Janina Šulčienė
Ar moki
MATEMATIKA
UDK 51(075.3) Šu21
Pirmasis leidimas
2005 2003
Visi šio l e i d i m o p a k a r t o t i tiražai yra b e p a k e i t i m ų ir g a l i o j a . P i r m a s i s s k a i č i u s r o d o p a s k u t i n i u s leidinio t i r a ž a v i m o m e t u s .
S C t t N l Iw CtoMl
ISBN 5-430-03617-Х
E M m s
© Janina Šulčienė, 2003 © Leidykla „Šviesa", 2003
SKAIČIAI, SKAIČIAVIMAI, ALGEBRA SKAIČIŲ TEORIJOS ELEMENTAI Dalumas Daugyba Kokį nors skaičių (dauginį) padauginti iš sveikojo skaičiaus (daugiklio) reiškia dauginį paimti kaip dėmenį tiek kartų, kiek vienetų turi daugiklis. Gautas skaičius vadinamas sandauga. 1 p a v y z d y s . 12 · 5 = 60; čia 12 — dauginys, 5 — daugiklis, 60 — sandauga. 12 · 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 60. Dauginį ir daugiklį sukeitus vietomis, sandauga išlieka ta pati. 2 p a v y z d y s . 2 - 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 ir 5 - 2 = 5 + 5 = 10. Abu, ir dauginį, ir daugiklį, galima vadinti daugikliais. Dalyba Tai veiksmas, kuriuo iš duotos dviejų skaičių sandaugos ir vieno šių skaičių randamas antrasis skaičius. Duotoji sandauga vadinama daliniu, žinomas daugiklis — dalikliu, o ieškomas daugiklis — dalmeniu. 1 p a v y z d y s. 48 : 6 = 8; čia 48 — dalinys, 6 — daliklis, 8 — dalmuo. Dalybą galima patikrinti taip: daliklis 6 padauginamas iš dalmens 8 ir gaunamas dalinys 48. Dalmuo, gaunamas dalijant vieną sveikąjį skaičių iš kito sveikojo skaičiaus, gali būti ir ne sveikasis skaičius. Tuomet dalmuo gali būti išreiškiamas trupmena. Jei dalmuo yra sveikasis skaičius, tai sakoma, kad pirmasis minėtų skaičių dalijasi iš antrojo be liekanos. 2 p a v y z d y s . 35 dalijasi be liekanos iš 5, nes dalmuo yra sveikasis skaičius 7. Dalyba natūraliųjų skaičių aibėje galima tik tada, kai egzistuoja toks natūralusis skaičius k, su kuriuo n = k · m (k, m, n — natūralieji skaičiai). Skaičius k vadinamas skaičiaus n dalikliu, o skaičius n — skaičiaus k kartotiniu.
3 p a v y z d y s . 5 yra skaičių 25, 60, 80 daliklis; 60 yra skaičių 15, 20, 30 kartotinis. Daugeliu atvejų nedalijant galima sužinoti, ar vienas sveikasis skaičius dalijasi be liekanos iš kito sveikojo skaičiaus. Tam tereikia žinoti dalumo požymius: Skaičius n dalijasi iš:
Dalumo požymis
Pavyzdys
Skaičiaus n paskutinis skaitmuo yra lyginis, t. y. 0, 2, 4, 6 arba 8
486064 : 2 = 243032
2
3 arba 9
Skaičiaus n skaitmenų suma dalijasi iš 3 arba 9
273 : 3 = 91 (nes 2 + 7 + + 3 = 12, o 12 : 3 = 4)
5
Skaičiaus n paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5
13525 : 5 = 2705
10
Skaičiaus n paskutinis skaitmuo yra 0
13470 : 10 = 1347
Lyginiai ir nelyginiai skaičiai Skaičiai, kurie be liekanos dalijasi iš 2, vadinami lyginiais skaičiais. Šiuos skaičius galima užrašyti taip: 2n (n — sveikasis skaičius). Nelyginiai skaičiai užrašomi taip: 2n + 1 (n — sveikasis skaičius). P a v y z d ž i a i . 2, 4, 6, 42, 102 — lyginiai skaičiai; 3, 11, 21, 1055 — nelyginiai skaičiai. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai Visi sveikieji skaičiai, išskyrus 1, turi mažiausiai du daliklius: 1 ir save patį. Skaičiai, kurie neturi jokių kitų daliklių, vadinami pirminiais (arba neskaidžiaisiais). 1 p a v y z d y s . 7, 41, 53 — pirminiai skaičiai. Skaičiai, kurie turi daugiau nei du daliklius, vadinami sudėtiniais (arba skaidžiaisiais). 2 p a v y z d y s . 21 -— sudėtinis skaičius (jo dalikliai — 1, 3, 7, 21). Skaičius \ nepriskiriamas nei prie pirminių, nei prie sudėtinių skaičių. Skaidymas pirminiais daugikliais Kiekvieną sudėtinį skaičių galima vieninteliu būdu išreikšti pirminių daugiklių sandauga. Nedidelius skaičius lengva išskaidyti mintinai, o dideliems galima pritaikyti toliau pavyzdyje paaiškintą skaidymo būdą.
1 p a v y z d y s . Sakykime, duotas skaičius 1421. Imkime iš eilės pirminius skaičius ir sustokime ties tuo, kuris yra duotojo skaičiaus daliklis. Remdamiesi dalumo požymiais, matome, kad skaičiai 2, 3, 5 nėra skaičiaus 1421 dalikliai. Pabandę padalyti iš 7, nustatome, kad 1421 iš 7 dalijasi. Gauname dalmenį 203. Nubrėžę brūkšnį, kairėje jo pusėje parašome skaičių 1421, dešinėje pusėje priešais jį — daliklį 7, o po skaičiumi — dalmenį 203. Toliau tokiu pat būdu ištiriame skaičių 203. Pirminių skaičių 2, 3 ir 5, kurie iš pat pradžių pasirodė netinkami, neliečiame ir pradedame tirti nuo 7. Pasirodo, kad 7 yra skaičiaus 203 daliklis. Vėl dešinėje brūkšnio pusėje priešais 203 rašome daliklį 7, po 203 — dalmenį 29. Skaičius 29 — pirminis, todėl skaidymą baigiame, šalia skaičiaus dešinėje parašydami daliklį 29. Skaidymo rezultatas: 1421 7 203 7 29 29
1421 = 7 - 7 - 2 9
1
Didžiausiasis bendrasis daliklis (DBD) Kelių skaičių bendruoju dalikliu vadinamas skaičius, kuris yra kiekvieno jų daliklis. 1 p a v y z d y s . Skaičių 12, 18 ir 30 bendrieji dalikliai yra 2, 3 ir 6. Tarp visų bendrųjų daliklių visada yra didžiausias daliklis, mūsų pavyzdyje — skaičius 6, kuris vadinamas didžiausiuoju bendruoju dalikliu (DBD). P a v y z d ž i a i . Skaičių 16, 20, 28 DBD yra 4. Rašoma: DBD (16, 20, 28) = 4. Skaičių 30, 60, 90, 5 DBD yra 5. Rašoma: DBD (30, 60, 90, 5) = 5. Nedidelių skaičių DBD lengva rasti mintinai. Norint rasti kelių skaičių didžiausiąjį bendrąjį daliklį, reikia tuos skaičius išskaidyti pirminiais daugikliais, paimti kiekvieną iš daugiklių su mažiausiu iš turimų rodikliu ir rasti jų sandaugą. Raskime DBD (252, 441, 1080). Pirmiausia visus tris skaičius išskaidome pirminiais daugikliais: 1080 540 270 135 45 15 5 1
2 2 2 3 3 3 5
252 126 63 21 7 1
2 2 3 3 7
441 147 49 7 1
3 3 7 7
1080 = 2 3 • 3 3 • 5 252 = I 1 • 3 2 · 7 441 = 3 2 • I 1
Bendras visiems skaičiams yra tik pirminis daugiklis 3. Mažiausias rodiklis yra 2. Taigi DBD (1080, 441, 252) = 3 2 = 9.
Gali pasitaikyti, kad pirminių daugiklių, kurie būtų bendri visiems duotiesiems skaičiams, nėra. Tada didžiausiasis bendrasis daliklis lygus 1. Du skaičiai, kurių didžiausiasis bendrasis daliklis lygus 1, vadinami tarpusavyje pirminiais skaičiais. 2 p a v y z d y s . 15 ir 22 — tarpusavyje pirminiai skaičiai. Mažiausiasis bendrasis kartotinis (MBK) Kelių skaičių bendruoju kartotiniu vadinamas skaičius, kuris yra kiekvieno jų kartotinis. 1 p a v y z d y s . Skaičių 15, 6 ir 10 bendrieji kartotiniai yra 180, 90, 60 ir 30. Tarp visų bendrųjų kartotinių visada yra mažiausias, šiuo atveju — skaičius 30. Šis skaičius vadinamas mažiausiuoju bendruoju kartotiniu (MBK).
Nedidelių skaičių MBK nesunku rasti mintinai. Kai skaičiai dideli, darome taip: duotus skaičius išskaidome pirminiais daugikliais. Po to vieno skaičiaus visą skaidinį parašome pirminiais daugikliais, papildydami jį trūkstamais kitų skaidinių daugikliais. Visų jų sandauga ir bus MBK. 2 p a v y z d y s . Raskime MBK (780, 656). Pirmiausia abu skaičius išskaidome pirminiais daugikliais: 780 2 656 2 390 2 328 2 164 2 195 5 82 2 39 39 41 41 1 1 Tuomet MBK (780, 656) = 2 - 2 - 5 - 39 - 2 - 2 - 41 = 127 920. DBD ir MBK taikomi sprendžiant ir žodinius uždavinius. 3 p a v y z d y s . Trys autobusai 7 h ryto išvažiavo iš aikštelės trimis kryptimis. Pirmasis autobusas grįžo po 2 h 20 min ir vėl išvažiavo po 20 min, antrasis grįžo po 1 h 52 min ir vėl išvažiavo po 8 min, o trečiasis autobusas grįžo po 1 h 36 min ir vėl išvažiavo po 4 min. Kuriuo artimiausiu metu jie vėl kartu išvažiuos iš aikštelės? Sprendimas. Pirmasis autobusas kelionėje ir stotyje iš viso užtruko 2 h 40 min, arba 150 min, antrasis — 2 h, arba 120 min, trečiasis — 1 h 40 min, arba 100 min. Norint sužinoti, kuriuo artimiausiu metu jie vėl kartu išvažiuos iš aikštelės, reikia rasti jų MBK. Taigi visus tris skaičius išskaidome pirminiais daugikliais: 150 = 2 · 3 · 5 · 5; 120 = 2 · 2 • 2 · 3 · 5; 100 = 2 · 2 · 5 · 5.
Dabar apskaičiuojame MBK: MBK (150, 120, 100) = 2 · 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 600. Taigi autobusai vėl kartu išvažiuos po 600 min, arba po 10 h. Vadinasi, tai įvyks 7 + 10 = 17 (h). Ats.: 17 valandą autobusai vėl kartu išvažiuos iš aikštelės.
Realieji skaičiai Natūraliųjų skaičių aibė žymima TV= {1, 2, 3, 4, 5...}. Bet kurį natūralųjį skaičių galima užrašyti jo skyrių suma. Kiekvienas tolesnis skyriaus skaičius gaunamas padauginus prieš jį esantį skyriaus skaičių iš 10. Taigi dviženklis skaičius ab = 10 • a + b\ triženklis skaičius abc = 100 · a + 10 • b + c. Skaitmens vietos skaičiuje lentelė
Vienetai
Dešimtys
Vienetų klasė
Šimtai
Tūkstančiai
Tūkstančių dešimtys
Tūkstančių šimtai
Tūkstančių klasė
Milijonai
Milijonų dešimtys
Milijonų šimtai
M i l i j o n ų klasė
Sveikųjų skaičių aibė žymima Z = {...-5, - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1, 2, 3, 4, 5...}. ~a yra priešingas skaičiui a. Jei a = 7, tai -a = - 7 , o jei a = - 8 , tai -a = 8. Vienas kitam priešingų skaičių suma lygi 0, t. y. a + ( - a ) = 0. Skaičiaus modulis žymimas |cr|. Jo reikšmė: a, kai a > 0, I = 0, kai a = 0, -a, kai a < 0. Skaičiaus modulis parodo, per kiek vienetų skaičių tiesėje skaičius yra nutolęs nuo nulio. Priešingų skaičių moduliai yra lygūs. Racionaliųjų skaičių aibė žymima Q. Racionalieji skaičiai užrašomi trupm 1 mena —; čia m e Z, n e N. Skaičius yra atvirkštinis skaičiui a. n a 1
Vienas kitam atvirkštinių skaičių sandauga lygi 1, t. y.
—
· a = 1. Racio-
nalųjį skaičių galima užrašyti baigtine arba begaline periodine dešimtaine trupmena.
1 P a v y z d ž i a i . - =0,5;
1 - = 0,3333... = 0,(3);
25 — =0,(75).
Iracionaliųjų skaičių aibė žymima I. Ją sudaro skaičiai, kuriuos galima išreikšti begaline neperiodine dešimtaine trupmena. P a v y z d ž i a i . -Jb = 1,732...; π = 3,1415926535...; 0,1010010001...
Realiųjų skaičių aibė žymima R. Ją sudaro racionalieji ir iracionalieji skaičiai. Skaičiaus a išraiška a = b · IOm (1 < |й| < 10, m e Z) vadinama standartine skaičiaus išraiška, o laipsnio rodiklis m — skaičiaus eile. 1 p a v y z d y s . 632 000 000 = 6,32 · IO8; 0,0012 = 1,2 · 10 3 . Du realieji skaičiai a ir b laikomi lygiais (a = b), jeigu jų išraiškos begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis yra vienodos. Realieji skaičiai lyginami pagal šias taisykles: 1) du realieji skaičiai a ir b yra lygūs, jeigu jų skirtumas lygus nuliui (a - b = 0); 2) skaičius a yra didesnis už skaičių b, jeigu jų skirtumas a - b yra teigiamasis skaičius (a - b > 0); 3) skaičius a yra mažesnis už skaičių b, jeigu jų skirtumas a - b yra neigiamasis skaičius (a - b < 0). Realiųjų skaičių lygybėms būdingos tokios savybės: 1) jei a = b ir b = c, tai a = c; 2) jei a = b ir c = d, tai a + c = b + d ir a - c = b - d\ a _b 3) jei a = b ir c = d (c Φ 0), tai ac = bd ir 4) jei a = b, tai a" = b", n e N; 5) jei a = b, tai a + c = b + c ir a - c = b - c; a _ ^ 6) jei a — b ir c Φ 0, tai ac = bc ir — - — . c c
Realiųjų skaičių nelygybių 1) jei a > b ir b > c, tai a 2) jei a > b ir c > d, tai a 3) jei a > b ir c < d, tai a
savybės: > c; + c > b + d\ - c > b - d;
a b 4) jei a > b > 0 ir c > d > 0, tai ac > bd ir — > d c 5) jei a > b, tai a" > b", n e N;
6) jei a > b, tai a + c > b + c ir a - c > b - c; α b 7) jei a > b ir c > O, tai ac > bc ir — > — ; c c a b 8) jei a > b ir c < O, tai ac < bc ir - < - . c
c
P a s t a b a . Išvardytos nelygybių savybės tinka ir vadinamosioms negriežtoms nelygybėms: a > b arba a < b. Skaičiaus apvalinimo iki kurio nors jo skyriaus taisyklės: 1) visus po to skyriaus einančius skaičius paverčiame nuliais; 2) jeigu pirmasis po to skyriaus einantis skaitmuo yra lygus 5 arba didesnis už 5, tai paskutinj paliekamą skaitmenį padidiname vienetu; 3) jeigu pirmasis po to skyriaus einantis skaitmuo yra mažesnis už 5, tai paskutinio paliekamo skaitmens nekeičiame. Rašome: 825 = 830. Ženklas = reiškia „apytiksliai lygu".
SKAIČIAVIMAI Veiksmai su skaičiais Paprastosios trupmenos m Paprastoji trupmena — tai skaičius, kurio išraiška — ; čia m ir n — natūralieji skaičiai. Skaičių m vadiname trupmenos skaitikliu, m n — vardikliu. Kai n = 1, turime trupmeną γ ,
bet dažniau rašome
tiesiog m. Tai reiškia, kad kiekvieną natūralųjį skaičių galima išreikšti m paprastąja trupmena, kurios vardiklis yra 1. Užrašą — galima rašyti ir taip: m : n. Paprastosios trupmenos skirstomos į taisyklingąsias ir netaisyklingąsias. m Trupmeną — , kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadiname tain syklingąja trupmena, o trupmeną, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus — netaisyklingąja. Kiekvieną netaisyklingąją trupmeną galima išreikšti natūraliojo skaičiaus ir taisyklingosios trupmenos suma (arba natūraliuoju skaičiumi, kurio skaitiklis yra vardiklio kartotinis). Natūraliojo skaičiaus ir taisyklingosios trupmenos suma rašoma be sudėties ženklo. Taip parašytą skaičių vadiname mišriuoju. Tokį skaičių
sudaro dvi dalys: sveikoji ir trupmeninė. Kiekvieną netaisyklingąją trupmeną galima parašyti kaip mišrųjį skaičių (arba kaip natūralųjį skaičių). Teisingas ir atvirkščias teiginys: kiekvieną mišrųjį skaičių galima išreikšti netaisyklingąja trupmena. Iš dviejų trupmenų su vienodais vardikliais didesnė yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis. Iš dviejų trupmenų su vienodais skaitikliais didesnė yra ta, kurios vardiklis yra mažesnis. d _ c Dvi trupmenos — ir — laikomos lygiomis, kai ad = bc. b d a am Iš trupmenų lygumo išplaukia, kad trupmenos 7 ir ~— yra lygios, t. y. b bm a _am fu menos ~b~~bm' T P skaitiklį ir vardiklį padauginus ar padalijus iš to paties natūraliojo skaičiaus, gaunama jai lygi trupmena. Si savybė vadinama pagrindine trupmenos savybe. Taikant pagrindinę trupmenos savybę, kartais trupmeną pavyksta pakeisti jai lygia trupmena, tačiau tokia, kurios skaitiklis ir vardiklis mažesni. Tai vadinama trupmenos prastinimu. Jį atliekame trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalydami iš to paties natūraliojo skaičiaus. Bendruoju atveju trupmeną galima suprastinti visada, kai tik skaitiklis ir vardiklis nėra tarpusavyje pirminiai skaičiai. Trupmeną, kurios skaitiklis ir vardiklis yra pirminiai skaičiai, vadiname nesuprastinamąja trupmena. Pagrindinis trupmenos prastinimo tikslas — pakeisti trupmeną jai lygia trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis neturi bendrų daliklių. Pavyzdžiai.
14 _ 14 :7 _ 2 - - — - ψ
36 _ 36 :36 _ 1 72~72Т36~2'
2 15 1 p a v y z d y s . Imkime dvi trupmenas: — ir — . Jų vardikliai nesutamJ
O
pa, 3 * 8 , bet, pritaikius pagrindinę trupmenos savybę, kiekvieną iš tų trupmenų galima pakeisti kita, jai lygia trupmena ir, be to, tokia, kad gautųjų trupmenų vardikliai būtų vienodi. Tokį pertvarkymą vadiname 2 trupmenų bendravardiklinimu. Padauginę trupmenos — skaitiklį ir var15 2-816 diklį iš 8, o trupmenos — skaitiklį ir vardiklį iš 3, gauname: 8
3-8
15 · 3 _ 45 2 15 - — . Taigi trupmenos ~ ir — subendravardiklintos: 8·3
24
3
2^_16 3
_
24'
8
45 8 ~~ 2 4 '
24
Ir apskritai bendrasis vardiklis gali būti kiekvienas skaičius, kuris dalijasi iš 3 ir iš 8. Šie skaičiai vadinami papildomaisiais daugikliais. Vadinasi, trupmenas subendravardiklinti galima daugeliu būdų, bet paprastai stengiamasi imti mažiausiąjį bendrąjį vardiklį, kuris lygus trupmenų vardiklių mažiausiajam bendrajam kartotiniui. Taigi norint subendravardiklinti trupmenas (imant mažiausiąjį bendrąjį vardiklį), reikia: 1) rasti trupmenų vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį; 2) dalijant mažiausiąjį bendrąjį kartotinį iš kiekvieno vardiklio, rasti papildomuosius daugiklius; 3) kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš atitinkamo papildomojo daugiklio. Paprastųjų trupmenų sudėtis atliekama taip: a) jeigu trupmenų vardikliai vienodi, tai prie pirmosios trupmenos skaitiklio" pridedamas antrosios trupmenos skaitiklis, o vardiklis paliekant c a + c mas tas pats: — + — = ; b b b b) jeigu trupmenų vardikliai skirtingi, tai iš pradžių trupmenos subendravardiklinamos (paprastai imamas mažiausiasis bendrasis vardiklis), paskui taikoma taisyklė a). Paprastųjų trupmenų atimtis atliekama taip: a) jeigu trupmenų vardikliai vienodi, tai iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimamas antrosios trupmenos skaitiklis, o vardiklis paliekamas tas pats: a c _a-c b) jeigu trupmenų vardikliai skirtingi, tai iš pradžių trupmenos subendravardiklinamos, po to taikoma taisyklė a). Paprastųjų trupmenų daugyba atliekama taip: a c _ ac ~b"d~M' t. y. atskirai sudauginami skaitikliai, atskirai — vardikliai. Paprastųjų trupmenų dalyba atliekama taip: a c
a d _ad
b d b c bc' a . c d t. y. dalinys ~r dauginamas iš dalikliui — atvirkštinės trupmenos ~ .
Dešimtainės trupmenos Dešimtaine trupmena galima išreikšti taisyklingąją trupmeną, kurios vardiklis lygus 10, 100, 1000 ir apskritai 10". Panašiai galima išreikšti ir mišrųjį skaičių ar netaisyklingąją trupmeną (prieš tai pavertus ją mišriuoju skaičiumi) su minėtais vardikliais. Tada mišriojo skaičiaus sveikoji dalis atskiriama kableliu nuo trupmeninės dalies skaitiklio. Taigi dešimtainė trupmena — tai tik trupmenos, kurios vardiklis 10", kitoks užrašymo būdas. Dešimtaine trupmena galima paversti kiekvieną paprastąją trupmeną, kurios vardiklis yra kurio nors 10 laipsnio daliklis. Taigi paprastąją trupmeną galima paversti dešimtaine trupmena, jeigu trupmenos vardiklio skaidinyje pirminiais daugikliais yra tik dvejetai ir penketai. Jeigu nesuprastinamosios trupmenos vardiklio skaidinyje, be dvejetų ir penketų, yra kitų pirminių daugiklių, tai tos trupmenos negalima paversti dešimtaine. Dešimtainėje trupmenoje po kablelio gali būti bet kiek trupmeninės dalies skyrių: dešimtųjų, šimtųjų, tūkstantųjų, dešimt tūkstantųjų ir t. t. Jeigu prie dešimtainės trupmenos iš dešinės prirašysime vieną ar kelis nulius, tai gausime jai lygią trupmeną. Jeigu dešimtainė trupmena baigiasi vienu ar keliais nuliais, tai juos galime nubraukti — gausime jai lygią trupmeną. Nagrinėjant dešimtaines trupmenas, prireikia reikšminio skaitmens sąvokos. Skaičiaus reikšminiais skaitmenimis vadinami visi jo skaitmenys, išskyrus pradžioje esančius nulius. Dešimtainės trupmenos sudedamos taip, kaip sudedami natūralieji skaičiai, tik jas reikia taip parašyti vieną po kita, kad vienavardžiai skyriai būtų vienas po kitu, kablelis po kableliu. Atimant dešimtaines trupmenas vieną iš kitos, vietoj pliuso ženklo rašomas minuso ženklas ir atliekamas atimties veiksmas. Dešimtaines trupmenas galima dauginti ir neverčiant jų paprastosiomis trupmenomis: tereikia sudauginti skaičius nekreipiant dėmesio į kablelius (kaip natūraliuosius skaičius), po to, skaičiuojant iš dešinės, atskirti kableliu tiek gauto rezultato skaitmenų, kiek jų iš viso yra po kablelio abiejuose daugikliuose. Išnagrinėkime, kaip dešimtainė trupmena dauginama iš 10, 100, 1000 ir t. t. Padauginkime trupmeną 12,733 iš 10. Nekreipdami dėmesio į kablelius, gauname 12733 • 10 = 127330. Dabar atskirkime iš dešinės kableliu tris skaitmenis: 12,733 · 10 = 127,330. Bet 127,330 = 127,33, vadinasi, 12,733 · 10 = 127,33. Todėl, dauginant dešimtainę trupmeną iš 10, užtenka kablelį perkelti per vieną skaitmenį į dešinę.
Apskritai, norint padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000 ir t. t., tereikia toje trupmenoje perkelti kablelį per 1, 2, 3... skaitmenis į dešinę. Daugindami dešimtainę trupmeną iš 0,1, 0,01, 0,001, ...,jos kablelį perkeliame į kairę per tiek ženklų, kiek nulių turi skaičius 0,1, 0,01, 0,001, ... (įskaitant ir sveikųjų nulį). Dalydami dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, atliekame panašų veiksmą, kaip dalydami natūralųjį skaičių iš natūraliojo skaičiaus. Dalmenyje dedame kablelį ten, kur baigiama dalyti sveikoji dalis. Jeigu dalydami dalinio trupmeninę dalį gauname nelygią nuliui liekaną, tai prie jos prirašome reikiamą skaičių nulių ir dalijame tol, kol liekana pasidaro lygi nuliui. Dalinį ir daliklį padalijus ar padauginus iš to paties skaičiaus, dalmuo nepakinta. Dalydami dešimtainę trupmeną iš dešimtainės trupmenos, dauginame dalinį ir daliklį iš tokio dešimties laipsnio, kad daliklis virstų natūraliuoju skaičiumi. Tuomet dalijame naująjį dalinį iš naujojo natūraliojo daliklio. Norint padalyti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, ..., jos kablelį tereikia perkelti į kairę per tiek ženklų, kiek nulių turi skaičius 10, 100, 1000, ...
Dalydami dešimtainę trupmeną iš 0,1, 0,01, 0,001, ..., tos trupmenos kablelį perkeliame į dešinę per tiek ženklų, kiek nulių turi skaičius 0,1, 0,01, 0,001, ... (įskaitant ir sveikųjų nulį). Apskaičiuojant skaitinius reiškinius, taikomi sudėties ir daugybos dėsniai, atimties ir dalybos savybės. Sudėties dėsniai 1. Perstatomumo a + b = b + a
Atimties savybės 1. a — 0 = a
2. Jungiamumo (a + b) + c = a + (b + c)
2. a - a = 0
3. Sudėties su nuliu a + 0 = a Daugybos dėsniai 1. Perstatomumo a • b = b • a 2. Jungiamumo (a • b) • c = a • (b
Dalybos savybės c)
3. Skirstomumo (a + b) • c = a • c + b • c (a - b) • c = a • c - b • c
1. (a • c) : (b • c) = a : b 2. (a : c) : (b : c) = a : b
Jei skaičius a dalijasi iš skaičiaus b, tai a : b = c ir a = b • c. Jei skaičius a nesidalija iš skaičiaus b, tai a : b = c {d liekana) ir a = = b • c + d.
Skaičiuojant svarbi veiksmų tvarka: 1) jei reiškinyje yra tik sudėties ir atimties veiksmai, tai juos atliekame iš kairės į dešinę ta tvarka, kuria jie yra parašyti; 2) jei reiškinyje yra tik daugybos ir dalybos veiksmai, tai juos atliekame iš kairės į dešinę ta tvarka, kuria jie yra parašyti; 3) jei reiškinyje yra daugybos, dalybos, sudėties ir atimties veiksmai, tai pirmiausia atliekame visus daugybos, dalybos veiksmus ta tvarka, kuria jie yra parašyti, paskui —· sudėties ir atimties veiksmus; 4) jei reiškinyje yra skliaustų, tai pirmiausia atliekame veiksmus skliaustuose, paskui — daugybos, dalybos veiksmus, galiausiai — sudėties ir atimties veiksmus iš kairės j dešinę ta tvarka, kuria jie yra parašyti. Paklaidos Turint tam tikro dydžio artinį m, pravartu žinoti, kiek jis skiriasi nuo tikslios dydžio reikšmės x, t. y. kokia yra jo paklaida. Tikslios dydžio reikšmės χ ir jo artinio m skirtumas χ - m vadinamas artinio m paklaida. Pavyzdžiui, skaičių χ = 5,3 keisdami artiniu su trūkumu a = 5, darome paklaidą χ - a = 0,3. Jeigu skaičiaus χ artiniu su pertekliumi laikysime b = 6, tai šio artinio paklaida bus χ - b = - 0 , 7 . Artinio su trūkumu paklaida visuomet yra teigiama (χ - a > 0), o artinio su pertekliumi — neigiama (x - b < 0). Tikslios dydžio reikšmės .r ir jo artinio m skirtumo modulis \x - m\ vadinamas artinio m absoliučiąją paklaida. Absoliučioji paklaida žymima graikiška raide Δ (delta). Išnagrinėtame pavyzdyje Δ = \x ~ Й| = 0 , 3 ir Δ = \x - b\ = | - 0 , 7 | = 0 , 7 . Artinys su trūkumu — skaičius 5 — yra geresnis, nes jis mažiau skiriasi nuo skaičiaus Χ = 5,3. Apskritai geriausias artinys yra tas, kurio absoliučioji paklaida yra mažiausia. Nustatant artinio absoliučiąją paklaidą, reikia žinoti tikslią dydžio reikšmę. O ką daryti, kai ji nežinoma? Išnagrinėkime pavyzdį. Sakykime, kad žinome atkarpos ilgio χ (cm) rėžius: 5 < χ < 6. Atkarpos ilgio (cm) artinys gali būti skaičius 5 arba skaičius 6, arba bet kuris kitas skaičius, esantis tarp jų. Paprastai artiniu imamas rėžių aritmetinis vidurkis. Todėl atkarpos ilgio artiniu laikysime skaičių 5,5. Nežinodami tikslios χ reikšmės, negalime apskaičiuoti ir šio artinio absoliučiosios paklaidos. Tačiau aišku, kad χ reikšmė negali skirtis nuo 5,5 daugiau negu 0,5, t. y. artinio 5,5 absoliučioji paklaida nebus didesnė už skaičių 0,5 (pusę rėžių skirtumo). Artinys, kurio absoliučioji paklaida yra ne didesnė už skaičių h, vadinamas artiniu h tikslumu.
Nagrinėtame pavyzdyje skaičius 5,5 yra atkarpos ilgio (cm) artinys 0,5 tikslumu. Tarkime, kad .v — tiksli dydžio reikšmė, m — jos artinys h tikslumu. Vadinasi, teisinga nelygybė \x - m\ < h, m - h < χ < tn + h. Sutrumpintai visa tai užrašoma taip: χ = m ± h, o skaitoma ,,χ lygus m h tikslumu". Kartais h dar vadinamas absoliučiosios paklaidos rėžiu, nes \x - m\ = = Δ < h. Su tikslumo sąvoka susijusi skaitmens patikimumo sąvoka. Skaičiaus artinio kurio nors skyriaus skaitmuo vadinamas patikimu, jeigu artinio absoliučioji paklaida yra ne didesnė už šio skyriaus vienetą. 1 p a v y z d y s . Sakykime, χ = 6,38547 ± 0,005. Skaičiaus χ artinio 6,38547 šimtųjų skyriaus skaitmuo 8 yra patikimas, nes absoliučiosios paklaidos rėžis h = 0,005 yra ne didesnis už šimtųjų skyriaus vienetą (nelygybė 0,005 < 0,01 teisinga). Akivaizdu, kad ir skaitmenys 3 bei 6, esantys į kairę nuo 8, yra patikimi (nelygybės 0,005 < 0,1 ir 0,005 < 1 taip pat teisingos). Apie skaitmenis 5, 4 ir 7 negalime pasakyti, kad jie yra patikimi (pavyzdžiui, nelygybė 0,005 < 0,001 neteisinga). Artiniu tikslumas dar nenusako matavimo arba skaičiavimo kokybės. Ją nusako santykinė paklaida. Artinio absoliučiosios paklaidos ir artinio modulio santykis vadinamas artinio santykine paklaida. Jeigu χ — tiksli tam tikro dydžio reikšmė, m Φ 0 — j o s artinys, tai artinio santykinė paklaida lygi —:—.—. Ji žymima graikiška raide ω (omega). \m\ Pavyzdžiui, suapvalinę skaičių 1,53 iki dešimtųjų, gauname artinį, lygų 1,5. Apskaičiuojame santykinę paklaidą: \x-m\ i 1 [1,53-1,5| 0 03 1 χ =1,53; m = 1,5; TT = , , ' = — = 0,02. IH M 1,5 Suapvalinę tą patį skaičių iki vienetų, gauname artinį, lygų 2. Jo santykinė paklaida
Įl,53-21
—— — =
0,47
— = 0,235. Ix -
Santykinė paklaida dažnai reiškiama procentais:
1
m\1
I O O %. Išnagrim nėtame pavyzdyje pirmuoju atveju apvalinimo santykinė paklaida yra 2 %, o antruoju — 23,5 %.
Procentai ι
Procentu vadiname vieną šimtąją skaičiaus dalį, t. y. 1 % =
. 1
Promile vadiname vieną tūkstantąją skaičiaus dalį, t. y. 1 %o =
.
A Dviejų skaičių A ir B procentinis santykis X = — • 100 %. B Sakinys „ p % skaičiaus a yra skaičius й" reiškia, kad skaičiai a ir b sudaro atitinkamai 1 0 0 % ir p %. Todėl sužinoti 1 % galima dviem būdais: a dalijant iš 100, arba b dalijant iš p. Vadinasi: a : 100 = b : p. (1) Žinodami du iš trijų (1) proporcijos skaičių a, b ir p, galime rasti trečiąjį skaičių. Remiantis tuo, sprendžiami trijų tipų procentiniai uždaviniai, kuriuose reikia: 1) apskaičiuoti p % skaičiaus я; 2) rasti skaičių, kurio p % lygu skaičiui b; 3) sužinoti, kiek procentų skaičiaus a sudaro skaičius b. Visus tris uždavinius sprendžiame, rasdami atitinkamą (1) proporcijos narį: 1) b = {a • p) : 100 = (,a : 100) • p\ 2) a = {b • 100) : p = {b : p) • 100; 3) p = (b • 100) : a = (b : a) : 100.
ALGEBRA Algebriniai reiškiniai Skaičių, kintamųjų ir jų laipsnių sandaugos vadinamos vienanariais. Skaičius, esantis prie kintamojo, vadinamas koeficientu. P a v y z d ž i a i . Skaičius — 8, kintamasis — k, kintamasis, pakeltas laipsniu — χ4, skaičiaus ir kintamųjų sandauga -— labc. Vienanarių algebrinė suma vadinama daugianariu. 1 p a v y z d y s . 2,5ab + cd. Algebrinį reiškinį, kurį sudaro kintamieji ir skaičiai ir kuriame vartojami sudėties, atimties, daugybos, kėlimo natūraliuoju laipsniu ir dalybos, kai dalijama iš skaičiaus arba iš reiškinių su kintamaisiais, veiksmai, vadiname racionaliuoju reiškiniu. a2+ 3 P a v y z d ž i a i . 5ab + cd"-, (a + l)_ab-
Tapatieji daugianarių pertvarkiai Tapatieji daugianarių pertvarkiai gali būti tokie: 1) panašių narių sutraukimas, pavyzdžiui, 2a - 3b + a + 2b = 3a - b\ 2) atskliautimas, pavyzdžiui, 4(x - 1) = 4x - 4; 3) bendrojo daugiklio iškėlimas prieš skliaustus, pavyzdžiui, 5p + IOq - 5 = 5(p + 2q - 1); 4) vienanario dauginimas iš dvinario, pavyzdžiui, 3 α(α + 2b) = 3 a2 + 6 ab\ 5) dviejų daugianarių daugyba, pavyzdžiui, (3α + 2)(4a 2 - 2a + 3) = 12a 3 - 6a 2 + 9a + 8a 2 - 4a + 6 = = 12a 3 + 2 a 2 + 5a + 6; 6) jei prieš skliaustus yra minusas, atskliaudžiant kiekvieno vienanario ženklas keičiamas priešingu, pavyzdžiui, (ab - 3) - (45a + 2b) = ab - 3 - 45a - 2b. Veiksmai su racionaliosiomis trupmenomis 1. Trupmenų prastinimas, pavyzdžiui, 5x
_
5x
_
5
2
χ +6x x(x + 6) χ+ 6 2. Racionaliojo reiškinio reikšmės radimas, kai žinomos jo kintamųjų reikšmės, pavyzdžiui, (3a + 3b)
6
..
r
,
„
: cia a = 5, b = 7.
Pirmiausia reiškinį suprastiname: (3a + 3b) _3(a + b) _(a + b) 6
~
6
2
Įrašę α = 5 ir b = 7, gauname a + b_ 5 + 7 _ 6 2 3. Trupmenų daugyba, pavyzdžiui, (2 — a) 2
(2-q)2-2(a-5)
_2(2-q)
α ( α - 5 ) ( 2 - α ) ( 2 + α)
α(2 + α ) '
2a —10 _
2
2
(a -5a)
4-a
4. Trupmenų dalyba, pavyzdžiui, α — 3 4α — 1 2 _ q —3 2
4b '
b
3
~ 46
2
b3
_
(a-3)-b3 2
4 α - 1 2 ~ 4i> ·4(α —3)
_ b _
16
5. Trupmenų su vienodais vardikliais sudėtis, pavyzdžiui, 3^x-6_3 + (x-6)_3 + x-6_x-3
6. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėtis, pavyzdžiui, 24"6
2(jc + 6) + j t ( j c - 2 ) _ 2 x + 12 + x 2 - 2 x _ 12 + x 2
|
X
Χ+ 6
x(x + 6)
x(x + 6)
x(x + 6)
7. Trupmenų su vienodais vardikliais atimtis, pavyzdžiui, 7 + χ _ 5 + 2x _ (7 + x) - (5 + 2x) _ 7 + x - 5 - 2 x _ 2 - х _ _ x-2 x—2
x-2
χ —2
x-2
χ —2
_ _
x —2
8. Trupmenų su skirtingais vardikliais atimtis, pavyzdžiui, х-74*"7 3
x - 7 ^ _ ( x - 7 ) ( x - 7 ) - 3 ( x - 7 ) _ ( x - 7 ) ( x - 7 - 3) x-7 ~
3(x-7)
~
3(x-7)
=
~
x-10 3
Greitosios daugybos formulės (a + b)(a - b) = a1 - A2; (α ± bУ = a 2 ± 2ab + b2; a3 + b3 = (a + b)(a2 - а й + ft2); a 3 - ft3 = (a - ft)(a2 + aft + ft2); (а ± ft)3 = я3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b3. P a v y z d ž i a i . Apskaičiuokite: 1) (a + = a3 arba + 2a
I) 3 - (a + 3a 2 + 3a (a + 1 - a + 1 + a2 -
I) 3 = (a 3 + 3a 2 + 1 - a 3 + 3a 2 + l)((a + I) 2 + 1 + a 2 - 2a +
+ 3a + 1) - (a 3 - 3a 2 + 3a - 1) = - 3a + 1 = 6a 2 + 2 = 2(3a 2 + 1) (a + l)(a - 1) + (a - I) 2 ) = 2(a 2 + 1) = 2(3a 2 + 1).
2) m 6 - / ? 6 _ (w 3 ) 2 - ( и 3 ) 2 _ (/и3 -n 3 )(/w 3 + л 3 ) m2 - « 2
W2 - л 2
=
(от - h)(/w + n)
_(m — n){m2 + »м + /г2 )(/и + n)(m2 - mn + n1) _ (m — n)(m + n) = (m2 + n2 + mri)(m2 + n2 - mn) = (m2 + n2)2 -
m2n2.
Lygtys Tapatybe vadinama lygybė, kuri yra teisinga su visomis į ją įeinančių kintamųjų leistinosiomis reikšmėmis. Lygtimi vadinama lygybė, kurioje yra kintamasis. Nežinomuoju vadinamas kintamasis, galintis įgyti įvairias reikšmes.
Lygties sprendiniu vadinama nežinomojo reikšmė, su kuria lygtis tampa teisinga skaitine lygybe. Nežinomojo leistinųjų reikšmių sritimi vadinama aibė kintamojo reikšmių, su kuriomis lygtis turi prasmę. Ekvivalenčiosiomis lygtimis vadinamos lygtys, turinčios tuos pačius sprendinius (arba neturinčios sprendinių). Pagrindiniai ekvivalentieji lygčių pertvarkiai 1) Prie abiejų lygties pusių galima pridėti arba iš abiejų pusių atimti tą patį skaičių arba reiškinį (turintį prasmę su bet kuriomis nežinomojo reikšmėmis); 2) abi lygties puses galima dauginti arba dalyti iš to paties, nelygaus nuliui skaičiaus arba reiškinio (turinčio prasmę su bet kuriomis nežinomojo reikšmėmis). Lygtis, sudaryta iš racionaliųjų reiškinių, vadinama racionaliąja lygtimi. P a v y z d ž i a i . Ix2 + 3x = 4;
^3-I
,
= 1•
χ -1 Tiesinės ir kvadratinės lygtys yra paprasčiausios racionaliosios lygtys. Tiesine lygtimi su vienu nežinomuoju vadiname lygtį ax = b; čia a ir b — realieji skaičiai. Skaičius a vadinamas kintamojo koeficientu, b — laisvuoju nariu. Galimi trys tiesinės lygties ax = b sprendimo atvejai: b 1) α Φ 0; tada lygties sprendinys lygus — ; 2) a = 0, b = 0; tada lygtis virsta 0 · χ = 0, o tokia lygybė teisinga su kiekvienu x; 3) a = 0, b Φ 0; tada lygtis virsta 0 • χ = b ir neturi sprendinių. Tiesine lygtimi su dviem nežinomaisiais vadiname lygtį, kurios užrašas yra ax + by = c; čia χ ir y — nežinomieji, a, b ir c — skaičiai. Lygties su dviem nežinomaisiais sprendiniu vadinama tokia nežinomųjų reikšmių pora, kuri paverčia tą lygtį teisinga skaitine lygybe. Kvadratine lygtimi vadiname lygtį, kurią galima užrašyti taip: ax2 + + bx + c = 0; čia χ — nežinomasis, a, b, c — realieji skaičiai ir a Φ 0. Kai a = 1, tai kvadratinę lygtį vadiname redukuotąja, kai a Φ I, — neredukuotąja. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, b — antruoju koeficientu, c — laisvuoju nariu. Jei kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 nė vienas iš koeficientų nelygus nuliui (b Φ 0 ir c Φ 0), tai ji vadinama pilnąja kvadratine lygtimi.
Jei kvadratinės lygties ax2 + bx + c = O bent vienas iš koeficientų b, c yra lygus nuliui (b = O arba c = 0), tai tokia lygtis vadinama nepilnąja kvadratine lygtimi. Sprendinių skaičius
Lygties išraiška
ax1 + c = 0
Sprendiniai
Kai α ir c ženklai skirtingi, yra du sprendiniai Kai α ir c ženklai vienodi, sprendinių nėra
—
Du
αχ- + bx = 0 αχ2 = 0
x,=0; X 2 = - * а x=0
Vienas
Dvinario kvadrato išskyrimas αχ2 + bx + c — a χ —a
ίί b cΛ +-X+- = α χ +2 a a
,
b Y χ +— 2a
4ac-b
ι
b
2 α
I
л
4α-
2 <Ъ'
4а
4
с а
Aac-b
b V = аf χ + —
4а 2
b2
χ+
2a)
4а
Diskriminantas. Kvadratinės lygties sprendinių formulė Turime kvadratinę lygtį ax1 + bx + c - 0. Padalijame visus lygties narius iš а: 2 b χ +-χ a 2 b Iš trinario x~+-x а
c n + -= 0. a
c + ~ išskiriame dvinario kvadratą: а
b 2 b C T +f b λ χ' + — χ + — = χ2 + 2 - х 2a а a V 2a
2 —
—
2a J
V
dvinario kvadratas V Gavome lygtį
χ+2a
,2 b1 - 4 ac 4a2
C
f b t
= 0.
/
+
-
a
=
iX+ — M 2 2a V /
b2
-4ас 4 а2
b2
-4ас
vardiklyje yra reiškinys 4я 2 . Kadangi a Φ O, tai 4a 2 4 аvisada teigiamas. Vadinasi, trupmenos ženklas priklauso nuo skaitiklio ženklo. Skaitiklyje yra reiškinys b2 - 4ac. Sis reiškinys gali būti tiek teigiamas, tiek neigiamas, tiek lygus nuliui. Reiškinys b2 - 4ac vadinamas kvadratinės lygties diskriminantu ir žymimas raide D. Trupmenos
Perrašome lygtį:
X +
D
= 0.
4a2 Nuo diskriminanto ženklo priklauso lygties sprendinių skaičius. Kai D < 0, tai lygtis bus tokia: 2a
\2 X+-
+ teigiamasis skaičius = 0. 2a Ši lygtis sprendinių neturi. Kai D = 0, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (du lygius sprendinius): \2
0
b χ+ —
2
2a
4a
X +
= 0,
= 0,
2a
b
χл
2a
= 0,
χ=
b 2a
.
Kai D > 0, lygtis turi du sprendinius. Kairiąją lygties pusę išskaidykime daugikliais: \
2
(
b
JD
X +
2a
2a
V
D
χ+
4? b χ+— 2a
\2
= 0,
VrD \ +
2a
χ +
0,
-0,
2a
2a
/
χH
2a
\
/
b + yjD = 0. χ +2a
v
Iš čia gauname: b-yfP
X+-
=0
arba
X+
2a
b-Vd
X, =--b
2a
' '
2a
X, = -
+ Vd 2a
/>+VD
= 0,
b+Vd 2a
-ь-JD X2
2a
2
Taigi kvadratinės lygties ax + bx + c = 0 sprendinius galima rasti pagal formules: -b+ Jb1 2a
-Aac
-b-Jb1
-4 ac 2a
Kai b = 2k (ax2 + 2kx + c = 0), formulės virsta tokiomis: -v, =
-2k + JAk2 -Aac
_ -2k + y]4(k2 - ас) _-2k
2а
+
2а
+ Jk 2
_ 2{-к
2-Jk
2
ас
2а 2
ас) _ -к + Jk
- ас ,
2а
-2к - JAk χ, = 2а
2
_ -2к - ^4(к2-ас)
-4ас
_-2k-2-Jk
2а 2
ас
2а 22
_ 2(-к - yjk -ас)
2
_ -к- у[к~'-
2а
• ас
а
Vieto teorema Jei redukuotoji kvadratinė lygtis χ2 + px + q = O turi du sprendinius, tai jų suma lygi lygties koeficientui prie χ su priešingu ženklu, o sprendinių sandauga lygi laisvajam nariui. Įrodymas. Ieškome redukuotosios kvadratinės lygties x2 + px + q = O sprendinių. Šios lygties diskriminantas D = p2 - Aq > 0. Lygtis turi du sprendinius: X,
'
=
-p-yfD
ir
2
-p+
X,
2
JD 2
.
Raskime sprendinių sumą ir sandaugą: χ, +x?2 =
-P-JD
'
+
2
-P-Jd
=
2
JD J-РУ-(JD)2
-p+
2
-p+JD
2 2
=
4 -
2
P -(P -Aq) A
-2p 2
= -p; 2 =p
-D_
4
4q_
=
4
Gavome: + Xx
= -P'
- X1 =
q.
P a s t a b a . Kai D = O, galima sakyti, kad redukuotoji kvadratinė lygtis turi du lygius sprendinius, tad Vieto teoremą galima taikyti ir šiuo atveju.
Atvirkštinė Vieto teorema Jei skaičių m ir n suma lygi -p, o jų sandauga lygi q, tai šie skaičiai yra lygties x2 + px + q = O sprendiniai. Įrodymas. Pagal sąlygą m + n = -p, o m • n = q. Vadinasi, lygtį x2 + px + q = O galima užrašyti taip: χ2 — {m + n) • χ + mn = 0. Patikrinkime, ar skaičiai m ir n yra šios lygties sprendiniai. Vietoj χ įrašę skaičių m, gauname: m2 - (m + n) • m + mn = m2 — m2 — mn + mn = 0. Vadinasi, skaičius m yra lygties sprendinys. Vietoj χ įrašę skaičių n, gauname: n2 — (m + ri) • n + mn = n2 — n2 — mn + mn = 0. Vadinasi, skaičius n taip pat yra lygties sprendinys. Lygtis αχ 4 + bx2 + с = O, kurios α Φ O, vadinama bikvadratine lygtimi. Bikvadratinės lygtys sprendžiamos naujo kintamojo įvedimo metodu: pažymėjus x 2 = y, vėl gaunama kvadratinė lygtis ay2 + by + c = 0. Suradus y reikšmes, apskaičiuojamos jas atitinkančios χ reikšmės. Jei yx > 0 ir y2 > O, bikvadratine lygtis turi 4 sprendinius; jei viena iš y reikšmių yra neigiama, lygtis turi 2 sprendinius; jei abi y reikšmės yra neigiamos arba lygties ay2 + by + c = O D < O, bikvadratine lygtis sprendinių neturi. Lygtis
A(x)
= O, kurios A(x), B(x) yra daugianariai, vadinama trupmeniB(x) ne racionaliąja lygtimi. Ją sprendžiame perrašydami lygtį tokia sistema: \A(x) = 0, [B(x) Φ 0. 1 pavyzdys.
Зх + 14 χ - 5 r -4, x-3
χ
(3x + l)x + (x - 5)(x - 3) = 4x(x - 3), χ Ψ O ir χ Φ 3, 3x2 + χ + χ 2 - 8x + 15 = 4x2 - 12x, 5x = - 1 5 , Ats.: χ = - 3 .
χ = -3.
Uždavinių sprendimas sudarant lygtis Uždavinių sprendimo sudarant lygtis bendroji tvarka: 1) įvedamas kintamasis, t. y. raidėmis x, y, z pažymimi nežinomieji dydžiai, kuriuos reikia rasti uždavinyje arba kurių prireikia ieškant nežinomų dydžių; 2) naudojantis įvestais kintamaisiais ir uždavinyje duotais skaičiais bei jų sąsajomis, sudaroma lygčių sistema (arba lygtis); 3) sprendžiama sudaryta lygčių sistema (arba lygtis), po to atrenkami sprendiniai, tinkantys pagal uždavinio prasmę. 1 p a v y z d y s . Ar galima tam tikro ilgio vielą sukarpyti į tris vienodo ilgio virbalus taip, kad, vieną sutrumpinus metru, o kitą — dviem metrais ir sujungus j ų galus, susidarytų statusis trikampis? Jeigu galima, tai kokio ilgio ta viela turėtų būti? Sprendimas. Sudarome (χ X2 + X2 D = χ, = x2 =
Tarkime, vieno virbalo ilgis — χ m. lygtį: 2) 2 + (x - I) 2 = χ 2 , χ 2 - 4x - 2x + 5 = χ 2 , 6x + 5 = O, 36 - 20 = 16, 1 (netinka), 5 (m).
Taigi bendras vielos ilgis lygus 3 · χ = 3 · 5 = 15 (m). Ats.: vielos ilgis lygus 15 m. 2 p a v y z d y s . Du darbininkai turi nupjauti futbolo aikštės veją. Dirbdami kartu, jie gali nupjauti veją per 4 valandas. Pirmasis darbininkas, dirbdamas vienas, nupjautų veją 6 valandomis greičiau negu antrasis. Per kiek valandų pirmasis darbininkas nupjautų futbolo aikštės veją? Sprendimas. Tarkime, antrasis darbininkas veją nupjaus per χ valandų, 1
tuomet per 1 valandą jis atliks — darbo dalį. Pirmasis darbininkas veją nupjaus per χ - 6 valandas, taigi per 1 valandą 1
jis atliks ——~ darbo dalį. 1
Kadangi abu per 1 valandą atliks — darbo dalį, tai sudarome lygtį: I
χ
i
1
χ —6
_ 1
4
Sprendžiame ją: Ux - 24 + 4x = χ2 - 6x, [χ Φ O, χ Φ 6, 4x - 24 + 4x = x2 - 6x, χ2 - \4x + 24 = O, D = 100, Xi = 12, X2 = 2 (netinka), χ = 12, χ - 6 = 6.
Ats.: pirmasis darbininkas nupjaus veją per 6 valandas.
Nelygybės Du reiškinius f(x) ir g(x) sujungus ženklais „< ", „ >", „ < " ir „ > ", gaunama nelygybė. Nelygybės j(x) > g(x) apibrėžimo sritis yra reiškinių /(x) ir g(x) apibrėžimo sričių sankirta. Nelygybės sprendiniu vadinama jos apibrėžimo srities kintamojo reikšmė, su kuria nelygybė yra teisinga. Išspręsti nelygybę reiškia rasti jos sprendinių aibę. Dvi nelygybės, kurių sprendinių aibės sutampa, vadinamos ekvivalenčiosiomis toje aibėje. Ekvivalentieji nelygybių pertvarkiai 1. Jei vienos arba abiejų nelygybės pusių reiškinius tapačiai pertvarkysime (nepakeisdami apibrėžimo srities), tai gausime nelygybę, ekvivalenčią pradinei. 2. Jei kurį nors dėmenį perkelsime iš vienos nelygybės pusės į kitą, pakeisdami jo ženklą priešingu, gausime nelygybę, ekvivalenčią pradinei. 3. Jei abi nelygybės puses padauginsime arba padalysime iš to paties teigiamo skaičiaus, tai gausime nelygybę, ekvivalenčią pradinei. 4. Jei abi nelygybės puses padauginsime arba padalysime iš to paties neigiamo skaičiaus ir nelygybės ženklą pakeisime priešingu, tai gausime nelygybę, ekvivalenčią pradinei.
Nelygybių sistemos Nelygybių sistemas, turinčias tuos pačius sprendinius, vadiname ekvivalenčiosiomis nelygybių sistemomis. Norint išspręsti nelygybių sistemą, reikia rasti kiekvienos nelygybės sprendinius ir iš jų išrinkti tuos, kurie yra bendri abiem sistemos nelygybėms. Jei nors viena sistemos nelygybių sprendinių neturi, tai jų neturi ir visa sistema. Kartais nelygybių sprendinys gali būti tik vienas skaičius. fix) >O arba - — < 0 , g(x) g(x) pakeičiant jas nelygybių sistemomis. Nelygybės, kurių išraiška yra
Nelygybė
fix)
sprendžiamos
f i x ) > 0 keičiama sistema g(x) 7 w > 0 ,
g(x)>0,
[ / ( * ) < 0, arba
[g(x) < 0 .
fix) Nelygybė
< 0 keičiama sistema g00
f (χ) > 0 , g(x) < 0,
J / ( x ) < 0, arba
U(x) >0.
Skaičių sekos Skaičių sekos ir jų reiškimo būdai Skaičių aibė X, kurioje apibrėžta skaitinio argumento funkcija f , gali būti bet kokia. Tuo atveju, kai ji sutampa su natūraliųjų skaičių aibe N, funkcija vadinama skaičių seka. Skaičių seka vadinama skaitinė funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje N. Kai funkcija / yra skaičių seka, vietoj J(n) dažniausiai rašoma an, o pati seka žymima simboliu (a (l ). Skaičiai a „ ..., an, ... vadinami sekos nariais. Nurodant seką, jos я-tasis narys dažnai išreiškiamas kintamuoju n. 1 p a v y z d y s . Parašysime penkis pirmuosius sekos ( a j narius, kai an =
-
1.
Sprendimas. Šiuo atveju: a, = I 3 - 1 = 0; a2 = 2 3 - 1 = 7; a 3 = 3 3 - 1 = 26; A1 = 4 3 - 1 = 63, a 5 = 5 3 - 1 = 124, todėl penki pirmieji šios sekos nariai yra skaičiai: 0, 7, 26, 63, 124.
Beje, šie penki skaičiai vienareikšmiškai neapibrėžia reiškinio n3 - 1, iš kurio jie yra gauti. Tuos pačius skaičius gautume, pavyzdžiui, ir iš reiškinio H3 - 1 + (n - 1)(« - 2) (n - 3)(n - 4) (n - 5). Todėl, žinodami keletą pirmųjų sekos narių, galime surasti tik vieną iš formulių, apibrėžiančių šią seką. Seka apibrėžiama ne tik formule, išreiškiančia an kintamuoju n, bet ir rekurentiškai. Taip vadinamas būdas, kai sekos /г-tasis narys išreiškiamas (n - l)-uojū, ..., (n - A')-tuoju nariu; čia k — fiksuotas skaičius. Apibrėžiant seką šiuo būdu, be formulės, išreiškiančios «-tąjį sekos narį prieš jį esančiais nariais, dar reikia nurodyti k pirmųjų sekos narių. Pavyzdžiui, aritmetinė progresija, kurios skirtumas d, apibrėžiama rekurenčiąja formule an = an , + d. Norint visiškai nusakyti šią progresiją, dar reikia pateikti pirmąjį jos narį a,. Geometrinė progresija, kurios vardiklis ų, irgi apibrėžiama rekurenčiąja formule bn = bn_, · q. 2 p a v y z d y s . Kiekvienas sekos narys, pradedant trečiuoju, lygus dviejų prieš jį esančių narių sumai, t. y. an = an. 2 + an _ „ n > 3. Rasime šešis pirmuosius jos narius, kai šios sekos pirmieji du nariai yra α, = O ir Ci1 = 1. Sprendimas. Pagal sąlygą, α3 = a, + a2 = O + 1 = 1, aĄ = a2 + a 3 = 1 + 1 = 2, a5 = a 3 + a4 = 1 + 2 = 3, ae = a4 + as = 2 + 3 = 5. Seka, apibrėžiama rekurenčiąja formule an = an. sąlygomis a, = O ir CI
LL
=
2
+ an _, ir pagrindinėmis
1, vadinama Fibonačio seka. Galima įrodyti, kad
bendrasis šios sekos narys išreiškiamas formule (i, =-
i + Vš
1--JŠ V
V -I Λ
2
Sekų, apibrėžiamų rekurenčiosiomis formulėmis, pasitaiko daugelyje matematikos sričių. Pavyzdžiui, norint apytiksliai ištraukti kvadratinę šaknį, sudaroma rekurentiškai apibrėžta seka. Apskaičiuojant Va, imamas bet kuris teigiamasis skaičius Xi ir sudaroma seka Jt1, x2, ..., x„, ...; čia Χ,,λ.1
X..+-
Didėjančioji ir mažėjančioj! seka Seka ( a j , kurios kiekvienas narys (pradedant antruoju) yra mažesnis už prieš jį einantį narį, vadinama mažėjančiąja seka, t. y. a
n > an+v Seka (a„), kurios kiekvienas narys (pradedant antruoju) yra didesnis už prieš jį einantį narį, vadinama didėjančiąja seka, t. y. >
α
η·
Didėjančios arba mažėjančios sekos vadinamos monotoninėmis sekomis. Pavyzdžiai. 1. Seka
_ 1
a
„ ~ ~ yra mažėjanti, nes а - я „ и = n n t- У· α, > αη+\·
2. Seka
a =
Ъп-\ n
yra
didėjanti,
nes
a
1
1
1
= >0, /7 + 1 /7-(/1+1)
_ 3/7 + 2 „+\~a„: /7 + 1
3/7 - 1 _ /7
1 /7.(/7 +
1)
>
0
'
3. Nemonotoninė seka: 0; 1; 0; 1; 0; 1; ... Aprėžtoji ir neaprėžtoji seka Seka (an) yra aprėžta iš viršaus, jei galima rasti tokį skaičių M, kad su kiekvienu /7 yra teisinga nelygybė an < M. Seka (an) yra aprėžta iš apačios, jei galima rasti tokį skaičių //;, kad su kiekvienu n yra teisinga nelygybė an > m. Seka (a„), kuri yra aprėžta ir iš viršaus, ir iš apačios, vadinama aprėžtąja seka. Visi aprėžtosios sekos nariai tenkina lygybę m < an < M. Priešingu atveju ji vadinama neaprėžtąja seka. 1 p a v y z d y s . Seka 1; —; — ...; --;... yra aprėžtoji, nes ji aprėžta ir iš 2 3; viršaus ( M = 1), ir iš apačios (m = 0), t. y. 0 < —<1. /7
Aritmetinė progresija Aritmetine progresija vadinama skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus prieš jį einančiam nariui, sudėtam su tuo pačiu skaičiumi.
Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir žymimas raide d. Iš apibrėžimo išplaukia, kad d = A2 - α, = A3 - a2 = ... = an - an ι = ... Norint apibūdinti aritmetinę progresiją (a n ), pakanka žinoti jos pirmąjį narį a, ir skirtumą d. Pavyzdžiui, jei a, = 1 ir d = 2, tai turime progresiją 1; 3; 5; ... Kai d > O, aritmetinė progresija yra didėjanti seka, kai d < O — mažėjanti seka. Kai d = O, visi jos nariai lygūs ir progresija yra pastovi seka. Aritmetinės progresijos ( a J я-tasis narys išreiškiamas formule An = α, + d(n - 1). Aritmetinės progresijos narių savybės: 1. Bet kuris aritmetinės progresijos narys, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį, a ,+ a ι yra jo gretimų narių aritmetinis vidurkis: an = "— " . 2. Baigtinės aritmetinės progresijos (c/,, a2, a}, ..., cin_2, an_v я л ) narių, vienodai nutolusių nuo jos pradžios ir galo, sumos yra lygios: a, + an = Ci2 + a,= аъ + an , = ... Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė: Sn =
a
^ - n . 2 Šioje lygybėje vietoje an parašę α, + d(n - 1), gauname kitą aritmetinės Ial
progresijos narių sumos iormulę: Sii
+d(n-\)
.
1 p a v y z d y s . Laisvai krintantis kūnas pirmąją sekundę nukrinta 4,9 m, o kiekvieną tolesnę sekundę — 9,8 m daugiau negu prieš tai buvusią. Iš tam tikro aukščio buvo paleistas kristi vienas kūnas, o po 5 s iš to paties aukščio buvo paleistas kristi kitas kūnas. Ar po 7 s atstumas tarp jų bus lygus 220,5 m? Atsakymą pagrįskite. Duota: a, = 4,9 m, d = 9,8 m, «i = V s, n2 = 7 s - 5 s = 2 s. Rasti: Si-S2 = 220,5 m. Sprendimas. Naudodamiesi aritmetinės progresijos л-tojo nario ir narių sumos formulėmis, raskime ani ir S1: an] = a, + («, - \) • d, a n] = 4,9 + (7 - 1) · 9,8 = 4,9 + 6 · 9,8 = 63,7, (fl,+
>
=
(4,9 + 63,7)-7
=
68,6-7 _ 2 1 ( ) Д
Pagal tas pačias formules apskaičiuokime an2 ir S2: a
,a
=
a
\
+
1
("2 -
K
a n2 = 4,9 + (2 - 1) · 9,8 = 4,9 + 9,8 = 14,7, _ (а, +Д д 2 )я 2 ^2"
2
'
„ (4,9 + 14,7)-2 S2 = — ^ ^ = 4,9 + 14,7 = 19,6, Si-S2
= 240,1 - 19,6 = 220,5.
Ats.: taip, po 7 s laisvo kritimo kūnai bus nutolę vienas nuo kito per 220,5 m.
Geometrinė progresija Skaičių seka, kurios pirmasis narys nelygus nuliui, o kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus prieš jį esančiam nariui, padaugintam iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus, vadinama geometrine progresija. Sis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu ir žymimas raide q (q Φ 0). Pagal geometrinės progresijos (bn) apibrėžimą, b2 = · ą\ Ъъ = Ъ2 · q\ ...; bn = bn , · q. Norint apibūdinti geometrinę progresiją (bn), pakanka žinoti jos pirmąjį narį b{ ir vardiklį q. 1 p a v y z d y s . Jei bt = 1 ir q =
1
turime geometrinę progresiją:
1· - • i — • ' 2' 4 ' - 2 " ' -
Kai q > 0, geometrinė progresija yra didėjanti seka, kai 0 < q < 1 — mažėjanti seka. Jei q > 0 (q Ψ 1), geometrinė progresija yra monotoninė seka. Jei <7 = 1, visi progresijos nariai lygūs. Šiuo atveju geometrinė progresija yra pastovi seka. Kai q < 0, progresijos nariai pakaitomis keičia ženklą. Geometrinės progresijos (bn) л-tasis narys išreiškiamas formule b„ = Λ, · q"~\ Geometrinės progresijos narių savybės: 1. Bet kuris geometrinės progresijos, sudarytos iš teigiamų skaičių, narys, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį, yra lygus jo gretimų narių geometriniam vidurkiui:
b„=Jb„_rbn+].
2. Baigtinės geometrinės progresijos (bt, b2, Ь} ... bn 2, bn ,, b„) narių, vienodai nutolusių nuo jos pradžios ir galo, sandaugos yra lygios: Ь
\ • Ьп = b2 • bn 1 = bJ • Ьп-2 =
-
Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma q-1 Šioje lygybėje vietoje bi: parašę b] • q"\
gauname kitą geometrinės pro-
gresijos narių sumos formulę: S = M i ? 12 <7-1 Jei begalinė skaičių seka (bn) yra geometrinė progresija, kurios vardiklis q, be to, \q\ < 1 ir bi Φ O, tai ši progresija vadinama nykstamąja. Jos visų narių suma apskaičiuojama pagal formulę S =
. Šią formulę 1 -q galime pritaikyti, norėdami periodinę trupmeną išreikšti paprastąja. 1 7 2 p a v y z d y s . Reikia išspręsti lygtį — + χ + χ 1 + ... + χ" + ... = —, jei
< 1.
7 1 χ + χ2 + ... + χ" + ... = ~~ • 2 χ χ + χ2 + ... + χ" + ... — nykstamoji geometrinė progresija, nes Sprendimas,
χ2
q = — = χ. χ s = -b>
1 -q x^
7
=
1-х
χ
2
χ +\- χ 2
χ-χ
2 7 2'
2
Ix2,
2.x - 2χ + 2 = Ix -
9χ 2 - 9χ + 2 = O, AtS.:
X
_ Ι ^- 5 I —
D = 81 - 7 2 = 9, 2
XJ
—
^ ·
.T 1 2 =
9 + 3= 1 ; 2 з з' 18"
3 p a v y z d y s . Trupmeną 0,(4) išreikškime paprastąja. Sprendimas.
0,(4) = 0,4444... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ...
Taikydami
0,04 0,4 sumos formulę, kai q = —— = 0,1, 6, = 0,4, gauname 0,(4) = 1-0,1 o 4 -
M
-
4
~ 0,9 ~ 9 ' 4 p a v y z d y s . Trupmeną 6,(13) išreikškime paprastąja. Sprendimas.
6,(13) = 6,131313... = 6 + 0,13 + 0,0013 + 0,000013 + 0,13 , 0,13 , 1 3
+ ... = 6 + —
1-0,01
=6+—— =6 —.
0,99
99
5 p a v y z d y s . Trupmeną 0,4(35) išreikškime paprastąja. Sprendimas.
0,4(35) = 0,4353535... = 0,4 + 0,035 + 0,00035 + ... =
_ 4
0,035 _ 4 _
_35_ _ 4 - 9 9 + 35 _ 431
"10
1 - 0 , 0 1 " 10
990 ~
990
Sią trupmeną galima parašyti taip:
~ 990 4 3 5 - 4 _ 431 C}9Q
Taigi keisdami periodines trupmenas paprastosiomis, galime taikyti šias dvi taisykles. 1 taisyklė. Grynoji periodinė trupmena lygi tokiai paprastajai trupmenai, kurios skaitiklyje parašytas periodas, o vardiklyje — skaičius, turintis tiek devynetų, kiek periodas turi skaitmenų. 6 _ 2
P a v y z d ž i a i . 0,(6) = 2,(36) = 2 ^ = 2 ^ . 99 11 2 taisyklė. Mišrioji periodinė trupmena lygi tokiai paprastajai trupmenai, kurios skaitiklyje yra skaičius ligi antrojo periodo be skaičiaus, esančio prieš periodą, o vardiklyje — skaičius, turintis tiek devynetų, kiek periodas turi skaitmenų, ir tiek nulių, kiek yra skaitmenų tarp kablelio ir pirmojo periodo. P a v y z d ž i a i . 0,2(36)=
2 3 6 - 2 _ 234 _ 13 — " 9 9 0 " ^
,124-12 28 5,12(4) = 5 = 5— , 900 225
Sudėtinių procentų (palūkanų) apskaičiavimo formulės:
=v
1+100
ir S.=Sn-
1-
100
čia S0 — pradinis dydis, p — palūkanų norma, n — skaičiavimo tarpsnių skaičius. 6 p a v y z d y s . Asmuo, į banką padėjęs 5000 Lt indėlį, po dvejų metų atsiėmė 5832 Lt. Kiek procentų metinių palūkanų sumokėjo bankas? Sprendimas. Pažymime banko mokamų palūkanų procentus x. Sudarome lygtį: \2
5000 1 +
=5832.
100
Žinome, kad 1 +
> 0, todėl
5832
1+
100
V 5000
1+
= 1,08,
100
jc = 8.
Ats.: 8 %. 7 p a v y z d y s . Du kartus sumažinus prekės kainą tiek pat procentų, ji atpigo nuo 30 Lt iki 19,2 Lt. Po kiek procentų buvo mažinta jos kaina abu kartus? Sprendimas.
Procentus pažymėsime x. Pasinaudoję antrąja procentų ap-
skaičiavimo formule .
30 1 -
j
~ 100 J χ 100 100
P 100
, sudarome lygtį:
\2
= 19,2, 1
100
χ
Sn = S0
100
>0,
= 0,64,
= 0,8,
= 0,2,
χ = 20.
Ats.: 20 %. 2.
33
GEOMETRIJA PLANIMETRIJA Taškai ir tiesės Pagrindinės plokščiosios geometrinės figūros yra taškas ir tiesė. Taškai žymimi didžiosiomis raidėmis: A, B, C, D, ... . Tiesės žymimos mažosiomis raidėmis: a, b, c, d, ... . Paveiksle matome tašką A ir tiesę a. Pagrindinės taško ir tiesės savybės: ^ 1) kad ir kokia būtų tiesė, yra taškų, priklau* a sančių tai tiesei, ir taškų, nepriklausančių tai tiesei; 2) per bet kuriuos du taškus galima nubrėžti vienintelę tiesę; 3) dvi skirtingos tiesės arba nesusikerta, arba susikerta tik viename taške; 4) jei atkarpos galai priklauso vienai pusplokštumei, tai atkarpa nekerta tiesės. Jei atkarpos galai priklauso skirtingoms pusplokštumėms, tai atkarpa kerta tiesę; 5) iš trijų tiesės taškų tik vienas yra tarp kitų dviejų taškų; 6) tiesė dalija plokštumą į dvi pusplokštumes. Lygiagrečiomis tiesėmis vadiname dvi plokštumos tieses, kurios nesusikerta (laikoma, jog tiesės neribotai pratęstos abiem kryptimis). Žymima a \\ b. Plokštumoje per tašką, nepriklausantį turimai tiesei, galima nubrėžti ne daugiau kaip vieną tiesę, lygiagrečią tai tiesei. Dvi lygiagrečias tieses kertant trečiąja tiese, gaunami tokie kampai: Z 3 ir Z 5 , Z 4 ir Z 6 — vidaus vienašaliai kampai, Z 3 ir Z 6 , Z 4 ir Z 5 — vidaus priešiniai kampai,
Z l ir Z 5 , Z 2 ir Z 6 , Z 3 ir Z 7 , Z 4 ir Z 8 — atitinkamieji kampai, Z l ir Z 8 , Z 2 ir Z 7 — išorės priešiniai kampai. Be to, Z l = Z 5 , Z 2 = Z 6 , Z 3 = Z 7 , Z 4 = Z 8 , Z 4 + Z 6 = 180°, Z 3 + Z 5 = 180°, Z l + Z 7 = 180°, Z 2 + Z 8 = 180°. Tiesių lygiagretumo požymiai: 1) jei dvi tieses perkirtus tiese gaunami lygūs priešiniai kampai, tai tos dvi tiesės yra lygiagrečios; 2) jei dvi tieses perkirtus tiese gautų vienašalių kampų suma lygi 180°, tai tos tiesės yra lygiagrečios; 3) jei dvi tieses perkirtus tiese gaunami lygūs atitinkamieji kampai, tai tos dvi tiesės yra lygiagrečios. Statmenomis tiesėmis vadinamos dvi tiesės, kurios susikerta stačiu kampu. Statmenumas žymimas a L b. Per kiekvieną tiesės tašką galima nubrėžti tik vieną jai statmeną tiesę. Statmeniu duotajai tiesei vadiname jai statmenos tiesės atkarpą, kurios galas yra tų tiesių susikirtimo taškas. Sis atkarpos galas vadinamas statmens pagrindu. Atkarpos Paveiksle pavaizduota atkarpa AC. Atkarpos AC ilgis lygus atkarpų AB ir BC sumai. Pagrindinė atkarpos savybė yra ta, kad kiekviena atkarpa turi ilgį, didesnį už nulį. Jei atkarpą taškas dalija į dalis, tai atkarpos ilgis lygus tų dalių ilgių sumai. Kampai Kampu vadiname figūrą, kurią sudaro dvi skirtingos pustiesės, turinčios bendrą pradžios tašką — kampo viršūnę. Paveiksle pavaizduotas kampas O. Kampas žymimas ZAOB arba ZO. Vidurinė raidė žymi kampo viršūnės tašką. Pagrindinės kampo savybės: 1) kiekvienas kampas turi laipsninį matą, didesnį už nulį. Ištiestinis kampas lygus 180°. Jei spindulys, einantis tarp kampo kraštinių, dalija jį į du kampus, tai šių kampų laipsninių matų suma lygi pradinio kampo laipsniniam matui; 2) kampas, kurio kraštinės yra vienos tiesės papildomosios pustiesės, vadinamas ištiestiniu;
3) du kampai, kurių viena kraštinė bendra, o kitos dvi kraštinės yra papildomieji spinduliai (sudaro tiesę), vadinami gretutiniais kampais. Gretutinių kampų suma yra lygi 180°; 4) du kampai, kurių vieno kraštinės yra kito kampo kraštinių papildomieji spinduliai, vadinami kryžminiais kampais. Kryžminiai kampai yra lygūs; 5) kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centras, vadinamas jo centriniu kampu. Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta apskritimą, vadinamas jbrėžtiniu kampu.
Trikampiai Trikampiu vadiname figūrą, kurią sudaro trys taškai, nepriklausantys vienai tiesei, ir trys atkarpos, jungiančios kiekvienus du iš tų taškų. Kampai vadinami trikampio viršūnėmis, o atkarpos — jo kraštinėmis. Trikampis žymimas AABC. A, B k C — trikampio viršūnės. Pagrindinės trikampio savybės: 1) trikampiai, kurių kraštinės atitinkamai lygios ir kampai atitinkamai lygūs, vadinami lygiais; 2) trikampis, kurio visos trys kraštinės yra vienodo ilgio arba visi kampai lygūs 60°, vadinamas lygiakraščiu; 3) trikampis, kurio dvi kraštinės yra vienodo ilgio arba du kampai yra vienodo didumo, vadinamas lygiašoniu; lygiosios kraštinės vadinamos jo šoninėmis kraštinėmis, trečioji kraštinė vadinama lygiašonio trikampio pagrindu; 4) trikampio kampų suma lygi 180°; 5) trikampio dviejų kraštinių ilgių suma visada yra didesnė už likusios kraštinės ilgį, t. y. a < b + c. Trikampio nelygybė: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Trikampio perimetras randamas, sudedant visų jo kraštinių ilgius: P = a + b + c. a Trikampio pusiaukraštinė, pusiaukampinė ir aukštinė Statmenį, išvestą iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra prieš viršūnę esanti kraštinė, vadiname aukštine. Trikampio kampo pusiaukampinės atkarpą, kuri jungia trikampio viršūnę su prieš ją esančios kraštinės tašku, vadiname trikampio pusiaukampinė. Trikampio pusiaukampinė dalija kraštinę (esančią prieš kampą, iš kurio ji išvesta) santykiu, lygiu gretimų kraštinių santykiui.
Atkarpą, kuri jungia trikampio viršūnę su prieš ją esančios kraštinės viduriu, vadiname trikampio pusiaukraštine. Trikampio pusiaukraštinės susikerta viename taške ir tas taškas kiekvieną jų dalija santykiu 2 : 1 skaičiuojant nuo trikampio viršūnių. Trikampio vidurine linija vadinama atkarpa, jungianti dviejų jo kraštinių vidurio taškus. Teorema. Trikampio vidurinė linija yra lygiagreti trikampio kraštinei ir lygi jos pusei. Lygiašonio trikampio pusiaukraštine, nubrėžta į pagrindą, sutampa su pusiaukampine ir aukštine. Trikampis, kurio visos kraštinės lygios, vadinamas lygiakraščiu, t. y. a = b = c. Visi lygiakraščio trikampio kampai yra lygūs 60°. Trikampis, kurio vienas kampas yra status, vadinamas stačiuoju. Jo ZC = 90°, a ir b — statiniai, c — įžambinė. Stačiųjų trikampių savybės: 1) stačiojo trikampio dviejų smailiųjų kampų suma lygi 90°, t. y. ZA + + ZB = 90°; 2) stačiojo trikampio statinis, esantis prieš 30° kampą, lygus pusei įžambinės, t. y. jei ZA = 30°, tai a = c : 2; 3) jei stačiojo trikampio statinis lygus pusei įžambinės, tai prieš tą statinį esantis kampas lygus 30°. Trikampių lygumo požymiai 1. Jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampui tarp jų, tai tie trikampiai yra lygūs. AABC = ADEF, Jl Ji AB = DE, y S \ χ ' \ AC = DF, s ' \ s ' \ ZA = ZD. H ^C D^SH Af 2. Jei vieno trikampio kraštinė ir prie jos esantys kampai atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir kampams, esantiems prie jos, tai tie trikampiai yra lygūs. AABC = ADEF, B E AC = DF, ΔΑ = ZD, ZC = ZF.
Jei vieno trikampio trys kraštinės atitinkamai lygios kito trikampio trims kraštinėms, tai tie trikampiai yra lygūs. B AABC =
E
ADEF,
AB = DE, AC = DF, BC = EF.
Ж
^C
D
Stačiųjų trikampių lygumo požymiai Jei vieno stačiojo trikampio įžambinė ir smailusis kampas atitinkamai lygūs kito trikampio įžambinei ir smailiajam kampui, tai tie trikampiai yra lygūs.
AABC =
ADEF,
BC = EF, AC = ZE.
Jei vieno stačiojo trikampio statinis ir prieš jį esantis kampas atitinkamai lygūs kito trikampio statiniui ir prieš jį esančiam kampui, tai tie trikampiai yra lygūs.
AABC
=
ADEF,
AC = DE, ZB = ZF. B
D
3. Jei vieno stačiojo trikampio įžambinė ir statinis atitinkamai lygūs kito trikampio įžambinei ir statiniui, tai tie trikampiai yra lygūs.
AABC = CB = EF, AB = DF.
ADEF,
A
Apibendrintoji Talio teorema Jeigu dvi lygiagrečios tiesės kerta kampo kraštines, tai atkirstos atkarpos yra proporcingos. Duota: kampas, kurio viršūnė A, MN
BC
II
\N
M\
EF.
MB _ NC
Talio teorema Jei lygiagrečios tiesės, kertančios kampo kraštines, vienoje jo kraštinėje iškerta lygias atkarpas, tai jos ir kitoje kraštinėje iškerta lygias atkarpas. Jei MB = BE, tai NC = CF. Trikampių panašumo požymiai 1. Jei vieno trikampio dvi kraštinės proporcingos kito trikampio dviem atitinkamoms kraštinėms ir kampai tarp tų kraštinių lygūs, tai tie trikampiai yra panašūs. AABC
-ADEF,
в
ZA = ZD, AB : DE, AC : DF.
Λ
D
"
"
^
2. Jei vieno trikampio du kampai atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kampams, tai tie trikampiai yra panašūs. E AABC
- ADEF,
B
ZA = ZD, ZC = ZF. 3. Jei vieno trikampio trys kraštinės proporcingos kito trikampio trims atitinkamoms kraštinėms, tai tie trikampiai yra panašūs. AABC
- ADEF,
E
B
AB : DE, BC : EF, AC : DF. Skaičius, lygus trikampių atitinkamų kraštinių santykiui, panašumo koeficientu.
vadinamas
Panašiųjų trikampių atitinkamos aukštinės proporcingos atitinkamoms kraštinėms. Panašiųjų trikampių plotų santykis lygus tų trikampių panašumo koeficiento kvadratui. Panašiųjų trikampių perimetrų santykis lygus tų trikampių panašumo koeficientui. Trikampio kampų suma Teorema. Trikampio kampų suma lygi 180°. Įrodymas. Raskime trikampio ABC kampų sumą. Per trikampio viršūnę, pavyzdžiui, B, nubrėžkime tiesę, lygiagrečią prieš ją esančiai kraštinei AC. Pažymėkime ją raide p. Kadangi Zl ir ZA yra lygiagrečių tiesių p ir AC bei kirstinės AB sudaromi priešiniai vidaus kampai, tai Zl = ZA. Kadangi Z2 ir ZC yra lygiagrečių tiesių p ir AC bei kirstinės BC sudaromi priešiniai vidaus kampai, tai Z2 = ZC. Tačiau Zl, Z2 ir ZB sudaro ištiestinį kampą, todėl Zl + ZB + Z2 = 180°. Tada ir ZA + ZB + ZC = 180°. Teorema įrodyta. Pitagoro teorema Stačiojo trikampio įžambinės kvadratas yra lygus jo kraštinių kvadratų sumai: c2 = a1 + b1. Duota: AABC, BC = a, AC = b, AB = c. Reikia įrodyti: c2 = a2 + b2. Įrodymas. Trikampio ABC statinį CB = a pratęskime ilgiu b, o statinį CA- b — ilgiu a ir nubraižykime kvadratą CDEF. Kvadrato kraštinėse DE ir EF pažymėkime taškus G ir H taip, kad DG = EH = a, ir nubraižykime keturkampį ABGH. Kvadratą CDEF padalijame į penkias dalis: keturis lygius stačiuosius trikampius ( A A B C = = ABGD = AGHE = AHAF pagal dvi kraštines
ir kampą tarp jų) ir keturkampį ABGH. Įrodykime, kad keturkampis ABGH yra kvadratas, t. y. kad j o kraštinės lygios ir kampai statūs. Iš keturių trikampių gauname: AB = BG = GH = HA = c. Vadinasi, keturkampis ABGH yra rombas. ZBGD = ZGHE ir ZBGD + ZHGE = 90°. Tuomet ZBGH = 180° - (ZBGD + ZHGE) = 180° - 90° = 90°. Vadinasi, rombas ABGH yra kvadratas. Apskaičiuokime kvadrato ABGH plotą dviem būdais: 1) Sabch
— c-\
2) S 4 s c w = SCDEF - 4SAabc
= (a + b)2 - 4 • 0,5ab = a2 + lab + b2 -
- lab = a2 + b2. Vadinasi, c2 = a2 + b2. Teorema įrodyta. Atvirkštinė Pitagoro teorema Jei trikampio kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, tai tas trikampis yra statusis. Reikia įrodyti, kad AB2 = CA2 + CB2.
В
BI
Įrodymas. Pasirinkę bet kurį statųjį kampą, pavyzdžiui, ZC 1 = 90°, j o kraštinėse atidėkime atkarpas, lygias trikampio ABC kraštinėms CA ir CB (CiAi = CA, CiBx = CB). Nubrėžę atkarpą ^ 1 S 1 , gausime statųjį trikampį AiBiCi. Remdamiesi Pitagoro teorema, rašome: ^ 1 S 1 2 = CiA2 + CiBi2. Iš šių lygybių gauname, kad AiBi = AB. Vadinasi, trikampio AIBICI kraštinės yra lygios trikampio ABC kraštinėms. Remdamiesi trečiuoju trikampių lygumo požymiu (pagal tris kraštines), darome išvadą, kad AAIBICI = AABC. Vadinasi, Z C 1 = Z C , taigi Z C = 90° ir AABC — statusis. Teorema įrodyta. Metrinės trikampio elementų priklausomybės 1) Stačiojo trikampio statinis yra įžambinės ir to statinio projekcijos įžambinėje geometrinis vidurkis: a2 = c • ac (arba a = Jc • ac ) ir b2 = c • bc. 2) Stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, yra statinių projekcijų įžambinėje geometrinis vidurkis: h2 = ac • bC' c.
α b
Smailiojo kampo sinusu vadiname statinio, esančio prieš ir įžambinės santykį. Smailiojo kampo kosinusu vadiname statinio, esančio prie ir įžambinės santykį. Smailiojo kampo tangentu vadiname statinio, esančio prieš ir statinio, esančio prie to kampo, santykį. Smailiojo kampo kotangentu vadiname statinio, esančio prie ir statinio, esančio prieš tą kampą, santykį.
tą kampą, to kampo, tą kampą, to kampo,
Sinusų teorema Trikampio kraštinės yra proporcingos prieš jas esančių kampų sinusams. Duota: AABC, AB = c, AC = b, ZCAB = a. a _ b _ c Reikia įrodyti: — Irodymas.
Nagrinėsime du atvejus:
a) kai α < 90° (smailusis trikampis) C
b) kai α > 90° (bukasis trikampis) C
Apskaičiuosime kiekvienu atveju trikampio plotą S = — ch. Iš stačiųjų trikampių ACD turime: h sin α = —, arba b h = b sin α
sin (180° - α) =
h
h = b • sin (180° - α) = b sin α. 1
Vadinasi, abiem atvejais trikampio plotas S = — be sin α. Analogiškai šio trikampio ploto formules gauname imdami kitas dvi trikampio kraštines bei kampą tarp jų. Taigi C C
S = — be sin α, 2
S = — ас sin (3, '
2
S = — ab sin γ. 2
Kadangi S yra to paties trikampio plotas, tai 1
1
1
— be sin α = — ас sin β = — ab sin γ. Iš čia išplaukia trys lygybės: b sin α = a sin β, с sin β = b sin γ, с sin α = a sin γ, arba a
sin α
=
^ = ° . Teorema įrodyta, sin β sin γ
I š v a d a .
sina
=—- = ° = 2 R \ čia R — apie trikampį apibrėžto sin β s i n y
apskritimo spindulys. Kosinusų teorema Trikampio kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai minus dviguba tų kraštinių ir kampo tarp jų kosinuso sandauga. Duota:
AABC, AB = c, AC = b, BC = a.
Reikia įrodyti: a2 = b2 + c2 - 2be cos α . Įrodymas.
Nagrinėsime du atvejus:
a) kai α < 90° (smailusis trikampis)
Nubrėžkime AABC arba DB = c + p.
b) kai α > 90° (bukasis trikampis)
aukštinę CD ir pažymėkime: AD = p, DB = c - p
Statiesiems trikampiams ADC ir BDC kiekvienu atveju pritaikome Pitagoro teoremą: b2 = a2 = + p2 = c2
h2 + p2, 2 2 2 (c - p) + h = c - Icp + + h2 = c2 - 2cp + b2 = + b2 - Iep,
b2 = a2 = + p2 +b2
h2 + p2, (c + jo)2 + A2 = c 2 + 2 c p +
+ h2 = c2 + Icp + b2 = c2 + + 2 cp.
Iš stačiojo Δ A D C randame atkarpos AD ilgį p: p = b cos α ,
p = b cos (180° - α) = -b cos α , nes cos (180° - α) = - cos α.
{rašę p į a2 išraišką, abiem atvejais gauname tokį pat sąryšį a2 = b2 + + e 2 - 2be cos α. Teorema įrodyta. Trikampio ploto teorema Trikampio plotas lygus jo pagrindo ir į jį nuleistos aukštinės sandaugos pusei: S = 0,5 ah. Įrodymas. Sakykime, trikampio ABC pagrindas yra kraštinė ВС. Jos ilgį pažymėkime raide a, į pagrindą nuleistos aukštinės AD ilgį — raide h. Teoremą įrodysime stačiajam trikampiui, smailiajam trikampiui ir bukajam trikampiui. Duota\ AABC — statusis trikampis, AC = h, BC = a. Reikia įrodyti: S = 0,5ah. Įrodymas. Taškas A yra stačiojo trikampio smailiojo kampo viršūnė. Tada statinis AC yra į pagrindą BC nuleista aukštinė. Per smailiuosius kampus A ir B nubrėžę trikampio statiniams lygiagrečias tieses ir jų sankirtos tašką pažymėję raide E, gausime stačiakampį ACBE, sudarytą iš trikampio ACB ir jam lygaus trikampio ΒΕΑ. Stačiakampio matmenys a ir h. Remdamiesi ploto aksiomomis bei stačiakampio ploto formule, gauname: S
ABC = °>5SACBE = 0,5a/;. Šiuo atveju teorema įrodyta. Pravartu įsidėmėti ir tokią gautos formulės formuluotę: stačiojo trikampio plotas lygus jo statinių sandaugos pusei. A Duota: AABC — smailusis trikampis, AD = h, BC = a. Reikia įrodyti: S = 0,5ah.
^
Įrodymas. Aukštinės AD pagrindas D yra pagrindo vidaus taškas. Aukštinė AD trikampį dalija į du stačiuosius trikampius ABD ir ACD, o jų plotus apskaičiuoti jau mokame. Taigi SABC = SABD + SACD = 0,5 · BD χ χ h + 0,5 · DC • h = 0,5 · BC • h = 0,5ah. Taigi ir šiuo atveju teorema įrodyta. y
Duota\ Δ A C B — bukasis trikampis, AD = h, BC = a.
^
D
Reikia įrodyti: S = 0,5ah.
C
a
a
Įrodymas. Aukštinės AD pagrindas D yra pagrindo BC išorės taškas. Šiuo atveju trikampio plotą išreiškiame kaip dviejų stačiųjų trikampių plotų skirtumą: Sabc
=
s
ABD
- SACD
= 0,5 • BD • h - 0,5 · CD • h = 0,5(BD - CD)h =
= 0,5 · BC • h = 0,5ah. Teorema įrodyta. Herono formulė Teorema. Trikampio plotas S = yfp(p - a)(p - b)(p - c); 1
čia a, b, c — trikampio kraštinės; p = ^ (a + b + c) — jo pusperimetris. Įrodymas.
Į lygybę sin 2 C = 1 - eos 2 C = (1 - cos C)(l + cos C) įrašę
kosinusų teoremos cos C išraišką, gauname: sin 2 С = -
———χ 2 ab
(α+ b)2 - c2 _(c-a lab
+ b)(c + a -b)(a
+ b-c)(a
+ b + c) _
(Iab)2
~
(2 p- 2a)(2 p — 2b)(2 p -2c)2
p
2
(2 ab)
'
Kadangi trikampio kampų sinuso reikšmės yra teigiamos, tai sin C =
2 Jp(p
Į trikampio ploto formulę S= gauname S = Jp(p
- a)(p - b)(p - c) ab — ab sin C įrašę rastąją sin C išraišką,
- a)(p - b)(p - c). Teorema įrodyta.
Daugiakampiai Keturkampiu vadinama figūra, kurią sudaro keturi taškai ir keturios nuosekliai juos jungiančios atkarpos. Lygiagretainis ir jo savybės Keturkampis, kurio priešingosios kraštinės yra lygiagrečios (poromis), vadinamas lygiagretainiu. A B ABCD — lygiagretainis, AB y CD: AD
II
ВС.
D
Teorema. 1) Kampų, esančių prie vienos lygiagretainio kraštinės, suma lygi 2d (180°); 2) lygiagretainio priešingieji kampai yra lygūs. Įrodymas. 1) Prie lygiagretainio ABCD kraštinės AB esantys kampai A \x B yra dviejų lygiagrečiųjų tiesių DA ir CB bei jų kirstinės AB sudaromi vienašaliai kampai. Pagal lygiagrečiųjų tiesių ir jų kirstinės vienašalių kampų savybę, tų kampų suma yra lygi 2d (180°). 2) Remdamiesi lygiagretainio kampų 1) savybe, rašome: ZA + ZB= 180°, ZB + ZC= 180°. Iš čia ΖΛ = ZC. Lygiai taip pat galima įrodyti, kad ZB = ZD. Teorema įrodyta. Teorema. Lygiagretainio priešingosios kraštinės yra lygios. Įrodymas. Nubrėžkime lygiagretainio ABCD įstrižainę AC. Gausime trikampius ABC ir CDA, kurių kraštinė AC — bendra, ZBAC = ZDCA, ZBCA = ZDAC (kaip dviejų lygiagrečių tiesių ir jų kirstinės sudaromi vidaus priešiniai kampai). Remdamiesi antruoju trikampių lygumo požymiu (pagal kraštinę ir du kampus prie jos), gauname: AABC = ACDA, todėl BC = DA ir BA = DC. Teorema įrodyta.
Teorema. Lygiagretainio įstrižainės susikirsdamos dalija viena kitą pusiau. Įrodymas. Lygiagretainio ABCD įstrižainės yra atkarpos AC ir BD. Pirmiausia įrodysime, kad šios įstrižainės susikerta. Kadangi lygiagretainis — iškilasis keturkampis, tai jis yra dviejose pusplokštumėse α ir β, o viršūnė C yra kampo BAD vidaus taškas. Tada spindulys yra kampo BAD viduje. Vadinasi, jis kerta atkarpą BD, jungiančią kampo kraštinių AB ir AD taškus B ir D. Šitaip įrodytume, kad spindulys BD kerta atkarpą AC. Iš to išplaukia, kad atkarpos AC ir BD, t. y. lygiagretainio įstrižainės, susikerta. Lygiagretainio įstrižainių sankirtos tašką pažymėkime raide O. Pasirinkime du susidariusius trikampius AOB ir COD, kurių AB = CD (lygiagretainio priešingosios kraštinės), ZOAB = ZOCD (lygiagrečiųjų tiesių AB ir CD bei jų kirstinės AC sudaromi priešiniai kampai). Remdamiesi antruoju trikampių lygumo požymiu, nustatome, kad AAOB = ACOD, todėl AO = CO ir BO = DO. Teorema įrodyta. Lygiagretainio plotas apskaičiuojamas pagal formulę S = ah. Perimetras P = 2(a + b). Lygiagretainio pagrindu laikoma bet kuri jo kraštinė. Teorema. Lygiagretainio plotas lygus lygiagretainio pagrindo ir į jį nuleistos aukštinės sandaugai. Įrodymas. Lygiagretainio ABCD įstrižainė BD jį dalija į du lygius trikampius. Lygiagretainio ir trikampio ABD pagrindu pasirinkime kraštinę AB. Tada lygiagretainio aukštinė yra ir trikampio aukštinė. Lygiagretainio pagrindo ir aukštinės ilgius pažymėję raidėmis a ir h, randame lygiagretainio plotą S: 1
S = 2 • — ah = ah. Teorema įrodyta.
Stačiakampis Lygiagretainis, turintis statųjį kampą, vadinamas stačiakampiu. ABCD — stačiakampis; ΔΑ — status. Remdamiesi lygiagretainio kampų savybe, įsitikiname, kad visi stačiakampio kampai statūs. Stačiakampis pasižymi visomis lygiagretainio savybėmis, tačiau jis turi ir kitų savybių. Teorema. Stačiakampio įstrižainės yra lygios. Įrodymas. Įrodysime, kad stačiakampio ABCD Nagrinėkime stačiuosius trikampius ABC ir BAD, kurių BA = AB (bendras statinis), BC = AD (lygūs statiniai , nes jie yra lygiagretainio priešingosios kraštinės). Todėl AABC = ABAD ir AC = BD. Teorema įrodyta. Stačiakampio plotas S = ab, perimetras P=2(a + b).
įstrižainė AC = BD.
Kvadratas Stačiakampis, kurio dvi gretimos kraštinės lygios, vadinamas kvadratu. Aišku, kad kvadrato visos kraštinės lygios ir visi kampai statūs. Todėl galima sakyti, kad kvadratas yra rombas, turintis statųjį kampą. Kadangi kvadratas yra ir lygiagretainis, ir stačiakampis, ir rombas, tai kvadratui būdingos visos jų savybės. Kvadrato plotas S = a\ perimetras P = 4a. Rombas Lygiagretainis, kurio dvi gretimos kraštinės lygios, vadinamas rombu. Paveiksle pavaizduoto lygiagretainio ABCD gretimos kraštinės lygios (AD = AB), todėl ABCD yra rombas. Remdamiesi lygiagretainio kraštinių savybe, įsitikiname, kad rombo visos kraštinės lygios. Kadangi rombas yra lygiagretainis, tai rombui būdingos visos lygiagretainio savybės. Tačiau jis turi ir kitų savybių.
Teorema. Rombo įstrižainės: 1) dalija jo kampus pusiau; 2) yra viena kitai statmenos. Įrodymas.
Nagrinėkime rombą
ABCD.
1) Kadangi rombo kraštinės lygios (pvz., BA = ВС), tai trikampis ABC yra lygiašonis, o AC — jo pagrindas. Prisiminkime, kad rombas yra lygiagretainis, o jo įstrižainės susikirsdamos taške O dalija viena kitą pusiau. Taigi OA = OC ir OB — lygiašonio trikampio ABC pusiaukraštine, todėl ji yra viršūnės kampo pusiaukampinė. Vadinasi, įstrižainė BD rombo kampą B dalija pusiau. Taip pat įrodytume, kad įstrižainė BD dalija pusiau rombo kampą D, o įstrižainė AC — rombo kampus A ir C. 2) Kadangi lygiašonio trikampio ABC pusiaukraštine ВО, nubrėžta į pagrindą AC, yra ir aukštinė, nuleista iš viršūnės B, tai BO yra statmena AC, taigi rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos. Teorema įrodyta. AC BD Rombo plotas S = ah arba S = ~—r , perimetras P = 4a. Trapecija Keturkampis, kurio dvi kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi nelygiagrečios, vadinamas trapecija. M
C
N
E
B
A
C
N
E
B
D
M
C
A,F
N
E
b)
a)
Paveiksle AB || DC,
M
AD^BC,
c)
todėl ABCD — trapecija.
Trapecijos lygiagrečiosios kraštinės AB ir DC vadinamos trapecijos pagrindais, o nelygiagrečios AD ir BC — trapecijos šoninėmis kraštinėmis.
B
Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios (AD = ВС), vadinama lygiašone trapecija (pav., b). Lygiašonės trapecijos įstrižainės yra lygios. Trapecija, turinti statųjį kampą (ZA = 90°), vadinama stačiąja trapecija (pav., c). Statmuo, nuleistas iš trapecijos pagrindo taško į tiesę, kurioje yra kitas pagrindas, vadinamas trapecijos aukštine. Paveiksle atkarpos CE, DF, MN — trapecijos ABCD aukštinės. Teorema. Trapecijos plotas lygus pusės pagrindų sumos (vidurinės linijos) ir aukštinės sandaugai. Įrodymas. Sakykime, trapecijos ABCD pagrindai AB = a, CD = b ir aukštinė DE = h. Įstrižainė BD dalija trapeciją į trikampius ABD ir BCD, kurių pagrindai yra trapecijos pagrindai, o aukštinė — trapecijos aukštinė, todėl trapecijos plotas 1 1 a+b S = — ah + — bh = —-— h. Teorema įrodyta. Trapecijos plotas S =
a+ b
A, perimetras P = AD + DC + CB + AB
Trapecijos vidurine linija vadinama atkarpa, jungianti jos šoninių kraštinių vidurio kraštus. Teorema. Trapecijos vidurinė linija yra lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei. Taisyklingasis daugiakampis Iškilasis daugiakampis, kurio visos kraštinės lygios ir visi kampai lygūs, vadinamas taisyklinguoju daugiakampiu. ZA = ZB = ZC = ZD, AB = BC = CD = DA. Iškilasis daugiakampis Keturkampis KLMN yra kiekvienos tiesės KL, LM, MN, KN vienoje pusėje. Taigi keturkampis KLMN yra vienoje kiekvienos tiesės, einančios per keturkampio kraštines, pusėje. Kitaip sakant, šis daugiakampis yra pusplokštumių, kurių kraštai — per daugia-
Kl 'N
kampio kraštines einančios tiesės, sankirta. Tai iškiloji figūra. Ji vadinama iškiluoju daugiakampiu. Iškilojo keturkampio plotas lygus įstrižainių ilgių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos pusei, t. y. S = — d • I • sin α ; čia d, I — įstrižainės. Daugiakampio kampų suma Teorema, «-kampio kampų suma lygi 2(n - 2)d; čia d = 90°, arba 180°(« - 2). Teoremą galima įrodyti dviem būdais. I būdas, «-kampio A i A 2 A y A n (n = 7) vidaus tašką B sujunkime su visomis viršūnėmis. Gausime n trikampių. Visų šių trikampių kampų suma bus «-kampio kampų suma, prie kurios pridėta visų viršūnės B esančių kampų suma, lygi 4d. Pagal trikampio kampų sumos teoremą, «-kampio kampų suma lygi 2d • n - 4d = 2(« - 2 ) d . Teorema įrodyta. II būdas. Nubrėžkime «-kampio AiA2AyAn (« = 7) įstrižainę A1A3. Tada «-kampis bus padalytas į vieną trikampį A1A2A3 ir (« - l)-kampį AlAyAll. Vėl nubrėžkime įstrižainę A1A4, tada «-kampį padalysime į du trikampius A1A2A3 bei AiA3A4 ir (« - 2)-kampį AiAr--An ir t. t. Nubrėžkime įstrižainę ^ lA-2 Tada «-kampis bus padalytas į (n - 4) trikampius ir keturkampį Λ Α - 2 An^iAn. Nubrėžkime įstrižainę AiAn i. Minėtą keturkampį padalysime į 2 trikampius, o nagrinėjamą «-kampį — į ( « - 4 ) + 2 = « - 2 trikampius. Jų kampų suma 2(« - 2)d yra «-kampio kampų suma. Teorema įrodyta.
Įbrėžtu į apskritimą daugiakampiu (įbrėžtiniu daugiakampiu) vadinamas daugiakampis, kurio visos kraštinės lygios ir visi kampai vienodo didumo. Apibrėžtu apie apskritimą daugiakampiu (apibrėžtiniu daugiakampiu) vadinamas daugiakampis, kurio visos kraštinės liečia vieną apskritimą.
Apskritimas ir skritulys Apskritimu vadiname figūrą, kurią sudaro visi plokštumos taškai, vienodai nutolę nuo vieno taško. Tas taškas vadinamas apskritimo centru. Atstumą nuo bet kurio apskritimo taško vadiname apskritimo spinduliu. Apskritimo, kurio centras sutampa su koordinačių pradžia, lygtis yra χ2 + y1 = R2. Išpjova Apskritimas, kurio centras yra taškas O (a; b), aprašomas lygtimi (.v2 - я)2 + (y - b)2 = R2. Apskritimo apribota plokštumos dalis vadinama skrituliu. Skritulio plotas S = TlR2. Skritulio išpjova vadinama skritulio dalis, kurią riboja lankas ir du spinduliai, jungiantys lanko galus su skritulio centru. Išpjovos TiR1O. plotas S = — . Skritulio nuopjova vadinama skritulio ir pusplokštumės bendroji dalis. TiR1O.
TiR1O.
Nuopjovos plotas S = — — + SA, kai α > 180° (a) ir S= 360
kai α < 180° (b).
a) Tiesė ir apskritimas gali turėti vieną bendrą tašką, du bendrus taškus arba gali išvis jų neturėti:
Nuopjova
joU
- S A,
Tiesė, kuri su apskritimu turi du bendrus taškus, vadinama apskritimo kirstine, o kuri turi tik vieną bendrą tašką — liestine; apskritimo ir Iiestinės bendras taškas vadinamas lietimosi tašku. Teorema. Stygai statmenas apskritimo skersmuo dalija ją pusiau. Duota·. DC 1 AB, DC — skersmuo. Reikia įrodyti: AE = EB. Įrodymas. Brėžiame apskritimo spindulius OA ir OB. AO = OB, nes yra apskritimo spinduliai. ABOA yra lygiašonis. Lygiašonio trikampio aukštinė taip pat yra ir pusiaukraštinė, todėl dalija AB į dvi lygias dalis. Taigi AE = EB. Teorema. Jei dvi tai vienos stygos lygi kitos stygos AC • CB = EC •
apskritimo stygos susikerta, atkarpų ilgių sandauga yra atkarpų ilgių sandaugai: CF.
Teorema. Apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką. Atvirkštinė teorema: tiesė, einanti per apskritimo spindulio galą, priklausant} apskritimui, ir statmena tam spinduliui, yra apskritimo liestinė. Duota: I— liestinė, OM— spindulys, nubrėžtas į apskritimo ir liestinės / lietimosi tašką M, Mx — bet kuris liestinės taškas. Reikia įrodyti: OM L I. Įrodymas. OM1 > OM, nes OMx kerta apskritimo ribą. Taigi OM yra trumpiausias atstumas tarp tiesės ir taško. O trumpiausias atstumas, nuleistas iš taško į tiesę, yra statmuo. Taigi OM 1 /. Teorema. Apskritimo liestinių, išeinančių iš vieno taško, atkarpos yra lygios. Duota: AB ir AD — liestinės. Reikia įrodyti: AB = AD. Įrodymas. AB _L OB, nes liestinė yra statmena į lietimosi tašką nubrėžtam spinduliui. AD L _L OD, nes tai yra liestinė ir į ją nubrėžtas spin- A · dūlys. AABO ir AADO lygūs, nes jie yra statieji trikampiai, turintys bendrą įžambinę ir po vienodą statmenį. Taigi AB = AD.
Teorema. Tarkime, kad PA yra iš taško P, esančio šalia apskritimo, nubrėžta liestinė, PB — kirstinė, einanti per apskritimo taškus B ir C. Tuomet PA2 = PB • PC. A
Teorema. Tarkime, kad iš taško P, esančio šalia apskritimo, nubrėžtos dvi kirstinės PB ir PD, kurios apskritimą kerta atitinkamai taškuose A, B ir C, D. Tuomet PB • PA = PD • PC.
Apskritimo dalis, esanti per du jo taškus einančios tiesės vienoje pusėje, vadinama apskritimo lanku. Lankas žymimas ^ A C , ^ A B . %Ra Apskritimo lanko, kurio laipsninis matas oc°, ilgis / = 0 0 · 1 ou
Lankas, kurio galus jungianti atkarpa (styga) yra apskritimo skersmuo, vadinamas pusapskritimiu. Apskritimo lanko, kurio kampinis didumas yra β radianų, ilgis / = Λβ. Apskritimo lanko, ne didesnio už pusapskritimį, laipsniniu matu vadinamas jį atitinkančio centrinio kampo laipsninis matas. Didesnio už pusapskritimį lanko laipsniniu matu laikoma 360° - a ; čia α — to lanko papildomo lanko laipsninis matas. Aišku, kad lygių apskritimo lankų laipsniniai matai yra lygūs, ir atvirkščiai: jei apskritimo lankų laipsniniai matai lygūs, tai ir lankai yra lygūs. Apskritimo centriniai kampai lygūs tik tada, kai jų lankai yra lygūs. Įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi į pusapskritimio lanką, yra statūs.
Įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi j tą patį apskritimo lanką, yra lygūs: ZABC = ZADC = ZAEC. Įbrėžtinis kampas matuojamas puse lanko, j kurį jis remiasi. Daugiakampis, kurio viršūnės yra apskritimo taškai, vadinamas įbrėžtiniu daugiakampiu, o apskritimas — apibrėžtiniu apskritimu. Apibrėžto apie daugiakampį apskritimo centras yra vienodai nutolęs nuo to daugiakampio viršūnių. Taigi apie daugiakampį norėdami apibrėžti apskritimą, turėsime surasti tašką, vienodai nutolusį nuo daugiakampio viršūnių. Tačiau ne apie kiekvieną daugiakampį galima apibrėžti apskritimą. Jei keturkampio priešingų kampų suma lygi 180°, tai apie jį galima apibrėžti apskritimą.
Teorema. Kiekvieno įbrėžtinio keturkampio priešingų kampų suma lygi 180°.
Duota·. ABCD — įbrėžtinis keturkampis. Reikia rasti: ZA + ZC = 180°, ZB + ZD = =
180°.
Įrodymas. Kadangi kampas A remiasi į lanką BCD, o kampas C — į lanką BAD ir šie lankai sudaro visą apskritimą, tai ZA + ZC = 360° : : 2 = 180°. Dėl tų pačių savybių ir ZB + ZD = = 360° : 2 = 180°. Teorema įrodyta. Apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą ir to apskritimo centras yra trikampio kraštinių vidurio statmenų susikirtimo taškas. Apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys R =
ū
trikampio kraštinių ilgiai, o S — trikampio plotas.
^^ ; čia a, b, c 4-S
Stačiojo trikampio apibrėžto apskritimo spindulys lygus pusei įžambinės: c Daugiakampis, kurio kraštinės liečia apskritimą, vadinamas apibrėžtiniu daugiakampiu, o apskritimas — įbrėžtiniu apskritimu. Į kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą. To apskritimo centras yra trikampio pusiaukampinių susikirtimo taškas.
Ж
[brėžto apskritimo spindulys r = —; čia p — pusperimetris.
O
Tačiau ne į visus daugiakampius galima įbrėžti apskritimą. Teorema. Į daugiakampį galima įbrėžti apskritimą tik tuomet, kai daugiakampio priešingų kraštinių sumos yra lygios. Duota: ABCD — apibrėžtinis keturkampis. Reikia įrodyti: AB + CD = AD + ВС. įrodymas. Keturkampio kraštinių ir skrituIio lietimosi taškus pažymėkime K, L, M, N. Remdamiesi liestinių, išvestų iš vieno taško savybe, pažymėkime jų ilgius: AK = AN = a, KB = BL = b, ND = MD = d, LC=CM= c. Turime: AB + CD = b + c + a + d u BC + + AD = b + c + a + d. Taigi AB + CD = = BC + AD. Teorema įrodyta. A
B
N D
Taisyklingieji iškilieji daugiakampiai yra įbrėžtinis ir apibrėžtinis daugiakampis. 1 p a v y z d y s . Apie apskritimą apibrėžtos lygiašonės trapecijos pagrindai lygūs 36 ir 100. Apskaičiuosime: 1) trapecijos šoninę kraštinę; 2) aukštinę; 3) plotą.
Taisyklingas daugiakampis
Duota\ ABCD — trapecija, AD = BC, AB = 36, CD = 100. Reikia rasti: 1) AD = BC = ? 2) AH = ? SABCD
— ?
Sprendimas. 1) Tarkime, kad AD = BC = x. AD + BC = AD + DC (jei keturkampis apibrėžtas apie apskritimą, tai jo priešingų kraštinių ilgių sumos lygios), tuomet 2x = 126, χ = 68.
Ats.: AD = BC = 68. 2) AH2 = AD2 - DH2 (Pitagoro teorema trikampiui A H D), AD žinome, ieškome DH: DC - HH, DH= - j - * nes ADAH = AH1BC (pirmasis trikampių lygumo požymis; / Ш = BC, nes ABCD — lygiašonė trapecija; AH = H1B, nes abi yra statmenos lygiagrečioms AB ir CD- ZDAH = ZCBHi, taigi 90° - ZADH = 90° - ZBCH1); HHx = AB (AHHtB — stačiakampis, nes visi jo kampai statūs). Taigi 100-36 DC-AB = 32 DH = DH = AH = > / 6 8 " - 3 2 ' = 6 0 . Ats.: AH = 60. AH -(AB + CD) (trapecijos ploto formulė); 3) SABCD 60-(36 + 100) j
ABCD
= 4080 (ploto vienetai).
Ats.: SABCD = 4080 (ploto vienetai).
Simetrija Simetrija gali būti dviejų rūšių: simetrija tiesės atžvilgiu ir simetrija taško atžvilgiu (centrinė simetrija). 1. Simetrija tiesės atžvilgiu yra tuomet, kai figūros (taškai) yra simetriškos tiesės atžvilgiu. Dvi figūros yra simetriškos tiesės atžvilgiu, jeigu kiekvienas vienos figūros taškas yra simetriškas kitos figūros taškui tos tiesės atžvilgiu. d - simetrijos ašis
d/
Taškai A ir A1 yra simetriški tiesės d atžvilgiu, jeigu: a) atkarpa AAt yra statmena tiesei d; b) tiesė ¢/eina per atkarpos/L-I 1 vidurį. Kiekvieną tiesės d tašką laikysime simetrišku pačiam sau.
. A
LJ
f
A1
2. Simetrija centro atžvilgiu yra tuomet, kai figūros (taškai) yra simetriškos viena kitai taško atžvilgiu. Dvi figūros yra simetriškos centro atžvilgiu, jeigu kiekvienas vienos figūros taškas yra simetriškas kitos figūros taškui to centro atžvilgiu. A O - simetrijos centras
Taškai A ir Ai yra simetriški taško O atžvil- ' giu, jeigu taškas O yra atkarpos AAi vidurio taškas, t. y. AO = OAi. Tašką O laiN. kyšime simetrišku pačiam sau. N. 1. Tiesė, kurios atžvilgiu figūra yra simetriška pati sau, vadinama tos figūros simetrijos ašimi. Lentelėje pavaizduota kai kurių geometrinių figūrų simetrijos ašys. Figūra
Simetrijos ašys
Simetrijos ašių skaičius
J1
Simetrijos ašių padėtis
Atkarpa
Dvi
Vidurio statmuo. Tiesė, einanti per tą atkarpą
Kampas
Viena
Tiesė, einanti per kampo pusiaukampinę
Stačiakampis
Dvi
Tiesės, einančios per priešingų kraštinių vidurio taškus
Rombas
Dvi
Tiesės, einančios per įstrižaines
Kvadratas
Dvi
Tiesės, einančios per priešingų kraštinių vidurio taškus ir per įstrižaines
Apskritimas
Be galo daug
Kiekviena tiesė, einanti per apskritimo centrą
2. Taškas, kurio atžvilgiu figūra yra simetriška pati sau, vadinamas figūros simetrijos centru. Simetriškų figūrų centro atžvilgiu pavyzdžiai: Figūra
Simetrijos centras
Vidurio taškas
Atkarpa Kvadratas Apskritimas
Simetrijos centro padėtis
X (Э
Įstrižainių susikirtimo taškas Apskritimo centras
STEREOMETRIJA Pagrindinės stereometrijos sąvokos Yra keturios pirminės stereometrijos sąvokos: taškas, tiesė, plokštuma ir atstumas. Sąvoka aibė taip pat yra pirminė (neapibrėžiama) ne tik geometrijoje, bet ir visose kitose matematikos srityse. Bet kuri taškų aibė geometrijoje vadinama figūra. Tiesė ir plokštuma gali būti figūrų pavyzdžiai. Pirminių sąvokų pagrindinės savybės išreiškiamos stereometrijos aksiomomis. 1 aksioma. Egzistuoja bent viena tiesė ir bent viena plokštuma. Kiekviena tiesė ir kiekviena plokštuma yra nesutampanti su erdve netuščia taškų aibė. 2 aksioma. Per bet kuriuos du skirtingus taškus eina tik viena tiesė. 3 aksioma. Tiesė, einanti per du skirtingus plokštumos taškus, yra toje plokštumoje. 4 aksioma. Per tris taškus, nepriklausančius vienai tiesei, eina tik viena plokštuma. 5 aksioma. Jeigu dvi skirtingos plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi ir bendrą tiesę, kurioje yra visi bendri tų plokštumų taškai. 6 aksioma. Bet kuriuos du taškus A ir B atitinka neneigiamas dydis, vadinamas atstumu nuo taško A iki taško B. Atstumas \AB\ lygus nuliui tik tada, kai taškai AnB sutampa. 7 aksioma. Atstumas nuo taško A iki taško B lygus atstumui nuo taško B iki taško A: \AB\ = \BA\. 8 aksioma. Kokie bebūtų taškai A, B ir C, atstumas nuo A iki C yra ne didesnis už atstumų nuo A iki B ir nuo B iki C sumą: \AC\ < \AB\ + \BC\. Tiesės erdvėje gali susikirsti, būti lygiagrečios arba prasilenkiančios. Susikertančiosios tiesės
Lygiagrečiosios tiesės
Prasilenkiančiosios tiesės
Lygiagrečiosiomis tiesėmis erdvėje vadinamos dvi tiesės, kurios yra vienoje plokštumoje ir neturi bendrų taškų. Žymima a || b. Dvi tiesės, kurios nėra vienoje plokštumoje, vadinamos prasilenkiančiosiomis tiesėmis. Duotos dvi prasilenkiančiosios tiesės AB ir CD. Pasirinkime bet kurį tašką M ir per jį išveskime tiesę Λ,S 1 , lygiagrečią AB. Gavome kampą φ (žr. pav., b). Jis ir yra kampas tarp prasilenkiančiųjų tiesių.
Tiesė erdvėje gali kirsti plokštumą arba būti jai lygiagreti. Tiesė ir plokštuma vadinamos lygiagrečiosiomis, kai jos neturi bendro taško arba kai tiesė yra plokštumoje. Teisingas toks tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis: jei tiesė yra lygiagreti tiesei, esančiai plokštumoje, tai duotoji tiesė ir plokštuma yra lygiagrečios: jei c Il b, tai c || a . Jei plokštuma eina per tiesę, lygiagrečią kitai plokštumai, ir kerta tą plokštumą, tai plokštumų susikirtimo linija yra lygiagreti duotajai tiesei. Tiesė ir plokštuma vadinamos statmenomis, kai tiesė yra statmena kiekvienai tiesei, esančiai plokštumoje: a J. a . Jeigu tiesė statmena kiekvienai iš dviejų susikertančių tiesių, esančių plokštumoje, tai tiesė ir plokštuma yra statmenos.
Plokštumos erdvėje gali kirstis arba būti lygiagrečios. Dvi plokštumos vadinamos lygiagrečiosiomis, kai jos neturi bendro taško arba sutampa: α || β. Jei vienos plokštumos dvi susikertančios tiesės yra atitinkamai lygiagrečios kitos plokštumos dviem susikertančioms tiesėms, tai tos plokštumos yra lygiagrečios.
Kai dvi lygiagrečiąsias plokštumas kerta trečioji plokštuma, tai jų susikirtimo linijos yra lygiagrečios: jei α || β ir γ jas abi kerta, tai a || b.
fl
M1
b
V
/ J /
/^r
J y /
/ /
Statmuo ir pasviroji
У Per tašką A, esantį šalia plokštumos a , išveskime jai statmeną tiesę. Tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką pažymėkime raide C. Atkarpa AC vadinama statmeniu, nuleistu iš taško A į plokštumą α, o taškas C — to statmens pagrindu arba taško A projekcija plokštumoje a . Iš taško į plokštumą galima nuleisti vienintelį statmenį. Visos kitos tiesės, nubrėžtos iš taško A ir kertančios plokštumą a , nebus jai statmenos. Per tašką A ir pasirinktą plokštumos α tašką B išvedame tiesę AB, kuri nėra statmena plokštumai. Atkarpa AB vadinama pasvirąja, išvesta iš taško A į plokštumą α, o taškas B — pasvirosios pagrindu. Atkarpa CB vadinama pasvirosios projekcija plokštumoje a . Kampu tarp plokštumos ir tiesės, kuri nėra jai statmena ir ją kerta, vadinamas kampas, esantis tarp tiesės ir jos projekcijos plokštumoje. Pasviroji BA su plokštuma α sudaro 'A kampą ABC. Teorema. Jei iš to paties taško, esančio šalia plokštumos, nuleistas statmuo plokštumai ir išvestos kelios pasvirosios, tai:
n/ / /
C
/ /
a) dvi pasvirosios, kurių projekcijos lygios, yra lygios; b) iš dviejų pasvirųjų ilgesnė ta, kurios projekcija yra ilgesnė. Atvirkštinė teorema. Lygių pasvirųjų projekcijos yra lygios, o iš dviejų projekcijų ilgesnė yra ta, kuri atitinka ilgesnę pasvirąją. Atstumas nuo taško iki plokštumos yra statmens, nuleisto iš to taško į plokštumą, ilgis. Atstumas nuo taško A iki plokštumos α yra trumpiausia iš visų atkarpų, jungiančių tašką A su bet kuriuo plokštumos α tašku. Trijų statmenų teorema. Tiesė, išvesta plokštuA moje per pasvirosios pagrindą ir statmena jos / projekcijai toje plokštumoje, yra statmena ir pačiai pasvirajai. H Atvirkštinė teorema. Tiesė, išvesta plokštumoje per pasvirosios pagrindą ir statmena pasvirajai, yra statmena jos projekcijai.
//
Geometriniai kūnai Prizmė. Tai briaunainis, kurio dvi sienos (pagrindai) yra lygiagrečiose plokštumose esantys lygūs daugiakampiai, o kitos sienos (šoninės) — lygiagretainiai. Daugiakampiai A1A2...An ir B1B2...Bn — prizmės pagrindai. Lygiagretainiai AiA2B2Bl, ..., AllAtBlBn — prizmės šoninės sienos, o AiBi, A2B2, ..., AnBn — šoninės briaunos.
Prizmė
Atkarpa, jungianti bet kurio daugiakampio priešingąsias viršūnes, vadinama sienos įstrižaine (AiB ir D 1 C). Atkarpa, jungianti prizmės bet kurias priešingąsias viršūnes, vadinama prizmės įstrižaine (BD1 ir AiQ. Prizmę kertant plokštuma, gaunamas pjūvis (daugiakampis). C
CA
f Y
;
/
в
А
ί i
b
*'
ι
A
Pasvirosios prizmės statmenuoju pjūviu vadinamas jos pjūvis, gautas perkirtus prizmę šoninėms briaunoms statmena plokštuma. Prizmės įstrižiniu pjūviu vadinamas jos pjūvis, gautas perkirtus prizmę plokštuma, einančia per jos pagrindų įstrižaines. Stačioji prizmė. Tai prizmė, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindams. Stačiosios prizmės viso paviršiaus plotas S apskaičiuojamas pagal formulę Spav = P h + 2 · S pagr ; čia Spagr — prizmės pagrindo plotas, h — aukštinė. Stačiosios prizmės tūris Frandamas pagal formulę V = Spasr • h, o šoninio paviršiaus plotas SJON — pagal formulę Sion = P • h. B1
A1
B1
C1
A A II
Di
E1 C
B D C
A
Stačiosios prizmės: b) keturkampė
a) trikampė
Ί F
D
Г E
c) šešiakampė
Taisyklingoji prizmė. Tai stačioji prizmė, kurios pagrindai yra taisyklingieji daugiakampiai. B1
,
C1 D1
A J
I!I I
L
Ci
A+
D
\ Taisyklingosios prizmės: a) trikampė
b) keturkampė
r i ^ F
E
c) šešiakampė
Pasviroji prizmė. Jos šoninės sienos nėra statmenos pagrindams. Dažnai pasitaikančios prizmės yra kubas, stačiakampis gretasienis, gretasienis, statusis gretasienis.
в1
Pasvirosios prizmės: b) keturkampė
β.
C1
c) šešiakampė
Kubas. Tai briaunainis, kurio visos šešios sienos yra kvadratai. Jo paviršiaus ploto ir tūrio formulės yra S pav = 6я 2 ir V = a\ Stačiakampis gretasienis. Jo abu pagrindai ir šoninės sienos yra stačiakampiai, o paviršiaus plotas ir tūris apskaičiuojami taip: S pav = 2 (ac + bc + ab),
\d I
I2 = a2 + b2, I =Ja2 + b 2 — pagrindo įstrižainė, a — plotis, b — ilgis, c — aukštis, d2 = a2 + b2 + c2, d = Ja2 + b1 + c2 — stačiakampio gretasienio įstrižainė, V = abc. Statusis gretasienis. Jo pagrindai yra daugiakampiai, o šoninės sienos — stačiakampiai. S1pav ir V randami pagal formules: S pav = P - A + 2 · Spagr, V = S1p a g r
h.
h — gretasienio aukštinė, P — pagrindo perimetras. Gretasienis. Tai prizmė, kurios visos sienos yra lygiagretainiai. Statmuo, nuleistas iš viršutinio pagrindo bet kurio taško į apatinio pagrindo plokštumą, vadinamas gretasienio aukštine. Gretasienio savybės: a) gretasienio priešingos sienos yra lygiagrečios ir lygios; b) gretasienio įstrižainės susikerta viename taške, kuris kiekvieną įstrižainę dalija pusiau. Piramidė. Tai briaunainis, kurio viena siena yra bet kuris daugiakampis, o kitos sienos — trikampiai, turintys bendrą viršūnę. Daugiakampis A i A 2 AyA n — piramidės pagrindas. Piramidė 3.
65
Trikampiai A1PA2, A2PA3, ..., AnPAl — šoninės sienos, o P — piramidės viršūnė. PA1, PA2, ..., PAn — šoninės briaunos, A1A2; A2A3, ...,An lAn — pagrindo briaunos. Piramidės aukštinė PH — statmuo, nuleistas iš piramidės viršūnės j plokštumą. Taisyklingoji piramidė. Jos pagrindas yra taisyklingasis daugiakampis, o aukštinė eina per to daugiakampio centrą (pav., a) piramidės pagrindas — lygiakraštis trikampis; b) piramidės pagrindas — kvadratas). S1pav ir V apskaičiuojami pagal formules: e =c +c pav
šon
V =
pagr'
Spagr
S5on = 0,5P Ae; čia ha — apotema (šoninės sienos aukštinė), P — pagrindo perimetras.
Nupjautinė piramidė. Tai briaunainis, kurio dvi sienos — panašūs daugiakampiai, esantys lygiagrečiose plokštumose, o kitos sienos — trapecijos. Tuodu daugiakampiai vadinami pagrindais, o trapecijos — šoninėmis sienomis. Spav ir V radimo formulės: ^pav = S8on + S + S 1 ; čia S — apatinio pagrindo plotas, S1, — viršutinio pagrindo plotas; V=
Ih-įS
+
St+yjS-St).
Nupjautinė piramidė Ritinys. Tai kūnas, gautas stačiakampį (ABCD) apsukus apie vieną jo kraštinę. Kraštinė, apie kurią sukame (AB), vadinama ašimi, o kraštinė, brėžianti šoninį paviršių (CD) — sudaromąja. Ritinio paviršiaus ir tūrio radimo formulės: Slon = liirh = Ttdh-, Spav
=
2 n r l
+
V= Kr2 h =
l
n
r
h
=
π—-h. 4
2 n r
(
r
+
л
) ;
Ritinio pagrindai
D
_Šoninis paviršius
/а
O
Ritinio ašis——|
KPl o Ritinio ašinis pjūvis
Ritinio pjūvis, gautas ritinį perkirtus ašiai statmena plokštuma
B
B'
-s:
A
2nr
A
r
а
Ritinio šoninio paviršiaus išklotinė a)
b)
Kūgis. Kūgiu vadinamas kūnas, gautas statųjį trikampį (ABC) apsukus apie vieną jo statinį (AB). Šis statinis vadinamas ašimi, o įžambinė (AC) — sudaromąja. Jei kūgį kertame plokštuma, kuri eina ir per kūgio ašį, gautą pjūvį vadiname ašiniu pjūviu.
S5on = π/7; čia / = PB; Spav = rail + r);
V=
^nr2h.
išklotinė - išpjova
Nupjautinis kūgis. Kai kūgį kertame plokštuma, lygiagrečia pagrindui, tai gauname du kūnus: nupjautinį ir likutinį kūgį. Nupjautinio kūgio Sson ir V radimo formulės:
Rutulys. Rutuliu vadinamas kūnas, gautas pusskritulį (ABC) apsukus apie jo skersmenį (AB). Rutulio paviršius vadinamas sfera.
Sfera Jei sferą perkirsime plokštuma, gausime pjūvį, kuris yra apskritimas. Rutulio Spav ir V radimo formulės: Spav = 4TiR2 = Ttrf2; V =
-kR3.
Rutulio nuopjova. Tai rutulio dalis, kurią nukerta nuo jo kuri nors plokštuma. Jei kertančioji plokštuma eina per rutulio centrą, tai nuopjova yra pusrutulis. Rutulio nuopjovos tūris V ir paviršiaus plotas Slluop apskaičiuojami pagal formules: V = -
Tth2OR - A); Snuop = InRh.
Rutulio sluoksnis. Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių kertančiųjų plokštumų. Jo tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų rutulio nuopjovų tūrių skirtumą. Rutulio išpjova. Rutulio išpjova vadinamas kūnas, gautas skritulio išpjovą, kurios
B Rutulio sluoksnis
C
kampas mažesnis už 90°, apsukus apie tiesę, einančią per vieną skritulio išpjovą ribojančių spindulių. Rutulio išpjovos SPAV ir K radimo formulės:
/
1
^N
R
S p a v = R • (2h + r); V = — nR2h. O .„ . .. , . , Rutulio išpjova Kūno, sudaryto is kelių kūnų, tūris lygus tų kūnų tūrių sumai. Prizmė, kurios pagrindai įbrėžti į ritinio pagrindus, yra įbrėžta į ritinį. Prizmė yra apibrėžta apie ritinį, kai jos pagrindai apibrėžti apie ritinio pagrindus.
Į ritinį įbrėžta prizmė
Apie ritinį apibrėžta prizmė
Įvairių įbrėžtinių ir apibrėžtinių kūnų pavyzdžiai:
1 p a v y z d y s . Rutulio sluoksnio aukštinė lygi 7 cm, pagrindų spinduliai — 16 cm ir 33 cm. Reikia apskaičiuoti: 1) rutulio spindulį; 2) rutulio tūrį. Duota\ OOx = 7 cm, A1O1 = 16 cm, A2O2 = 33 cm. Reikia rasti: 1) OA = R, 4 2) V =
-π/?3.
Sprendimas.
1) AAxOlO
— statusis, todėl AxOx2 + OxO2
AA2O2O — statusis, todėl A2O2
л ,0 2 ,
+ O2O2 = A2O2.
Pažymime O2O = x; AxO = A2O = R ir sprendžiame lygčių sistemą: Γΐ6 2 +(7 + χ) 2
=R2,(\)
Ix 2 +33 2 = Д 2 ; (2) J x 2 + 1 4 * + 305 = Я 2 , [χ2 +1089 = R2. Iš (1) ir (2) lygčių: x2 + 14* + 305 = x2 + 1089. Gauname χ = 56. Įrašę į (2), randame R: 1089 + 56 2 = R2; R = 65 (cm). Ats.: R = 65 cm. 2) Κ = - π Λ 3 , 3 V = ~π65 3 = 363,17 π (dm 3 ). Ats.: V = 363,17 π dm 3 . 2 p a v y z d y s . Rutulys, kurio spindulys lygus 65 cm, perskirtas dviem lygiagrečiosiomis plokštumomis. Reikia rasti rutulio dalies, telpančios tarp tų plokštumų, tūrį, jei abi plokštumos yra toje pačioje centro pusėje ir nutolusios nuo jo per 16 cm ir 25 cm. Duota: R = 65 cm, OB = 25 cm, OA = 16 cm. Reikia rasti: Ksluoksn
X /
B A
]
/ \ E
OĄ i ^
Sprendimas: 2
1. ABOD
2
— statusis, todėl OD2 = BD2 + BO2,
2
65 = BD + 25 , 4225 - 625 = BD2, 3600 = BD2, BD = 60 (cm). 2. AOAE — statusis, todėl OE2 = AE2 + AO2, 652 = AE2 + 162, 4225 - 256 = AE2, 3969 = AE2, AE = 63 (cm). 3. BA = h; BA = BO - AO, BA = IS16, BA = 9. 4. Rutulio sluoksnio tūris V = - π/г3 + — n(BD2 + AE2) · h, 6 2 Κ = Ι π · 9 3 + - π ( 3 6 0 0 + 3969) · 9 = — π · 243 + 1 π·68121 = 34182π. 6 2 2 2 Ats.: 34182π cm 3 . 3 p a v y z d y s . Aikštelėje, kurios matmenys 2,5 m χ 1,75 m, reikia pastatyti IOm 3 tūrio rezervuarą vandeniui. Apskaičiuokime rezervuaro aukštį, jeigu jo pagrindo plotas lygus aikštelės plotui. Duota: ABCDAlBiCiDi — stačiakampis gretasienis, AB = 1,75 m, AD = 2,5 m, K = I O m3. B
Reikia rasti: h. Sprendimas.
1. Spagr = AB • AD =
= 1,75 · 2,5 = 4,375 (m 3 ), AA1 = h. 2.
V=Spaer-AAl, 10 = 4,375 · AA 10 AA> =
Ats.: h
4,375 " 2,29 m.
2,29
(m)·
A
D
VEKTORIAI Vektoriai, koordinačių metodas Kryptinė atkarpa vadinama vektoriumi. Vektorius, kurį apibrėžia nesutampančių taškų pora (A, B), vaizduojamas kryptine atkarpa, kurios pradžia yra taške A, o pabaiga — taške B. Tokį vektorių žymime AB. Atstumą AB vadiname vektoriaus ilgiu arba moduliu ir žymime Labai patogu vektorius žymėti mažosiomis lotyniškomis raidėmis su rodyklėmis viršuje: a, b, c . . . — v e k t o r i a i ; IaI arba α — vektoriaus a ilgis. Du nenuliniai vektoriai vadinami lygiais, jei jie yra vienakrypčiai ir vienodo ilgio. Vektorius, kurio pabaiga sutampa su j o pradžia, vadinamas nuliniu vektoriumi ir žymimas AA = BB = XX = 0. Nulinio vektoriaus modulis lygus nuliui, o kryptis yra bet kuri. Šis vektorius vaizduojamas tašku. Vektorius, kurį apibūdina jo ilgis ir kryptis, vadinamas laisvuoju vektoriumi. Dydžiai, kurie apibūdinami tik skaičiais, vadinami skaliariniais dydžiais arba skaliarais. Vektorių algebra Vektoriaus a ir skaičiaus k (k > 0) sandauga vadinamas vektorius ka, kuris yra tos pačios krypties, kaip ir vektorius a, ir kurio modulis (ilgis) lygus fc|a|, t. y. &|α| = λ|α|. a
ka
ka
0 < k < 1
k > 1
Vektoriai a ir ka vadinami vienakrypčiais ir žymimi α TT ka. Kai k < 0, tai vektoriaus α ir skaičiaus k sandauga ka
yra vektorius,
kurio kryptis priešinga vektoriaus α krypčiai, o modulis lygus |£α| = |&|·|α|. <
α
<
ka
-1 < k < 0
<
ka k < -1
Šiuo atveju vektoriai a ir ka
vadinami priešpriešiniais ir žymimi
a T i ka. Kai k = - 1 , tai vektorius -a yra tokio pat ilgio, kaip ir vektorius a , tik priešingos krypties, t. y. | - α | = |α|. Nenulinio vektoriaus a (vektoriaus AB ) priešinguoju vektoriumi vadinamas to paties ilgio priešpriešinis vektorius, kuris žymimas - a (BA). Nulinio vektoriaus priešingasis vektorius yra tas pats nulinis vektorius. Nenuliniai vektoriai vadinami kolineariaisiais, jeigu jų kryptys sutampa arba yra priešingos. Nulinis vektorius laikomas kolineariu kiekvienam vektoriui. a Įlž, kai b = ka. Vektoriaus a vienetiniu vektoriumi a
vadinamas tos pačios krypties
vektorius, kurio ilgis yra lygus 1. Jis žymimas а = Д - а , arba a = IaI a . \a\ Dviejų vektorių AB = a ir BC = b suma yra vektorius AC = c. Jei du vektoriai yra atidėti taip, kad antrojo vektoriaus pradžia sutampa su pirmojo pabaiga, tai tų vektorių suma vadinamas vektorius, kurio pradžia sutampa su pirmojo dėmens pradžia, o pabaiga — su antrojo dėmens pabaiga. ~AB + ~BC = AC,
arba a + b = c.
Ši lygybė išreiškia vektorių sudėties trikampio taisyklę. Prie bet kurio vektoriaus a pridėję nulinį vektorių, gausime tą patį vektorių a : a + 0 = a. Nekolinearių vektorių α ir į suma yra iš jų sudaryto lygiagretainio įstrižainės vektorius c. Šis vektorių sudėties būdas vadinamas lygiagretainio taisykle. a + ( - a ) = 0. Norint sudėti tris ar daugiau vektorių, reikia nuo pirmojo vektoriaus pabaigos atidėti antrąjį vektorių, nuo antrojo pabaigos — trečiąjį vektorių ir t. t., galiausiai sujungti pirmojo pradžią su paskutinio vektoriaus pabaiga.
C
Šis keleto vektorių sumos radimo būdas vadinamas vektorių sudėties daugiakampio taisykle. Jei pirmojo vektoriaus pradžia sutampa su paskutinio vektoriaus pabaiga, tai tų vektorių suma yra nulinis vektorius. Dviejų vektorių a ir b skirtumą, žymimą
+
^+
+
a —b, rasime, taikydami vektorių sudėties taisyklę a-b
= a + (-b).
Jei d = a-b, tai vektorius d yra vektorių a ir b skirtumas, vektorius a — turinys, o vektorius b — atėminys. Jei nekolinearieji vektoriai a ir b turi bendrą pradžios tašką, tai jų skirtumo vektorius jun-
a
gia jų pabaigos taškus ir yra nukreiptas iš atėminio į turinį. Jei vektoriai a ir b yra lygiagretainio kraštinės, tai tų vektorių suma ir skirtumas sutampa su jo įstrižainėmis c ir d : c = a +b ir d = a-b. Kampu tarp dviejų nenulinių vektorių, atidėtų nuo to paties taško, vadinamas kampas tarp išeinančių iš to paties taško spindulių, kuriuose yra šie vektoriai. Kampo tarp nenulinių vektorių didumas žymimas
Z(a,b) = y.
Kai
γ = 90°, sakoma, kad vektoriai yra statmeni, ir žymima a ± b . Taigi su bet kuriais nenuliniais vektoriais teisinga nelygybė 0° < Z(a,b)
<180°.
Sandauga Į&j cosy yra teigiama, kai vektoriai a ir b sudaro smailųjį kampą, ir neigiama, kai jie sudaro bukąjį kampą. Ši sandauga vadinama vektoriaus b projekcija vektoriaus a kryptyje ir žymima ba = рг-Ъ =
-cosy.
Dviejų nenulinių vektorių ilgių (modulių) bei kampo tarp jų kosinuso sandauga vadinama tų vektorių skaliarine sandauga. Skaliarinė vektorių a ir b sandauga žymima a b. a • b = |a| · Щ • cos(p, φ= Z (a, b)\ a-b
> 0, kai 0 < φ < 90°;
14 L·.
a-b
O C a A < O, kai 90° < φ < 180°;
a-b
= 0, kai vektoriai a h b yra vienas kitam statmeni, nes tada
cos φ = 0. Taigi vektorių a ir b statmenumo sąlyga yra a -b
=0.
Kai a = b, tai a-b = a -a. Skaliarinė sandauga a • a vadinama vektoriaus a skaliariniua kvadratu = a -a = Uir· žymima Ial · cos0°a= .|α|Tuomet , nes cos 0° = 1. Vektoriųtų veiksmų Jeigu vienas iš dviejų vektorių yra nulinis, tai skaliarinė vektoriųdėsniai sandauga lygi nuliui. Daugybos iš skaičiaus i r sudėties
Komutatyvumo (perstatomumo) dėsnis Asociatyvumo (jungiamumo) dėsnis
Skaliarinės daugybos
a-b = b-a
a+b=b+a
k-(Ia) = I (k a) = (kl) a
(k-a)-b
a + b + m = m + (a + b) =
=
= a-(kb)
=
k-(a-b)
= (b +a) + m Distributyvumo (skirstomumo) dėsnis
(k + l)-a = ka + la k-(a + b) = ka + kb
(a + b)-m=a-m
+ b-m
Vektorius plokštumoje Koordinačių plokštumoje xOy nuo koordinačių pradžios taško O atidėkime du vienetinius vektorius i ir j: vektorių i — Ox ašyje, vektorių j — Oy ašyje. Tuos vektorius vadinsime koordinatiniais vektoriais. Tada pasirinkime kurį nors plokštumos tašką M(x; y) ir iš koordinačių pradžios O į jj nubrėžkime vektorių OM = r. Šį vektorių vadinsime taško M vietos vektoriumi. Kiekvienas plokštumos taškas turi savo vietos vektorių. M{x;y)
OM =OK + KM =OK + ON, nes KM = ON. Kadangi OK = OK 1=χ
1
ir ON = ON • j = y- J, tai OM = x -i + y • j, arba r = x-i + y- j. Vektoriai xi ir y j vadinami vektoriaus r komponentėmis; χ-i
yra i komponentė, y-j
yra j kompo-
nentė, o skaičiai χ ir y — vektoriaus r koordinatės. Vektoriaus koordinatės rašomos tarp riestinių skliaustų po vektoriaus žymens: r{x;y},
arba r =
{x;y}.
Bet kurio plokštumos taško M vietos vektoriaus koordinatės lygios taško M koordinatėms. Taško M vietos vektoriaus r koordinatės yra to vektoriaus projekcijos koordinačių ašyse. Jei r yra nulinis vektorius, tai abi jo koordinatės lygios nuliui: 0{0;0}. Vektoriaus r ilgis (modulis) lygus И = Jx2
+ y1 •
Vienetiniais vektoriais i ir j galima išreikšti ne tik vietos vektorių, bet ir kiekvieną koordinačių plokštumos vektorių, jei žinomos jo pradžios bei pabaigos taškų koordinatės. Vektoriaus M 1 M 2 koordinatės lygios jo pabaigos taško M 2 (x2; y2) ir pradžios taško M 1 (χ,; ^ 1 ) atitinkamų koordinačių skirtumui M 1 M 2
{x2 - x,;
Уг-Ух)· Skirtumas X2 У2 - Уi
=
a y
- J
Xj fl^ vadinamas vektoriaus a projekcija Ox ašyje, o 0
projekcija Oy ašyje. Taigi a = axi + ayj = {ax;
ay}.
Koordinačių plokštumoje lygiagrečiai perstumiant vektorių, jo koordinatės nesikeičia. Žinant vektoriaus koordinates, galima rasti jo ilgį ir nurodyti kryptį. Pavyzdžiui, duota, kad a = = {x2 - xt; y2-y]}
=K;
ay}.
2
Tada [flj = Jaį + a y. Bet kurio vektoriaus a kryptį nurodo jo vienetinis vektorius a ; α — smailusis kampas, kurį sudaro vektorius su abscisių ašimi, β —- smailusis kampas, kurį sudaro vektorius su ordinačių ašimi. Tada cos α = p r , cos β
H
-о Vienetinio vektoriaus koordinates yra: a
p i ir cos 2 α + cos 2 β = 1.
H {cos α; cos β}. a
a
Vektorius erdvėje Vektoriai xi, y j , zk vadinami vietos vektoriaus r komponentėmis, o skaičiai x, y, z — vektoriaus r koordinatėmis. Žymima: r
y,
z),
arba r = {x, y, z}. Bet kurio erdvės taško koordinatės lygios jo vietos vektoriaus koordinatėms, o šios savo ruožtu yra to vektoriaus projekcijos ašyse. Jei r nulinis vektorius, tai visos jo koordinatės lygios nuliui: O {0; 0; 0}.
Ordinačių ašis
—
Vektoriaus r ilgis apskaičiuojamas pagal formulę H = V-χ 2 + /
+ *2.
Jei γ — kampas, kurį sudaro vektorius su aplikačių ašimi, tai г cosy = py. r -о Vektorius r = {cos α ; cos ρ; cos γ} yra vietos vektoriaus r vienetinis vektorius, nes cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Bet kurį erdvės vektorių a galima išreikšti vienetiniais vektoriais i, j ir k (kurie dar vadinami koordinatiniais vektoriais). Žinant vektoriaus a pradžios ir pabaigos taškų koordinates, galima rasti bet kurio vektoriaus koordinates (projekcijas koordinačių ašyse): a=axi a.
= Z
+ a 1
-
y
j + a
z
v
:
k = {ax,
ay;
a.};
čia
ax
=
x2
-
X1;
ay
=
y2
—
yx\
Vektoriaus a pradžios tašką perkeldami į koordinačių pradžią ir nekeisdami vektoriaus krypties, gausime vietos vektorių, kurio koordinatės ži-0 nomos. Vadinasi, vektoriaus a ilgį (modulį) ir a galime apskaičiuoti kaip ir vektoriaus r :
N / 2 , 2 ι 2. \a\ = J a + a + a · , x
y
z
Iaar x.aav
а
= ^ ρ τ ; ρ τ ;
r
r
a.
= {cos α; cos β; cos γ}.
a\
Vektorių, pateiktų koordinatėmis, veiksmų taisyklės Kiekviena vektoriaus ir skaičiaus sandaugos koordinatė lygi atitinkamos vektoriaus koordinatės ir to skaičiaus sandaugai. Kiekviena dviejų vektorių sumos koordinatė lygi tų vektorių atitinkamų koordinačių sumai. Kiekviena dviejų vektorių skirtumo koordinatė lygi tų vektorių atitinkamų koordinačių skirtumui. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga lygi tų vektorių atitinkamų koordinačių sandaugų sumai. Visa tai apibendrinta lentelėje: a = axi + ayj = b=
{ax;ay},
bj+bj={bx-by}
a = ax i + ay j + а: к = {αΛ; ay; az}, b = bxl+by'j
+ bzk =
Ia
[Iax-Jay]
{l-ax;l-ay;la:}
a±b
{ax±bx-,ay±by}
{ax±bx-,ay±by-,a:±b:}
a•b
ax-bx+ay-by
axbx+ayby+azbz
{bx-,by-b:}
Kolineariųjų vektorių atitinkamos koordinatės yra proporcingos: a
a
<
a
y
:
Kampas tarp dviejų vektorių apskaičiuojamas pagal formulę m•n cosy = . _ . . \m\ • Ы Atstumas tarp dviejų taškų, kai žinomos taškų koordinatės A(xl; 2
yx), 2
B(x2\ y2), apskaičiuojamas pagal formulę d = yj(x2 - X1 ) + (y2 - y, ) ,
o
kai nurodytos ir taškų aplikatės, t. y. Aixl; yx\ z,), B(x2; y2; z2), tai atstumas tarp tų taškų randamas pagal formulę d = yj(x
2
-X
1
)
2
+(y
2
- y , )
2
+(z
2
-z
1
)
2
.
А1каф05 vidurio taško koordinatės plokštumoje apskaičiuojamos taip: χ, + x71 y, + v, ... χ = —1 y = — — , o erdveje — taip:
FUNKCIJOS IR ANALIZĖS PRADMENYS FUNKCIJA Pagrindinės sąvokos Jei kiekvienam skaičių aibės D skaičiui χ pagal nurodytą taisyklę (dėsnį) priskiriamas vienas realusis skaičius y, tai sakoma, kad aibėje D yra apibrėžta funkcija. Rašome y = fix). Bet kuris skaičių aibės D elementas χ vadinamas nepriklausomuoju kintamuoju arba argumentu, o aibė Z) — funkcijos y = f x ) apibrėžimo sritimi ir dažniausiai žymima D(J). Skaičius y, atitinkantis pasirinktąją argumento reikšmę x, vadinamas funkcijos reikšme taške x. Visų funkcijos y = fix) reikšmių aibė žymima raide E arba E(J) ir vadinama funkcijos reikšmių sritimi. Bet kuris aibės E elementas y vadinamas priklausomuoju kintamuoju. Dažniausiai funkcija apibrėžiama formule, pavyzdžiui, y = ——-. FormuX-3
lė nurodo, kaip, turint argumento reikšmę x, apskaičiuoti funkcijos reikšmę y. Formulėje vietoj χ reikia įrašyti argumento reikšmę ir atlikti nurodytus veiksmus. Nagrinėjamu atveju, kai χ = 6, funkcijos reikšmė y=
12
= и4.
6-3 Kai funkcija apibrėžiama formule y = f x ) ir jos apibrėžimo sritis nenurodoma, tai funkcijos apibrėžimo sritimi laikoma reiškinio f x ) apibrėžimo sritis. Nagrinėtame pavyzdyje funkcijos apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai, išskyrus 3. Funkcija gali būti apibrėžta lentele, pavyzdžiui: X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
У
1
4
9
16
25
36
49
64
81
Pagal šią lentelę, argumento reikšmę χ = 3 atitinka funkcijos reikšmė Y = 9, o reikšmę Χ = 4 atitinka Y = 16 ir t. t. Šiame pavyzdyje lentele apibrėžtą funkciją galima užrašyti formule y = χ 2 , kai jc e {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Kartais funkcijos skirtinguose intervaluose išreiškiamos skirtingais reiškiniais. χ2 + χ
+ 1,
1 p a v y z d y s . f ( x ) = x(3-x), x
~l
-
1 < jc < o ,
0 < jc < 3, 3<
jc
< 5.
jc + 1
Funkcija у = Д х ) vadinama didėjančiąja intervale (a; b), jeigu, pasirinkus du bet kuriuos to intervalo skaičius jc, < x2, iš nelygybės X1 < X2 išplaukia nelygybė Дх,) < Xx 2 ).
Funkcija y = β χ ) vadinama mažėjančiąja intervale (a; b), jeigu, pasirinkus du bet kuriuos to intervalo skaičius X1 ir x 2 , iš nelygybės x, < X2 išplaukia nelygybė /(χ,) > А х г)·
Tik didėjančiąją arba mažėjančiąją intervale funkciją vadiname monotonine funkcija tame intervale, o intervalą — funkcijos monotoniškumo intervalu. Jeigu funkcija Дх) didėja atkarpoje [a; c] ir mažėja atkarpoje [c; b], tai jos reikšmė taške c yra didesnė už jos reikšmes kituose atkarpos [a, b] taškuose. Sakoma, kad funkcija Дх) taške c turi maksimumą. Analogiškai, jeigu funkcija J(x) mažėja atkarpoje [a; c] ir didėja atkarpoje [c; b\, tai jos reikšmė taške c yra mažesnė už jos reikšmes kituose atkarpos [a; b] taškuose. Sakoma, kad funkcija f x ) taške c turi minimumą.
Funkcija y = f x ) vadinama lygine, kai kartu su kiekviena kintamojo χ reikšme iš apibrėžimo srities reikšmė —x irgi priklauso tos funkcijos apibrėžimo sričiai; be to, yra teisinga lygybė J[-x) = f x ) . Funkcija y = f x ) vadinama nelygine, kai kartu su kiekviena kintamojo χ reikšme iš apibrėžimo srities reikšmė - x irgi priklauso tos funkcijos apibrėžimo sričiai; be to, yra teisinga lygybė f-x) = - f x ) . Tarkime, kad y = Дх) yra lyginė funkcija ir x0 e D(J). Šios funkcijos grafikui priklauso taškai (x0; fx0)) ir (-x 0 ; Дх 0 )), kurie yra simetriški ašies Oy atžvilgiu. Vadinasi, lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu. Sakykime, kad y = f(x) yra nelyginė funkcija ir X0 € D(f). Šios funkcijos grafikui priklauso taškai (x0; Xx 0 )) ir (-x 0 ; -Дх 0 )), kurie yra simetriški taško (0; 0) atžvilgiu. Taigi nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu.
Funkcija у = Дх) vadinama periodine su periodu T > O, kai su kiekviena χ reikšme iš šios funkcijos apibrėžimo srities taškai (x + T) u (x - T) irgi priklauso apibrėžimo sričiai ir yra teisinga lygybė Дх) = f x + T) = = Ax-T). Periodinės yra tik trigonometrinės funkcijos. Atvirkštinė funkcija Nagrinėdami funkcijas, jūs ne kartą sprendėte šitokį uždavinį: reikia apskaičiuoti funkcijos f reikšmę, kai jos argumento reikšmė lygi xH. Dažnai reikia spręsti ir atvirkštinį uždavinį: ieškomos argumento reikšmės, su kuriomis funkcija f įgyja nurodytą reikšmę yn. Išnagrinėkime du pavyzdžius: 1 p a v y z d y s . Sakykime, Д х ) = kx + b (k Φ 0). Kad rastume argumento χ reikšmes, su kuriomis Д х ) = y 0 , turime išspręsti lygtį Дх) = y 0 , t. y. lygtį kx + b = y0. Ją spręsdami, įsitikiname, kad ši lygtis, kai y() — bet kuris skaičius, turi tik vieną sprendinį x =
y°~b k
2 p a v y z d y s . Sakykime,Дх) = x 2 . Nagrinėdami funkciją, gauname du lygties Дх) = y 0 (y0 > 0) sprendinius: •vi =yfyū> x2 = ~у[уо Cie' Уо — 0, t a · sprendinys yra tik vienas: x() = 0). Funkcija, kuri kiekvieną reikšmę įgyja tik viename apibrėžimo srities taške, vadinama apgręžiamąja. Todėl funkcija Дх) = kx + b (kai k Φ 0) yra apgręžiamoji, o funkcija Дх) = χ 2 (apibrėžta visoje skaičių tiesėje) -— ne. P a s t a b a . Iš apgręžiamosios funkcijos apibrėžimo išplaukia, kad lygtis Дх) = а, ка1Дх) — apgręžiamoji funkcija, o skaičius a priklauso reikšmių sričiai E(J), turi tik vieną sprendinį. S a k y k i m e , / — bet kuri apgręžiamoji funkcija. Tada kiekvieną skaičių y0 iš jos reikšmių srities E(J~) atitinka vienintelė tokia reikšmė X0 iš apibrėžimo srities D(f), kad Дх ц ) = y0. Priskyrę kiekvienam y0 tą reikšmę x 0 , gausime naują funkciją g, kurios apibrėžimo sritis — E ( f ) , o reikšmių sritis — D(J). Pavyzdžiui, iš apgręžiamosios funkcijos Дх) = kx + b (k Φ Φ 0) sudarytos funkcijos g reikšmė bet kuriame taške y0 išreiškiama formule g(y0) = ———. Žymėdami funkcijos g argumentą, kaip įprasta, k raide χ, gauname g(x) =
*—-. k
Funkcija g, kuri kiekviename apgręžiamosios funkcijos / r e i k š m i ų srities taške χ įgyja tokią reikšmę y, kai /(.v) = y, vadinama atvirkštine funkcijai f . Kaip jau buvo parodyta, funkcijai J{x) = kx + b (k Φ 0) atvirkštinė funkcija χ—b yra g(x) = ——· k Jei apgręžiamosios funkcijos / grafikas žinomas, tai jai atvirkštinės funkcijos g grafiką lengva nubraižyti, remiantis tokiu teiginiu: funkcijai / atvirkštinės funkcijos g grafikas yra simetriškas funkcijos/grafikui tiesės y = χ atžvilgiu. Atvirkštinės funkcijos teorema. Jei funkcija yra didėjanti (arba mažėjanti) intervale /, tai ji yra apgręžiamoji. Funkcijos / atvirkštinė funkcija g, apibrėžta / reikšmių srityje, yra taip pat didėjanti (arba mažėjanti).
Funkcijos grafikas Funkcijos y = f x ) grafiku vadinama aibė visų koordinačių plokštumos taškų, kurių abscises yra argumento χ reikšmės, o ordinatės — funkcijos /(.v) atitinkamos reikšmės. Kartais funkcija apibrėžiama grafiku. Tada pagal taško abscisę χ = a nustatoma funkcijos reikšmė — ordinatė f a ) . Norint nubraižyti funkcijos y = f[x) grafiką, reikia koordinačių plokštumoje pažymėti visus taškus, kurių koordinatės tenkina lygybę y = J(x). Bet taip padaryti ne visuomet įmanoma. Todėl, pažymėję kelis taškus ir atsižvelgdami į funkcijos savybes, per juos apytiksliai brėžiame kreivę, kurią ir laikome funkcijos grafiku. Dažniausiai funkcijos grafikas yra kokia nors plokštumos kreivė, sudaryta iš keleto gabalų. Tačiau ne kiekviena kreivė gali būti funkcijos grafikas. Pavyzdžiui, apskritimas negali būti jokios funkcijos grafikas, nes, žinodami apskritimo taško abscisę, gauname dvi ordinatės reikšmes, o funkcija kiekvienam χ e D(J) priskiria tik vieną skaičių. Kreivė yra funkcijos grafikas tik tada, kai kiekviena tiesė, lygiagreti ordinačių ašiai, arba nekerta šios kreivės, arba kerta ją viename taške.
J
Y'
Уо
I
/ iI
I II
!/
/
V x=a Kreivė nėra funkcijos grafikas
χ
— -
У<
=α
X =
L
--b
х--=
C
Kreivė yra funkcijos grafikas
1 p a v y z d y s . Raskime funkcijos f ( x ) = y/x+\ atvirkštinę funkciją, kai χ > - 1 . Nubraižykime duotosios ir jai atvirkštinės funkcijų grafikus. Sprendimas. Iš lygybės f ( x ) = y = +1 išreikškime x. y1 = x+ 1; χ = y2 — 1. Sukeitę χ su y vietomis, gauname naują funkciją У
=
&(*) - X2 - 1. Brėžiam grafikus, kai Χ > —1.
2 p a v y z d y s . Nubrėžkime funkcijos Дх) grafiko eskizą, kai funkcijos savybės yra šios: 1) funkcija / didėja intervaluose (— 1 ] ir [5; °o); 2) funkcija / mažėja intervale [1; 5]; 3) funkcijos maksimumo taškas χ = 1, o funkcijos minimumo taškas χ = 5; 4 ) Д 1 ) = 4 ir Д 5 ) = 2. Ar gali funkcija su nurodytomis savybėmis būti lyginė ar nelyginė? Kodėl? Sprendimas. Pirmiausia, remdamiesi uždavinio sąlyga, braižome funkcijos grafiką. Iš jo matome, kad funkcijos grafikas nėra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu, taigi ji negali būti lyginė. Bet negali būti ir nelyginė, nes
LAIPSNINĖS FUNKCIJOS Laipsninė funkcija su sveikuoju neigiamuoju rodikliu Nagrinėkime funkciją y = χ k a i n — natūralusis skaičius. Įrašę 1 n = 1, gauname y = χ a r b a y = — •
Sakykime, n nelyginis skaičius, didesnis už vienetą, n = 3, 5, 7, ... Iada funkcija y = χ " iš esmės turi tas pačias savybes, kaip ir funkcija 1 r =
χ-
Funkcijos y = x
n
1 (n = 3, 5, 7, ...) grafikas primena funkcijos y = —
grafiką. Sakykime, kad n - lyginis skaičius, pavyzdžiui, n = 2. Funkcijos y = 1 = χ 2, arba funkcijos y = savybės: 1) funkcija apibrėžta su visais χ Φ 0; 1 2) у = —- lyginė funkcija; 1 3) y = ^ y mažėja intervale (0;
ir didėja intervale
Tas pačias savybes turi kiekviena funkcija y = χ čius, didesnis už 2.
0).
kai n yra lyginis skai-
Funkcija y = V x Funkcijos y = savybės: 1) funkcijos apibrėžimo sritis — spindulys [0; Vx apibrėžtas, kai χ > 0;
kadangi reiškinys
2) funkcija y = Vx nėra nei lyginė, nei nelyginė; 3) funkcija y = Vx didėja spindulyje [0; +<»). Sakykime, kad 0 < X1 < x 2 . Įrodysime, kad φχ, < φχ~2. Tarkime priešingai, t. y. kad yfx~i > yjx^. Tada ( λ / χ J 2 > ( φ ζ ) 2
ir χ, > x 2 , o tai priešta-
rauja sąlygai. Vadinasi, mūsų prielaida neteisinga, ir nelygybė ^ T 1 < <&
yra teisinga.
Nubraižykime y = Vx funkcijos grafiką. Tam sudarykime jos reikšmių lentelę: X
0
1
2
4
9
f(x)
0
1
1,4
2
3
Gautus taškus pažymėję koordinačių plokštumoje, sujungiame glodžia kreive. Turime funkcijos y = Vx grafiką.
0,8 j
Funkcija y = Jx Funkcijos y = J x
savybės:
1) funkcijos apibrėžimo sritis — visa skaičių tiesė; 2) funkcija y = Jx nė, nes J—x = 3) funkcija y = Jx
yra nelygi-Jx; didėja visoje
skaičių tiesėje. Nubraižykime funkcijos y = grafiko šaką, kai χ > 0. Sudarykime reikšmių lentelę: л:
0
1
4
8
f(x)
0
1
1,6
2
Gautus taškus pažymėję koordinačių plokštumoje, sujungiame glodžia kreive. Paskui prie nubrėžtos šakos prijungiame šaką, simetrišką jai koordinačių pradžios atžvilgiu.
У 30,6 -10
Funkcija y = J x . Kai n lyginis, tai funkcija y = Jx
y=\[x
1,8 I -6
I -2 -0,6/
1 2
I 6
I • 10 χ
-1,8 -3
turi tas pačias savybes,
kaip ir funkcija y = Jx,
o jos grafikas primena funkcijos y = Jx
grafiką.
Kai n nelyginis, tai funkcija y = J~x turi tas pačias savybes, kaip ir funkcija v = Jx,
o jos grafikas primena funkcijos y = Jx
grafiką.
Laipsninė funkcija su teigiamuoju trupmeniniu rodikliu Nagrinėkime funkciją y = xr, kai r — nesuprastinamoji trupmena. Šios funkcijos savybės: 1) apibrėžimo sritis — spindulys [0; 2) funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė; 3) funkcija y = xr didėja visame spindulyje [0;
Čia pavaizduotas funkcijos Y = X5 grafikas. Jis yra tarp funkcijų y = x 2 ir y = x\ apibrėžtų intervale [0; +<»), grafikų. Panašiai atrodo bet kurios funkcijos y = xr, kai r > 1, grafikas.
Laipsninė funkcija su neig
ju trupmeniniu rodikliu
Nagrinėkime funkciją y = xr, kai r — teigiamoji nesuprastinamoji trupmena. Šios funkcijos savybės: 1) apibrėžimo sritis — intervalas (0; +oo); 2) funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė; 3) funkcija mažėja visame intervale (0; +oo). Nubraižykime, pavyzdžiui, funkcijos y = x
2
grafiką. Tam sudaryki-
me funkcijos reikšmių lentelę:
л: Λχ)
1
1
—
—
9
4
3
2
1 1
4
9
1
1
2
3
Gautus taškus sujungiame. Panašiai atrodo bet kurios funkcijos y = χ kai r — teigiamoji trupmena, grafikas.
r
Tiesinė funkcija y = kx + b Šios funkcijos grafikas yra tiesė. Koeficientas k vadinamas krypties koeficientu (k = tg a ; čia α yra kampas, kurį tiesė sudaro su teigiamąja Ox pusaše).
Savybės: 1) D(y) = R; 2) E(y) = R; 3) kai k > O, funkcija yra didėjanti, kai k < O, funkcija — mažėjanti; 4) funkcija nei lyginė, nei nelyginė, nes f{-x) = k(~x) + b = —(kx - b). Kai k = O, y = b (b — bet kuris skaičius), šios funkcijos grafikas yra tiesė, einanti per tašką (0; b) ir lygiagreti su ašimi Ox. Kai b = 0, y = kx (k — bet kuris skaičius), šios funkcijos grafikas yra tiesė, einanti per tašką (0,0). Atskiras atvejis: χ = a. Šios funkcijos grafikas yra tiesė, einanti per tašką (я; 0) ir lygiagreti su Oy ašimi. Kvadratinė funkcija y = ах2 + bx + c (a Φ 0) Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Norint ją nubraižyti, reikia pažymėti taškus, kuriuose kvadratinės funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis ir parabolės viršūnės koordinates. Viršūnės koordinates patogu nustatyti, išreiškiant kvadratinį trinarį pilnuoju kvadratu: ax1 + bx + c = = a(x + m) 2 + n\ tada viršūnės koordinatės bus (—m; n). Taip pat jas galima apskaičiuoti pagal formules „ =
B = *!£Z*I Tiese x = 2a 4a = - m yra funkcijos simetrijos ašis. Kai a > 0, parabolės šakos eina į viršų, kai a < 0, — į apačią.
Savybės: 1) D(y) = R; 2) E(y): kai a > 0, — [n; kai a < 0, — (n]; 3) funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė; 4) kai a > 0, intervale (—°o; - m ] funkcija yra mažėjanti, o intervale [--m; — didėjanti; kai a < 0, intervale - m ] funkcija yra didėjanti, o intervale [ - m ; — mažėjanti. y
6\
/
5 \ 4 \ 3 2
-2 -1 0
/ / \
/ Į y=Xl- 5X +7
\
1 2
3 4 a)
5
6 * b)
к Atvirkštinis proporcingumas y = ~ (k Φ 0) χ Šios funkcijos grafikas yra hiperbolė. Skaičius k vadinamas atvirkštinio proporcingumo koeficientu. Savybės: 1) D{y) = (-00; 0) U (0; +00); Ic 2) E(y) = (-00; 0) U (0; +00); 3) funkcija yra nelyginė, nes / ( - * ) = — = —χ =—
=
~ f ( x ) ; 4) kai k > 0, funkcija visoje savo apibrėžimo srityje yra
Funkcija, kurią galima išreikšti formule y = kx (k Φ 0), apibūdina tiesioginį proporcingumą. Skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu. Šios funkcijos grafikas yra tiesė, einanti per tašką (0; 0).
Proporcijos Dviejų dydžio reikšmių dalmuo vadinamas to dydžio reikšmių santykiu. Kadangi dydžio reikšmės yra skaičiai, tai matematikoje dažniausiai kalbama tiesiog apie skaičių a ir b santykį a : b. Kai santykiai a : b ir c : d lygūs, rašome a : b = c : d. Dviejų santykių lygybė vadinama proporcija. Skaičiai a ir d vadinami tos proporcijos kraštiniais nariais, o b ir c — vidiniais nariais. Teorema. Jei proporcija a : b = c : d teisinga, tai jos kraštinių narių sandauga lygi vidinių narių sandaugai, t. y. a • d = c · b.
Lygtys ir nelygybės л-tojo laipsnio šaknis и-tojo (n 6 N, n > 2) laipsnio šaknimi iš skaičiaus a vadinamas skaičius, kurio n-tasis laipsnis lygus a. Žymima Aritmetine /i-tojo laipsnio šaknimi iš neneigiamo skaičiaus a vadinamas neneigiamas skaičius, kurio /г-tasis laipsnis lygus a. /г-tojo laipsnio šaknų savybės: 1. J a b = J a - J b .
3. ( J ^ ) " = J7(n,ke 4. (Ja)"= 5- ^Va
N).
a.
="Ja
(n, k e N).
6. "Ja™* = Ja™ (m, n, k e N). Iracionaliosios lygtys Lygtis, kurios kintamasis yra po šaknies ženklu, vadinamas iracionaliąja lygtimi. Sprendžiant lygtis su kvadratinėmis šaknimis, dažnai tenka abi lygties puses kelti kvadratu. Tokiu atveju gali atsirasti pašalinių sprendinių. Norint gauti teisingą atsakymą, reikia patikrinimo. 1 pavyzdys. χ + 2 = χ2, χ2 - χ -2 = O, D = 9, χ, = - 1 , x 2 = 2.
Jx+ 2 = x,
P a t i k r i n i m a s . Į pradinę lygtį vietoj χ įrašome - 1 : V - l + 2 = - 1 — lygybė neteisinga. Kai χ = 2, tai J 2 + 2 = 2 , J4= 2. Ats.: 2. 2 p a v y z d y s . J 3 x - 8 =-2. Aritmetinės šaknies reikšmė negali būti neigiama. Ats.: lygtis sprendinių neturi.
3
p a v y z d y s . J Зх + 2 - 5 = \ / l l - 3 x ,
sj Зх + 2 =5 + J 1 1 - З х , Зх + 2 = 25 + 10-s/l 1 — 3JC + 11 —ЗХ, 6х — 34 = Юл/Г 1 —Зх (suprastiname iš 2 ir keliame kvadratu), 9x2 - 102x + 289 = 25(11 - 3x), 9x2 - 27x + 14 = O, D = 225, -Z X | _
-2 *2~3'
3'
Patikrinimas. " v
f f ~
2
-
5
' f - 4 ·
- I =
f f i - ' - f - ^ y
7 9 - 5 = 7?,
7 4 - 5 = 79,
-2 *
- 3 * 3.
2.
Ats.: lygtis sprendinių neturi. Tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistemos Sistemą
ία,χ + b, y = c,, [a 2 x +
v = C2
. . . , „ . vadiname tiesinių lygčių su dviem kinta-
maisiais sistema. Jei kiekvienos lygties nors vieno kintamojo koeficientas nelygus O, tai šios sistemos kiekvienos lygties grafikas yra tiesė. Koordinačių sistemoje nubrėžę tas tieses, gauname tris jų padėties atvejus: 1) tiesės susikerta, ir sistema turi vieną sprendinį, kai — Φ — ; a2 b2 2) tiesės sutampa, ir sistema turi be galo daug sprendinių, kai a, _bt
_ c,
3) tiesės yra lygiagrečios (neturi bendrų taškų), ir sistema neturi sprendi· α— ι L = b, mų, ιkai —L c, —!-. a2 b2 C1
Kai bx Φ O ir b2 Φ O, tai tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistemą galima pakeisti sistema
Ir vėl galimi trys sistemos lygtis atitinkančių tiesių padėties atvejai: 1) tiesės susikerta, ir sistema turi vieną sprendinį, kai Φ k2, 2) tiesės sutampa, ir sistema turi be galo daug sprendinių, kai kf = k2, 3) tiesės lygiagrečios (neturi bendrų taškų), ir sistema neturi sprendinių, kai = k2, /, Φ I2. Sprendžiant lygčių sistemas, taikomi sudėties, keitimo, sulyginimo ir grafinis sprendimo būdai. Sudėties būdas. Sudedant panariui lygtis, lieka vienas kintamasis.
0 = 0.
Ats.: (x; 2 - .r), χ e R. Keitimo būdas. Iš vienos lygties išreiškiame vieną kintamąjį ir įrašome į kitą lygtį.
\y = 3x - 5, [5.x + 6x-10
= 23;
1 Ix = 33, χ = 3, 7 = 3 - 3 - 5 = 4. Ats.: (3; 4). Sulyginimo būdas. Iš abiejų lygčių išreiškiame vieną kintamąjį ir abi išraiškas sulyginame. Taip gauname lygtį su vienu kintamuoju.
5x + 6>> = 13, 3 pavyzdys.
χ - y = -3,
13 — 5JC y = x + 3, 13-5JC
6
=x+
3, 5 ~ ~ 6 — + 3 = 2 —. 11 11
11 Ats.:
Λ 2 Ι 11
11
Grafinis būdas. Iš abiejų lygčių išreiškiame y ir nubrėžiame j ų grafikus viename brėžinyje. Šiuo būdu sprendžiamos ir kitos sistemos. Tačiau, sprendžiant šiuo būdu, ne visada brėžinyje matosi tikslios sprendinių reikšmės. Grafinį būdą taikyti patogu tik tada, kai reikia nustatyti, kiek sprendinių turi sistema. J3x + 2y = 0, | 2 x _ > ) + 7 = o,
4 pavyzdys.
3x _У — išreiškiame y: y = 2x + 7. Nubrėžiame abi tieses vienoje koordinačių plokštumoje. Ats.: ( - 2 ; 3). Sprendžiant netiesinių lygčių sistemas, taip pat taikomi sudėties, keitimo, sulyginimo ir grafinis sprendimo būdai. = 14, 5 pavyzdys.
2
[χ" + 2y
=18.
Taikysime sudėties būdą: 2x2 = 32; iš čia χ = ± 4. Iš antros lygties y2 =
18-
Įrašome χ = - 4 , tuomet y = + 1 ir kai
χ = 4, y = ± 1. Ats.: ( - 4 ; - 1 ) , ( - 4 ; 1), (4; - 1 ) , (4; 1).
ix
- у
Taikysime keitimo būdą. УА
x
x4
2
зл2
-
- 8x2 - 9 = 0.
Gautą bikvadratinę lygtį spręsime keitimo būdu. χ 2 = a, a > 0, a 2 - 8a - 9 = 0, D = 100, a, = - 1 , a 2 = 9. a, netenkina sąlygos, tai įrašome a, reikšmę: x2 = 9, χ = ± 3 ir y = ± 1. Ats.: ( - 3 ; - 1 ) , (3; 1). Tiesinės nelygybės Tiesinėmis nelygybėmis vadinamos nelygybės, kurių išraiška αχ + + b > 0 (αχ + b < 0, αχ + b > 0, αχ + b < 0), kur a ir b — skaičiai, o x — kintamasis. Nelygybė αχ + b > 0 ekvivalenti nelygybei αχ > -b. 1) Jei a > O, tai χ > Ats.:
—
—.
;+oo
α 2) Jei a < 0, tai χ < Ats.:
—. a
b -OO'
3) Jei α = O, turime nelygybę O · χ > - b . Kai b < O, nelygybė sprendinių neturi, kai b > O, χ — bet kuris skaičius, t. y. χ e R. Nelygybės atsakymą rašome intervalu. Pateikiame jų lentelę.
4.
97
Nelygybė
Vaizduojame
Intervalas
Skaitome
Л Ш Ш Ш Ш Ш Ш ь
-1 < χ < 3
-1
3
^/////////////////////////////^
( - i ; 3)
Intervalas nuo - 1 iki 3.
[ - i ; 3]
Intervalas nuo - 1 iki 3, įskaitant - 1 ir 3.
^
-1 < χ < 3
-1
-1 < χ < 3
-1
3
[ - i ; 3)
Intervalas nuo - 1 iki 3, įskaitant - 1 .
-1 < χ < 3
-1
3
H ;
Intervalas nuo - 1 iki 3, įskaitant 3.
3
J/////////////////////////////a
>
3]
ęį////////^
χ > 3
3
χ > 3
3
(3; + » )
Intervalas nuo 3 iki +oo.
[3; + « )
Intervalas nuo 3 iki +oo, įskaitant 3.
(-со; 3)
Intervalas nuo -со iki 3.
(-ос; 3]
Intervalas nuo -со iki 3, įskaitant 3.
(— oo; +oo)
Intervalas nuo -со iki + с о .
J////////^
v///////////////////////////////////////b
χ < 3
I
3 V///////////////////////////////////////t
χ < 3
3
^
У////Ш/////////ММ//МШ//М////М/////% -CXJ
<
X
<
+OO
Kvadratinės nelygybės Nelygybės, kurių išraiška ax2 + bx + c > O arba ax1 + bx + с < О (α, b, с — skaičiai, be to, α Φ O, χ — kintamasis), vadinamos antrojo laipsnio, arba kvadratinėmis nelygybėmis su vienu kintamuoju. Kvadratines nelygybes su vienu kintamuoju sprendžiame taip: 1) randame kvadratinio trinario sprendinius, kai D > 0; 2) išskaidome tą trinarį tiesiniais daugikliais; 3) nelygybei a(x - x,)(x - x 2 ) > 0 arba a(x - x,)(x - x2) < 0 taikome intervalų metodą. P a s t a b o s . 1) Jei kvadratinis trinaris turi lygius sprendinius, tai jis yra dvinario kvadratas. Taigi kai a > 0 ir D = 0, tai a(x - X1)2 > 0 su bet kuriuo χ e R. 2) Jei kvadratinis trinaris realiųjų sprendinių neturi, tai jo negalima išskaidyti daugikliais, be to, jis visuomet yra teigiamas. Vadinasi, kai a > 0 ir D < 0, tai αχ 2 + bx + с > 0 su visais χ.
Racionaliųjų nelygybių sprendimas intervalų metodu f (χ) Racionaliąsias nelygybes
> 0 (агЬаДх) · g(x) > 0), к и г Д х ) gM ir g(x) — daugianariai, patogu spręsti intervalų metodu. Metodo esme tokia: 1) skaičių tiesėje pažymime l y g c i u / x ) = 0 irg(x) = 0 sprendinius (jei jų yra): χ, < x2 < ... < Xn (n e N); 2) kiekviename intervale (-°°; X1), (x,; x 2 ), ..., (xn l ; χJ , (xn; pasirenf(x) kame po tašką ir nustatome reiškinio ženklą tame intervale. Intervalų metodas remiasi svarbia daugianario savybe: intervale, apribotame dviem gretimais sprendiniais, daugianario ženklas yra pastovus. Todėl, norint sužinoti daugianario ženklą konkrečiam intervale, reikia išsiaiškinti, koks yra jo ženklas bet kuriame to intervalo taške. Jei skaidinys išreikštas taip: (x - x 1 ) · (x - x 2 ) . . . ( x - xn_.,) · (x - x„), visada kraštiniame dešiniajame intervale rašomas ženklas „+", į kairę nuo jo — ženklas „ - " , paskui „+" ir taip toliau, kaitaliojant ženklus „+" ir „ - " . Kitaip išsidėsto ženklai, kai yra lyginio kartotinumo sprendinių. Lyginio kartotinumo sprendinio abiejose pusėse yra vienodi ženklai (žr. 2 pavyzdį). f(x\ 3) nelygybės > 0 sprendiniai bus tie intervalai, kuriuose parašytas g(x) f( x ) ženklas „+", o nelygybės < 0 sprendiniai — tie intervalai, kug(x) riuose parašytas ženklas „ - " . > 0 arba tai lygties g O) g W Дх) = 0 sprendiniai, netenkinantys lygties g(x) = 0, priklauso tos nelygybės sprendinių aibei. P a s t a b a . Jei nelygybė negriežta
1 pavyzdys.
χ 2 - χ - 6r
χ 2 - χ - 6 = 0. Lygties sprendiniai - 2 ir 3. Tada nelygybė yra (x + 2 ) ( x - 3 ) x-5
< 0 j-(x-5) ,
(x + 2)(x - 3)(x - 5) < 0. Atidedame sprendinius skaičių tiesėje: Ats.: (-ос; - 2 ) U (3; 5).
χ ^ ^ > θ | . ( 1χ (x + l ) ( x - l )
I
-
+
1)2(χ-1)2,
(χ + 2)(x +1) 2 (χ - 1 ) > 0. Ats.: ( — - 2 ] U (1; +oo). Nelygybių sistemos Jei reikia rasti χ reikšmes, su kuriomis teisinga ir nelygybė ax + b > 0, ir nelygybė cx + d > 0, tai sakoma, kad reikia išspręsti nelygybių sistemą. Rašoma: Jcix + b> 0, Icx + d > 0. Nelygybių sistemos sprendinių aibė yra sistemą sudarančių nelygybių sprendinių aibių sankirta. Taigi, norint išspręsti nelygybių su vienu kintamuoju sistemą, pakanka rasti kiekvienos nelygybės sprendinių aibę ir šių aibių sankirtą. Norint gauti teisingą atsakymą, patogu vienoje skaičių tiesėje pavaizduoti abiejų nelygybių sprendinius. Tiesės viršuje subrūkšniuoti vienos nelygybės sprendinius, o apačioje — kitos. Sistemos sprendiniai bus ten, kur gaunasi „eglutė". Jei bent viena nelygybė neturi sprendinių, tai ir nelygybių sistema neturi sprendinių. Jei vieną nelygybę tenkina bet kuri χ reikšmė, tai nelygybių sistemos sprendinių aibė sutampa su kitos nelygybės sprendinių aibe. Kvadratinių nelygybių bei racionaliųjų nelygybių sistemų sprendinių aibė yra sistemą sudarančių nelygybių sprendinių aibių sankirta. 1 pavyzdys. г o . ,, „ χ 2 - 8x + 15 = 0, - 8x + 15 < 0, D
= 4 ' χ, = 3,
[2x - 1 > 0, f(x-3)(x-5)<0, Ix>0,5,
*2 " _ 0 Φ 0
Ats.: (3; 5).
+
5
—
·
f + 5 Μ/////////////////Λ v///////////////. v/////////~ X 0,5
2 pavyzdys. (Зх +1) 2 - 3 > 9x(x + 2) - 26, 3x + 3 > 2 x + l, л: > - 2
-2
-2
x
Ats.: [-2; 2]. 3 pavyzdys. 2
2
χ — 2xy+3y χ-2y
Raskite didžiausią c reikšmę, su kuria lygčių sistema =6,
=c
turi bent vieną sprendinį.
Sprendimas: χ 2 - 2 x y + 3 / = 6, χ - 2y = c, χ = c + 2y, (c + 2y)2 - 2y(c + 2 y ) + 3y2 = 6, c2 + Acy + 4y 2 - 2cy - Ay2 + 3y2 - 6 = O, 3y 2 + 2cy + (c2 - 6 ) = 0." Kvadratinė lygtis turi vieną ir daugiau sprendinių, kai diskriminantas yra didesnis arba lygus 0. D = Ac2 - 12(c - 6) = 4c 2 - 12c2 + 72 = 72 - 8c 2 , 72 - 8c2 > 0, -8c2 > -72, 8c2 < 72, c 2 < 9, И < 3, - 3 < c < 3. Didžiausia parametro c reikšmė yra lygi 3. Ats.: c = 3.
RODIKLINĖS IR LOGARITMINĖS FUNKCIJOS Rodiklinė funkcija y = а" (a > 0, a φ 1) 1. Funkcija y = ax, kai a > 1. Jos savybės: 1 )D(y) = ; +oo); 2) E(y) = (0; +oo); 3) funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė, nes a " Φ a x ir a 4) funkcija yra didėjanti intervale (-oo; +oo).
x
Φ -a*\
2. 1) 2) 3) 4)
Funkcija у = αν, kai О < а < 1. Jos savybės: D(y) = (-о; +-); Е(у) = (0; + - ) ; funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė, nes a x Φ a x ir a funkcija yra mažėjanti intervale
x
Φ -ax;
Jei χ ir y — bet kurie realieji skaičiai, tai teisingos lygybės: 1) ax • ay = ax+y; 2) -~ = ax-y; x
3) {ab)x = ax · bx\ 4)
= fL;
xy
5) (a Y = a . Jos vadinamos laipsnio pagrindinėmis savybėmis. Rodiklinėmis lygtimis vadinamos lygtys, kurių kintamasis yra laipsnio rodiklyje. Rodiklinės lygtys sprendžiamos remiantis teiginiais: 1) jei a > O ir a Φ 1, tai lygtis aAx) = ag(x) yra ekvivalenti lygčiai Дх) = 2) lygtis аЯх) = Ь^х) (a > O, a Φ 1, b > O, b Φ 1) ekvivalenti lygčiai J[x) = g(x) • log a b. 1 p a v y z d y s . Lygtys, sprendžiamos suvienodinant laipsnių pagrindus: Ψ = 27'
3jr
, 33x = 33<1 Зг), 3x = 3 - 9x, χ = - . Ats.: 4 4
2 p a v y z d y s . Lygtys, sprendžiamos iškeliant už skliaustų bendrą dauginamąjį: 5* + 3 . 5-2 = I 4 0 j 5-r-2(52 + 3) = 140|: 2 8 , 5* 2 = 140 : 28, 5*-2 = 5, χ - 2 = 1, χ = 3. Ats.: 3.
3 p a v y z d y s . Lygtys, sprendžiamos taikant keitinj: 72* _ 3 . 7* _ 28 = O, kai T = t (t > 0), tai t2 - 3 · t - 28 = 0, r, = 7 ir t2 = - 4 (netenk. sąlygos), tada I х = 1, χ = 1. Ats.: 1. Sudėtingesnes rodiklines lygtis, kurių pagrindas funkcija Дх) (Дх) > 0), patogu spręsti pagal šiuos teiginius: 1) lygties (Ах)У^х) = 1, kai Дх) > 0, sprendinių aibė yra: U w = O,
u
arba
[ / ( X ) = 1,
[/(x)>0,
[*eD(g);
2) lygties (Дх)>'
(х)
= (A x )) H x \
g(x) = h(x), / ( * ) > 0, / ( χ ) * 0,
kai
Ax)
>
°> sprendinių aibė yra:
_ 7
[ / ( χ ) = 0,
- 1
arba J - ^ ' UeD(g)ni)W,
arba
g(x)>0, ĮA(x)>0_
Išnagrinėsime vieno kintamojo rodiklines nelygybes, kurių išraiška α?·χ) > > a g(x) , čia a > 0, a Φ 1. Žinome, kad rodiklinė funkcija y = a x yra didėjanti, kai a > 1, ir — mažėjanti, kai 0 < a < 1. Jei a > 1, tai nelygybė α «ω ekvivalenti nelygybei Дх) > g(x). Jei 0 < a < 1, tai nelygybė д/w > a «w ekvivalenti nelygybei Дх) < g(x). Nelygybes, kaip ir lygtis, sprendžiame suvienodindami laipsnio pagrindus, iškeldami už skliaustų bendrą daugiklį ir įvesdami pagalbinį kintamąjį (taikydami keitinį). 4 p a v y z d y s . 33
2x
+ V
2x
> 10, 3'
ь
(3 2 + 1) > 10, 3 1 2 * > 1,
1 - 2x > 0 (nes 3° = 1), 2x < 1. Ats.: χ e ( — ; 0,5). Logaritminė funkcija y = Iog a X
У 7
(a > 0, a * 1)
6
1. Funkcija y = IogirX:, kai a > 1. Jos savybės: 1) D{y) = (0; +00); 2) E(y) = (-00; + 0 0 ) ; 3) funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė; 4) visoje savo apibrėžimo srityje funkcija yra didėjanti. 2. Funkcija y = IogaX, kai 0 < a < 1. Jos savybės: 1) D(y) = (0; + 0 0 ) ;
5 4 3 2
^
1 -1
/ l /1 2
0
/
У=^°ёаХ(а> 1)
3
4
5
6 *
2) E(y) = ( — J +oo); 3) funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė; 4) visoje apibrėžimo srityje funkcija yra mažėjančioj i. Skaičiaus logaritmu duotuoju pagrindu vadinamas laipsnio, kuriuo reikia pakelti pagrindą, kad gautume duotąjį skaičių, rodiklis, log a b = c, tai ac = b; čia a > O, a Φ 1, b > 0. Iš logaritmo apibrėžimo išplaukia tapatybė abs"b = b, kuri vadinama pagrindine logaritmų tapatybe.
У=1°8«*(0 < β < 1)
Logaritmų savybės: 1) Ioga (b{ • b2) = logΛ
+ logab2 (visur 6, > O, b2 > 0);
2) Ioge ~ r = log a b x - log a b 2 ; b2 3) Ioga У =p • log a b {p e R); 4) log
b = - - I o g a b; p log,, b .
5) Ioga b =
Iog t a
6) l o g a a = 1; 7) Iog a I = 0. Skaičiavimo praktikoje dažnai vartojami logaritmai, kurių pagrindas yra 10. Tokie logaritmai vadinami dešimtainiais. Užuot rašius Iog10 b rašoma Ig b. Logaritmas, kurio pagrindas skaičius e, vadinamas natūraliuoju ir žymimas In x, t. y. Iogf χ = In χ. Logaritminėmis lygtimis vadinamos lygtys, kurių kintamasis yra po logaritmo ženklu. Logaritminės lygtys sprendžiamos remiantis tokiais teiginiais: 1. Jei a > O, a Φ 1, tai lygtis Ioga Дх) = Ioga g(x) yra ekvivalenti lygčių f ( x ) = g(x), sistemai . f ( x ) > O, g(x)>0.
Kadangi sistemos viena nelygybė išplaukia iš kitos nelygybės ir lygties, tai vieną nelygybę galime praleisti. 2. Lygtis l o g а д Д х ) = k yra ekvivalenti mišriai sistemai / ( x ) = (A(x))', • h(x) > O, h(x) Φ 1. 3. Lygtis log /lW J{x) + logA(x) g(x) yra ekvivalenti mišriai sistemai f ( x ) = g(x), / ( x ) > o,
' A(jc) > O, A(x)*l. 4. Lygtis Ioga Дх) + Ioga g(x) = k yra ekvivalenti mišriai sistemai l o g 0 ( / ( x ) g ( x ) ) = A:, / ( χ ) >0. Taigi logaritmines lygtis galima spręsti dviem būdais: lygtį keisti jai ekvivalenčia mišria sistema, arba lygtį keisti išvada. Pasirinkę antrąjį būdą, būtinai turime patikrinti sprendinius ir atskirti pašalinius. P a s t a b a . Jei nelygybės Дх) > O, g(x) > O arba A(x) > O yra sudėtingos, tai, išsprendus lygtis Дх) = g(x) ir Дх) = [h{x))k, reikia patikrinimo. 1 p a v y z d y s . Lygtys sprendžiamos potencijuojant (tai veiksmas, kuriuo randamas reiškinys, kai žinomas jo logaritmas). Ig (χ + 2) - Ig 5 = Ig (χ - 6), Ig (χ + 2) = Ig (x - 6) + Ig 5, Ig (χ + 2) = Ig ((χ - 6) · 5), x + 2 = 5x-30, • x + 2>0, χ - 6 > 0, Ats.: 8. 2 p a v y z d y s . Lygtys, sprendžiamos taikant keitinį. Ig2 χ - Ig χ 3 - 4 = 0. Pažymėkime Ig χ = t ir χ > 0. Tuomet t2 - Zt - 4 = O, D = 25, /, = - 1 , t2 = 4. Gauname Ig χ = - 1 , χ = 0,1 ir Ig χ = 4, χ = 10 000. Ats.: 0,1; 10 000. 5.
105
Išnagrinėsime vieno kintamojo logaritmines nelygybes. 1. Kai a > 1, tai nelygybė Ioga Дх) > Iog0 g(x) yra ekvivalenti sistemai
J/(*)>£(*). U(JC)
>0.
2. Kai O < a < 1, tai nelygybė Iogu f(x) > Ioga g(x) yra ekvivalenti sistemai J / O ) < g(x), \ f ( x ) >0. 3 p a v y z d y s . Ig (x + 27) - Ig (16 - 2x) > lgx. Ją pertvarkome taip: Ig (x + 27) > Ig (16 - 2x) + lgx. Ši nelygybė ekvivalenti sistemai x + 27>(16-2x)x, x < 3 arba χ > 4 , 5 ,
x>0,
O < χ < 8.
16-2x>0, Ats.: (0; 3)
U
(4,5; 8).
4 p a v y z d y s . Reikia nustatyti, kada reiškinys
5x - 2 IIogl 1-3 neturi 5 χ+2
skaitinės reikšmės. Sprendimas. 10
5x-2 Sι — + \ x+2
5x - 2 χ+2
i
-
(šaknies apibrėžimo sritis) (logaritmo apibrėžimo sritis)
>0,
i 5X-2 Iog 1 >-3, χ+2 2 χ — 5 χ+2
5x-8x-2-16
5x - 2
:+2
x+2
>0,
x+2 2
χ e (-oo; - 6 ] U I
λ
>0,
χ+2
x+6 x+2
>0,
5 χ—
χ—
5 X-
<0,
>0,
x+2
>0,
Kadangi reikia rasti, kada reiškinys
5л: - 2 Ilog1 - + 3 neturi skaitinės y ^ x+2
reikšmės, išrenkame tą χ reikšmę, kuri nepriklauso apibrėžimo sričiai. 5. Ats.: χ e 1 - 6 ; Sprendžiant dviejų lygčių sistemą, kurios viena lygtis yra rodiklinė arba logaritminė, taikomi rodiklinių ir logaritminių lygčių sprendimo būdai. Gavus paprastą sistemą, taikomi to tipo lygčių sprendimo būdai. \x + y = 1, 5 p a v y z d y s . Norėdami išspręsti sistemą < pirma perlgx + lg>> = l, tvarkome antrąją lygtį: J W
yBl
čia χ > O ir y > O, j '
Ixy = IO;
| x ( 7 —x) = 10,
2
χ - Ix + 10 = 0, D = 9, X1 = 2, X2 = 5. Abi χ reikšmės teigiamos, tai y, = 5, y 2 = 2. Ats.: (2; 5); (5; 2).
6 pavyzdys. ^
\У + 3 ' = 12, ) , Ί [x + y = 3,
\У +З 3 " л =12, ) ^ [y = 3 - χ,
27 _ 3'+ — - 1 2 , 3 ' - t , 3
be to, t > 0. Tuomet t2 - \2t + 27 = 0, D = 36, i, = 3, I1 = 9. Kai У = 3, tai χ, = 1; kai У = 9, tai X2 = 2. Gavome y, = 2, y2 = 1. Ats.: (1; 2), (2; 1).
TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS Radianinis kampo matas Radianu vadiname kampą, kurį sudaro du apskritimo spinduliai, kai lanko tarp jų ilgis lygus apskritimo spinduliui. 1 orio
TT-
1 rad = — - = 57° 17'44,8", o 1° π
— = 0,0175 rad.
180°
1 p a v y z d y s . Kampą, kurio didumas lygus 12°, išreikškime radianais. Sprendimas.
12° =———=—π. 180° 5 todėl nerašome radiano ženklo.
Atsakyme
yra
π,
3π . . 2 p a v y z d y s . Kampą, kurio didumas lygus — , išreikškime laipsniais.
4
Sprendimas.
— = 4
4·π
= 135°.
Bendrosios žinios apie trigonometrines funkcijas Vienetinio apskritimo judančio spindulio OM0 galo M ordinatė y vadinama kampo α e [0; 2π], kurį tas spindulys sudaro su teigiamąja Ox ašies dalimi, sinusu ir žymima y = sin α. Funkcija y = sin χ matematikoje dar vadinama kampo arba trigonometrine funkcija. sin (2πη + χ) = sin χ, kai n e Z, o χ e [0; 2π]. Ši funkcijos y = sin χ savybė vadinama periodiškumu, pati funkcija — periodine funkcija, dydis 2π — mažiausiuoju teigiamu periodu. ^ = Sinx
Funkcijos y = sin χ grafikas vadinamas sinusoide. Funkcijos y = sin χ savybės: 1) funkcijos apibrėžimo sritis D(y) = sritis E(y) = [-1; 1];
arba χ e R; reikšmių
2) funkcijos nuliai, arba taškai, kuriuose jos grafikas kerta Ox ašį, yra 0, ±π, ±2π, ±3π, ..., t. y. χ = πη; čia η e Ζ; 3) kai χ e (0 + 2πη; π + 2πη), funkcija įgyja teigiamas reikšmes; kai χ e (π + 2πη; 2π + 2πη), — neigiamas reikšmes; čia n e Z; 4) funkcija yra nelyginė, nes jos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu, taigi sin (-χ) = - s i n χ;
5) funkcija yra periodinė ir jos periodas T = 2πη, o mažiausiasis teigiamas periodas yra 2π: sin (χ + 6) kai χ e
π
.
π
— + 2 πη; — + 2
2
πη , funkcija yra didėjančioji; kai
2
π „ 3π _ — + 2π«; h 2π« 2 2
χ e
= sin χ, kai η e Ζ;
2πη)
mažėjančioji; čia n e Z;
π 7) taškuose χ = — + 2πη funkcija įgyja reikšmę M = sin /'T—
3π
;
+ 2 πη
3π „ N — + 2πη 2
= l , o taškuose χ = — + 2π« — reikšmę m = sin
/
\
=
-i;
čia n e Z. siminkite O0 = O
X sin
30» =
45° = — 4
1
0
JC
π
6
60°=3
A 2
2
90° = — 2 1
2
Vienetinio apskritimo judančio spindulio OMo galo M abscisė jc vadinama kampo α e [0; 2π], kurį tas spindulys sudaro su teigiamąja Ox ašies dalimi, kosinusu ir žymima χ = cos α. Vienetinio apskritimo bet kurio taško M (jc; y) koordinatės χ ir y, išreikštos kampu a , kurį sudaro per tą tašką einantis apskritimo spindulys su teigiamąja Ox ašies dalimi, yra χ = cos ос, у = sin α. Taigi galime rašyti M (cos α; sin α), α G [0; 2π]. Argumentą α, kaip įprasta, pažymėję raide χ, o jo funkciją — raide y, turėsime dar vieną trigonometrinę funkciją y = cos χ. Funkcijos y = cos χ grafikas vadinamas kosinusoide. У 1 \ -2π
-Jс 3π4 2
у-COS*
/ /
\
π 2
π
0 2
/ Ak 2
3π
2π
5ί?4 2 \
χ
-1
Funkcijos y = cos χ savybės: 1) funkcijos apibrėžimo sritis D(y) = sritis E(y) = [-1; 1];
+oo), arba χ € R; reikšmių
2) funkcijos nuliai arba taškai, kuriuose jos grafikas kerta Ox ašį, yra , π , 3π , π .. ,. ν . χ = + —, + — , . . . , t. у. χ =±— (2η + 1); cia η e Ζ; 2 2 2 ί Π λ π π 3) kai χ e —I- 2π«; —I- 2 πη , funkcija įgyja teigiamas reikšmes; kai 2 2 π „ 3π „ — + 2πη; l· 2 πη — neigiamas reikšmes; čia n e Z; 2 2 4) funkcija lyginė, nes jos'grafikas yra simetriškas Oy ašies atžvilgiu, taigi cos (-x) = cos χ; 5) funkcija yra periodinė ir jos periodas T = 2πη, o mažiausiasis teigiamas periodas yra 2π: cos (χ + 2πη) = cos χ, kai η e Ζ; 6) kai χ e [2πη; π + 2πη], funkcija yra mažėjanti; kai χ e [π + 2πη; 2π + 2πη], — didėjanti; čia η e Ζ. Įsiminkite. χ
O0 = O
cos χ
1
30° =
π
6
S
45° = — 4 Л
60° = 1 —
2
2
2
π
3
90» =
π
2
0
Skaičiaus α tangentu vadinamas to skaičiaus sinuso ir kosinuso santykis: sin α tga = . cos α Prisiminę, kad taško M ordinatė yra kampo χ sinusas, o abscisė — jo kosinusas, turime: sinx π „ tg*= , χΦ — + πη, ne Z. cosx 2 Grafiškai pavaizduotos priklausomybės argumentą, t. y. kampą a , pažymėję, kaip įprasta, raide χ, o jį atitinkančią funkciją — raide y, turėsime funkciją, kuri vadinama kampo χ tangentu ir žymima y = tg x. Funkcijos y = tg χ grafikas vadinamas tangentoide. Funkcijos y = tg χ savybės: 1) taškuose
—, 2
2
±π ,..., ^ - ( 2 л - 1 ) , ne N,
funkcija yra neapibrėžta,
' -π —ι-πη; 2
π ^ — + πη , ne Ζ; reikšmių 2
todėl jos apibrėžimo sritis D(y) sritis E(y) = (-oo; +oo);
110
2) funkcijos nuliai, arba taškai, kuriuose jos grafikas kerta Ox ašj, yra x = 0, ±π, ±2π, ..., t. y. χ = πη, η e Ζ; r \ π χ e πη;—ι- πη , funkcija įgyja teigiamas reikšmes, o kai 2 ν / f π \ хе — neigiamas reikšmes; čia n e Z; —ι-π/7; π η
3) kai
ν 2 4) funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu: tg (-x) = - t g x; 5) funkcija yra periodinė ir jos periodas T = πη, o mažiausiasis teigiamas periodas yra π: tg (χ + πη) = tg χ, kai n e Z; 6) funkcija yra didėjančioji visoje savo apibrėžimo srityje. Įsiminkite X
O0 = O
tg X
0
30" = S 3
π
6
45° = — 4 1
60°=^ 3 S
90" = * 2 neegzistuoja
Skaičiaus α kotangentu vadinamas to skaičiaus kosinuso ir sinuso santykis: cos α τν v . , cos л: „ ctga = . Is cia c t g x = , χ Φ π η , n<=Z. sin α sin χ
.V = Ctg*
-2π 5π 2
3π> 2
Funkcijos y = ctg χ grafikas vadinamas kotangentoide. Funkcijos y = ctg л: savybės: 1) D(y) = (O + πη; π + πη), n e Z; 2) £(y) = (-oo; +oo); 3) funkcija yra nelyginė, jos grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu: ctg (-x) = - c t g x; 4) funkcija yra periodinė ir jos mažiausiasis teigiamas periodas yra π: ctg (χ + π/г) = ctg χ, n e Z; 5) ctg χ = O, kai χ = — + πη, ne Z;
χ e 0 + πη; — + πη , funkcija įgyja teigiamas reikšmes; kai 2 λ π χe - + πη; π + πη neigiamas reikšmes; čia n e Z;
6) kai
7) visoje savo apibrėžimo srityje funkcija yra mažėjanti. Įsiminkite X
O0 = O
30°=^ 6
45° = — 4
60" = 5 3
90° = — 2
ctg X
neegzistuoja
VI
1
S 3
0
To paties argumento trigonometrinių funkcijų tapatybės Žinome, kad vienetinio apskritimo bet kurio taško M(x\ y) koordinatės, išreikštos kampu a , yra cos α ir sin α; čia α — vienetinio apskritimo spindulio OM ir teigiamosios Ox ašies dalies sudaromas kampas. Taigi tašką M galime nurodyti taip: M(cos α; sin α), α e [0; 2π]. Tačiau apskritimo bet kurio taško koordinatės tinka to apskritimo lygčiai χ2 + y2 = 1. Įrašę į ją taško Mkoordinates cos α ir sin α, gauname tapatybę, siejančią to paties argumento sinusą ir kosinusą: sin 2 α + cos 2 α = 1. τ> · · · 1kadJ ..t g a = sin α ir . c t g a = cos α , gauname tg χ · ctg χ = 1, Prisiminę, cos α sin α πη χ Φ —, η g Ζ. 2 Kartais tangentą arba kotangentą patogu susieti tik su viena — kosinuso arba sinuso — funkcija. Tam tikslui abi tapatybės sin2 α + cos2 α = 1 puses padalijame iš cos2 α Φ O arba sin 2 α Φ 0. Gauname: sin 2 α , 1 , cos 2 α 1 — +1= r ~ arba 1+ , = . Taigi cos α cos a sin α sin α I-Htg 2 X = — ^ r - , χ Φ-(2/1 + 1), и е Z cos χ 2 1 + ctg 2 χ = — ί — , χΦπη,ηε sin χ
arba
Ζ.
P a v y z d ž i a i . Pertvarkykime reiškinius: a) cos 2 α - 1 = - (1 - cos2 α) = -sin 2 α; b) (sin α + cos α) 2 - 2 sin α cos α = sin2 α + 2 sin α cos α + + cos2 α - 2 sin α cos α = sin2 α + cos2 α = 1; c) sin4 α + cos 4 α = (sin2 α) 2 + 2 sin2 α cos2 α + (cos 2 a) 2 - 2 sin 2 α cos 2 α = (sin2 α + cos 2 α) 2 - 2 sin 2 a cos 2 α = = 1 - 2 sin 2 a cos 2 a ; d) sin 6 α + cos6 α = (sin2 a) 3 + (cos 2 a ) 3 = (sin 2 a + cos 2 a ) (sin4 a - sin2 a cos 2 a + cos 4 a ) = (sin 4 a + 2 sin 2 a cos 2 a + + cos 4 a ) - 3 sin2 a cos2 a = (sin2 a + cos2 a) 2 - 3 sin 2 a cos 2 a = = 1 - 3 sin 2 a cos2 a .
Trigonometrinių funkcijų reikšmių ženklai priklauso nuo to, kuriame ketvirtyje yra argumentas a . Trigonometrinių funkcijų reikšmių ženklai pateikti lentelėje. Ketvirtis Funkcija
I
III
II π
π
0<α<— 2
2
<α<π
π<α<-π
IV 3 - π < α < 2π 2
3 2
sin α
+
+
-
-
cos α
+
-
-
+
tg α
+
-
+
-
ctg α
+
-
+
-
Dažnai tenka bet kokio argumento trigonometrines funkcijas pakeisti tokiomis, kurių argumentas α yra smailusis kampas (geriausia toks, kurio trigonometrinės reikšmės žinomos). Kampo mažinimo formulės vadinamos redukcijos formulėmis. Jos pateiktos lentelėje. Argumento reikšmės
Funkcija
π 2
X
3π — +X 2
-sin χ
-COS X
-COS X
-COS X
-cos X
-sin χ
sin χ
-Ctg X
-tg χ
tg X
ctg X
-Ctg X
-tg X
-ctg X
ctg X
tg χ
-tg X
χ
π —+χ 2
π- χ
π+χ
sin
cos X
COS X
sin χ
cos
sin χ
-sin χ
tg
ctg X
ctg
tg χ
3π 2
Trigonometrinių funkcijų atvirkštinės funkcijos ' Skaičiaus a arksinusu (arcsin a) vadinamas intervalo
πл kampas, 2
π 2
kurio sinusas lygus a. Skaičiaus a arkkosinusu (arccos a) vadinamas intervalo [0; π] kampas, kurio kosinusas lygus a. Skaičiaus a arktangentu (arctg a) vadinamas intervalo ' pas, kurio tangentas lygus a. 114
i V
2
kam-
Skaičiaus a arkkotangentu (arcctg a) vadinamas intervalo [0; π] skaičius, kurio tangentas lygus a. arcsin (-a) = -arcsin a; arccos (-a) = π -arccos a; arctg (-a) = -arctg a; arcctg (-α) = π - a r c c t g a. Funkcija y = arcsin JC. Jos savybės: 1 ) D ( y ) = [-1; 1]; 2) Eiy)
π
π
2'
2
_y = arcsmjt
3) funkcija yra nelyginė, jos grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu, nes arcsin (-x) = = -arcsin x; 4) kai χ e (0; 1), funkcija įgyja teigiamas reikšmes; kai χ e (-1; 0), — neigiamas reikšmes; 5) visoje savo apibrėžimo srityje funkcija yra didėjanti.
>
Funkcija y = arccos JC. JOS savybės:
,
π
1) D{y) = [-1; 1]; 2) E(y) = [0; π]; 3) funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė; 4) kai jc e (-1; 1), funkcija įgyja teigiamas reikšmes; 5) visoje savo apibrėžimo srityje funkcija yra mažėjanti.
π 2
-1
y = arccos χ
0
į
χ
Funkcija y = arctg JC. JOS savybės: 1) Diy) = (-oo; +oo); 2) Eiy) =
π
π
2'
2
3) funkcija yra nelyginė, jos grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu, nes arctg (-jc) = -arctg jc;
4) kai χ e (0; +<*>), funkcija įgyja teigiamas reikšmes; kai χ e (-< — neigiamas reikšmes; 5) visoje savo apibrėžimo srityje funkcija yra didėjanti. у' π 2
у = arctgx
0
X
į
π 2 Funkcija j> = arcctg x. Jos savybės: 1) £>0) = (-oo; +oo); 2) E(y) = (0; π); 3) funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė; 4) kai χ e (-oo; +oo), funkcija įgyja teigiamas reikšmes; 5) visoje savo apibrėžimo srityje funkcija yra mažėjanti. У π π 2
у = arcctg χ -1
ο
ί
Trigonometrinės formulės ir pertvarkiai Sudėties formulės: sin (χ + у) = sin χ cos у + cos χ sin у; sin (χ - у) = sin χ cos у - cos χ sin у; cos (χ + у) = cos χ cos у - sin χ sin у; cos (χ - у) = cos χ cos у + sin χ sin у;
X
tg X + tg у к tg (X + y) = —— — , x, y, χ + y Φ — + πη, n e Z; 1 - tg χ tg y 2 tg χ - tg y π tg (x + y) = , , χ, y, χ - yγ Φ — + πη, n e Z. 1 + tg χ tg y 2 Dvigubo argumento formulės: sin 2x = 2 sin χ cos χ; cos 2χ = cos 2 χ - sin 2 χ = 2 cos2 χ - 1 = 1 - 2 sin2 χ; tg 2χ =
2tgx π π , , „ π τ—, χ φ — + — к, к ε Ζ, χ Φ — + πη, η ( 1 - tg χ 4 2 2
Pusės argumento formulės: (sinuso ir kosinuso funkcijų laipsnio žeminimo formulės) . , Χ 1-cosx sin — = ; 2 2 , χ 1 + cosx cos — = ; 2 2 x _ sin χ _ 1 - c o s x : , χ Φ π + 2πη, n e Z. 2 1 + cosx sinx Sumos keitimo sandauga formulės: ~ · sin χ + sin y = 2 sin
x +
χ-У 2 ' X+y . X—y sin χ - sin v = 2 cos sin ; y 2 2 ' χ+у х-У cos χ + cos у = 2 cos cos ; 2 2 X-Vy X—y cos χ - cos у = - 2 sin sin ; 2 2 sin (x + y) π tg ^
+ t
y
S ^ = COSXcosy'
sin ( x - y ) tg χ - tg у = ' ° cos χ cos у
cos
x
+
' >' * 2
»
π
e
χ, у Φ — + πη, η e Ζ. 2
Sandaugos keitimo suma formulės: sin χ sin у = ~ (cos ( x - y ) - cos (χ + у)); cos χ cos У = ~ ( c o s С* - >0 sin χ cos J = " ( s i n (x - У)
+ cos
+
sin
Cic + y)); +
y)).
sin χ, cos χ ir tg — sąsajos:
sin χ =
, χ Φ ( I n + 1)π, и e Ζ;
cos χ =
, χ Φ (2η + 1)π, η e Ζ.
Trigonometrinės lygtys ir nelygybės Lygtis, kurios kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu, vadinama trigonometrine lygtimi. Ją sprendžiant, reikia rasti argumento reikšmę, kai yra žinoma atitinkama trigonometrinės funkcijos reikšmė. Pateikiame trigonometrinių lygčių sprendinius bendruoju atveju. Lygties sin χ = a, kurios |a| < 1, sprendinys yra χ = (-1)" arcsin a + πη, n € Z. Lygties cos χ = a, kurios |a| < 1, sprendinys yra χ = ±arccos a + 2πη, n e Z. Lygties tg χ = a sprendinys yra χ = arctg a + πη, n e Z, a e R. Lygties ctg χ = a sprendinys yra χ = arcctg a + πη, n e Z, a e R. Sprendžiant lygtis, taikomi trigonometriniai sąryšiai. 1) Paprasčiausių
trigonometrinių
lygčių
1 p a v y z d y s . 2 sin χ cos χ cos 2χ = 1 . „ „ 1 2·— sin 2χ · cos 2χ = —, 2 4 1
• , sin 4χ = —, 2
4χ = (—Ι)*' arcsin — + n/c, k e Ζ, 2 4χ = (-1)Α' 7 + nk, k e Ζ, 6 π χ = (-I f ~ + к s Ζ. 24 4 Ats.: χ = (-IY' - + -к, 24 4
к e Ζ.
sprendimas. ,
2) Trigonometrinių
lygčių sprendimas
taikant
keltinį.
2 p a v y z d y s . 3 sin χ + cos 2x + 1 = О, 3 sin χ + 1 - 2 sin2 χ + 1 = О, 2 sin2 χ - 3 sin χ - 2 = О. Pažymėkime sin χ = t, |ί| < 1, 2ί2 - 3 · t - 2 = О, £) = 9 + 4 - 2 - 2 = 25, ί, = - - ^ = 2 (netenkina sąlygos |?| < 1), 3-5
1
Įrašome gautą reikšmę: sin χ = jc =
2'
π (-1)* ( - - ) + nk, k e Z, 6
χ = (-IV + 1 - + кк, k e Z. 6 Ats.: χ = ( - 1 ) ж -
+ кк, k e Z.
3 p a v y z d y s , s i n x - cos χ = 1, 2tg^-l + tg2|-l-tg 1+ t g
χ •>
2"
Belieka išspręsti mišrią sistemą
?χ 2
X к — = — + nk, k e Z, 2 4 n χ = —+ 2nk,ke 2
Z.
n Ats.: x = — + 2nk,ke 2 3) Trigonometrinių
Z. lygčių sprendimas
skaidant
dauginamaisiais.
4 p a v y z d y s . 1 + cos 2x + cos χ = O, 2 cos 2 χ + cos x = 0, cos 2x = 2 cos 2 χ — I, cos χ (2 cos χ + 1) = О, cos χ = 0, arba 2 cos χ + 1 = О, χ = nk, k e Ζ, cos χ = - 0 , 5 , 2π χ = ± — + 2 nk, k e Ζ. 3 2π Ats.: χ = nk, χ = ±— + 2nk, k e Ζ. 3 4) Homogeninių trigonometrinių lygčių sprendimas. Šių lygčių išraiškos: a sin kx + b cos kx = О, a sin 2 kx + b sin kx · cos kx + e cos 2 kx = O, a sin 3 kx + b sin 2 kx • cos kx + e sin kx • cos 2 kx + d cos 3 Ax = 0. Pilnoji homogeninė trigonometrinė lygtis (turinti abu aukščiausius sin kx ir cos kx laipsnius) sprendžiama abi lygties puses dalijant iš aukščiausio cos Ax laipsnio. 5 p a v y z d y s . 4 sin 2 χ - 5 sin χ cos χ - 6 cos 2 χ = 0, |: cos 2 χ 4 tg 2 χ - 5 tg χ - 6 = 0. Pažymėkime tg χ = α, 4α 2 - 5α - 6 = 0, D = 121, α, = 2, α 2 = - 0 , 7 5 , tg χ = 2, tg χ = - 0 , 7 5 , χ = arctg 2 + nk, k e Ζ, χ = -arctg 0,75 + nk, k e Ζ. Ats.: χ = arctg 2 + nk, χ = - a r c t g 0,75 + nk, k e Z. Nepilnoji homogeninė trigonometrinė lygtis (neturinti vieno aukščiausio sin Ax ar cos Ax laipsnio) sprendžiama skaidant dauginamaisiais.
6 p a v y z d y s , sin 2x = cos2 χ, 2 sin χ cos χ - cos 2 χ = О, cos χ (2 sin χ - cos χ) = O (iškėlus cos χ, skliaustuose lieka pilnoji homogeninė lygtis) cos x = 0 arba 2 sin χ - cos χ = O, |: cos χ π χ = — + кк, k e Z, 2 tg χ - 1 = O, tg χ = 0,5, χ = arctg 0,5 + кк, k e Z. κ + nk, χ = arctg 0,5 + кк, k e Z. Ats.: χ = — Spręsdami nesudėtingas trigonometrines nelygybes, naudojame grafinį sprendimo būdą. Vienoje koordinačių plokštumoje braižome kairėje nelygybės pusėje esančios trigonometrinės funkcijos grafiką ir tiesę y = a. Suradę grafikų taškus, nustatome reikiamus intervalus.
Tarkime, kad O < a < 1. Tada sin χ > a, kai χ e [arcsin a + 2κη; π - arcsin a + 2πη]; sin χ < a, kai χ e (π - arcsin a + 2πη; 2κ + arcsin a + 2πη); sin χ > - a , kai χ e [2π - arcsin a + 2κη; π + arcsin a + 2πη]; sin χ < -a, kai χ 6 (π + arcsin α + 2πη; -arcsin α + + 2πη), η e Ζ. Jei α > 1, tada sin χ < α, kai χ e R, o sin χ > a (sprendinių neturi). Jei a < - 1 , tada sin χ < a (sprendinių neturi), o sin χ > a, kai χ e R. Tarkime, kad O < a < 1. Tada cos χ > a, kai χ e [-arccos a + 2πη; arccos a + 2πη];
cos χ < -a, kai χ e [arccos (-α) + 2πη; π - arccos (-α) + 2{η + 1)π]; |cos χ| < α, kai χ e [arccos α + 2πη; arccos (-α) + + 2πη] U [-arccos (-α) + 2(η + 1)π; arccos (-α) + 2πη], η e Ζ. Jei α > 1, tada cos χ < α, kai JC e R, о cos χ > a (sprendinių neturi). Jei a < — 1, tada cos χ < a (sprendinių neturi), o cos χ > a, kai χ e R. Kai tg χ > α (a e R), tai χ e
tgx < a
•y=a
π arctg a + πη; — + πη , η e Ζ, π
kai tg χ < a (a e R), tai χ e
У= tg*
+ ra; arctg α + π«
η e Ζ.
7 p a v y z d y s . Reikia rasti visas parametro reikšmes, su kuriomis lygtis sin χ = a2 - 2a turi sprendinių. Sprendimas.
Kadangi sinuso reikšmių sritis yra intervalas [-1; 1], tai
2
-1 < a - 2a < 1. Gauname nelygybių sistemą: ja2 - 2a <1, I a 2 — 2a>—1, a2 - 2a - 1 < O, a2 - 2a - 1 = O, D = 4 - 4 · (-1) = 8, 2-2л/2
a, =α2 =
2 + 2V2 я — = Ι + Λ/2, щштшшшшш
(α - (l - V2
- ( l + VŽ)) < О,
2
а - 2а + 1 > О, 2
(а - I) > O, a e R. Ats.: [ l - V 2 ; 1 + 7 2 ] .
1-V2 ///////////Μι
1+V2
ШШЩШШШЖШШ.
_».
8 p a v y z d y s . Išspręskime nelygybę sin 3 χ • cos χ + cos 3 χ • sin χ < — > 4 1 sin χ · cos χ · (sin2 χ + cos2 χ) < — · Kadangi sin 2 χ + cos 2 χ = 1, tai 1 Sin X • COS χ < —, — · 2 • sin χ · cos χ < —, 2 4 1 1 · 2x о <^ — ,· о2, — sin 2 4 1 1 sin 2x <
Nepriklausomai nuo funkcijos argumento, brėžiame du grafikus y = sin χ
y = sinx
1 π 5π χ, = π - arcsin — = π — - — , 2
6
6
1 π _ 13π χ,L = 2π + arcsin τι - 2π + — f\ — f\----Funkcijos sin 2x argumentas 2x priklauso intervalui: 5π
13π < 2χ < — + 2πη 2 6 5π 13π πη + < χ < — + πη. η 12 12 2 πη +
"5π Ats.:
—
12
+ πη;
\3π l· 12
πη
MODULIS Realiojo skaičiaus a moduliu vadiname tą patį skaičių a, kai a > O, ir priešingąjį skaičių -a, kai a < 0. α =
I a, kai a> 0, -a, kai a < 0.
Įsidėmėkime, kad neigiamo skaičiaus modulis yra jam priešingas skaičius. P a v y z d ž i a i . |7| = 7; |-8| = - ( - 8 ) = 8. Modulio savybės:
1) N > o, 2) \a\ = |-a|, 3) \ab\ = \a\ • \b\, \a\ 4)
b Φ 0, \b\'
5) |a|2 = |a2| = a2, 6) H =
4a1,
7) \a + b\<. \a\ + \b\. P a s t a b a . Lygybė galima tuo atveju, kai a ir b yra abu teigiami arba abu neigiami, t. y.: \a + b\ = H + \b\, kai ab > 0, |a| + \b\ = a + b, kai |α| = a ir \b\ = b, t. y. kai
\a > 0,
8) \a - b\ > \a\ - \b\. P a s t a b a . Lygybė galima tik tuomet, kai (a - b)b > 0, nes iš \a - b\ = = |α| - |ά| sektų \a - b\ + |Z?| = a. Taigi \a — b\ = \a\ - \b\, kai (a - b)b > 0. Geometriškai skaičiaus α modulis reiškia taško atstumą nuo atskaitos pradžios.
Funkcijų su moduliu grafiko braižymas I y = LfWI Prisiminę modulio apibrėžimą, rašome ' f (χ), /00,
kai f(x)> kai
/ ( J C )
^
O, <0. У= -f(?)
Nubraižome funkcijų y = fix) ir y = = -fix) grafikus. Imame tik tą funkcijos y = fix) grafiko dalj, kuri yra virš ašies Ox, nes fix) > 0, o funkcijos y = -fix) grafiko — dalį, kuri atitinka χ reikšmes, su kuriomis funkcijos y = fix) grafikas yra žemiau ašies Ox, nes fix) < 0. Darome išvadą. Norint nubraižyti funkcijos y = \f(x)\ grafiką, reikia nubraižyti funkcijos y = fix) grafiką ir jo dalį, esančią virš ašies Ox, palikti nepakeistą, o dalį, esančią po ašimi Ox, simetriškai atvaizduoti ašies Ox atžvilgiu. Gautąsias aibes sujungę, turėsime funkcijos y = fix)\ grafiką. Pavyzdžiui, reikia nubraižyti funkcijos y = |4 - x| grafiką. [4-х, У
У:
4 - χ > 0,
- ( 4 - х ) , 4 - χ < 0, [4-х, !-(4-х),
x< 4, χ>4.
2. y =AM) Funkcijos y = Д|х|) grafikas taip pat gaunamas iš funkcijos y = fix) grafiko: grafiko dalys, esančios pusplokštumėje χ > 0, simetriškai atvaizduojamos Oy ašies atžvilgiu ir sujungiamos. F u n k c i j o s y = fix) grafiko dalis, esanti kairėje Oy pusėje, „atkrinta".
y 4
i У /^SA
2 У =-2X + 5|X|
i
/ V -4
-3
-2 - i I /
// I
I I ι' I I
/
II / /
3.
Ы
=
/
o; 1 I -1 I -2
/
2\
2 \ 3 *
-4
Дз-2 I\ I \ I
\
/ \
-3
-i
0 -1
I IΙ
^ -5 -6
-6
L-
-2
-4 -5
Ivl= —χ2—2x +3
3
lA Z4
2
3 *
/\
/
1
\ \ \ \ \ \ \
I
Л · * )
Lygybė Įy| = Дх) turi prasmę tik tada, kai Дх) > O, todėl, norint gauti funkcijos Įy| = Д х ) grafiką, reikia funkcijos y = Дх) grafiko dalį, esančią po Ox ašimi, atmesti, o dalį, esančią virš Ox ašies, simetriškai atvaizduoti Ox ašies atžvilgiu. Gautus grafikus sujungę, turėsime funkcijos Įy| = Д х ) grafiką.
Lygčių su moduliu sprendimas 1
p a v y z d y s . |2x - 3| = 5
2x - 3 = 5, 2x = 8, x = A,
arba
2x - 3 = - 5 , 2x = - 2 , x = -l.
Ats.: 4; - 1 . 2
p a v y z d y s. |4x - 5| = -A
Ats.: sprendinių nėra (atstumas negali būti neigiamas). Jei modulis nėra lygus skaičiui, tai lygtis ekvivalentiška mišrioms sistemoms. Sistemų skaičius priklauso nuo reiškinių skaičiaus po moduliu ir visada yra vienetu didesnis.
3
p a v y z d y s . |2x — 5| = χ - 1
Čia turime vieną reiškinį su moduliu, todėl reikės spręsti dvi sistemas. Prieš spręsdami, skaičių tiesėje atidėsime χ reikšmę, su kuria modulio reikšmė lygi 0. Tada nustatysime reiškinio ženklą konkrečiame intervale. fx <2,5,
J x >2,5,
| - 2 x + 5 = χ -1,
[2x-5 = x-l,
-Зх = -6,
χ = 4,
χ = 2;
χ e [2,5;
—
+ 2,5
, *
Ats.: χ € (-°ο; 2,5). 4 p a v y z d y s . Pradedame brėždami skaičių tiesę. Cia turime du reiškinius su moduliu, todėl spręsime tris sistemas. |x - 1| + |x - 2| = 1 0
+
1
Jx <1,
1 < χ < 2,
χ >2,
[1 —x + 2 — χ = 1,
x - l + 2 - x = l,
x - l + x - 2 = l, 2x = 4, χ = 2.
-2x = -2,
O x = O,
χ = 1;
*e
[1; 2];
+ χ
Ats.: [1; 2]. Nelygybių su moduliu sprendimas Spręsdami nelygybes nepamirškite: jei |x| < a, tai -a < χ < a x
-a Jei |x| > a, tai χ > a arba χ < -a. 1 p a v y z d y s . |x - 5| < 3 , - 3 < χ - 5 < 3, - 3 + 5 < x < 3 + 5, 2 < χ < 8. Ats.: (2; 8). 2 p a v y z d y s. |x - 2| > 4, χ - 2 > 4, arba χ - 2 < -4, χ > 6; χ < -2. Ats.: (-«o; 2) U (6;
3 p a v y z d y s . |5x - 3| > 6x - 2, 3 χ < -, 5 3 —5x > 6 x —2,
0,6
„И · 5x-3>6x-2,
- 5 x - 6x > - 2 - 5,
- χ > 1,
- I l x > -5,
χ < -1,
5 χ < —, 11 л AtS.:
3
5 Tl'
(-oo; —5
I
5 >
11
а Л а
33
25
55
55'
)
ISVESTINES Funkcijos išvestinės samprata Jei χ ir x0 yra dvi argumento reikšmės iš funkcijos f apibrėžimo srities D, tai jų skirtumas χ - x 0 yra vadinamas argumento pokyčiu taške X0 ir žymimas Δχ (skaitoma „delta iks"). Vadinasi, Δχ = χ - x 0 . Iš čia χ = X0 + Ax (sakoma, kad argumento pradinė reikšmė X0 įgijo pokytį Δχ). Funkcijos naujos reikšmės Дх 0 + Δχ) ir jos pradinės reikšmės /(x 0 ) skirtumas vadinamas funkcijos pokyčiu taške x 0 ir žymimas Afx0) (skaitoma „delta ef taške x 0 "). Vadinasi, 4Дх 0 ) = fx{) + Ах) - Д х 0 ) · Trumpiau sakant, Af (x0) vadinamas funkcijos pokyčiu ir žymimas Af arba Ay. Pokyčiai Δχ ir Ay gali būti tiek teigiami, tiek neigiami. Įsidėmėkite, kad Af priklauso ir nuo x0, ir nuo Δχ. Parinkus konkrečią x 0 reikšmę, funkcijos pokytis priklauso nuo Δχ, t. y. Af yra Δχ funkcija. Funkcijos y = fix) išvestine taške x 0 vadinama funkcijos pokyčio Ay = = Axo + A*) - fxu) ir argumento pokyčio Δχ santykio riba, kai Δχ artėja prie nulio: limAy = Hm/(*o+Ax)-/(x0) Дм» x
Funkcijos у = A )
ΔΧ
Δμ0
ΔΧ
išvestinė taške x 0 žymima f'(x0)
arba y':
f(x0 + Ax)-f(x„) y'= Iim Δχ—>0 Δχ Funkcija, turinti baigtinę išvestinę taške x 0 , vadinama diferencijuojama tame taške. Veiksmas, kuriuo randama išvestinė, vadinamas diferencijavimu.
Išvestinės mechaninė prasmė Tarkime, kad materialus taškas juda tiese. Taško nueitas kelias yra laiko funkcija, t. y. s = s(t). Laiko tarpu nuo t iki / + At taško nueitas Ay kelias Δs = s • (t + At) - s(t), o vidutinis greitis v ., = — . Sio santykio At riba, kai At —» O, vadinama taško greičiu laiko momentu t (arba momentiniu greičiu). Todėl As v(t) = Iim — - s (t). Δ,^Ο At Taigi, kai kūnas juda tiese, greitis yra kelio išvestinė laiko atžvilgiu: s' = v. Panašiai apibrėžiamas judėjimo pagreitis: a = v'(t). Sakoma, pagreitis yra greičio išvestinė laiko atžvilgiu. 1 p a v y z d y s . Suraskime greitį ir pagreitį laiko momentu t = 1 kūno, t ^TW4 judančio pagal dėsnį s = 2 sin Šį uždavinį lengva spręsti žinant išvestinės mechaninę prasmę (v = s' a = v'). π· t π Apskaičiuojame v = s ' = 2 c o s 3 3 2π . π-t a = ν = - — sin 3 3 Ats.: ν =
π
2π
3
9
2π 3
cos
π-t π-t
. π-t sin : 3
гТз 3
9
Išvestinės geometrinė prasmė Funkcijos fix) grafike pažymėkime du taškus M0 (X0; y 0 ) ir M (x0 + Av; y 0 + + Ay) ir nubrėžkime kirstinę M0M (žr. pav.). Kirstinės krypties koeficientas *,=tgp = £ . Δχ Kai Av —> O, taškas M kreive artėja prie M0, o kirstinė
3
; v.. 2π 9
л/3
2π
1
π
3
2
3
7Гл/З
M0M — prie liestinės M0T ir β —> α . Kadangi tangentas yra tolydi funkcija, tai tg β —> tg a . Todėl Ay Iim — = t g a , arba / ' ( x 0 ) = tg α = k. Ax Vadinasi, taške X0 diferencijuojamos funkcijos y = f[x) grafikas šiame taške turi liestinę, kurios krypties koeficientas yra / ' ( x 0 ) . Funkcijos J{x) grafiko liestine taške M0 (x0; Xx 0 )) vadinama per tašką einanti tiesė, kurios krypties koeficientas lygus funkcijos išvestinės reikšmei taške x0. Дм0
Vadinasi, jei funkcija Xx) turi išvestinę taške x0, tai funkcijos grafikas tame taške turi liestinę, kurios krypties koeficientas lygus / ' ( x 0 ) . Šis teiginys reiškia išvestinės geometrinę prasmę.
Funkcijų išvestinių skaičiavimas ir taikymas Funkcijos liestinės lygtis Išveskime funkcijos y = j(x) grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką (x0; Xx 0 )), lygtį. Kadangi liestinė yra tiesė, tai jos lygtis yra y = kx + b. Rasime koeficientus к ir b. Kaip žinome, к = / ' ( x 0 ) , todėl liestinės lygtis yra tokia: y = / ' ( x 0 ) x + b.
(1)
Kadangi liestinė eina per tašką (xH; /(x 0 )), tai šio taško koordinatės tenkina liestinės lygtį. Vadinasi: Xx 0 ) = / ' ( x 0 ) x 0 + b.
(2)
Iš (1) atėmę (2), gauname: Iš čia
7 -Axo)
= / ' ( * o ) ' (x - *(>)·
^ =Λχ o) +f(.x0) 3
• (χ - x0)·
2
1 p a v y z d y s . Funkcijos y = x + ax grafiko liestinė liečia grafiką taške, kurio abscisė χ = - 1 , ir eina per tašką A(3; 2). Reikia: 1) rasti parametro reikšmę; 2) rasti funkcijos ir jos liestinės lietimosi taško koordinatę; 3) apskaičiuoti kampo, kurį sudaro grafiko liestinė su teigiamąja abscisių ašies dalimi, tangentą; 4) parašyti liestinės lygtį. Apskaičiuojame funkcijos išvestinę: y ' = 3x2 + 2 cix.
Funkcijos išvestinė taške χ = - 1 : / ( - 1 ) = 3 - 2 a. Funkcijos reikšmė taške χ = - 1 : y = a - 1. Funkcijos liestinės lygtis: У = / ( * o ) ( * - *o)
+
У(Хo)·
Į lygtį įrašę rastas reikšmes, sprendžiame: y = (3 - 2a)(x + l) + a - l = 3 x + 3 - lax - 2 a + a - 1 = Зх - 2ах - а + 2.
1) Įrašome taško koordinates į liestinės lygtį: 3 · 3 - 2 · 3 α - α + 2 = 2, 9-6a-a -Ia
+ 2 = 2,
= -9;
9 a = τ· Ats.: a = —; 7 -1,
2 ) jc =
9
'-ϋ
2
2
Г/
7
Ats.: 3) tg α = / ( - 1 ) , , . 9 tg а = 3 - 2 - - = 3 7
18 3 = -. 7 7
3 Ats.: tg а = - ; 9 9 4) v = 3x - 2 · — χ " 7 7 - х - - = 0,1-7 7 7 7y - Зх - 5 = 0.
У
Ats.: Iy - Зх - 5 = 0.
H2=
18 3JC
1
9 χ 1
3 9 3 5 h 2 = — χ + 2 — = — χ + —, 1 1 1 1
Išvestinių skaičiavimo taisyklės Sakykime, u = u(x) ir v = v(x) — dvi funkcijos, apibrėžtos tame pačiame intervale. Tuomet joms būdingos tokios savybės: 1) jei dvi funkcijos u ir v turi išvestines taške jc, tai jų suma tame taške turi išvestinę, lygią išvestinių sumai: (u + v)' = u' + v'; 2) jei funkcijos u ir v turi išvestines taške jc, tai ir jų sandauga tame taške turi išvestinę, randamą pagal formulę (uv)' = u'v + uv'; 3) pastovų dauginamąjį galima iškelti prieš išvestinės ženklą: (ci(x)Y
= c'j(x) + c f ( x ) = O · fix) + cfi(x) = Cfi(X)-
4) jei funkcijos u ir v turi išvestines taške χ ir v(x) Φ O, tai jų dalmuo
U
-
UV-UV
tame taške turi išvestinę, randamą pagal formulę
v2
5) jei funkcija u = g(x) taške x = X0 turi išvestinę g'(x 0 ) ir funkcija y = = fiu) taške u = g(x 0 ) turi išvestinę y' = f (u0), tai ir sudėtinė funkcija y = fig(jc)) turi išvestinę, lygią /'(¾) Laipsninės
funkcijos
Trigonometrinių
išvestinė.
funkcijų
=fi(g(xo))
· £'(*<>)·
Jei a e R, χ > O, tai (jc") = ax"
išvestinės,
(sin χ)' = cos χ; (cos χ ) ' = - s i n χ;
(tgjc)'=—l—; (ctgx)'=—. V cos" X sin X Logaritminės
funkcijos
išvestinė.
(Iogu χ ) ' =
χ In а 1
; χ > О, а > О, а Φ 1.
Kai а = e, tai In а = In e = 1. Todėl (In χ ) ' = — · Rodiklines funkcijos išvestinė, ( a ' ) = ax In a. Taigi (αΛ ) = ax In a. Kai a = e, turime: ( е д ) = ex In e = 1. Vadinasi, И ' = Lagranžo teorema. Jei funkcija Дх) yra tolydi intervale [a; b] ir diferencijuojama kiekviename vidiniame šio intervalo taške, tai yra toks taškas c (a < c < b), su kuriuo f b) - f a ) = f'(c)(b - a). Pakankama funkcijos didėjimo sąlyga. Jei funkcijos Дх) išvestinė kiekviename intervalo (a; b) taške yra teigiama, tai funkcija yra didėjanti tame intervale.
Pakankama funkcijos mažėjimo sąlyga. Jei funkcijos fix) išvestinė kiekviename intervalo (a; b) taške yra neigiama, tai funkcija yra mažėjančioj i tame intervale. Funkcijos apibrėžimo srities vidiniai taškai, kuriuose išvestinės reikšmė lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami funkcijos kritiniais taškais. У y-f (χ)
a
0
Χ,
X2
X4 3
X· 4
b·
x>
Norint nustatyti funkcijos fix) didėjimo ir mažėjimo intervalus, reikia: 1) rasti funkcijos apibrėžimo sritį; 2) rasti funkcijos kritinius taškus; 3) pažymėti kritinius taškus ašyje Ox, t. y. funkcijos apibrėžimo sritį padalyti į intervalus, kuriuose išvestinė turi pastovų ženklą ir nustatyti išvestinės ženklą kiekviename iš gautųjų intervalų. Jei intervale f '(x) > 0 , — funkcija fix) didėja, jei f'(x) < 0 , — funkcija/(χ) mažėja. Taškuose X2 ir x4 funkcija turi maksimumus. Minimumo ir maksimumo taškai vadinami ekstremumo taškais, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose — funkcijos ekstremumais. Ekstremumo taškai gali būti tik vidiniuose intervalo taškuose, todėl taškai a ir b nelaikomi funkcijos ekstremumo taškais. Maksimumo tašką (žr. pav. x2) galima apibrėžti kaip tašką, kuriame iki tol didėjusios funkcijos reikšmės pradeda mažėti, o minimumo tašką (žr. pav. X1 ir x3) — kaip tašką, kuriame iki tol mažėjusios funkcijos reikšmės pradeda didėti. Būtina funkcijos ekstremumo sąlyga (Ferma teorema). Jei taškas x0 yra funkcijos fix) ekstremumo taškas ir šiame taške egzistuoja išvestinė, tai ji lygi nuliui: f'(xj = 0. Pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga. Jei funkcijos/(.v) išvestinė, pereidama (iš kairės į dešinę) kritinį tašką .v0 keičia ženklą: a) iš pliuso į minusą, tai .v0 yra funkcijos maksimumo taškas; b) iš minuso į pliusą, tai X0 yra funkcijos minimumo taškas. Jei išvestinė kritiniame taške ženklo nekeičia, tai jame ekstremumo nėra.
Paveiksle pavaizduotas tolydžios funkcijos J[x), apibrėžtos intervale [a; b], grafikas. Taške x2 yra funkcijos maksimumas, o taškuose χ, ir X3 — minimumai. Matyti, kad mažiausią reikšmę funkcija įgyja viename iš minimumo taškų, taške x 3 . Didžiausią reikšmę funkcija įgyja dešiniajame intervalo gale, taške b, kuriame ekstremumo ji neturi. Tai iliustruoja tokią taisyklę. Norint surasti funkcijos, diferencijuojamos duotajame intervale, mažiausiąją ir didžiausiąją reikšmes, reikia: 1) 2) 3) 4)
surasti intervalo viduje esančius funkcijos kritinius taškus; apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose; apskaičiuoti funkcijos reikšmes duotojo intervalo galuose; iš visų gautųjų skaičių išrinkti didžiausią ir mažiausią.
Funkcijos / d i d ž i a u s i o j i ir mažiausioji reikšmės intervale [a; b] atitinkamai žymimos: ir max f (χ) min f (χ). [а-.Ь\ [α; M 1 p a v y z d y s . Keturkampės piramidės, kurios šoninės briaunos lygios, pagrindas yra stačiakampis. Piramidės aukštinė lygi Л
cm. Piramidės
cm briaunomis 1 — greičiu juda vabalas. Ar užteks 2 sekundžių jam nus sileisti iš piramidės viršūnės šonine briauna iki pagrindo viršūnės, jeigu žinoma, kad visas pagrindo kraštines jis apeina per 8 sekundes? S BS = CS = DS; Duota: SABCD, AS OS = h = Jl;
v (vabalo greitis) = 1
cm
s t =· 8 s (laikas, per kurį vabalas apeina pagrindą). Reikia rasti: S (kelią). Sprendimas. = 8 cm,
Pabcd
= v · t = 1 cm/s · 8 s =
AB = χ, BC = AD = 4 - χ,
χ j . ОЕ-
EB-
AO=Jeo2
4-х —
+ΑΕ2
=Jx2
~42χ+8,
JAO2+SO2=JX2-4*+12,
AS = Jlx2-Ax+ V
ν
12 ) 2
/
χ —2 2 · .1
V
χ =
ζ
Χ2-2Χ+6
2
Xmin = 2, kai χ = 2, = 2, AB = 2, AD = 2 . 0 tai reiškia, kad piramidės pagrindas turės būti kvadratas. Bendra funkcijos tyrimo schema yra tokia: 1) nustatoma funkcijos apibrėžimo sritis; 2) išsiaiškinama, ar funkcija yra periodinė. Jei taip, tyrimui pasirenkamas intervalas, kurio ilgis lygus funkcijos periodui; nustatomas funkcijos lyginumas; 3) apskaičiuojamos koordinatės taškų, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis; 4) apskaičiuojama funkcijos išvestinė; 5) randami funkcijos kritiniai taškai; 6) apskaičiuojamos funkcijos reikšmės kritiniuose taškuose; 7) gauti tyrimo rezultatai surašomi lentelėje. Jei funkcijos apibrėžimo sritis yra nuo -oo iki oo, lentelės pirmąją eilutę pradedame intervalu nuo -oo iki pirmojo kritinio taško ir baigiame oo. Jei funkcijos apibrėžimo sritis prasideda (baigiasi) konkrečiu skaičiumi, lentelę pradedame (užbaigiame) tuo skaičiumi. Antroje eilutėje pažymimas išvestinės ženklas konkrečiame intervale. Trečioje eilutėje nurodomas funkcijos kitimo intervaluose pobūdis ir funkcijos reikšmės kritiniuose taškuose. 8) galiausiai braižomas funkcijos grafikas. Norint gauti tikslesnį funkcijos grafiką, galima apskaičiuoti antrąją išvestinę (išvestinės išvestinę). Jei f "(x) > 0 , — funkcijos grafikas įgaubtas; jei / " ( x ) < 0 , — funkcijos grafikas išgaubtas. Taškas, kuriame antroji funkcijos išvestinė lygi nuliui, vadinamas perlinkio tašku.
2 p a v y z d y s . Ištirkime funkciją y = 16x(x - I) 3 ir nubraižykime jos grafiką. 1)
ВД
= R;
2) funkcija neperiodinė. Periodinės yra tik trigonometrinės funkcijos. y ( - χ ) = 16 ( - x)((— x) - I) 3 = - 16 χ ( - (x + I)) 3 = 16 χ (x + I) 3 — nei lyginė, nei nelyginė; 3) randame taškus, kuriuose funkcija kerta Ox ašį, t. y. kur y = 0: 16x · (x - I) 3 = 0 x = 0 arba χ - 1 = 0, χ = 1, (0; 0); (1; 0). Kai kerta Oy ašį, t. y. kai χ = 0, Дх) = у = 16 · 0(0 - 1) = 0,
(0; 0); 4) randame išvestinę: y ' = (16x(x - I) 3 )' = 16(x - I) 3 + 16 · χ · 3(x - I) 2 = (x - 1 ) 2 (64x - 16); 5) randame kritinius taškus: (x - l) 2 (64x - 16) = 0, χ = 1 arba χ = 0,25; 6) / I ) = 0, ;<0,25) = -1,6875; 7) sudarome lentelę: X y'
(—; 0,25) -
У
0,25
(0,25; I)
1
(l;+oo)
0
+
0
+
,-г
0
-1,6875
Dar randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis: 16x(x - I) 3 = 0, χ = 0 arba χ = 1. Ox ašį funkcija kerta taškuose (0; 0) ir (1; 0). Kai x = 0 , funkcija kerta Oy ašį, t. y. y = 16 · 0 · (0 - 1) = 0. Gavome tašką (0; 0). Nustatome įgaubtumą ir išgaubtumą: y" = 2(x - l)(64x - 16) + (χ - I) 2 · 64 = 96(x - l)(x - 0,5).
0,5
1
Randame perlinkio taškus: (0,5; - 1 ) ir (1; 0). Braižome grafiką:
Integralas Dažnai tenka spręsti tokį matematikos uždavinį: žinant funkcijos fix) išvestinę, reikia rasti pačią funkciją F(x). Funkcija F(x) vadinama funkcijos fix) pirmykšte funkcija intervale (a; b), jei F'(x) = fix) su visais χ iš šio intervalo. 1 p a v y z d y s . Funkcijos fix) = cos χ pirmykštė funkcija intervale +00) yra F(x) = sin χ, nes nurodytame intervale -F'(.v) = cos χ = fix). 1 2 p a v y z d y s . Funkcijos fix) = — pirmykštė funkcija intervale (0; 1 yra F(x) = In χ, nes tame intervale F'(x) = (In x)' = — · Veiksmas, kuriuo randama pirmykštė funkcija, vadinamas integravimu. Integravimas yra atvirkščias veiksmas diferencijavimui. Jei funkcijos Дх) išvestinė intervale (a; b) tapačiai lygi nuliui, tai fix) — pastovi funkcija tame intervale. Sakykime, kad funkcija F(x) yra funkcijos Дх) pirmykštė funkcija intervale (a; b). Tuomet: 1) funkcija F(x) + C (C = const.) irgi yra funkcijos Дх) pirmykštė funkcija intervale (a; b); 2) kiekviena funkcijos fix) pirmykštė funkcija intervale (a; b) gali būti parašyta taip: F(x) + C. β
137
Šią pirmykščių funkcijų savybę geometriškai galima paaiškinti taip: funkcijos J(x) bet kurios pirmykštės funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos F(x) grafiko lygiagrečiu postūmiu ašies Oy kryptimi. Funkcijos Дх) visų pirmykščių funkcijų aibė vadinama funkcijos J(x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima:
J/(x)č/x.
Skaitoma „integralas ef
iks dė iks". Pagal apibrėžimą, J / (x) dx = F(x) + C; čia F (x) — viena iš funkcijos Дх) pirmykščių funkcijų, t. y. F(x) = / ( x ) . Vadinasi, ( J / ( x ) d x j = f ( x ) . Ženklą J vadiname integralo ž e n k l u , / ( x ) — pointegraline f u n k c i j a , / ( x ) dx — pointegraliniu reiškiniu, χ — integravimo kintamuoju, C — integravimo konstanta. 3 p a v y z d y s . Kadangi (sin χ) = cos χ, tai viena funkcijos cos χ pirmykščių funkcijų yra sin χ, o bendra pirmykščių funkcijų išraiška yra sin χ + C, todėl J c o s xdx = sin χ + С. Vadinasi, norint apskaičiuoti funkcijos Дх) integralą, reikia rasti vieną tos funkcijos pirmykštę funkciją ir prie jos pridėti C. Neapibrėžtinio integralo apskaičiavimą vadiname integravimu. Kiekviena elementarioji funkcija, apibrėžta intervale (a; b), šiame intervale turi pirmykštę funkciją (yra integruojama). Pagrindinių neapibrėžtinių integralų formulės yra šios: 1.
dx = χ + C,
2.
x"dx =
3.
x"+l
+ C, αφ-1, a +1 dx , I l n — = In χ + C, χ Φ U, X
4.
e dx = ex +C,
5.
axdx = ——l· C, Ina
6.
cosx dx = sin χ + C,
7.
sin χ dx = - cos χ + C, dx „ — = tg χ + C, cos" χ dx -ctg χ + C. sin 2 χ
Neapibrėžtinio integralo apskaičiavimo taisyklės: 1) pastovų dauginamąjį galima iškelti prieš integralo ženklą: Jk •f (x)dx = k j f (x) dx; 2) dviejų funkcijų sumos integralas lygus tų funkcijų integralų sumai: J(/
M + g (x))dx = J f (x) dx + Jg (x) dx;
3) jei J f ( x ) d x = F(x) + C, tai J f ( f c c + b) dx = -F (kx + b) + C.
funkcija Дх). Figūrą, kurią apriboja šios funkcijos grafikas, ašies Ox atkarpa [a; b] ir tiesės χ = a, χ = b, vadiname kreivine trapecija. Taigi kreivinės trapecijos, kurią apriboja neneigiamos tolydžios funkcijos Дх) grafikas atkarpoje [o; b], plotas išreiškiamas formule b
S = J f(x)dx.
(1) Skaitoma: „integralas nuo a iki bė ef iks dė iks".
A
Skaičiai a ir b vadinami integravimo rėžiais: a — apatiniu, b — viršutiniu. Intervalas, kurio galai yra a ir b, vadinamas integravimo intervalu. Skaičiuojant apibrėžtinius integralus, naudojamasi pagrindine neapib-
Jei Дх) < O, kreivinė trapecija yra po ašimi Ox. Tada integralas (1) lygus kreivinės trapecijos plotui, parašytam su minuso ženklu. Spręsdami uždavinius, susiduriame su figūromis, kurių plotas lygus kreivinių trapecijų, esančių virš ašies Ox ir po ašimi Ox, plotų sumai. Pavyzdžiui, paveiksle pavaizduotos figūros plotas c <1 b S = J ' / ( x ) dx - J f ( x ) dx + J / ( x ) dx, a c d b j f ( x ) d x = F(b)-F(a). (2) a Cia F (χ) yra funkcijos / (x) pirmykštė funkcija. (2) formulė vadinama Niutono—Leibnico formule. Skirtumas F (b) - F (a) žymimas simboliu F (x)j',
todėl (1) formulė perrašoma taip: b
\ f ( x ) d x= a 4 p a v y z d y s . Apskaičiuokime plotą figūros, kurią apriboja kreivė y = 2x - x2 ir χ + 2y = 2 (žr. pav.).
F(x)\ba.
Sprendimas. Nubraižome funkcijų grafikus. Jų susikirtimo taškų abscises randame iš lygčių sistemos I y = 2x - χ2, Ix + 2y = 2. Gauname
x. =—, x, = 2 . 1 2 2 Ieškomas plotas yra lygus kreivinės trapecijos BACD ir trikampio BAD plotų skirtumui. I.
/
SBACD = J(2x — χ )dx =
2
χx
3
^
1 Sbad=-AB-BD 2
13 3 9 =- - - - = - . 2 4 2 16 9 9 - 9
Ats.: duotos figūros plotas lygus 77 ploto vienetų. 16
KOMBINATORIKA, TIKIMYBĖS IR STATISTIKA KOMBINATORIKA Kombinatorika yra matematikos sritis, nagrinėjanti, kiek skirtingų kombinacijų, tenkinančių tam tikras sąlygas, galima sudaryti iš baigtinio turimų objektų skaičiaus.
Kombinatorinė sudėties taisyklė Sakykim, kad yra и, objektų, turinčių pirmąjį požymį, n2 objektų, turinčių antrąjį požymį, ;J3 objektų, turinčių trečiąjį požymį, ..., nk objektų, turinčių λ'-tąjį požymį, ir jokie du iš tų objektų neturi bendro požymio. Tada vieno objekto pasirinkimo galimybių (variantų, būdų) skaičius yra n
\ + n i + л з + •·· + nk1 p a v y z d y s . Jonukas nori nusipirkti knygą. Kiek yra knygos pasirinkimo galimybių, kai knygyne yra 12 fantastikos ir 28 nuotykių knygos? Sprendimas. Fantastikos knygai pasirinkti yra 12 galimybių, o nuotykių — 28 galimybės. Remiantis kombinatorinė sudėties taisykle, vienai knygai (arba fantastikos, arba nuotykių) pasirinkti Jonukas turi 12 + + 28 = 40 galimybių. Ats.: 40 galimybių.
Apibendrintoji sudėties taisyklė Paprastoji sudėties taisyklė taikoma tik tada, kai pasirinkimo aibės neturi bendrųjų elementų (daiktų, objektų). Jei elementai kartojasi, tai reikia taikyti apibendrintąją sudėties taisyklę. Jei objektui A parinkti yra n būdų, o objektui B parinkti — m būdų, ir jie turi k bendrų elementų, tai pasirinkti arba A, arba B yra n + m - k būdų.
2 p a v y z d y s . 78 mokyklos antrokai dalyvauja užklasinėje veikloje: dainuoja arba šoka. 52 mokiniai tik šoka, 18 — šoka ir dainuoja. Kiek mokinių tik dainuoja? Sprendimas. Naudojamės apibendrinta sudėties taisykle. Žinome visų mokinių skaičių. Pažymėję raide χ skaičių mokinių, kurie tik dainuoja, sudarome lygtį: 78 = 52 + χ - 18, χ = 44. Ats.: tik dainuoja 44 mokiniai. Kombinatorinė daugybos taisyklė Jeigu objektą x 1 galima pasirinkti A1 būdais, objektą x2 - k2 būdais, objektą x 3 - A3 būdais, ..., objektą xn - kn būdais, tai visų tų objektų rinkinį (x„ x 2 , x 3 , ..., xn) galima pasirinkti kx · k2 • k3 • ... • kn būdais. 1 p a v y z d y s . Vytautas Zoologijos sode nori nusipirkti papūgėlių porelę. Patelių yra trijų spalvų: geltonų, žalių ir mėlynų, o patinėlių — keturių spalvų: baltų, geltonų, žalių ir mėlynų. Kiek yra skirtingų būdų parinkti patelę ir patinėlį? Sprendimas. Skirtingų spalvų pateles pažymėkime raidėmis: geltonas — g, žalias — f , mėlynas — m, o patinus pažymėkime raidėmis: baltus — b, geltonus — g, žalius — f , mėlynus — m. geltona baltas
žalia mėlyna geltona
geltonas
žalia mėlyna
b.g b.ž b.m g-g g-ž g.m
geltona žalias
žalia mėlyna geltona
mėlynas
žalia mėlyna
ž-g ž.ž ž.m m.g m.ž m.m
Vytautas pirma gali rinktis patelę, paskui patinėlį arba pirma išsirinkti patinėlį, paskui — patelę. Atsižvelgiant į tai, ką rinksis pirma — patelę ar patinėlį, Vytauto pasirinkimo galimybes galime pavaizduoti vadinamuoju loginiu galimybių medžiu. Vytauto galimybes pasirinkti patelę ir patiną taip pat galima nurodyti (koduoti) raidžių dvejetais: { (g, b), (g, g), (g, z), (g, m), (z, b), (ž, g), (i, z), (z, m), arba (m, b), (m, g), (m, z), (m, m)},
{ (b, g), (b, i), (b, m), (g, g), (g, z), (g, m), (f, g), (ž, z), (ž, m), (m, g), (m, z), (m, m) }.
Suskaičiavę medžių šakas arba aibių elementus (raidžių dvejetus), sužinome, kad jų yra 12: t. y. 12 = 3 - 4 = 4 - 3 . Užrašas 3 · 4 nurodo, kad kiekvienai iš trijų patelių galima parinkti po 4 patinėlius. Taigi Vytautas gali sudaryti 12 skirtingų porų papūgėlių. O užrašas 4 · 3 reiškia, kad kiekvienam iš keturių patinėlių galima priskirti po 3 pateles. Taigi gauname 12 skirtingų patelės ir patinėlio parinkimo būdų. Ats.: 12 skirtingų būdų.
Apibendrintoji kombinatorinė daugybos taisyklė Jei kuriam nors objektui a, pasirinkti yra «г, būdų, o po kiekvieno tokio pasirinkimo objektą a2 galima pasirinkti m2 būdais, po kiekvienų tokių dviejų pasirinkimų objektą a3 galima pasirinkti m} būdais, ..., po tokių k pasirinkimų objektą ak galima pasirinkti mk būdais, tai objektų rinkinį (a,, a2, ..., ak) galime pasirinkti m{ • m2 • ... • mk būdais. Šią taisyklę patogiausia taikyti uždaviniams, kuriuose iš duotų skaitmenų reikia sudaryti daugiaženklius skaičius. 1 p a v y z d y s . Iš skaitmenų 1, 2, 3, 4 ir 5 sudaromi triženkliai skaičiai. Kiek galima sudaryti lyginių triženklių skaičių, turinčių skirtingus skaitmenis? Kiek galima sudaryti nelyginių triženklių skaičių su pasikartojančiais skaitmenimis? Sprendimas. Duotame rinkinyje yra du lyginiai skaitmenys. Tai 2 ir 4. Kai jie bus gale, triženklis skaičius bus lyginis: (3 · 4 · 1) · 2 = 24. Jei gale bus 1, 3, 5 — skaičius bus nelyginis: (5 · 5 · 1) · 3 = 75 Ats.: 24 lyginius ir 75 nelyginius skaičius.
Natūraliojo skaičiaus faktorialas (žymimas n!) yra visų natūraliųjų skaičių nuo n iki 1 sandauga: n\ = n • (n - 1) · (n - 2) · ... · 3 · 2 · 1 = n • (n - 1)!. Simbolį n\ skaitome: „en faktorialas". Susitarta laikyti, kad O! = 1. Pavyzdžiai: 1! = 1, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 4 · 3! = 24, 2! = 2 1 = 2, 5! = 5 · 4 · 3 • 2 · 1 = 5 - 4 ! = 120, 3! = 3 - 2 - 1 = 3 - 2! = 6, 6! = 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 = 6 - 5! = 720. Junginiai yra įvairios bet kokių daiktų grupės, besiskiriančios viena nuo kitos arba pačiais daiktais, arba jų išsidėstymo tvarka. Junginio elementais yra vadinami daiktai, iš kurių sudaryti junginiai.
Gretiniai, gretiniai su pasikartojimais Gretiniai iš n elementų po k yra tokie junginiai, kurių kiekvienas turi k elementų, parinktų iš n elementų, ir kurie vienas nuo kito skiriasi arba pačiais elementais, arba jų išdėstymo tvarka. 1 p a v y z d y s . Gretiniai abc, cab, bac sudaryti iš tų pačių elementų, tačiau yra skirtingi, nes skiriasi jų elementų išdėstymo tvarka; gretiniai abd ir cbd yra skirtingi, nes skiriasi pačiais elementais. Gretinių iš n elementų, paimtų po k elementų, skaičius žymimas Ak (k < n, n, k e N). Gretinių skaičių galima apskaičiuoti pagal formulę Akn= n • (n - 1) • (n - 2) · ... - (n-(k
- 1)).
( D
2 p a v y z d y s . Ą4 = 8 · (8 - 1) · (8 - 2) · (8 - (4 - 1)) = = 8 • (8 - 1)(8 - 2)(8 - 3) = 8 - 7 - 6 - 5 = 1680. (1) formulę galima perrašyti ir taip:
3 pavyzdys. Ą =
6! (6-2)!
Susitarta laikyti, kad
_ 6! _ 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 _
4! ~
1-2-3-4
= 5 - 6 = 30.
=1,A° =1.
4 p a v y z d y s . Traukinį sudaro 9 vagonai. Kiek yra galimybių susodinti 4 žmones į skirtingus vagonus? Sprendimas.
4
= 9 - 8 - 7 - 6 = 3024.
Ats.: 3024 galimybės.
Cretinių su pasikartojimais iš n elementų po k skaičius žymimas j n apskaičiuojamas pagal formulę
ir
A n = «'· 5 p a v y z d y s . Sudarykime visus galimus gretinius su pasikartojimais iš keturių elementų a, b, c, d po 2 elementus: aa ba ca da
ab bb cb db
ac be cc dc
ad bd cd dd.
Iš viso gavome 16 gretinių su pasikartojimais. Pagal formulę Ал = 42 = 16.
Kėliniai, kėliniai su pasikartojimais Kėliniai iš n elementų yra gretiniai iš tų pačių n elementų po n. Kėlinių skaičius žymimas Pn. Skirtingi kėliniai yra sudaryti iš tų pačių elementų ir vienas nuo kito skiriasi tik elementų išdėstymo tvarka. Kėlinių iš n elementų skaičius apskaičiuojamas pagal formulę Pn = An = n • (n - 1) · (л - 2) · ... · 3 · 2 · 1 = и!. 1 p a v y z d y s . Močiutė augina 6 triušius. Keliais būdais ji gali paskirstyti 6 anūkams prižiūrėti triūšiūs, jei kiekvienas triušis gali turėti tik vieną šeimininką? Sprendimas.
Pb = 6! = 720.
Ats.: 720 būdų paskirstyti triušius. Junginiai, sudaryti iš n elementų (a,, a2, ..., an), kurių pirmasis elementas a, pasikartoja k, kartų, antrasis elementas a2 pasikartoja k2 kartų, elementas a3 - кг kartų, ..., elementas an pasikartoja kn kartų, yra vadinami kėliniais su pasikartojimais. Kėlinių su pasikartojimais iš n elementų av a2, ..., an skaičius randamas pagal formulę nl ^n (Ap A2, ..., AJ =
J Į FVι«
J Į IV2»
···
L f ' ĮJ·
čia A1 — elemento a, pasikartojimų skaičius; A2 — elemento a2 pasikartojimų skaičius; ...; An — elemento an pasikartojimų skaičius. Visada A1 + A2 + ... + kn = n.
2 p a v y z d y s . Kiek žodžių galima sudaryti iš žodžio „kupranugaris"? Sprendimas. Iš viso žodyje yra 12 raidžių, k pasikartoja 1 kartą, u — 2, p — I, r — 2, a — 2, n — 1, g — 1, i — 1,5 — 1. Todėl tai yra kėlinys su pasikartojimu, kuris apskaičiuojamas taip: 12! 479001600 P, Л 1 1 1 1 1 1 2 2 2) = = = 59 875 200. r n (',',',','.',Wi 1!1!1!1!1!1!2!2!2! 8 Ats.: galima sudaryti 59 875 200 žodžių.
Deriniai, deriniai su pasikartojimais Deriniai iš n elementų po k yra tokie junginiai, kurių kiekvienas turi k elementų, parinktų iš duotų n elementų, ir kurie vienas nuo kito skiriasi tik pačiais elementais. P a v y z d ž i a i , abc, bac, cab yra vienas ir tas pats derinys; xy i r y x yra vienas ir tas pats derinys. Derinių iš n elementų po k skaičius žymimas Ck ir apskaičiuojamas pagal formulę k\ _ 6-(6-1)-(6-2)-(6-3)-(6-(5-1)) _ 1 pavyzdys. L6— s
_ 6 - ( 6 - 1 ) - ( 6 - 2 ) - ( 6 - 3 ) ( 6 - 4 ) _ 6-5-4-3-2 _ 5! ~ 1-2-3-4-5 ~ Derinių radimo formulė gali būti ir tokia: " _s 2 p a v y z d y s . C, =
6! 5!(6-5)!
k\(n-k)\ =
6! 5! -1!
=
1-2-3-4-5-6 1-2-3-4-5-1
, = 6.
Susitarta laikyti, kad C®=1 ir Cg = 1. 3 p a v y z d y s . Iš 7 rožių ir 5 narcizų žiedų reikia sukomponuoti puokštę, kurioje būtų 2 rožės ir 3 narcizai. Keliais būdais tai galima padaryti? Sprendimas. Pasirinkti 2 rožes iš 7 turime C72 galimybių, o narcizus — C53. Kadangi renkamės ir rožes, ir narcizus, tai C ^ ^ U - i U 7
5
2!5!
3!2!
7
^
4
=
210.
2-2
Ats.: yra 210 būdų puokštei sukomponuoti.
Deriniai iš n elementų po k su pasikartojimais apskaičiuojami pagal formulę -a
_ (n +
k-1)1
kl(n-l)\
'
-7 (4 + 7 - 1 ) ! 10! 8-910 ,„ft 1 p a v y z d y s . C4 = —= = = 120, 7!(4-1)! 7! -3! 1-2-3 arba k C k -- CЧнч-1·
2 pavyzdys. Й = С , = С ; ~
= 120.
Sprendžiant uždavinius, patogiau naudotis antrąja formule. 3 p a v y z d y s . Yra 12 žaidimų aparatų. Mindaugas nori sužaisti jais 14 kartų. Skaičiuojame Mindaugo pasirinkimo galimybes. -h Cn =
25' — = 4 457 400. 14! 11! Ats.: yra 4 457 400 pasirinkimo galimybės.
Sprendimas.
C* savybės k 1. Ckn =C"' n .
n Sią formulę patogu taikyti derinių skaičiui apskaičiuoti, kai k > — · 1 p a v y z d y s. C19Q0 = C1000-96 = C 2. Ck =C*., + C*;,'; 2 pavyzdys.
C53
j
=^
^
^
= 3 921225.
k
3. c„°+c,! + . . . + c ; =2". 3 p a v y z d y s . C 4 0 +C 4 +C 4 2 +C 4 3 +C 4 4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 =16 =2 4 . Ryšys tarp gretinių iš n elementų po k skaičiaus Ak ir derinių iš n elementų po k skaičiaus Ck nusakomas formule Akn=MCtn. 4 pavyzdys. 4!-C 4 = 4 !
Af = 4!-C 7 4 ,
t. у.
7' 7' — = — = 4-5-6-7. 4!·3! 3!
Л74 = - = 4 - 5 - 6 - 7
ir
Ak
=k\Cn.
Paskalio trikampis Ck
bei jų skaitines reikšmes, apskaičiuotas pagal formulę Ck =
= C*_, +Ck:!,
k < n
(prisiminkite, kad
=C" =1, C00 =1), patogu sura-
šyti į lentelę, kuri vadinama Paskalio trikampiu: n=0
C0° o u i C, C1 0 1 2 C, C,2 C, 3 0 1 C3 C3 C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 C4
«=1 и=2 n=3 n= 4
0
л =5
1
2
3
C5 C5 C5 C5 n , , I
n=6 C6
C6
C6
C6
4
1 14 /Л 1\ 2/ \ 1/ 1 3 3 1 \ / \ / \ x 1 4 6 4 1 5
C5
C5
4
5
s
C6
C6
C6
\
1 \ 1
5
6
/
\
/
\
/
\
/
10 10 5 1 / 4 / \ / N /
15
20
15
6
1
Pirmasis ir paskutinysis kiekvienos eilutės elementas yra lygus 1, nes c ; =c,;=i. Kiti eilutės nariai randami pagal taisyklę: kiekvienas elementas, išskyrus kraštinius elementus, kurie lygūs 1, yra lygus skaičių, esančių virš jo kairėje ir dešinėje, sumai. Pavyzdžiui, 6-oji eilutė iš 5-osios gaunama taip: 1 5 10 10 5 1 / \ / \ / \ / \ / \ / \ 1 1+5 5+10 10+10 10+5 5+1 1 I 1
I 6
I
I 15
I 20
15
I 6
i 1
Paskalio trikampio eilučių elementai atitinka dvinario a + b n-tojo laipsnio koeficientus: (a + bf = 1 = C00, (a + b)1 = 1 · a + 1 • b = C°xa + C\b, (a + b)2 = 1 · a2 + 2ab + 1 · b2 = C 2 V +C\ab + C22b2, (a + b)3 = 1 · α3 + Ъа2Ь + 3ab 2 + 1 · V = C 3 V +C\a2b + C2ab2 4
4
3
2
i
4
+C]b\
3
(a+ b) = 1 - a + 4a b + 6a b + Aab + 1 · b = C 4 V + C > 6 + C 4 VA 2 + + Clab 3 + C 4 V .
TIKIMYBĖS Tikimybių teorija yra matematikos šaka, tirianti masinių atsitiktinių reiškinių dėsningumus.
Įvykiai Įvykis yra bandymo arba stebėjimo rezultatas. 1 p a v y z d y s . Iš dėžės, kurioje yra 4 juodi ir 5 raudoni rutuliukai, išimamas vienas rutuliukas. Tai — bandymas. O tai, kad iš dėžės ištraukiamas rutuliukas yra juodas arba raudonas, — galimi jo įvykiai. Būtinasis įvykis yra toks įvykis, kuris, atlikus bandymą, visada įvyksta. 2 p a v y z d y s . Metus monetą, atsivertė arba skaičius, arba herbas; šis įvykis būtinas, nes kitos galimybės nėra. Negalimasis įvykis yra toks įvykis, kuris, atlikus bandymą, niekada neįvyksta. 3 p a v y z d y s . Įvykis „iš dėžutės, kurioje yra 5 pieštukai, paimti 6 pieštukai" yra negalimas, nes yra tik 5 pieštukai. Atsitiktinis įvykis yra toks įvykis, kuris, atlikus bandymą, gali įvykti, bet gali ir neįvykti. Atsitiktiniai įvykiai žymimi didžiosiomis raidėmis A, B, C, D ir t. t. 4 p a v y z d y s . „Metama ant stalo moneta atvirto herbu" yra atsitiktinis įvykis, nes gali atvirsti ir skaičius. Nesutaikomieji įvykiai yra tokie įvykiai, kurie, atliekant bandymą, negali įvykti visi vienu metu, t. y. gali įvykti tik vienas iš jų. 5 p a v y z d y s . Iš klasės išrenkamas 1 moksleivis į mokinių tarybą. Įvykiai A ir B\ A — „išrenkamas vaikinas"; B — „išrenkama mergina". Įvykiai nesutaikomi, nes tas pats žmogus negali būti ir mergina, ir vaikinas. Poromis nesutaikomieji įvykiai yra tokie įvykiai A1, A2, ..., AN, kai bet kurie du iš jų yra nesutaikomi. Įvykiui A priešingas įvykis yra toks įvykis A, kuris įvyksta tik tada, kai neįvyksta A. 6 p a v y z d y s. Jei įvykis A — „šaulys pataikė į taikinį", tai jam priešingas įvykis A — „šaulys nepataikė į taikinį". Elementarieji įvykiai yra tokie įvykiai, iš kurių susideda kai kurie kiti įvykiai. Elementariųjų įvykių skaičių žymėsime n.
7 p a v y z d y s . Ridenamas lošimo kauliukas. Iš šio bandymo elementariųjų įvykių Ex — „atsivertė dvi akutės", E2 — „atsivertė keturios akutės" ir E3 — „atsivertė šešios akutės" susideda įvykis A — „atsivertė lyginis akučių skaičius". Tai reiškia, kad įvykis A įvyks, jei įvyks bent vienas iš trijų įvykių Ex, E2, Ey Įvykiai Ex, E2, E3 yra neskaidomi į paprastesnius įvykius ir yra poromis nesutaikomi, t. y. negali įvykti kartu. Elementariųjų įvykių aibė yra bandymo visų elementariųjų įvykių visuma. Su bandymu susiję elementarieji įvykiai yra poromis nesutaikomi ir vienas iš jų yra būtinasis įvykis. 8 p a v y z d y s . Dėžėje yra 5 kaladėlės, pažymėtos skaičiais 1, 2, 3, 4, 5. Iš jos vienu metu ištraukiamos 2 kaladėlės. Surašykite visus elementariuosius įvykius, susijusius su šiuo bandymu. Šio bandymo elementarieji įvykiai yra tokie: 12; 13; 14; 15; 23; 24; 24; 34; 35; 45. Šis įvykis turi 10 elementariųjų įvykių. Įvykiui A palankūs elementarieji įvykiai yra tokie įvykiai, kuriems įvykstant įvyksta ir mus dominantis įvykis A. 9 p a v y z d y s . Dėžėje yra 4 rutuliai, pažymėti skaičiais 1, 2, 3, 4, t. y. rutuliai yra sunumeruoti. Iš dėžės vienu metu ištraukiami 3 rutuliai. Su šiuo bandymu susiję elementarieji įvykiai yra: Ex — „ištraukti rutuliai, pažymėti skaičiais 1, 2, 3"; E2 — „ištraukti rutuliai, pažymėti skaičiais 2, 3, 4"; E3 — „ištraukti rutuliai, pažymėti skaičiais 1, 3, 4"; E4 — „ištraukti rutuliai, pažymėti skaičiais 1, 2, 4". Elementariųjų įvykių skaičius lygus 3= 4(4-l)(4-2) = 1 4 1-2-3 Įvykiai Ex, E2, E3, E4 yra poromis nesutaikomi ir vienas iš jų yra būtinasis įvykis. Įvykiui A — „ištrauktųjų rutulių numerius žyminčių skaičių suma mažesnė už 8" — palankūs elementarieji įvykiai yra Ex ir E4, o įvykiui B — „ištrauktųjų rutulių numerius žyminčių skaičių suma didesnė už 6" palankūs elementarieji įvykiai yra E2, E3 ir E4. Du įvykiai yra sutaikomi, jei abiem įvykiams yra bent vienas palankus elementarusis įvykis. 10 p a v y z d y s . Du šauliai, nepriklausomai vienas nuo kito, šauna į tą patį taikinį. Įvykis A — „pataikė pirmasis šaulys" ir įvykis B —• „pataikė antrasis šaulys" — yra sutaikomi, nes, atliekant bandymą, į taikinį gali pataikyti abu šauliai.
Veiksmai su įvykiais Palyginkime tokius įvykius: A — „ridenant kauliuką iškrito 2 akutės" ir B — „ridenant kauliuką, iškrito lyginis akučių skaičius". Pastebime tokius priežastinius ryšius tarp tų įvykių: jei įvyko A, tai tuo pat metu įvyko ir B, bet jei įvyko B, tai dar nereiškia, kad būtinai įvyko ir A. Matome, kad įvykiai A ir B nėra tolygūs vienas kitam, t. y. įvykis A yra įvykio B dalis. Žymima AaB. в Įvykis B yra svarbesnis už įvykį A, nes įvykį B sudaro trys elementarieji įvykiai: B „iškrito 2 akutės", „iškrito 4 akutės", „išA krito 6 akutės", tuo tarpu įvykis A nesiskaido, jis yra vienintelis. Geometriškai tai galima pavaizduoti taip: Įvykiai A ir B yra lygūs, jei, įvykus vienam iš jų, įvyksta ir kitas. Žymima A = B . 1 p a v y z d y s . Įvykiai A — „ne visi klasės mokiniai išlaikė sėkmingai matematikos egzaminą" ir B — „bent vienas klasės mokinys neišlaikė egzamino" yra lygūs. Įvykių A ir B sąjunga (suma) vadinaAU B mas įvykis, kuris įvyksta tik tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių A ir B (arba A, arba B, arba A ir B kartu). Įvykių A ir B suma žymima A + B (galima žymėti ir A U B). Geometriškai tai galima pavaizduoti taip: 2 p a v y z d y s . Ridenant kauliuką, užfiksuoti tokie įvykiai: A — „iškrito 1 akutė"; B — „iškrito 2 akutės"; C — „iškrito ne daugiau kaip 2 akutės".
t
Įvykis C yra įvykių A ir B sąjunga, nes įvykiai A ir B negali įvykti kartu, įvyksta arba A, arba B. Įvykių A ir B sankirta (sandauga) vadinamas toks įvykis, АПВ kuris įvyksta tik tada, kai įvyksta abu įvykiai A ir B. Įvykių A ir B sandauga žymima A · B (galima žymėti A Π B). Geometriškai tai galima pavaizduoti taip:
3 A B C
pavyzdys. — „pasirinktasis skaičius dalijasi iš 2"; — „pasirinktasis skaičius dalijasi iš 3"; — „pasirinktasis skaičius yra 6".
Įvykis C reiškia tai, kad įvyko ir A, ir B kartu, t. y. skaičius 6 dalijasi iš 2 ir iš 3, todėl C = AB. Įvykiai A ir B vadinami poromis nesutaikomaisiais, jei A - B — negalimasis įvykis. Įvykiai A ir B vadinami priešingaisiais, jeigu įvykių A ir B suma (sąjunga) yra būtinasis įvykis, o sandauga (sankirta) — negalimasis įvykis.
Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas Jei atliekame bandymą, kurio rezultatai yra vienodai galimi, tai įvykio A, susijusio su šiuo bandymu, tikimybė apskaičiuojama pagal formulę n čia m — skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui A, n — visų elementariųjų įvykių skaičius, o P ( A ) — įvykio A tikimybė, be to, O < m < n ir O < P ( A ) < 1. Būtinojo įvykio A tikimybė P ( A ) = 1, nes m = n. Negalimojo įvykio A tikimybė Р(Л) = O, nes negalimasis įvykis neįvyksta nė viename bandyme, todėl m = 0. Jei įvykiui A priešingas įvykis yra A, tai P( A ) = 1 - T(A), arba P ( A ) = = I - P (A). Iš tikrųjų, jei galimų įvykių yra n, o įvykiui A palankių elementariųjų įvykių yra m, tai įvykiui A palankių elementariųjų įvykių yra n - m. Vadinasi, P ( ^ ) =
^ = 1 - - = 1-Р(Л). n Visada P (A) + P(A) = I. n
Nesutaikomųjų įvykių sumos tikimybė Sakysime, kad m — skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui A, k — skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui B, kuris yra nesutaikomas su įvykiu A, o n — bendras vienodai galimų įvykių skaičius, tai YYl
Jc
P (A) = - , P(B) = - . n n
Pagal nesutaikomųjų įvykių sumos prasmę, A + B reiškia „įvyko arba A, arba B", todėl P(A + B) = P (A) + P(B). Nesutaikomųjų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai. Si formulė teisinga n poromis nesutaikomųjų įvykių A1, A2, A3, ...A11 sumai, t. y. P (A1 +A2+ ...+ An) = P (A1) + P(A2) + ... + P (An). Jei įvykiai A1, A2, A3, ...An sudaro pilną įvykių grupę (yra poromis nesutaikomi, o suma yra būtinasis įvykis), tai Ρ(Λ,) + P(A2) + ... + P(An) = 1. 1 p a v y z d y s . Dėžėje yra 5 raudoni, 2 mėlyni ir 3 žali rutuliai. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas rutulys bus mėlynas arba žalias? Sprendimas. Pasižymime: įvykis A — „ištrauktas mėlynas rutulys", įvykis B — „ištrauktas žalias rutulys", įvykis A + B — „ištrauktas mėlynas arba žalias rutulys". P(A) = — = 0,2, P CS) = — = 0,3. 10 10 Jvykiai A ir B yra nesutaikomieji, todėl P (А + В) = Р(Л) + Р(Я) = 0,2 + 0,3 = 0,5. Ats.: 0,5.
Sutaikomųjų įvykių sumos tikimybė Sakysime, kad m — skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui A, k — skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui B. Tarkime, kad tarp minėtųjų m + k įvykių I yra tokių, kurie palankūs ir įvykiui A, ir įvykiui B. Jei n — bendras galimų įvykių skaičius, tai Ρ(Λ) = —, n P(B) = - , P(AB) = - . n n Pagal sutaikomųjų įvykių sumos prasmę, A + B reiškia, kad „įvyko bent vienas iš įvykių A ir B". Tokiam įvykiui palankių įvykių turėsime m + + k - I, todėl P (A + B) = P (A) + PCB) - P(AB). Sutaikomųjų įvykių sumos tikimybė lygi šių įvykių tikimybių sumai be tikimybės abiem įvykiams įvykti kartu.
Nepriklausomųjų įvykių sandaugos tikimybė Sakysime, kad m — skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui A, k — skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui B, o n — bendras skaičius vienodai galimų įvykių. Tarkime, kad A ir B — sutaikomieji įvykiai, t. y. jie gali įvykti kartu. Tuomet skaičius vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui AB, yra mk. Kadangi V(A) = - , n
P(B) = - , tai n P (AB) = P (A) • P(B).
Sutaikomų nepriklausomųjų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi įvykių tikimybių sandaugai. Nesutaikomųjų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi nuliui. 1 p a v y z d y s . Ridenami 3 kauliukai. Kokia tikimybė, kad iškris visų kauliukų 6 akutės? Sprendimas·. Pažymime įvykius: A — „iškrito pirmojo kauliuko 6 akutės"; B — „iškrito antrojo kauliuko 6 akutės"; C — „iškrito trečiojo kauliuko 6 akutės". Įvykiai A, B ir C — nepriklausomi ir sutaikomi, todėl P(AB) = P ( A ) · P(5) · P(C). Kadangi Ρ(Λ) = P(S) = P(C) = - , tai P (ABC) = . 6 216 Ats.: — . 216
Jei įvykiai A ir B nepriklausomi, tai P(AB) = Р(Л)Р(5). Taigi dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi tų įvykių tikimybių sandaugai.
Atsitiktiniai dydžiai Atsitiktinis dydis yra toks dydis, kuris po bandymo įgyja konkrečią, iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę. Pavyzdžiai. 1. Ridename lošimo kauliuką. Atsitiktinis dydis — po vieno išridenimo iškritusių akučių skaičius. 2. Perkame n loterijos bilietų. Atsitiktinis dydis — laimėjimo dydis. 3. Bandoma elektros lemputės tarnavimo trukmė. Atsitiktinis dydis — lemputės tarnavimo laikas.
4. Šaulys n kartų šauna į taikinį. Atsitiktinis dydis — pataikymų skaičius. 5. Per futbolo varžybas komandos pelnytų įvarčių skaičius taip pat yra atsitiktinis dydis. Toliau bus žymima taip: X — atsitiktinis dydis; JC„ x2, ..., xn — atsitiktinio dydžio įgyjamos reikšmės; p p p2, ..., pn — atsitiktinio dydžio X įgyjamų reikšmių x„ x2, ..., xn tikimybės atitinkamai; įvykis Ax — „atsitiktinis dydis X įgijo reikšmę x1 su tikimybe p"; įvykis A2 — „atsitiktinis dydis X įgijo reikšmę x2 su tikimybe p2"; įvykis An — „atsitiktinis dydis X įgijo reikšmę xn su tikimybe p". Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis, arba skirstinys, yra visų atsitiktinio dydžio X reikšmių ir tų reikšmių tikimybių visuma. Dažniausiai atsitiktinio dydžio X skirstinys užrašomas lentele: X
X1
*2
X3
X
P
P\
Pl
Рг
Pn
n
[vykiai A1, A2, ..., An yra nesutaikomieji, nes atsitiktinis dydis X gali įgyti tik kurią nors vieną reikšmę. Įvykis A1 + A2, + ... + An yra būtinasis, t. y. vieną iš reikšmių X1, x2, ..., xn dydis būtinai įgyja, todėl: P(AX + A2, + ... + AJ = 1, arba P(Zl1) + P(A2) + ... + P(An) = 1, arba px+ p2 + ... +Pn= 1. 1 p a v y z d y s . Metamos dvi monetos. Atsitiktinis dydis X yra herbo iškritimo skaičius. Užrašysime šio atsitiktinio dydžio skirstinį. Sprendimas. Bandymo galimos baigtys (bandymo elementarieji įvykiai) yra HH, HS, SH, SS. Atsitiktinis dydis X gali įgyti reikšmes O, 1 , 2 . Palankių įvykių toms reikšmėms įgyti atitinkamai yra 1 , 2 , 1, todėl atsitiktinio dydžio X skirstinys yra: X P
0
1
2
1
1
1
4
2
4
Atsitiktinio dydžio skirstinys gali būti pavaizduotas grafiškai tokiu būdu: Ox ašyje atidedame atsitiktinio dydžio reikšmes, o Oy ašyje — jų atitinkamas tikimybes. Laužte, jungianti taškus (x,; /?,.), yra pasiskirstymo daugiakampis, arba poligonas.
Atsitiktinio dydžio matematinė viltis (vidurkis) Tarkime, kad atsitiktinio dydžio X skirstinys užrašytas lentele: X P
P\
X2
*3
XN
Pl
Рз
Pn
Atsitiktinio dydžio matematinė viltis (vidurkis) (žymima MX) yra atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų atitinkamų tikimybių sandaugų suma: M X = X i P 1 + X2P2 + ... +
xnpn.
Matematinė viltis yra vidurkinė atsitiktinio dydžio reikšmė.
Atsitiktinio dydžio dispersija Atsitiktinio dydžio X nuokrypis nuo matematinės vilties MX yra atsitiktinis dydis X - M X Atsitiktinio dydžio X dispersija (žymima Y)X) yra atsitiktinio dydžio (X - M^Q2 matematinė viltis. Dispersija apskaičiuojama pagal formulę DX = M ( X - MX) 2 . Dispersija parodo, kaip atsitiktinio dydžio reikšmės yra susitelkusios apie jo matematinę viltį, t. y. jei DX yra nedidelis skaičius, tai X reikšmės artimos matematinei vilčiai, o jei DX yra didelis skaičius, tai X reikšmės labai skiriasi nuo matematinės vilties MX, t. y. labai išsisklaidžiusios MX atžvilgiu.
Atsitiktinio dydžio X dispersiją galima apskaičiuoti ir pagal šią formulę: DX
= MAT2 -
(IVLY) 2 .
Vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu vadinamas dydis g = V d X .
MATEMATINĖ STATISTIKA Generalinė aibė ir imtis Generalinė aibė yra kurių nors objektų, turinčių vieną ir tą patį bendrą požymį, visuma. Generalinės aibės tūris yra generalinės aibės elementų skaičius. Imtis yra statistiniam tyrimui pasirinkta tiriamųjų objektų (generalinės aibės elementų) dalis. Tarkime, parduotuvėje parduota 20 porų vyriškų kojinių, kurių dydžiai tokie: 27; 28; 31; 26; 27; 30; 26; 28; 29; 27; 25; 26; 29; 30; 31; 28; 25; 26; 31; 30. Imties tūris yra imties elementų skaičius. Jis žymimas n. Mūsų atveju imties tūris 20, nes yra paimta 20 elementų.
Imties skaitinės charakteristikos Imties variacinė eilutė — tai imties elementai, surašyti didėjimo tvarka. Nagrinėto pavyzdžio parduotų kojinių dydžių variacinė eilutė yra tokia: 25; 25; 26; 26; 26; 26; 27; 27; 27; 28; 28; 28; 29; 29; 30; 30; 30; 31; 31; 31. Imties plotis (žymimas raide r) yra jos didžiausios reikšmės Xil ir mažiausios reikšmės xm skirtumas: r = xd - xm. To paties pavyzdžio imties plotis r = 3 1 - 2 5 = 6. Imties centras (žymimas raide c) yra jos didžiausios reikšmės xd ir maX "f" X žiausios reikšmės Xm aritmetinis vidurkis: c = d '". To paties pavyz31 + 25 j- · · ™ dzio imties centras c = = 28. 2 Mediana yra skaičius, dalijantis imties tūrį į dvi lygias dalis. Kai imties dydis yra nelyginis skaičius, mediana lygi variacinės eilutės viduriniajam skaičiui ir, kai imties dydis yra lyginis skaičius, — dviejų viduriniųjų skaičių aritmetiniam vidurkiui. Mūsų nagrinėto pavyzdžio eilutės me28 + 28 diana = 28, nes turim lyginį skaičių elementų.
Imties elemento dažnis (žymimas mk) yra skaičius, parodantis, kiek kartų elementas xk pasikartoja imtyje. Stebėjimo duomenys dažniausiai surašomi į dažnių lentelę, kurios pirmojoje eilutėje užrašomos skirtingos variacinės eilutės reikšmės xk, antrojoje — jų dažniai mk. Kartais dar skaičiuojami santykiniai dažniai. **
25
26
27
28
29
30
31
m
2
4
3
3
2
3
3
U
PK*
2
4
3
3
2
3
3
20
20
20
20
20
20
20
Imties elemento santykinis dažnis (žymimas p * ) yra imties elemento dažnio mk. ir imties elementų skaičiaus n santykis: p't
=—. n Imties elementų dažnių suma visada lygi imties tūriui, o santykinių dažnių suma lygi 1. Dažnių lentelę galima pavaizduoti grafiškai. Abscisių ašyje atidedame imties reikšmes Xi, X1, ..., xk, ordinačių ašyje — j ų atitinkamus dažnius my, m2, ..., mk (arba santykinius dažnius px*,p2*, ...,p,*). Tiesių atkarpomis sujungiame taškus ( ¾ mk) arba (xA.; p*). Kreivė, jungianti atidėtus taškus, ir yra dažnių lentelės grafinis vaizdas. Si kreivė vadinama poligonu.
Imties skaitinės charakteristikos yra jos vidurkis ir dispersija. Imties Xi, X1, ..., xn vidurkiu vadinamas aritmetinis vidurkis χ=
X ι I X *> I · · · I X i. —
—
- .
n
Jei imtis užrašyta dažnių lentele X1
X2
x
/W,
m2
mk
k
tai tos sugrupuotos imties vidurkis, kai k yra grupių skaičius, apskai„. . . ~ , x , m . + x 2 m 2 + . . . + xkmk ciuojamas pagal tormulę x = ——— - * n 25- 2 + 2 6 - 4 + 2 7 - 3 + 28- 3 + 29- 2 + 3 0 - 3 + 31-3 560 χ= = = 28. 20 20 Imties x,, x2, ..., xn dispersija (žymima S2) apskaičiuojama pagal formulę +(x2 -x)2 + - + U, -x)2 n Jei imtis užrašyta dažnių lentele, tai sugrupuotų duomenų imties dispersija apskaičiuojama pagal formulę si
S
=
(x, -x?
2 _ (χ, —х) /я, + (x2 —x) m2 + ... + (Xit —x)'m k n
2 _ (25 - 28) • 2 + (26 - 2 8 ) ύ — 2
-4 + (27 - 2 8 ) 2 -3 + ( 2 8 - 2 8 ) z -3 + 20
2
+ (29 - 28) -2 + ( 3 0 - 28) -3 + ( 3 1 - 28) 2 - 3 _ 20 9-2 + 4-4+1-3 + 0-3+1-2 + 4-3 + 9-3
78
20
20
Arba S2 =xfp'
3,9.
+x\p\ + --- + X1kpk -χ ;
čia p*, p2*, ..., pk* — imties elementų santykiniai dažniai. Imties dispersija S2 apibūdina stebėjimo duomenų sklaidos dydį apie imties vidurkį. Imties x,, x 2 , ..., X11 vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu (žymimas raide S) vadinama kvadratinė šaknis iš imties dispersijos: S = \IS2. Šio pavyzdžio S = 1,974841766.
Stebėjimo duomenų grupavimas Paprastai kurios nors objektų grupės tyrimo pagal tam tikrą požymį procese stebėjimo duomenų gauname labai daug. Jie dažniausiai būna išsisklaidę, „negražūs". Su tokiais duomenimis nepatogu atlikti bet kokius skaičiavimus, taip pat sunku nustatyti kokius nors dėsningumus.
Skaičiavimams palengvinti stebėjimo duomenys yra apvalinami ir grupuojami. Grupuojant duomenis, intervalas, kuriame telpa visi stebėjimo duomenys x,, x2, ..., xn, paprastai skaidomas j vienodo ilgio mažesnius dalinius intervalus. Dažniausiai pasirenkama nuo 5 iki 20 tokių dalinių intervalų. Sakykime, didžiausioji imties X1, x 2 , ..., xn reikšmė yra xd, o mažiausioji — xm. Tada visos imties reikšmės (visi stebėjimo duomenys) tilps į vieną intervalą [xm; x j , kurio ilgis yra xd - xm. Tarkime, kad šį intervalą norime padalyti į dalinius intervalus, kurių ilgis lygus h. Intervalą [xm; χ J paprasta padalyti į h ilgio dalinius intervalus tada, kai jo ilgis Xll - Xm yra skaičiaus h kartotinis. Jei taip nėra, dažniausiai intervalą [xm; xd] pakeičiame kitu intervalu [x'm; x' J , kurio χ m < xm, χ d > xd ir kurio ilgis χ d — - x'm yra skaičiaus h kartotinis. Dalinio intervalo dažniu (žymimas n;, čia i —· dalinio intervalo numeris) vadinamas imties reikšmių, patekusių į šį intervalą, skaičius. Dalinio intervalo santykiniu dažniu vadinamas šio intervalo dažnio /I1 n ir imties tūrio N santykis f , čia i — dalinio intervalo numeris. Dalinių intervalų dažnių suma lygi imties tūriui N (imties elementų skaičiui), o santykinių dažnių suma lygi 1. Jei stebėjimo duomenis esame suskirstę į k dalinių intervalų, t. y. esame juos sugrupavę, be to, apskaičiavę kiekvieno dalinio intervalo [f,.; ίί+1] (i = 1, 2, ..., k) dažnį H1 (i = 1 , 2 ..., k), santykinį dažnį / ( / = 1 , 2 ..., k), tai visus šiuos skaičiavimo rezultatus patogu surašyti į lentelę. Dalinio intervalo numeris i
Dalinis intervalas
[',·; ', J
Dalinio intervalo dažnis n,
Dalinio intervalo santykinis dažnis /
/,
1
[',; h)
2
fo h)
/J 2
/2
3
[ί3; u)
«3
/3
k
ΙΛ> h + \)
n
Л
«1
k
Ši sugrupuotų duomenų lentelė dar vadinama klasifikuotos imties dažnių lentele. Pagal šią lentelę nesudėtinga nubraižyti grafinį imties vaizdą — diagramą arba histogramą. Tam Ox ašyje atidedame dalinius intervalus, Oy ašyje — jų santykinius dažnius fr Po to virš kiekvieno intervalo braižomas stulpelis, kurio aukštis lygus santykiniam dažniui f]. Gautoji laiptuota figūra, sudaryta iš stačiakampių, ir yra histograma. Jei braižomo stulpelio aukštis lygus į intervalą patekusių duomenų skaičiui, t. y. intervalo dažniui n„ tai šiuo atveju tokiu pat būdu gauta laiptuota figūra, sudaryta iš stačiakampių, vadinama diagrama. Histograma (diagrama) rodo, kokiomis proporcijomis pasiskirstę duomenys pasirinktuose intervaluose. Akivaizdu, kad diagrama ir histograma viena nuo kitos skiriasi tik masteliu.
TURINYS SKAIČIAI, SKAIČIAVIMAI, ALGEBRA SKAIČIŲ TEORIJOS ELEMENTAI
Dalumas Daugyba Dalyba Lyginiai ir nelyginiai skaičiai Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai Skaidymas pirminiais daugikliais Didžiausiasis bendrasis daliklis (DBD) Mažiausiasis bendrasis kartotinis (MBK) Realieji skaičiai SKAIČIAVIMAI
Veiksmai su skaičiais Paprastosios trupmenos Dešimtainės trupmenos Paklaidos Procentai ALGEBRA
Algebriniai reiškiniai Tapatieji daugianarių pertvarkiai Veiksmai su racionaliosiomis trupmenomis Greitosios daugybos formulės Lygtys Pagrindiniai ekvivalentieji lygčių pertvarkiai Dvinario kvadrato išskyrimas Diskriminantas. Kvadratinės lygties sprendinių formulė Vieto teorema Atvirkštinė Vieto teorema Uždavinių sprendimas sudarant lygtis
3 3
3 3 3 4 4 4 5 6 7 9
9 9 12 14 16 16
16 17 17 18 18 19 20 20 22 23 24
Nelygybės Ekvivalentieji nelygybių pertvarkiai Nelygybių sistemos Skaičių sekos Skaičių sekos ir jų reiškimo būdai Didėjančioji ir mažėjančioji seka Aprėžtoji ir neaprėžtoji seka Aritmetinė progresija Geometrinė progresija GEOMETRIJA PLANIMETRIJA
Taškai ir tiesės Atkarpos Kampai Trikampiai Trikampio pusiaukraštine, pusiaukampinė ir aukštinė Trikampių lygumo požymiai Stačiųjų trikampių lygumo požymiai Apibendrintoji Talio teorema Talio teorema Trikampių panašumo požymiai Trikampio kampų suma Pitagoro teorema Atvirkštinė Pitagoro teorema Metrinės trikampio elementų priklausomybės Sinusų teorema Kosinusų teorema Trikampio ploto teorema Herono formulė Daugiakampiai Lygiagretainis ir jo savybės Stačiakampis Kvadratas Rombas Trapecija Taisyklingasis daugiakampis Iškilasis daugiakampis Daugiakampio kampų suma
25 25 26 26 26 28 28 28 30 34 34
34 35 35 36 36 37 38 39 39 39 40 40 41 41 42 43 44 45 46 46 48 48 48 49 50 50 51
Apskritimas ir skritulys Simetrija STEREOMETRIJA
Pagrindinės stereometrijos sąvokos Statmuo ir pasviroji Geometriniai kūnai VEKTORIAI
Vektoriai, koordinačių metodas Vektorių algebra Vektorius plokštumoje Vektorius erdvėje Vektorių, pateiktų koordinatėmis, veiksmų taisyklės F U N K C I J O S IR A N A L I Z Ė S P R A D M E N Y S FUNKCIJA
Pagrindinės sąvokos Atvirkštinė funkcija Funkcijos grafikas LAIPSNINĖS FUNKCIJOS
52 58 60
60 62 63 73
73 73 77 78 79 81 81
81 84 85 87
Laipsninė funkcija su sveikuoju neigiamuoju rodikliu
87
Funkcija y = J~x
88
Funkcija y = ifx
89
Funkcija V = J x Laipsninė funkcija su teigiamuoju trupmeniniu rodikliu Laipsninė funkcija su neigiamuoju trupmeniniu rodikliu Tiesinė funkcija y = kx + b Kvadratinė funkcija y = ax1 + bx + c (a Φ 0) Ic Atvirkštinis proporcingumas y = — (k Φ 0) л: Proporcijos Lygtys ir nelygybės n-tojo laipsnio šaknis Iracionaliosios lygtys Tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistemos Tiesinės nelygybės Kvadratinės nelygybės Racionaliųjų nelygybių sprendimas intervalų metodu Nelygybių sistemos
89 89 90 90 91 92 92 93 93 93 94 97 98 99 100
R O D I K L I N Ė S IR L O G A R I T M I N Ė S F U N K C I J O S
101
R o d i k l i n ė f u n k c i j a y = a* (a > 0 , a Φ 1)
101
L o g a r i t m i n ė f u n k c i j a v = Iog u χ ( a > O, a Φ 1)
103
TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS
107
Radianinis kampo matas
107
Bendrosios žinios apie trigonometrines funkcijas
108
To paties argumento trigonometrinių funkcijų tapatybės
113
Trigonometrinių funkcijų atvirkštinės funkcijos
114
T r i g o n o m e t r i n ė s f o r m u l ė s ir p e r t v a r k i a i
116
T r i g o n o m e t r i n ė s l y g t y s ir n e l y g y b ė s
118
MODULIS
124
F u n k c i j ų su m o d u l i u g r a f i k o b r a i ž y m a s
125
Lygčių su m o d u l i u s p r e n d i m a s
126
N e l y g y b i ų su m o d u l i u s p r e n d i m a s
127
IŠVESTINĖS
128
Funkcijos išvestinės samprata
128
Išvestinės mechaninė prasmė
129
Išvestinės geometrinė prasmė
129
F u n k c i j ų i š v e s t i n i ų s k a i č i a v i m a s ir t a i k y m a s
130
Funkcijos liestinės lygtis
130
Išvestinių skaičiavimo taisyklės
132
Integralas
137
KOMBINATORIKA, TIKIMYBĖS
IR S T A T I S T I K A
KOMBINATORIKA
141 141
Kombinatorinė sudėties taisyklė
141
Apibendrintoji sudėties taisyklė
141
Kombinatorinė daugybos taisyklė
142
Apibendrintoji kombinatorinė daugybos taisyklė
143
G r e t i n i a i , g r e t i n i a i su p a s i k a r t o j i m a i s
144
K ė l i n i a i , k ė l i n i a i su p a s i k a r t o j i m a i s
145
D e r i n i a i , d e r i n i a i su p a s i k a r t o j i m a i s
146
C* savybės
147
Paskalio trikampis
148
TIKIMYBĖS
149
(vykiai
149
Veiksmai su įvykiais
151
Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas
152
Nesutaikomųjų įvykių sumos tikimybė
152
Sutaikomųjų įvykių sumos tikimybė
153
Nepriklausomųjų įvykių sandaugos tikimybė
154
Atsitiktiniai dydžiai
154
Atsitiktinio dydžio m a t e m a t i n ė viltis (vidurkis)
156
Atsitiktinio dydžio dispersija
156
M A T E M A T I N Ė STATISTIKA
157
G e n e r a l i n ė a i b ė ir i m t i s
157
Imties skaitinės charakteristikos
157
Stebėjimo duomenų grupavimas
159
Serija „Egzaminui rengiuosi pats!" Janina Sulčienė AR MOKI M A T E M A T I K Ą Brėžiniai Elvio Zovis Redaktorė Elvyra Žurauskienė Viršelis Andriaus Morkeliūno Tir. 4 0 0 0 egz. Leid. Nr. 15 271. Užsak. Nr. 1381. Uždaroji akcinė bendrovė leidykla „Šviesa", Vytauto pr. 25, LT-44352 Kaunas. EI. p. [email protected] Interneto puslapis http://www.sviesa.lt Spausdino A B spaustuvė „Aušra", Vytauto pr. 23, L T - 4 4 3 5 2 Kaunas. EI. p. [email protected] Interneto puslapis http://www.ausra.lt Sutartinė kaina
Šu21
Šulčicnė, Janina Ar moki matematiką / Janina Šulčienė. - Kaunas: Šviesa, 2005. 166 p.: iliustr., brėž., lent. - (Egzaminui rengiuosi pats!) ISBN 5-430-03617-Х Knyga skiria abiturientams, kurie rengiasi laikyti baigiamąjį matematikos egzaminą. Joje glaustai pagal mokyklinio ir valstybinio egzamino reikalavimus pateiktos svarbiausios formulės, apibrėžimai, teoremos, uždavinių sprendinio pavyzdžiai. UDK 51(075.3)
Tapkite „Alma littera" knygų klubo nariu! • N e m o k a m a s knygų k a t a l o g a s kiekvieni) ketvirtį • N a u j a u s i o s ir p o p u l i a r i a u s i o s k n y g o s • Ypatingi pasiūlymai • Knygų p r i s t a t y m a s į n a m u s , d a r b o v i e t ę a r p a š t o skyrių I n f o r m a c i j o s t e i r a u k i t ė s n e m o k a m u tel. 8 800 200 22 www.knyguklubas.lt
Leidinyje glaustai ir informatyviai pateikta vidun ^oes mokyklos matematikos kurso medžiaga Ji parengta tiksliai pagal 2003 m. matematikos brandos egzamino programos temas.Todėl, skaitydamas šią knygą, semdamasis iš jos žinių, egzaminui gali * pasirengti pats. Sėkmės!
ISBN 5-430-03617-Χ
Λ
