MATEMATIČKI MATEMATIČKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU
SEMINARSKI RAD tema: Piramida i kupa
Predmet:METODIKA NASTAVE MATEMATIKE 2 Profesor:ZORAN LUČIĆ
Student:Tomislav Nikolić Broj indeksa:501/06
Piramida i kupa
I PIRAMIDA
Neka je n≥3, poliedar sa n+1 strana od kojih je jedna n-tougao a sve ostale su trouglovi naziva se n-tostrana piramida (sl.1). Površ piramide se sastoji od površi n-tougla A1,A2 ... An i dela dela povr površi ši rogl roglja ja koju koju sačin sačinav avaj aju u povr površi ši trou trougl glov ovaa A1A2O, A2A3O,... ... An-1AnO. Ova površ i deo prostora ograničen njome je piramida. Površ Površ preseče presečenog nog mnogou mnogougla gla je osno osnova va ili baza baza piramide piramide, deo deo povr površi ši rogl roglja ja sast sastav avlj ljen en iz povr površi ši trouglova je bočna površ ili omotač piramide, površ svakog trougla je bočna strana piramide. Stranice mnogougla su ivice osnove, stranice trouglova po kojim jima se sek seku bočne čne stra stran ne su bočn bočne e ivic ivice e piramide. piramide. Vrh rogljaste površi u kojoj se sustiču bočne ivice je vrh piramide. Postoje prave i kose piramide. Ako su sve bočne bočne ivice ivice jedn jednak akih ih duži dužina na,, piram piramid idaa je prava, prava, inače je kosa. Visina piramide je odstojanje vrha od osnove ako je piramida prava, oko njene osnove može da se opiše krug; podnožje visine nalazi se u centru tog kruga. Ako je osnova piramide pravilan mnogougao, piramida je pravilna. Na primer, ako je u bazi jednakostraničan trougao piramida je pravilna pravilna trostrana, trostrana, ako je u bazi kvadrat, kvadrat, pravilna pravilna četvorostrana četvorostrana,, šetougao pravilna šestostrana.
Visina bočne strane koja polazi iz vrha pravilne piramide naziva se apotema i odgovara bočno strani. Piramide čije su osnove i bočne strane međusobom podudarni jednakostran jednakostranični ični trouglovi trouglovi naziva naziva se pravilan pravilan tetrae tetraedar. dar.
2
Piramida i kupa
II ZARUBLJENA PIRAMIDA
Ako se n-tostrana piramida preseče sa ravni koja je paralelna ravni ravni osnove osnove dobija dobija se mnogou mnogougao gao homote homotetiča tičan n sa osnovo osnovom. m. Deo piramide između tih homotetičkih površi jeste n-trostrana zarubljen zarubljena a piramida piramida (sl. 3a). Homotetički mnogouglovi jesu osnove zarubljene piramide, dok njen omotač sačinjavaju trapezi (sl. 3b). Normala S1 S2 na ravni osnove naziva se visina zarubljena piramide.
Zarubljana piramida je prava prava ako je nastala od prave piramide a pravilna pravilna ako je nastala od pravilne piramide. Budući da su obe osnove osnove pravil pravilne ne piram piramide, ide, praviln pravilnii mnogo mnogouglo uglovi, vi, zaključ zaključujem ujemo o da omotač takve piram ramide čin čine jed jednakokrak raki trapezi. Visin sine odgovarajućih trapeza nazivaju se apoteme zarubljene piramide.
III POVRŠINA PIRAMIDE
Površinu piramide obrazuju površina njene osno osnove ve i povr površin šinaa bočni bočnih h stra strana na koje koje obraz obrazuj uju u omotač piramide. Ako Ako sa B ozna označi čim mo povr površi šinu nu baze baze (osnove) piram ramide a sa M površin šinu njen jenog omotača onda je površina piramide: P = B + M
Primer Primer 1. Izračunati Izračunati površinu površinu jednakoivične jednakoivične trostrane piramide (pravilnog tetraedra) ako je poznata ivica a 3
Piramida i kupa
Rešenje: biće B
=
a2
i M = 3
4
gde je P =
3
a2
P = a
h=
3
4 2
3
a
2
prema tome imamo
2
+3
ah
a⋅a
2
3
=4
a2
3
4
3
Primer 2. Prava pravilna četvorostrana piramida ima ima dužin dužinu u 4cm, 4cm, a visin visinu u 10 cm. cm. Izra Izraču čuna nati ti njenu njenu površinu. ah Rešenje: a=4 cm, B=a2 i M= 4 = 2ah H = 10cm 2
2
Gde je ha ha
ha
2
= H
2
a + 2
P = a 2
+ 2ah
sledi P = 16 + ( 2 ⋅ 4 ⋅ 10,13) P = 97,52cm 2
= 100 + 4 = 10,19
POVRŠINA ZARUBLJENE PIRAMIDE Ako površine baze, zarubljene piramide, označimo sa B 1 i B2, a površinu omotača sa M, njena površina biće: P = B1 + B2 + M
Da bi smo smo izra izračun čunali ali omot omotač ač zaru zarubl blje jene ne pira pirami mide de mora moramo mo izračunati pojedinačnu površinu svih bočnih strana, odnosno moramo izračunati površine trapeza koji čine njen omotač. M = n ⋅
a+b
2
h
Primer 1: Data je prava zarubljena piramida čije su osnove kvadrati (sl.4). Neka je a merni broj ivice donje osnove, b merni broj ivice gornje osnove i h merni erni broj roj visi isine bočne očne stra strane ne.. Izra Izraču čuna nati ti površinu piramide. Rešenje površine piramide biće: P = B1 + B2 + M
4
Piramida i kupa
dalje je B1 = a 2 , B2 = b 2 , M = 4
a+b
2
h
pa je dakle P = a 2 + b 2 + 2( a + b) h Primer 2. Pravilna šestostrana zarubljena piramida (sl.5) ima apotemu h=5 cm, dužinu donje ivice a=8 cm i dužinu gornje ivice osnove b=2 cm. Izračunati njenu površinu. Rešenje: Pošto je P = B1 + B2 + M Biće: 2 a+b 3 a a2 3 M = 6 ⋅ h B2 = 6 ⋅ B1 = 6 ⋅ B1
= 3⋅
a2
2
4
4
3
2 3 ⋅ 16 3 B1 = 2 B1 = 24 3
pa je, dakle
B2
= 3⋅
a2
3
2 3⋅ 4 3 B2 = 2 B2
=
6 3
M = 3( a + b ) h M
= 3 ⋅ 10 ⋅ 5
M
= 150
P = B1 + B2
+ M P = 24 3 + 6 3 + 150 P = (30 3 + 150 cm 2 P = 30( 3 + 5 cm 2
IV KAVALIJERIJEV PRINCIP
Bona Bonave vent ntu ura Ka Kava valilije jeri ri (159 (15988-16 1647 47)) bio bio je ita italija lijans nski ki matematičar, profesor Bolonjskog univerziteta i Galilejev učenik. U delu "Geometrija nedeljivih" izložio je tadašnje saznanje matematičke analize, geometrijski zasnovane. Odigr digrao ao je znača načajn jnu u ulo ulogu u izra izraču čun nav avaanju nju zap zaprem remine ine geom geomet etri rijs jski kih h tela tela pomo pomoću ću svog svog stav stavaa koji koji je u elem elemen enta tarn rnoj oj geometriji poznat kao Kavalijerijev princip i glasi: Ako se dva dva tela tela nalaze nalaze između između paralel paralelnih nih ravni ravni i ako su jednak jednake e površine površine presek preseka a ovih tela tela s ma kojom kojom ravni koja koja je paralelna paralelna dvema dvema ravnima, tada su zapremine tih tela jednake(sl. 6).
5
Piramida i kupa
V ZAPREMINA PIRAMIDE
Ako pravu trostranu piramidu (sl.7) presecima MN,Q i MN, Q 1, razloži razložimo mo na tri trostra trostrane ne piram piramide ide α,β i γ dobićem dobićemo o tri jednak jednakee piramide.
Piramide α i β su jednake, tj. V( α)=V(β), jer imaju jednake osnove osnove (trogao MM1Q, je jednak trouglu MQQ 1) i jednake visine (duž spuštena normalno na ravan MQQ 1M iz temena N1) jednake su takođe i piramide β i γ jer imaju jednake osnove (trouglovi N 1Q1Q i NQN1 su jednaki) jednaki) i zajedničku zajedničku visinu (duž spuštenu spuštenu normalno normalno na ravana NQQ 1 N1 iz temena M) tako da su i njihove zapremine jednake. Prema tome, sve tri piramide su međusobno jednake: V(α)=V(β)=V(γ ) Očigledno je, dakle, da svaku trostranu piramidu ρ možemo, dvema njoj jednakim trostranim piramidama dopuniti do trostrane prizme koa će sa datom piramidom imati jednaku osnovu B i visinu H. Pošto je zapremina prizme BH biće: V ( ρ )
=
BH
3
tako da možemo reći da je zapremina trostrane piramide jednaka trećini proizvoda osnove i visine. Neka je piramida ρn-trostrana. Njena osnova je poligon koji se može može razl razloži ožiti ti na n troug trouglo lova va ∆1,∆2,∆3...∆n, a piram iramid idaa se može ože razložiti na n trostranih piramida ρ1,ρ2,ρ3...ρn sa zajedničkom visinom H. Kako je
= V ( ρ 1 ) + V ( ρ 2 ) + .... + .V ( ρ n ) i B = P ( ∆ 1 ) + ( ∆ 2 ) + .... + P ( ∆ n ) , P ( ∆ k ) ⋅ H V ( ρ k ) = k=1,2,3...n V ( ρ )
3 H to je V ( ρ ) = 13 [ P ( ∆1 ) + P ( ∆ 2 ) + ... + P ( ∆ n ) ] H
ili
V
=
1
BH
3
6
Piramida i kupa
iz čega zaključujemo da je zapremina svake piramide jednaka trećini proizvoda osnove i visine. Primer 1. Izračunati zapreminu zapreminu pravilnog pravilnog tetraedra ako je data data njegova ivica a (sl.8). Rešenje: Pošto je trougao MNQ jednakostraničan biće : B
=
a2
3
4
tačka T je težište tog trougla, pa koristeći poznatu osob sobinu inu teži težišt štaa i Pita Pitago gori rinu nu teor teorem emu u za visi visin nu tetraedra dobijamo 2 a a2 2 3 2a 2 2 2 2 2 2 H = MS − MT = a − 3 ⋅ 2 = a − 3 = 3 2a 2 a 2 = tj. H = 3 3
prema tome zapremina tetraedra će biti 1 1 a2 ⋅ 3 a 2 a3 2 ⋅ = V = BH = ⋅ 3
3
4
3
12
Prim Primer er 2. Povr Površi šina na osno osnove ve prave rave prav pravililne ne četv četvor oros ostr tran anee 2 2 piramide je 16cm , a površina njenog omotača 40 cm . Izračunati njenu zapreminu. Rešenje:Pošto Rešenje:Pošto je B = a 2 biće 16 = a 2 odakle sledi da je
a
= 4cm M =
4
aha
2
⇒ 40 = 8ha ⇒ ha = 5cm
Da bismo izračunali H koristimo Pitagorinu teoremu 2 a 2 2 H = ha − i dobijamo H = 21 2 Prama tome zapremina će biti
V =
1 1 BH = ⋅ 16 21 3 3
ZAPREMINA ZARUBLJENE PIRAMIDE Neka je data zarubljena piramida (a) (sl.9), sa osnovama B 1 i B2 , visinom H i x odstojanjem vrha O odgovarajuće piramide MNQSO od gornje osnove zarubljene piramide. Pošto je zapremina zarubljene piramide jednaka jednaka razlici zapremina dveju dveju "punih" piramida, jedne sa površinom osnove B1 i visinom H+X, a druge sa površinom osnove B 2 i visinom X tada je:
7
Piramida i kupa
V ( a )
=
B1 ( H + X )
3
imamo B1 : ili
B1 : B2
odatle je
X =
B2
−
B2 X
3
=
B1 H
3
−
( B1 − B2 ) X 3
2
= ( H + X ) : X 2 = ( H + X ) : X H B2
Kada ovu ovu vredn redno ost sa X sta stavim vimo u − B2 obrazac za V ( a ) , imaćemo B H ( B1 − B2 ) H B2 V ( a ) = 1 − 3 3( B1 − B2 ) B H ( B1 − B2 )( B1 + B2 ) H B2 V ( a ) = 1 − odnosno 3 3( B1 − B2 ) i konačno
V =
B1
H 3
( B
1
+
B1 B2
+ B2
)
Iz toga možemo zaključiti da je zapremina zarubljene piramide jednaka jednaka zbiru zaprem zapremina ina triju pirami piramida da kojima kojima je visina jednaka jednaka visini visini zarubljene piramide, a njihove osnove su: gornja i donja osnova zarubljene piramide i geometrijska sredine tih osnova.
Primer 1. Pravilna četvorostrana zarubljene piramida ima visinu H i apotemu h. Dužine osnovnih ivica su a i c, a bočne b. Izračunaj zapreminu zarubljene piramide ako je a = 8cm , c = 2cm, h = 5cm Rešenje. H a = 8cm Ako je V = ( B1 + B1 B2 + B2 ) c = 2cm,
3
h = 5cm
sledi: B1 = a 2
V=?
B1
= 82 B1 = 64
=
B2
= 22 =4
B2
C
2
B2
8
Piramida i kupa
Da bismo dobili visinu piramide koristimo trapez (osni) presek čija je visina jednaka visini piramide, osnovne ivice su dijagonale osnova piramide, a bočne ivice su bočne ivice piramide. d = a 2 d = 8 2 d 1 = c 2 d 1 = 2 2 d − d 1 =3 3 X 1 = 2
sa slike se vidi da je: a−c x = 2
6 2 x = 3 x =
Iz osenčenog trougla sledi b 2 = h 2 + x 2 b 2 = 25 + 9 b 2 = 34 b = 34
H 2
= b 2 − X 12 H 2 = 34 − 27 = 7 H = 7 Zapremina zarubljene piramide je 7 ( 64 + 16 + 4) 3 7 V = 96 = 32 7cm 3 3 V =
VI KUPA
Geometrijsko Geometrijsko telo ograničeno ograničeno pravom pravom konu konusn snom om povr površi ši i jedn jednom om ravn ravnii koja koja ne prolazi kroz vrh površi, a normalna je na njenu osu, naziva se prava kupa (sl. 10a) Kupa je prava ako je osa normalna na ravan osnove; inače je kosa (sl.10b) Deo presečene ravni ograničen konusnom površi (krug) je osnova kupe, a deo konusne površi između vrha i osnove je omotač kupe. Izvodnice 9
Piramida i kupa
konusne površi koje pripadaju omotaču kupe nazivaju se izvodnice kupe. Rastojanje između vrha i ravni osnove kupe je visina kupa, a duž koja spaja vrh sa središtem osnove osa kupe. Osa prave kupe je ujedno i njena visina.
VII ZARUBLJENA KUPA
Telo koje nasta staje prese reseccanjem jem kupa kupast stee povr površi ši sa dve dve ravn ravnii nazi naziva va se zarubljen zarubljena a kupa kupa (sl. 11) Ona je ograničena dvema kružnim površima, tzv. osnovama i delom konusne površi rši između njih jih koja čin čini omotač zarubljene kupe. Zaru Za rubl bljen jenaa kupa kupa je prava prava ako je nastala od prave kupe. Prava koja spaja središta osnova i koja je ujedno i visina prave zarubljene kupe naziva se osa zarubljene kupe. Kao obrtna tela, kupa se dobija obrtanjem pravouglog trougla oko jedne njegove katete (sl. 12a), a zarubljena kupa obrtanjem pravouglog trapeza oko stranice na koju naležu pravi uglovi (sl.12b).
VIII POVRŠINA KUPE
Neka je r polu Neka polupr prečn ečnik ik osno osnove ve kupe kupe,, H visin visina, a, a s izvod izvodni nica ca (sl.13a), površina kupe je zbir površine njene osnove i površine njenog omotača. Ako je B površina baze (osnove), a M površina omotača, tada je: P = B + M
Jasno je B = r 2π . Može se pokazati da se omotač kupe može uvek uvek razv razviti iti u deo deo ravn ravnee povr površi ši koja koja ima ima oblik oblik kruž kružno nog g isečk isečka, a, 10
Piramida i kupa
poluprečnika s, a kome je odgovarajući luk jednak obimu osnove kupe (sl.13b), tako da je M =
2r π s = r π s 2
prema tome P = r 2π + r π s odnosno površina kupe je P
(
=r π r +s
)
U slučaju da je izvodnica s jednaka prečniku osnove S = 2r onda je M = 2r 2π i P = 3r 2π , tako da osni presek kupe jednakostranični trougao (sl.14) obično se takva kupa zove jednakos jednakostran tranična ična kupa kupa.
je i
POVRŠINA ZARUBLJENA KUPE
Neka je R polu Neka polupr prečn ečnik ik donj donjee osno osnove ve,, r polup polupre rečni čnikk gorn gornje je osno osnove ve,, h visin visinaa i s izvo izvodn dnic icaa zaru zarubl blje jene ne kupe kupe (sl.1 (sl.15a 5a)) povr površin šinaa zarubl zarubljene jene kupe kupe ja zbir zbir površina površina njenih njenih osnova osnova i površine površine njenog njenog omotača. Ako je B1 površina donje osnove, B2 površina gornje osnove i M površina omotača onda je: P = B1 + M +B2
Jasno je B1 = R 2π i B2 = r 2π . Može se pokazati da se omotač zarubljene kupe uvek može razviti u deo ravne površi koji je jednak razlici površina dvaju kružnih isečaka, kao što pokazuje (sl.15b). M
=
( R + r ) ⋅ π s
prema tome P = R 2π + ( R + r )π s + r 2π Odnosno površina zarubljene piramide je:
(
P = R2 +( R +r ) ⋅ s +r π
2
)
Prim Primer er 1. Visi Visina na jedn jednak akos ostr tran anič ične ne kupe kupe je H. Odrediti njenu površinu. Rešenje: Koda jednakostranične kupe S = 2r
11
Piramida i kupa
Po Pitagorinoj teoremi H 2 = (2r ) 2 − r 2 H 2 = 4r 2 − r 2 H 2 = 3r 2 odatle je
2
r
=
r =
H 2
3
H
3
pošto je s=2r biće s =
2 H 3
P = r π ( r + s ) P =
H 2 H + 3 3 3
H
π
H 2
2 H 2 π + π P = 3 3 3 H 2 π P = 3 P = H 2π
Prime Primerr 2. Izračuna Izračunati ti površin površinu u prave prave zarub zarubljen ljenee kupe kupe visine visine H=3cm i sa poluprečnicima osnove R=6 i r=2. Rešenje: Dužina izvodnice je. s = H 2 + ( R − r ) 2 tj. s = 9 + 16 = 5cm po formuli za površinu P = π ( 6 2 + 8 ⋅ 5 + 2 2 ) = 80π P = 80π cm 2
IX ZAPREMINA KUPE
Ako kupu i piramidu sa osnovama jednakih površina koje leže u istoj ravni α i sa jednakim visinama H presečemo sa ravni β koja je paralelna ravni α prema Kavalirijevom principu uvidećemo da kupa i piramida imaju jednake zapremine (sl.16). Iz toga zaključujemo da je zapremina kupe jednaka trećini proizvoda površine osnove i visine.
12
Piramida i kupa
1 3
Vk = Vpir = BH
V
=
1
tj.
2
r π H
3
U slučaju da imamo jednakostran jednakostraničnu ičnu kupu (sl.14) s=2r pa je H = r 3 odakle je V =
r 3π
3
3
ZAPREMINA ZARUBLJENE KUPE
Ako zarubljenu kupu dopunimo do kupe sa vrhom V (sl.17) zapremina zarubljene kupe biće jednaka razlici zapremina dve kupe – jedne sa poluprečnikom poluprečnikom osnove R i visinom (0V)=H+X (0V)=H+X i druge sa poluprečnikom osnove Vr i visinom (01V)=X, tako da je zapremina 1 1 1 V = R 2π ( H + X ) − r 2π X = π ( R 2 H + R 2 X − r 2 X ) = 3
3
3
r 1 2 X 2 1 π H R + ( R − r 2 ) = π H R 2 + ( R 2 − r 2 ) H r − R 3 3
i konačno
V =
π H
3
( R
2
Rr + r + Rr
2
)
Primer 1. Odrediti zapreminu prave kupe poluprečnika osnove r=12 cm i visine H=18 cm. Rešenje: Po formuli za zapreminu 1 V = r 2π H biće 3 1 V = ⋅ 12 2 π ⋅ 18 3 V = 864π cm 3
Primer 2. Odrediti zapreminu prave kupe sa površinom osnove B=9πcm2 i površinom omotača M=24 πcm2. Rešenje: B=9πcm2 prema formuli B=r2π sledi 9π= r2π, r=3 M=24πcm2 prema formuli M= rπs sledi 24π=3πs, s=8 prema Pitagorinoj teoremi visina će biti H = s 2 − r 2 = 7,41 zapremina će biti
1 2 r π H 3 1 V = 9π 7,41 3 V =
13
Piramida i kupa V = 22,3π cm 3
Prim Primer er 3. Data Data je kock kockaa sa ivic ivicom om duži dužine ne a . Oko don donje osnovice kocke opisana je kružnica, a u gornju osnovu upisana je kružn ružnic icaa. Te kružn ružnic icee određ dređu uju don donju i gorn gornju ju osno osnovu vu jedn jednee zarubljene kupe. Odredi njenu zapreminu. Rešen ešenje je:: Visi Visin na kupe upe je H= a polu polupr prečn ečnik ik donj donjee osno osnove ve R
=
2
a
2
, a polu polupr preč ečni nikk gorn gornje je osno osnove ve
r =
a
2
. Prem Premaa form formul ulii za
zapreminu π ⋅ H 2 π a a 2 a 2 2 a 2 2 ( R + Rr + r ) = + + V = 3 3 2 4 4 3 + 2 3 π a 3 1 + 2 + 1 = ⋅ π a V = 3 2 4 4 12 Prim Primer er 4. Odre Odredi di zapr zaprem emin inu u prav pravee zaru zarubl bljen jenee kupe kupe ak ako o su poluprečnici njenih osnova R=7cm i r=2cm, a površina P=170 πcm2. Rešenje: Iz formule P = π ( R 2 + ( R + r ) s + r 2 ) 170π = π ( 49 + 9 s + 4) sledi 170 = 53 + 9 s 9 s = 117 s = 13 prema Pitagorinoj teoremi 2 2 R − r 2 H = s − 2 H = 169 − 36 H = 133 H = 11,6 zapremina će biti π H 2 V = ( R + Rr + r 2 ) = 11,6π ( 49 + 14 + 4) = 11,6π ⋅ 67 = 259,06π cm 3 3
3
3
X UZAJAMNI ODNOS KUPE I PIRAMIDE
Ako je osnova piramide mnogougao upisan u osnovu kupe, a vrh piramide je istovremeno i vrh kupe kupe,, ka kaže žemo mo da je pira pirami mida da upis upisan anaa u kup kupu (sl.17). Ako temena pravouglog mnogougla ABCDE, koji je upisan u osnovu prave kupe, spojimo sa vrhom kupe V dobićemo pravilnu piramidu upisanu
u 14
Piramida i kupa
kupu kupu.. Ka Kada da se broj broj n stra strani nica ca upis upisan anog og pravi raviln lnog og mnogo nogoug ugla la neog neogra rani ničen čeno o udvo udvost stru ruča čava va njeg njegov ov obim obim Pn teži teži gran granici ici koja koja je jednaka jednaka obimu obimu kružnice kružnice u koju je mnogougao mnogougao upisan. upisan. Apotema Apotema piramide hn teži pri tome granici koja je jednaka dužini izvodnice s=(VB) kupe. Prema tome, kad n neograničeno raste a n teži nuli, a razlik razlikaa s=hn tako takođe đe teži teži nuli nuli pri pri tom tome, hn teži svojoj svojoj graničn graničnoj oj vrednosti s. Površina
P n hn
2
omota omotača ča piram piramide ide teži teži gran granici ici
koja je
jednaka jednaka poluproizvod poluproizvodu u obima obima osnove i apoteme apoteme kupe. Tu granicu granicu uzimamo za površinu omotača kupe. XI PRIMENA KUPE I PIRAMIDE
Kombinacija geometrijskih tela obrađena u ovom radu, ima prakti praktičnu čnu prime primenu nu u arhite arhitektu kturi, ri, građev građevina inarstv rstvu u i dr. gradit graditeljs eljskim kim delatnostima. Iz mnoštva takvih kombinacija izdvajam tri koje ću ilustrovati sa tri primera. Zarubljena kupa i kupa imaju iste osnove kojima se dodiruju. Ako se visina kupe i zarubljene kupe odnose kao 3:2 i ako su poluprečnici osnova zarubljene kupe R=10cm i r=4cm, a izvodnica s=10cm izračunati zapreminu tako nastalog tela. H k : H 2 k
2 H k H k
=
=
=
3:2
3 H zk
3 2
H k
V
X = R − r X = 6 H 2
= s 2 − X H 2 = 100 − 36 H 2 = 64 H = 8
2 R = 10cm r = 4cm s = 10cm
= V k + V zk
H zk
V zk
=
= 3 H zk
π H
( R 2 + R ⋅ r + r 2 )
3 8π V zk = (100 + 40 + 16) 3 8π V zk = 156 3 V zk = 416π 1 V k = R 2π H 3 1 V k = ⋅ 100π ⋅ 8 3 V k = 266,6π V = 416π + 266,6π = 682,6π cm 3
15
Piramida i kupa
Izvodnica prave zarubljene kupe je s=5 cm, a poluprečnici osnova su r=5 cm i r1=2 cm. U kupu je upisana pravilna zarubljena četvorostrana piramida tako da je donja osnova piramide upisana u donju onju osnov snovu u kup kupe, a gorn gornja ja osnov snovaa u gornj ornju u osnov snovu u kupe. upe. Izračunati zapreminu piramide. s = 5cm R = 5cm r = 2cm V zp = ? V =
H
( B +
+ B
B B
1 2 2 3 1 4 V = (5 2 + 20 + 2 2 ) 3 4 V = ( 7 2 + 20) 3
B1
= a2
B2
)
= a12
2 R = a 2
2r = a1 2
10 = a 2
4 = a1 2
10 2 2 a=5 2 a
=
a1
=
a1
=
4 2
⋅
2 2
H 2 2 2
= s 2 − X 2 H 2 = 25 − 9 X = R − r X = 3 H 2 = 16 H = 4
Pravougli trougao sa katetama dužine a = 3cm , b = 4cm , obrće se oko hipotenuze. Odrediti površinu dobijenog tela. M 1 = r π a r = MC 12 ⋅ 3π M 1 = a 2 = C ⋅ AM 2 P = M + M 5 2 36 48 M = 36 π M = r π b AM = a = 9 π + π 1 P = 2 C 5 5 5 5 2 12 84 r 2 = a 2 − AM 2 ⋅ 4π M 2 = π cm P = 5 2 5 9 144 12 2 2 = r = 3 − = 48 π M 2 = 5 25 5 5 1
16
Piramida i kupa
XII ZADACI 1. Izračunaj površinu pravilne trostrane piramide kod koje osnovna
ivica ima dužinu 3m, a bočna 5m P = B + M
ha 2 ha 2
4
P =
2
ha
=
3
9 3 9 + 91 32 3 B = 4 4 4 9 2 P = ( 3 + 91) m 9 3 4 B = 4
= 3m s = 5m a
2
B
a2
a = s − 2 2 3 = 25 − 2
aha
2 4 3 91 M = 3 2 2 9 M = 91 4
100 − 9 4 91 ha 2 = 4 1 ha = 91 2
2
= 25 −
M = 3
ha 2
9 4
=
Osnovnaa ivica ivica praviln pravilnee četvoro četvorostra strane ne piram piramide ide ima dužinu dužinu a . 2. Osnovn Površin Površinaa dijago dijagonal nalnog nog preseka preseka te piram piramide ide jednaka jednaka je površin površinii baze. Odrediti površinu omotače piramide. M = 4
=a Pdp = B M = ? a
aha
= a2 Pdp = a 2 B
2
M = 2aha M = 2a ⋅
3a 2
Pdp
=
dH
2
M = 3a 2 2
ha
2
ha
2
ha
2
a = H + 2 2 2a a 2 = + 2 2 2
= 2a + 2
a2
4
ha
ha
ha
2
2
=
=
=
8a 2
+
a
a
2
=
dH
2
=
a
2
a
2
2
d = a 2 a
H =
a2
2 H 2
2a 2 H = a 2 2a H = 2
2
4 9a 2 4
3a 2
3. Centar gornje osnove kocke je vrh, a temena donje osnove su
osnova temena četvorostrane piramide upisane u koku. Dužina ivice kocke a . Izračunaj površinu omotača piramide.
17
Piramida i kupa
4ah 2 M = 2ah M =
=a H = a a
M ?
M = 2a ⋅
a
M = a 2
5
5 2
2
h
2
h
2
=a
2
2
a + 2
=a +
a2
4
4a 2 + a 2 h = 4 2 5a h2 = 4 a 5 h= 2 2
Izračun čunaj aj duži dužinu nu osno osnovn vnee ivice ivice i apot apotem emu u prav praviln ilnee trost trostran ranee 4. Izra piramide ako je dužina bočne ivice 10 cm, i površina omotača 144 cm2. 96 a1 = aha s = 10cm 48 = 6 3aha 2 = M 2 a1 = 16 M = 144cm 2 aha = 96 3aha 96 a=? 144 = = a 96 2 2 a= 8 ha = ? ha a 2 = 12 2
ha
2
ha 2
ha
2
ha 2
2
= S
a − 2
= 100 −
a
2
4 2 96
= 100 − ha 4 = 100 − 92162 4ha
ha 2
= 100 −
2304 ha 2
t
=
−b±
2
b − 4ac
− 100ha 2 + 2304 = 0 1, 2 2a 100 ± 10000 − 9216 ha 2 = t 2 t 1, 2 = 2 t 2 − 100t + 2304 = 0 100 ± 784 100 ± 28 ha12 = 36 ha 22 = 64 t 1, 2 = = 2 2 ha1 = 36 ha 2 = 64 t = 36 t = 64 1 2 ha1 = 6 ha 2 = 8 ha 4
18
Piramida i kupa
5. Visina pravilne četvorosrtane piramide je H=12 cm, a dijagonala
njene osnove ima dužinu 8 cm. Odredi zapreminu piramide. B = a 2 d = a 2 1 = V BH 2 H = 12cm 3 8 a = d B = 1 d = 8cm 2 2 V = ⋅ 32 ⋅ 12 3 V = ? 8 64 = a = 32 B = V = 128cm 3 2
2
6. Osnova Osnova piramide piramide je pravougaon pravougaonik, ik, a podnožje podnožje visine je u preseku preseku dijagonale osnove. Izračunaj zapreminu piramide: ako osnovne ivice imaju dužine 6 cm i 8 cm, a dužina bočne ivice je 13 cm. 2 1 d V = BH 2 2 d 2 = a 2 + b 2 a = 6cm H = s − 3 B = ab 2 1 b = 8cm d 2 = 36 + 64 2 V = ⋅ 48 ⋅ 12 B = 6 ⋅ 8 H = 169 − 25 3 s = 13cm d 2 = 100 2 = B 48 H = 144 V = 4 ⋅ 48 V = ? d = 10 3 H = 12 V = 192cm 7. Izračunaj površinu i zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene
piramide ako je
a = 13cm b = 10ca h = 8cm P = ? V = ?
= s 2 − X 2 X 2 = s 2 − h 2 X 2 = 100 − 64 X 2 = 36 X = 6
a
= 13cm , b = 10cm
+ M P = a 2 + a12 + 2( a + a1 ) h P = 13 2 + 12 + 2(13 + 1)10 P = 169 + 1 + 2 ⋅ 14 ⋅ 10 P = 170 + 280 P = 450cm 2 H 2
= a − 2 x a1 = 13 − 12 a1 = 1 a1
h
V =
P = B1 + B2
h2
i
= 8cm
H
( B +
B B
+ B
)
1 2 2 3 1 2 7 V = (169 + 169 + 1) 3 2 7 (170 + 13) V = 3 2 7 V = 183 = 2 7 ⋅ 61 = 112 7cm 3 3
= s 2 − X 12 2
− (6 2 ) H 2 = 100 − 36 ⋅ 2 H 2 = 28 H = 2 7 H 2 10 2
X 1 =
d 1 − d 2
2 d 1 = 10 2 d 2
2
X 1 = 6 2
Osnovnee ivice ivice praviln pravilnee četvoro četvorostra strane ne zarubl zarubljene jene pirami piramide de imaju imaju 8. Osnovn dužine a = 4,6m i a1 = 2,6m . Apotema piramide je h=6 cm. Odrediti površinu piramide. 19
Piramida i kupa
= 4,6m a1 = 2,6m h = 6cm P = ? a
P = B1 P = a
2
+ B2 + M +
2
a1
+
2( a + a 2 ) h
P =
21,16 + 6,76 + 2 ⋅ 7,2 ⋅ 6
P =
21,16 + 6,76 + 86,4
P = 114,32cm
2
9. Rezervoar dubine 3m ima obli zarubljene piramide čije su osnove
pravougaonici. Ivice gornje osnove imaju dužinu 30m i 15m, a donja osnove 20m i 10m. Koliko litara vode može da stane u rezervoar. B = ab H = 3m H V = ( B + B1 B2 + B2 ) B = 20 ⋅ 10 a = 20m 3 1 B = 200 b = 10m 3 V = ( 200 + 90000 + 450) B1 = a1b1 3 a1 = 30m V = 650 + 300 B1 = 30 ⋅ 15 b1 = 15m V = 950m 3 = 9500 dm 3 B1 = 450 V = ? 10. Zapremina prave kupe je V=145 dm 3, a izvodnica je četiri puta
veća od poluprečnika osnove. Izračunaj površinu kupe.
V = 145dm
3
= 4r P = ? P = B + M P = r π ( r + s ) P = 3,29π ( 3,29 + 13,16) P = 3,29π ⋅ 16,45 P = 54,1205π cm 2
s
1 3
V = BH
1 145 = r 2π H 3 1 145 = r 2π r 15 3 435 = r 2π r 15 435 = r 3π 15 435 r 3 = ≈ 3,29 π 15
H 2
= s 2 − r 2 H 2 = ( 4r 2 ) − r 2 H 2 = 16r 2 − r 2 H 2 = 15r 2 H = r 15 s = 4 ⋅ 3,29 = 13,16
11. Osni presek prave kupe je jednakokraki trougao sa osnovicom
dužine 12 cm i krakom dužine dužine 10 cm. Nađi Nađi zapreminu kupe. kupe.
= 12cm ⇒ a = 2r a r = b = 10cm 2 r = 6 V = ? a
1 2 r π H 3 1 V = 36π ⋅ 8 3 V = 12π ⋅ 8 = 96π cm 3 V =
H
2
H
2
H
2
2
=
b
=
100 − 36 = 64
=
−
r
8
12. Odredi zapreminu prave kupe sa površinom osnove B=9 πcm2 i
površinom omotača M=24πcm2.
20
Piramida i kupa
2
= 9π cm M = 24π cm 2 V = ? B
1 2 r π H 3 1 V = 9π 55 3 V = 3π 55cm 3 V =
= r 2π 9π = r 2π r 2 = 9 r = 3
B
M = r π s
24π = 3π s 24 =8 s = 3
H 2
= s 2 − r 2 H 2 = 64 − 9 H = 55 13. 13. Odred dredit itii duži dužinu nu izvod izvodni nice ce prav pravee zaru zarubl blje jene ne kupe kupe sa visi visino nom m H=15 cm i poluprečnicima osnove R=13 cm i r=5 cm. H = 15cm 2 s 2 = ( R − r ) + H 2 R = 13cm s 2 = 64 + 225 = 289 r = 5cm s = 17 s = ? 14. 14. Polu Polupr preč ečni nici ci osno osnove ve prav pravee zarub zarublj ljen enee kupe kupe su 3 cm i 7 cm, cm, a dužina izvodnice je 7cm. Odrediti površinu osnog preseka. 2 2 R + 2r r = 3cm H 2 = s 2 − ( R − r ) Pdp = H 2 R = 7cm H 2 = 49 − 16 14 + 6 ⋅ 5,7 Pdp = s = 2cm H = 33 2 Pdp = ? H = 5,7 Pdp = 57cm 15. Izvodniva prave zarubljene kupe zaklapa sa osnovom ugao α=600.
Poluprečnici osnove su R=9 cm i r=3 cm. Odredi zapreminu i površinu kupe. π s 2 ( R + Rr + r 2 ) V = R = 9cm 3 α = 60 0 ⇒ β = 2( R − r ) r = 3cm 12π ( 81 + 27 + 9) V = β = 2 ⋅ 6 0 3 α = 60 β = 12 V = 4π ⋅ 117 V = ?
V = 468π cm 3 P = π ( R 2
+ r 2 + ( R + r ) s ) P = π ( 81 + 9 + 144) P = 234π cm 2
21
Piramida i kupa
Odredi di zapr zaprem emin inu u prav pravee zaru zarubl bljen jenee kupe kupe ak ako o su polu polupr prečn ečnic icii 16. Odre
njenih osnova R=7 cm i r=2 cm, a površina P=170 πcm3. P = B1 + M + B2 P = R 2π + ( R + r )π s + r 2π π H 2 ( R + Rr + r 2 ) V = P = π ( R 2 + r 2 + ( R + r ) s ) R = 7cm 3 107π = π ( 49 + 4 + 9 s ) r = 2cm 12π ( 49 + 14 + 4) V = 170 = 53 + 9 s 3 P = 170π cm 2 9 s = 170 − 53 V = 4π ⋅ 67 V = ? 9 s = 117 V = 268π cm 3 s
=
117 = 13 9
= B 2 − ( R − r ) 2 H 2 = 13 2 − 5 2 H 2 = 169 − 25 H 2 = 144 H = 12 H 2
22
Piramida i kupa
SADRŽAJ
I Piramida II Zarubljena piramida III Površina piramide
Površina zarubljene piramide IV Kavalijerijev princip V Zapremina piramide Zapremina zarubljene piramide VI Kupa VII Zarubljena kupa VIII Površina kupe Površina zarubljene kupe IX Zapremina kupe Zapremina zarubljene kupe X Uzajamni odnos kupe i piramide XI Primena kupe i piramide XII Zadaci
1 2 2 3 4 5 6 8 9 9 10 11 12 13 14 16
23
Piramida i kupa
LITERATURA
1. Dr E. Stipanić,Matematika (za III i IV razred gimnazije gimnazije društveno-jezičkog smera),Beograd 1969. godine 2. G.Vojvodić,Đ.Paunić,R.Tošić G.Vojvodić,Đ.Paunić,R.Tošić,, Matematika (za III razred razred srednje škole),Beograd 1999. godine
24
