Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
Ba b III III
KECEPA TA N RELA TIF DA N PERCEPA TA N RELA TIF
3.1
KECE KECEPAT PATA N RELAT LATIF
3.1. 3.1.1 1
Kec epa tan relatif relatif dua b uah titi titik k pa da satu peng hubung ka ku Peng hubung be rputar terhad terhad ap satu titik titik tetap
Perhatikan sebuah penghubung kaku yang berputar terhadap satu titik teta p O. Sep Sep erti erti ditunj ditunjuk ukkan kan d alam ga mb ar 3.1 3.1 VB y
y
?
y
V B
B
VB x ?
B R
R
?
? x
O
x
O
Gam ba r 3.1. 3.1. Kec epa tan seb uah titik titik yang b ergerak terhada p satu titik tetap
Jarak antara O dan B adalah R dan garis O-B membuat suatu sudut sebesar θ terha terha da p sumb sumb u x .
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
21
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
Perpinda ha n titik titik B d a la m a ra h sumb sumb u x = R c os θ da n pe rpindaha n titi titik kB d a lam a rah sum sum b u y = R sin θ Did Did eferensi eferensial terha terha d ap wa ktu d eng a n harga R konstan konstan d ipe roleh : dx dt
dy dt
=
=
d ( R cosθ ) dt
d ( R cosθ ) dt
=
R( − sin θ )
=
( R cosθ )
d θ dt
d θ dt dx
Kec ep ata n titi titik k B da lam arah x ad alah =
dt
Kece pa tan titik titik B da lam arah y ad alah V B y =
Kec ep ata n sudut sudut ga ris O-B a d a lah :
ω
=
dy dt
d θ dt
sin θ Maka kec ep ata n pa da titi titik k B : 1. Dalam Dalam arah x ad alah VB x = -R sin 2. Dalam Dalam a rah y ada lah VB y = R
cos cosθ
Kec ep ata n tota l titi titik k B diperoleh diperoleh d enga n me njuml njumlahkan ahkan sec sec ara vec tor ked ua komp onen kec ep ata n teg ak lur lurus. us.
sin θ VB = R sin VB = [(R
cosθ R cos
sin θ ) 2 + ( R cos cosθ ) 2] 1/ 2
= Rω (sin 2 θ + c o s2 θ ) = Rω
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
22
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
Dari gambar diatas ditunjukkan bahwa kecepatan titik B tegak lurus terhad terhad ap ga ris O -B. -B.
3.1.2 Hubungan k ec epa tan dua buah titi titik k pa da satu penghubung kaku Persamaan kecepatan relatif untuk dua buah titik pada satu penghubung kaku da pa t diperol diperoleh eh d engan mengem ba ngkan ngkan p rosedur osedur a na lis lisa d iata s.
R? cos cos ? y
y
y
R?
y
B
R? sin? sin?
R
B R sin ?
?
B
V Ax
?
?
YA
VA
?
?
A
A x
O XA
R cos ?
O
x
O
x
Gam bar 3.2. 3.2. Hubungan kecep atan d ua bua h titi titik k pa da satu p enghubung kaku
Perha tika tika n
seb ua h
g a ris A-B, -B, sep erti terliha terliha t p a d a ga mb a r 3.3 3.3 ya ng
me mp unyai g erak kom b ina si tra tra nsl nsla si da n rota si. Koo rd ina t titik titik A a d a la h (XA,YA), p a nja ng A-B se b e sa r R d a n sud sud ut ya ng d ibe ntu k ga ris ris A-B d a n sumbu x ada lah
θ
. Sehing ga koo rd inat titik titik B a d a lah :
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
23
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
XB = XA + R c os θ YB = YA + R sin θ Did Did eferensi eferensia lkan terhad a p wa ktu t, d an R ad a la h b esa esa ran Konsta onsta nta dx B dt dy B dt
dx B
Dengan
dt
x
Maka
V B
y
V B
=
=
=
dX A
−
dt dY A dt
R cos θ
+
dx A
x
V B ,
x
=
V A
=
V A
y
R sin θ
dt
=
d θ dt d θ dt
x
V A ,
−
sin θ Rω sin
+
Rω cos θ
dy B dt
=
y
V B ,
dy A dt
=
y
V A , d a n
ω
=
d θ dt
Posis osisii da ri vec tor-vektor tor-vektor kec kec ep ata n ini d itunjukk tunjukkan an pa d a ga mb ar 3.3 3.3. Dengan
menjumlahkan
kedua
persamaan
diatas
akan
diperoleh
kece p ata n tota l da ri titi titik k B. B. X
y
VB = (V a X
(R sin θ
cosθ ) R cos
y
Harga (V a Harga (R
Va )
V a ) ad alah kec kec ep ata n tota tota l titi titik k A , VA d a n
sin sin θ
cosθ ) = Rω , ma ka p ers R cos ersam aa n diatas da pa t
d itulis ituliskan kan me njad i : VB = V A
Rω
Dengan Rω ad a lah vec tor kec kec ep a tan yang teg a k lur lurus us ke ga ris A-B da n da lam arah yang sama sama deng an kecep atan sudutnya. udutnya. Kec ep a tan relatif titi titik k B terhad a p titi titik k A ad alah VBA = R
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
.
24
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
Sehingg a untuk d ua bua h titik titik pad a satu satu p enghub ung kaku, da pa t dipa kai salah salah satu satu d ari dua pe rsam aa n d iba wa h ini ini : VB = V A
Rω
VB = V A
VBA
3.2 3. 2
PERC EPAT PATA N RELAT LATIF
3.2. 3.2.1 1
Percep atan sebua sebua h titi titik k pad a sebua sebua h pe nghubung yang berputar
terhada terhada p satu pusat pusat tetap d enga n jari jari -ja ri konstan. konstan.
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
25
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
26
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
y
R a sin ? B
a
Ra
?
R
R a cos ? x
O (e)
Gambar 3.3. Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar terhadap satu pusat tetap.
Peng hub ung (Link (Link)) O 2 – B (Ga mb a r 3.3 3.3 a) be rp uta r terhad a p sa sa tu pusa pusa t tetap O 2, de nga n kec kec ep atan sudut sudut ω rad ian p er detik, detik, k kea ea rah m elawa n puta ran jam (CCW), da n pe rc ep ata n sudutnya sudutnya α . Ja Ja rak O 2 – B sa m a d eng a n R. R. link link O 2 – B me mb entu k sud sud ut θ de nga n sumb sumb u x. x. Dii Diinginkan pe rc ep at an to ta l yang d iterima terima titik titik B. B. Kec ep a ta n titik titik B: B: 1. Dalam arah x ad alah VB x = -R sin θ 2. Dalam Dalam a rah y ada lah VB y = R
cos cosθ
Ked ua pe rsam aa n d iata s d ide ferens ferensiialkan alkan terhad terhad ap wa ktu t, da n R ad a lah konsta konsta nta d ihasi hasilkan : x
dV B dt
R[ω (cos θ )
= −
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
d θ dt
+
(sin θ )
d ω dt
]
27
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no y
dV B dt
=
sin θ ) R[ω (− sin
d θ dt
+
(cos θ )
d ω dt
] x
Perce p a ta n titik titik B d a lam a ra h sumb sumb u x :
dV b
dt
x
=
A B
=
A B
y
Percep ata n titi titik B d alam a rah sumb u y :
Perce p ata n sud sud ut : α
=
dV b
dt
yx
d ω dt
Sehingga p ersa ersa ma a n d iata s me nja nja di : 2 x A B = − Rω cosθ
y
2
A B = − Rω sin sin θ
−
+
sin θ Rα sin
Rα cos θ
Ga mb a r 6 6.1 .1b b me mp erli erliha tkan ve c tor-vektor tor-vektor da la m po sisinya ma singma sing, sehingg a p erce p a ta n tota l titik titik B a d a la h : AB =
( Rω 2 cos θ
Rω 2 sin θ )
sin θ ( Rα sin
Rα cos cosθ )
Kedua komponen tegak lurus dalam tanda kurung pertama, yang ditunjukk ditunjukkan an da la m g am ba r 3.3c 3.3c me mb erikan erikan seb seb uah resultan esultan R? R? 2, y ya a ng me mp unyai arah d a ri titi titik k B ke pusa pusa t pe rputa ra n pe ng hubung (link (link). ). Dua komponen kedua tegak lurus dalam tanda kurung kedua, yang ditunjukkan dalam gambar 3.3d memberikan sebuah resultan Ra, yang me mp unya i arah teg a k lurus lurus ke g a ris B-O2 . Gam b ar 3.3e 3.3e me nunjukk nunjukkan an peng aruh aruh p emb alik alikan a rah percep ata n sudutny sudutnya. a. Sehingg ehingg a pe rce pa tan tota l tititik tik B da pa t dinyata dinyata kan de nga n pe rsam aa n : AB = Rω 2
Rα
Dengan : R ω 2 disebut disebut kompo nen percep ata n norma norma l ata u rad rad ial Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
28
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
Rα diseb diseb ut komp komp onen p erc erc ep ata n tange nsi nsial
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
29
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
3.2. 3.2.2 2
Percep atan relatif relatif dua b uah titi titik k pad a satu satu penghubung ka ku Seb uah ga ri A-B A-B sep erti erti pa da ga mb ar , ad alah b ag ian d ari
pe nghub ung kaku kaku yang bergerak da lam suatu suatu bida bida ng deng an gerak sebarang, lokasi titik B :
y
? R
A
a
B
?
YA
O
x
(a)
XA
XB = XA + R c o s θ YB = YA + R sin θ x
Kec ep a ta n titik titik B :
V B
y
V B
x
=
V A
=
V A
y
−
sin θ Rω sin
+
Rω cosθ
Persam ersam aa n kece pa tan titik titik B dide ferens ferensiialka alka n terhada p wa ktu t deng an x
ha rg a R konsta konsta n d ip eroleh : y
dV B dt
dV B dt
y
=
dV A dt
+
sin θ ) R[ω ( − sin
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
x
=
dV A
d θ dt
dt
+
−
R[ω (cos θ )
(cos θ )
d ω dt
d θ dt
+
(sin θ )
d ω dt
]
]
30
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no x
Perce p a ta n titik titik B d a lam a ra h sumb sumb u x :
dV b
dt
x
=
A B
=
A B
=
A A
=
A A
y
Percep ata n titi titik B d alam a rah sumb u y :
dV b
dt
yx
x
Perce p a ta n titik titik A d a lam a ra h sumb sumb u x :
Percep ata n titi titik k A da lam arah sumb sumb u y :
Kec ep ata n sudut: sudut:
ω
=
Percep ata n sudu sudu t : α
dV bA dt dV A y dt
x
yx
d θ dt =
d ω dt
Ma ka pe rsam a a n diata s d a pa t dituli dituliskan menjad i : x
x
A B = A A
−
2
Rω cos θ
−
sin θ Rα sin
2 y y A B sin θ + Rα cosθ = A A − Rω sin
Percepatan total titik B, AB diperoleh diperoleh deng an menjuml menjumlahkan ahkan komp onen te g a k lurus lurus::
x
y
AB = A B
A B
Dengan me njuml njumlahkan ahkan vec tor sep erti erti yang a da diga mb ar denga n uruta uruta n seb seb a ga i berikut berikut : x
AB = ( A A
y
A A )
2 ( Rω cos θ
Rω 2 sin sin θ )
sin θ ( Rα sin
Rα cos θ )
Suku uku da lam kurung urung p ertam ertam a ad alah p erc erc ep ata n tota l ti titik tik A Suku uku da lam kurung kurung kedua a d alah sam sam ad eng a n Rω 2 yaitu vector yang arahnya d ari B ke A. Suku uku d alam kur kurung ketiga a d alah sa sa ma d eng a n Rα
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
31
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
yaitu vec tor de ng a n a ra h teg a k lurus lurus B-A da n arahnya ses sesuai uai deng an arah percep ata n sudutnya. sudutnya. Sehingg ehingg a p erc erc ep ata n titi titik k B da pa t dinyata dinyata kan de nga n : AB = AA
Rω 2
Rα
y
Ra
AA
B a
R
? A
x
(c) (c)
O
Dari persamaan ini percepatan titik B sama dengan percepatan titik A ditamb ah de nga npe rc ep ata n relatif relatif titi titik k B terhad terhad ap titi titik k A. Sehingg ehingg a pe rsa ma a n pe rc ep a tan titik titik B d ap a t dituli dituliskan : AB = AA
A BA
Denga n meng ga nti R = BA BA d an 2
AB = AA
V
BA
BA
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
ω
=
V BA BA
maka d ida pa tkan tkan p ers ersama an :
BA α
32
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
Soal-soal : I.
Kec ep ata n Relatif Relatif
1.
pe nghub ung
A-B A-B
penghubung
telah
ba gian
dari
dianalisa
dan
seb uah
mekanis mekanisme
emp at
telah
didapatkan
bahwa
kece pa tan A ad alah 10 m/ d t sep erti erti ditunjuk ditunjukkan. kan. Juga d iketahui ba hwa kec ep ata n sudut pe nghubung untuk untuk sesaa esaa t pe nga ma tan adalah 60 rat/det kearah putaran jam . jika penghubung A-B pa njang njang nya 10 10 c m be rap a kece pa tan total titi titik k B da n be arnya arnya da n a ra h. Selesa elesa ikan d eng a n me ma kai VA =V A + V BA ; dan selesaikan denga n mema kai V B= V A + VBA.
VA
B 30 0
VB
A
?2
2.
Seb ua h p eng hubung A-B p anjang nya 20 c m. K Kom om p one n-komponen kecepatan titik a dan b seperti ditunjukkan. Berapa besar dan arah kec ep ata n sudut sudut peng hubung ?
6 m/det 3 m/det
1.5 m/det
B 1.5 m/det
A
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
33
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
3.
Kec ep ata n titi titik k a pad a penghung 2 diketa diketa hui be sar da n arahnya. Kecepatan relatif titik B terhadap titik A diketahui besar dan arahnya. Tunjuk unjukkan kan ba ga ima na kec ep ata n ti titi tik k B da n kec kec ep ata n titi titik k C d ap at ditentukan. ditentukan.
VBA VA 2 B
A
C
II.
Perc ep ata n Rela Rela tif
1.
Seb uah pe nghubung yang yang pa njang njang nya 12.5 12.5 c m, be rputa r pa da 400 400 rpm kearah putaran jarum jam, dengan salah satu ujungnya tetap da n 5 de tik tik kemudian be rputa r pa da 180 1800 rpm , de nga n pe rcep atan sudut konstan. Berapa percepatan titik tengah penghubung pada saa t peng hubung b erputa erputa r pa da 1400 1400 rpm ?
2.
Ap a bila bila
pe rc ep a tan
titi titik k A sep erti yang
d itunjukk tunjukkan, an, b erap a
kecepatan sudut dan percepatan sudutpenghubung untuk posisi yang ditunj ditunjuk ukk kan ? Kema Kema na a rah p erc erc ep ata n sudutnya sudutnya ? Dapa tkah tkah arah kece pa tan sudut sudut d iketahui ?
AA=1000 m/det A 30
0
15 cm O2
200
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
34
Diktat
KINEM KINEM A TIKA
Oleh : Ir. Erwin S ulityo - Ir. Endi Sutik no
3.
Jika pe rc ep a tan norma norma l titi titik k B terhad a p ti titi tik k A a da la h 125 125 m/ d et 2 da n pe rc ep ata n tang ensi ensia l titi titik k B terhad ap titi titik k A a d a lah 250 m / d e t2. B Ber erap ap a kec epa tan sudut sudut d an p ercep ata n sudut sudut penghubung ? t
2
A BA=250 m/det
AB = 15 cm
B
A
n
2
A B A=125 m/det
4.
Jika ika pe rc ep a ta n tota l titik-titi titik-titik k A d a n B d iketa iketa hui d a n sep erti ditunjukkan, berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung ? Per Perhati hatik kan d alam d ua c ara ara : hubungan hubungan p erce erce pa tan titik B terhadap titik A, dan hubungan percepatan titik a dan titik B. tentukan juga juga pe rc ep ata n titi titik k C.
AA=200 m/det AB=400 m/det2
60 A
B
C
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
35
