Diskusi 1 Tugas Akhir Program: Kalkulus Lanjut

Diskusi 1 TAP: Kalkulus III

Nama

: Ignatius Danny Pattirajawane

NIM

: 016338119

!al "a#a $!nt!% 3 Inisiasi I: Men$ari nilai ekstrim

(0,0,0 )  #an kur&a  z 2= x y 2 + 1 '

!al: tentukan jarak minimum antara titik asal  (awa):

d = f  ( ( x , y , z )= √  x  x + y + z 2

Dalam %al ini *ungsi jarak a#ala%

2

2

' +er#asarkan )uku

m!#ul MATA ,-10 Kalkulus III karangan +am)ang !e#ij!n! ./T #isi 1 -0062 %al' -'3, "ermasala%an terse)ut #a"at #i"an#ang se)agai masala% nilai ekstrim )ersyarat' Di mana *ungsi yang akan #i$ari titik stasi!nernya .yang memiliki nilai

f  ( ( x , y , z )=√  x  x + y + z 2

ekstrim2 a#ala%

2

2

a#ala% k!nstanta' Dalam %al ini #i"ili% #engan

G ( x , y , z )  z =

2

 x y

−

2

 #an

 #an *ungsi ken#alanya 2

G ( x , y , z ) k   =

k 

2

 z − x y =1  se)agai *ungsi ken#alanya

k =1 '

/ntuk selanjutnya akan #igunakan met!#e angrange #engan mem)entuk *ungsi:

u= f  ( ( x , y , z ) + λG ( x , y , z )  4ang  4ang memenu%i ketentuan: ketentuan:

∂u  ∂ u ∂u =0 ; = 0 ; = 0 ∂x ∂y ∂z Kita mem"er!le% tiga "ersamaan:

∂u x  = 2 2 2 − λ y 2=0 (1 ) ∂ x √  x  x + y + z ∂u y = 2 2 2 −2 λ xy =0 (2 ) ∂ y √  x  x + y + z

∂u z = 2 2 2 + 2 λ z =0 (3 ) ∂ z √  x + y + z 1

√  x + y + z

Dari "ersamaan .32 kita mem"er!le% nilai

2

2

2

=−2 λ

terse)ut ke "ersamaan .-2 maka kita akan mem"er!le%

' Kita masukan nilai

−2 λ y = 2 λ xy ' e%ingga

#i"er!le% nilai

 x =−1 ' elanjutnya #engan memasukan nilai

*ungsi ken#ala

 z − x y =1  kita mem"er!le%

2

2

2

 x  ke "ersamaan

2

 z + y =1 '

Masukan %asil5%asil #i atas ke #alam *ungsi jarak maka akan #i"er!le%

d = √  x + y + z = √ (−1 ) + 1=√ 2 2

2

2

2

!al $!nt!% 11: !lume )en#a !al: Tentukan &!lume )en#a yang #i)atasi )i#ang "ara)!l!i#a

2

 z = x +  y

2

 xy  silin#er  x 2+ y 2 =1  #an

'

 (awa): !lume )en#a yang #itanya sama #engan &!lume )en#a #i )awa% "ermukaan "ara)!l!i#a terse)ut #engan ketinggian

 z =1  #an #engan alas lingkaran

2 2  x + y =1  "a#a )i#ang  xy ' Penyelesaian #i"er!le% #engan integral li"at 3

#engan trans*!rmasi "a#a k!!r#inat silin#er' Pa#a k!!r#inat silin#er

 z =r

2

 #engan )atas intergrasi

 z , r , θ|r ≥ z ≥ 0, 1 ≥ r ≥ 0,2 π ≥ θ ≥ 0 } 2

{¿ 2 π  1

r

2

' !lume )en#a yang #i$ari a#ala%

2 π  1

∭ dV  =∫∫∫ rdzdrdθ =∫ ∫ r

V =

0

0

0

0

0

2 π  3

dr dθ=

∫ 14 dθ = π 2 0