1.-Mediciones Directas y Calculo de Errores

UNIVERSIDAD “CÉSAR VALLEJO”

FACULTAD DE INGENIERÍA

PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 01 MEDICIONES DIRECTAS Y CÁLCULO DE ERRORES

1.

2.

3.

OBJETIVOS a) Efec Efectu tuar ar medi medici cion ones es dir direc ecta tas. s. b) Desa Desarr rroll ollar ar en el estu estudi diant ante e habil habilid idad ades es y des destr trez ezas as en el manejo manejo y cali calibra bració ción n de los los instrumentos de medida : pie de rey , micrómetro , etc. c) Aplicar Aplicar la la teoría teoría de erro errores res en las las medic medicione ioness direct directas. as. MATER ATERIA IALE LES S E INST INSTRU RUME MENT NTOS OS • Una regla milimétrica de 30 cm de longitud (L o = ± 1 mm ) • Un pie de rey (Lo = ± 0.05 mm ) Un micrómetro (Lo = ± 0.01 mm ) • Un paralelepípedo de hierro dulce • Un perno pequeño. • FUND FUNDAM AMEN ENTA TACI CIÓN ÓN TEÓR TEÓRIC ICA A 3.1 ERROR ( x) Se define en su forma más sencilla, por la siguiente ecuación : ∆ x = x − X V (1) Donde .- XV , es el valor verdadero (o exacto exacto , o valor valor promedio) promedio) y x es el resultado resultado de una una medición (valor medido). La incertidumbre estimada de un valor medido o calculado ( ∆x ≡ di ), puede ser expresada mediante desviación estándar “típica” ( d i = x i − x ). 3.2 CLASES CLASES DE ERRORES ERRORES Los errores principalmente se clasifican en : 3.2.1 Errores sistemáticos.- Son aquellos que se repiten constantemente constantemente en el transcurso transcurso del experimento o bien durante una particular serie de medidas, afectando así los resultados finales en un mismo sentido (siempre por exceso o bien, siempre por defecto). Dentro de este grupo, tenemos a : a. Errores Errores de calib calibraci ración ón de los instrum instrumento entoss b. Errores Errores debido debido a las las condici condiciones ones experim experimenta entales les c. Técn Técnic icas as impe imperf rfec ecta tass d. Fórm Fórmul ulas as inco incorr rrec ecta tass e. Teorías Teorías incor incorrect rectas as (imperfec (imperfeccion ciones es de los métodos métodos de medición medición)) 3.3 CÁLCULO CÁLCULO DEL DEL ERROR ERROR EN MEDICIO MEDICIONES NES DIRECT DIRECTAS AS A) Tratamiento No Estadístico Se considera un proceso no estadístico cuando el número de mediciones “n” es menor de 10 mediciones ( o sea n < 10 veces). El cual puede ser de dos tipos : b.1) b.1) Supong Supongamos amos que que se dese desea a medir medir una magnitu magnitud d X, el valor valor verdadero verdadero (XV) se efectúa una serie de mediciones (n < 10 veces ). Si xM es la medida mayor y xm es la medida menor El valor mas probable de la magnitud X será justamente : Valor medio o media aritmética :

FÍSICA 1

-1-

Lic. Luis Carlos Moreno Fuentes.


FACULTAD DE INGENIERÍA n

∑ x

i

(2)

i =1

x =

n La limitación del error (incerteza o error absoluto) se determina : El error absoluto por exceso : ∆Xexec = XM - x El error absoluto por defecto : ∆Xdefec = x - Xm La media o el valor medio del error estará dado por: ∆ x =

∆ x exec + ∆ x defec 2

=

x M − x m

(3)

2

Esto nos permite asegurar que el valor de X estará dentro del intervalo : (4) b.2) Si sólo se ha efectuado una medida (n =1), el error ∆xo ; se estima como la sensibilidad del instrumento , esto es : X = x ±∆ xo (5) X = x ±∆ x

Error Absoluto .- Llámese error absoluto a las cantidades ( ∆x y (4) y (5). B)

∆x o

) de las ecuaciones (10),

Tratamiento Estadístico Para obtener la medición de una magnitud física “X” hagamos las siguientes consideraciones: *) Se ha tratado de minimizar al máximo los errores sistemáticos, así como los aleatorios. **) Las mediciones se repiten n ≥ 10 veces obteniéndose las siguientes medidas : x1 , x 2 , x 3 , ... , x n . El valor más probable de X es la media aritmética de tales medidas (o valor promedio ) ; esto es : n

x

-

-

=

+ x2 + x3 + ... + xn

x1

n

∑ x =

i =1

i

(6)

n

La desviación (o error aparente de la magnitud X) de una medida, es la diferencia entre xi y la media aritmética o promedio aritmético de las medidas : d i = x i − x (7) El error cuadrático medio de una serie n de medidas de la magnitud X esta dada

por : n

n

∑ ( x

i

S =

− x )

∑ d

2

i =1

n −1

2

i

=

i =1

(8)

n −1

Si luego de calculado e, se tiene que alguna de las mediciones, está fuera del intervalo : -

x − S ≤ xi

≤ x + S

esa medida no es confiable y debe ser eliminada.

-

FÍSICA 1

La desviación estándar o error medio del promedio o error cuadrático medio del resultado en una serie de medidas , está dado por : -2-



FACULTAD DE INGENIERÍA n

σ

=

S

∑ ( x =

− x )

2

(9)

i =1

n(n − 1)

n

-

i

El error estándar calculado por la ecuación (9) indica que si las medidas corresponden a una distribución gaussiana, entonces en el intervalo : x − σ ≤ xi

≤

x + σ

se encuentra con casi absoluta certeza el valor verdadero de la magnitud X. La magnitud física debe ser escrita finalmente en la forma siguientes : (10) Del resultado (10) podemos determinar que la cantidad σ constituye el ERROR ABSOLUTO ( σ = X ) . Tiene las mismas dimensiones que la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ésta. Si X es la magnitud en estudio, x es el mejor valor obtenido (valor esperado) y ∆X su incertidumbre absoluta. El significado de la ec. (10) es equivalente a decir que, según nuestra medición, con una cierta probabilidad razonable p0 (usualmente p0 = 0.68, 68%) el valor de X está contenido en el intervalo ( x - ∆X , x + ∆X ), o sea : x - ∆X < X < x + ∆X (11) lo que es equivalente a : P ( x - ∆X < X < x + ∆X ) = po (12) que significa que la probabilidad que el mejor estimador de X esté comprendido entre x - ∆X y x + ∆X es igual a p0. El valor de p0 se conoce con el nombre de coeficiente de confianza y los valores ( x - ∆X , x + ∆X) determinan un intervalo de confianza para X. De lo anterior, se puede determinar : X = x ±

E . relativo

E . absoluto =

x

σ =

x

(13)

y el Error relativo porcentual será : E . relativo%

FÍSICA 1

=

σ

x

-3-

*100%

(14)


UNIVERSIDAD “CÉSAR VALLEJO” I.


MEDICIONES DIRECTAS

I.A OBJETIVOS a) Medir con ayuda de los instrumentos de medidas (regla milimétrica, vernier y micrometro) las dimensiones de los objetos (un perno, paralelepipedo de hierro dulce) designados por el docente. b) Aplicar la teoría de errores para hallar valores medios e indicadores de precisión de la medidas del item a). I.B PROCEDIMIENTO Anotar las mediciones de la longitud del paralelepipedo de hierro como del perno en los cuadros correspondientes :

HACER USO DEL VERNIER (O PIE DE REY) : Tabla Nº 01 .- Mediciones de la longitud de un paralelepipedo de hierro. Tratamiento No Estadístico : Nº Longitud Valor medio (o error Longitud del Veces absoluto) paralelepipedo L (mm) 1 (mm) 2 L Máx − L mín 3 ∆ L = L = L ± ∆ L 2 4 5 6 L = ......... ±..... i

Σ

Promedio ( L ) =

∆ L

Tabla Nº 02 .- Mediciones de la longitud de un paralelepipedo de hierro Mediciones del perno. Tratamiento Estadístico : 2 Nº Longitud Desviación d i = (Li - L )2 Desviación estándar Veces L (mm ) d i = Li - L (mm) 1 n 2 2 ( Li − L ) ∑ S 3 σ = = i =1 4 n(n − 1) n 5 6 pero σ = ∆L 7 8 Longitud del paralelepipedo 9 L = L ± ∆ L 10 i

Σ

L = ...

Promedio ( L ) =

∑d

i

2

=

∑d i

=∑(L

i - L)

± .....

.. mm

2

HACER USO DEL MICRÓMETRO : Tabla Nº 03 .- Mediciones del diametro del perno Tratamiento No Estadístico : FÍSICA 1

-4-


UNIVERSIDAD “CÉSAR VALLEJO” Nº Veces 1 2 3 4 5 6


Diametro Di (mm )

error medio (o error absoluto) ∆D

Diametro del perno ( mm )

= Dmáx – D mín

D= D

± ∆D

2

D = ........

± ......

Σ

Promedio (

D

)=

∆D

=

Tabla Nº 04 .- Mediciones del diametro del perno. Tratamiento Estadístico : Desviación estándar Desviación (mm) Nº Diametro 2 d i = (Di - D )2 Veces Di (mm ) d i = Di - D n 1 ( Di − D ) 2 ∑ S 2 σ = = i =1 3 n( n − 1) n 4 pero: 5 6 σ = ∆D 7 8 Diametro del perno 9 10 Σ

Promedio (

3.

D

D= D

2 2 ∑d i =∑(D - D ) i

∑d i =

± ∆D

D = ........ ± ...... (mm )

)=

CUESTIONARIO 3.1 Entre los instrumentos usados (cronómetro, regla, vernier o pie de rey, tornillo micrométrico, etc.) ¿Cuál es la sensibilidad de éstos?. 3.2 Calcular las siguientes medidas :

1/20 4

3

0

1 2

3 4

5

1/20 7

6

5

10

10

9

8

0

1

2

5

3 4

1/20 10

0 1 2

FÍSICA 1

11

3 4

12

5

13

11

12

10

1/20 14

10

5

0

-5-

6

1 2 3

7

4

5

8

9

10



0

5

10


15

25

10

30

35

30 25

5

20

0

15

3.3 Si usted usó una regla y un pié de rey encuentre en valor entero la relación entre las precisiones de ambos. Pr ecisión de la regla Pr ecisión del pié de rey

3.4 3.5 3.6 3.7

4.

=

¿Cuál es el significado de este número?. ¿Cuál de los instrumentos usados tiene mayor confiabilidad y por qué?. ¿Qué diferencia existe entre precisión y exactitud? ¿En que consiste la calibración de un instrumento de medida?. Conociendo el resultado de la medición y el procedimiento seguido por un experimentador, ¿puede usted saber cuál es la menor división de la escala del instrumento usado?

BIBLIOGRAFÍA 1.1 Beatriz Alvarenga , A. Dibenio, “Física General”, 3ra. Edición. Edit. Harla. México. 1.2 Daish C.B. y Fender D.H., “Física experimental” . Edit. Uteha. México 1964. 1.3 Francis W. Sears, “Fundamentos de Física” , Tomo I. Edit. Aguilar S.A., España VII, edición 1967.

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