Simulación y control del péndulo invertido mediante algoritmos difusos Profesor: Mario Peralta P.
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INTRODUCCIÓN
Prácticamente todos los sistemas físicos son no lineales de por sí, aunque muchas veces es posible describir su funcionamiento de modo aproximado mediante un modelo lineal. La formulación no lineal a menudo es rígida y no está tan homogeneizada. homogeneizada. Cada tipo de sistema no lineal requiere un tipo de modelado. Esto conlleva que sea difícil hallar la formulación de un sistema global formado por la interconexión de diversas no linealidades. El sistema Péndulo Invertido es un sistema no lineal e inestable (ya que el péndulo puede volcarse en cualquier momento y en cualquier dirección), lo cual conlleva a problemas en la modelación matemática y fundamentalmente en el control que de este se quiere hacer. 2
OBJETIVO
El objetivo del trabajo es diseñar y simular, un controlador difuso para un péndulo invertido. 3
DESARROLLO
En la figura # 1 se muestra un carrito con un péndulo invertido, este es "empujado" con una fuerza F. Se determinan las ecuaciones dinámicas de movimiento del sistema.
u (t ) x (t ) Profesor: Mario Peralta P. Ing. Civil / Mg. Ing. 1
Figura 1 Péndulo invertido, planta a controlar 3.1
Modelo
Para este modelo, asumamos que M
masa del carro
1.5 kg
m
masa del péndulo
0.05 kg
b
fricción del carro
0.5 N/m/seg
l
longitud al centro de masa del péndulo
1.5 m
I
inercia del péndulo
0.006 kg*m^2
F
fuerza aplicada al carro
x
coordenadas de posición del carro
theta ángulo del péndulo respecto de la vertical Abajo figuran los dos diagramas de cuerpo libre del sistema.
Figura 2 Modelamiento del péndulo invertido Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente ecuación del movimiento:
&& + b x& + N = F M x Note que también puede sumar las fuerzas en la dirección vertical, pero no s e ganará ninguna información útil. Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo en la dirección horizontal, puede obtener an ecuación para N:
&& + ml θ && cos θ − ml θ & sin θ N = m x 2
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Si sustituye esta ecuación en la primera ecuación, se obtiene la primera ecuación del movimiento de este sistema:
&&cos θ − ml θ & 2 sin θ = F (1) ( M + m) x&& + b x& + ml θ para obtener la segunda ecuación de movimiento, sume las fuerzas perpendiculares al péndulo. Si resuelve el sistema a lo largo de este eje se ahorrará un montón d e álgebra. Debería obtener la siguiente ecuación:
&& + m&x& cos θ P sin θ + N cos θ − mg sin θ = ml θ Para librarse de los términos P y N en la ecuación anterior, sume los momentos sobre el centroide del péndulo para obtener la siguiente ecuación:
&& Pl sin θ − Nl cos θ = I θ
−
Combinando estas dos últimas ecuaciones, se obtiene la segunda ecuación dinámica:
&& + mgl sin θ = −ml &x& cos θ ( I + ml 2 )θ
( 2)
Ambas ecuaciones es posible llevarlas a Matlab / Simulink dando la siguiente planta de trabajo: -b
xdot
1/(M+m)1 1 u -b*xdot -K-
xddot
1/(M+m)
1 s
1 s
xdot
make xdot
x
make x 1 x
Product 2
m*l*si n(theta)*(thetadot )^2
-m*l*cos(theta) xdot 2 xd
thetaddot
4 thetadot
Td
Product 3 (thetadot )^2
xddot theta
cos
cos(theta)
cos(theta) theta
u
2
Math Function
-K-m*l
theta
Product 1
3 T
sin sin(theta)
sin(theta )
-K-
-m*g*l*sin(theta)
-m*g*l
-K-
thetaddot
1/(J+m*l^2)
1 s make thetadot
thetadot
1 s
theta
make theta
Figura 3 Modelo en Simulink del péndulo invertido, se uso como subsystem
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Primeramente se implemento en lazo abierto como lo muestra la figura 4:
Scope x u
Signal Generator
x xd T Td
To Workspace
Pendulo Invertido
XY Graph
Figura 4 Modelo en Simulink del péndulo invertido en lazo abierto con el subsystem Péndulo invertido Como excitación se uso una señal cuadrada de 0.1 hz de amplitud 5 Como resultado temporal y de diagrama de fase de esta primera simulación tenemos: 10 Velocidad del carro 0
-10 Posición del carro
-20
-30
-40 0
10
20
30 Tiempo
40
50
60
Figura 5 Modelo en Simulink del péndulo invertido en lazo abierto con el subsystem Péndulo invertido
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Figura 5 Diagrama de fase de la simulación del péndulo invertido 3.2
Controlador Fuzzy
Considerando la descripción de la planta realizada en el punto anterior, se procedió a diseñar el sistema en base a la lógica difusa mediante el cual se pudiera controlar de buena el ángulo vertical del péndulo invertido. Para ello, se empleo un controlador que recibe como entradas el error e, definido como la diferencia entre el ángulo deseado y el medido; y la derivada del error (de/dt ). Este controlador entrega una salida proporcional a la rapidez de cambio de la fuerza de actuación (du/dt ) sobre el carro del péndulo. Para implementar este controlador, se utilizo el toolbox de lógica difusa ( Fuzzy logic toolbox) de Matlab 7.0. Para ingresar a el se emplea el comando fuzzy, el cual permite trabajar en la ventana FIS Editor, donde se puede seleccionar el número de entradas y salidas del controlador, así como también se permite rotular dichas variables, tal como se precia en la figura 6
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Figura 6 Diagrama de bloques del controlador fuzzy 3.2.1
Reglas de control
Para definir las reglas de base del controlador fuzzy, se considera la siguiente notación: MN.- Muy Negativo ZE.- Cero POS.- Positivol MP.- Muy Positivo A partir de la cual se puede obtener la siguiente matriz: �������� ��� �����
����� θ � � � � � � � � θ � � �
���
����
���
���
��
���
���
����
���
��
���
���
���
���
��
Tabla 1Reglas de control
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Se ingresan las reglas a Matlab mediante el Rule Editor definiendo previamente las funciones de pertenencia asociadas. 3.2.2
Funciones de pertenencia
Para definir las funciones de pertenecía, se emplea la Membership function editor del Fis Editor . Teniendo en cuenta que el rango de operación que se estableció fue de -20° a 20°el error será de ±40°, tal como se aprecia en la figura 7.
Figura 7 funciones de pertenecía para el error En el caso de la variación del error en función del tiempo, el universo de variación se reduce a ±20°, es decir la velocidad de variación no sería más allá de 20 [°/seg].
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Figura 8 funciones de pertenecía para la derivada del error Para la salida del controlador, se empleó un universo de ±2, esto fue tomado pensando que no fuera más allá de dos grados de desviación.
Figura 9 funciones de pertenecía para la salida del controlador fuzzy. Una vez que se han definido las funciones de pertenencia correspondientes, y tal como se explico previamente, se puede ingresar el conjunto de reglas que se muestran en la tabla 1 en la ventana Rule Editor , tal como se muestra en la figura 10.
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Figura 10 Reglas de control en la ventana Rule Editor . 3.3
Lazo de Control
En el esquema de la figura 11 se puede observar el lazo empleado, donde se ve que la salida de la planta se compara con la referencia para determinar el error.
5 u
Sine Wave
Gain 1 Fuzzy Logic Controller du/dt Derivative
x xd T Td
Pendulo _inv
Td
Tr
1 Gain
Figura 11 Ventana Diagrama de bloques del lazo de control completo
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