TUGAS KALKULUS LANJUT
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
Oleh: KAMELIANI 1211041016
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2014
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
A. SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT Integral lipat dua dan integral lipat tiga mewarisi hampir semua sifat-sifat integral tunggal. Berikut adalah sifat-sifat integral lipat dua (yang juga dimiliki integral sifat tiga). (1) Integral lipat dua bersifat linear, yaitu
,, =, , , =, , ℎ . ,≤, , , , ≤, 3 . ,≥0 , , ⊂ , ≤, , (2)
4.
Integral lipat dua bersifat aditif (dapat dijumlahkan)
berimpit
pada
hanya
sebuah
sisi
pada daerah yang saling atau
ruas
garis.
, =, , ∪
Universitas Negeri Makassar
Page 2
Sifat-sifat integral tersebut membawa beberapa akibat yang perlu dikemukakan di sini. Misalkan
(luas R)
≤,≤
untuk semua
,
di maka
= ∬ ≤ ∬ , ≤ ∬ =
(luas R)
Satu sifat lainnya yang perlu dikemukakan adalah akibat dari sifat
| ,|≤,≤ | ,| Berdasarkan sifat integral nomor 2, maka berlaku
| ,|≤, ≤ | ,| Atau
, ≤ | ,| Untuk fungsi
yang
kontinu, ternyata urutan pengintegralan tidak menjadi
masalah. Hal ini dituliskan dalam teorema berikut. Teorema urutan integral (Teorema Fubini)
=,, , = , = ,
Misalkan fungsi kontinu pada empat persegi panjang
Universitas Negeri Makassar
, maka
Page 3
B. PENERAPAN SIFAF-SIFAT INTEGRAL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH .
Soal dan Pembahasan 1. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah D yang diberikan!
, = ,|1≤ ≤2 ,≤ ≤ Penyelesaian:
Dengan menerapkan sifat (1) dan (2), maka
= = = ) ( = ( ) = 21 =12 12 412 12 = 12 2 2. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah D yang diberikan!
40 , 6
D adalah segitiga dengan titik puncak (0,3) , (1,1), dan (5,3)
Penyelesaian: Pertama-tama harus dibuat persamaan garis yang melalui titik-titik puncak tersebut, agar bisa diketahui batas-batas daerahnya. Kita dapat membuat persamaan garis berdasarkan dua titik puncak yang diketahui.
Persamaan garis yang melalui titik (0,3) dan (1,1)
= ` `
Universitas Negeri Makassar
Page 4
3 0 = 13 10 3=2 =23
Persamaan garis yang melalui titik (0,3) dan (5,3)
Persamaan garis yang melalui titik (1,1) dan (5,3)
= ` ` 3 0 = 33 50 5=15 =3
= ` ` − = − − − 44=22 = 12 12 Berikut ini adalah gamba segitiga yang dimaksud
Universitas Negeri Makassar
Page 5
Ada dua cara untuk mendeskripsikan daerah yang diarsir.
Cara
I
Jika kita menggunakan fungsi x, maka daerah D akan dibagi menjadi dua daerah karena fungsi
yang
berada
di
bawah
berbeda
bergantung pada nilai x. Pada kasus ini, daerah
= ∪ = ,|0≤ ≤1 ,23≤ ≤3 ={,|1≤≤5 , 12 12 ≤≤3} D diberikan sebagai
, dimana
Dengan menggunakan sifat (6), maka
40 =6 40 6 40 6 3 62 40 5 3 62 40 =01 23 1 1212 6 | = 20 −+ 6 20|+
=12 1802023 3 15 1802012 12
5 10 3 40 1 1 1 23 =[3 180 ] 0 5 180 1
= 9353
3
4
32 2
Perhatikan bahwa menyelesaikan integral pada fungsi berbentuk kuadrat tidak perlu dikalikan satu persatu. Lebih mudah diintegralkan dengan integral subsitusi yang telah dipelajari di Calculus I.
Universitas Negeri Makassar
Page 6
Cara II Jika kita menggunakan fungsi y, maka daerah D tidak perlu dibagi menjadi dua bagian. Batas-batas untuk x adalah
=23 →= 12 32 = 12 12 →=21 ={,| 12 32 ≤ ≤21 ,1≤ ≤ 3} Sehingga
40 = − 40 6 6 −+
21 1 3 =2 40 2 2 1 3 =100100 221 2 2 2 dy 3 100 1 1 3 =50y 3 y 4 2y1 2 y 2 1 = 9353
3. Hitunglah nilai integral berikut dengan membalikkan urutan dari integralnya. !
Penyelesaian: Perhatikan bahwa kita tidak bisa melakukan integral terhdap membutuhkan
karena kita
di depan eksponensial untuk melakukan integral terhadap . Akan
tetapi, jika urutan integral dibalik, maka kita bisa menghitung nilai integral di atas.
Universitas Negeri Makassar
Page 7
Membalik urutan integral artinya kita akan melakukan integral terhadap
terlebih
dahulu kemudian terhadap . Ketika membalik urutan integral, maka batas-batsanya juga akan berubah.
Agar memudahkan mencari batas-batasnya, maka pertama-tama kita gambarkan daerah yang diberikan berdasarkan batas-batas yang telah diketahui. Berdasarkan integral di atas, batas-batas daerahnya adalah
0≤≤3 ≤≤9 =9
Berdasarkan pertidaksamaan di atas, batas bawah pada sumbu y adalah batas atas pada sumbu y adalah
=0 =3 dan
.
dengan batas pada sumbu
=^2
dan
yaitu antara
Berikut ini adalah gambar daerah yang dimaksud
Karena kita ingin mengintegralkan terhadap
0≤≤ 0≤≤9 √ =
terlebih dahulu,maka kita perlu
menentukan batas-batas untuk terlebih dahulu, kemudian batas-batas untuk . Batas pada sumbu
adalah
Batas pada sumbu adalah
Sehingga bentuk integralnya sekarang adalah sebagai berikut
Universitas Negeri Makassar
Page 8
Berikut adalah penyelesaian untuk bentuk integral yang baru
∫ ∫√ = ∫ ∫√ √ = 1 = [4 ] 0 1 = [4 ] 0 1 = 4 = 14 90 = 14 1 C.
(karena di integralkan terhadap , maka
dianggap konstanta, sehingga berlaku sifat linear integral
Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral pada Daerah Persegi Panjang dan Bukan Persegi Panjang
Contoh Soal!
Daerah Persegi Panjang
1. Tentukan Volume benda pejal di bawah bidang
=1 =
,:0≤≤1,1≤≤3 1 1 = [2 ] 10 1 = 2 1 =[12 12 ] 31 =32 92 312 12 1 =7
pada
Penyelesaian:
Universitas Negeri Makassar
Page 9
daerah
=1 =,:0≤≤1,1≤≤3 pada
2. Carilah Volume benda pejal yang berada di atas fungsi g(x,y) dan berada di bawah fungsi f(x,y) dengan batas-batas x dan y sebagai berikut.
,=4 ,=9 2,5 ≤ ≤2,5 0,5 ≤≤2,5 Penyelesaian:
, , Volume = −, −,9 4 =−,, [13 13 ] 0,2,55 , 655 155 =−, {[ 24 2,5 ][ 24 0,5 ]} , 135 =−, [ 4 3 ] =[1354 ] 2,2,55
= 2754 2754 =137,5
satuan volume
Universitas Negeri Makassar
Page 10
Daerah bukan Persegi Panjang 1.
Carilah volume benda yang dibatasi oleh persamaan bola dan Paraboloida Penyelesaian:
=
=6
Bentuk daerahnya adalah sebagai berikut
Gambar di atas adalah daerah yang dimaksud yakni irisan antara bola dan paraboloida. Subsitusi sehingga diperoleh
=
Universitas Negeri Makassar
ke
persamaan
=6 Page 11
=6 6=0 2 3=0 2=0 =±√2 3=0 √2 ≤≤√2 √ 2 ≤≤√ 2
Untuk untuk
maka
tidak ada solusi
Batas-batas untuk y adalah sedangkan untuk x adalah
Sehingga dengan menggunakan maple, volume benda yang diperoleh adalah diperoleh
√ √− −√ −√− 6 =4√ 6 223 =7,74 Perhitungan dengan Maple
Menggambar plot
Universitas Negeri Makassar
Page 12
D.
Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral dalam Koordinat Polar
Soal Dan Pembahasan 1. Hitunglah nilai integral berikut dengan mengubahnya ke dalam koordinat polar terlebih dahulu.
2
D adalah daerah di antara lingkaran dnegan jari-jari 2 dan jari-jari 5 . lingkaranlingkaran tersebut berpusat pada titik asal. Daerahnya berada pada kuadran I.
Penyelesaian: Pertama-tama kita harus mengubah daerah D dalam koordinat polar. Lingkaran dengan jari-jari 2 berarti
=2
, dan lingkaran dengan jari-jari 5 berarti
=5
.
Karena daerah yang dimaksud berada di antara jari-jari tersebut, maka dapat
2≤≤5 0≤≤ = dituliskan
Sedangkan daerah yang dimaksud berada pada kuadran I, sehingga dapat dituliskan
Diketahui bahwa dalam koordinat polar,
Sehingga,
2
=cos
dan
=sin
,
= 2 cos sin
= sin2 1 = [4 sin2] 52 = ∫sin252 (menggunakan sifat kelinearan integral) = ∫ sin2 (menggunakan sifat kelinearan integral) Universitas Negeri Makassar
Page 13
609 1 = 4 2cos220 = 6094 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh Penyelesaian:
=32sin =2 dan
Daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Untuk mengetahui luas daerah di atas, maka terlebih dahulu perlu diketahui
=32sin =2 32sin=2 sin= 12 = 76 , 116
batas-batas untuk nilai dimana kurva saling berpotongan. Untuk mengetahui nilai bisa dilakukan dengan cara sebagai berikut. Diketahui
dan
Dapat dituliskan
Universitas Negeri Makassar
Page 14
Berikut ini adalah gambar daerah
Kita tahu bahwa
adalah bentuk lain dari
≤ ≤ maka kita akan menghitung daerah yang tidak di arsir. Oleh karena itu batas yang digunakan adalah ≤ ≤ Jika kita gunakan
Untuk menentukan nilai
, fungsi yang terdekat dengan titik asal merupakan
batas bawah, dan fungsi yang terjauh merupakan batas atas.
Sehingga luas daerah D adalah
= + =− 1 + =− 2 5 =− 2 6 2sin 7 =− 2 6 cos2 Universitas Negeri Makassar
Page 15
7 1 = 2 6cos 2 sin2− = 112√ 3 143 =24,187 3. Tentukan volume benda yang berada di bawah bola bidang
=0
, dan berada pada silinder
Penyelesaian:
=5
=9
, di atas
Kita tahu bahwa rumus untuk menentukan volume adalah
= , =9 = 9 =0 =0 = 9 =5
Ubah fungsi
ke bentuk
. Kita mengambil
nilai yang positif karena kita akan menghitung di atas bidang Kini kita mempunyai dua fungsi yaitu
dan
Kita ingin menghitung daerah yang berada di bawah bola tetapi berada pada silinder
.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Jadi, daerah yang akan dicari volumenya adalah sebuah cilinder yang penutupnya merupakan sebuah bola.
Universitas Negeri Makassar
Page 16
Sebelumnya kita ubah terlebih dahulu batas-batasnya dalam koordinat polar.
0≤≤2 0≤≤√ 5
(jari-jari silinder)
Sehingga volume daerah yang dimaksud adalah
= 9 √ = 9 1 √ = 3 9 √ 1 = 3 9 19 = 3 = 383
=
4. Hitunglah volume benda yang berada di antara fungsi
=16
.
=
dan bidang
Penyelesaian: Jika disketsakan maka gambar grafiknya sebagai berikut.
Universitas Negeri Makassar
Page 17
Volume yang dicari adalah daerah selisih antara kedua kurva tersebut, yakni
= 1 6 = 16 Agar memudahkan dalam mencari nilai volume, fungsi di atas di ubah dalam koordinat polar. Demikian pula batas-batas daerahnya. Berikut ini adalah batas-batas daerahnya
0≤≤2
0≤≤4
=16
Sehingga,
= 1 6 = 16 1 =8 4 =64 =128
Universitas Negeri Makassar
Page 18
DAFTAR PUSTAKA
Purcell,dkk.2011. Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga Budi Wono Setya.2001. Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunannya.Bandung:ITB. http://www.math24.net/definition-and-properties-of-double-integrals.html (di akses 24 Desember 2014) http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIGeneralRegion.aspx (di akses 24 Desember 2014) http://ltcconline.net/greenl/courses/202/multipleintegration/Volume.htm (di akses 29 Desember 2014) http://www2.seminolestate.edu/lvosbury/CalculusIII_Folder/ExamplesForExam4.ht m (di akses 5 Januari 2015) http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIPolarCoords.aspx (di akses 5 Januari 2015)
Universitas Negeri Makassar
Page 19
