Kupa i Zarubljena Kupa

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA

2

P= B+M V=

1 3

B= r 

V=

BH

M=s r  π  

π  

1 3

r2

π  

P= r π   (r+s)

H

s

H

r

Osni presek :

Oop=2r+2s

Pop=rH

s

H

r

H2+r2= s2

Ravnostrana (jednakostrana ) kupa je ona kod koje je 2r = s, pa je osni presek   jednakostranicni trougao.

www.matematiranje.com

1

ZARUBLJENA KUPA

P= B1+B2+M V=

 H 

3

2

B1=R 

( B1+B2+

 B1 B2

2

B2=r  π  

π  

)

V=

 H π  

3

M= s(R+r)

π  

P= π   [R 2+r2+s(R+r)]

(R 2+Rr+r2)

r s

H

R

Osni presek:

H2+(R-r) 2= s2

Pop=(R+r)H

H2+(R+r)2=D2

2r s

D

H

R+r

s

R-r 2R 

1) Površina kupe je 24π   , a površina njene osnove je 9π   . Izračunati zapreminu kupe. P

= 24π  cm 2

 B

 B

= 9π  cm 2

9π   = r 2π  

 __________   _____ 

V 

r  = 3cm

=? = s 2 − r 2

 H 

2

 H 

2

= 5 −3

 H 

2

= 25 − 9

2

= 15  H  = 4cm  H 

= r 2π  

V 

2

V 

=

1

= r π  s 15π   = 3 ⋅ π   ⋅ s s = 5cm

 M 

 BH 

3 1

= ⋅ 9π   ⋅ 4 3

2

V 

= 12π  cm3

2

2) Dužina visine i izvodnice prave kupe odnosi se kao 4:5 a njena zapremina je 96π   . Naći površinu kupe.  H  : s V 

= 4:5

= 96π  

 __________   __ 

P

=?

Čim imamo neku razmeru koristimo ‘’ trik sa k ’’  H  : s

= 4:5⇒

 H  =

4k  i

s

= 5k 

Iskoristimo Pitagorinu teoremu: 2

= s 2 −  H 2

2

= (5k ) 2 − (4k ) 2

2

= 25k 2 − 16k 2

r  r  r 

= 9k 2 r  = 3k  2

r 

Pošto nam je data zapremina:  H  =

2

V 

=

r  π   H 

96π   =

(3k )

= 5k  = 10 r  = 3k  = 6 s

3 2

π  

⋅ 4k 

4k  = 8

= r π  (r  + s) P = 6π  (6 + 10) P = 96π   P

3

96 = 12k 3

=8 k  = 2 3

k 

3) Pravougli trougao sa katetama a i b rotira oko hipotenuze. Na ći zapreminu dobijenog obrtnog tela. I ovde će slika biti ''presudna''

RAZMIŠLJAMO: → Na ovaj način se dobijaju dve kupe (priljubljene) → Poluprečnik osnove obe kupe je hC  (r  = hC  ) → Zbir visina ove dve kupe daje hipotenzu c → Zapreminu moramo da izračunamo preko a i b

3

www.matematiranje.com

V 

= V 1 + V 2

V 

r  π   H 1

2

= =

V 

V 

r 

π  

⋅c =

2

=

3

( jer je

3 chC 

Kako je:

+

3 2

V 

2

r  π   H 2

a ⋅b

2

hC π   ⋅ hC  ⋅ C 

3 2

a b

= 3

a

2

2

r 

=

π  

3

 H 1

( H 1 +  H 2 )

+  H 2 = C  )

⇒ chC  = ab

=

hC  ⋅ π   ⋅ ab

i

3

hC 

ab

= a

2

+ b2

2

π  

+ b2

4) Zapremina zarubljene kupe jednaka je 584π   , a polupre čnici osnova su 10 i 7. Naći visinu zarubljene kupe. = 584π    R = 10 r  = 7 V 

 _______ 

 H  = ?

V 

=

 H π  

3

584π   = 584 = 584 =

( R 2 + r 2 +  Rr )

 H π  

 H 

3  H 

3

3

(10 2 + 7 2 + 10 ⋅ 7)

(100 + 49 + 70)

⋅ 219

584 =  H  ⋅ 73  H  = 8

5) Na kom rastojanju od vrha kupe, čija je visina H, treba postaviti ravan paralelno sa osnovom koja deli omota č kupe na dva dela jednakih površina.  Neka je X traženo odstojanje. Očigledno da ovakvim presekom kupe dobijamo manju kupu i zarubljenu kupu.

4

Izvucimo osni presek ‘’na stranu’’ Iz sličnosti trougla očigledno proizilazi:  R : r  =  H  :  X 

= s : s1

Od nas se traži da omotači budu jednaki, tj. da omotač kule  M 1 = s1r π   bude isti sa omotačem zarubljene kupe  M 2 = ( s − s1 )( R + r )π   Dakle:  M 1 =  M 2 s1 r π   = ( s

− s1 )( R + r )π   s1 r  = sR + sr  − s1 R − s1 rr  2s1 r  + s1 R = sR + sr  s1 ( 2r  +  R ) = s ( R + r ) s : s1 = ( 2r  +  R ) : ( R + r ) Ako ovo upakujemo sa već dobijenom proporcijom

 R : r  =  R ( R

+ r ) = r (2r  + r )

2

+  Rr  = 2r 2 + rR

 R

2

= 2r 2

= 2r 

 R : r  =

Kako je:

=  R : r 

( 2r  +  R ) : ( R + r )

 R

 R

s : s1

2

 H  :  X 

=  R : r 

 H  :  X 

= 2

 X 

=

 H 

2  X 

=

 H 

⋅

2  X 

=

 H 

2

2 2

2 www.matematiranje.com

5

6) Kvadrat ABCD stranice a rotira oko ose koje prolazi kroz teme C paralelno sa BD. Naći zapreminu dobijenog tela. Pažljivo nacrtajte sliku, jer i ovde ona sve govori.

Sa slike se vidi da se radi o dve ‘’priljubljene’’ zarubljene kupe iz kojih je izvučena po  jedna kupa. Očigledno je da poluprečnik veće osnove zarubljene kupe  R = a 2 (dijagonala kvadrata), a  poluprečnik manje osnove zarubljene kupe je

r  =

a

2

, tj. polovina dijagonale kvadrata. 2 (istovremeno i r kupe). Takodje je visina i kupe i zarubljene kupe takodje polovina dijagonale, tj.  H  =

2

a

2

Zapreminu tela ćemo naći kada od zapremine zarubljene kupe oduzmemo zapreminu kupe, pa to pomnožimo sa dva. V 

= 2(V  ZK  − V K  )

2 ⎛  H π   2 r  π   H  ⎞ 2 V  = 2⎜ ⎜ 3 ( R +  Rr  + r  ) − 3 ⎟⎟ ⎝   ⎠

V 

V 

= 2⋅ =

2 3

 H π  

3

( R 2 +  Rr  + r 2 − r 2 )

 H π  ( R

2

+  Rr )

⎡ 2 π  ⎢ a V  = ⋅ 2 + 3 3 ⎢⎣ 2 a 2 ⎡ 3a ⋅ 2 ⎤ V  = π   ⎢ 2 ⎥ 3 ⎣ ⎦ 2

V 

a

2

(

⎛ a 2 ⎞⎤ ⎟ 2⎜ ⎜ 2 ⎟⎥ ⎝   ⎠⎥⎦

) (a )

= a 3 2π   www.matematiranje.com

6

Zanimljivo da bi površinu tela našli kao zbir površina omotača zarubljene kupe i kupe, pa  putu dva. P

= 2( M  ZK  − M K  )

Ali se ovo u zadatku ne traži, Vi možete radi treninga uraditi i ovo.

7) Prava zarubljena kupa ima izvodnicu s = 5 i poluprečnike osnova  R = 5 i r  = 1 . Naći poluprečnik osnove pravog valjka koji ima s njom jednaku visinu i površinu omotača. =5  R = 5 r  = 1 s

 ______ 

Omotač zarubljene kupe je  M  = s( R + r )π   Dakle:

= 5(5 + 1)π    M  = 30π    M 

Visinu zarubljene kupe ćemo dobiti iz Pitagorine teoreme: s

=  H  2 + ( R + r ) 2

52 =  H  2 + (5 + 1) 2  H 

2

= 25 − 16

=9  H  = 3 → Ovo je istovremeno i visina valjka  H 

2

Omotač valjka je  M V  = 2r π   H 

= 2r π   H  30π   = 2 ⋅ r π   ⋅ 3 30 = 6r  r  = 5

 M V 

Dakle, poluprečnik osnove valjka je 5 www.matematiranje.com

7

8) Izračunaj površinu osnog preseka zarubljene kupe ako je površina omota ča 0  M  = 10π   i ugao izvodnice prema ravni osnove je 30 .  M 

= 10π  

 __________   __ 

POP

=?

Izvucimo trougao na kome primenjujemo Pitagorinu teoremu:

= 10π   s ( R + r )π   = 10π   s ( R + r ) = 10

 M 

Odavde je:

sin 30o =

 H  s

 H  = s sin 30  H  = s ⋅  H  =

o

1 2

s

2

Površina osnog preseka je : (površina trapeza) 2 R + 2r 

POP

=

POP

= ( R + r ) ⋅ =

POP

=

POP

2

⋅ H  =

2( R + r )

s

2 ( R + r ) ⋅ s

2

2

⋅ H  = ( R + r ) ⋅ H 

10

2 =5 www.matematiranje.com

8