Laboratorio 5 - Capacitancia Dependiente de Sus Dimensiones Geometricas

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE FISICA LAB FIS1200- F “

”

1. OBJETIVOS 



Verificación del comportamiento del modelo matemático que capacitancia dependiente de la distancia de separación entre capacitor de placas plana y paralelas midiendo capacitancia y Determinación de la constante de permisividad del vacío con 1% de error probable

relaciona la placas de un distancia. un error del

2. FUNDAMENTO TEORICO 2.1.C APACIDAD

Es la propiedad que poseen los circuitos eléctricos que tiende a evitar los cambios de tensión. Cuando se aplica una tensión continua a un circuito que contiene capacidad, la corriente empieza a circular, instantáneamente, con su intensidad máxima e/R (siendo R la resistencia del circuito) y a medida que pasa el tiempo va decreciendo hasta hacerse cero. Esto se debe a que la capacidad no ofrece oposición al cerrar el circuito, sino que va apareciendo progresivamente una fuerza contra electromotriz (f.c.e.m.) que va a hacerse igual a la tensión aplicada. Dicha f.c.e.m. queda almacenada en el circuito, anulando la tensión aplicada. La capacidad, en los sistemas eléctricos, es una propiedad similar a la elasticidad en los sistemas mecánicos. Esto, porque una fuerza aplicada sobre un cuerpo elástico (como un resorte) no encuentra oposición al principio, pero va apareciendo gradualmente a medida que el muelle se extiende o comprime. Por otra parte, si el resorte es o no estirado o comprimido completamente (máxima elongación, sin deformarlo) y se mantiene en dicha condición, el trabajo realizado para comprimirlo o estirarlo queda almacenado en la propia fuerza del muelle (energía potencial). 2.2. Condensadores o Capacitores Aunque la capacidad está siempre presente, distribuida en todos los tipos de circuitos, para hacer más acusados sus efectos se emplean ciertos elementos denominados condensadores o capacitores. Éstos están físicamente constituidos por dos superficies conductoras o placas, separadas por una distancia pequeña y entre las cuales existe un material llamado dieléctrico. El condensador tiene la propiedad de almacenar carga y, por tanto, energía. APACIDAD DE UN CONDENSADOR 2.3. C

Experimentalmente se ha determinado que la carga almacenada en un condensador es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada a sus extremos, es decir: Q µ VAB Þ Q = C VAB Donde C es una constante que mide la facultad que tiene el condensador para almacenar energía, o sea, la capacidad de éste para almacenar carga. Esta constante (capacidad) depende de las dimensiones geométricas del capacitor. La forma usual de presentar la relación entre C, Q y VAB es:

 =  1   = 11

De aquí que la unidad de C vendría dada por la relación nombre de faradio.

  , la cual recibe el

Aunque esta unidad, a nivel práctico, no se utiliza (ya que no existe un condensador cuya capacidad esté en el orden de los faradios pues sus dimensiones serían inmensas), se emplean los submúltiplos para fines reales. Éstos son: mF =milifaradio (10 – 3 F) mF = microfaradio (10 – 6 F)

M. A. JORGE M.


”

pF = picofaradio (10 – 12) 2.4 C APACIDAD EN FUNCIÓN DE LAS DIMENSIONES GEOMÉTRICAS DEL CONDENSADOR

En forma general, la capacidad de un condensador depende del arreglo geométrico de los conductores. Por ejemplo, para un capacitor de placas plano – paralelas se tiene:

=  , =   (      )  = =   =  =     ∴=  (1)

Por otra parte, se sabe que

Sustituyendo en la relación de C, se tiene:

3. HIPOTESIS EXPERIMENTAL DEL EXPERIMENTO

La capacitancia de un capacitor de placas planas y paralelas es proporcional a su area trasversal e inversamente proporcional a la distancia de separación entre placas; donde la constante de proporcionalidad es la permisividad o permitividad del vacio ” “

4. INSTALACION DEL SISTEMA DE EXPERIMENTACION

Figura 1 5. PROCEDIMIENTO

En el sistema de experimentación mostrado en la figura 1, lo primero que se hace es realizar las mediciones del diámetro de las placas paralelas, luego se conecta el capacitor al capacimetro, se enciende el capacimetro y se empiezan a registrar los datos, se toma una distancia de separación entre las placas; luego se debe tomar la respectiva medida que marca el capacimetro, aumentar una cierta distancia entre las placas del capacimetro, y repetir el mismo procedimiento. 6. RESULTADOS

M. A. JORGE M.


”

6.1 PRUEBA DEL MODELO MATEMATICO

Para comprobar el modelo matemático teórico se reemplazan todos los datos medidos en el modelo dejando con solo las variables X e Y entonces se tiene:

=ℇ  =8.85−12

Superponiendo el modelo matemático teórico y los datos experimentales en forma de intervalos estimados se tiene la figura 2. 5E-10

Y[F

PRUEBA DELMODELO MATEMATICO CONTRA LOS DATOS EXPERIMENTALES (CONTRASTACION)

4.5E-10 4E-10 3.5E-10 3E-10 2.5E-10 2E-10 1.5E-10 1E-10 5E-11

X=[m

0 0

10

20

30

40

50

60

Figura 2 6.2 M ODELO MATEMÁTICO AJUSTADO A LOS DATOS EXPERIMENTALES

El ajuste de una función a los datos experimentales es del tipo curvilíneo correspondiente a una función lineal del tipo Y=a+bX, además es capaz de predecir valores intermedios entre las medidas y mas allá de los medidos. Esta función ajustada es:

=4.424E−12+ 8.669E−12X

El ajuste de esta función se muestra en la figura 3 5E-10

Y[C

4.5E-10

4E-10 3.5E-10

AJUSTE DEL MODELO A LOS DATOS EXPERIMENTALES

3E-10 2.5E-10 2E-10 1.5E-10 1E-10

X=[m]

5E-11 0 0

10

20

30

40

50

60

Figura 3

M. A. JORGE M.


”

Este modelo representa de buena forma a las propiedades del sistema de experimentación para el caso. Error relativo porcentual El error relativo porcentual respecto al valor verdadero b=8.85E-12 para la pendiente

8 5 E−12  =−=8.517−12−8. 8.85 E−12 =0.0204=2.04% −0,415−12 +0,415−12

El valor teórico de la permitividad del vacío está incluido en el intervalo de confianza de la pendiente experimentalmente.

8.669E−12 8.85−12 9.084−12

8.254−12 0 4.424E−12±10,000−12

Figura 4

ODELO MATEMATICO Y SU COMPORTAMIENTO 6.4 M

Las pruebas estadísticas muestran que hay suficientes evidencias a favor de la hipótesis (Ho) tanto para el intercepto como para la pendiente. En el caso del intercepto, ( ) está incluido en el intervalo del intercepto calculado que es ( ), y se puede asumir como intercepto el valor de 0. La pendiente de la recta (8.85E-12) está en el intervalo de confianza calculada para la pendiente de la recta estimada ( ), por tanto se asume el valor de 8.85E-12 como pendiente, es decir que se puede asumir como 8.85E-12 como el valor de la permisividad del vacio, quedando comprobado el modelo como:

8.669E−12±0,415−12 =8. 8 5E−12X

El comportamiento del modelo es el que se muestra en la figura 5 5.00E-10 Y[F COMPORTAMIENTO DEL MODELO MATEMATICO

4.50E-10 4.00E-10 3.50E-10 3.00E-10 2.50E-10 2.00E-10 1.50E-10 1.00E-10 5.00E-11

X[m

0.00E+00 0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

Figura 5 7. INTERPRETACIONES FISICAS

7.1 La capacidad de un capacitor depende de: a) La tensión aplicada y la carga b) Del area y la distancia de separación

M. A. JORGE M.


”

c) De ninguno de ellos Debido a que V es proporcional a Q, entonces se puede decir que la capacidad no depende ni de Q ni de V, solo depende de sus dimensiones geometricas 7.2 Se dice que la capacitancia aumenta por que: a) La tensión aplicada al capacitor aumenta y hace circular mayor carga eletrica. b) Por que el area del capacitor aumenta y acumula mayor carga eléctrica c) Por que la constante de la permisividad del vacio varia aumentando Cuando aumenta el área la capacitancia aumenta, po que ela rea retien mas carga eléctrica, es decir la carga aumenta con el tamaño de la placa 7.3 Explicar por que la capacitancia del capacitor aumenta o disminuye cuando la distancia de separación disminuye o aumenta respectivamente` Es porque a mayor distancia el campo eléctrico se debilita, y por tanto la carga se acumula, y sucede a lo invesrso si la distancia disminuye. 7.4 la constante dieléctrica del aire local determinado experimentalmente es ligeramente diferente que en el vacio, entonces: a) Se puede sustituir el valor determinado experimentalmente por el valor del vacio b) No se debe sustituir por que la influencia puede ser muy significativo c) Se debe determinar el valor de la misma para cada lugar Si se puede sustituir el valor determinado experimentalmente, por el valor del vacio, debido a que se determino con una confianza del 99%, y se encuentra en los intervalos de error calculados. 7.5 Para determinar la expresión de la capacitancia en función de sus dimensiones geométricas aplicando la ley de gauss se hacen las siguiente consideraciones a) Que las placas del capacitor necesariamente deben ser paralelas y circulares b) Que las líneas marginales del capacitor sean despreciables y que el campo eléctrico entre las placas sean uniformes c) Que las líneas de campo eléctrico deben ser considerados en su integridad y que el campo eléctrico debe ser constante como vector. Esto debido a que con la ley de gauss y a una distancia pequeña se puede considerar que el campo eléctrico es constante en cualquier punto, sin considerar los extremos de las placas 7.6 el valor de la capacitancia del capacitor determinado por medio de la tensión aplicada V y la medición de la carga Q (C=Q/V), y por otro lado, la determinada midiendo el area y su distancia de separación son: a) Exactamente iguales b) Son aproximados c) Son muy diferentes Debido a que se hizo algunas suposiciones en la deducción de la formula de placas paralelas, y también a que el medio en el que se realizo el experimento no fue el vacio, sin embargo los resultados demuestran que si son muy aproximados 7.7 Explicar cual es el significado físico de la permisividad o permitividad del vacio. Significa cuanta libertad tiene las cargas de interactuar con otras cargas, es decir describe como un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. 7.8 Utilizando la figura 9 determinar el valor de la capacitancia en forma de intervalo de confianza que se tendría al medir para una distancia de separación de 5 mm

= 

M. A. JORGE M.


”

=8. 6 69E−12  0.0.0051105 =88. 5A97−12  +   = +    0. 0 511 8. 6 69E−12 8. 6 69E−12∗0. 0 511 = 0.005 0.415−12+ =6. 0. 0 004+  0.005 7 1−12 0.005 0.0001 =(88.59±6.71)−12 [] =8. 6 69E−12 0.0.00511006 =738−12 [] =8. 6 69E−12 0.0.0051101 =443−12 []

7.10 Utilizando la figura con el modelo ajustado, determinar el valor de la carga eléctrica almacenada en el capacitor para una distancia de 0.06 cm

7.11 Utilizando la figura con el modelo ajustado, determinar el valor de la capacitancia del capacitor para una distancia de 0.10 cm

8. ASERCION DE CONOCIMIENTO

La capacitancia es proporcional al area de las placas del capacitor e inversamente proporcional a la distancia que los separan. La capacitancia aumenta con el area, debido a que a mas area, por que el area retiene la carga eléctrica. La capacitancia no depende ni del voltaje ni carga eléctrica. Si la distancia entre las placas aumenta el campo eléctrico se debilita, y la capacitancia disminuye. BIBLIOGRAFIA

Serway-Beichener, FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA (TOMO II) Tripler, FISICA, VOLUMEN II H.Leyva N. Electrostatica y magnetismo, Tercera edicion Jaime Burgos Manrique (2001), FISICA EXPERIMENTAL III Gil- Rodriguez, FISICA RECREATIVA Jaime Burgos Manrique, PROGRAMA FISLAB vs 4. Jaime Burgos Manrique, (2009) INTRODUCCION A LA FISICA EXPERIMENTAL Wapedia, Permitividad, wapedia.mobi.es\permitividad

M. A. JORGE M.


”

APENDICE A. REGISTRO DE DATOS EXPERIMENTALES±

Tabla No 1 1 %

Error probable α% Tabla No 2

MAGNITUD

MEDIDA

Diametro D

25,5±0,1 [cm]

Distancia de separacion d

d±0,1 [mm]

Cmax = 2000 [pF] ± 10% Cmax = 2000 [pF] ± 200 [pF]

No

Tabla No 3` Distancia d Capacitancia [mm] [pF] 1 1,0±0,1 447±200

2

1,5±0,1

300±200

3

2,0±0,1

224±200

4

2,5±0,1

182±200

5

3,0±0,1

153±200

6

3,5±0,1

132±200

7

4,0±0,1

118±200

8

4,5±0,1

103±200

9

5,0±0,1

93±200

10

5,5±0,1

81±200

M. A. JORGE M.


”

B. PROCESAMIENTO DE DATOS

Conversion de los datos a unidades del SI Tabla 4 No Distancia d [m] 1 0,0010

El área de la placa plana

Error del área de la placa

Entonces

Considerando la formula:

Se tiene: Considerando:

Capacitancia [F] 447*10-12

2

0,0015

300*10-12

3

0,0020

224*10-12

4

0,0025

182*10-12

5

0,0030

153*10-12

6

0,0035

132*10-12

7

0,0040

118*10-12

8

0,0045

103*10-12

9

0,0050

93*10-12

10

0,0055

81*10-12

4  = = 4 0.255 =0.0511 [] π2   = = π2 ∗0.255∗0.001=0.0004 [] =0.0511±0.0004 [] ==1.0005 ≈1(8) =  = = =/ =0 =+

Se tiene el modelo matemático

M. A. JORGE M.


No

Σ

Distancia d

Capacitancia

x=s/d

”

Tabla 5 y=C

x^2

y^2

x*y

1

1,00E-03

4,47E-10

51,07

4,47E-10

2,61E+03

2,00E-19

2,28E-08

2

1,50E-03

3,00E-10

34,05

3,00E-10

1,16E+03

9,00E-20

1,02E-08

3

2,00E-03

2,24E-10

25,54

2,24E-10

6,52E+02

5,02E-20

5,72E-09

4

2,50E-03

1,82E-10

20,43

1,82E-10

4,17E+02

3,31E-20

3,72E-09

5

3,00E-03

1,53E-10

17,02

1,53E-10

2,90E+02

2,34E-20

2,60E-09

6

3,50E-03

1,32E-10

14,59

1,32E-10

2,13E+02

1,74E-20

1,93E-09

7

4,00E-03

1,18E-10

12,77

1,18E-10

1,63E+02

1,39E-20

1,51E-09

8

4,50E-03

1,03E-10

11,35

1,03E-10

1,29E+02

1,06E-20

1,17E-09

9

5,00E-03

9,30E-11

10,21

9,30E-11

1,04E+02

8,65E-21

9,50E-10

10

5,50E-03

8,10E-11

9,29

8,10E-11

8,62E+01

6,56E-21

7,52E-10

206,31

1,83E-09

5,82E+03

4,54E-19

5,14E-08

---------------------

---------------

∑  = ∑ ∑−∑  −(∑ ) )−( ) 206, 3 1 (1, 8 3E−09) = 10(5,110(4E−08  −( ) 5,=8.82E+03) 206, 3 1 6 69E−12 ∑−∑  = 69E−12)(206,31) −(8. 6 1, 8 3E−09 = a=4.424E−12 10 =4.424E−12+ 8.669E−12X

La ecuación de ajuste es

Linea recta sobre los datos transformados 5.00E-10 Y=[F]

LINEA RECTA AJUSTADA LOS DATOS EXPERIMENTALES TRANSFORMADOS

4.50E-10 4.00E-10 3.50E-10 3.00E-10 2.50E-10 2.00E-10 1.50E-10 1.00E-10 5.00E-11

X=[1/m

0.00E+00 0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

Figura 6

M. A. JORGE M.


”

Modelo matemático ajustado a los datos experimentales Después de calcular los valores a, b y la recta de los mimos cuadrados, se retorna a la función original, que es el modelo ajustado a los datos experimentales, esto es:

=+  = ; = =0 ;  =  =+   =4.424E−12+ 8.669E−12 

Coeficiente de confianza o valor critico t α/2 Tabla No. 6 V=n-2 8

0.005

α/2

t / =3.355

De tablas

α

Desviación estándar de la función estimada

No

Tabla No. 7 y=C y=a+bx

x=S/d

(y-yest)^2

1

51,07

4,47E-10

4,432E-10

1,479E-23

2

34,05

3,00E-10

2,956E-10

1,955E-23

3

25,54

2,24E-10

2,218E-10

4,886E-24

4

20,43

1,82E-10

1,775E-10

2,010E-23

5

17,02

1,53E-10

1,480E-10

2,499E-23

6

14,59

1,32E-10

1,269E-10

2,582E-23

7

12,77

1,18E-10

1,111E-10

4,751E-23

8

11,35

1,03E-10

9,881E-11

1,757E-23

9

10,21

9,30E-11

8,897E-11

1,624E-23

10

9,29

8,10E-11

8,092E-11

6,270E-27

206,312354

1,833E-09

1,793E-09

1,915E-22

  =  ∑(−) −2 15E−22 =4.892−12  =  1.910−2  =1 − 1   = 5.82E+03 − 10 (206.31) =1563.618  =   = 4.√ 8192−12 563.618 =1.237−13

Desviación estándar del intercepto y de la pendiente

M. A. JORGE M.


”

5.82E+03618 =2.984−12  = ∑ =4.892−12 10∗1563. =  =3. 3 55∗1. 2 37−13=4. 1 5−13 /  =/ =3. 3 55∗2. 9 84−12=1−11 =±=8.4624E−12±10, 69E−12±0, 4015−12 =±=4. 00−12 ℇ =  ℇ =8.669−12 ℇℇ=8.=0,6469−12 15−12 ℇ =ℇ ±ℇ    ℇ =(8. 6 69±0. 4 15)−12 4.424E−12  :=0 :≠0 4. 4 24E−12 −0  = − = =1.482  2. 9 84−12  3.355<1.482<3.355

Incertidumbre estadística de la pendiente b y del intercepto a

Intervalos de confianza de αyβ

El valor experimental de Eo

Entonces:

El calculado es a=

como estimador de α=0

Para la hipótesis Ho:

El resultado es que , el valor calculado está en la region de aceptación de la Ho, en consecuencia el valor estimado es suficientemente bueno y no puede ser sustituido por 0 con una probabilidad de cometer un error no mas allá del 1% o con una seguridad cercana al 99%.. Prueba de hipótesis para la pendiente β El valor del exponente calculado es b= como estimador de β=8.85 E-12

8. 6 69E−12 :: ≠8. =8.8855 E−12 E−12 8. 6 69E−12−8. 8 5 E−12  = − = =−1.463  1.3.2137−13 693<−1.8.6469E−12 63<3.1693 =|−  −|=|8.86.669−12−8. 69E−12−8.858E−12 5 E−12|=1.81−13  =  = 8.85 E−12 =0.0204=2.04%

Este valor esta ubicado en la región de aceptación de la hipótesis Ho, por tanto el valor calculado de puede ser sustituido por 8.85 E-12 con una confianza del 99%. Además esto afirma la veracidad del modelo matemático teórico. Errores

M. A. JORGE M.

Laboratorio 5 - Capacitancia Dependiente de Sus Dimensiones Geometricas

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