Kunci Kalkulus Lanjut 2 Integral Garis Rombel 04 (Kamis Pukul 07.00 WIB)
∫
Kelompok 1 1. Hitunglah integral garis parametriknya adalah
di sepanjang kurva C yang persamaan
.
(Purcell, kalkulusjilid 2 edisikedelapan, hal. 361) Penyelesaian :
∫ ∫ ∫ ∫ Karena dx = 2t dt dan dy =
dt
=
=
=
3
1 6 1 8 2 = t t 2 0 3
=
= =
2. Tunjukkan bahwa integral garis yang diberikan bebas dar i lintasan dan kemudian hitunglah integralnya!
(Purcell, kalkulusjilid 2 edisi ke delapan, hal. 369) Penyelesaian :
∫ ∫
Jadi integral garis ini bebas lintasan
∫ ∫
Jadi
Jadi Jadi
(1,1,1)
[
] ( 0, 0, 0)
= 3+2+1 =6
3. Hitung
di sepanjang lintasan C =
seperti yang ditunjukkan pada
gambar di bawah. Hitung pula integral ini di sepanjang lintasan lurus ( Purcell, kalkulusjilid 2 edisi kedelapan,hal.361 ) Y
(3,5) C3 C2 (0,2)
C1
(3,2)
X Penyelesaian : Pada C1, y = 2, dy = 0 dan
2
x
18
117
2 3 0
PadaC2 , x = 3, dx = 0, dan
y
3 5 2
Sehingga
dari (0,2) ke (3,5).
PadaC3 , y = x +2, dy = dx, sehingga
∫ =
=2
3
]0
=2 =
Kelompok 2 1. Hitunglah
∫ ∫ ∫ ∫
2 dimana C adalah kurva F(t) = t i + t j dengan 0 ≤ t ≤ 1.
dan
( Sugiman. Kalkulus Lanjut. Halaman : 159 ) Jawaban :
dan
Penyelesaian: Diperoleh : x=t
y=t
2
Sehingga ,
[ ]
2. Tentukan luas permukaan pada tabung bidang z = 2 – x! ( Sugiman. Kalkulus Lanjut. Halaman : 162 )
[ ]
yang berada pada kuadran I dan di bawah
Jawaban : L = ( Penyelesaian :
satuan luas z
2
0
C 2
y
2
x
Dalam parameter θ, kurva C dinyatakan sebagai x = 2 cos θ , y = 2 sin θ dengan 0 ≤ θ ≤ π/2. Misal s adalah panjang busur dengan sudut pusat θ dan merupakan bagian dari kurva C, maka :
Diperoleh :
Sehingga luas permukaannya adalah :
∫ ∫
Jadi luas permukaan bidang C adalah ( 3. Hitunglah
≤t≤
satuan luas.
, dimana C ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 cos t , y = 3 sin t, 0
!
, y = y , 0 ≤ y ≤ 3 menghasilkan nilai yang Tunjukkan pula bahwa parametrisasi x = sama ! ( Purcell. Kalkulus Edisi Kedelapan. Halaman : 358 ) Jawaban :
Penyelesaian :
x = 3 cos t
Sehingga ,
y = 3 sin t
[ ]
x=
y=y
=
Sehingga,
[ ] * +
Kelompok 3 1.
∫ ∫ ∫ () Hitung
, dengan C ditentukan oleh persamaan parameter
. Buktikan juga bahwa parameter
nilai yang sama. (27). (Purcell Jilid 2 Edisi 5.Hal 379) Selesaian : Jelas ,
Jadi
, memberikan
√ [ ]
∫ ∫ [ ] ∫ ∫ ∫
Untuk parameterisasi kedua, Jelas
Jadi
Jadi terbuti bahwa parameterisasi memberikan nilai yang sama yaitu 27. 2.
Hitung integral garis
sepanjang kurva C yang persamaan-
.
persamaannya adalah Selesaian : Jelas
dt
,
Jadi
.(Pucell Jilid 2 Edisi 5.Hal 383).
.
[ ]
[ ] ∫ [ ] 3.
Diketahui adalah kurva Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya dalam memindahkan partikel sepanjang kurva . ( Purcell Jilid 2 Edisi 5.Hal 385 ). Selesaian: Jelas
Jadi
Strategi:
Jadi kerja yang dilakukan oleh medan gaya
dalam memindahkan partikel sepanjang kurva
adalah
.
Kelompok 4 1. Hitunglah
∫ ∫ dan
2 dimana C adalah kurva F(t)= t i + t j dengan 0≤ t≤ 1.
( Sugiman. Kalkulus Lanjut. Halaman : 159 )
Jawaban :
∫ ∫ dan
Penyelesaian: Diperoleh : x=t
y=t
2
Sehingga ,
[ ]
[ ]
2. Tentukan luas permukaan pada tabung bidang z = 2 – x! ( Sugiman. Kalkulus Lanjut. Halaman : 162 ) Jawaban : L = ( satuan luas Penyelesaian : z
yang berada pada kuadran I dan di bawah
2
0
C 2
y
2
x
Dalam parameter θ, kurva C dinyatakan sebagai x = 2 cos θ , y = 2 sin θ dengan 0 ≤ θ ≤ π/2. Misal s adalah panjang busur dengan sudut pusat θ dan merupakan bagian dari kurva C, maka :
∫ ∫
Diperoleh :
Sehingga luas permukaannya adalah :
Jadi luas permukaan bidang C adalah ( 3. Hitunglah
≤t≤
satuan luas.
, dimana C ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 cos t , y = 3 sin t, 0
!
, y = y , 0 ≤ y ≤ 3 menghasilkan nilai yang Tunjukkan pula bahwa parametrisasi x = sama ! ( Purcell. Kalkulus Edisi Kedelapan. Halaman : 358 ) Jawaban :
Penyelesaian :
x = 3 cos t
Sehingga ,
y = 3 sin t
[ ]
x=
=
y=y
Sehingga,
[ ] * +
∫ ∫ ∫ [ ] [ ]
Kelompok 5
1. Hitung integral garis
sepanjang kurva C yang persamaan-
. Pucell Jilid 2 Edisi 5.Hal 383).
persamaannya adalah Selesaian : Jelas
dt
,
Jadi
∫
2. Hitung
, dengan C ditentukan oleh persamaan parameter
. Buktikan juga bahwa parameter
memberikan nilai yang sama. (Purcell Jilid 2 Edisi 5.Hal 379) Selesaian :
∫ ∫ () ∫ ∫ ∫ √ ∫ ∫ √ [ ] ∫ ∫ ∫ ∫
Jelas
,
Jadi
Untuk parameterisasi kedua, Jelas
Jadi
,
)+ * ∫ ( [] 3
Jadi terbukti bahwa parameterisasi memberikan nilai yang sama yaitu 27. 3. Diketahui
adalah kurva
Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya kurva . ( Purcell Jilid 2 Edisi 5.Hal 385 ).
∫ [ ]
dalam memindahkan partikel sepanjang
Selesaian: Jelas
Jadi
Strategi:
Jadi kerja yang dilakukan oleh medan gaya adalah
.
dalam memindahkan partikel sepanjang kurva
Kelompok 6
∫
1. Hitunglah
dengan C ditentukan oleh persamaan
Penyelesaian : 27 (Sumber : Kalkulus Lanjut, Sugiman, hal.150)
∫ ∫ () ∫ ∫ ∫ √ ∫ ∫ √ [ ]
Jelas
,
Jadi
Untuk parameterisasi kedua, Jelas
,
Jadi
∫ ∫ ∫ ∫ * ∫ ()+ [ ] 3
.
Jadi terbukti bahwa parameterisasi memberikan nilai yang sama yaitu 27. 2. Tentukan luas permukaan pada tabung bidang Penyelesaian : (Sumber : Kalkulus Lanjut, Sugiman, hal.154)
yang berada pada kuadran I dan dibawah
z 2
0
C 2
y
2
x
Dalam parameter θ, kurva C dinyatakan sebagai x = 2 cos θ , y = 2 sin θ dengan 0 ≤ θ ≤ π/2. Misal s adalah panjang busur dengan sudut pusat θ dan merupakan bagian dari kurva C, maka :
Diperoleh :
Sehingga luas permukaannya adalah :
∫ ∫ ∫
Jadi luas permukaan bidang C adalah ( 3. Hitung integral garis
sepanjang kurva C yang persamaan-
. Pucell Jilid 2 Edisi 5.Hal 383).
persamaannya adalah Selesaian : Jelas
satuan luas.
dt
,
Jadi
[ ] [ ]
