Uvod
Kinematika
kinematika (grč. kinema = pokret, gibanje)
- proučava geometriju gibanja ne tražeći uzroke koji su doveli do gibanja
gibanje – vremenska promjena položaja tijela u prostoru
temeljni zadatak kinematike je određivanje osnovnih kinematičkih veličina: • puta s(t) • brzine v(t) • ubrzanja a(t) kao funkcija vremena za svaku točku tijela. kinematika materijalne točke kinematika krutog tijela - sve točke tijela opisuju isto gibanje - dimenzije tijela nisu bitne pri analizi gibanja 1
Uvod
položaj tijela: određen koordinatama u odabranom koordinatnom sustavu (tijelo ne može imati istodobno dva položaja),
putanja, trajektorija, trag kretanja tijela: skup svih točaka kroz koje prolazi tijelo, svakoj točki putanje odgovara drugo vrijeme,
pomak tijela: razlika konačnog i početnog položaja tijela u određenom vremenskom intervalu, vektorska veličina,
prijeđeni put: duljina puta (putanje) koje tijelo pređe u određenom vremenskom razdoblju, skalarna, pozitivna veličina, monotono rastuća funkcija. 2
Uvod
Jednadžba gibanja, zakon gibanja, zakon puta – funkcija ovisnosti koordinata točaka tijela o vremenu.
Načini zadavanja jednadžbe gibanja:
vektorski: vektorom položaja,
parametarski: sustavom skalarnih jednadžbi,
prirodni: prirodnim koordinatnim sustavom.
3
Kinematika materijalne točke
Zadavanje gibanja vektorom položaja
r (t ) rx ry rz m r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k
m
4
Kinematika materijalne točke
Parametarsko zadavanje gibanja
- sustav skalarnih jednadžbi u odabranom koordinatnom sustavu: - Kartezijev koordinatni sustav: x(t ) m y (t ) m z (t ) m
- cilindrični koordinatni sustav: (t ) (t )
rad , m, m
x(t ) cos y (t ) sin
z (t ) za z (t ) 0 prelazimo u polarni k.s.
- sferni koordinatni sustav: r (t ) (t ) (t )
m , rad , rad ,
x(t ) r cos cos y (t ) r cos sin z (t ) r sin 5
Izvor: [3]
6
Kinematika materijalne točke
Prirodno zadavanje gibanja - svakoj točki putanje pripadaju tri međusobno okomita pravca: • tangenta, • glavna normala i • binormala koji tvore prirodni koordinatni sustav, - pravac tangente i glavne normale tvore oskulatornu ravninu koja sadrži: • vektor brzine, • vektor ubrzanja i • središte zakrivljenosti. 7
kinematika materijalne točke
srednja(e) brzina: r m / s - vektorska srednja brzina vsr t s m / s - skalarna srednja brzina vsr t u općem slučaju: vsr vsr trenutna brzina:
r dr v lim t 0 t dt drx dry drz v dt dt dt v vx v y vz
m / s
s ds t 0 t dt
m / s
v lim
m / s m / s
v v x2 v y2 v z2 v
8
kinematika materijalne točke
srednje ubrzanje: v asr m / s2 t
trenutno ubrzanje: v dv a lim m / s2 t 0 t dt
9
kinematika materijalne točke
Kinematički dijagrami – grafički prikaz vremenske promjene: • puta s(t), • brzine v(t) i • ubrzanja a(t). Za zadani dijagram puta s-t dijagrami brzine v-t i ubrzanja a-t vezani su prvom i drugom derivacijom.
10
kinematika materijalne točke
Zadavanje gibanja v-t ili a-t dijagramima
t1
s vdt
zadano : v(t)
m / s
s vdt C
m
0
- za određivanje konstante C moramo poznavati put u određenom trenutku, najčešće je to t=0 (početni uvjet).
dv a dt
m / s 2
11
kinematika materijalne točke
putanja: (općenito) bilo kakva prostorna krivulja
prema obliku putanje razlikujemo četiri osnovna gibanja: pravocrtno krivocrtno prostorno ravninsko
12
kinematika materijalne točke
Određivanje putanje (trajektorije) gibanja
Za parametarski zadana gibanja:
x 3 2 sin t m
x 10 cos 3 t m
x 2 cos 2 t m
x t 3 m
y 1 2 cos t m
y 2 sin 2 t m
y 10 sin 3 t m
y t 2 m
odredite jednadžbe putanja.
13
kinematika materijalne točke
Pravocrtno gibanje
putanja: pravac os koordinatnog sustava postavljamo duž putanje gibanja, ishodište na početak trajektorije vektori brzine i ubrzanja poklapaju se s pravcem gibanja – nije potreban vektorski zapis (pristup)
Izvor: [3]
14
kinematika materijalne točke
Zadatci: 1.Materijalna točka giba se pravocrtno prema zakonu gibanja s(t)= t3-3t2+2 [m]. Odredite srednje brzine za prve četiri sekunde gibanja i vrijednost ubrzanja u četvrtoj sekundi.
2. Materijalna točka giba se pravocrtno brzinom v(t)= 0,9t2-0,63t [m/s]. Odredite zakone gibanja i ubrzanja te položaj točke u trenutku t=3 s, ako je početni položaj točke s0=0.
15
kinematika materijalne točke
Posebni slučajevi gibanja po pravcu:
jednoliko gibanje po pravcu,
jednoliko ubrzano gibanje po pravcu,
jednoliko usporeno gibanje po pravcu,
harmonijsko gibanje.
16
kinematika materijalne točke
Jednoliko gibanje po pravcu
a0
m / s 2
v adt C1 t 0 , v v0 v C1 v0
m / s
s vdt C2 s v0 dt C2 v0t C2 t 0 , s s0 s0 v0 0 C2 C2 s0 s v0t s0
m
17
kinematika materijalne točke
Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu a 0 konst.
m / s 2
v adt C1 at C1 t 0 , v v0 v0 a 0 C1 C1 v0 v at v0
m / s
s vdt C2 at v0 dt C2 1 2 s v0t at C2 2 t 0 , s s0 1 s0 v0 0 a 0 2 C2 C2 s0 2 1 2 s v0t at s0 m 18 2
kinematika materijalne točke
Jednoliko usporeno gibanje po pravcu a 0 konst.
m / s 2
v adt C1 at C1 t 0 , v v0 v0 a 0 C1 C1 v0 v at v0
m / s
s vdt C2 at v0 dt C2 1 s v0t at 2 C2 2 t 0 , s s0 1 s0 v0 0 a 0 2 C2 C2 s0 2 1 2 s v0t at s0 m 19 2
kinematika materijalne točke
3. Izračunajte brzinu kojom treba vertikalno baciti tijelo s visine od 40 [m]
da bi palo: a) jednu sekundu ranije, b) jednu sekundu kasnije u odnosu na slobodni pad.
4. Automobil koji se kreće konstantnom brzinom 40 [km/h] počinje kočiti. Nakon 4,6 [s] pređe put jednak dvostrukom putu prevaljenom u prvih 1,5 [s] kočenja. Koliko iznosi usporenje?
20
kinematika materijalne točke
Harmonijsko gibanje
Primjer: jednostavno harmonijsko gibanje
Elementi modela:
k [N/m]
Idealizacija modela: zanemarujemo otpore gibanju
Zakon gibanja: harmonijska funkcija:
m [kg]
x(t) [m]
elastična opruga krutosti k tijelo mase m
x(t ) R sin t m R, i - konstante
Putanja gibanja - pravac 21
kinematika materijalne točke
1 x(t ) 5 sin t 6 2
m,
5 1 v(t ) cos t 2 6 2
m / s,
5 1 a(t ) sin t 4 2 6
m / s 2
22
kinematika materijalne točke
Jednostavno harmonijsko gibanje: fizikalno pojašnjenje
k smjer motanja papira
ω=konst m
x(t) Izvor: [8]
23
kinematika materijalne točke
Krivocrtno gibanje materijalne točke u ravnini
vektori položaja, brzine i ubrzanja nisu kolinearni
Analiza gibanja u prirodnom koordinatnom sustavu: - vektor brzine:
ds dt v v iT v
m / s m / s
24
kinematika materijalne točke
Analiza gibanja u prirodnom koordinatnom sustavu: vektor ubrzanja
d v d v iT dv diT a iT v dt dt dt dt diT d iT iN d iN d
ds
dv 1 ds dv v2 a iT v iN iT iN aT iT aN iN dt dt dt
↙
mijenja iznos brzine
↘
m / s 2
mijenja smjer brzine 25
kinematika materijalne točke
Gibanje po kružnici
r konst.
st r t ds d v r r dt dt
↓ obodna brzina (m/s)
↓ kutna brzina (rad/s)
v2 aN r 2 r dv d aT r r dt dt ↓
a aN aT
kutno ubrzanje (rad/s2)
26
kinematika materijalne točke
Vektorski smisao kutne brzine i kutnog ubrzanja:
v r a r r
27
kinematika materijalne točke
Posebni slučajevi gibanja po kružnici: jednoliko gibanje po kružnici, jednoliko ubrzano gibanje po kružnici, jednoliko usporeno gibanje po kružnici.
Jednoliko gibanje po kružnici:
konst. 0 v r konst. aT r 0
2 a aN v aN konst. r 28
kinematika materijalne točke
Jednoliko ubrzano gibanje po kružnici:
konst. i > 0 v r konst. tangencijalno ubrzanje je u smjeru brzine, aT r konst. > 0 vrijednost brzine se povećava v2 aN konst. r Jednoliko usporeno gibanje po kružnici:
konst. i < 0 v r konst. tangencijalno ubrzanje je u suprotnom smjeru od aT r konst. < 0 brzine, vrijednost brzine se smanjuje v2 aN konst. 29 r
kinematika materijalne točke
Formalna analogija pravocrtnog i kružnog gibanja: -jednoliko ubrzano:
v v0 aT t
0 + t
1 s=s 0 +v0t aT t 2 2
=0 +0t t 2
1 2
-jednoliko usporeno:
v v0 aT t
0 t
1 s=s 0 +v0t aT t 2 2
=0 +0t t 2
1 2
30
kinematika materijalne točke
5. Materijalna točka giba se po putanji prikazanoj na slici ubrzanjem a=0,2t m/s2. Odredite iznos ubrzanja u točki B. Izvor: [3]
6. Materijalna točka giba se po kružnici radijusa 90 m. Intenzitet brzine m.t. raste od nule konstantnim ubrzanjem od 2,1 m/s2. Odredite vrijeme potrebno da točka postigne ukupnu akceleraciju od 2,4 m/s2 i brzinu u tom trenutku. Izvor: [3]
31
kinematika materijalne točke
7. Materijalna točka giba se po kružnici radijusa 20 m prema slici. Ako je za prelazak iz položaja A u B točki potrebna jedna sekunda, a iz položaja A u C tri sekunde, izračunajte prosječnu brzinu točke pri pomaku iz položaja B u C. Izvor: [3]
32
kinematika materijalne točke
Kosi hitac: sastavljeno gibanje - zadano: v0 v0 , , otpor zraka zanemarujemo
- jednoliko gibanje po pravcu (os x):
vx v0 cos v0, x konst. x(t ) v0 cos t - jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y): v y (t ) v0 sin g t y (t ) v0 sin t
1 g t2 2 33
kinematika materijalne točke
- jednadžba putanje:
x x(t ) v0 cos t t 2 x 1 x v0 cos y v sin g 0 v0 cos 2 v0 cos 1 2 y (t ) v0 sin t g t 2 1 1 y x tg x 2 g 2 v0 cos 2
m
- parabola (ravninsko krivocrtno gibanje)
34
kinematika materijalne točke
- domet hica:
1 1 y x tg x 2 g 2 v0 cos 2 1 1 0 D tg D g 2 v0 cos 2 2
2 2 tg 2 v cos 1 1 0 D tg D 2 g D 2 v0 cos 2 g
v02 2 sin cos v02 sin 2 D g g
m
- trajanje hica:
x(t ) v0 cos t D v0 cos T v02 sin 2 v0 2 sin D v0 cos T T g g
s 35
kinematika materijalne točke
- maksimalna visina hica:
1 1 y x tg x 2 g 2 v0 cos 2 dy 1 tg x g 0 2 dx v0 cos v02 cos 2 v02 sin 2 D x tg g 2g 2 v02 sin 2 D 1 D 1 H tg g 2 2 2g 2 2 v0 cos 2
m
36
kinematika materijalne točke
Što ako zadržimo isti intenzitet početne brzine ali promijenimo kut prema horizontali na β=90-α? 37
kinematika materijalne točke
8. Lovac nišani majmuna na visini h i udaljenosti d. Da li će zrno pogoditi majmuna ako u trenutku okidanja majmun ispusti granu?
Odgovor: na žalost da. 38
kinematika materijalne točke
- odredimo jednadžbe gibanja zrna i majmuna, - ishodište koordinatnog sustava stavljamo na položaj topa: majmun – slobodni pad xm (t ) d
zrno - kosi hitac xz (t ) v0 cos t
1 g t2 2 - mjesto i vrijeme susreta:
y z (t ) v0 sin t
ym (t ) h
x z (t ) v0 cos T v0 cos T d xm (t ) d 1 1 d 2 ym (T ) h g T h g 2 2 v0 cos
1 g t2 2
d T v0 cos
2
1 d 1 d 2 y z (T ) v0 sin T g T v0 sin g 2 v0 cos 2 v0 cos
2
2
1 d ym (T ) h g 2 v0 cos
39
kinematika materijalne točke
9. Igrač baca loptu početnom brzinom od 15 m/s pod kutem α prema zidu koji se nalazi na udaljenosti od 18 metara. Odredite vrijednost kuta α ako je strop dvorane na visini od 6 m. Na kojoj će visini lopta udariti zid? Izvor: [3]
α
40
kinematika materijalne točke
Horizontalni hitac:
v0 0 - jednoliko gibanje po pravcu (os x):
vx v0 cos 0 v0 konst. x(t ) v0 t - jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y): v y (t ) g t
1 y (t ) g t 2 2
- putanja:
y
g 2 x 2 2v0 41
kinematika materijalne točke
10. Kamen je bačen početnom brzinom od 3 m/s s visine od 30 m u horizontalnom smjeru prema slici. Odredite brzinu na mjestu pada i udaljenost d. Izvor: [3]
42
kinematika materijalne točke
Vertikalni hitac: v0 90 - jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y):
v y (t ) v0 g t 1 y (t ) v0 t g t 2 2 - visina:
v y (t ) v0 g t 0 t
v0 g
2
2 v0 1 v0 v0 H v0 g g 2 g 2g
- trajanje do pada:
1 0 v0 T g T 2 2
2v0 T g 43
kinematika materijalne točke
Složeno gibanje materijalne točke Gibanje materijalne točke u sustavu koji se i sam giba. Razlikujemo: apsolutno gibanje - gibanja m.t. u odnosu na nepomični sustav, prijenosno gibanje - gibanje pomičnog sustava u odnosu na nepomični, relativno gibanje - gibanja m.t. u odnosu na pomični sustav. •
Brzina materijalne točke u odnosu na nepomični sustav:
apsolutna brzina: •
va vr v p
Ubrzanje materijalne točke u odnosu na nepomični sustav:
apsolutno ubrzanje:
a ar a p ac
komponenta ubrzanja koja se javlja kada prijenosno gibanje sadrži rotaciju (Coriolisovo ubrzanje)
44
kinematika materijalne točke
11. Materijalna točka giba se u cijevi konstantnom brzinom u odnosu na cijev vr=5 [m/s]. Istovremeno cijev se rotira jednoliko ubrzano povećavajući broj okretaja u minuti s 150 na 1000 za 0,1 [s]. Odredite vektore apsolutne brzine i ubrzanja na početku gibanja kada se točka nalazila na udaljenosti 0,2 [m] od osi rotacije.
vr 5m / s 150 2 5 s 1 60 1000 2 100 n p , 2 1000 okr / min p , 2 s 1 60 3 p , 2 p ,1 100 15 850 p s 2 t 0,1 3 3
n p ,1 150 okr / min p ,1
Izvor [4] 45
kinematika materijalne točke
- vrijednost apsolutne brzine va na početku gibanja:
vr 5 m / s
v p ,1 p ,1 r 5 0,2 m / s va v r v p va vr2 v 2p ,1 5,905 m / s
46
kinematika materijalne točke
- vrijednost apsolutnog ubrzanja na početku gibanja:
ar 0 m / s 2 ap aC
a p ,n p2 ,1 r 5 2 0,2 49,348 m / s 2 a p , N a p ,T 850 2 a r 0 , 2 178 , 024 m / s p ,t p 3 2 p vr , aC 2 5 5 157,080 m / s 2
a ar a p aC
a a 2p , N a p ,T aC 338,718 m / s 2 2
47
kinematika krutog tijela
Kinematika
krutog tijela
Dva osnovna gibanja krutog tijela: translacija rotacija oko nepomične osi
Ravninsko (komplanarno, planarno) gibanje translacija + rotacija oko trenutne osi Gibanje oko nepomične točke (sferno gibanje) Opće gibanje slobodnog krutog tijela u prostoru 53
kinematika krutog tijela
Translacija krutog tijela
- gibanje pri kojem spojnica bilo koje dvije točke tijela uvijek ostaje paralelna svom prvobitnom (početnom) položaju, - prema obliku putanje spojnice kroz prostor razlikujemo: pravocrtnu translaciju i krivocrtnu translaciju
49
kinematika krutog tijela
Translacija krutog tijela
↓ sve točke tijela opisuju sukladne putanje i gibaju se međusobno jednakim brzinama i ubrzanjima ↓ potrebno je poznavati kinematiku jedne (bilo koje) točke tijela da opišemo njegovo gibanje ↓ kinematika materijalne točke
d rB rA rB / A / dt vB v A 0 aB a A 50
kinematika krutog tijela
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi
Izvor: [3]
51
kinematika krutog tijela
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi - sve točke tijela opisuju kružne putanje sa središtem na istom pravcu ↓ osi rotacije,
- putanje su koncentrične kružnice ili se nalaze u međusobno paralelnim ravninama, - nije nužno da os rotacije prolazi kroz tijelo.
Izvor: [3]
52
kinematika krutog tijela
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi d rad / s dt d rad / s 2 dt
- za konstantnu vrijednost kutnog ubrzanja: 1 0 0t t 2 rad 2 0 t rad / s
v r aT r aN 2 r
vrijednosti se mijenjaju linearno s udaljenošću od osi vrtnje 53
kinematika krutog tijela
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi
r rp sin v rp r a rp rp a r r Izvor: [3]
54
kinematika krutog tijela
1. primjer: Disk rotira konstantnim kutnim ubrzanjem e=6 [rad/s2]. Početna brzina diska iznosi w0=8 [rad/s]. Odredite iznos brzine i ubrzanja točke B nakon što se disk okrene za dva puna kruga. Izvor: [3]
55
kinematika krutog tijela
2. primjer: Odredite brzinu i ubrzanje tereta B dvije sekunde nakon početka gibanja ako se kutno ubrzanje mijenja prema izrazu:
e=0,6t2+0,75
Izvor: [3]
56
kinematika krutog tijela
3. primjer: Gibanje tereta B počine iz stanja mirovanja i za s0=0, konstantnim kutnim ubrzanjem enajmanje koloture. Odredite brzinu tereta B kada se ono nalazi na visini s=6 m.
e=6 [rad/s2]
Izvor: [3] 57
kinematika krutog tijela
Ravninsko (komplanarno) gibanje
-
sve točke krutog tijela maju putanje jednako udaljene u odnosu na neku nepomičnu (referentnu) ravninu,
-
vektori brzina i ubrzanja svih točaka tijela paralelni su s referentnom ravninom,
-
gibanje se sastoji od translacije i rotacije oko pomične osi,
-
za opis gibanja potrebno je poznavati gibanje samo jednog presjeka tijela koji je paralelan s referentnom ravninom.
58
kinematika krutog tijela
59
kinematika krutog tijela
Vektori brzine i ubrzanja kod ravninskog gibanja
vB v A vB / A vB v A rB / A
vB / A AB
drB drA drB / A ↙ ↘ translacija
rotacija
aB a A aB / A a B a A a B / A, T a B / A, N aB a A rB / A rB / A 60
kinematika krutog tijela
Odnos projekcija brzina kod ravninskog gibanja
vB v A vB / A vB / A
vB vA cos cos
vB cos v A cos 61
kinematika krutog tijela
Određivanje trenutnog pola brzina - trenutni pol brzina
rA / P
Znamo da vrijedi:
vB v A vB / A vB / A rB / A
rB / P
vB cos v A cos
vB / A
vA rB / A cos
vB / A
vB rB / A cos
v A rB / A cos
vB rB / A cos
v A rA / P
vB rB / P
62
kinematika krutog tijela
4. primjer: Štap AB klizi po horizontalnoj i vertikalnoj glatkoj podlozi prema slici. U trenutku kada se štap nalazi se pod kutom od 60° u
odnosu na horizontalu podlogu brzina točke A iznosi vA=5 cm/s . Odredite brzinu točke B.
Izvor: [3]
63
kinematika krutog tijela
Određivanje brzina
vB cos 60 v A cos 30 vB v A
cos 30 8,66 cm / s 2 cos 60
vA vB / A rB / A cos 60 vA 1 s 1 cos 60 rB / A
64
kinematika krutog tijela
5. primjer: Štap AB duljine 5 m klizi po vertikalnoj i kosoj glatkoj podlozi prema slici. U prikazanom trenutku brzina kraja A iznosi vA=6 m/s. Odredite brzinu točke B.
Izvor: [3]
65
kinematika krutog tijela
Kotrljanje bez klizanja
translacija
+
rotacija
brzina translacije i rotacije: v0 r m / s r- radijus diska/kugle 66
kinematika krutog tijela
vC rC / P vD rD / P 67
kinematika krutog tijela
aB a0 aT aN
translacija
+
rotacija
a A aN
komponente ubrzanja: a0 r
aT r aN 2 r 68
kinematika krutog tijela
Što ako se podloga giba? 6. primjer: Odredite brzinu točke B na obodu cilindra koji se kotrlja bez klizanja po pokretnoj traci prema slici. Izvor: [3]
7. primjer: Cilindar radijusa r=0,125 m kotrlja se bez klizanja između dvije paralelne trake kako je prikazano na slici. Odredite brzinu središta cilindra. Izvor: [3]
69
kinematika krutog tijela
Mehanizmi - sustavi sastavljeni od više međusobno vezanih krutih tijela, - gibanje jednog tijela pobuđuje gibanje ostalih članova, - dijelovi mehanizma međusobno vrše relativna gibanja.
8. primjer: Za mehanizam prikazan na slici odredite brzinu točke B.
70
kinematika krutog tijela
9. primjer: Za mehanizam prikazan na slici odredite brzinu točke A. Kružna ploča kotrlja se po podlozi bez klizanja.
71
kinematika krutog tijela
Da li je ovo moguće?
72
Literatura: [1] A.C. Chopra: Dynamics of Structures-Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, 3th edition , 2007. [2] N.Cindro: Fizika 1 mehanika-valovi-toplina, Školska knjiga, Zagreb, 1980. [3] R.C.Hibbeler: Engineering Mechanics, Dynamics, Eleventh edition, Pearson Education, 2007. [4] Inženjerski priručnik IP1 – temelji inženjerskih znanja, Školska knjiga, Zagreb 1996. [5] S. Jecić: Kinematika krutih tijela, Udžbenici Sveučilišta u Zgb-u, Fakultet strojarstva i brodogradnje, 2002. [6] A. Kiričenko: Tehnička mehanika, II dio, Kinematika, PBI d.o.o., Zagreb , 1997. [7] A. Kiričenko: Tehnička mehanika, III dio, Dinamika, PBI d.o.o., Zagreb , 1998. [8] C.Kittel, W.D.Knight, M.A.Ruderman: Mehanika – udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeleyu, prvi svezak, drugo izdanje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1982.
73