Kebebasan Stokastik

BAB IV KEBEBASAN STOKASTIK 

A. Proses Stokastik Berhingga Pengertian Suatu eksperimen berupa deret berhingga di mana tiap eksperimen mempunyai sejumlah

 berhingga hasil yang mungkin dengan dengan peluang tertentu. Contoh 1: Terdapat 4 buah kotak yang berisi bola merah dan bola biru pada tiap-tiap kotak. Kotak I

 berisi 10 bola, 3 di antaranya berarna merah. Kotak II berisi ! bola, " di antaranya  berarna merah. Kotak III berisi # bola, 1 di antaranya berarna merah. Kotak I$ berisi beris i 10 bola, 4 di antaranya berarna merah. Kita akan mengambil satu kotak se%ara random, dan kemudian dari kotak tersebut diambil satu buah bola biru se%ara random. &erapakah  peluang bola berarna biru terambil' Penyelesaian: (alam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut) 1. *emil *emilih ih 1 dari dari 4 kota kotak  k  ". *engambil *engambil 1 buah buah bola bola yang yang mungkin mungkin berarn berarnaa merah atau biru biru +eluang mengambil 1 kotak dari 4 kotak se%ara random adalah . adi, peluang terambil kotak I  peluang terambil kotak II  peluang terambil kotak III   peluang terambil kotak I$. I$. (ari kotak I yang berisi 10 bola, 3 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola merah adalah 3/10 dan peluang terambil bola biru adalah /10. (ari kotak II yang berisi 3 bola, " di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola merah adalah "/! dan peluang terambil bola biru adalah /!. (ari kotak III yang berisi # bola, 1 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola merah adalah 1/# dan peluang terambil bola biru adalah 4/#. (ari kotak I$ yang berisi 10 bola, 4 di antaranya berarna merah. +eluang terambil bola merah adalah 4/10 dan peluang terambil bola biru adalah /10. Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut)

Diagram el!ang &ola biru Kotak I

&ola

3 1

&ola biru Kotak II &ola &ola biru Kotak III &ola

1 5

&ola biru

1

Kotak I$

&ola 1

+roses dan 2asil dari +erhitungan +eluang &ersyarat) 1

+eluang terambil bola biru dari kotak I adalah

4

+eluang terambil bola biru dari kotak II adalah

 x

7 10

=

40

1  6

6

4

32

 x = 8

1  4

+eluang terambil bola biru dari kotak III adalah

7

4

 x

1

5

=

6

=

4 20

3 16

=

6

1 5 3

+eluang terambil bola biru dari kotak I$ adalah 4  x 10 = 40 = 20 adi, peluang terambil bola biru adalah peluang terambil bola biru dari kotak I  +eluang terambil bola biru dari kotak II  +eluang terambil bola biru dari kotak III  +eluang 7

terambil bola biru dari kotak I$ adalah

40

+

3 16

1

3

5

20

+ +

=

51 80

B. Ke"e"asan Stokastik Diskrit De#inisi: *isalnya dua peubah a%ak diskrit  dan 5 mempunyai nilai 6ungsi peluang gabungan di

( x , y ) , yaitu

 p ( x , y )

serta serta masing masing-ma -masin sing g mempun mempunya yaii nilai nilai 6ungsi 6ungsi peluan peluang g

marginal dari  di 7, yaitu

 p1 ( x )  dan nilai 6ungsi peluang marginal dari 5 di y, yaitu

 p2 ( y ) . Kedua peubah a%ak  dan 5 dikatakan bebas stokastik, jika dan hanya jika)  p ( x , y )= p1 ( x ) . p 2(  y ) 8ntuk semua pasangan nilai

( x , y ) .

(alam praktiknya, soal yang menyangkut kebebasan stokastik dua peubah a%ak diskrit ini ada dua kemungkinan, yaitu sebagai berikut. 1. 9ungsi peluang gabungan dari kedua peubah a%ak diketahui bentuknya. Kita harus menentukan terlebih dahulu 6ungsi peluang marginal dari masing-masing peubah a%aknya. Kemudian kita substitusikan semua pasangan nilai dari kedua peubah a%ak  itu ke dalam persyaratan kebebasan stokastik, dan kita perhatikan hasilnya dengan kriteria sebagai berikut. a. :pabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah a%ak itu dikatakan  bebas stokastik.  b. :pabila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah a%ak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan. ". 9ungsi peluang gabungan dari kedua peubah a%ak tidak diketahui bentuknya. (alam hal ini 6ungsi peluang marginal dari masing-masing peubah a%ak diketahui bentuknya. Kemudian kita substitusikan semua pasangan nilai dari kedua peubah a%ak itu ke dalam persyaratan kebebasan stokastik dan kriterianya sama dengan sebelumnya.

Contoh $:

*isalnya 6ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk)

( )( +

 p ( x , y )=

1

72

 x 2 y ) ; x =0,1,2,3 dan  y =0,1,2,3

:pakah  dan 5 bebas stokastik' Penyelesaian:

Kita harus menentukan dahulu 6ungsi peluang marginal masing-masing dari X  dan Y . 9ungsi peluang marginal dari  adalah) 1 ( x + 2  y ) ∑ ( ) 72 = 3

 p1 ( x ) =

 y 0

¿

( ) { + ( + ) +( + ) +( + )}

¿

( )(

¿

( )

 p1 ( x )=

1

 x  x 2

72 1

72 1

72

 x 4

 x 6

4 x + 12 )

.4 ( x + 3 )

( )( + ) 1

 x 3

18

( ) 1

adi,  p1 ( x )= 18 ( x + 3 ) ; x =0,1,2,3

9ungsi peluang marginal 5 adalah) 1 ∑ ( ) ( x +2 y ) = 72 3

 p2 ( y ) =

 x 0

¿

( ){

2 y + (1 + 2 y ) + ( 2 + 2  y ) +( 3 + 2  y )

¿

( )(

8 y + 6 )

¿

( )

 p2 ( x )=

1

72 1

72 1

72

.2 ( 4  y + 3 )

( )( 1

36

}

4 y + 3 )

( ) 1

adi,  p2 ( y ) = 36 ( 4  y + 3 ) ; y = 0,1,2,3 *isalnya pasangan nilai dari  dan 5 diambil

 p ( x = 0, y =0 ) =

( )( + 1

72

¿

 x 2  y )

( ) ( + ( )) 1

72

0 2 0

( x , y )=( 0,0 ) .  *aka)

¿

( )( ) 1

0

72

¿0  x =0

¿  y =0  p1 ¿ ¿

( )

¿

( ) ( )( )

1

18 1

( )( ( )+ ) 1

36

1

(3) .

18

 1

( 0 +3 ) .

36

4 0

3

3

1

¿ .

6 12

¿

1 72

 x = 0

¿

 y =0 karena  maka  dan 5 dikatakan dua peubah a%ak yang tidak bebas  p ( x = 0, y =0 ) ≠ p1 ¿ stokastik atau bergantungan.

Contoh %:

9ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk)

 p ( x , y )=

1 36

 xy ; x =1,2,3  dan  y =1,2,3

:pakah  dan 5 bebas stokastik' Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu 6ungsi peluang marginal masing-masing dari X  dan Y . 9ungsi peluang marginal dari  adalah) 3

 p1 ( x ) =

∑= ( 361  xy )  y 1

 p1 ( x )=  p1 ( x )=

1 36 1 36

 x ( 1 + 2 + 3 )  x ( 6 )

1

 p1 ( x )=  x 6

1

adi,  p1 ( x )= 6  x ; x = 1,2,3 9ungsi peluang marginal dari 5 adalah) 3

∑= ( 361  xy )

 p2 ( y ) =

 x 1

 p2 ( y ) =  p2 ( y ) =

1 36 1 36

( 1+ 2 + 3 )  y ( 6 )  y

1

 p2 ( y ) =  y 6

1

adi,

 p2 ( y ) =  y ; y =1,2,3 6

1

1

1

*aka  p1 ( x ) . p2 ( y )= 6  x . 6  y = 36  xy Ternyata

 p ( x , y )= p1 ( x ) . p 2(  y ) , karena

1 36

 xy =

1 36

 xy

*aka  dan 5 dikatakan dua peubah a%ak yang bebas stokastik.

C. Ke"e"asan Stokastik Kontin! De#inisi: *isalnya dua peubah a%ak kontinu X dan Y  mempunyai nilai 6ungsi densitas, gabungan di

( x , y ) ,  yaitu ( x , y ) , yaitu f  ( x , y )  serta masing-masing mempunyai nilai 6ungsi densitas marginal dari X  di x, yaitu f 1 ( x )  dan nilai 6ungsi densitas marginal dari Y  di y, yaitu f  2(  y ) . Kedua peubah a%ak  X dan Y   dikatakan bebas stokastik, jika dan hanya  jika)

f  ( x , y ) =f 1 ( x ) f 2 ( y ) (alam praktiknya, soal yang menyangkut kebebasan stokastik dua peubah a%ak kontinu ini ada dua kemungkinan, yaitu sebagai berikut. 1. 9ungsi densitas gabungan dari kedua peubah a%ak diketahui bentuknya. Kita harus menentukan terlebih dahulu 6ungsi densitas marginal dari masing-masing peubah

a%ak. Kemudian kita menggunakan persyaratan kebebasan stokastik, dan kita memperhatikan hasilnya dengan kriteria sebagai berikut. a. :pabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah a%ak itu dikatakan  bebas stokastik.  b. :pabila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah a%ak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan. ". 9ungsi densitas gabungan dari kedua peubah a%ak tidak diketahui bentuknya. (alam hal ini 6ungsi densitas marginal dari masing-masing peubah a%ak diketahui bentuknya. Kemudian kita menggunakan persyaratan kebebasan stokastik dan kriterianya sama dengan sebelumnya. Contoh &: *isalnya 6ungsi peluang gabungan dari X dan Y  berbentuk) f  ( x , y ) =4 xy ; 0 < x < 1,0 < y < 1

¿ 0 ; x , y lainnya. :pakah X  dan Y  bebas stokastik' Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu 6ungsi densitas marginal masing-masing dari X  dan Y . 9ungsi densitas marginal dari X  adalah) ∞

g ( x ) =

∫ f  ( x , y ) dy

−∞ 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ 0 dy +∫ ( 4 xy ) dy +∫ 0 dy ¿ 0 + { 2 y 2 x }] y =0 + 0 1

g ( x ) =2 x adi,

g ( x ) =2 x ; 0 < x < 1

¿ 0 ; x  lainnya. 9ungsi densitas marginal dari Y  adalah) ∞

h ( y ) =

∫ f  ( x , y ) dx −∞ 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) dx 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ 0 dx +∫( 4 xy ) dx +∫ 0 dx

¿ 0 + {2 x2  y } ] x =0+ 0 1

h ( y ) =2  y adi,

h ( y )= 2 y ; 0 < y < 1

¿ 0 ; y  lainnya. *aka g ( x ) . h ( y ) =2 x .2  y = 4 xy Ternyata f  ( x , y ) = g ( x ) . h ( y ) , karena

4 xy =4 xy

Sehingga X  dan Y  merupakan peubah a%ak yang bebas stokastik. Contoh ': *isalnya 6ungsi peluang gabungan dari X dan Y  berbentuk) f  ( x , y ) = x + y ; 0 < x < 1,0 < y < 1

¿ 0 ; x , y lainnya. :pakah X  dan Y  bebas stokastik' Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu 6ungsi densitas marginal masing-masing dari X  dan Y . 9ungsi densitas marginal dari X  adalah) ∞

g ( x ) =

∫ f  ( x , y ) dy

−∞ 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ 0 dy +∫ ( x +  y ) dy +∫ 0 dy

{ ( ) }]

1

¿ 0 +  xy + g ( x ) = x +

1 2

 y

2

+0

 y = 0

1 2 1

adi,

g ( x ) = x + ; 0 < x < 1 2

¿ 0 ; x  lainnya.

9ungsi densitas marginal dari Y  adalah) ∞

h ( y ) =

∫ f  ( x , y ) dx −∞ 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) dx

0

1

∞

−∞

0

1

¿ 0+

{( ) }]

¿ ∫ 0 dx +∫( x + y ) dx +∫ 0 dx 1

1 2

2

 x + xy

+0

 x = 0

1

h ( y ) = + y 2

1

h ( y )= + y ; 0 < y < 1

adi,

2

¿ 0 ; y  lainnya. *aka

( )( + )

g ( x ) . h ( y ) =  x +

1

1

2

2

 y

 x

 y

1

2

2

4

¿ + xy + + Ternyata

 x  y 1 f  ( x , y ) ≠ g ( x ) . h ( y ) , karena  x +  y ≠ + xy + + 2 2 4

Sehingga X  dan Y  merupakan peubah a%ak yang tidak bebas stokastik atau bergantungan. Teorema $.1.1

f  ( x , y ) . *aka X dan Y  bebas stokastik jika

*isalkan 6.k.p bersama dari X dan Y  adalah

g ( x )   dan

h ( y )   sehingga

tidak tergantung dari

 y   serta domain

dan hanya jika terdapat 6ungsi-6ungsi non negati6

f  ( x , y ) =g ( x ) h ( y )

dan dominan dari

g

h  tidak tergantung dari  x . B!kti:

a. *isalkan 7 dan y bebas stokastik. *aka (alam hal ini %ukup diambil  b. *isalkan

f  ( x , y ) =f  ( x ) f  (  y ) .

g ( x ) =f  ( x )  dan

f  ( x , y ) =g ( x ) h ( y ) ; g ( x ) ≥ 0  dan

h ( y )= f  (  y ) .

h ( y ) ≥ 0 .

:kan dibuktikan X dan Y  bebas stokastik, untuk itu di%ari

f  ( x )=

∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

∫ f  ( x , y ) dy = ∫ g ( x ) h ( y ) dy = g ( x )∫ h ( y )dy ∞

¿ Kg ( x )  dengan  K = ∫ h ( y ) dy  suatu konstanta −∞

f  ( x )  dan

f  ( y ) .

∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

f  ( x ) =

∫ f  ( x , y ) dx =∫ g ( x ) h ( y )dx =h ( y ) ∫ g ( x) dx ∞

¿ Lh ( y )  dengan  L=∫ g ( x ) dx  suatu konstanta −∞

:kan tetapi ∞

g ( x ) =¿

∞

∫ ∫ g ( x ) h ( y ) dy dx

−∞ − ∞ ∞

∞

−∞

−∞

 KL = ∞

∫ h ( y ) dy ∫ ¿

∞

¿ ∫ ∫ f  ( x , y ) dy dx =1 −∞ −∞

:kibatnya,

f  ( x , y ) = g ( x ) h ( y )=

f  ( x ) f  ( y ) = f  ( x ) f ( y )  K   L

(ari persamaan ;a< dan ;b< berarti X dan Y  bebas stokastik. Soal (atihan )an *a+a"an 1. Kotak : berisi 1# buah kaset terdiri atas ! buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan 

 buah kaset lagu berbahasa :sing. Kotak & berisi 1" buah kaset terdiri atas ! buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan 4 buah kaset lagu berbahasa :sing. Kotak = berisi 14 buah kaset terdiri atas > buah kaset lagu berbahasa Indonesia dan # buah kaset lagu berbahasa :sing. &erapakah peluang kaset yang terambil itu berisi lagu berbahasa Indonesia' Penyelesaian: (alam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut) a. *emilih 1 dari 3 kotak.  b. *engambil 1 buah kaset yang mungkin berisi lagu berbahasa Indonesia atau  berbahasa :sing. 1

+eluang mengambil 1 kotak dari 3 kotak se%ara random adalah

3

.

adi, peluang terambil kotak :  peluang terambil kotak &  peluang terambil kotak =. (ari kotak : yang berisi 1# buah kaset, ! di antaranya kaset lagu berbahasa Indonesia. 8

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah

7

kaset lagu berbahasa :sing adalah

15

.

15

  dan peluang terambil

(ari kotak & yang berisi 1" buah kaset, ! di antaranya kaset lagu berbahasa Indonesia. 8

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah

12

  dan peluang terambil

4

kaset lagu berbahasa :sing adalah

.

12

(ari kotak = yang berisi 14 buah kaset, > di antaranya kaset lagu berbahasa Indonesia. 9

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah

14

  dan peluang terambil

5

kaset lagu berbahasa :sing adalah

.

14

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut)

kaset lagu berbahasa Kotak : 1

7

3

kaset lagu berbahasa :sing

1

1

kaset lagu berbahasa

1

3

Kotak &

kaset lagu berbahasa :sing

1 1

3

1

8

8

1

8

8

kaset lagu berbahasa3  x 15 = 45 +eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak : adalah Kotak =

2

 x = = lagu berbahasa +eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesiakaset dari kotak & adalah :sing 3 12 36 9 1

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak = adalah

1 3

 x

9 14

=

9 42

=

3 14

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah peluang terambil kaset lagu  berbahasa Indonesia dari kotak :  peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak &  peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak =. 8 45

2

4

9

14

+ +

=

216 315

216

adi, peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah

315 .

". :ndi mempunyai tiga buah kotak yang masing-masing berisi lampu. Kotak 1 berisi 10 lampu, dengan 4 lampu di antaranya sudah rusak. Kotak " berisi  lampu, dengan 1 lampu di antaranya sudah rusak. Kotak 3 berisi ! lampu, dengan 3 lampu di antaranya sudah rusak. Sebuah kotak dipilih se%ara a%ak, kemudia sebuah lampu diambil se%ara a%ak dari kotak yang telah terpilih itu. &erapa peluang lampu yang terambil adalah lampu yang sudah rusak' Penyelesaian: (alam soal ini kita akan melakukan dua eksperimen sebagai berikut) a. *emilih 1 dari 3 kotak.  b. *engambil 1 lampu yang mungkin berisi lampu yang sudah rusak atau masih  ber6ungsi. 1

+eluang mengambil 1 kotak dari 3 kotak se%ara random adalah

3

.

adi, peluang terambil kotak :  peluang terambil kotak &  peluang terambil kotak =. (ari kotak 1 yang berisi 10 lampu, 4 di antaranya sudah rusak. +eluang terambil lampu 4

yang sudah rusak adalah

10

 dan peluang terambil lampu yang masih ber6ungsi adalah

6

.

10

(ari kotak " yang berisi  lampu, 1 di antaranya sudah rusak. +eluang terambil lampu 1

yang sudah rusak adalah

5 6

.

6

 dan peluang terambil lampu yang masih ber6ungsi adalah

(ari kotak 3 yang berisi ! lampu, 3 di antaranya sudah rusak. +eluang terambil lampu 3

yang sudah rusak adalah

8  dan peluang terambil lampu yang masih ber6ungsi adalah

5 8 .

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut) ?ampu yang sudah rusak  Kotak 1 1

6

3

?ampu yang masih ber6ungsi

1 1

1

6

3

?ampu yang sudah rusak 

Kotak "

1

4

4

2

 x = = +eluang terambil lampu yang sudah rusak dari kotak 1 adalah ?ampu yang masih 3 ber6ungsi 10 30 15 5 1

6

3

1  1

1

1  3

3

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak " adalah 3  x 6 = 18 3 ?ampu yang sudah rusak  1

+eluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia dari kotak 3 adalah 3  x 8 = 24 = 8 ?ampu yang masih ber6ungsi 5 Kotak 3

+eluang lampu yang sudah rusak adalah8peluang terambil lampu yang sudah rusak a dari kotak 1  peluang terambil lampu yang sudah rusak dari kotak "  peluang lampu yang sudah rusak dari kotak 3. 2 15

+

1 18

1

339

8

1080

+ =

339

adi, peluang terambil kaset lagu berbahasa Indonesia adalah

1080

.

3. 9ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk) 2 2  p ( x , y )=k x  y ; x =1,2  dan  y =1,2 (engan  dan 5 merupakan peubah a%ak yang bebas stokastik. &era pakah nilai k ' Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu 6ungsi peluang marginal masing-masing dari X  dan Y . 9ungsi peluang marginal dari  adalah)

2

 p1 ( x )=

∑= (k x  y ) 2

2

 y 1

 p1 ( x )= k x ( 1+ 4 ) 2

 p1 ( x ) = k x ( 5 ) 2

 p1 ( x )=5 k x

2

 p1 ( x )= 5 k x ; x = 1,2 2

adi,

9ungsi peluang marginal dari 5 adalah) 2

∑= ( k x  y )

 p2 ( y ) =

2

2

 x 1

 p2 ( y ) =k y ( 1 + 4 ) 2

 p2 ( y ) =k y ( 5 ) 2

 p2 ( y ) =5 k y

2

 p2 ( y ) =5 k y ; y =1,2 2

adi,

Karena peubah a%ak  dan 5 bebas stokastik maka 2

2

2

k x  y =5 k x . 5 k y

2

. ika diambil

 p ( x , y )= p1 ( x ) . p 2(  y ) , sehingga

( x , y )=( 1,1) , maka

k ( 1 ) ( 1 ) =5 k ( 1 ) . 5 k ( 1 ) 2

k = 25 k  k  2

k  1

=25

=25

k 

k =

1 25

adi, nilai k  yang memenuhi

2 2  p ( x , y )=k x  y ; x =1,2  dan  y =1,2  adalah

1 25

4. 9ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk)

 p ( x , y )= Tentukan

1

2

2

 x  y ; x =1,2  dan  y =1,2 25

( X ≥ 1, Y < 2 ) @

Penyelesaian:

Kita harus menentukan dahulu 6ungsi peluang marginal masing-masing dari X  dan Y .

.

9ungsi peluang marginal dari  adalah) 2

 p1 ( x ) =

∑= ( 251  x  y ) 2

2

 y 1

1

 p1 ( x )=

25 1

 p1 ( x )=

25

2

 x (1 + 4 )  x (5 )

1

 p1 ( x )=  x

2

2

5

1

adi,  p1 ( x )= 5  x ; x =1,2 2

9ungsi peluang marginal dari 5 adalah) 2

∑= ( 251  x  y )

 p2 ( y ) =

2

2

 x 1

 p2 ( y ) =  p2 ( y ) =

1 25 1 25 1

 y ( 1 + 4 ) 2

2

 y ( 5)

 p2 ( y ) =  y

2

5

1

adi,

 p2 ( y ) =  y ; y =1,2 2

5

 p ( X ≥ 1, Y < 2 )= p1 ( X ≥ 1 ) . p 2( Y < 2) 1

2

 1

 p ( X ≥ 1, Y < 2 )=  x .  y 5

 p ( X ≥ 1, Y < 2 )=

1 5

5

1 ( 1 + 4 ) . ( 1)

 p ( X ≥ 1, Y < 2 )=1 .  p ( X ≥ 1, Y < 2 ) =

adi,

2

5

1 5

1 5

 p ( X ≥ 1, Y < 2 )   pada 6ungsi peluang gabungan

 y =1,2  adalah

1 5

.

 p ( x , y )=

1 25

2

2

 x  y ; x =1,2

dan

#. 9ungsi densitas gabungan dari  dan 5 berbentuk)

( )

f  ( x , y ) =

4

35

 xy ; 1 < x < 4,1 < y < 4

¿ 0 ; x , y lainnya. :pakah X  dan Y  bebas stokastik' Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu 6ungsi densitas marginal masing-masing dari X  dan Y . 9ungsi densitas marginal dari X  adalah) ∞

g ( x ) =

∫ f  ( x , y ) dy

−∞ 1

4

∞

−∞

1

4

¿ ∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy 1

4

( ) ¿ + {( )( ) }] ( ) =( ) < < ( ) =( ) ¿ ∫ 0 dy +∫ −∞

1

4

∞

∫

 xy dy + 0 dy

35

4

4

0

6

g  x

adi,

7

4

1

35

2

 x y

2

+0

 y =1

 x

6

g  x

7

 x ; 1  x 4

¿ 0 ; x  lainnya. 9ungsi densitas marginal dari Y  adalah) ∞

h ( y ) =

∫ f  ( x , y ) dx −∞ 1

4

∞

−∞

1

4

¿ ∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) dx 1

4

−∞

1

( ) ¿ + ( )( ) { }] ) =( ) ¿ ∫ 0 dx +∫

4

35

∞

∫

 xy dx + 0 dx 4

4

0

h ( y

6 7

 y

4

1

35

2

2

 x  y

 x =1

+0

h ( y )=

adi,

() 6 7

 y ; 1 < y < 4

¿ 0 ; y  lainnya.

() () ¿( )

g ( x ) . h ( y ) =

*aka

6

6

 x .

7

36

7

 y

 xy

49

f  ( x , y ) ≠ g ( x ) . h ( y ) , karena

Ternyata

( ) ( ) 4

35

 xy ≠

36

49

 xy

Sehingga X  dan Y  merupakan peubah a%ak yang tidak bebas stokastik atau bergantungan. . *isalkan 6ungsi peluang gabungan dari  dan 5 berbentuk)

( )

f  ( x , y ) =

1

16

3

3

 x  y ; 0 < x < 2,0 < y < 2

¿ 0 ; x , y  lainnya :pakah  dan 5 bebas stokastik' +enyelesaian) Kita harus menentukan dahulu 6ungsi densitas marginal masing-masing dari  dan 5. 9ungsi peluang marginal dai  adalah) ∞

g ( x ) =

∫ f  ( x , y ) dy

−∞ 0

2

∞

−∞

0

2

¿ ∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy 0

2

∞

( )( ) +∫ ¿ +( ) ( ) { }] + ¿ ∫ 0 dy +∫ −∞

0

1

3

3

 x  y dy

16

0 dy

2

2

0

1

 1

16

4

3

 x  y

4

0

 y =0

4 x (¿ ¿ 3 )

( )¿

g ( x ) =

1

16

4 x (¿¿ 3 ) ; 0 < x < 2

adi,

( )¿

g ( x )=

1

16

¿ 0 ; x  lainnya 9ungsi peluang marginal dari 5 adalah)

∞

h ( y ) =

∫ f  ( x , y ) dx −∞ 0

2

∞

−∞

0

2

¿ ∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) d x +∫ f  ( x , y ) dx  x

( )(¿¿ 1

16

∞

3  y

3

) d x +∫ 0 d x 2

0

2

−∞

0

¿ ∫ 0 d x +∫ ¿  x

( ¿ ¿ 4 y 3 )

( )¿ 1

4 {¿ ]

¿ ¿

( )¿ ) =( )( ) ( )= ( ) ( ¿ 0+

h ( y

adi,

1

16

h  y

1

16

4y

3

1

16

3

4 y ) ; 0 < y < 2

¿ 0 ; x  lainnya 4 x 4y

 x

(¿ ¿ 3  y 3 ) *aka)

( )¿ (¿¿ ) ( ) ¿ ( ) ( )=( )¿ (¿¿ 3 )= 3 .

g  x . h  y

1

16 1

16

1

16

 x  x

(¿ ¿ 3  y 3 ) Ternyata

( )

1 f  ( x , y ) = g ( x ) . h ( y ) , karena (¿ ¿ ¿ 3  y 3)= 16

( )¿ 1

16

*aka  dan 5 dikatakan dua peubah a%ak yang bebas stokastik. . 9ungsi peluang gabungan dari X dan Y  berbentuk) f  ( x , y ) =kxy; 0 < x < 1,0 < y < 1

¿ 0 ; x , y lainnya. (engan  dan 5 merupakan peubah a%ak yang bebas stokastik. &era pakah nilai k ' Penyelesaian: Kita harus menentukan dahulu 6ungsi densitas marginal masing-masing dari X  dan Y . 9ungsi densitas marginal dari X  adalah) ∞

g ( x ) =

∫ f  ( x , y ) dy

−∞ 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy +∫ f  ( x , y ) dy 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ 0 dy +∫ ( kxy ) dy +∫ 0 dy ¿ 0+

{

1 2

}]

1

2

k y  x

+0

 y =0

1

g ( x ) = kx 2

1

adi,

g ( x ) = k x ; 0 < x < 1 2

¿ 0 ; x  lainnya. 9ungsi densitas marginal dari Y  adalah) ∞

h ( y ) =

∫ f  ( x , y ) dx −∞ 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) dx +∫ f  ( x , y ) dx 0

1

∞

−∞

0

1

¿ ∫ 0 dx +∫( kxy )dx +∫ 0 dx ¿ 0+

{

1 2

}]

1

2

k x  y

+0

 x = 0

1

h ( y ) = ky 2

1

adi,

h ( y )= ky ; 0 < y < 1 2

¿ 0 ; y  lainnya. Karena peubah a%ak  dan 5 bebas stokastik maka

kxy = kx .

1

1

( )( )=

2

1

1

1

2

2

2

k =

1

k  1 4

k  2

k  1

=

=

k 

ky . ika diambil 2

16

1

1

1

2

2

2

f  ( x , y ) =g ( x ) . h ( y ) , sehingga

( x , y )=( 1 , 1 ) , maka 2 2

k ( ) . k ( )

2

k 

4 16

1 4

k = 4 adi, nilai k  yang memenuhi

f  ( x , y ) =kxy ; 0 < x < 1, 0 < y < 1  adalah 4 .