, Δa y Δao) de las ecuaciones (4), (6) y (7). 3.5.4. Error Relativo.- está dado por el conciente del error absoluto y el valor promedio de la magnitud física medida. (8) error...absoluto er = _ a 3.5.5. Error Porcentual.- Definido por el producto del error relativo por 100, expresado en porcentaje. ep = er x 100% (9)
3.6. Cálculo de Errores para Medidas Indirectas Si F es una magnitud física que depende de varias magnitudes distintas x, y, z,…z es decir: F = f(x, y, z,…) (10) Y al medir experimentalmente las magnitudes x, y, z,…, se considera a F como resultado de una magnitud indirecta. Para determinar la magnitud F con su respectivo error, hay que distinguir las siguientes situaciones: i) Todas las magnitudes x, y, z,…, se considera a F como resultado de una magnitud indirecta. ii) Ninguna de las magnitudes x, y, z,…, son estadísticas. iii) Alguna de las magnitudes x, y, z,…, son estadísticas y las restantes no la son. 3.6.1 Tratamiento Estadístico.- En la medida de cierta magnitud física f, supongamos lo siguiente: a) Se ha tenido cuidado en eliminar los errores sistemáticos y sólo existen errores causales. b) Las lecturas de las mediciones de cada una de las magnitudes se repiten para n ≥ 10, siguiendo el mismo proceso. xi = x1 ; x2 ; … ; xn yi = y1 ; y2 ; … ; yn zi = z1 ; z2 ; … ; zn c) Se obtienen los valores promedios de cada una de las magnitudes _
x=
∑x
_
i
y=
n
∑y
∑z
_
i
z=
n
(11)
i
n
d) El valor promedio de la magnitud física F, está dado por: _
_
_
_
(12)
F = ( x, y, z , ..) e) el error cuadrático medio de la magnitud F, está dado por: ∂F µf = ± ∂x
2
∂F µ x + ∂y 2
2
∂F µ y + ∂z 2
2
µ
2 z
+ ...
(13)
f) El error estándar está dado por: ∂F σf =± ∂x
2
∂F σ x + ∂y 2
2
∂F σ y + ∂z 2
2
σ
2 z
+ ...
g) La magnitud física F, finalmente debe ser escrita de la siguiente forma.
(14)
F = F ± 3σf
(15)
h) La cantidad 3σ constituye el error absoluto, y el error relativo está expresado por: 3σ er = _ F (16) F i) El error porcentual estará expresado por: e% =
3σ F _
(17)
x100%
F
3.6.2. Tratamiento No Estadístico.- El problema que a continuación se plantea es un caso general. Sea F = f(x, y, z,…), se plantea las siguientes situaciones: a) Todas las magnitudes físicas x, y, z,…, se miden un número de veces no mayor que 9 (n<10), el error absoluto de la magnitud F se determina de la ecuación: ∆F =
∂F ∂F ∂F ∆x + ∆y + ∆z ∂x ∂y ∂z
(18)
b) Todas las magnitudes x, y, z,…, se miden una sola vez, entonces el error absoluto de F está dado por: ∂F ∂F ∂F ∆F = ∆xo + ∆yo + ∆zo (19) ∂x ∂y ∂z c) Un grupo de cantidades se mide una sola vez, otro grupo un número de veces menor que 10 y lo que resta un número mayor que 10, entonces el error absoluto de F, se determina por: ∂F ∂F ∂F ∆F = ∆xo + ∆y + (3σ o ) (20) ∂x ∂y ∂z IV) METODOLOGIA: 4.1. Para determinar la dimensión de la mesa a) Seleccione una dimensión de la mesa (largo, ancho o altura). b) Con la regla mida la dimensión seleccionada, registrando su lectura en la tabla I. c) Repita el paso (b) por 12 veces. Tabla I. Datos para determinar la dimensión de la mesa n ai
1
2 82.53
3 82.52
4 82.54
5 6 7 8 9 82.53 82.52 82.53 82.53 82.53
10 11 12 82.53 82.52 82.52 82.53
4.2. Para determinar el volumen del cilindro a) Seleccione una de los cilindros (plomo, cobre o aluminio). b) Con el vernier, mida el diámetro 12 veces, registre su lectura en la tabla II. c) Con el vernier, mida la altura 12 veces y registre sus lecturas en la tabla II. Tabla II. Datos para determinar el volumen del cilindro n D(Mm.) h(Mm.)
1 25.58 101.7
2 25.59 101.65
3 25.58 101.6
4 25.57 101.7
5 25.58 101.6
6 25.575 101.7
7 25.58 101.6
8 25.58 101.65
9 25.585 101.85
10 25.575 101.7
11 25.58 101.7
4.3. Para determinar el periodo del péndulo a) instale el equipo tal como se muestra en la Fig. 1, suspendiendo la masa esférica del soporte pendular.
C
B
Fig.1
A
b) Ajuste el hilo que sostiene la masa pendular a 1m de longitud, verificando dicho valor con la regla, registrando la lectura en la tabla II. c) Desplace la masa pendular hasta la posición c, aproximadamente 10 cm., midiendo en la forma horizontal y suelte dicha masa a partir del reposo. d) Con el cronómetro mida el tiempo que demora el péndulo en dar 10 oscilaciones, registre su lectura en la tabla III. e) Repita el paso (d) por 10 veces y anote sus lecturas en la tabla III. f) Con los datos obtenidos en los pasos (d) y (e) determine el periodo de la masa pendular (T = t/n) Tabla III. Datos para determinar el período del péndulo L = 1m. n 1 t(s) 19.88 T(s) 19.88
2 19.77 19.77
3 19.77 19.77
4 19.85 19.85
5 19.79 19.79
6 19.81 19.81
4.4. Para determinar la densidad de la masa pendular
7 19.78 19.78
8 19.83 19.83
9 19.76 19.76
10 19.80 19.80
12 25.58 101.65
a) Con el micrómetro mida por 6 veces el diámetro de la esfera del péndulo, registre su lectura en la tabla IV. b) Con la balanza mida por una sola vez la masa de la esfera del péndulo, registre su lectura en la tabla IV Tabla IV. Datos para determinar la densidad de la masa pendular. n 1 D(Mm.) 13.79 M (g) 11.3
2 13.83 11.3
3 19.81 11.3
4 13.83 11.3
5 13.80 11.3
6 13.78 11.3
4.5. Para determinar el volumen de un paralelepípedo a) Con el vernier mida dos veces cada una de las dimensiones (largo, ancho y altura) del paralelepípedo, registre su lectura en la tabla V. b) Con el vernier mida por 11 veces las alturas y los diámetros de cada uno de los orificios cilíndricos del paralelepípedo, registre su lectura en la tabla V. Tabla V. Datos para determinar el volumen de un paralelepípedo n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a(cm.) b(cm.)
c(cm.)
d1(cm.)
h1(cm.)
d2(cm.)
h2(cm.)
8.345 8.340
1.540 1.540
1.135 1.135 1.130 1.130 1.130 1.135 1.130 1.135 1.135 1.135 1.135
0.585 0.580 0.585 0.585 0.585 0.585 0.585 0.585 0.585 0.585 0.585
2.00 1.95 1.95 1.95 1.95 1.95 1.90 1.90 1.95 1.95 1.95
0.975 0.975 0.975 0.975 0.970 0.970 0.970 0.970 0.970 0.975 0.975
7.490 7.495
V) CUESTIONARIO: 5.1. Con los datos de la tabla I, determine la dimensión de la mesa con su respectivo valor absoluto y porcentual. 1) Tabulación de la longitud de la mesa: n ai
1 82.53
2 82.52
3 82.54
4 82.53
5 82.52
6 82.53
7 82.53
8 82.53
9 82.53
10 82.52
11 82.52
2) Procesamiento de datos y cálculo del error. Medición: Directa Procesamiento: Estadístico a) Promedio _
L=
_
L=
82.53 + 82.52 + 82.54 + 82.53 + 82.52 + 82.53 + 82.53 + 82.53 + 82.53 + 82.52 + 82.52 + 82.53 12
990.33 = 82.528 Cm 12
12 82.53
b) Error cuadrático medio (µ) _
µ=±
Se tiene que hallar:
∑ ( L − L) i n −1
2
_
2
∑ ( L − L) i
n Li (Li-L) (Li-L)2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
82.53
82.52
82.54
82.53
82.52
82.53
82.53
82.53
82.53
82.52
82.52
82.53
0.002
0.002
-0.008
-0.008
0.002
0.002
0.012
-0.008
0.000004 0.000004 0.000064 0.000064 0.000004 0.000004 0.000004 0.000004 0.000064 0.000004 0.000144
0.000064
_
∑( L −L) i µ=±
0.000428 = ± 0.000038909 12 − 1
0.002
2
= 0.000428cm
µ = ±0.00624
d) Error estándar (σ) _
σ =±
∑ (a − a ) i
µ =± n
Reemplazando:
σ =±
2
n(n − 1)
0.00624 σ = ±0.00054 132
e) Error absoluto (Ea) Ea = ± 3(σ) cm. Ea = ± 3(0.00054) cm. Ea = ± 0.00162 cm. f) Error relativo (Er)
Er =
Ea _
L
=
± 0.00162 82.528
Er = ± 0.000001962 cm. g) Error porcentual (E%) E% = (Erx100) % E% = 0.0001962 %
0.002
2
-0.008
0.002
_
_
h) Longitud de mesa
L = L± E %
L = 82.528 + 0.0001962 = 82.5281962 <> 82.5282cm. L = 82.528 - 0.0001962 = 82.5278038 <> 82.5278cm. 5.2. Con los datos de la tabla II, determine el volumen del cilindro con su respectivo valor absoluto y porcentual. 1) Tabulación de datos: n D(Mm.) h(Mm.)
1 25.58 101.7
2 25.59 101.65
3 25.58 101.6
4 25.57 101.7
5 25.58 101.6
6 25.575 101.7
7 25.58 101.6
8 25.58 101.65
9 25.585 101.85
10 25.575 101.7
11 25.58 101.7
12 25.58 101.65
2) Procesamiento de datos Medición: Indirecta Tratamiento: Estadístico Diámetro: D (n = 12) Altura = h(n = 8) Se desea calcular: V = ¿? Si: V = πR2h …. (α) V = πD2h/4 a) Promedio _
25.58 + 25.59 + 25.58 + 25.57 + 25.58 + 25.575 + 25.58 + 25.58 + 25.585 + 25.575 + 25.582 + 5.58 12 _ 306.96 D= = 25.5796 Mm 12
D=
_
h= _
h=
101.7 + 101.65 + 101.6 + 101.7 + 101.6 + 101.7 + 101.6 + 101.65 + 101.85 + 101.7 + 101.7 + 101.65 12
1220.100 = 101.675 Mm 12
b) Valor promedio del volumen _
_
π ( D) 2 h V = 4 _ π (25.5796Mn ) 2 (101 .675 Mn ) _
V =
4
_
V = 52250 .6335 Mn 3
c) Error cuadrático _ ∂V µV = ± _ ∂D _
∂V _
∂D
π _ _ = Dh 2
2
µ
2 _ _
V
_ ∂V + _ ∂h
2
µ _
( D − D) 2 µ_ = ± ∑ i D n −1
2 _
h
; _
π _ = D _ 4 ∂h
∂V
_
2
;
( h − h) 2 µ_ = ± ∑ i h n −1
n Di (Di-D) (Di-D)2 1 25.58 0.00042 0.0000 2 25.59 -0.03300 0.0011 3 25.58 -0.04300 0.0018 4 25.57 -0.05300 0.0028 5 25.58 -0.04300 0.0018 6 25.575 -0.04800 0.0023 7 25.58 -0.04300 0.0018 8 25.58 -0.04300 0.0018 9 25.585 -0.03800 0.0014 10 25.575 -0.04800 0.0023 11 25.58 -0.04300 0.0018 12 25.58 -0.04300 0.0192 Σ 306.96 0.0384 _
∂V _
∂D
=
π (25.5796Mn )(101.675Mn ) 2
hi 101.70 101.65 101.60 101.70 101.60 101.70 101.60 101.65 101.85 101.70 101.70 101.65 1220.100
;
µ_ = ± D
_
∂V _
_ _
∂h
µ _ = ±0.0591
;
π = (25.5796 Mm) 2 4
;
µ_ = ±
= 513.898Mm 2
;
µ _ = ±0.0691
D
h
_
∂V _
0.0384 11
= 4085.336Mm 2
∂D ∂V
(hi-h) (hi-h)2 0.025 0.0006 -0.025 0.0006 -0.075 0.0056 0.025 0.0006 -0.075 0.0056 0.025 0.0006 -0.075 0.0056 -0.025 0.0006 0.175 0.0306 0.025 0.0006 0.025 0.0006 -0.025 0.0006 0.0525
0.0525 11
h
∂h Reemplazando en la ecuación:
µV = ± (4085 .336 ) 2 (0.0591) 2 + (513 .898) 2 (0.0691)
µV = ±244 .041mm d) Error estándar (σ) _ ∂v σV = ± _ ∂D
2
_ 2 ∂v σ D_ + _ ∂h
_
∂V _
∂D
= 4085.336Mm
2
;
_
2
δD=±
σ
2 _
h
0.0384 = ±0.0171 132
_
º∂ V _
_
= 513.898Mm 2
;
∂h
δh=±
0.0525 = ±0.0199 132
Reemplazando en la ecuación:
σV = ± ( 4085 .336 ) 2 (0.0171 ) 2 + (513 .898 ) 2 (0.0199 ) 2
σ V = ±70.604 Mm e) Error absoluto (Ea) Ea = ±3δV Ea = ± 3(70.604Mm) Ea = ± 211.812 Mm. f) Error relativo (Er) Er = ±
Ea _
V
Er = ±
211 .812 Mm = ±0.00405 52250 .6335 Mm
g) Error porcentual (E%) E% = (Erx100) % E% = (0.00405x100) % E% = 0.405% g) Volumen del cilindro
_
V = V ± E%
_
_
*) V = V + E %
*) V = V − E %
V = 52250.6335 + 0.405 V = 52250.038Mm3
V = 52250.6335 - 0.405 V = 5225.228Mm3
5.3. Con los datos de la tabla III, determine el periodo del péndulo simple con su respectivo valor absoluto y porcentual. 1) Tabulación de datos: n 1 t(s) 19.88 T(s) 1.988
2 19.77 1.977
3 19.77 1.977
2) Procesamiento de datos:
4 19.85 1.985
5 19.79 1.979
6 19.81 1.981
7 19.78 1.978
8 19.83 1.983
9 19.76 1.976
10 19.80 1.980
Medición: Directa Tratamiento: No estadístico a) Promedio 1.988 + 1.977 + 1.977 + 1.985 + 1.979 + 1.981 + 1.978 + 1.983 + 1.976 + 1.98 10 _ 19.804 T= = 1.9804 s 10 _
T=
b) Error absoluto (Ea) T max − T min 2
∆T =
1.988 − 1.976 s 2 0.012 ∆T = = 0.006 s 2 ∆T =
c) Error relativo (Er): Er =
Er =
∆T _
T
0.006 s = 0.0030 1.9804 s
d) Error porcentual (E%) E% = (Erx100) % E% = (0.0030x100) % E% = 0.3 % e) El periodo del tiempo: _
*)
T = T ± ∆T
_
T = T + ∆T T = 1.9804 + 0.006 T = 1.9864 s
*)
_
T = T − ∆T T = 1.9804 - 0.006 T = 19.744 s
5.4. Con los datos de la tabla IV, determine la densidad de la esfera pendular con su respectivo valor absoluto y porcentual. 1) Tabulación de datos: n 1 D(Mm.) 13.79 M (g) 11.3
2 13.83 11.3
3 19.81 11.3
2) Procesamiento de datos: Medición: Indirecta
4 13.83 11.3
5 13.80 11.3
6 13.78 11.3
Tratamiento: No estadístico *) Lecturas: Masa (g) Diámetro (D)
;
ρ=
m … (α) v
;
v=
πR 3 … (β) 6
*) Volumen de la esfera
4 4 D v = πR 3 = π 3 3 2 Reemplazando: 6m ρ= πD 3
3
a) Promedio
13.79 + 13.83 + 19.81 + 13.83 + 13.8 + 13.78 6 _ 82.84 D= = 13.807 Mm 6 m = 11.3 g _
D=
b) Promedio de la densidad
ρ=
ρ=
6m πD 3
6 x11.3 g π (13.807 Mm) 3
ρ = 0.00820 g / Mn 3 c) Error absoluto (Ea) Ea = ∆ρ =
∂ρ ∂ρ ∆mo + ∆D ∂m ∂D
∂ρ 6 = ∂m πD 3
∂ρ 18m =− ∂D πD 4
∂ρ 6 = ∂m π (13.807 Mm) 3
∂ρ 18 x(11.3 g ) = ∂m π (13.807 Mm) 4
∂ρ = 0.000726 Mm 3 ∂m
∂ρ = 0.000178 Mm 4 ∂m _
∆D =
Dmar − D min 2
ΔD = ± 0.025 Mm. Ea = ∆ρ = (0.000726 )(0.1) + (0.000178 )(0.005) Ea = ±0.000073 / Mm 3
d) Error relativo (Er): Er =
Ea _
ρ
0.000073 Mm 3 Er = = 0.0089 0.00820 Mm 3
e) Error porcentual (E%) E% = (Erx100) % E% = (0.0089x100) % E% = 0.89 % f) Densidad de la masa pendular:_ ρ = ρ ± E% _
_
υ = υ − E% *) = 0.00820 + 0.89 = - 0.8818 g/Mm3
ρ = ρ + E% = 0.00820 + 0.89 = 0.8982 g/Mm3
*)
5.5. Con los datos de la tabla V, determine el volumen del paralelepípedo ahuecado, con su respectivo valor absoluto y porcentual. 1) Tabulación de datos: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a(cm.) b(cm.)
c(cm.)
d1(cm.)
h1(cm.)
d2(cm.)
h2(cm.)
8.345 8.340
1.540 1.540
1.135 1.135 1.130 1.130 1.130 1.135 1.130 1.135 1.135 1.135 1.135
0.585 0.580 0.580 0.580 0.585 0.585 0.585 0.580 0.580 0.585 0.585
2.00 1.95 1.95 1.95 1.95 1.95 1.90 1.90 1.95 1.95 1.95
0.975 0.975 0.975 0.975 0.970 0.970 0.970 0.970 0.970 0.975 0.975
7.490 7.495
2) Procesamiento de datos: *) Volumen del paralelepípedo ahuecado:
V = abc −
π 2 (d1 h1 + d 22 h2 ) 4
a) Promedio: _ 8.345 +8.340 a= _ 2 16.685 a= = 8.342 cm 2
_ 7.495 + 7.490 b = _ 14.985 2 b= = 7.492 cm 2
_ 1.540 + 1.540 c_ = 3.080 2 c= = 1.540 cm 2
_
1.135 + 1.135 + 1.13 + 1.13 + 1.13 + 1.135 + 1.13 + 1.135 + 1.135 + 1.135 + 1.135 11
_
12.465 = 1.133cm 11
d1 = d1 =
0.585 + 0.58 + 0.580 + 0.580 + 0.585 + 0.585 + 0.585 + 0.580 + 0.580 + 0.585 + 0.585 11 _ 6.410 h1 = = 0.583cm 11 _
h1 =
_
d2 =
2 + 1.95 + 1.95 + 1.95 + 1.95 + 1.95 + 1.9 + 1.9 + 1.95 + 1.95 + 1.95 11
_
21.400 = 1.945 cm 11
_
0.975 + 0.975 + 0.975 + 0.975 + 0.97 + 0.97 + 0.97 + 0.97 + 0.97 + 0.975 + 0.975 11
d2 = h2 = _
h2 =
10.700 = 0.973cm 11
b) Promedio del paralelepípedo
π _ _ _ _ V = abc − (d 1 h1 + d 2 h 2 ) 4 _ π V = (8.342)(7.472)(1.540) − (1.133) 2 (0.583) + (1.945) 2 (0.973) 4 2
_
2
[
]
_
V = 92.068cm 3 c) Error absoluto (Ea) _
Ea = ∆V = _
∂V _
∂V _
∂a
_
∆a +
∂V _
∂b
_
∆b +
∂V _
∂c
_
∆c +
∂V _
∂ d1
3δ d1 +
_ _
= b . c = (8.342 )(1.540 ) = 11.507 cm 2
∂a _
∂V _
∂b _
∂V _
∂c
_
_
∂ d1
_
= a . b = (8.342 )(7.472 ) = 62.331cm 2
_
∂V
_
= a . c = (8.342 )(1.540 ) = 12.847 cm 2 _
=−
_
π _ _ π (d1 h1 ) = − (1.133)(0.583) = − 1.037cm 2 2 2
_
∂V _
∂ h1
_
3δ h1 +
_
∂V _
∂ d2
_
3δ d 2 +
_
∂V _
∂ h2
_
3δ h2
_
∂V _
∂ h1
=−
π _ 2 π ( d1 ) = − (1.133) 2 = −1.008cm 2 4 4
_
∂V _
∂ d2
=−
π _ _ π (d 2 h2 ) = − (1.945)(0.973) = −2.973cm 2 2 2
=−
π _ 2 π (d 2 ) = − (1.912 ) 2 = −2.971cm 2 4 4
_
∂V _
∂ h2 ∆a =
a max − a min 8.345 − 8.340 0.005 = = = 0.0025 cm 2 2 2
b max − b min 7.495 − 7.490 0.005 = = = 0.0025 cm 2 2 2 c max − c min 1.565 − 1.550 0.015 ∆c = = = = 0cm 2 2 2
∆b =
n
d1i
h1i
(h1i-h)
(h1i-h1)2
d2i
(d2i-d2)
(d2i-d2)2
h2i
(h2i-h2)
(h2i-h2)2
1 2
1.14 1.14
0.002 0.014
0.000003 0.000199
0.585 0.58
0.002 0.115
0.000005 0.013225
2 1.95
0.055 0.039
0.975 0.975
0.002 0.595
3 4
1.13 1.13
0.009 0.009
0.000083 0.000083
0.58 0.58
0.115 -
0.013225 0.000000
1.95 1.95
0.039 0.039
0.975 0.975
0.595 0.595
5 6
1.13 1.14
0.009 0.014
0.000083 0.000199
0.585 0.585
0.120 0.120
0.014400 0.014400
1.95 1.95
0.039 0.039
0.97 0.97
0.590 0.590
7 8
1.13 1.14
0.009 0.014
0.000083 0.000199
0.585 0.58
0.120 0.115
0.014400 0.013225
1.9 1.9
-0.011 -0.011
0.97 0.97
0.590 0.590
9 10
1.14 1.14
0.014 0.014
0.000199 0.000199
0.58 0.585
0.115 0.120
0.013225 0.014400
1.95 1.95
0.039 0.039
0.97 0.975
0.590 0.595
0.014
0.000199 0.001527
0.585 6.410
0.120
0.014400 0.124905
1.95 21.400
0.039
2.975207-03 1.521000-03 1.521000-03 1.521000-03 1.521000-03 1.521000-03 1.210000-04 1.210000-04 1.521000-03 1.521000-03 1.521000-03
0.975 10.700
0.595
5.165-06 0.354025 0.354025 0.354025 0.3481 0.3481 0.348100 0.3481 0.3481 0.354025 0.354025
11 1.14 Σ 12.465
(d1i-d1) (d1i-d1)2
0.015385207
_
δd1 = ±
∑ (d i i − d 1 ) 2
δh1 = ±
∑ (hi i − h1 ) 2
δd 2 = ±
∑ (d i − d
δh2 = ±
∑ ( h2 i − h 2 ) 2
=
(0.001527 ) 2 = ±0.0001456 cm 11(11 − 1)
=
(0.124905 ) 2 = ±0.011909 cm 11(11 − 1)
n( n − 1) _
n(n − 1)
_
2
2
)2
n(n − 1)
=
(0.015385207 ) 2 = ±0.0014669 cm 11(11 − 1)
=
(3.5106302 ) 2 = ±0.334725 cm 11(11 − 1)
_
n(n − 1)
Reemplazando en la ecuación: Ea = ∆V = 11.507 0.0025 + 12.847 0.0025 + 62.331 0 + − 1.037 3 × 0.0001456 +
3.5106302
− 1.008 3 x0.011909 + − 2.973 3x 0.0014669 + − 2.971 3 x0.334725 Ea = ∆V = 3.094 cm 3
c) Error relativo (Er): Er =
Ea _
V Er =
3.094 cm 3 = 0.0336 92.068 cm 3
d) Error porcentual (E%) E% = (Erx100) % E% = (0.0336x100) % E% = 3.36 % e) Volumen del paralelepípedo ahuecado: _ V = V ± E% *)
_
V = V + E% = 92.068 + 3.36 = 95.428cm3
_
*)
V = V − E% = 92.068 - 3.36 = 88.708cm3
5.6. Describa UD. cada uno de los instrumentos utilizados en la experiencia en el laboratorio. 5.6.1.) Regla graduada en milímetros.- Instrumento que se utiliza para medir objetos lineales a la precisión, tiene la ventaja de ser de metal, por tal menor dilatación y no varía tanto su lectura. 5.6.2.) Vernier de sensibilidad 0.05 Mm.- Facilita la medición de objetos muy pequeños, por ejemplo se tomó las medidas de los radios del paralelepípedo. 5.6.3.) Micrómetro de sensibilidad 0.01mm.- Instrumento que consta de un tambor giratorio, que tiene como eje una regla graduada; sirve para medir los radios de las esferas. 5.6.4.) Cronometro.- Instrumento que sirve para medir intervalos de tiempo, se utilizó para medir el periodo del péndulo. 5.6.5.) Cilindro sólido.- Hecho de aluminio y motivo de estudio en el laboratorio, se determinó su volumen. 5.6.6.) Paralelepípedo.- Hecho de metal, tenía dos circunferencias y fue motivo de estudio en el laboratorio.
5.6.7.) Equipo de péndulo simple.- Consta de un péndulo de metal, suspendido a 1m de su apoyo. 5.6.8.) Balanza.- Instrumento para medir la masa, se utilizó una balanza de platillos y pilones. 5.7. Defina: precisión, exactitud y sensibilidad de un instrumento. Precisión: Se refiere al grado de dispersión de las mediciones, es decir la precisión es la medida de la dispersión del error de los resultados de una serie de mediciones hechas intentando determina el valor real. Se dice que una cantidad es tanto mas precisa cuanto mas pequeños son los errores casuales. Exactitud: Se refiere si la medida tomada es más exacta si el margen de error es mínimo o tiende a cero. Sensibilidad: Se refiere al grado de calibración del instrumento, cuanto más agudo (calibrado), este nos dará la magnitud casi con certeza. 5.8. Describa UD. Las distintas clases de errores sistemáticos y causales, señalando ejemplos. Como su nombre lo indica, estos errores son fortuitos y no es posible determinar la causa de estos errores. Siempre están presentes en la medida de cualquier cantidad física y es a priori impredecible. A continuación mencionaremos algunos ejemplos de este tipo de errores: - Errores de apreciación: La mayoría de instrumentos requieren de una estimación en las fracciones para la lectura, y al repetir el proceso de observación varias veces, el experimentador lectura diferentes medidas. - Condiciones de trabajo En el transcurso de un experimento, las condiciones ambientales pueden variar, tal es el caso de la presión atmosférica, la temperatura del ambiente, la humedad y que afectan en las mediciones. - Falta de definición: Aunque el proceso de medición halla sido perfecto, al repetir las medidas pueden dar cantidades diferentes, puesto que las cantidades a medirse no están del todo definidas.
VII.
RECOMENDACIONES
En esta práctica se recomienda utilizar correctamente los instrumentos de medida de acuerdo con las instrucciones del profesor. Cada alumno del grupo efectúa una medida y pasa el material a sus compañeros. Practicar el uso de los instrumentos de laboratorio, pues esto facilitará la toma de mediciones de una manera acertada y rápida. Siempre tener en cuenta en mediciones o cálculos que existirá siempre los errores de medida.
VI) CONCLUSIONES: 6.1.) Se llega a la conclusión que los errores se presentan al momento de medir una magnitud física. 6.2.) Para diferentes magnitudes existe otro proceder para el cálculo del error. 6.3.) Se debe realizar las medidas con precaución y evitando el error causal. 6.4.) En esta práctica se pudo comprobar que los alumnos saben utilizar los instrumentos como debería de ser. 6.5.) Comprobado que los resultados nos son totalmente exactos, ya que hay variaciones entre una y otra medida realizada. Se diría que nunca daremos con una medida exacta ni precisa solo una aproximación.
VII) BIBLIOGRAFIA: 7.1) VINCENZO GIANBERNARDINO
Teoría de los errores.
7.2.) SENATI
Uso de instrumentos de medición.
7.3.) GOLDEMBERG
Física general y experimental
7.4.) GIANVERNANDINO V.
Teoría de errores.
7.5.) SQUIRES, G. L
Física práctica.
“UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH”
SANTIAGO ANTUNES DE MAYOLO “FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y METALURGIA”
ASIGNATURA: Física I INFORME DE LABORATORIO Nº 1 MEDICIONES Y TEORIA DE ERRORES
DOCENTE: GARCIA PERALTA, Alfredo ALUMNO: MOLINA CHAVEZ, Maradona Diego CODIGO: 05-1193-1-AM
HUARAZ
ANCASH
PERU
