La Simulación Condicional en un Depósito Minero. por Marco Antonio Alfaro Sironvalle Ingeniero Civil de Minas (U. de Chile) Doctor en Geoestadística (ENSM París)
Profesor de Probabilidades Probabilidades y de Procesos Estocásticos, Universidad de Chile Profesor de Evaluación de Recursos Mineros, USACH Profesor de evaluación de Recursos Mineros, U. de Concepción Profesor del post grado de Activos Mineros, U. Católica de Valparaíso
2008
Una cita:
Construcción de Modelos Numéricos de Yacimientos Mineros. Mineros .
Los métodos llamados de simulación – muy utilizados, en particular, en el dominio de las ciencias económicas
–
consisten en construir construir un modelo modelo matemático de un fenómeno natural. Estas
simulaciones permitirán de controlar el valor de las ideas teóricas que han servido de base para la construcción del modelo – porque se puede examinar en qué medida las propiedades deducidas del estudio matemático del modelo imitan, o simulan, las propiedades del fenómeno real. Inversamente, las simulaciones pueden conducir al descubrimiento de nuevas leyes acerca del fenómeno real, la experimentación es infinitamente más fácil de realizar sobre un modelo puramente matemático. Sería interesante para el geoestadístico saber construir modelos numéricos de yacimientos mineros, es decir, ser capaz de alinear series de cifras, las cuales presentan las mismas características que las que se piensa atribuir a la la sucesión en el espacio espacio de las leyes de un yacimiento real.
G. Matheron: Matheron: Nota geoestadística N° 26, Construcción de modelos numéricos de yacimientos mineros, ENSM París, 1960.
Otra cita:
¡ La simulación es mejor que la realidad !
R. W. Hamming, Hamming, “The art of Probability”, 1991.
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Una cita:
Construcción de Modelos Numéricos de Yacimientos Mineros. Mineros .
Los métodos llamados de simulación – muy utilizados, en particular, en el dominio de las ciencias económicas
–
consisten en construir construir un modelo modelo matemático de un fenómeno natural. Estas
simulaciones permitirán de controlar el valor de las ideas teóricas que han servido de base para la construcción del modelo – porque se puede examinar en qué medida las propiedades deducidas del estudio matemático del modelo imitan, o simulan, las propiedades del fenómeno real. Inversamente, las simulaciones pueden conducir al descubrimiento de nuevas leyes acerca del fenómeno real, la experimentación es infinitamente más fácil de realizar sobre un modelo puramente matemático. Sería interesante para el geoestadístico saber construir modelos numéricos de yacimientos mineros, es decir, ser capaz de alinear series de cifras, las cuales presentan las mismas características que las que se piensa atribuir a la la sucesión en el espacio espacio de las leyes de un yacimiento real.
G. Matheron: Matheron: Nota geoestadística N° 26, Construcción de modelos numéricos de yacimientos mineros, ENSM París, 1960.
Otra cita:
¡ La simulación es mejor que la realidad !
R. W. Hamming, Hamming, “The art of Probability”, 1991.
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LA SIMULACION DE LEYES EN UN DEPOSITO MINERO.
I. Introducción. La simulación condicional de leyes (o en general simulación de una variable regionalizada ) es en la actualidad una herramienta importante en las aplicaciones
prácticas de la geoestadística. Sin embargo la creación de esta es ta teoría, su formulismo y su implementación práctica se remontan a principios de la década de los 70, principalmente en el Centro de Geoestadística de Fontainebleau, Centro de Investigación de la Escuela Nacional Superior de Minas de París, dirigido en ese entonces por el geomatemático francés Dr. Georges Matheron (1930-2000).
I. 1. Definición de la simulación condicional. Por definición, llamaremos simulación de una función aleatoria a la obtención numérica de una o varias realizaciones.
Si consideramos una variable regionalizada conocida en los puntos experimentales x1 , x2 , ..., x N : La simulación condicional consiste en construir una realización que posee el mismo histograma – por consiguiente la misma ley media y la misma varianza – , el mismo variograma que los datos disponibles, además de estar condicionada por estos datos experimentales z(x1), z(x2), . . . , z(x N ). Es decir , donde existen datos, simulación y realidad coinciden .
La figura 1 muestra dos simulaciones condicionales en una dimensión. Se observa que todo estimador , en particular el krigeado, alisa la realidad, mientras que la simulación respeta la variabilidad real de las leyes.
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Figura 1: Dos simulaciones condicionales en el espacio de una dimensión. La simulación coincide con la realidad donde ésta es conocida, es decir en los puntos x1 , x2 , ..., x N . La realidad está constituida por las leyes z( x condicionantes. Simulación Simulación y realidad realidad tienen las mismas x1) , , z( x x2) , , ... , z( x x N ) en los puntos condicionantes. estadísticas (histograma, media y varianza) y el mismo variograma.
Existe toda una matemática que permite obtener realizaciones condicionales de una función aleatoria, con las condiciones mencionadas, tal como veremos más adelante. El ejemplo siguiente (M. Alfaro, 1979) muestra bien la diferencia entre estimación y simulación condicional y ha sido reproducido en varias publicaciones acerca de la simulación condicional (ver C. Lantuéjoul 2001, J. P. Chilés y P. Delfiner, 2000): Estimación versus simulación: Sobre una línea L se conoce la profundidad z(x) del mar cada 10 m. Nos proponemos resolver el problema siguiente: si se conoce la profundidad del mar cada 100 m (ver figura 2), ¿Cuál es la longitud de un cable submarino que debe reposar sobre el fondo del mar?
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Si se observa la figura, se ve bien que el krigeado (u otro estimador) subestima la longitud del cable y que la simulación condicional responde bien a nuestro problema.
Figura 2: Cálculo de la longitud de un cable submarino el cual debe reposar en el fondo del mar. Con el krigeado quedamos “cortos de cable” (a) datos iniciales, (b) krigeado, (c) perfil verdadero, (d) perfil simulado. Corresponde a la instalación de un cable submarino en el sur de España.
Para los primeros 200 m se tiene la tabla siguiente:
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Realidad
1er dato
2º dato
3er dato
Longitud real acumulada
146 143 142 148 134 141 127 132 111 94 86 104 121 136 140 156 168 167 171 185 194
Simulación zs(x) 146 130 125 111 114 123 109 109 108 102 86 83 96 108 121 135 149 170 164 167 194
10.4 20.5 32.1 50.4 62.6 79.8 91.0 114.2 133.9 146.8 167.3 187.1 205.1 215.9 234.7 250.3 260.4 271.2 288.3 301.8
Longitud simulada acumulada 18.9 30.1 47.2 57.7 71.1 88.3 98.3 108-4 120.0 138.9 149.4 165.8 181.4 197.7 215.0 232.2 255.4 267.1 277.5 306.3
Se tiene entonces: longitud real
=
301.8 m
longitud simulada
=
306.3 m
Este ejemplo nos muestra que la simulación condicional no debe ser utilizada para estimar la variable regionalizada . En efecto, por ejemplo, en el punto x0 de la figura
2, es mejor estimar la profundidad del mar por el krigeado que por la simulación. La figura 3 presenta una simulación condicional en un banco de una mina de cobre a cielo abierto. Se observa en esta figura el alisamiento que produce el krigeado, la presencia de una anisotropía y que la simulación condicional respeta, en particular, el histograma de las leyes de cobre. Los dos ejemplos presentados se refieren a leyes de mineral pero se puede simular otro tipo de variables (potencia mineralizada, porosidad de la roca, densidad de la roca., etc...).
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Figura 3: Simulación condicional en un banco de una mina de cobre a cielo abierto. Se observa que la simulación respeta el histograma (las zonas de baja ley son más que las zonas de alta ley) y reproduce las anisotropías (por intermedio del variograma). Se observa también la presencia de un efecto de pepita que el krigeado no puede reflejar. La simulación puede ser conocida en cualquier punto del depósito, en este caso, en una malla de 2 metros x 2 metros.
La simulación produce valores numéricos en los nodos de una grilla extremadamente cerrada en comparación con la malla de muestreo existente.
En la figura 4 siguiente aparece el krigeado y algunas simulaciones condicionales de un depósito tipo manto subhorizontal de fósforo. Se han simulado 100 realizaciones condicionales para la potencia del manto en metros y para la ley de P2O5 en (%) :
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Figura 4: Simulación condicional de la potencia mineralizada en un manto correspondiente a una mina de fosfatos. Se observa el alisamiento producido por el krigeado.
El objetivo de construir 100 simulaciones del manto (potencia y ley) fue para estudiar la variabilidad de los índices económicos del proyecto, los cuales dependen, de manera importante del tonelaje y de la ley. Sin las simulaciones se tendría un solo valor para la potencia y para la ley... Con las 100 simulaciones se tienen 100 realizaciones
de
valores
presentes
netos
los
cuales
permiten
caracterizar,
probabilísticamente los índices económicos del proyecto minero.
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Figura 5: Simulación condicional de las leyes de fosfato P 2O5.
I. 2. Simulación de conjuntos aleatorios. Simulación de unidades geológicas. Un conjunto aleatorio corresponde al caso particular de una función aleatoria la cual puede tomar solo dos valores 0 ó 1. El valor 1 se llama (arbitrariamente) “grano” (y se pinta de color negro) y el valor 0 se llama “ poro” (y se pinta de color blanco). La figura 6 muestra una realización del conjunto aleatorio “la luna” junto a los variogramas de varias realizaciones.
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Figura 6: Simulación no condicional de la luna. La línea horizontal en el gráfico de la derecha representa la varianza de la realización. Se observa que las fluctuaciones de los variogramas de las diferentes realizaciones son enormes.
Figura 7: Simulación condicional de la luna. Las fluctuaciones de los variogramas de las realizaciones son más moderadas.
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Figura 8: Realización no condicional de un conjunto aleatorio obtenido al aplicar un “valor de corte” a una realización de una función aleatoria.
La simulación condicional de conjuntos aleatorios es importante en la simulación condicional de un borde geológico. En algunos casos el modelo matemático es bastante complicado. El caso anterior corresponde a la simulación de dos facies o unidades. En el caso de simular más facies, la situación se complica y hay que utilizar métodos más elaborados como el método gaussiano cortado y el método pluri gaussiano .
El método gaussiano cortado consiste en obtener una realización de una función aleatoria Y ( x, y) gaussiana reducida (con media 0 y varianza 1) y luego aplicar diferentes cortes – o intervalos del tipo a < Y ≤ b – a la realización, los cuales definen las unidades.
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Figura 9: Simulación del modelo gaussiano cortado. A la izquierda la realización gaussiana reducida (colores claros indican valores altos, oscuros, valores bajos), a la derecha el conjunto aleatorio resultante con 4 unidades, definidas por los intervalos.
La figura 10 muestra una simulación condicional utilizando el método gaussiano cortado en la mina de cobre MMH. En esta mina existen cuatro unidades: Brecha, C5 , C1 y estéril, las cuales verifican las relaciones de inclusión siguientes:
Brecha ⊂ C5 ⊂ C1 ⊂ estéril
La simulación obtenida muestra que la unidad “brecha” no es tan continua como se creía y la presencia de estéril dentro del sólido “mineralizado”.
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Figura 10: Simulación condicional de la geología en un banco de un depósito de cobre. Existen 4 facies: Brecha, C5 , C1 y estéril.
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Las plurigaussianas. Sean dos funciones aleatorias independientes Y 1( x, y) e Y 2( x, y) las cuales son gaussianas reducidas y toman sus valores (Y 1 , Y 2) en el plano, el cual ha sido “particionado” en zonas D1 , D2 , D3, ... , las cuales se pintan con ciertos colores:
Figura 11: Partición del espacio . El punto ( Y 1 , Y 2) cae en la zona verde.
Como estas funciones aleatorias están indexadas con las coordenadas (x, y), a cada punto (x, y) se le asocia el color del punto (Y 1 , Y 2). La figura siguiente muestra un ejemplo. En la parte superior (en verde) aparecen las gaussianas reducidas Y 1( x, y) e Y 2( x, y) (los colores claros indican valores altos, los oscuros, valores bajos). El variograma de Y 1( x, y) corresponde al modelo gaussiano isótropo, mientras que el variograma de Y 2( x, y) corresponde a un modelo esférico isótropo. Más abajo se tienen varias simulaciones correspondientes a diferentes particiones (o “banderas”) del espacio.
La simulación condicional de los modelos gaussiano cortado y plurigaussiano es relativamente simple y se puede ver en Lantuéjoul, 2001.
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Figura 12: Simulaciones no condicionales del modelo plurigaussiano.
Figura 13: El modelo plurigaussiano en 3D. Y 1 es anisótropo mientras que Y 2 es isótropo.
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La figura siguiente muestra una simulación condicional de leyes de cobre en un banco de la mina Los Bronces. La limitación de esta simulación es que el modelo geológico no ha sido simulado, se asume determinístico:
Figura 14: Simulación condicional en un banco de una mina de cobre. A la derecha, el modelo geológico, el cual no ha sido simulado. Cada dominio geológico tiene un variograma diferente. ¿Conviene simular los dominios geológicos?
El problema de simular simultáneamente la geología y las leyes no está resuelto, en la actualidad, de manera global.
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II. Objetivos de realizar una simulación condicional. Los objetivos de usar simulaciones condicionales siempre están relacionados con la característica fundamental de las simulaciones que es reproducir la variabilidad espacial real de la variable regionalizada . Entre los propósitos que enumeramos a
continuación, se pueden tener combinaciones de ellos. Hay que experimentar con los modelos numéricos proporcionados por las simulaciones condicionales para ayudar a la solución de problemas mineros prácticos. La lista siguiente dista mucho de ser exhaustiva:
•
Optimizar planes de reconocimiento en exploraciones mineras . Definir mallas de sondajes óptimas.
•
Contribuir a la enseñanza de la geología y minería. Se puede construir un depósito ficticio en el cual se pueden diseñar diferentes campañas de reconocimiento, simular agrupaciones de datos en zonas de alta ley, hacer la variografía, diseñar un modelo de bloques, krigearlo y comparar los resultados con la realidad conocida. Estudio de sesgos. Estudio de la influencia del efecto de pepita debido a errores de muestreo, etc. La figura 15 muestra un depósito de este tipo (ver M. Alfaro y Ch. Huijbregts, 1974):
Figura 15: Depósito sedimentario subhorizontal simulado en una malla de 500x300x200. Se tienen 3,000,000 de compósitos. Algunas universidades cuentan con este tipo de depósitos.
•
Estudiar diferentes métodos de estimación de recursos , por ejemplo, comparar las estimaciones del inverso de la distancia (para diferentes exponentes), krigeado simple, ordinario, disyuntivo, de indicadores..., con la realidad conocida.
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16
•
Estudiar la dilución y la selectividad de un modelo de bloques. Elegir un tamaño de bloque adecuado (ver la figura 16).
Figura 16: Dos alternativas para explotar una zona. ¿Qué es mejor, desde el punto de vista de las leyes de mineral? bancos simples con cuatro cargadoras o bancos dobles con dos palas. El modelo krigeado y su “re-bloqueo” no sirven para resolver este problema.
•
3
Estudiar la influencia de utilizar bloques pequeños (por ejemplo de 5x5x5 m ) cuando se tiene una malla de reconocimiento grande (por ejemplo de 2
100x100m ).
•
Estudiar el problema de la reproducción de un modelo de variograma en las simulaciones geoestadísticas. Cuáles son las condiciones que permiten que se reproduzca un cierto modelo?
•
Ayudar en la definición de las reservas recuperables (ver por ejemplo A. Journel y C. Kyriakidis, 2004).
•
Calcular la variabilidad del tonelaje de mineral (y de la ley media) sobre una ley de corte. Si se utiliza el krigeado, se obtienen sesgos.
•
Comprobar que la “regla de oro ” de la geoestadística funciona. La regla de oro de la geoestadística dice: al menos un compósito dentro de cada bloque . 2
(por ejemplo, si la malla cuadrada es de 100x100m , el bloque debe ser de 2
50x50m ).
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•
Contribuir al estudio de la categorización de los recursos mineros. Dar un sentido más preciso, respecto de la variabilidad de las leyes, a las zonas medidas, indicadas e inferidas .
•
Estudiar el riesgo financiero de un proyecto minero, utilizando la variabilidad de las leyes y de los tonelajes. En la actualidad, en algunas empresas mineras todos los proyectos deben ser acompañados de un análisis de riesgo económico, el cual debe considerar la incertidumbre de leyes y de tonelajes.
•
Determinar el error de estimación de planes trimestrales, semestrales y anuales. Estos errores son solicitados a menudo por los bancos.
•
Basándose en las leyes simuladas del modelo de bloques, estudiar las fluctuaciones de las leyes a la entrada de la planta . Si se utiliza el krigeado,
se tendrá una imagen alisada la cual tiene una variabilidad muy inferior a la variabilidad de un cortador de muestras a la entrada de la planta (ver figuras 17 y 18).
Figura 17: Modelo de bloques de 20x20x15 m3 en una mina de óxidos de cobre explotada a cielo abierto (El Tesoro). Se producen aproximadamente 2 bloques por día. Los 102 bloques (51 días de producción) fueron evaluados por el método del krigeado.
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Figura 18: Ley diaria CuT (proveniente del modelo de bloques de la figura 17). La curva en azul no sirve para predecir las fluctuaciones de leyes a la entrada de la planta. Los peaks de leyes son importantes en la planta de tratamiento.
II.1. Importancia de las simulaciones. Para ver la importancia de las simulaciones condicionales, estudiaremos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: En ciertas zonas de la mina de hierro de Marquesado (Sud-Este de España), la ley de Fe es superior a la ley de corte. La selección se efectúa sobre las leyes de impurezas (alcalinos), a partir de una malla de sondajes irregular, tal como muestra la figura. El problema consiste en predecir las fluctuaciones de las leyes diarias de bloques de 10 x 10 x 8 m3 a la entrada de la planta, de manera de tener un flujo aproximadamente constante, en el cual la ley de alcalinos no sobrepase la cota de 0.8%. En la figura se puede observar que el krigeado no responde bien a nuestro problema porque alisa la realidad, mientras que la simulación condicional responde bien porque hace "honor" a los datos; es decir, respeta las características (histograma, ley media, variograma) de la realidad, reproduciendo la variabilidad .
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Figura 19: Simulación condicional y krigeado. El krigeado establece que en la parte norte las impurezas tienen leyes inferiores a 0.8% de alcalinos. La simulación nos indica que podrían existir problemas, los cuales hay que tener presente en la planificación.
Ejemplo 2: En algunas minas de cobre, la ley de arsénico es una variable muy errática en su variación espacial, no muy bien reconocida, lo cual implica que las estimaciones de leyes suavizan la realidad. La figura 20 muestra un banco en la mina Los Bronces, donde existen dos alternativas de explotación: 1 frente (situación actual) y 2 frentes:
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Figura 20: Dos alternativas de explotación de un banco. Con un frente y con dos frentes.
Para ver si la explotación con dos frentes disminuye las fluctuaciones de las leyes de arsénico a la entrada de la planta, se construyó una simulación condicional. La figura 21 muestra las leyes de arsénico diarias para las dos alternativas, se ha graficado además la ley crítica de 130 ppm de arsénico:
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Figura 21: Leyes de arsénico diarias. La ley crítica es de 130 ppm.
La conclusión es que con 2 frentes se mejoran las fluctuaciones pero igual resulta inaceptable, luego hay que poner un sistema de mezcla a la entrada de la planta de tratamiento.
Ejemplo 3: El problema del “halo” mineralizado. En la mina de cobre “El Soldado” existió una discusión acerca del problema (conjetura) siguiente: El krigeado produce un halo mineralizado, es decir estima mineral en zonas de estéril. La ley de corte es de 0.8% Cu. Las figuras 22 y 23 ilustran este problema.
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Figura 22: Un perfil vertical en mina subterránea El Soldado. Leyes de cobre. Se observan cambios abruptos de leyes. En la zona vertical derecha no hay información.
Figura 23: Krigeado de la zona anterior. En verde sectores en los cuales la ley estimada es mayor que la ley de corte. ¿Existe un halo mineralizado?
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La única forma de saber si existe un halo mineralizado es comparar la estimación del krigeado con la realidad de este perfil. Como no se conocía esta realidad se decidió construir una simulación condicional la cual sería la “referencia” o la “realidad ”. La figura 24 muestra la simulación condicional de la zona:
Figura 24: Simulación condicional del perfil (en una malla de 1m x 1m). En verde zonas con ley superior a la ley de corte.
La simulación condicional llevada a bloques aparece en la figura 25, la cual hay que comparar con la figura 23:
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Figura 25: Bloques simulados. Existen algoritmos que permiten simular directamente los bloques, sin pasar por la simulación de “puntos”.
Figura 26: Zonas de extrapolación.
Se observa que el krigeado produce un halo de mineral (en otros términos las leyes se “desparramaron ”) en la zona vertical derecha, zona en la cual las leyes se extrapolaron, y que este método de estimación funciona bien en las otras zonas donde
las leyes se interpolaron .
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Como conclusión resulta que es peligroso extrapolar (extrapolar es como conducir un vehículo hacia adelante basándose exclusivamente en los espejos retrovisores). La zona de extrapolación debería ser categorizada como “inferida ”. Por consiguiente, no se puede planificar con leyes inferidas .
Ejemplo 4:
Dilución en minas de nitratos. En las minas de nitratos siempre se
produce una dilución en la parte vertical de un bloque, la cual tiene por efecto que la ley planificada es siempre inferior a la ley real. La simulación condicional del contacto entre estéril y mineral se utiliza para prever la dilución de las leyes de nitrato:
Figura 27: Vista en planta de la simulación de leyes de nitrato (izquierda) y de la potencia mineralizada (derecha).
Figura 28: Simulación condicional del contacto mineral estéril. Se produce una dilución en la parte inferior del bloque.
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III.
Métodos de Simulación
Existen numerosos procedimientos probabilísticos (llamados a veces métodos de Montecarlo) para generar realizaciones de funciones aleatorias que tienen un vario-
grama dado γ (h). En resumen, estos métodos son, principalmente: a.
Método del análisis armónico .
b.
Método de las medias móviles .
c.
Método de las líneas rotantes .
d.
Método gaussiano secuencial .
El método a) es demasiado laborioso y presenta problemas de convergencia. El método d) presenta problemas de reproducción del variograma (por ejemplo, no reproduce bien el modelo esférico). Las demostraciones de los diferentes resultados se pueden ver en Ch. Lantuéjoul, 2001 y J. P. Chilés y P. Delfiner, 2000.
El Método de las medias móviles. Este método consiste en lo siguiente: Se sortean, al azar, realizaciones independientes wi de una variable aleatoria W i , la cual es normal o gaussiana con esperanza matemática 0 y varianza 1, y se afectan estos valores en los vértices de una malla regular (1 - D, 2 - D ó 3 - D). Sea f una cierta función. La simulación es entonces: (1)
Yi =
∑ f (kb) w
i + k
k
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(esta suma puede ser simple, doble o triple; b es el paso de la malla). Es fácil de ver que para cada función f se tiene un variograma diferente. En la figura 29 se tiene una grilla muy densa con valores normales con media 0 y varianza 1 (llamada también normal reducida ). A cada punto de la grilla se le asocia la suma ponderada siguiente, la cual se realiza sobre todos los puntos que caen dentro de la elipse E :
∑ Z ( x, y ) =
W ( xi , y j )
( xi , y j )∈ E
n
Siendo n el número de puntos que caen dentro de la elipse E . Es fácil probar que Z ( x, y) también sigue una ley normal reducida.
Figura 29: Simulación por medias móviles en el espacio de 2 dimensiones. Hay que imaginar como funciona el método en el espacio de 3 dimensiones.
Un caso interesante es cuando f tiene la expresión siguiente, en el espacio de tres dimensiones:
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⎧1 si x pertenece a una esfera de diámetro a f ( x ) = ⎨ ⎩0 en caso contrario Se puede demostrar, sin dificultad que obtiene en este caso el variograma esférico, con alcance a. Luego, para simular el variograma esférico en el espacio de 3 dimensiones, se pasea una esfera de diámetro
a por el interior de un paralelepípedo (o un cuerpo
tridimensional) el cual está lleno de valores aleatorios independientes W (i, j, k ) y se afecta al centro de la esfera, la suma de los valores W que están en su interior. Más generalmente, en vez de una esfera, se puede considerar un elipsoide (figura 30), con lo cual se obtienen realizaciones anisótropas:
Figura 30: El elipsoide proporciona una realización anisótropa.
Si se desea simular en 2-D un variograma esférico, hay que tomar un plano particular de la simulación precedente. En el caso de simular un modelo esférico (en 2-D o en 3-D), existe un método más eficiente conocido como las monedas aleatorias , el cual consiste en implantar en el plano (espacio) círculos (esferas) cuyos centros y diámetros son aleatorios y asignar en cada implantación un número (aleatorio o no) a los puntos interiores, sumando la contribución de las implantaciones (ver figura 30). En el espacio de 2 dimensiones el
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29
radio del círculo es aleatorio, en 3 dimensiones el diámetro de la esfera es una constante a (este método se llama también “random token” o “monedas aleatorias”; para mayores detalles, ver M. Alfaro, 1980).
Figura 31: Monedas aleatorias. A la izquierda contribución con 4 círculos, a la derecha, contribución con 600 círculos.
El método de las líneas rotantes. Sean k rectas al azar Di en el espacio. Cada recta se caracteriza por un vector unitario ei. Se genera, en cada recta Di , una realización Y i(x) de una función aleatoria de una dimensión (mediante el método de las medias móviles). Sea x un punto del espacio. La simulación tridimensional es: k
1
Y (x ⋅ e ) ∑ k
Y ( x) =
i
i
i =1
En que ( x ⋅ ei ) es el producto escalar entre el vector x (de componentes x1 , x2 , x3) y el vector unitario ei :
-
-
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Figura 32: Líneas rotantes en 2D y 3D.
Para tener una buena convergencia, es necesario utilizar por lo menos unas 50 rectas aleatorias en 2 – D y unas 120 rectas aleatorias en 3 – D. También se pueden utilizar rectas uniformemente distribuidas en 2D o 3D. La situación es ligeramente más complicada en 3D (ver C. Lantúejoul, 2001). Se puede demostrar que para simular mediante líneas rotantes el variograma esférico hay que utilizar en las rectas la función f(x) (aplicada a la ecuación 1) siguiente:
⎧ x si x ∈ (-b, b) f ( x) = ⎨ ⎩0 si x ∉ (-b, b) Para simular el variograma exponencial , hay que utilizar en las rectas la función f(x) siguiente:
⎧(1 − ax )e− ax si x ≥ 0 f ( x) = ⎨ ⎩0 si x < 0
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31
IV.
La Simulación Condicional.
Falta por analizar cómo se obtiene que el valor simulado en un punto xi coincida con el dato localizado en este punto ( x1 , x2 , . . . , x N ). Se puede demostrar que la ecuación siguiente resuelve el problema.
Z1 ( x ) = Z k 1 ( x) + ⎡⎣ Z S ( x) − Z k 2 ( x) ⎤⎦ En que: z1(x) es la simulación condicional zk 1(x) es el krigeado en el punto x, utilizando los datos disponibles en los puntos x1 , x2 , . . . , x N . Sin embargo, para garantizar la reproducción del variograma, la
interpolación debe corresponder al krigeado simple (no al krigeado ordinario). zs(x) es la simulación no condicional (resultado del método de medias móviles o de
las bandas rotantes) zk 2(x) es el krigeado en el punto x , utilizado los valores simulados z s(x) en los
puntos x1 , x2 , . . . , x N Como el krigeado es un interpolador exacto (figura 33):
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Figura 33: El krigeado es un interpolador exacto (pasa por los datos).
Entonces la simulación condicional coincide con los datos en los puntos x1 , x 2 , . . . , x N .
Las figuras siguientes resumen las etapas para obtener una simulación que hace “honor” a los datos:
Figura 34: Datos iniciales.
Figura 35: Krigeado de los datos.
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33
Figura 36: Simulación no condicional, la cual se muestrea en los mismos puntos donde se conocen los datos.
Figura 37: Se krigea la simulación no condicional y se hace la diferencia entre esta simulación y el krigeado. Observar que esta diferencia es nula en las coordenadas de los datos.
Figura 38: Al krigeado de los datos se le suma la diferencia anterior. Esta es la simulación final.
IV.1. La Anamorfosis Gaussiana En la práctica, los valores reales presentan diferentes tipo de histograma (lognormal). Sin embargo, los métodos de simulación (medias móviles, líneas rotantes) generan realizaciones cuyo histograma es normal. El objetivo de la anamorfosis gaussiana es la reproducción del histograma experimental de los datos. La solución consiste en trabajar, desde el inicio, no con la variable regionalizada z(x) en estudio, sino más bien con otra variable regionalizada y(x) , transformación biunívoca tal como se muestra en la figura 39:
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Figura 39: Anamorfosis gaussiana. En rojo, ley normal reducida, en azul, histograma acumulado experimental. La anamorfosis gaussiana presenta problemas importantes en las “colas” de la distribución.
En el caso particular en que z( x) es lognormal, la transformación o anamorfosis es muy simple: y(x) = ln( z(x) ) z(x) = exp( y(x) )
Observación importante: Cuando se utiliza el histograma de las leyes, es necesario que no existan agrupaciones de datos, es decir, por ejemplo, una densidad de información mayor en las zonas de alta ley que en las zonas de baja ley. Si esta condición de reconocimiento homogéneo no se cumple, es necesario desagrupar previamente los datos (ver figura 40).
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Figura 40: Agrupación de datos en zonas de alta ley en el Salar de Atacama la variable regionalizada es la ley de litio. Las características estadísticas (media, varianza, histograma) están sesgadas porque las zonas de mayor ley tienen mayor reconocimiento (¿está sesgado el variograma?).
Existen, principalmente, dos métodos para desagrupar los datos: método de los polígonos y método de las celdas , los cuales se pueden revisar en el Anexo 1.
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V. Referencias. M. Alfaro, 1979: “Etude de la robustesse des simulations de fonctions aléatoires”. ENSM París. Tesis de Doctorado.
M. Alfaro, 1980. “The Random Coin Method”. Mathematical Geology. M. Alfaro y Ch. Huijbregts, 1974: “Simulation of a Sedimentary Deposit”. Congreso APCOM, Colorado School of Mines.
M. Alfaro, 1975: “Introducción a la Geoestadística Operativa”. E. N. S. de Minas de Madrid, Centro de Cálculo.
M. Alfaro, 1995: “Simulación Condicional del Arsénico en Mina Los Bronces”. BHP Ingeniería.
M. Alfaro, 2004. “Simulación de la Geología en mina MM”. Metálica Consultores, Chile.
M. Alfaro, 2006: “Introducción a la Teoría de las Funciones Aleatorias”. U. de Chile, Depto. Ingeniería Matemática.
M. Alfaro, 2007: “Evaluación de Recursos Mineros”. USACH, Depto. Ingeniería en Minas.
M. Alfaro, 2000: “Estadística”. U. de Chile, Depto. Ingeniería Matemática. M. Alfaro, 2006: “Probabilidades”. U. de Chile, Depto Ingeniería Matemática. A. Journel y C. Kyriakidis: “Evaluation of Mineral Reserves A Simulation Approach. Oxford University Press.
C. Lantuéjoul, 2001: “Geostatistical Simulations”. Springer Verlag. J. P. Chilés y P. Delfiner, 1999: “Geostatistics, Modeling Spatial Uncertainty”. Wiley, Nueva York.
G. Matheron, 1972: “Quelques aspects de la montée”. Nota 120. ENSM París. G. Matheron, 1973: “The intrinsic Random Functions”. Advances in Applied Probability, Vol 5.
G. Matheron 2006: “La Teoría de las Variables Regionalizadas y sus Aplicaciones”. ENSMP París (traducción al español por Marco Alfaro).
G. Matheron, 2008: “La Teoría de las Variables Regionalizadas y su Estimación”. ENSM París (traducción al español por Marco Alfaro)
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Anexo 1
El Problema de las Agrupaciones de Datos (Clusters) Una situación bastante común en las minas es la existencia de agrupaciones de datos, la cual está caracterizada por el hecho que en las zonas de alta ley, la densidad de información es mayor que en las zonas de baja ley:
Figura A-1: Agrupación de datos en zonas de alta ley en una mina de yodo. Vista de las muestras en una planta.
Esta situación puede producir sesgos en el cálculo de variogramas, de histogramas, de leyes medias y de varianzas, sobre todo en el caso en que la agrupación de datos se produce en zonas de alta ley. Para eliminar la influencia de las agrupaciones de datos (desagrupación de la información) existen, principalmente, dos métodos, ambos empíricos:
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a)
Método de los polígonos, el cual consiste en asignar a cada muestra un
peso proporcional al área de su polígono de influencia. El método de los polígonos asigna, a cada punto del espacio, la ley del dato más cercano a este punto.
Figura A-2: Método de desagrupación por polígonos aplicado a leyes de litio en el Salar de Atacama. A cada dato se le asocia un peso igual a su área de influencia. En 3D hay que utilizar volúmenes.
b)
Método de las celdas, el cual consiste en ignorar datos en zonas sobre-
muestreadas. Se definen celdas de tamaño a . En la figura, hay que retener una muestra por celda, la cual se sortea al azar dentro de cada celda:
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Figura A-3: Método de las celdas. Se considera un valor por celda, el cual es sorteado al azar en cada celda entre las k muestras interiores (las celdas vacías no se consideran). x0 es el origen (variable) del conjunto de celdas.
Para el cálculo del variograma, medias, varianza e histograma, se retiene un solo valor de ley por celda.
Sin embargo, para krigear bloques y para la
simulación condicional hay que utilizar todos los datos. Una variante de este método consiste en calcular, para cada celda, el promedio de datos interiores. Sin embargo, esta alternativa produce un cierto suavisamiento de las leyes retenidas (en aquellas celdas que tienen más de un
dato). El problema de este método radica en el tamaño de la celda.
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En el caso en que la agrupación se produce en zonas de alta ley, se puede hacer variar el tamaño a de la celda y construir el gráfico siguiente de la ley media m en función del tamaño de celda a:
Figura A-4: Determinación del tamaño óptimo de celda. Para obtener un buen gráfico, es necesario cambiar al azar el origen x 0 de la figura A-3.
En que a* = tamaño óptimo de la celda, m* = estimación (desagrupada) de la ley media de S ( m0 es la media aritmética de todos los datos).
Comparación de ambos métodos. Compararemos ambos métodos en el caso hipotético siguiente, un cuadrado bidimensional con 7 datos y una agrupación en la zona noroeste (figura A-5):
Figura A-5: Estimación de un cuadrado.
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La ley media aritmética es 11 / 7 es decir: m = 1.57
Consideramos que este valor es muy alto. Como la media aritmética atribuye un peso igual a 1 / N (en que N es el número de datos) a cada dato, las 4 muestras altas tienen un peso de
4 / 7 , es decir
un
57%, cuando sólo
representan algo más de un 25% del área. El método de los polígonos pondera la ley de cada dato por su área de influencia S i , tal como se puede ver en la figura A-6:
Figura A-6: Método de los polígonos.
Se observa que las 4 muestras de la zona noroeste tienen ahora un peso más bajo, obteniéndose ahora el valor más razonable: mP = 1.36
Apliquemos ahora el método de las celdas , con una celda de tamaño 50mx50m. Se obtienen 4 celdas y se pueden tener 4 casos según sea el valor sorteado en la celda superior izquierda:
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