Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
Ba b V
KECEPA TA N DA N PERCEPA TA N PADA DUA TITIK YA NG BERIM PIT KOM PO NEN CORI OLIS DARI PERCEPATAN NO RM A L 5.1
Kec ep atan relatif dua titik titik be rimp rimp it Untuk menentukan besarnya kecepatan suatu titik yang bergerak
terhadap sebuah badan yang juga bergerak, perhatikan titik B yang bergerak bergerak terhada terhada p b ad an M, yang yang p ad a saa saa t bers bersama an b ad an M ters terseb ut b erge erge rak d alam satu b ida ng, sep sep erti erti terl terlihat pa da ga mb ar. Ditetapkan sebuah system sumbu koordinat, X dan Y, dan akan d iguna kan untuk m ene ntukan p osi osisi ab solute suatu suatu titi titik k da lam b ida ng X da n Y. Y. Seb uah sys system tem sumb sumb u yang ked ua, c d an d ditetap kan pa da badan M dan bergerak dalam cara yang sama seperti badan M
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
56
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
be rge ra k. Sudut ? me mb erikan erikan p osi osisi sud sud ut d a ri sumb sumb u c d eng a n s sumb umb u X
Y
M B d
c
?
d c XA
(c sin ? + d cos ?)
?
YB
A (c cos ? - d sin ?)
YA O
X
XB (a) (a)
Pad a ga mb ar diatas menunjuk menunjukk kan ba hwa pe rpinda han X da n Y da ri titi titik k B d a pa t dinyata kan seb seb ag a i b erikut, erikut, dima na A m erupa kan sa sa tu titi titik k teta p pada M : XB = XA + c c o s θ - d sin θ YB = YA + c sin θ + d c o s θ Dideferensialkan persamaan-persamaan di atas dan mengganti ω
=
d θ dt
yaitu yaitu kece pa tan sudut sudut ba da n M, denga n mengangga p ba hwa c da n d ad alah variab variab le -variab variab el
dX B dt
x
= V B =
dX A dt
− cω sin θ +
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
dc dt
cosθ − d ω cosθ
dd
−
dt
sin θ
57
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
dY B dt
Y
= V B =
dc
Dengan
dt
=
dY A dt u c ,
+ cω cos θ +
dd dt
=
u d ,
dc dt
dX A dt
sin θ − d ω sin θ +
= V A
Maka V B x
= V A − ω ( c sin θ + d cos θ ) + u c
Y
= V A + ω ( c cos θ − d sin θ ) + u c
V B
X
dan
x
cos θ
y
sin θ
dt
dt
= V A
cos θ
y
− u d sin θ +
u d cos θ
? (c cos ? - d sin ?)
H
Y
dY A
dd
R? ?
? (c sin ? + d cos ?) G d
?
B
90-?
c
?
R
(c sin ? + d cos ?)
? A
J
(c cos ? - d sin ?)
X
O (b)
Denga n menjumlahkan pe rsam an d ia tas sec ara vektor d an menyed erhana erhana kan sep erti erti diba wa h : (a ). V B = (V BX
V By )
X
V A )
y
(b ). V A = (V ( V A
(c). ω ( c sin θ
+
d cos θ )
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
ω ( c cos θ
− d sin θ )
= ω ( c
2
+ d
)
2 1 / 2
58
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
(d ). (u (u c c os ?
u c sin ?) ?) =
[ ( u c cos θ ) 2 + ( uc sin θ ) 2 ]1 / 2
= uc
(e). (u d c os ?
u d sin ?) =
[ ( u d cosθ ) 2 + ( u d sinθ ) 2 ]1 / 2
= ud
Maka VB = V B Tet a p i V B
R?
uc
ud
R? = VBm yaitu yaitu kec kec ep ata n suatu suatu titi titik k pa da ba da n M yang
berimpit dengan titik B, karena A dan satu titik pada badan M yang berimpit dengan B adalah dua buah titik pada satu penghubung kaku. Juga, u c
ud = u, yaitu yaitu kece pa tan relatif relatif B terhad terhad ap ba da n M. sehi sehingga ngga
pe rsam aa n d iata s da pa t d ituli tuliskan d alam be ntuk : M
V B = V B
u
Seb a g a i kesi kesimp ulan , interpreta interpreta si p ersa ersa ma a n d iata s yaitu b a hwa kecepatan sebuah titik yang bergerak terhadap satu badan yang juga be rgerak, diperole diperole h d enga n me njuml njumlahkan ahkan sec sec ara vec tor kec kec ep ata n titi titik k yang berimpit pada badan gerak dan kecepatan relatif terhadap bad an, dengan menganggap b ad an diam. diam. Pers ersam aa n d ap at dituli dituliskan d alam be ntuk siap pa kai denga n me nyebut titik gerak sebagai B3 titi titik k be rimp it p ad a b ad an M seb seb ag ai B4, sehingga be ntuknya ntuknya me njad njad i : V B3 = VB4
V B3B4
Interpres nterprestas tasii seb seb ena rnya a d alah ba hwa kece pa tan relatif, elatif, V B3B4, diamati dengan menganalisa lintasan gerak titik B3 relatif ke penhubung 4 (penghubung
dimana
titik
B3 be rge rak
), denga n
menga ngga p
peng hubung 4 diam. Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
59
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
5.2
Percepatan dua titik berimpit Untuk me nentukan p erce pa tan relatif relatif dua b uah titik titik yang b erimp erimp it
dimana satu titik bergerak terhadap satu body yang bergerak, seperti pa da pa sa nga n sl slid ing (sl (slid ing pa ir). Maka a nalis nalisa perce pa tan untuk kead aa n terseb terseb ut diata s aka n leb leb ih rumit rumit karena karena p usat usat kec ep a tan relatif relatif untuk pasang pasang an sep erti erti ini ini berad a di ta k terhi terhingg ngg a. Penyelesaian enyelesaian untuk ana lis lisa kinem kinem atika d a ri prob prob lem d iata s ia la h d eng an be rda sarkan arkan ketentuan ketentuan ba hwa hubunga n yang mentrans mentransfer fergerak gerakan an d ari pa sa nga n sep sep erti kead a an diata s be rimp it p ad a sa tu titi titik. k. Kedua titik yang berimpit dari pasangan link tersebut mempunyai kec epa tan d an p erce erce pa tan rel relati atiff satu satu d enga n yang lainny lainnya. a. Dalam analisa ini kita akan mencari persamaan yang menentukan be sarnya p ercep ata n normal relatif relatif antara ked ua titi titik k ters terseb ut.
? ?
VQ S s
Q
VQ S s
Q
S
?
zs
z
? M s M
s
Q pada link z S pada link s M pada link z dan link s
(a)
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
(b)
60
S
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
Pa d a g a mb a r (a) diata s link Sbe rge rak d enga n kece pa tan sudut sudut ? S , sed a ng kan titik Q b erge ra k diata s link link S d eng a n jari-ja jari-ja ri linta linta sa n ? d a n p usa usa t linta linta sa n M. Dengan mem isalkan alkan MQ = link link z de nga n p anjang ? yang be rputa r diata diata s link S de nga n M seb seb a ga i pusatnya pusatnya serta kec ep a tan sudutnya sudutnya ? ZS. Pad a g am ba r (b) Arah Arah VQS kea tas ap ab ila ? ZS. Arahnya Arahnya be rlaw ana n arah putaran jaru jarum m jam d an a rahnya a kan keba wa h bila bila ? ZS b erputa r sea ra h puta ran jarum jam jam . Kec ep a tan Q relatif relatif terha terha da p S : VQS = ? ?
ω ZS
= ±
. Atau
ZS
V QS ρ
Ta nd a p ositi ositip p
? ZS berlawanan dengan putaran jarum jam dan
ap ab ila nega tive tive arah ?
ZS
sam a d eng an p utaran jarum jarum jam jam .
Kec ep a tan sudut ab solute d ari link Z a d alah : ?
Z
= ?
S
+ ?
ZS
Dengan meng gunakan p ers ersam aa n ge rak rel relatif atif maka : ( A Q M ) n = ( A Q S )n + ( A SM )n ( A Q S )n = ( A Q M )n + ( A SM )n Kem ud ian d itinjau itinjau titik titik Q d a n titik titik M pa d a link link z. z.
Q
?
zs
?
M
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
61
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
( A Q M ) n = ? ω Z2 = ? (? S + ?
ZS
)2
2 = ? ω S2 + ? ω ZS
±
2 ? ω S ? ω ZS
Denga n me ma sukka ukka n pe rsa ma an d iata s d alam p ersam ersam aa n ini ini d ihasi hasilkan : 2 S
( AQM )n = ? ω + ρ
( A Q M ) n = ? ω S2 +
2 V QS
ρ2
2 V QS
ρ
±
±
2 ? ωS
V QS ρ
2 ω S V QS
Kem ud ian d itinjau itinjau titik S d a n M p a d a link link S.
( A SM )n = ? ω S2
ωS
S ρ
M
Mensubs Mensubsti titus tusiikan pe rsam a an () da n () ked ked a la m p ersam ersam aa n () maka a kan didap atkan : 2 S
( AQM )n = ? ω +
2 V QS
ρ
±
2
2 ω S V QS - ? ω S
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
62
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
( AQM )n =
2 V QS
ρ
2 ω S V QS
±
Persa ma an () me nunjukk nunjukka a n b esarnya esarnya p erce pa ta n norma l titi titik k Q yang b ergerak d iata s link S yang juga b ergerak.
Komp onen percep percep atan
2 V QS
ρ
ad alah p erc erc epa tan normal titi titik k Q,
a pa b ila link S d ia m. Dalam ha l ini b erarti VQS = V q , dan a rah
Seda ngkan ngkan kompo nen p ercep ercep atan
±
2 V QS
ρ
ad alah d ari Q ke M.
2 ω S V Q S disebut komponen
Co rioli iolis d a ri pe rc ep a ta n no rma l titik titik Q relatif terhad a p titik titik S. Tand a p osi ositip tip menunjuj\ kkan kkan ba hwa arah ω ZS
sama de nga n arah arah ω S ,
da n komp komp onen + 2 ω S V QS arahnya d ari M me nuju nuju Q. Seka ra ng a p a b ila ila linta linta sa n titik Q d iata s link link S a d a lah b erpa g a ris lurus lurus,, ma ka d alam hal ini ini harga harga ρ tak terhi terhingg ngg a , sehingg a komp onen
percepatan
2 V QS
ρ
harga harga nya nol.
Ja d i untuk kasus kasus ini p erce p a ta n norma l anta ra titik titik Q relatif relatif terha terha d ap S ad alah : ( A Q S )n =
±
2 ω S V QS
Selan jutnya p erc ep a ta n norma l titik titik Srela tif terha d a p titik Q. ( A SQ )n =
±
2 ω S VSQ
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
63
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
Cara untuk untuk menentukan arah komp onen perce pa tan coriolis coriolis Arah Arah d ari kompo nen p erc erc ep ata n c orioli oriolis s da pa t juga juga kita kita te ntukan ntukan ta npa mem pe rhatikan hatikan tand a p osi ositip tip a tau nega tive tive da ri komp onen pe rc ep ata n tersebut. Ara Ara h da ri 2 ω S V QS ad alah sama sama denga n arah arah VQS yang d iputar 900 menurut arah p utaran ω S .Sed ang kan a ra h 2 ω S VSQ sama denga n arah VSQ yang diputar 90 0 menurut arah p utaran ω S . Selain d eng a n pe do ma n diatas arah komp komp onen pe rc ep ata nco riolis olis da pa t juga juga d itentukan seb seb ag a i be rikut : Ara Ara h p ercep a tan c orioli oriolis s 2 ω S V QS ad alah sam sam a d enga n arah perkali perkalian an c ros da ri kece p ata n sudut sudut link link pe mb a wa ω S da n kec kec ep ata n relati relatiff a nta ra titik titik Q d a n S. S. Jad i sec sec a ra vektor hal terseb terseb ut d iata s d ap at d ituli tuliskan : ( A Q S )coriolis = 2 ω S V QS ( A SQ ) coriolis = 2 ω S V SQ Kom po nen p ercep a tan c orioli oriolis s sep erti yang te la h kita kita ba ha s d ia tas terja terja d i pa da dua titi titik k yang b erimp erimp it da ri dua bua h lilink yang m erupa erupa kan p a sa ng a n sli slid d ing, rolli rolling ng a ta u sli slip p -rolli -rolling ng .
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
64
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
Pa d a ketiga ketiga ga mb a r d ia tas titik titik Q pa d a link link q d an titi titik k Sp a d a link s. s. Pad a ga mb a r ini ini link link q me mp unyai g erakan slid ing, sli slip p -roll -rolliing a ta u roll rolliing p a d a link link s. s. Dala m ha l ini link link s d ikata kan seb seb a ga i link link pe mb a wa CO NTOH NTOH SOA L : Diketahui Diketahui Li Link 2 be rp utar de nga n kece pa tan sudut sudut ? 2 konstan.
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
65
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
Pad a m ekanisme ekanisme d ia tas diketa diketa hui da ta -d a ta seb seb a ga i be rikut ikut : Diagram Kec Kec epa tan Kec ep a ta n titi titik k Q : V Q = (O 2Q ) ω2 VQ d iket iket a hui teg a k lurus lurus O 2Q a ra hnya ses sesua ua i ω2 Tab le diagram kec epa tan No
Besa esa ra n
Harga arga
Ara Ara h
1
VQ = O v - q
2
VSQ = q - s
?
¦ O 4S
3
VS = O v - s
?
- O 4S
4
VP = O v - p
5
- O 2Q
(O 2Q ) ω2
Dipe Dipe roleh deng an (
VR = O v -r
?
V P O4 P
=
V S O4S
)
¦ Lintasa intasa n titik titik R
Dari Dari diagram kec epa tan dida dida pa t : VSQ = q – s ( a ra h ke b a wa h) VS
= o –s
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
66
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
?
=
S
V S O4 S
( arahnya arahnya b erl erlaw ana n puta ran jarum jarum jam jam )
Diagram Percep atan Percep a tan titik titik A yang yang b erputar terhad terhad a p satu satu p usat usat te tap sam a dengan AQ =
(O 2Q )ω 2 2
(O2 Q)α 2
Harga O 2A d a n ω2 diketa diketa hui sehingg ehingg a p ercep ata n norma norma l (O 2 Q )ω
2
da pa t dihitung. dihitung. Arah Arah (O 2 Q )ω
2
2
a d alah sep sep anjang ga ris A – O 2
2
da ri A menuju O 2 da n harga harga percep atan normalny normalnya a = (O2 Q)α 2 =0. A Q diga mb arkan arkan d eng an sk skala p ercep ata n yang ses sesuai. uai. Pemb uata n diag diag ram p erc erc ep ata n dap at ditab elkan elkan seb seb ag ai be rikut kut : Tab le diagram p ercepa tan Percep ata n Norma Norma l No 1
Besaran
Harga arga
A Q = o’ – ω 22 (O 2Q )
Percep a tan Tang ensi ensial
Ara h
Vektor Vektor
Harga arga
Arah
Ve ktor ktor
Q – O2
o’ – q 0
0
-
q0 –q’
- O 4S
q ’ - sq
?
¦ O 4S
sq – s’
o’ – s0
?
¦ VS
s0 – s’
q’ 2
A SQ = q‘ -
2ω s xV SQ
s’ 3
A S = o’ –
(kekanan)
ω S2 (O 4S)
S– O 4
s’ 4
A P = o’ –
Dip Dip eroleh eroleh d enga n (
p’ 5
A RP = p‘ -
2
ω 5 (RP)
R- P
p’ - rp
A P O 4 P ?
=
A S O4 S
)
¦ VRP
rp – r’
r’ Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
67
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
6
A R = o’ – 0
-
o’ – r 0
?
¦ VR
r0 – r’
r’
r’
s’
O’
so
’
p
’
q
sq
2?
S
VSQ
?S
2? S VSQ V SQ
Diagram Diagram percep percep atan
SOAL-SOAL : Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
68
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
1 . Suatu m ekanis ekanisme sep erti erti pad a ga mb ar diba wa h d iketahui : O 2 O 3 = 36 c m O 2 B2 = 8 c m O 3 B 3 = 32 c m R
= 48 c m
Penghubung 2 sebagai penggerak berputar dengan kecepatan konsta konsta n ? 2 = 40 40 rad / de t 2. Ten tuka n ?
3
d a n a 3 dengan membuat diagram kecepatan dan
diagram diagram percepa tan lebih lebih d ahulu. ahulu.
2 . Kecep ata n titi titik k A ad alah 12 12 m/d et d enga n pe nghubung 2 berputar pa da suatu kecep ata n sudut sudut konstan konstan d alam a rah m elaw elaw an p utaran utaran jam. Dengan membuat polygon kecepatan dan polygon percepatan tentukan tentukan kec ep ata n sudut sudut pe nghubung 4, 5, 6 da n kec kec ep ata n titi titik kB serta erta p erce erce pa tan titi titik k C pa da
pe nghubung 5 (atau 6) da n
pe rc ep ata n sudut sudut p eng hubung 3, 4, 5 da n 6. 6.
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
69
Dikta t Kinem a tik tik a Oleh : Ir Ir. Erwin Sul ityo - Ir. Endi Sut ikn o.
Program Program Semi Que Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
70