Машински факултет-Скопје факултет-Скопје
Проф.д-р Иван Мицкоски Doc.d-r Hristijan Mickoski
Предавања по предметот КИНЕМАТИКА
Скопје - 2012
1
KINEMATIKA r
v r
r
r
v r
ac r
ac r
v r
r
ac
r
v r
r
v r r
ω p
Prof.d-r Ivan Mickoski Doc.d-r Hristijan Mickoski 2012 2
Содr`ina
a. Na~ini na задavawe na движеweto. Rавenki na 1. Кинематика na точк a. движеwe. Траектори ja. Закон na движеwe na точк a. a. Vrska ме|у трite na~ini na zadavawe na движеweto. Brzina na to~ka. 2. Zabrzuvawe na точк a. a. Рamnomerno promenlivo движеwe нa точк a. a. Класификаци ja na движеweto na точк a. a. Примерi na решavawe na задачata на определuvawe na кинематичkite kарактеристик i na a. Кинематика na круto telo. Видovi na движеwe . движеwe na точк a. Translatorno dvi`ewe. 3. Rotaciono движеwe. Agolna brzina и aгolno zabrzuvawe. Раmноmerno прoменliva rotacija. Brzina и zabrzuvawе na точк a od телo при rotaciono движеwe. Brzina i zabrzuvawe na точк a pri rotacija na телo как o векторski произвod. Формула na Ojler. Преобразuvawe na rotacii . 4. Ramno движеwe нa круto телo. Разложuvawe na ramnо движеwe на translatorno и рotaciono движеwe.Ravenki na движеwe. Теорема za сложuvawe na brzini . Posledici od теоремite. Мomentalen pol (centar) na brzina (МPB). 5. Примерi za koristewe na МPB za определuvawe na brzinata. Теорема za сложuvawe na zabrzuvawa. Мomentalen центар(pol)na zabrzu zabrzuvaw vawe e (МPZ). Примерi za koristewe na теоремata za сложuvawe na zabrzuvawa и МPZ za определuvawe na zabrzuvaweto
3
Сфернo движеwe na круto telo. Теорема na Ojler. Aгоlnа brzina и agolno zabrzuvawe. Brzina i zabrzuvawe na to~ka od телo sverno движеwe. Оp{t slu~aj na движеwe. Brzina na точк a pri сlободно телo. Незавиsnost na вектороt na agolnata brzina и agolnoto zabrzuvawe оd izborot na polo. Zabrzuvawe na to~ka na slobodno telo. 7. Сложeno движеwe na точкa. Теорема za сложuvawe na zabrzuvawa na to~ka при сложeno движеwe. Теорема za сложuvawe na zabrzuvawa при сложeно движеwe na точк a. Кориолисovo zabrzuvawe. Причинi za pojava na Кориолисovo zabrzuvawe. 8. Сложeno движеwe na круto telo . Сложuvawe na translatorni движеwa. Сложuvawe na rotacioni движеwa. Сложuvawe na translatorno i rotaciono движеwe. Оp{t случа j na составно движеwe na телo. Кинематичki инвари jантi. 6.
Koristena литература
1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.1. М.: Высшая школа. 1977 г. 368 с. 2. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука. 1986 г. 416 с. 3. Сборник заданий для курсовых работ /Под ред. А.А. Яблонского. М.:Высшая школа. 1985 г. 366 с. 4. Бондаренко А.Н. “Теоретическая механика в примерах и задачах. Кинематика” , 2004 г. 5.Ветаџокоска-Грнарова Е. Кинематика , III издание,Скопје, 2006
4
Кинематика – дел од теоретската механика,која го проучува
механичкото движење движење без учество на сили кои го г о предизвикуваат движењето. Се состои состои од два дела: дела: Кинематика
Кинематика на точка
Кинематика на круто тело
Кинематика на точка – го изучува изучува движењето движењето на геометриска точка и
е основа за изучување на движењето на точки од крути тела.
Задавање на движењето на точка – неопходно е за да имаме можност да ја определиме определиме положбата на точка во просторот во било било кој момент момент од времето . Траекторија на движење на точка – севкупност севкупност на положби на точка во просторот при нејзино движење. 5
Видови на движења: Праволиниско Ротационо(кружно) Рамно Сферно Сложено
Кинематички карактеристики: Положба на точка (тело) Траекторија Брзина Забрзување
Основни задачи на кинематиката:
Утврдување на математички начини – постапки за задавање на движењето на точки (тела)
На познат закон на движење движ ење на точк точкаа (тело (тело), ), да се постават(изнајдат) начини за определување на сите големини кои го карактеризираат даденото движење
6
Три начини на задавање задавање на движењето на на точка: Координатен начин: Векторски начин:
Природен начин:
Се задава законот на движење на точката и траекторијата. z
Се задаваат координатите Се задава големината и на точката. насоката на радиус-векторот. на z положбата . x = x(t ); r
M
M
r
r = r (t )
k O
z
j
f ( x, y, z ) = 0.
ds
O
dz
y
x
y
x
s = s (t );
M
z y
i
O
O1
z = z (t ).
r
r
− + s
y = y (t );
y
dy
dx
2. Координатeн и природен – со релацијата: Сите три начини на задавање се еквивалентни и сврзани меѓу себе: ds = dx 2 + dy 2 + dz 2 1. Векторски и координатни – со релацијата: r r
r
r (t ) = x(t )i
r
+ y (t ) j + z (t )k
s (t ) =
∫
2 & dt x& 2 + y& 2 + z
За добивање на равенката на траекторијата на движење неопходно е од равенката на движење по координатната координатната метода да се исклучи времето, траекторијата не зависи од времето: x = x(t ) ⇒ t = t ( x); y = y(t ) ⇒ y[t ( x)] = y( x); z = z (t ) ⇒ z [t ( x)] = z (x). Последните две равенки равенки претставуваат претставуваат равенки на површина,линијата на пресекот е траекторија на движење на точка. y = y ( x ); z = z ( x ) На пример: x = t ⇒ t = x ; y = R 2 − t 2 ⇒ R 2 − x 2 или x 2 + y 2 = R 2 ; z = c . Последните две равенки претставу Последните претставуваат ваат равенки на цилиндрична рамнинска површина со радиус R , паралелна со z оската , парална парална со со координатната координатната површина Oxy и поместувањето по z оската за големина на c . Линијата на пресекот на овие површини 7(круг со радиус R ) – траекторија на движење на точката
Брзина на точка – големина која се карактеризира со брза промена на
положбата на точка во просторот. Векторски начин: Споредуваме две положби на точката во r моментите на времето t и t 1= t + ∆t : M r t ⇒ r ; v r
∆r
r r
r
∆r ∆t
r
r
t 1 = t + ∆t ⇒ r 1 = r + ∆r ;
ср
r 1
O
r
M 1 vr
r = vср - вектор на средна брзина во
временскиот интервал ∆t,
Насочен Насочен по по правецо правецотт на векторот векторот на поместување поместување (тетива (тетива MM 1). Земаме ∆t → 0 и бараме гранична вредност на изразот :
r
∆t lim 0
∆r ∆t
r
=v
Граничната вредност на односот на прираст на фукцијата кон прирастот прирастот на аргументот аргументот е извод извод на функцијата функцијата : r
v
=
r
∆t
lim 0
∆r ∆t
r
=
d r dt
r - вектор на вистинската брзина на точка во моментот на d r времето t , насочен по тангентата на траекторијата dt (при приближување на M 1 кон M тетивата завзема положба на
тангента).
8
Брзина во координатeн начин:
Врската помеѓу радиус-векторот со координатите се r r r определуваат со изразот : r
r
v z
z
M
r
v x
r (t ) = x(t )i
r
v y
+ y (t ) j + z (t )k
r r
x
k r j O r i y
z y
Ја користиме векторската форма за определуваме на r r r r брзината: r d r (t ) d v=
Компоненти на векторот на брзината : r r v x = x& (t )i ; r
v y r
r
= y& (t ) j ; r
& (t ) k . v z = z
Проекции на брзината по координатните оски:
=
[
]
x(t )i + y(t ) j + z (t )k = dt r r r dx r dy r dz r = i + j k = v xi + v y j + v z k dt dt dt dt
= x&; v y = y& ; &. v z = z v x
2 & ; v = x& 2 + y& 2 + z
cos(v , x) = cos(v , y ) =
x& v y& v
; . 9
Природен начин:
Ја користиме векторската форма за определување на брзината: r
Го претставуваме радиус-векторот како сложна функција: r r (t ) = r r[ s(t )]. − + s
O1
M
τ ∆s v ∆r M 1 r
r
v
r
=
d r (t ) dt
=
r
d r ds ds dt
r
=
d r s&. ds
r r Го претставуваме изводот на d r ∆r = ∆s lim0 . радиус-векторот како гранична вредност :
ds
∆s
Векторот на прираст на радиус-векторот насочен по тетиватаMM 1 во гранична положба завзема положба по O тангента. r r 2 ρ sin ∆2ϕ d r ∆r Големината на изводот на радиус-векторот по = ∆s lim0 = ∆ϕ lim0 =1. ds ∆s ∆ ρ ϕ природната координата рамна 1: При ∆s → 0 радиусот на кривината ρ 1 → ρ , аголот меѓу радиусот на кривината ∆ϕ → 0, броителот – основата на рамнокракиот тријаголник,именител – должината на ∆s лакот од кругот со радиус ρ . ∆r ρ r
r
r 1
∆ ϕ 1
На таков начин, изводот на радиус-векторот по природната координата е единечен вектор, насочен по тангентата на траекторијата. v = s&. r
r
Векторот на брзината рамен: v = s&τ . Проекција на брзината на тангентата: При При s& > 0 вект вектор орот от на брзи брзина ната та на насо соче ченн во нас асок окаа на зго зголему лемува вање ње на 10
природната координата, во спротивен случај на нејзино намалување.
Поларни координати
Радијална компонента r Трансверзална компонента θ нормаални лни еде еден eθ и er -норм во однос на друг
ијани Тета θ во радија
Един Единеч ечни ни вект вектор ори и er и eθ
позиција
Вектор на положба
r
r =
r r er
11
Брзина во поларниrкоординати r
Моменталната брзина е извод по времето од r = r e r r
=
v r d er
dt
v=
=
r d er
d θ
d θ dt
dr r er dt
d
=
dt r eθ
r
r
( rer ) = d θ
каде
dt
d θ r + r eθ dt
dr r der er + r dt dt
r
= r&er
r & + rθ e
θ
r
d er d θ
r
d er d θ
= erθ
υ r
= r &
и υ θ
= r θ &
= erθ
δ
•Вкупната брзина υ =
2 &) ( r
+ (r θ &) 2
v r - радијална брзина vθ - трансверзална брзина
−1
δ = tan (
υ θ υ r
) 12
Моменталното забрзување е извод од брзината времето r
a=
d
dt
(
r
r
r&er + rθ &eθ
r r der = &r&er + r&
v по
) &r
+ r&θ eθ
r
& deθ θ + r θ dt
r + rθ&&e
dt r r dθ r r r d θ = &r&er + r&eθ + r&θ&eθ + rθ&&eθ − rθ &er dt dt r r d eθ d eθ d θ r d θ = = −er dt d θ dt dt r r d er d er d θ r d θ r 2 r & = = eθ && dt d θ dt dt a = r − rθ er +
(
)
d eθ d θ
(
r
d er d θ
= −err
r & & & rθ + 2r&θ e
)
= erθ
φ
θ
•Вкупното забрзување ќе биде: && + 2r &) 2 &θ a = (&r & − r θ & 2 ) 2 + (r θ
aθ
=
&& + 2 r & & θ r θ
ar =
&2 &r & − r θ
каде
•Aголот
забрзување −1 φ ϕ = tan (
aθ a r
)
13
Секторска брзина Секторската брзина е брзина на промена на површина што ја опишува r вектор векторот от на положб положбаа r пр прии движењ движењее на точкат точката,в а,воо единиц единицаа време.Димензијата на секторската брзина е (m 2/s ).Пресметката на секторската брзина оди по следната постапка: 1.Површината ОММ ја претставуваме 1 преку векторски производ r 1 r r z M1 ∆ A = [r , ∆r ] r
r
∆r
v
s
r 1
2
v
2.Бараме средна r промена на векторот-
θ o r M
површината ∆ изнесува: ∆ Ar
r
o
O
x
v
∆t
y
за време r
=
∆t кое
1 r ∆r r , 2 ∆t r
∆ A 3. Barame graniчna vrednost на векторот ∆t ,кога
∆t → 0
претставува секторска брзина на точката во моментот t: r
што
r
∆ A 1 r ∆r 1 rr = lim r , = [r , v] S = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 2 ∆t 2 r
14
Ако векторскиот производ производ од предходната равенка равенка за пресметка на секторската брзина го напишеме во детерминанта ќе добиеме: r
r
r
i
j k
r r 1 r 1 1 rr 1 1 & − y x& )k = S x + S y + S z & − z & ) j + ( x y S = [r , v ] = x y z = ( y z y& )i + ( z x& − x z 2 2 2 2 2 & x& y& z r
Од каде ги добивме проекциите на секторската брзина на оските од Декартовиот правоаголен координатен систем со кои го определуваме интензитетот на секторската брзина: r
S = S x2 + S y2 + S z 2
-Intenzitет na sektor sektorskata skata brzina brzina opredel opredelен preku nejzinite proekcii
Во случај на цилиндрично-поларни коодинати секторската брзина може да се изрази со подолната детерминанта: r
r
1
r
r
u0 θ 0 k
S = r 0 0 2 & 0 & r θ r
=
1 2
r & r θ k 2
15
Забрзување при векторски начин на задавање на движењето на точка r
r
М
Во моме моментот моменто нтотт за за времето времето врем ето t брзината точката брзинат брзи натаа на точката точк ата М rr rr V V == V V((t t )) при t1= t + ∆t во точката М1
r
V ∆r
aср
r
М1
∆V
r
rr
r
O
r
r acp cp
∆V ; = ∆ t
rr
V 1
rr
rr
V ∆t t )) V11 == V V11((t t 11)) == V V((t t ++ ∆ rr
rr
rr
rr
∆∆V ∆t t ))−−V V==V V −−V V==V V((t t ++∆ V((t t )
− V
11
rr
∆V a = lim = ∆ t t → 00 ∆ t rr
должина [a ] = = време r
2
rr
d V dt
=
22 rr
d r dt 22
r&r&
rr
= V = &r &&&
м сек
2 16
Забрзување при координатен начин на задавање на движењето на точка М
r
O
r
a
=
d V dt
=
a = a x x i
dt 22
=
r
rr
V
rr
= &r &&&
r
+ a j + a к r r r r & i + V & j + V & к a = V r
&& i a = x
a x x22 + a y y22 + a z z 22
rr
d 22 r
r
r
r
j
=a=
a
x x
i
r
rr
V
a k
rr
r
y y
y y
z z
r
z z
r
&& к + y&& j + z
∧∧ aaxx cos cos aa ,, x x == aa ∧∧ aa yy = cos cos aa ,, y y aa ∧∧ aaz z cos cos aa ,, z z == aa
насочувачки косинуси 17
Забрзување при природен начин на задавање задава ње на движењ движењето ето на точка движењето на точка Пресметува Пресметување ње на векторот векторот на забрзувањ забрзувањее на точка со неговите неговите проекции проекции по природните оски. М М1
+ О −
Природни оски – тоа се оски на подвижен правоаголен координатен систем со почеток во точката М која се движи. Оските се насочени на следниот начин: ▼ 18
Оската Мτ е во правец правец на тангентата тангентата од траекто траекторијат ријатаа во позитивна позитивна насока насока на кр крив ивол олин инис иска ката та ко коор орди дина ната та.. Во гран граниче иченн случ случај ај ко кога га t тежи кон нула рам амни нина ната та на вект вектоорите рите на тан танген гентата тата на трае траект ктор ориј ијат атаа по поми мину нува ва во оскулаторната рамнина. М τ М1
+ О − n
b
Оската Мn е во правец на главната нормала насочена кон вдлабнатата страна на траекторијата. Оската Мb е нормална кон првите две и со нив го формира природниот триедар. •Тангентата и нормалата ја градат оскулаторната рамнина
▼
•Тангентата и бинормалата ја градат ректификационата рамнина • Нормалата и бинормалата ја градат нормалната рамнина
19
I II N
B
I II
T
III
Оскулаторна рамнина Нормална рамнина
III Ректификациона рамнина
20
Како Како забр забрзу зува вање њето то лежи лежи во до допи пирн рнат атаа ра рамн мнин ина, а, тога тогаш ш пр прое оекц кциј ијат атаа на векторот на забрзувањето забрзувањето на бинормалата бинормалата е рамно на нула. М
τ М1
+ О − b n
На таков начин за забрзувањето ќе имаме
▼ 21
М
r
V (t )
∆ϕ
∆ϕ − агол на контингенц ија r r r r ∆ V = V (t + ∆ ∆V r t ) − V (t ) М1
r
V (t + ∆ t )
r
r
V (t + ∆ t )
O
a cpcp
∆V r = ;a r ∆ t
r
∆V
cp cp
acp лежи вo cp допирната
r
r
d V ∆V = a = lim ∆∆ → → dt ∆ t r
t t
00
рамнина
r
r
= a N n + aT τ ; 22
a T T
a N N
= lim ∆ t → 0
∆ t → 0
∆V = V V −V V11 cos V cos ∆ ϕ − V V d V = lim V11 V = d lim ;; ∆ t ∆∆t t → 0 t t ∆ dt ∆ t →0 ∆∆t t → t dt → 00 ∆∆ϕϕ→ → 00 τ τ
V11 sin ∆ ϕ ∆V = = lim lim ∆∆ → ∆ t ∆∆∆t ϕt →→→000 ∆ t → ∆ϕ→ 0 nn
t t 00
∆ s = lim V11 ⋅ s ⋅ lim ∆ t ∆∆t t → ∆∆t t → → 00 → 00 ∆∆ϕϕ→ → 00
∆∆ϕϕ→ → 00
V s i n ∆ ϕ ∆ ss ∆ ϕ = l i m V11 s in ⋅ ⋅ = ∆ ∆ ∆ ϕ t s 0 ∆∆tt→ t s →0 ∆ϕ ∆ ϕ→ →00
∆ϕ sin ∆ ϕ ⋅ lim ∆ s ∆∆ϕϕ→ → 00 ∆ ϕ ∆∆t t → → 00
∆ϕ d ϕ = ≡ k k - Кривина на lim ds ∆∆ s s→ ds →00 ∆ s крива во точка М
a B B
= V ⋅ k = 2
lim
∆∆ϕϕ→ →00
2
V2
ρ
sin sin ∆ ϕ
∆ϕ
;
= 11
≡0 23
1 ρ= k
О
−
адиус на кривина на траекториј а
М
r
a T
r
a
=
a
=
r
a
r
a N
d V r V 22 r τ + n ρ dt
a T T 22
+a
22
N N
a N N -Покажува промена на брзината по правец
aT T -Покажува промена на брзината по големина
24
r
векторскиот израз израз за Kриволиниско движење(втор начин): Го користиме векторскиот
v
забрзувањето и изразот за брзината при криволиниски начин на задавање: r r
r
= s&τ .
Извод на d τ d τ ds d τ Го претставуваме = = s& . − + s M единичниот dt dt dt единичниот dt ds dt ds τ ∆s O v r тангенцијален тангенцијален вектор како n a ∆r a M 1 вектор: вектор: r сложена функција: r r r r r r r a Големина на изводот на τ (t ) =τ [ s(t )]. d τ = lim ∆ τ = lim 2 sin = 1 . ∆ϕ τ O единичниот тангенцијален ds ∆s ρ ∆ ϕ ρ τ ∆s вектор по криволиниската ∆r ∆τ Изводот на единичниот координата: ∆ ϕ τ тангенцијален вектор по ρ При ∆s → 0 радиусот на кривината ρ 1 → ρ , криволиниската координата аголот меѓу радиусите радиусите на кривината кривината ∆ϕ → 0 аголот меѓу прирастот на е вектор,насочен нормално τ1 и τ, единични вектори на рамнокракиот единечниот вектор ∆τ на тангентата на триаголник и самиот вектор τ . при ∆ϕ → 0, се стреми кон 90о. траекторијата. r
a
=
d v
=
d
r
( s& τ )
r
= s&&τ + s&
d τ
.
r
1
r
r
r
r N
T
∆ ϕ 2
r 1
r
0
∆s
∆ ϕ
0
r 1
r 1
1
Воведуваме единечен вектор n, нормален на тангентата, r r aT = s&&τ ; насочена насочена кон центарот на кривината. кривината. Компоненти на 2 Со користење на векторот n и порано определеното r r s& r Векторот на & s r r забрзувањето забрзувањето го претставуваме претставуваме како сума сума од вектори: вектори: a = s&&τ + n. забрзувањето: a N = n. ρ ρ 2
Проекции на Забрзувањето поτ τ и n оските : a T a N
= =
s&&; s& 2
ρ
.
Вкупното забрзување на точка е векторска сума на две насочено по тангентата тангентата на траекторијата траекторијата компоненти:тангенцијално, насочено
кон страната на наголемување на криволиниската координата s&& > 0 и нормално забрзување,насочено ,насочено нормално нормално на тангентата тангентата кон центарот на кривината (вдлабната траекторија): ar = ar + ar . T N
Модул на вкупното забрзување : a
=
aT
2
+a
N
2
;
25
Движење на точка, исфрлена под агол кон хоризонталата хоризонталата (кос истрел), истрел), без учество на отпорот о тпорот на воздухот(криволиниско движење на точка).
r
y r
O
a
r
v0
g
Проектираме по х и уоските
r
&& = 0; ( x ) : x
= g
&& = − g ; ( y ) : y
x
α x
dv x dt v x
∫ dv x
v x 0
dx dt
=
= 0;
dv y dt
v y
t
v y0
0
= − g ;
= 0; ∫ dv y = −∫ gdt ;
v 0 cos α ;
dy dt
= v0 sinα − gt ;
dv x v x
= 0;
dv y
= − gdt ;
= v x0 = v0 cosα ; v y = v y0 − gt = v0 sinα − gt ; x
= v0 cos α ⋅ t ;
y
= v0 sin α ⋅ t −
gt 2 2
26
;
Со елиминирање на времето од равенките Времето на исфрлање се определува на движење ја добиваме равенката на со прирамнување на координатата y на нула: траекторијата која е парабола: 2
y = v0 sinα ⋅T −
y = xtg α −
gx
2
2 2 2v0 cos α
T =
.
gT 2
= 0;
2v0 sin α g
Далечината на исфрлување се определува со внесување на времето на исфрлување:
x = v0 cos α ⋅ T = v0 cos α
2v0 sin α g
=
2v02 sin 2α g
= L;
27
Рамномерно-променливо движење на точка – движење на точка по Рамномерно-променливо dv траекторија, при кое тангенцијалното забрзување не се менува по d & & & = = = a s s T големина . dt dt Добиениот израз е диференцијална равенка, која лесно се решава со разделување на променливите и интегрирање на левиот и десниот дел:
aT
= s&& = const .
Го запишуваме изразот за тангенцијалното забрзување со проекцијата на брзината: dv = aT dt v
∫
t
dv
= aT ∫ dt ;
v
v v0
t
= aT t 0 ;
v
− v0 = aT t
0 v = v 0 + aT t -Брзина на точка точка при рамномер рамномернопроменли нопроменливо во движење Брзината на точка исто така е сврзана со природната координата во диференцијална зависност : ds v = или ds = vT dt . dt После замената на изразот за брзината и со интегрирање добиваме : t
v
0
s
t
∫ ds = ∫ (v + a t )dt ; 0
s = s0 + v0t + aT
2
t
2
s0
T
0
s
s s
0
=(v0t + aT
t 2
2
) ; s − s0
= v0t + aT
0
- природна координата на точка при рамномернопроменливо движење
28
t 2 2
.
Праволиниско движење на точка
Кај праволиниското движење на точката радиусот на кривината ρ=∞, =∞,па па нормалното забрзување е нула.Tангенцијалното забрзување е еднакво на вкупното(тоталното)забрзување: ar = ar = ar = &xr& ,движењето се одвива по оска која земаме да се поклопува со Оx -оската.Положбата -оската.Положбата на точката во секој момент ќе биде определена со равенката: x=x(t) . Pravolini Pravoliniskoto skoto dvi жewe e ramnomerno ako брзината е константна: Toga{ zabrzuvaweto e ednavo na nula a=0. v=v x = x& =const. T
x
Zakonot na patot mo же da se opredeli x
dx=Vxdt.
i
со интегрирање на равенкaта:
t
∫dx =v ∫dt ; 0
x0
Od kade imame
x = x0 + v0t
0
Ako при dvi жeweto na toчkata забрзувањето е а=const.,движењето е
рамномерно променливо ,од каде се изведува законот на патот на овој начин: v
t
∫dv = a ∫dt ⇒ x
v0
x
v x
= v0 + a x t
0
Со уште една интеграција на ravenkata dx=v x dt се добива законотна патот 29
x
t
∫dx =v ∫dt ; x
x0
Од каде:
0
t
∫
x = x0 + (v0 + a xt )dt ⇒
x
= x0 + v0 t + a x
0
t 2 2
Ако е аx>0,движењето е рамномерно забрзано,а за а x<0,рамномерно забавено Специјален случај случај на рамномерно забрзано праволиниско праволиниско движење слободното паѓање.Во случај на слободно паѓање ќе имаме:
v = v0 + gt Za V0=0 ⇒ v = gt а
t = 2 g / h
⇒
t 2 x = g 2
⇒ t
x = v0 t + g
t 2 2
tuka zabrzuvaweto se zamenuva so
g - Земјино забрзување v=
2 gh
30
Одограв Pравецот насоката на на вектерот на забрзување геометриски може да се определи со помош на одографот на брзината.Посмтраме неколку положби на точката за разни временски интервали ,со соодветни брзини ,како на подолната слика.Го конструираме одографот на брзината и ги определуваме точките N,N1,N2 r r .... .....Б .Бид идеејќи јќи е a = v& ,то ,тогаш гаш забр забрззување вањето то на по подв движ ижнната ата точка очка М е брзин рзинаа на соодветната точка N во одографот на брзината.Според тоа ,ако повлечеме тангенти на одографот во точките N i ,го определуваме правецот на векторот на забрзување на соодветната точка( види слика). r
Забрзувањето ќе биде нула ако движењето е r рамномерно праволиниско движење, M2 v M односно за константна брзина на движење 1r r a2 по правец и интензитет на точката . a1 N M Ако брзините за точката точката М ,кои r N 1 a траекторија одговараат за различни интервали на r r v1 времето,ги пренесеме паралелно на v самите самите себе во прозволн прозволнаа точка точка О и r N 2 v2 ги поврземе нивните краеви ќе добиеме крива наречена одограф. одограв Оo v1
r
v2
31
Велоцида Се користи за графичко определување на интензитетот на забрзувањето. Постапката е следната:1.Повлекуваме во точките1,2,3 на траекторијата тангенти и на нив ги нанесуваме соодветните вектори на брзини,краевите на овие вектори ја определуваат велоцидата.Тука е прикажана постапката за определување на интензитетот ,правецот и насоката на тоталното забрзување со помош на одографот и велоцидата.Повлекуваме три тангенти :на траекторијата низ точката М2.,на велоцидата и на одографот низ точките што се совпаѓаат со врвот на r векторот v . r 2 Го пре рене несу сува ваме ме век екто торо ротт v2 и низ велоцида траекторија неговите краеви повлекуваме правци паралелни на другите две тангенти.Страната која е паралелна со тангентата на одографот,го дава одограф забрзувањето по интензитет, правец и насока.Од триаголникот ОМВ се добива: ur = r r + v 2
So diferencirawe po vreme na gornata vektorska vektorska ravenka raven ka se dobiva: dobiva: r r r r
r
r u& = r & + v&&2 = v + a Вект Вектор орот от u& има има пр прав авец ец на танг тангеентат нтатаа на велоцидата во точката В.
32
r
aT
r
Класификација на движења на точка. Врста на движење
a N
Закон на движење
Траекторија
1
= 0 [t , t 1]
= 0 [t , t 1]
рамномерно (v = const)
праволиниско (ρ = ∞)
2
= 0 [t , t 1]
≠ 0 [t , t 1]
рамномерно (v = const)
криволиниско (ρ ≠ ∞)
2.1
= 0 во временски момент t
= 0 [t , t 1]
праволиниско (ρ = ∞)
≠ 0 [t , t 1]
нерамномерно (v ≠ const), Во моментот на времето
= 0 [t , t 1]
нерамномерно (v ≠ const)
=0
Промена на насоката на движење (v = 0 при t =t )
2.2 3 3.1
≠ 0 [t , t 1]
Во временски момент t
3.2
t
праволиниско (ρ = ∞)
v = max
нерамномерно (v ≠ const)
4 ≠ 0 [t , t 1]
≠ 0 [t , t 1]
нерамномерно (v ≠ const)
= const [t ,t 1]
секое
рамномернопроменливо
5
криволиниско (ρ ≠ ∞)
секоја траекторија Свиткување на траекторија(ρ = ∞ при t =t ) криволиниско (ρ ≠ ∞) секоја траекторија 33
Кинемати Кине матика ка на крут круто о тело – го изучува движењето движењето на цврстите цврстите
тела, кинематика на точка се исползува за добивање на нови зависности и формули. Постојат пет пет видови на движења движења на на крути тела: 1. Транслаторно (лизгач, (лизгач, клип на пумпа, кабина на лифт и други). 2. Ротационо(вртливо) (нишало , криваја, кулиса, тркало , обична врата). 3. Рамно (планарно) (тркало на локомотива при тркалање по права пруга, и други). 4. Сферно (жироскоп и други). 5. Општ случај случај на движење движење или слободно слободно фрлање фрлање на ( камен, камен, небесно тело и други)
Транслаторно движење на круто тело – такво движење при кое било која
права, цврсто сврзана со телото, останува паралелна сама на себе. Обично транслаторното движење се идентификува со праволиниско движење движење на на ннегови еговите те точки, точки, но но тоа тоа ннее е така. така. Точките Точките и самото самото тело (центрот на масите на телото) можат да се движат по криволиниски траектории, на пример, движење на кабина на тркала .
34
y
Слободно круто тело во простор и во рамнина
θ θ y
y′ x ′
s y
O′ z ′
Простор- 6 степ степен ени и на слобода
θ θ x θ θ z
x
O
s x
s z
z
y
s y
Рамнина-3
θ θ z
степени на слобода
( x , x , y) y) O
s x
x 35
Свернорамнински пар
Цилиндричнорамнински пар
Неслободни крути тела(примери) 36
Кинематски парови
призматичен призматичен
тип тип
Т
ротирен ротирен
R
цилиндричен
C
сверичен
S
хеликоиден
H
Степени на слобода
1
1
2
3
1 37
Транслаторно движење на круто тело – такво движење при кое било која
права, цврсто сврзана со телото, останува паралелна сама на себе. Обично транслаторното движење се идентификува со праволиниско движење движење на на ннегови еговите те точки, точки, но но тоа тоа ннее е така. така. Точките Точките и самото самото тело (центрот на масите на телото) можат да се движат по криволиниски траектории, на пример, движење на кабина на тркала . B1 B
A1 A AV паралелна на А1В1 38
Транслаторно движење на круто тело – такво движење при кое било која
права, цврсто сврзана со телото, останува паралелна сама на себе. Обично транслаторното движење се идентификува со праволиниско движење на неговите точки, но тоа тоа не не е така. Точките и самото самото тело (центрот (центрот на масите масите на телото) телото) можат да се движат по криволиниски траектории, на пример, движење на кабина на тркала . Z
A1 A
∆r A
ρ
ρ r A B
B1
∆r B
r B
O X
v В = v A
∆r В = ∆r A d r B dt
=
d r A dt
Y
a В = a A 39
Теорема за транслаторно движење на круто тело – При транслаторно движење на круто тело тело сите негови точки опишуваат идентични траектории и имаат временски геометриски исти брзини и забрзувања во секој момент.
Со радиус-векторот r BA ги поврзуваме двете точки A и B. r r r во секој временски момент момент е исполнета векторската векторската равенка: равенка: r A (t ) = r B (t ) + r BA . Во секој времени момент векторот r BA останува постојан по насока и по r r r големина(растојанието помеѓу точките не се менува).Одкаде: r (t ) = r (t ) + const , и тоа означува, дека во секој временски момент положбата на точката A се разликува од положбата на точката B за една иста големина r BA = const , т.е. Траекторијата на r r d r A (t ) d r B (t ) двете точки е идентична. = A
B
Ги диференцираме по времето левиот и десниот дел на равенката: и т оа dt dt означува, дека во во секој секој времени момент брзината на точкта A е рамна геометриски r. r (т.е. векторски)со брзината на точката vB (t ) = v (t ). A
r
v A
A
r
Второ диференцирање по времето правиме на соодносот: d r r 2 A ( t ) d r r 2 B ( t ) и тоа означува, дека во
a A
r
r
r A
r A
r BA
r
r BA
B r
r B
r
r B C
B
r
dt
v B r
a B
2
=
dt 2
секој времени момент забрзувањето на точката A е рамно геометриски(т.е. векторски) со забрзувањето на точката B. r
r
a A (t ) = a B (t ).
40
На таков начин, транслаторно движење на круто тело во потполност е определено со движење движење на една точка,која припаѓа припаѓа на тоа тело со произволно избран облик.Сите кинематички параметри на движење на таа точка (траекторија, брзина и забрзување) се опишуваат опишуваат со равенки равенки и соодноси од кинематика на точка.
41
Ротационо движение на круто тело – движењето при кое сите негови точки
се движат во рамнини , нормални на некоја неподвижна права, и опишуваат кружници со центри кои лежат лежат на таа права ја нарекуваме оска на ротација Задавање на ротационото движење – ( вртење). движењето се задава со законот на промена промена на аголот ω φ (агол на вртење), кој го прават неподвижната ϕ P рамнина P , која проаѓа низ оската на вртење, и ε рамнината Q, цврсто врзана за телото: Q ϕ = ϕ (t )
Равенка на вртливо движење(ротација) Аголна брзина – големина која се , карактеризира со -
брза промена на аголот на вртење.
∆ϕ ∆t
= ω ср
⇒ϕ ; t 1 = t + ∆t ⇒ϕ 1 = ϕ + ∆ϕ ; t
- средна средна аголна брзина во интервалот интервалот на времето ∆t, d ϕ При условот ∆t → 0 ∆ϕ ω = = ϕ & - аголна брзина за lim ω = бараме гранична ∆t 0 ∆t dt временски момент t вредност:
Ако d φ/d тогаш врењето предизвикува предизвикува наголемување на аголот на вртење , φ/d t t > 0, тогаш φ/d t ако d φ/d t < 0, тогаш вртењето предизвикува намалување на аголот на вртење . ∆ω
Аголно забрзување – големина што се карактеризира со брза t ⇒ ω ; промена на аголната брзина.
= ε ср - средно аголно забрзување во интервал на времето ∆t, t 1 = t + ∆t ⇒ ω 1 = ω + ∆ω ; кога ∆t → 0 бараме ∆t lim 0 ∆ω = ε ε = d ω = ω & = ϕ && - вистинското аголно забрзување ∆t во момент на времето t dt гранична вредност: Аголното забрзување е нацртано со црвена стрелка во насока на наголемување 42 && > 0 на аголот. ϕ ∆t
φ/d t t се со ист предзнак, Ако d 2 φ/d t t2 и d φ/d предзнак, тогаш тогаш брзината брзината се зголемува зголемува по модул и ротацијата ротацијата се се нарекува забрзана забрзана (лачните (лачните стрелки на аголната брзина и аглното аглното забрзување забрзување насочени насочени на една страна), страна), φ/d t се со различен знак, тогаш брзината се намалува по у ако d 2 φ/d t t2 и d φ/d модул и ротацијата ротацијата е в забавена(ла забавена(лачните чните стрелки на аголната аголната брзина и аголното забрзување насочени во спротивни страни).
Рамномерно-променлива Рамномерно-про менлива ротација – аголното забрзување
останува непроменето по големина. ω = const .
ε = const .
ω = ω 0
+ ε t .
ω =
d ϕ dt
ϕ
t
ϕ 0
0
∫ d ϕ = ω ∫ dt ;
;
d ω ε = ; dt
ω =
d ϕ dt
;
ω
t
ω 0
0
ϕ = ϕ 0
+ ω t .
∫ d ω = ε ∫ dt ;
ϕ
t
ϕ 0
0
ϕ = ϕ 0
+ ω 0 t + ε
t 2 2
∫ d ϕ = ∫ (ω 0 + ε t ) dt ; 43
.
траекторијата на на точката точката позната ( R – – Брзина на на точка точка при ротација ротација на на круто тело – траекторијата
растојание на точката до оската на вртење), може да се примени формулата за определување определување на брзина брзина на точка при природен природен начин на на движење: v = s&.
Природната координата е Тогаш проекција на брзината брзината на поврзана со радиусот на тангентата на кругот ќе биде: v = d (ϕ R) = d ϕ R = ω R. кружницата: s = ϕ R . dt dt Во колку и понатаму работиме со модулот на аголната брзина после нејзино ε - O R прикажување со лачна стрелка формулата за пресметка се прикажува со изразот за + φ ω r м одулот на брзината v = ω ⋅ R . Вектор на брзина е нормален на радиусот во s r a a насока на лачната стрелка на аголната брзина . Како следува од формулата формулата за брзин брзина а на точка точка таа е пропор пропорцион ционална ална r r a v на растојанието до оската на вртење (радиус на вртење). Забрзување на точка при ротација на круто тело– тело – траекторијата на точката позната, N
T
може да се примени примени формула формула за определување определување на забрзување на на точка при природен 2 2 начин на движење: a = s&&; a = s& . d 2 d 2ϕ 1 d 1 d ϕ 2
T
N
ρ
aT =
Проекциите на забрзувањето по нормала и тангента :
2
dt
(ϕ R) =
R = ε R. a N = (ϕ R) = R = ω 2 R. ρ dt R dt dt 2
Во колку и понатаму работиме со модул на аголното забрзување после неговото претставување со лачна стрелка формулата за изразување на тангенцијалното забрзување е: a T = ε ⋅ R и векторот на тоа забрзување се нарекува ротационо забрзување, насочено нормално нормал но на радиу радиусот сот во насока насока на лачната лачната стрелка стрелка на аголното аголното забрзувањ забрзување. е. . Нормалното забрзување a = ω ⋅ R е насочено по радиусот кон оската на ротација независно од насоката на лачната стрелка на аголната брзина , не ни кажува за насоката на лачната стрелка на аголното аголното забрзување забрзување.. Како што следува од формулите формулите двете двете забрзувања на точката се пропорционални со растојанието од неа до оската на вртење (радиус на вртење). r r r Вкупното забрзување на точка, како и порано, е векторска сума a = aT + a N . 44 на тие забрзувања: 2
N
Аголот меѓу насоката на вкупното забрзување забрзување не зависи зависи од радиусот и е рамен: a ε β = arctg
= arctg 2 . ω aT
N
Брзина и забрзување на точка при при ротација ротација како векторски векторски производ. Ги претставуваме претставуваме аголната аголната брзина брзина и аголното аголното забрзување забрзување
како вектори, насоката по оската на вртење на таа страна, каде лачните стрелки на овие големини кажуваат дека вртењето е против часовата стрелка.
Позитивна насока на оската z може да да се зададе со помош помош на единечни единечниот от вектор вектор k. k. Тогаш Тогаш векторот векторот на аголната аголната брзина и аголното аголното забрзување забрзување може да се пре предст дстава аватт како: како: r
r
ω = ω z k
r
r
ε = ε z k
z
ω
ω
ε
ε r
ω r
ε
каде ωz , εz – се проекции на соодветните вектори на z оската.
z
k
r
ω r
ε k 45
Брзина на точка при вртливо движење како векторски производ – r r r се определува со изразот v = ω × r , кој ја опишува и големината и
насоката на брзината. ω Големината (модулот) на векторот изнесува: R r
r
ω
v
r
v
r
r
На таков начин:
r r
= ω ⋅ r sin(ω , r ).
v = ω ⋅ R.
R
разгледуваниот векторски векторски производ: производ: Насоката на векторот на разгледуваниот по определување на векторскиот производ – нормално на рамнината ,која
проаѓа низ зголемениот вектор, насочен во таа страна, од каде завртувањето на првиот првиот вектор вектор кон кон вториот вториот за најмал најмал агол и секог секогаш аш да врти обратно обратно од часовата стрелка; по правилo на десната рака – при совпаѓање на поголемиот палец со првиот вектор, останатите – со вториот вектор, завртување на поголемиот палец нормално на дланката ја покажува насоката на векторскиот производ . 1 2
На таков начин , вистинскиот векторски производ од аголната брзина и радиус-векторот во потполност ја определуваат големината и насоката на брзината брзината на точката точката при вртливо движење(р движење(ротација) отација) во
сообразност со порано порано добиените добиените резултати. резултати.
46
Тангенцијалното забрзување на точка како векторски производ – се r r r a T = ε × r определува со раенката , која ја дава големината и
насоката на вртливото (тангенцијално) забрзување.
Големината(модулот)на тој
векторски производ ќе биде:
r
aT
r
r
r r
= ε ⋅ r sin(ε , r ). На таков начин:
aT
= ε ⋅ R.
R ε R
r
aT r
ε
Насоката на векторот на разгледуваниот векторски производ може да се утврди по определувањето на векторскиот производ или по правилото на десната рука
На таков начин , вистинскиот векторски производ на аголното
забрзување и радиус-векторот на површината повр шината ја определуваат големината и насоката на вртливото забрзување на точката во
согласност со порано добиените резултати.
47
Нормално забрзување на точка како векторски производ – се r r r
a = ω × v , кој ја опишува големината и определува со изразот насоката на нормалното забрзување На таков начин : r r r r r a N = ω ⋅ v sin(ω , v ). Големината (модулот) на 2 = ⋅ = ⋅ = ω ω ω ω a v ( R ) R. N векторскиот производ : 1 N
векторот на брзината на точката е нормален на рамнината во која лежи векторот на аголната брзина. брзина . Насоката на векторот на разгледуваниот векторски производ може да се установи по определување на векторскиот производ или по правило правило на десната десната рака. Реално , векторскиот производ од аголната брзина и векторот на брзината на точката во целост ја определуваат големината и насоката на нормалното забрзување на точката во согласност согласност со порано порано добиените добиените резултати. ω r
r
r
r
Тој векторски производ може да се напише како: a N = ω × (ω × r )
R
r
aa Nос
v
v r
r
ω ω
48
помош на векторскиот производ за брзината брзината на Формула на Ојлер – со помош
точката може да се добие општ аналитички израз и зраз за таа брзина преку координати за разгледуваната точка при произволна положба на оската на ротација во просторот: z
ω R
r
r
v
ω z x
x y
r
r
r
r
j
k
v = ω × r = ω x ω y ω z x
r
r
r
r
i
y
r
r
r
= (ω y z − ω z y)i + (ω z x − ω x z ) j + (ω x y −ω y x)k
z
= ω y z − ω z y; v y = ω z x − ω x z ; v z = ω x y − ω y x. v x
Од каде добиваме аналитички формули за проекциите на брзината на точката: y Преобразување на ротациони движења –
измената на големината и насоките на аголните брзини на ротирни ротирни тела тела во различни различни преносни v v механизми : Фрикциона спрега: 2
1
ω2
ω1
Брзините кои влегуваат во контактот на точките на тркалата при отсуство отсуство на пролизгување пролизгување рамни: рамни: Од каде: v1 = v 2 ; ω 1 R1 = ω 2 R2 .
R 2
ω 1
Преносниот однос, карактеризира измена на брзината на
ω 2
ротација при пренос на ротацијата од одно тело кон друго односот на аголната брзина на погонскот тркало кон аголната брзина на излезното:
R 1
i1− 2
=±
ω 1 ω 2
=±
R2 R1
=
49
R2 R1
Леонард Ојлер (1707 –1783)
докажал дека брзината на ротација на точка од тела може да се определи од векторскиот производ на аголната брзина и радиус-векторот на таа точка. Во 19 година Русија,, година дошол во Русија година каде во 26 година станал академик на Руската Академија на Науки, после 15 години, заминал во Германија. Се вратил пак во Русија кај Екатерина II и создал голема Руска школа по математика
50
Запченици во спрега – бројот на запците на секој од
запчениците е пропорционален на радиусот на запченикот. Обемната брзина на погонскиот во контакт со точката точката на површината површината на запците запците мора да е еднаква.Добиените соодноси остануваат реални и во случај на внатрешно спрегнување. Преносниот однос при внатрешна спрега има знак плус(+),а при надворешно знак минус(-) Радиусите Радиусите на на поделите поделителнит лнитее кругови кругови сврзани сврзани се со чекорот чекорот на на забите со соодносотите: 2π R2 = z 2 h 2π R1 = z 1h
ω2
ω1 R 1
R 2
Со искористување на бројот на забите за секој од запчениците имаме: Ременасти Ременасти и верижни верижни преносни преносници ци –.
Обемната брзина на погонскиот во контакт со точката на површината на запците мора да е еднаква.Добиените соодноси остануваат реални и во случај на внатрешно спрегнување ω 1 R2 = ω 2
v2
ω 1 ω 2
=
z 2 z 1
v1 ω2
ω1 R 2
R 1
R1
51
Рамно(комплано) движење на тврдо тело – движение при кое секоја точка точка од од телот телото о се движи во рамнин рамнина а паралелна паралелна со некоја некоја неподвиж неподвижна на рамнини е рамнинска рамнинска фигура рамнина . Пресекот на телото со една од таквите рамнини
која останува останува во рамнина рамнина при движење движење на на телото телото.. M 1
r 1 M 1 M 2 M 2
O
r 2
Теорема за комплано движење на круто тело комплано движење на круто тело однозначно се карактеризира карактеризира со определу опред елување вање на движе движењето њето на рамнин рамнинска ска фигу фигура, ра, формирана со сечење на телото со една од паралелните .Бираме две точки на произволни произволни два пресека пресека на рамнини .Бираме
телото, кои се наоѓаат на една нормала кон тие површини :
Спроведуваме Спроведуваме кон секоја секоја точка радиус-вектор радиус-вектор од неподвижната неподвижната точка O и ги поврзуваме r r меѓу себе со векторот M 1M 2: r 2 = r 1 + M 1M 2 При рамно движење на телото векторот M 1M 2 не се менува по големина, останува паралелен паралелен сам на себе (се (се движи транслаторно) транслаторно) и точките на тој вектор опишуваат опишуваат идентични траектории траектории и имаат во секој секој момент момент еднакви брзини брзини забрзувања: забрзувања: r
d r 2 dt
r
=
d r 1 dt
;
( M1 M 2
= const );
r v2
r = v1,
r
и
d 2 r 2 dt 2
r
=
d 2 r 1 dt 2
;
r
a2
r
= a1.
Така при рамно движење движење на тело движењето движењето на секоја точка точка од една од рамните рамните фигури го определува движењето на соодветните точки, кои се наоѓаат во другите со нив паралелни рамнини. на рамната фигура еднозначно еднозначно е определена со со положбата положбата Последица: Во колку положбата на на нејзини две точки или отсечка(права), спроведена низ тие точки, тогаш рамното
движење на тврдото тело се определува со праволиниско движење на отсечката, која 52 припаѓа припа ѓа на еден од пресе пресеците ците на на телата телата од парале паралелните лните рамнин рамнини и.
Разложување на рамното(компланот Разложување рамното(компланото) о) движење на рамнинска фигура на транслаторно и ротационо(врт ротационо(вртливо) ливо) движење – рамна фигура или отсечок отсечок од права можно е да се пренесе од една во друга положба без многу многу пресметковни начини, со менување наизменично наизменично на транслаторно и вртливо(ротациононо) движење меѓу себе, а исто со бирање на различни траектории и точки на ротација(полови)во рамнината: На таков начин, компланото движење се состои од две движења: транслаторно и вртливо(ротационо), и секогаш може да се разложи на овие две движења. При тоа транслаторното зависи од изборот на полот и
траекторијата на на движење, а вртливото се карактеризира карактеризира со ротација ротација во круг круг за избраниот пол , не зависи зависи од изборот на полот (за (за било кој пол големината на аголот на вртење и насоката на вртење се еднакви). Равенка на движење на рамнинска фигура: Бираме за
A1
y
x ’
B y ’
x C
x ’ C
x A A
A
y A
C ’ C
y
B
A2
ϕ
y C B1
x
пол било која точка , на пример, A, транслаторниот дел на движење ќе биде опишан со равенки на движење на таа точка. точка. Вртливото Вртливото движење го го опишуваме опишуваме со равенки за промена на на аголот на вртење вртење во круг околу полот: Равенката на движење на било која точка од x A = x A (t ); рамнинската фигура , положбата која се задава со координати на локалниот избран y A = y A (t ); систем за пресметка, поврзани со фигурата даден е со: xC = x A (t ) + xC ′ cos ϕ (t ) − yC ′ sin ϕ (t ); ϕ = ϕ (t ). yC
53 = y A (t ) + xC ′ sin ϕ (t ) + yC ′ cos ϕ (t ).
Независност на аголната брзина и аголното забрзување на рамнинската фигура од изборот на полот – Избираме две произволни конечни прави кои
ја одсликуваат положбата на рамнинската рамнинската фигура и два пола(А и В ) на правите:D α
A
С ϕ B
Аглите на наклонот на правите кон хоризонталната хоризонталната оска се различни и сврзани меѓу себе со изразот: ϕ B (t ) = ϕ A (t ) + α .
ϕ A
ϕ A
B
ϕ B
Го диференцираме горниот израз : Од каде следува дека аголните брзини на двете прави се еднакви: ω = ω . CA
dt
dt
=
d ϕ A (t ) dt
, (α = const ).
DB
После повторно диференцирање следува дека двете прави е исто исто така аголното забрзување на двете ω ω d d еднакво: = . ε = ε . CA
d ϕ B (t )
z
DB
dt
CA
DB
r
r
r
ε = ε z k
r
r
ω = ω z k
k
На таков таков начин , аголната брзина и аголното аголното забрзување забрзување на рамнинската фигура не зависат од изборот на полот тие ти е можат да се представат во вид на вектори,нормални на рамнинската фигура: На таков начин , брзината на точката B е рамна на геометриската (векторската) сума од брзината на полот A и брзината од ротацијата на точката B околу полот A.
54 54
Теорема за сложување на брзината – брзината на било која точка од рамнинската фигура рамна е на геометриската(векторската) сума од брзините на рамнинската фигура фигура и брзината од кружното движење на точката околу полот .
Радиус-векто Радиус-векторите рите на точките точките A и B сврзани сврзани меѓу себе со соодносо соодносот: т: r
r
r
r
r B (t ) = r A (t ) + r AB (t ).
d r B (t )
Ја диференцираме горната равенка : r
v B
x 1
r
v A
r
v BA r
r
r B
ω
B
r AB
r
v A
r
r
r
=
dt
Второ Второ сложувањ сложувањее е на брзината брзината од ротацијата во круг на точката B околу полот A: v BA (t ) = ω (t ) × r AB (t );
r
r
r AB
d r A (t ) dt
r
+
r
r
v A (t )
v B (t )
d r AB (t ) dt
.
r
v BA (t )
= const .
r
r A O
A
На таков начин , брзината на точката B рамна е на геометриската сума на брзината на полот A и брзината од r r r r ротацијата на точката B окплу полот : vr B = vr A + ω × r AB = v A + v BA.
Последица 1 – Проекциите на брзините на точките на рамнинската фигура на оската,која оската,која проаѓа проаѓа низ таа точка се еднакви еднакви .
Ја проектираме векторската равенка на оската x 1: ( x1 ) :
v Bx1
= v Ax1 ,
r
(v BA
⊥ x1 ).
55
Последица 2 – Краевите на векторите на брзините на точките од рамнинскат рамни нската а фигура, фигура, кои лежат на една права права,, исто исто така така лежат на една права и ја дел делат ат таа права на дело делови ви пропо пропорциона рционални лни на раст растојани ојанијата јата меѓу точките.
Краевите на векторите на на брзините од ротација ротација околу точките B и A лежат на една права и ја делат на делови пропорционални на растојанијата меѓу точките: v BA = ω AB,
vCA = ω AC ,
vCA AC Ac v BA
=
AB Ab
Краевите на векторите на брзините на полот така лежат на една една права. права. r vCA c
=
.
A и во точките B и C исто
r
vC r v BA b
A
r
v B C
B r
v A
r
v A
Лесно се докажува дека од сличноста на триаголниците, триаголниците, што ги прават краевите краевите на векторите на брзините брзините на точките B и C кои r исто така така лежат лежат на одна права , и ја делат делат таа права на делови, делови, v пропорционални на растојанијата меѓу точките. A
56
Моментален пол на брзина (МПБ) – При движење движење на на рамнинск рамнинска а фигу фигура ра во секој временски момент постои точка, неподвижно (цврсто) сврзана со рамнинската фигура, за која брзината во секој момент е еднаква еднаква на нула нула.
Нека е позната брзината на една од точките на фигурата и аголната брзина при кружна ротација околу таа точка: P P Пишуваме Пишуваме векторски векторски сооднос сооднос за за брзината брзината на некоја некој аrточка точка r r r r v ω согласно теоремата за сложување на брзините: v v r v v = + × = + ω A P A AP A PA r Задаваме големинa на брзината за точката P да е рамна рамна на нула: нула: v A r r r r r Тогаш добиваме: v PA = ω × r AP = − v A . v P = 0. Т.е. Брзината од ротација на саканата точка треба да биде рамна по модул мод ул со брзината на точката A, паралелна со таа брзина и насочена на спротивната страна.. страна Тоа ни дозволува да ја најдеме положбата на МПБ (на точката P), P имено: МПБ треба да се наоѓа на нормалата кон брзината на ω B r точката A, с о насока на аголната брзина , на растојание: v r r
v PA
AP =
v A
B
.
Ако е положбата на МПБ најдена, брзината ω на било која точка од рамнинската фигура може да биде лесно определена со помош на изборот на полот во МПБ . Во тој случај r r r r r r v B = v P +ω ×r PB = v BP ; (v P = 0); векторскиот израз на теоремата за r r v r r r сложување на брзините се изродува во vC = v P +ω ×r PC = vCP ; (v P = 0); позната зависност на брзината од растојанието до центарот на ротација :
C
vC
v B =ω ⋅ BP ; vC =ω ⋅ CP ; 57
Со други зборови може да потврдиме дека во секој временски момент
телото не прави прави никакво друго друго движење, освен ротационо ротационо движење движење во круг околу МПБ.
Примери за користење на МПБ за определу определување вање на брзината на точки од рамнинската фигура – Во колку при движ движење ење на рамнинска фигура во секој временски момент постои точка (МПБ), цврсто поврзанa со рамнинската рамнинската фигура, во во која брзината брзината е нула во секој момент, тогаш при определување на брзината таа точка ќе игра уло улога га на цент центар ар на рота ротација ција во даден вре временск менски и момент.. момент
Понатака објаснетата процедура ќе биде разгледана низ процедури за определувањ определувањее на брзините на примери: примери:
58
Дадено : v A, положбата на точките A, B, C .Да .Да се најде:V BиV C
1
2
r
r
A
ω
ω
C r
P
A
B
r
v A vC
P
1) МПБ се наоѓа во пресекот на
нормалата на векторот v A со подлогата. 2) Ја определуваме аголната брзина: v A ω =
ω
v B
v B
B
Дадено: v A и ω, положбата на точките .Да се најде:VBи VC A, B, C .Да
. AP
C
r
v A r
vC
1) МПБ се нао наоѓа ѓа на но норма рмалaт лaтaa на вектор векторот от v A . 2) Го определувам определувамее растојанието растојанието АP : AP =
v A
ω
.
Стрелката на аголната брзина насочена во Стрелката на аголната брзина насока на векторoт на линеарната брзина v A насочена во насока на векторот на . линеарната брзина v A . 3) Со соединува соединување ње на точките точките В и C со 3) Со сое соедину динувањ вањее на на точкит точкитее Ви C со МПБ ја определуваме брзините на тие МПБ ги определуваме брзините на тие точки: точки: v B = ω ⋅ BP ; Векторите на линеарните брзини v B и v C vC = ω ⋅ CP . насочени во насока на стрелката на аголната брзина . Векторите на линеарните брзини на v B = ω ⋅ BP ; vB и v C насочени се во насока на стрелката на vC = ω ⋅ CP . 59 аголната брзина
Дадено: v Aи v B, положбата на точките A, B, C , 3 Да се најдe: v C A
vA
A
vA
B
v B
B C
C
ω
Дадено: v A,траекторија на точката В ,положбата на точките A, B, C . Да се најде: v C
4
vC
vC
ω P
P
1) МПБ се наоѓа во прес пресекот екот на 1) МПБ се наоѓа во пресекот на нормалата на нормалите на векторите v Aи v B векторот v А и нормалата на тангентата во В v A 2) Го определуваме растојанието ω = . v v AP = ω = . до МПБ: AP BP Лачната стрелка е дадена кружно околу Лачната стрелка на аголната брзина МПБ во насока на v . A. насоче нас очена на спре спрема ма век вектор торите ите на линеарните брзини на v A и v B. 3)Со соединување на точката C со 3) Со соединувањ соединувањее на на точкaтa точкaтa C МПБ ја определуваме брзината на со МПБ ја определуваме брзината на точката: точка С: vC = ω ⋅ CP . v C = ω ⋅ CP . Векторите на линеарната Векторите на линеарнaт брзинa v С брзина v С насочена спрема насоченa спрема стрелката на аголната стрелката на аголната брзина 60 брзина.
2)Ја определуваме аголната брзина :
A
B
Примери за користење на МПБ за определување определување на брзини на точки од рамнинска фигура 5 r
B v B
Дадено: v A, v B, v A║v B, положбата на точките A, B, C .Да .Да се најде: v C 1) МПБ се наоѓа на на пересекот на на нормалите повлечени од векторите r A v v A и v B. Но како што се гледа пресекот е во бесконечност. C 2) Аголната брзина при ротација е нула (моментална транслација): r A
vC
ω =
v A
∞
=
vB
∞
= 0.
3)Брзината на точката C рамна на геометриските брзини на точките A и B: r r r
vC
= v A = v B .
Векторот на брзината на точката C по правец паралелен со векторот на брзината на точките A и B (во иста насока ).
61
Дадено : v A, v B, v A║v B, положба на точките
6
.Да се најде: v C A, B, C .Да
1) МПБ се наоѓа во пресекот пресекот на нормалите нормалите кон векторите на на брзините v A и v B. Овие нормали се слеваат во една линија. A vr Лачната стрелка на r v 2) Ја определуваме положбата на r аголната брзина насочена v B МПБ(спроведуваме линија низ краевите C во насокана векторите на на векторите v A и v B) и аглна брзина: ω линеарните брзини v v . A
C
B
ω
=
v A
=
v B
AP BP v A − v B . AB
A , B
=
P
Векторот на линеарната брзина v C насочен во насока на стрелката на аголната брзина . 3) Со соединување на точката C со МПБ ја определуваме vC = ω ⋅ CP . брзината на таа точка: =
Последица – Краевите на векторите на забрзувањата на точките од рамнинската фигура,исто фигу ра,исто така лежат на една права, и ја ја делатr неа одсечки, ки, b на одсеч a r пропорционални на растојанието меѓу точките.r a Краевите на векторите на a a Краевите на векторите на забрзување за забрзување на точките aBA и r aСAлежат на една права Abc и полот A,кои дејствуваат во точките B и C , A ε a ја делт неа на отсечки отсечки ист лежат на една права. C B r r пропорционални на a пропорционални a a Лесно се докажува дека со сличност на Растојанието меѓу точките: CA
C
BA
B
A
A
A
тријаголниците дека краевите на векторите на вкупните забрзувања на точките B и C исто така така лежат на една една права и ја делат делат таа права права на делов деловии пропорцион пропорционални ални на растојани растојанијата јата меѓу точките.
a BA
=
ε 2
+ ω 4 AB,
aCA
=
ε 2
+ ω 4 AC . 62
7
Дадено: v A, v B, v A║v B, положбата на точките A, B, C .Да .Да се најде: v C
1) МПБсе наоѓа во пресекот на нормалите на векторите v A и v B. Тие линии се слеваат во една линија. v v 2) Ја определуваме положбата на МПБ(повлекуваме линија низ ω = A = B = AP BP краевите на векторите на брзините v A и v B) и аголната брзина: =
v A
+ v B
AB
.
Лачната(крива) стрелка на аголната брзина нацртана спрема вртењето на векторите на линеарните брзини v A ,v B. r r 3) Ја соединува соединуваме ме точката точката C со МПБ и ја опреде определуваме луваме брзината брзината v v A На таа точка: ω C P Векторот Векто рот на линеа линеарнат рнатаа брзина брзина v C насочена спрема r B v стрелката на аголната брзина . A
C
B
vC
= ω ⋅ CP . 63
Теорема за сложување на забрзувањата – забрзувањето на било која точка од рамнинската фигура ќе биде рамна на геометриската сума на забрзувањето на полот и забрзувањата на тaa точкa точкa за ротација во круг околу полот.
Брзината на точките r
A и B сврзани меѓу себе со векторската равенка: r
r
r
r
r
= v A + v BA = v A + ω × r AB .
v B
Ја диференцираме погорната равенка по времето t: r
d v B dt
r
=
d v A dt
r
+
d v BA dt
r
= a A +
d r r (ω × r AB ). dt
Второ збирно диференцирање го правиме како производ на две функции: r
d r r d ω r × r AB (ω × r AB ) = dt dt
r
+ ω ×
r
d r AB dt
r
r
r
r
= ε × r AB + ω × v BA .
Го добивме збирот од тангенцијалното и нормалното забрзување за разгледуваната точка во однос на полот. На таков начин забрзувањето на рамнинска фигура ќе биде: r
a B
r
r
r
r
r
T N = a A + a BA + a BA = a A + a BA . 64
Моментален пол на забрзување (МПЗ) – При движење на рамнинска фигура во секој временски момент постои точка, неподвижно сврзана со површината површ ината на фигу фигурата, рата, за која забрзу забрзувањет вањето о во во секој моме момент нт е еднак еднакво во на нула. r
a QA
Нека ни е познато забрзувањето за една од точките на една ω фигура, аголната аголната брзина и аголното аголното забрзување забрзување при ротација ротација A ε β околу таа точка: r a Формираме векторска равенка за забрзувањето на некоја точка r r r r r r Q согласно теоремата за собирање на забрзувањата : ar = ar + ω ε × + × = + r v a a Q A AQ QA A QA. β
Q
r
a A
A
За дадена вредност на забрзувањето на точката Q рамна нула: arQ = 0. r r = − a a A . Тогаш добиваме : QA околу полот полот Т.е. Забрзувањето на саканата точка при вртење во круг околу треба да биде еднакво по модул со забрзувањето на точката A, паралелно на тоа забрзување и насочено во спротивна насока .
Аголот меѓу векторот на вкупното вкупното забрзување на точката β = arctg ε 2 . ω при ротација во однос на центарот(полот) е еднакво : Тоа ни дава дава можност да ја најдеме положбата на МПЗ (точката (точката Q), имено: МПЗ треба да се наоѓа на правата, која прави агол β со векторот векторот на забрзу забрзување вање на точката A, повлечена во насока на aA AQ = . 2 4 аголното забрзување , на растојание: 65 ε + ω
Ако е најдена положбата на МПЗ , забрзувањето на било која точка од рамнинската фигура фигура може да биде лесно определено определено со помош помош на изборот изборот на полот во МПЗ . Во тој случај векторскиот израз на теоремата за сложување на забрзувањата се изродува во извесна зависност на вкупното забрзување од растојанието до центарот на ротација: r
r
r r
r r
r
a B = aQ +ε ×r QB +ω ×v BQ = a BQ; r
r
r r
r r
r
aC = aQ +ε ×r QC +ω ×vCQ = aCQ;
r
(aQ = 0); r
(aQ = 0);
a B = ε 2 +ω 4 ⋅ BQ;
Q β r
B
aC = ε +ω ⋅CQ; 2
a B
4
β
ε r
a C
C
На таков начин, при определување на забрзувањата на точките од
рамнинската фигу рамнинската фигура ра во во даден даден време временски нски момент може да се смета дека телото телот о прави вртли вртливо во движе движење ње во круг окол околу у МПЗ. Забелешка: Во даден момент телото се врти во круг околу МПБ, чија положба во општ општ случај не мора да се совпадне со положбата на МПЗ.
66
1
Примери за користење на МПЗ за определување на забрзувањата на точки од рамни рамнински нски фигу фигури ри ε ε A r
a A
B
Дадено: a A, ε, ω, положбите на точките се најде: aB
A, B.Да
Q
β
β
r
a B
β = arctg
ε
.
ω 2 1) МПЗ се наоѓа на правата која прави агол со векторот на забрзување на точката A, во насока на аголното забрзување забрзување, на растојание: AQ
aA
= ε
2
+ ω
4
.
2) Со соединувањ соединувањее на точката точката B со МПЗ го определуваме забрзувањето во точкат В: a = ε 2 + ω 4 QB. B
a A
Ако е ε = 0 и ω ≠ 0, тогаш β = 0 и Забрзувањ Забрзувањата ата на сите сите AQ= 2 . ω точки ќе бидат насочени во точката Q (МПЗ). a A Ако е ε ≠ 0 и ω = 0, тогаш β = 90о и . која се Забрзувањата на сите точки ќе бидат нормални на отсечката AQ = соединува со МПЗ и точката, и насочени спрема насоката на аголното ε 67 забрзување.
2
Дадено: a A, aB, положбите на точките
.Да се најде: aC A, B, C .Да
) Ја запишуваме запишуваме векторски векторски теоремата теоремата за сложување сложување на забрзувања .Го наоѓаме забрзувањето на точката B со ротација во круг на површината околу A:
1 r
a A A
r
a A
r
B β β
r
aC
a BA
r
a B Q
ε
ε
β
C β
r
a B
r
r
= a A + a BA .
2) Го определуваме аголот β меѓу векторот aBA и правата AB насочено во насока насока на аголното аголното забрзу забрзување: вање: 3) МПЗ се наоѓа во пресекот на правите, завртени за агол β од векторите на забрзувањата на точките A и B во насока на вртење на аголното забрзување: 4) Со соединување на точката C со МПЗ и определување на забрзувањето на таа точка со еден од соодносите: a a A a = B = C . AQ
BQ
CQ
и со насочување на векторот на забрзување под агол β кон отсечката QC во насока на аголното забрзување. 68
План на брзини
ω = константна r v B ?
√
r
r
= v A + v BA √ ? √ ⊥ BA
разм размер ерен ен коефициент ккоеф ко ое ефиц фи ицие ци иент ен нт т за за µ µv (m/s/mm)-размерен
v A
v B
A B
ω
брзина
a
v B=µ µv pb, p→b v BA=µ µv ab,a→b V A= µ µ v pa
r
r
v A
v BA
p
⊥ BA r
b
v B
69
План на забрзување r
a B
r
r N
r T
a B
= a A + a BA + a BA
A n
a A a BA
ω ω2 L AB ? ? √ ω √ √ B→ A ⊥ BA µ µ a (m/s2/mm)-размерен коефициент за
забрзување
p′
r
a A=µ µa p′a′, a B=µ µa p′b′, p′→b′ b′ a N BA=µ µa a′b″ r T aT BA=µ µa b″b′, b″→b′ a BA a BA=µ µa a′b′,a′→b′
B
b″
a B r
r
a BA r N
a BA
a A
a′ 70
Сферно движење на круто тело – одна од точките на телото останува
неподвижна за за време на движењето. Остатите точки се движат по сферични површини површ ини чии чии центри центри се совпа совпаѓаат ѓаат со непо неподвижн движната ата точка точка.. Ојлерови агли – се користат за опишување на сферното движење на крутото тело со помош на два координатни системи: ζ ζ z Oxyz – неподвижен координатен систем со почеток во θ неподвижната точка, Oξηζ - подвижен координатен систем, цврсто сврзан η η со телото со почеток во истата ис тата почетна точка. Положбата на подвижниот координатен систем y може да биде однозначно зададено со трите O агли: ψ ψ 1) ψ - агол агол на вртење на системот системот Oξηζ во круг φ x околу оската z – агол на прецесија; ξ ξ J 2) θ – агол агол на врте вртење ње на систе системо мотт Oξηζ во круг во нова положба со хоризонталната оска x ( OJ ) – агол на њутација; 3) φ - агол на вртење вртење на системот системот Oξηζ во круг во нова положба со вертикалната оска z (Oζ) – агол на сопствена ротација . ψ = ψ ( t ); θ = θ ( t ); Равенките на сферното сферното движење движење на круто тело: ϕ = ϕ ( t ). 71
Теорема на Ојлер – Круто тело кое има една неподвижна неподвижна точка, може да се
премести од една положба во друга со една ротација во круг околу некоја оска која проаѓа низ таа точка.
Разгледуваме Разгледуваме лак од поголем круг AB, кој се наоѓа на сферната површина. површина. Лакот на поголемиот круг – лакот на најмалата најмалата кривина на површината површината (дел од од кружницата,добиен кружницата,добиен со пресекот пресекот на површините површините кои проаѓаат , низ центарот). центарот). Понатаму ќе подразбираме, подразбираме, дека сите лаци се лаци на поголемиот поголемиот круг.
Нека ∪ AB се помести во положба ∪ A1B1. Ги цртаме лаците ∪ AA1 и ∪ВB1. Од средините С и D на лаците ∪ AA1 и ∪ВB1 спроведуваме лаци, нормални кон лаците ∪ AA1 и ∪ВB1. Точката на пресекот на лаците ∪CO1 и ∪DO1 се појавува како неподвижна и ја определува положбата на оската на ротација. Таа точка ја соединуваме со краевите на лаците ∪ AA1 и ∪ВB1. Од добиените криволиниски тријаголници ∆ AO1B и ∆ A1O1B1 ја добиваме равенката: ∠ AO1B = ∠ A1O1B1. Ако на секој од тие агли додадеме додаде ме еден ист агол ∠ O 1
BO1 A1, тогаш добиените агли∠ AO1 A1 и ∠ BO1B1 ќе бидат исто така еднакви меѓу себе и ќе бидат
агли на вртење на сите точки од телото во круг A околу оската OO1. O Точките A и B при преместување во положбите A1, B1, B во општ случај се движат условно условно по лаците на B 1 D големиот круг.За мал временски временски период ∆t точките C од една положба положба во друга друга ќе пројдат пројдат со вртење вртење на A телото телото во круг круг околу околу неко некоја ја оска на ротација ротација за агол ∆φ. При што кога ∆t →0 и оската на ротација се 72 нарекува Моментална Моментална оска на ротација ротација на телото телото во даден момент момент. 1
Аголна брзина при сферно движење на круто тело – вектор во правец на Ω моменталната момент алната оска на ротација ротација чии моду модул л е една еднаков ков на: ω = ∆t lim0
∆ϕ ∆t
=
d ϕ . dt
r
Аголно забрзување при сферно движење движење на круто тело тело –
r
ω
∆ω r
ω O се карактеризира со промена промена на векторот на аголната брзина: r r Ω -средно аголно забрзување во ⇒ ω ; t r ∆ ω r r r = ε t = t + ∆t ⇒ ω = ω + ∆ω ; временски интервал ∆t, r r ∆t r r d ω Аголно забрзување во временски временски момент t : ε r = lim ∆ ω = d ω . u = . r ∆t dt ω dt Векторот на аголната брзина со почеток во неподвижната точка O E r при движење на телото се менува согласно со гласно радиус-векторот на ε точката,која се движи во просторот по некоја траекторија. Векторот на брзината на таа точка насочен насоч ен е по тангентата тангентата на траекторијата траекторијата и се определува определува со r изразот: vr = d r dt Траекторијата на крајот од векторот на аголната брзина со почеток во неподвижната точка при движење на телото опишува крива,која ја нарекуваме одограф на векторот на аголната брзина . Со изедначување на изразите за векторот на аголното забрзување на телото и векторот на брзината на точката може да се констатира констатира дека 1
r
ε ср
ср
1
1
∆t
0
аголното забрзување на телото геометриски геометриски е рамно на линеарната линеарната брзина на крајот од векторот на аголната брзина .
Првата, по која е насочен векторот на аголното забрзување се нарекува моментална оска на аголното забрзување (E ).).
73
Брзина на точка на круто тело при сферно движење – се определува како
брзина при ротација во круг околу моменталната оска: оска : r r Проекциите на брзината(формула на Ојлер): vr =ω ×r v = ω ⋅ r sin(ω r, vr) = ω ⋅ h. r
v
r
r
r
i
j
k
= ω × r = ω x
ω y
ω z
x
y
z
r
r
r
(ω y z − ω z y )i
+ = + (ω z x − ω x z ) j + r + (ω x y − ω y x)k
= (ω y z − ω z y ); v y = (ω z x − ω x z ); v z = (ω x y − ω y x).
v x
r
Проекциите на брзината на подвижните оски ξ, η, ζ имаат аналоген вид. Моменталната оска на ротација во даден момент – геометриско место на точки со брзина нула.Равенката на моменталната оска се добива со прирамнување на проекциите на брзината на нула: нула: Ω z Забрзување на точ Забрзување точка ка на на круто круто тело при сферно движење: r
r
a=
r
r d r r d ω r r d r r r r r r = (ω × r ) = × r + ω × = ε × r + ω × v = a E T + a N . dt dt dt dt
d v
r E
r
r
r
r
ω y z = ω z y;
= (ω y z − ω z y ) = 0; v y = (ω z x − ω x z ) = 0; v z = (ω x y − ω y x) = 0. v x
r
r
ω z x = ω x z ;
r
aT E
ω x y = ω y x.
x
ω x
=
y
ω y
=
x
ω z
h
r
v
r
a N
h E ω r ω ε O
.
E
y
ε
x
a N = ω × (ω × r ) = ε × r Забрзувањето на точка е рамно на геометриската сума сума од забрзувзњето при ротација во однос на оската на моменталното аголно забрзување ( E ) 74 и нормалното забрзување во однос на моменталната оска на ротација ( Ω Ω) . r
r
r
a = aT E + a N
aT
Модулот на забрзувањето од ротацијата ќе биде рамен:
a E T
= ε ⋅ h E
hE – должина на нормалата нормалата до
оската на моменталното забрзување забрзување E . Векторот на забрзувањето од ротацијата насочен нормално на радиус на ротација (hE ) во насока на лачната стрелка на аголното забрзување. Модулот на нормалното забрзување рамен е на:
a N
каде
= ω 2 ⋅ h
каде нормалата , во однос на моменталната оска на ротација ротација Ω . hΩ – должина на нормалата Векторот на на нормалното забрзување насочен по радиусот на ротација (hΩ ) кон моменталната оска на ротација.
Модулот на целосното забрзување рамен е на :
r
2 2 E E a = ( a E T ) + ( a N ) + 2aT a N cos(aT , a N )
75
Геометриско место на положбите на моменталните оски на ротација во однос на неподвижниот координатен систем претставува една конусна површина со врв во точката О и се вика неподвижен аксоид,а геометриско место на положбите на моменталните оски на ротација во однос на подвижниот координатен систем претставува исто така,конусна површина со врв во неподвижна непо движната та точка О и се вика подвижен аксоид. Аn(неподвижен аксоид)
r
ω
Теорема на Поансо:Ротација на круто тело околу неподвижна точка може да се инерпретира како тркалање без лизгање на подвижен аксоид кој е цврсто о врзан за телото по неподвижен аксои .
Ар(подвижен аксоид)
76
Положбата на тело во просто просторот рот Општ случај на движење на круто тело – Положбата
еднозначно се определува со положбата на негови три точки, кои не лежат лежат на една права. Со овие три точки може да се конструира тријаголник, кој понатаму ќе го претставува телото во просторот.
Разложување на движењето на слободно круто тело – Како и во случај на рамно Ω
C 1
C 1
B1
A1
C’
C’
B1 A
A1
B’ C
C B’ B
B
движење постојат повеќе начини за Ω претставување на движења на слободно тело повеќе прос прости ти движења. движења. во вид на две или повеќе A На пример, може тело да се пренесе од дадена почетна во друга положба, означена со тријаголникот тријаголникот ∆ ABC , во
друга положба, која одговара на тријаголникот∆ A1B1C 1, со транслаторно
поместување во положба ∆ A1B’C’ , а потоа со завртување во круг околу некоја оска, кој проаѓа низ точката, избрана како пол, на пример, точката A1: Или, напротив, напротив, во почетокот може да го заротираме заротираме тријаголникот ∆ ABC во круг околу некоја оска,која проаѓа низ точка, избрана како пол, на пример,точката A, како би страните на тријаголникот ∆ ABC станале паралелни со страните на тријаголникот ∆ A1B1C 1, а потоа го пренесуваме тријаголникот ∆ AB’C со транслаторно движење во положба ∆ A1B1C 1: На таков начин , движењето на слободното тело може да се претстави како збир на транслаторно движење и сферно движење во круг околу некоја точка, точк а, која леж 77 на телото, избрана како пол: 77
Брзина на на точка на слободно слободно тело – Брзината на било која точка од телото рамна е на геометриската геометриската сума на брзината од полот и брзината која таа таа точка ја има има при сферно движење во круг круг околу полот. Равенка на движење на Радиус-вект Радиус-векторите орите на точките точките A и B сврзани сеслободното тело: x A = x A (t ); ψ = ψ (t r r r меѓусебно со соодносот: r B (t ) = r A (t ) + r AB (t ). y A = y A (t ); θ = θ (t
r
Го диференцираме овој сооднос: Втората компонента е брзината на точката B при сферно движење во круг околу полот A: r
r
r
r
v AB (t ) = ω (t ) × r AB (t );
r
r
r
r AB
v B = v A +v BA = v A +ω ×r AB. Ω
r AB ω
r B r A O x
hΩ
B
z
ω v B vv AA v BA
A
dt r
v B ( t )
r
=
d r A (t ) dt r
v A (t )
r
+
d r AB (t ) dt
z A
.
= z A (t );
ϕ = ϕ (t
r
v BA (t )
z ζ ζ
θ
r r
r
= const .
d r B (t )
y
Добиениот сооднос во потполност се совпаѓа со теоремата за сложување на брзини за рамно движење. Разликата се состои само во тоа, што не се користи нејзиниот центар на ротација туку оската на моменталната ротација Ω .
η η
A O x
x
J
z A ψ ψ
A y A
φ ξ ξ 78
Независност на векторите на аголните брзини и аголните аголните забрзувања од изборот на поот. Ја запишуваме теоремата за за сложување наrбрзините заr r r
= vO1 + ω 1 × r 1 ; (a) r r r r v A = vO 2 + ω 2 × r 2 ; (b) Ги поврзуваме половите O1 и O2 со радиус-векторот r 12 и ја изразуваме брзината на вториот пол со r брзината r rна првиот:
една иста точка A со користење на различни полови O1 и O2: Ω 2
Ω 1
A
v A
vO1
r 1 ω 1
vO 2
r 2
r 12 O1
ε 1
O2
ω 2
r
E 2 E 1
=
r 1
ε 2
v
O 2
r 12
=
r
v
+
r 2 ;
O 1
Го претставуваме овој израз во формула (b) r
r
r
r
r
r
v A = (vO1 + ω 1 × r 12 ) + ω 2 × r 2 . (c) r
Ги прирамнуваме десните делови на (a) и (c), и со помош на соодносите меѓу радиус-векторите: r r r r
v A
+
r
ω
r r r
×
1
r
r
r 12 .
r r
r
r
r
r
vO1 +ω 1 ×r 1 =vO1 +ω 1×(r 1 −r 2)+ω 2 ×r 2.
r
r
r
r
ω 1 × r 1 = ω 1 × r 1 − ω 1 × r 2 + ω 2 × r 2 .
После некој кратења и преобразувања добиваме: r r = ω ω 1 2. Од каде следат равенки за аголните брзини:
r
r
r
ω 1 × r 2
d ω 1
r
d ω 2
= ω 2 × r 2 . r
r
, = ε 1 = ε 2 . Со диференцирање на добиената равенка имаме: dt dt И така, векторот на аголната брзина и аголното забрзување не зависат з ависат од изборот на полот. Изборот на полот влијае само на големина на векторот на брзината при транслаторно движење движење при разложување на движењето на 79 слободното тело.
Забрзување на точка при слободно тело – Забрзувањето на било која точка точк а на тело рамна е на геом геометриск етриската ата сума на забрзувањ забрзувањето ето на на полот и забрзувањето на таа таа точка од сферното движење во круг круг r r r r околу полот.
Ја запишуваме теоремата за сложување на брзини: r
Со диференцирање на соодносот добиваме: Или
r
r
r
r
d v B
v B
= v A + ω × r AB .
r
=
r
d v A
d r r d v + (ω × r AB ) = A dt dt dt
dt r r
r
r
r d r d ω r + × r AB + ω × AB . dt dt
= a A + ε × r AB + ω × v BA . Тука векторот a A – забрзување на полот. Втората компонента – забрзување при ротација
Ω
B
z
a BA hΩ
hE
a A O x
r AB E ω a BA A ε
ω v B vA ε v BA y
a B
(тангенцијално) на точката B при сферно движење во однос на полот A. E Трета компонента – нормално r E забрзување на точката B при сферно a BA движење воr однос на полот A. r E E a BA = ε ⋅ h a BA r
a BA
= ω 2 ⋅ h
Геометриската сума на тангенцијалното и нормалното забрзување на точката при сферно движење е вкупното забрзување на точката при сверно движење во r сф r E r r r r сф круг околу полот: a BA = a BA + a BA 80 a A = a B + BA . На тој начин:
Сложeно движење на точка 1. Теорема за сложување на брзините 2. Теорема за сложување на забрзувањата (теорема на Кориолис) 3. Прав Правило ило на Жуко Жуковски вски
81
Сложено движење на точка Z11 Z
M r
ρρ
O11 Х11
ρρ00
O Х
Движење кое го прави (·)М во однос однос на координатниот систем (ОХYZ), го нарекуваме релативно движење. движење.Поместувањето ,брзината и забрзувањето ќе бидат: Y
r Vr r , αr r Движење на подвижниот координатен систем (ОХYZ) во однос на неподвижниот (О1Х1Y1Z1) – преносно движење.
Поместувањето ,брзината и Y11 забрзувањето ќе бидат: ρ00, Vрр, αрр
82
Z11 Z
M r
ρρ
O11 Х11
ρρ00
Движење кое го прави (·)М во однос на неподвижниот систем (О1Х1Y1Z1) го нарекуваме апсолутно, или
Y
сложено, движење. Поместувањето ,брзината и забрзувањето ќе бидат:
O Х
Y11
ρ,
r
ρ а
r
Vа, αа r
r
= ρ = ρ O + r (1)
83
Prikaz na slo жeno dvi жewe
ω
v р
vr vа 84
сложување на брзините
При сложување ссл ложување движењата апсолу апсолутната тната брзина брзина на ожување на движењата точка е еднаква на сумата од релативната и преносната брзина (·)M—> (·)M1 Z1 MM 1 = Mm1 + mM 1 B1 M1 В M’ Mm MM m M = lim + lim lim ∆→ → ∆t ∆ →→ ∆t ∆ →→ ∆t r а r r φ m1 А r r r 1 М, r р V r (2) V a V p O1 m А А Y1 1
t 0
1
11
t 0
11
t 0
Х1 85
r
z1
V а
r
r
= V r + V p
(2)
r
r
V а
M’
М1
V r φ
М
V p
y1
m
o1 r
x1
r
V а
=
V r 2
m1
+ V р2 + 2V r V р cos ϕ 86
2. сложување на забрзувањата (теорема на Кориолис)
Го диференцираме изразот (2) rr
a aa
rr
rr
d V аа dt
=
=
d V р р dt dt
rr
+
d d V V r r dt
rr
(d V V ) (d d V rr ) (d V rr ) (d V V rr ) = + + + р р р р
р р r r
dt
r r р р
dt dt
dt
r r r r
dt
rr
rr
aa р р
=
rr
(d d V V )
rr
aar r ==
р р рр
dt dt rr
rr
aacor cor
=
d d V V r r
r r
dt dt
rr
(d d V V ) (d d V V ) + р р r r
dt dt
+
r r рр
dt dt
87
Големината , која се карактеризира Големината карактер изира на релати релативната вната карактери зира со промена промена на брзина брз ина на (·) при пре пренос носно но дв движе ижење ње и пер перен еносн оснат атаа брз брзина инаа на прено сно брзин (·) при нејзино релативно движење,се нарекува завртувачко), тувачко), или Кориолисово, забрзување на (·) ротационо(завр r
r
r
r
aа = a р + ar + acor
При сложено движење забрзувањето на (·) = векторск векторскиот иот векторски от збир од трите забрзувања: релаивното, преносното и Кориолисовото r r
acor r
acor
r
= 2 ⋅ ω р ×V r
r ∧ r = 2 ⋅ ω р ⋅ V r ⋅ sin ω р ,V r r
r
88
Сложено движење на точка (втор начин) – такво движење, при кое точката учествува истовремено во две или неколку движења.
Примери на сложено движење на точка (тело): чамец со кој се препливува река; човек кој оди по движечки ескалатор и др. За опишување на сложеното движење на точка или r претставување на движењето во вид на сложено се v r z служиме(користиме) со неподвижен систем O1x1y1z1 v z r сврзан цврсто со било какво условно неподвижно тело, тело, v M на пример, пример, со со ЗЗемјат емјата, а, и подвижен систем Oxyz сврзан r y r r z r со било било какво какво движе движечко чко тел телоо. r k j r
a
1
p
r
O y
x v0
i
r
ρ O
x 1
O 1 x y 1
Апсолутно движење ( a ) – движење на точка, разгледувано во однос на неподвижен координатен систем. Релативно движење ( r ) - движење на точка, разгледувано во однос на подвижен координатен систем. Преносно движење ( р ) - движење на подвижен систем , разгледувано во однос на неподвижен координатен систем. 89
Апсолутна брзина (забрзувзње)на точка v а ( aа ) - брзина (забрзување) на точка, точка, пресметана во однос на неподвижен координатен систем. Релативна брзина (забрзување) на точка v r ( ar ) – брзина (забрзување) на точка, точка, пресметана во однос на подвижен координатен систем. Преносна брзина (забрзување) на точка v p ( a p ) – брзина (забрзување) на точка, точка, која припаѓа на подвижен координатен систем или на на круто круто тело, тело, со кое е цврсто сврзан подвижниот координатен систем, систем , совпаднувајќи се со
разгледувањето на подвижната точка во даден даден временски временски момент момент и пресметана во однос на неподвижниот координатен систем .
90
На таков начин знаејќи дека изводот по времето времето на радиусr r r векторот ρ ρ ρ ρ е апсолутна брзина, добиваме: va = vr + v p . Модулoт на векторот на r r 2 r 2 r r r r va = vr + v p + 2 vr v p sin(vr , v p апсолутната брзина: r
vr
z ζ ζ Ω
M
r vra r
ω × r r v p y
ω p
r r z rk j r ω p O x vO y i r
r
ρ r
ρ O
η η
O 1 x
).
Теорема за сложу Теорема сложување вање на на брзините брзините – апсолутната брзина на точката рамна на геометриската геометриската сума од релативната релативната и преносната прен осната брзина на точкат точката. а.Во било кој временски момент
спроведлив е соодносот: ρ r = ρ r + r r = ρ r + xir + y jr + z k r. O O Го диференцираме диференцираме овој соодност по времето времето имајќи во вид дека ортовите i , j , k ја менуваат својата насока во општ случај на движење на слободното слободното r тело, со кое кое rе сврзан сврзан подвижниотr r r r r координатен систем: d ρ d ρ O d r d ρ O dx r dy r dz r d i d j d k = + = + i + j + k + x + y + z . dt
ξ ξ
dt
Тука првиот собирок е (v о) – брзина на полот O; Следните три – релативана брзина на точката vrO
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
r
r
vr
r
r
r
r
r
(v r ).
x (ω p × i ) + y (ω p × j ) + z (ω p × k ) =
Од последниот трет собирок се определува изводот по времето од ортовите i , j , k : d ir
= ω p × ( xi + y j + z k ) = ω p × r .
dt
r
r
r
= (ω p × i );
Тука искористена искористена е векторската векторската формула формула d jr r r за линеарна линеарна брзина на точка во однос на на dt r = (ω × j ); r оската на ротација: r r d k = (ω × k ). p
d r dt
=
d
dt
r
(ω p
r
× r ).
dt
p
r
r
r
r
r
Ги претставуваме векторските изводи во следните три собирци: Сумата на првиот и последниот собирок – брзина на точка од слободно тело е преносна брзина на r r r r точка (vр): v = v + ω × r . 91 p
0
p
Теорема за сложување на забрзувањето (теорема на Кориолис) -апсолут -апсо лутното ното забрзу забрзување вање на точк точка а рамно е на геом геометриск етриската ата сума од релативното,преносното релативното,преноснот о и кориолисовото забрзување наr точката. Од порано r r r r
беше добиен изразот за брзината: d ρ = d ρ 0 + x&ir + y& jr + z &k r + x d i + y d j + z d k . dt dt r dt dt rdt r Го диференцираме r r r r r r r r r r r ρ ρ d d d i d j d k d i d j d k d i d j d k овој израз по времето &&k + x& = + x&&i + y&& j + z + y& + z & + x& + y& + z & + x + y + z . dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Уште еднаш: 2
2
2
2
O 2
r
a0
2
2
2
r
r
r d ω r r r d r r = (ω p × i ) = p × i + ω p × (ω p × i ); 2 dt dt dt r r 2 r r d ω p r r r d j d r = × = × + × × ( ω j ) j ω ( ω j ); p p p dt 2 dt dt r r r d ω p r r r d 2k d r r ( ω k ) k ω ( ω k ). = × = × + × × p p p dt 2 dt dt
+ +
d ω p dt r d ω p
r
r
r
r
r
r
r
r
× z k + ω p × (ω p × z k ) =
dt r r = ε p × r + ω p
r
r
× y j + ω p × (ω p × y j ) +
r
r
r
p × (ω p × x i ) +
p
r
2
ar
Тука првиот собирок е (aO ) –забрзување на полотO;следните три собирци се – релат релативно ивно забрзува забрзување ње на точк точката ата (ar ). За последните три собирци ги определуваме вторите r r d ω r изводи по времето на ортовите од подвижниот × x i + ω dt координатен систем i , j , k : r d 2i
2
r
r
r
× (ω p × r ).
r
r
r
r
a p = a0 +ε p ×r +ω p ×(ω p ×r ). Ги заменуваме овие изрази во последните три собирци и ги групираме: Сумата од првиот и добиените два собирци –претставува забрзување на 92 точка од слободно тело или Пренос Преносно но забрзува забрзување ње на точк точката ата (a p):
Остануваат да се сложат уште шесте членови ,заменуваме за првите изводи на векторите векторите по времето времето од ортовите ортовите и групираме групираме:: r
r
r
r r r d i r r r r d j d k r 2 x& + y& + z & = 2[ x& (ω p × i ) + y& (ω p × j ) + z & (ω p × k ) ] = 2(ω p × vr ). dt dt dt Добиената компонента на забрзувањето претставува Кориолисовото забрзување (acor ): r r r
acor
= 2(ω p × v p
).
На таков начин знаејќи дека вториот извод по времето на радиус-векторот ρ ρ ρ ρ е апсолутно забрзување , добиваме: r
aa
r
r
r
= ar + a p + acor .
Големината , која се карактеризира со промена на релативната брзина на (·) при преносно движење и преносната брзина на (·) при нејзино релативно движење,се нарекува завртувачко или Kориолисово забрзување на (·) r
rr
aacor cor
r
(d d V V r ) (d d V V r ) = + =
р р r r
dt dt
+
r r рр
dt dt
93
Густав Гаспар Кориолис
(Coriolis G.G., 21.05.1792 – 19.09.1843) Родeн е во Париз. Во 1810 г. завршил Политехничка школа, а во 1812 г.г. школа шко ла за мостови и школа патишта. Од 1816 г. Почнал да предава на Политехничката школа, каде брзо станал професор, а 1831 г. – директор на нек некои оии дело делови ви од школ школата ата.. неко Предавал исто во Централната школа и во школа за мостови и патишта. Во 1836 г. бил избран во Париската академија на науки
94
Големина и насока на Кориолисовото забрзување: Модул на векторот на Кориолисовото забрзување:
Кориолисовото забрзување е нула во два случаја: 1. Кога аголната аголната брзина брзина на прен преноснот оснотоо движење движење е рамна нула (транслатор (транслаторно но преносно движење). 2. Кога векторот на аголната аголната брзина е паралелен паралелен со векторот на релативната брзина (синус од аголот меѓу векторите е нула ). ). r cor
a
= 2ω p vr
r
r
sin(ω p , vr ).
Насока на векторот на кориолисовото забрзување:
Се определува по едно од трите правила: 1. По определува определување ње на векторскиот векторскиот производ. производ. 2. По правило правило на десната десната рака. 3. По прави правило ло на Жук Жуковски овски:
r
ω p
r
a) Го прое проектирам ктирамее векто векторот рот на релат релативнат ивнатаа брзина брзина на рамнината , нормална на векторот на аголната аголната брзина. б) Ја завртув завртуваме аме проек проекцијата цијата на векто векторот рот на на релативн релативната ата брзина за прав агол (900) во насока на лачната стрелка на аголната брзина .
vr
ω p
r r
v1
r
acor 95
3. Правило на Жуковски Ja проектираме Vr r на рамнина, ḻ на ωрр, и ја завртуваме проекцијата во таа рамнина за агол од 90° во насока на ротација определена со ωрр – тоа ќе биде насоката на Кориолисовото забрзување. Николай Егорович рович Жуковский-роден вский-роден (17(5-по
старо) јануари 1847 с. Орехово, Владимирска област –до 17 март 1921, Москва).Ја формирал како наука аеродинамиката
96
Два типа на задачи: 1. Познати се преносното и релативното движење на (·).
Треба да се определат кинематичките карактарестики на апсолутното движење 2. Познати се преносното и апсолутното движење на (·). Треба да се определат кинематичките карактарестики на релативното движење Пример. За реализирање на транслаторно движење кај
машините се применува машините применуваат ат механизми механизми составен составении од применуваат пранслаторен стап АВ и ротирен ОА(кулиса) со константна аголна брзина ω така што φ = ωt. Па кулисата прави ротација со иста аголна брзина во обратна насока. Осцилаторот (каменот) А ротира заедно со кулисата и едновремено може да се поместува по должина на кулисата . Лостот АВ, зглобноо соединет зглобн соединет со каменот каменот се движи движи во хоризонтален правец правејќи повратнотранслаторно трансла торно движење. Да се определи определи брзината брзината и забрзувањето при транслаторното движење знаејќи го растојанието ℓ от зглобот О до правата АВ
97
Движење на точката А: преносно движење – ротација на кулисата ОА; релативно – прволиниско движење по должина на кулисата ОА V pА
l⋅ω = ОА ⋅ ω =
V r А
sin ϕ
=
Y
В
Vа ℓ
O
d (OA ) dt
− V а
Vр А V
=
d
l dt sin ω t
lω ⋅ cos ω t
sin 2 ωt
= −V р sin ω t + V r cos ω t
cos2 ωt = −lω1 + 2 = − l2ω , sin ωt sin ωt
φ r
Х 98
ω = const, тогаш А А aa р р
А aa А r r
22
= ОА ОА⋅ ω ω
=
)
(
2 2 d d ((V V r r )) llω ω 2 11++ cos cos 2 ω ω t t == == 3 dt sin dt sin 3 ω ω t t
2
ll ⋅ ω 2
sin ϕ
А = 2ω aa А ω V V r r sin sin 90 90° cor cor
=
Y В
аа ℓ
O
a аа
А αрр φ
= − a р р + a r r
αr r
2ω22llcos ωt sin 22 ωt cos sin ω t cos ω t t + aacor cor sin
=
αcor cor
Х
2llω22 cos ωt sin 33 ωt
Правецот на апсолутното забрзување се совпаѓа со оската Х
99
Причини за појава на Кориолисовото забрзување: Формално Кориолисовото
беше изведено изведено со групира групирање ње и сложување сложување на производи производи кои , содржат проекции на релативната брзина и изводи по времето од ортовите на подвижен координатен систем . Притоа се доби удвоен број на такви собирци.За собирци.За појаснување појаснување на физичките физичките причини причини на на појавата појавата на Кориолисовото забрзување ќе разгледуваме пример, во кој специјално ќе обрнеме внимание на постојаноста на векторот на релативната брзина (во подвижен координатен координатен систем) и векторот на аголната аголната преносна брзина (ротација на на подвижниот координатен координатен систем во однос на релативно неподвижна оска): Во некој некој временски временски момент момент положбата положбата на точката точката и векторот векторот на релативнат релативнатаа и преносната брзина се такви како на сликата: После некое време точката се оддалечила од оската на ротација и телото се завртува за r некој агол.Како резултат имаме: v p
r
v p
vr
r
vr ω p
релативната ивната брзина се менув менува а по r 1) релат
ω P
насока и за позната преносна аголна
брзина и
2) Преноснат Преносната а лине линеарна арна брзина се променува по големина и за позната
релативна брзина , се променува растојанието на точката до оската на100 ротација.
На таков начин начин , може да се види дека постојат постојат две причини за за појава на Кориолисовото забрзување: 1) Преносна Преносната та аголн аголнаа брзина брзина влија влијаее на рела релативна тивната та брзина брзина , a 2) Рела Релативна тивната та брзина очигл очигледно едно влијае на прено преносната сната линеа линеарна рна брзин брзина. а. Тоа помага пома га да го запам запаметиме етиме коеф коефициент ициентот,е от,еднако днаковв на на два, во форм формулата улата која го определува Кориолисовото забрзување.
r
acor ■
r
r
= 2(ω p × vr ).
Примери за определување на насоката на Кориолисовото забрзување згодно е да се разгледаат за случаи на различни положби на движења
на точки по површината на Земјата, ротирајќи во однос на својата оска: r
vr
r
r
vr
acor r
acor r
r
vr
acor
r
vr r
r
vr
ω p 101
Сложено движење на круто тело – такво движење , при кое телото учествува истовремено во две или неколку движења.
Сите определувања определувања , во врска со компонентите на движење кои кои беа дадени за сложено сложено движење движење на на точка, точка, останув остануваат аат по правило правило да да се се спрове спроведат дат и за крути крути тела. Кинематиката на сложено движење на точка се користи и тука за добивање на нови соодноси, соодноси, опишувајќи опишувајќи сложено сложено движење движење на на крути крути тела. тела. Сложување на транслаторни транслаторни движења на крути крути тела – При транслаторно движење сите точки на крутото тело имаат иста брзина , што дозволува користење користење на теоремата теоремата за сложу сложување вање на брзините брзините на точка за сложено сложено движење: На таков начин, апсо апсолутн лутната ата брзина на тел тело о, иста е со брзината на една од точките од тоа тело, рамна на геометриската сума на преносната и релативната брзина на тоа тело.
r
va
=
r
v r
+
r
v p .
Сложување на вртливи движења (ротација) на крути тела – овде ќе
разгледаме два случаи на различни положби на оската на ротација: Оските на ротација паралелни и оските на ротација се сечат.
102
Оските на ротација се паралелни – диск се врти релативно во однас на својата оска која проаѓа низ
точката O1, со аголна брзина ω движи по кржна траекторија во круг круг околу оска ωr , оската на дискот се движи која проаѓа проаѓа низ низ неподвижната точка O, со аголна брзина ω ω p : Произволна точка A која лежи на дискот прави сложено движење (движење (движење по кружна кружна траекторија траекторија во подвижна рамнина рамнина ,цврсто сврзана со со кривајата кривајата OO1) и апсолутна апсолутна брзина на таа точка се определува определува со r r r изразот: v Aa = v Ar + v A p . Задачата Задачата на определенување определенување на брзини на било било која точка точка од дискот може може да се упрости ако се најде најде положбата на моменталниот центар на ротација (точка чија брзина во даден момент рамна на нула): r
r P
ra
= vO
vO1
r P
v K
v K a
1
r
v Aa K
O
O 1
ω P
ω r
r
v A P
r
r
= v K r + v K P = 0.
r P
Од каде:
r r
v K = −v K . Тоа значи дека точката K лежи на кривајата OO1 и ја дели на делови обратно пропорционални пропорционални на аголната брзина : ω P O1 K = p r v K = v K , ω P OK = ω r O1 K OK ω r
За определување на апсолутната аголна брзина ја разгледуваме точката O1, која не учествува во релативното движење и v определување определување на нејзината брзина двапати (во преносно движење и A во апсолутно движење). Таа брзина треба да биде еднаква: a r r r v P ω P OO 1 = ω a KO 1 . ω ω ω O = vO , Ако ја претставиме претставиме отсечката отсечката OO1, како сума од одсечки и отсечката OK ја изразиме преку O1K добиваме: ω ω P (OK + KO1 ) = ω P ( r KO1 + KO1 ) = (ω r + ω P ) KO1 = ω a KO1. r ω P a ω a = ω P + ω r . Од каде: Во случај случај на противположни противположни по насока ротации може да се се покаже покаже дека делење на отсечката отсечката OO1 ќе биде исто обратно обратно пропорционално пропорционално на на аголната аголната брзина но само од од внатрешна страна страна (точката (точката K ќе лежи на таа линија во отсечката OO1 на страната страната со поголем поголем вектор на аголната аголната брзина). брзина). Тогаш: OO1 = KO1 − KO и апсолутната аголна брзина ќе биде рамна на разликата на аголните брзини: ω a = ω P − ω r . 103 r r r Двата соодноси може да се обединат во еден векторски соодност: ω = ω + ω ω a
r
v Ar
r r
K
P
a
r
1
P
P
1
На таков начин апсолутната аголна брзина е еднаква на геометриската сума на релативната и преносната пр еносната аголна брзина .Има целосна аналогија меѓу сложување на векторите на аголните брзини и сложување на две паралелни сили.При сложување на такви сили резултантата приложена во точката која ја дели на растојанија меѓу силите на отсечки,обратно пропорционални на силите .
104
■
Кинематичка спрега – При сложување на две паралелни сили еднакви по
големина и противположно насочени меѓу себе ,резултантата на тие сили е нула (систем на такви сили не се с е сведува на резултанта) и тие сили образуваат квалитетно нов попрост систем, наречен спрег на сили. Притоа дејството на спрегот се карактеризира со момент на спрегот. r
r
ω r = −ω r
r
r
v
ω P
r
= ω
v
ω r = ω
ω P = ω d
Совршено аналогно при сложување на два паралелни паралелни вектори на аголни брзини, еднакви по големина и противположно насочени меѓу себе, ја нарекуваме н ула . Како кинематичка спрега, резултантната аголна брзина и тука е нула резултат се добива транслаторно движење, брзината која ја определува големината на моментот на кинематичката спрега ќе биде: r
v
r r
r
= m(ω − ω )
v = ω ⋅ d
105
еднакви по големина и На таков начин, две ротации со аголни брзини , еднакви противположни по насока, насока, можат да бидат заменети со едно транслаторно движење.Исто така можна е и обратната процедура –
претставување на на транслаторното транслаторното движење во вид на кинематичка спрега. спрега. Векторот на на брзината на транслаторното транслаторното движење на круто круто тело се се јавува преместуваа паралелно паралелно сам на себе) како слободен вектор (може да се преместув Во тоа време како вектори на аголна брзина се јавуваат како лизгачки вектори, кој можат да се преместуваат само по линија на дејствување.
106
■
Сложување на ротации на круто тело во случај кога оските на ротација се ротира со аголна аголна брзина брзина ω однос на својата својата оска, сечат – телото ротира ωr во однос
проаѓајќи низ точката О на пресекување со друга оска на ротација . Во однос на втората оска првата оска ротира со аголна брзина ω ωP :
Во колку точката на пресекот на оските на ротација имаат брзина нула, нула, тогаш таа е неподвижна точка во просторот, ја пресметуваме брзината за произволна точка M по теоремата за сложување на брзини: r r r r r ra rr r P r r v M = v M + v M = (ω r × r ) + (ω P × r ) = (ω r + ω P ) × r . Векторската сума на аголните брзини, добиена во загради , претставува резултантна аголна брзина, определувајќи една една ротација на телото во круг околу некоја моментална моментална оска (види. (види. Сферно движење), која може да се разгледува како r r r ra r r r апсолутна аголна брзина : ω ω ω = + × = × v ( ) r r . ω M r P a r a
ω p
r
ω r
O
M
r
r
ω p
ω r
a p
На таков начин, апсолутната аголна брзина е рамна на
r
r
геометриската сума на релативната и преносната аголна r r r брзина : ω a = ω P + ω r .
r
При сложување на ротациони движења повеќе од две резултантниот вектор на на аголната брзина рамен рамен е на геометриската сума од векторите на сите аголни брзини кои r r 107 учествуваа учествуваатт во сложен сложеното ото движење движење: ω = ∑ ω i .
Сложувње на транслаторно и ротационо движење на круто тело – тело
■
участвува участвува во ротационо ротационо движење движење со аголна аголна брзина брзина ω ω и во транслаторно движење со брзина v . Аголот α меѓу векторите на аголните брзини и транслаторната брзина произволни. r r ω ω 1 r Го разложуваме векторот на брзината при транслаторното r* r v v v двжење двжење на два два взаем взаемно но нормалн нормалнии вектори вектори така, што еден се α совпаѓа со векторот на аголната брзина : vr = vr * + vr1. *
r
O
v1 r
ω 1
A
v*
= v cos α ; v1 = v sin α . v 1 го претставуваме во вид на
Векторот на брзината кинематичк кинематичкаа спрега спрега со аголни брзини брзини , еднакви еднакви на зададена зададената та аголна брзина на ротационото движење: vr = mr (ω r − ω r ), ω r = ω r. 1
Растојанието OA го наоѓаме од равенката:
OA =
v1
ω
=
v sin α
ω
1
1
1
.
Векторот од транслаторното движење со брзина v* , како слободен вектор го пренесуваме во точката A, а двата вектора на аголни те брзини брзини во точката точката O, може да се се тргнат тргнат бидејќи се еднакви по големина насоќени еден спрема другrво rпротиволожни страни: r r ω + ω 1 = ω + ( −ω ) = 0
На таков начин,добивме кружна кружна ротација ротација со зададена аголна брзина ω ω околу оска, која проаѓа низ точката A,и транслаторно движење со брзина v* . Таква комбинација комбинација повеќе повеќе не може да да биде упростена упростена и претстав претставува ува кинематичка завојница(винт), реализирајќи завојно движење на цврстото тело. Оската која , проаѓа низ точката A,по чија должина е усмерен векторот векторот на аголната аголната брзина, 108се момент енталн ална а заво на вин винто това ва оск оска а на ек ва мом
Брзина на точка точка од круто тело тело при завојно (винтово) движење движење – телото
участвува во ротационо движење со аголна брзинз ω ω1 ,која претставува релативно движење, и транслаторно движење со брзина v* , кое r претставу претставува ва прено преносно сно движење. движење. v = (v ) + (ω h ) . a
* 2
2
1 ω
r
r
r
v r = ω 1 × r .
r
r
v P = v * .
Апсолутната брзина на точката M : vr a = vr P + vr r = vr * + ω r1 × r r.
T =
2π
ω 1
Точката M се движи по спирал спирална на траекто траекторија рија за за која еден еден вртеж вртеж се дели со со времето T : За време T точката М се преместува во насока на преносната брзина за големина 2 π чекор р на винтот винтот-заво -завојницат јницата а): h (чеко h = v * T = v * . ω 1
p
Односот на транслаторната брзина со аголната брзина се појавува како карактеристика на завојното движење и се нарекува параметар на винтот: r
=
v*
r
ω 1 r
v* A
Со користење на параметрите на винтот h = 2π ⋅ p. чекор на винт винтот от ќе биде: M hω Модулот на апсолутната брзина на точката M со користење на ra 2 2 2 2 параметрите на винтот: ( ω ) ( ω ) ω . = + = + v p h p h 1 1 ω 1 ω r r Во посебен случај, при α =900 (векторот на транслаторната брзина нормален на векторот на аголната аголната брзина)движењето брзина)движењето се сведува кон една кружна ротација околу оска,која проаќа низ точката A: 109 v * = v cos α = 0
v*
ω 1
.
.
■
Општ случа случајј на слож сложено ено движ движење ење на круто тел тело о – нека телото телото учествува учествува
во n ротациони движења и m транслаторни движења. Избираме пол A и кон него ги приложуваме v v 2 векторите на аголните брзини: ω ω ω v ω Добиваме севкупност на спрегови и вектори на аголни ω v = m (ω , ω ) брзини брзини и тие да се сечат во една точка. точка. ω r = ω r ; ω r = −ω r ; 1
' 2
' n
A
*
' 1
1
1
1
'' 1
A
v2 = m (ω 2 , ω 2'' ) ω 2
r
r ''
r
r
' 1
r'
(ω 1 , ω 1 );
v3
ω 2
(ω 2 , ω 2'' );
'' ω nn'''') ' n , ω vω n 1= m ω ('ω
r
ω n
r
1
r ''
r
= ω 2 ; ω 2 = −ω 2 ;
....................................
.......... ...
2
'' 1
1
r
ω n'
r ''
(ω n , ω n )
r
r
r
= ω n ; ω n'' = −ω n .
n
n
1
1
Вкупната ротација ротација може да се замени со едена ротација : Секој спрег може да се замени со Сите транслации ги заменуваме со една вкупна транслација: vr = mr (ω r ,−ω r ) едно транслаторно движење: ω *
j
= ∑ ω i' = ∑ ω i .
j
'' j
Добиваме во општ случај една ротација со кружна аголна брзина ω* околу оска,која проаѓа низ полот A, и транслаторно движење со брзина v A( A – точка на сведување(редукција)), сведување(редукција)), што води кон кинематички винт, разгледан разгледан погоре во текстот. r r r r r r r v A
n
m
1
1
n
m
1
1
= ∑ vi + ∑ v j = ∑ vi + ∑ m(ω j − ω j'' ).
Аголната брзина
не зависи од изборот на полот и таа е прва r r r (векторска) инваријанта: ω = ∑ ω = J . ω*
n
*
i
1
1
110
Брзината на на транслаторното движење зависи од изборот изборот на полот, полот, но постои скаларна големина, сврзана со транслаторната брзина, инваријантна кон изборот изборот на полот. Ја запишуваме теоремата за сложување на брзините , сврзувајќи ја линеарната линеарната (транслаторна) (транслаторна) брзина, пресметана за различни точки на сведување: r r r r v M = v A + × r . Ги множиме двете страниод скаларната равенка r r r r r r r скаларно со векторот на аголната брзина : v M ⋅ω =v A ⋅ω +(ω ×r )⋅ω . Втората компонента во првиот дел рамна на нула,така да брзината од ротацијата ќе биде нормална на на векторот на аголната брзина.Понатаму скаларниот производ производ на векторот на транслаторната транслаторната брзина се пресметува за различни точки точки на сведување, сведување, и векторот на на аголната брзина рамен е на: r
r
r
r
v M ⋅ ω = v A ⋅ ω = J 2
-
вторa (скалaрнa) инвариантa.
r
r
vвр ⋅ ω = 0
Со преуредување на скаларниот производ добиваме: r r r r v M ⋅ ω ⋅ cos(v M , ω ) = v A ⋅ ω ⋅ cos(v A , ω ), r
r
r
r
v M cos(v M , ω ) = v A cos(v A , ω ) = v*
- минимална транслаторна брзина .
111
И така , аголните брзини во кинематиката се составуваат како сили во статиката (тие вектори се појавуваат како лизга~ки вектори). Транслаторните брзини во кинематиката се составуваат исто, како спрегови во статиката (тие вектори се слободни вектори).
Сите на~ини за преобразување на сили и спрегови во статиката се подобни и за преобразување на брзните на цврсто тело во кинематиката.
И во статиката, статиката, и во кинематиката при сведување на систем во општ случај се добива завојно движење (динама), и соодветно кинематички винт. Како во статиката, така и во кинематиката постојат соодветни инваријантни големини.(главен минимален момент и минимална транслаторна брзина).
112