PENGGUNAAN INTEGRAL
A. VOLU VOLUME ME BEND BENDA A DALA DALAM M RUAN RUANG G (Lem (Lempe peng ngan an , Cak Cakra ram m, Cinc Cincin in)) Integral tentu bisa digunakan untuk menghitung luas. Hal ini tidaklah mengherankan karena Integral sesungguhnya diciptakan untuk hal demikian. Banyak besaran dapat dianggap sebagai hasil pengirisan sesuatu menjadi potongan
–
potongan kecil, aproksimasi tiap potongan,
penjumlahan dan pengambilan limit ketika tiap potongan ukurannya mengecil. Metode yang demikian dapat digunakan untuk mencari volume benda – benda tertentu. Kita mulai dengan benda pejal sederhana yang disebut silinder tegak, diantaranya seperti yang diperlihatkan pada gambar (i). dalam tiap kasus, benda itu diperoleh dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus dengan daerah tersebut. Dalam tiap kasus itu, volume benda pejal didefinisikan sebagai luas A daerah alas dikalikan tinggi h yakni : V = A .h
h h
A
h
A A
Gambar (i)
Berikutnya perhatikan sebuah benda pejal yang penampang – penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Misalkan garis tersebut adalah sumbu – x x dan luas penampang pada x adalah A( x) dengan a dengan menyisipkan titik – titik
=
<
≤ x ≤ b terlihat pada Gambar (ii). Selang [a,b] <
<⋯ <
=
, kemudian kita lewatkan
bidang – bidang melalui titik – titik titik ini tegak tegak lurus lurus dengan dengan sumbu x , sehingga mengiris benda
1
menjadi lempengan Volume ∆
–
lempengan tipis
seperti yang akan diperlihatkan diperlihatkan pada Gambar (iii). (iii).
suatu lempengan kira – kira sama dengan volume suatu silinder, yakni
∆ = ( ) ∆ Ketika norma partisi mendekati nol, akan diperoleh integral yang didefinisikan sebagai volume benda pejal.
=
( )
Dalam menyelesai menyelesaikan kan persoalan persoalan luas baiknya baiknya memahami proses proses menuju rumus tersebut. tersebut. Proses itu disebut dengan iris, aproksimasikan, integrasikan.
a. Be Benda nda-p -pej ejal al Meto Metode de Cakr Cakram am Ketika ada ada sebuah daerah rata, rata, yang terletak terletak seluruhnya seluruhnya pada satu sisi dari sebuah sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah tersebut akan membentuk sebuah benda-pejal putar. Garis yang tetap itu dikenal dengan sumbu bendapejal putar. Ilustrasi Ilustrasi 1, sebuah daerah daerah oleh setengah setengah lingkaran lingkaran dan garis garis tengahnya, tengahnya, diputar diputar mengelilingi garis tengah tersebut. Maka daerah tersebut membentuk sebuah bola pejal. Perhatikan gambar :
⤿
sumbu
Ilustrasi 2, sebuah daerah didalam suatu segitiga siku – siku diputar mengelilingi salah satu kakinya, dia membentuk sebuah kerucut pejal. Perhatikan gambar :
sumbu
Ilustrasi 3, bila sebuah daerah lingkaran diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang lingkaran itu yang tidak memotong lingkaran, maka diperoleh sebuah poros.
2
Perhatikan gambar:
Sumbu
Dalam tiap kasus, dimungkinkan menyajikan volume itu sebagai suatu integral tentu.
Contoh soal : 1. Carilah Carilah volume volume benda-pejal benda-pejal putar yang yang diperoleh diperoleh dari pemutara pemutaran n daerah R yang dibatasi oleh kurva y = R x , sumbu x dan garis x = 4 mengelilingi sumbu x. Jawab: Daerah R dengn suatu irisan tertentu, diperagakan sebagai bagian kiri. Ketika diputar mengelilingi sumbu x , daerah ini akan membentuk membentuk benda-pejal benda-pejal putar putar dan irisan membentuk membentuk sebuah cakram, cakram, benda berbentuk uang logam tipis. y
∆ 2
= √
1
√ 4
x
3
x
△ x
√
∆
≈
√
∆
= ∫ x
dengan mengingat bahwa silinder tegak adalah volume ∆
cakram cakram ini dengan dengan ∆
=
= (√ ) ∆
=
2
ℎ, kita aproksimasikan dan kemudian integrasinya.
16 = 8 ≈ 25,1 5,13 2
=
2. Carilah Carilah volume volume benda-pejal benda-pejal yang yang terbentuk terbentuk dari dari pemutaran pemutaran daerah daerah yang dibatasi dibatasi oleh kurva y = x3 , sumbu y dan garis y = 3 mengelilingi sumbu y. Jawab :
=
y 3
△y △y
y y
1
x
∆ ≈ = 4
∆
Dalam kasus ini, lebih mudah y digunakan sebagai variable pengintegralan. 3
Perhatikan bahwa y = x setara dengan
=
=
dan ∆
3 5
=
=
≈ (
) ∆
maka
9 √ 9 ≈ 11, 11, 76 5
b. Be Benda nda-p -pej ejal al Meto Metode de Cinc Cincin in
h
=
(
−
)ℎ
Ada kalanya apabila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu putarnya, kita memperoleh sebuah cakram yang di tengah-tengahnya ada lubangnya. Daerah demikian kita sebut cincin. cincin. Lihat Gambar Gambar diatas. Y y=x
△x
4
2
= √ 8
3
√ 8
2 x
1
2
2
x
x
∆ ≈
Gambar a
= ∫
5
√ 8 (8 −
−( ) ∆ )
Contoh Contoh soal soal : 1. Tentukan Tentukan Volume Volume benda benda putar apabil apabilaa daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh parabol-pa parabol-parabol rabol y = x
2
dan y2 = 8x diputar diputar mengelil mengeliling ingii sumbu sumbu -x. Jawab : Disini kita juga menggunakan menggunakan metode potong menjadi jalur-jalur, jalur-jalur, kemudian diaproksimasi, dan akhirnya akhirnya diintegra diintegralkan lkan ( Gamba Gambarr a). 2
∫0
V=
48
( 8x – x4 ) dx =
=
≈ 30,16
5
2. Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva x =
2
4−
di sumbu y
diputar mengelilingi garis garis x = -1. Susunlah integral yang merumuskan volume benda putar. Jawab : Jari-jari luar cincin adalah
4−
+ 1 sedangka sedangkan n jari – jari jari dalam adalah1. Lihat
Gambar b. Integral Integral yang bersangk bersangkutan utan dapat dapat disederhanakan disederhanakan . Bgian yang yang terletak terletak di atas sumbu x, volumenya sama dengan bagian yang di bawah sumbu x. Jadi, kita cukup mengintegral mengintegralkan kan antara 0 dan 2 kemudian kemudian hasilnya dikalikan dikalikan dua. kita peroleh:
1+
∫
V=π
∫ 2 4 −
= 2π
4−
−1
+4−
y 1+
Gambar b
4+
2 1 y
△y 4− 2
x
-1 -2
∆ X = -1
≈ =
1+ 1+
6
4+ 4+
−1 ∆ − 1
c. Benda-pejal Benda-pejal lainnya yang penampangnya penampangnya diketahui diketahui
Benda yang kita bahas memiliki daerah-daerah lingkaran sebagai penampangpenampang tegak. Metode yang kita gunakan tetap berlaku untuk benda-benda yang penampang tegaknya berbentuk bujur sangkar atau segitiga. Sesungguhnya yang kita perlukan ialah bahwa kita dapat menghitung luas penampang-penampang tersebut. Contoh Soal : 1. Andaikan Andaikan alas alas sebuah benda benda adalah adalah suatu suatu daerah rata rata pada kuadran pertama pertama yang yang dibatasi oleh y = 1 −
/4, sumbu x dan sumbu y. Andaikan penampang-
penampang yang tegaklurus pada sumbu x berbentuk bujur sangkar. Tentukan volume benda lain. Apabila kita potong-potong benda tegaklurus pada sumbu x kita peroleh lempeng lempeng lempeng tipis yang berbentuk bujursangkar bujursangkar (Gambar (Gambar c). V = ∫
1−
+
=
−
= 2 – =
+ +
≈1,07
y
△x
1−
x
4
Gambar c 2
x
2. Alas sebuah benda diketahui diketahui merupaka merupakan n daerah daerah yang kurva y = sin
dan sumbu x.
Tiap penampang yang tegaklurus sebuah segitiga sama sisi yang berdiri pada alasnya. Tentukan volume benda itu .
7
Kita ingat bahwa luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi u adalah √ 3
⁄4
(Gambar 12). Kemudian lihatlah Gambar d. Untuk melakukan melakukan pengintegralan kita menggunakan
V=
√
= (1 − co cos 2 )⁄2. =
∫
= =
√
√ √
cos 2 ) ∫ (1 − cos ∫ 1
−
−
sin 2
∫ cos2 . =
√
Gamb Gambar ar d
△x = sin
x
x
8
≈ 0,68