CAPACITANCIA DEPENDIENTE DE SUS DIMENSIONES GEOMÉTRICAS

La Laboratorio Nº6 CAPACITANCIA DEPENDIENTE DE SUS DIMENSIONES GEOMÉTRICAS 1.- Objetivo.Verificación del comportamiento de la capacitancia dependiente d ela distancia de separación entre placas. Determinación de la constante de permitividad del vacío con el 1% de error probable. 2.- Fundamento teórico.- Capacitancia en función de sus dimensiones dimensiones geométricas:

d

D

C

Figura 1 La capacitancia se puede determinar en función de su área á rea transversal, la distancia de separación entre placas y la permitividad del vacio. La capacitancia del capacitor es:

   Donde: S.- Es el area de la sección sección transversal de la placas [

].



d.- Es la distancia distancia de separación entre placas placas [ ]

.- la permitividad permitividad o permisividad permisividad del vacio   ⁄ C.- la capacitancia [F]

C

d

Figura 2 El comportamiento de la capacitancia en función de la distancia de separación es como se muestra en la figura 2. 3.- Hipótesis del experimento.- “la capacitancia de un capacitor de placas planas y paralelas es proporcional a su área transversal e inversamente proporcional a la distancia de separación entre placas donde la constante de proporcionalidad es la permitividad del vacío”. 4.- Instalación del sistema de experimentación.-

5.- Registro de datos experimentales.Tabla 1



Error probable  %

1%

Tabla 2 MAGNITUD Diámetro D Distancia d

CANTIDAD 25.5 d 0.1

UNIDAD mm mm



Tabla 3 Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distancia (mm) 1.0 0.1 2.0 0.1 3.0 0.1 4.0 0.1 5.0 0.1 6.0 0.1 7.0 8.0 0.1 9.0 0.1 10.0 0.1

         

Capacitancia(pF)

         

6.- Resultados del experimento.6.1.- Verificación del comportamiento del modelo matemático.El área:

                          

Valores Y 500 400 300 Valores Y

200 100 0 0

2

4

6

8

10

12

6.2.- Permitividad el vacio.- la permitividad del vacío determinado experimentalmente es

  

  ⁄ con un error relativo porcentual del 4.7%. Según los resultados de las pruebas de hipótesis estadísticas, se muestra que el valor verdadero esta en este intervalo de confianza, además la diferencia entre este valor determinado y el verdadero no son significativos y se deben a la presencia de errores del tipo aleatorio. El modelo matemático está comprobado. El error absoluto es de

[⁄] en defecto, y representa el 0.45%.

6.3.- Modelo matemático y su comportamiento.-según los reultados de las pruebas de hipótesis se tiene que el modelo es.

      

Valores Y

Comportamiento del modelo matemático

500 450 400 350 300 250

Valores Y

200 150 100 50 0 0

2

4

6

8

10

12

Figura 5 6.4 Curvas de intervalos de confianza.-

Valores Y 500

Intervalos de confianza del modelo ajustado

450 400 350 300 250

Valores Y

200 150 100 50 0 0

2

4

6

8

10

12

Cualquier punto de espacio entre las curvas de intervalos de confianza son suficientemente buenos y que el modelo puede elegirse entre esos intervalos.

     

La ecuación ajustada es:

Desviación estándar de la línea recta estimada.-

= 3.468*

Desviación estándar del intercepto a y la pendiente b:

 = 1806.65  = 1.64*  =8.15* Intervalos de confianza: α= a ±δa= (2.3 ± 5.5 )*

 

β= b± δb = (8.59 ± 0.27) *

 

La permitividad es :

=± =(8.59 ±0.27)*   Error absoluto respecto al valor verdadero:



e = 2.94

 

Prueba de hipótesis para el intercepto para el intercepto  :

El intercepto es -3.355



 y aceptamos la hipótesis     e indica que el valor verdadero  es cero. Por tanto también se puede inferir que el valor de a =0 con un error probable del 1 . Prueba hipótesis para la pendiente   : Este resultado -3.355 sugiere que el valor  de   está en la región de aceptación de     el modelo matemático es suficientemente bueno como para representarlas propiedades del capacitor.

7.- Interpretaciones físicas.-

7.1 La capacidad de un capacitor depende de: a) La tención aplicada en la carga b) Del área y la distancia de separación c) De ninguno de ellos es independiente de ambos 7.2 Se dice que la capacitancia aumenta porque: a) La tención aplicada al capacitor aumenta b) Porque el área del capacitor aumenta y acumula mayor carga eléctrica c) Porque la constante de la permitividad del vacío varia y aumenta 7.3.- Porque proporcional a su área transversal e inversamente proporcional a la distancia de separación entre placas donde la constante de proporcionalidad es la permitividad del vacío 7.4 la constante dieléctrica del aire local determinado experimentalmente es ligeramente diferente que en el vacío, entonces: a) Se puede sustituir el valor determinado experimentalmente por el valor del vacio b) No se debe sustituir porque la influencia puede ser muy significativo c) Se debe determinar el valor de la misma para cada lugar 7.5 para determinar la expresión de la capacitancia en función de sus dimensiones geométricas aplicando la Ley de Gauss se hacen las siguientes consideraciones: a) Que las placas del capacitor necesariamente deben ser paralelas y circulares b) Que las líneas marginales del capacitor sean despreciables y que el campo eléctrico entre las placas sean uniformes c) Que las líneas de campo eléctrico deben ser consideradas en su integridad y que el campo eléctrico debe ser constante cono vector 7.6 El valor de la capacitancia del capacitor seterminado por medio de la tencion aplicada V y la medición de la carga

 ⁄, y por otro lado la determinada midiendo el area y su distancia de separación son:

a) Exactamente iguales b) son aproximados c) Son muy diferentes 7.7 la permitividad del vacio determinado experimentalmente es

   ⁄ con un

error relativo porcentual del 4.7 %. Según los resultados de las pruebas de hipótesis estadísticas, se muestra que el valor verdadero esta en ese intervalo de confianza, además la diferencia entre el valor determinado y el verdadero no son significativos y se deben a la presencia de errores del tipo aleatorio. El modelo matemático está comprobado. El error absoluto es de 0.014*10E-12 en defecto, y representa el 0.45 % 8.- Aserción del conocimiento.-la capacitancia depende de sus dimensiones geométricas tanto del área de la distancia de separación, y no de la diferencia de potencial eléctrico ni de la carga, entonces se dice que el capacitor es capaz de acumular carga eléctrica en sus placas y además almacena la energía eléctrica en el campo eléctrico creado entre placas del capacitor . 9.- Bibliografía “Electricidad y Electrónica” de OXFORD publicación de Grupo La República Internet Wikipedia, la enciclopedia libre

A Apéndice: PROCESAMIENTO DE DATOS.A.1 Determinación de la permitividad del vacío.-



  

Los parámetros d la recta universal es:



  

La recta verdadera o universal es:



La recta de estimación es:

 Tabla auxiliar

  ⁄

Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

51.100 25.500 17.033 12.775 10.220 8.510 7.300 6.387 5.678 5.110

∑x=149.67

Y=C

         

4.39*1  2.25*1  1.54*1  1.13*1  9.00*1  7.50*1  6.30*1  5.60*1  5.00*1  4.40*1  ∑y=1.309*1  ∑





2611.210 652.803 290.123 163.201 104.448 72.539 53.290 40.794 32.240 26.112 =4046.760



 1.927*1  5.063*1   2.372*1   1.277*1   8.100*1   5.625*1   3.969*1   3.136*1   2.500*1   1.936*1   ∑  =3.051*1 

 2.243*1 5.749*1 2.623*1 1.443*1 9.020*1 6.388*1 4.599*1 3.577*1 2.839*1 2.248*1 3.511*1

La pendiente.-

 ∑  ∑  ∑   ∑ ∑   

         

    Intercepto con la coordenada al origen.-:

    ∑       ∑          Ecuación ajustada.-

Valores Y 5.00E-10 4.50E-10 4.00E-10 3.50E-10 3.00E-10 2.50E-10

Valores Y

2.00E-10 1.50E-10 1.00E-10 5.00E-11 0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

Modelo matemático ajustado a los datos experimentales y su comportamiento.-

     () Desviación estándar de la línea recta estimada.Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  ⁄ 51.100 25.550 17.033 12.775 10.220 8.517 7.300 6.387 5.678 5.110

∑x=149.67

 4,39*1  4.413*1  2.25*1  2.218*1  1.54*1  1.486*1  1.13*1  1.121*1 9,00*1  9.012*1  7.50*1  7.549*1 6.30*1  6.504*1  5.60*1  5.719*  5.00*1  5.110*  4.40*1  4.622*  ∑y=1.309*1   1.309*  

=   = 3.468*

Y=C

 

(y-

          

5.290* 4.900* 2.916* 8.100* 1.440* 2.404* 4.162* 1.416* 1.210* 4.928* 9.623*

Desviación estándar del intercepto a y la pendiente b:

 = 4046.76 -   = 1806.65   = 1.64*  = 3.468*      = √   =8.15* Coeficiente de confianza

V=n-2

8

α/2 

0.005

=3.355 Incertidumbre estadística de la pendiente b y el intercepto a:

 = 2.734* 

δb = 3.355* 8.15* δa = 3.355* 1.64

 =5.5 * 

Intervalos de confianza: α= a ±δa= (2.3 ± 5.5 )*

 

β= b± δb = (8.59 ± 0.27) *

 

Valor de la constante de la permitividad

= b La permitividad del vacío probable:

=b =8.59* 

Propagando la incertidumbre:

= 0.27*  La permitividad es :

=± =(8.59 ±0.27)*   Error relativo porcentual:

=    =3.14 Error respecto al valor verdadero:

 -=(8.59-8.85)* = -0.26* 

e=

Error absoluto respecto al valor verdadero:

  | =0.26 * | * 100 = 2.94 e=|  e= 8.59*  - 8.85*



Prueba de hipótesis para el intercepto para el intercepto  :

           =1.4 El intercepto es -3.355



 y aceptamos la hipótesis     e indica que el valor

verdadero  es cero. Por tanto también se puede inferir que el valor de a =0 con un error probable



del 1 .

Prueba hipótesis para la pendiente



=8.85*       



 = -3.19

 sugiere que el valor de  está en la región de  aceptación de     el modelo matemático es suficientemente bueno como para Este resultado -3.355

representarlas propiedades del capacitor.