Kata Pengantar
Puji Syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan nikmat kesehatan dan kesempatan sehingga makalah ini dapat diselesaikan pada tepat waktu. Makalah ini berisikan materi tentang bunga dinamis/bunga stokastik. Pada makalah ini dijelaskan model-model bunga stokastik serta penerapan model-model tersebut pada kehidupan. Penulis menyadari bahwa materi yang disampaikan dalam makalah ini masih kurang mendalam dan kurang sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca agar pembuatan makalah yang akan datang lebih baik lagi. Semoga makalah ini bermanfaat baik bagi penulis sendiri maupun bagi para pembaca sekalian. Jika makalah ini penuh kekurangan, penulis mohon maaf.
Medan, Desember 2016
Penulis
1
Daftar Isi Kata Pengantar ........................................................................................................................ 1 Daftar Isi ................................................................................................................................... 2 Bab I .......................................................................................................................................... 3
Latar Belakang ....................................................................................................................... 3 Rumusan Masalah .................................................................................................................. 3 Tujuan..................................................................................................................................... 3 Bab II......................................................................................................................................... 4
Definisi Bunga Stokastik ........................................................................................................ 4 Model Bunga Stokastik .......................................................................................................... 6 Penerapan Model Bunga Stokastik ........................................................................................ 6 Bab III ..................................................................................................................................... 11
Kesimpulan........................................................................................................................... 11 Saran ..................................................................................................................................... 11 Daftar Pustaka ....................................................................................................................... 12
2
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada umumnya, kita mengetahui bahwa suku bunga yang dipakai pada model keuangan merupakan model bunga statis. Yaitu, bunga tetap atau tidak berubah seperti yang sudah disepakati. Seperti simpan pinjam di bank, asuransi jiwa, dan sebagainya. Akan tetapi, suku bunga statis akan sulit dilakukan pada jual beli saham, kurs valuta asing, dan sebagainya karena kondisi yang berubah-ubah. Seperti inflasi di suatu negara, keadaan ekonomi masyarakat, banyaknya uang yang beredar yang selalu berubah-ubah s etiap saat. Oleh karena itu dihitunglah suku bunga setiap saat dengan model bunga stokastik menggunakan persamaan diferensial stokastik.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas adalah 1. Apa yang dimaksud dengan bunga dinamis/stokastik? 2. Apa saja model-model bunga dinamis/stokastik? 3. Dimana saja model bunga dinamis/stokastik diterapkan? 4. 1.3 Tujuan
Adapun tujuan makalah ini dibuat adalah untuk memenuhi tugas kuliah matematika keuangan serta memudahkan mahasiswa dalam memahami materi tentang bunga dinamis bunga stokastik.
3
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Definisi Bunga Stokastik
Bunga stokastik/bunga dinamuis adalah tingkat suku bunga yang selalu berubah – ubah karena berbagai macam faktor, seperti inflasi, banyaknya uang yang beredar dalam masyarakat, dan sebagainya.
2.2 Model Bunga Stokastik
Ada berbagai macam model bunga stokastik, yaitu: 1. Cox-Ingersol-Ross Model CIR tersebut menggambarkan dinamika dari tingkat suku bunga r(t) yang merupakan solusi persamaan diferensial stokastik. Model CIR membentuk persamaan berikut :
( ) √ dengan :
{, ≥ 0}
: perubahan tingkat suku bunga pada interval waktu yang pendek : kecepatan dari mean reversion : menyatakan rata-rata tingkat bunga dalam jangka waktu panjang : menyatakan standar deviasi dari perubahan tingkat bunga persatuan waktu : proses gerak brown standar.
Selanjutnya parameter dari model CIR dinotasikan dengan -
,,
.
Ekpektasi
1−−0 4
-
Varians
() [2 − 1 1 −1−0] 2. Model Vasicek Dalam
finansial,
model
vasicek
adalah
model
matematika
yang
menjelaskan
perkembangan suku bunga. Model Vasicek sebuah tipe satu faktor model suku pendek sebagai menjelaskan pergerakan suku bunga sebagai mengendarai oleh hanya satu sumber risiko pasar. Model Vasicek menjabarkan suku bunga sesaat mengiluti persamaan diferensial stokasti:
( ) Dimana W adalah proses Wiener dengan :
: kecepatan dari mean reversion : menyatakan rata-rata tingkat bunga dalam jangka waktu panjang : Volalitas sesaat. -
Ekpektasi
() 1 − −0 -
Varians
() 2 1− 3. Model Hull-White Model Hull-White adalah model suku bunga masa depan. Dalam kebanyakan rumus umum, model tersebut mestinya untuk kelas model bukan arbitrase dapat istilah struktur suku bunga sekarang. Model Hull-White pertama kali dijelaskan oleh John C. Hull dan Alan White pada tahun 1990. Model ini masih populer di pasar sekarang.
5
-
Model satu faktor
Model suku pendek pada umumnya mempunyai dinamis
-
Model dua faktor
Model dua faktor Hull-White mengandung istilah gangguan tambahan yang rata-rata beralih ke nol, dan memiliki bentuk
() Dimana u mempunyai inisial nilai 0 berikut proses:
4. Model Chen Dalam keuangan, model Chen adalah model matematis yang menggambarkan evolusi suku bunga. Ini adalah jenis "model tiga faktor" (model tingkat pendek) karena menggambarkan pergerakan suku bunga sebagai didorong oleh tiga sumber risiko pasar. Itu stochastic pertama berarti dan model volatilitas stokastik dan itu diterbitkan pada tahun 1994 oleh Lin Chen, ekonom keuangan dan ekonomi lingkungan, profesor Universitas Amerika, Universitas Yonsei dan Tech University Nanyang Singapura. Dinamis suku bunga sesaat ditetapkan oleh persamaan diferensial stokastik :
√ 2.3 Penerapan Model Bunga Stokastik 2.3.1 Cox Ingersol Ross
1. Zero Coupon Bond Bond adalah surat hutang yang berisi suatu kontrak hutang yang menjamin penerbit bond membayar hutang pada periode tertentu dan melunasi pokok hutang kepada pembeli bond pada waktu jatuh tempo.
Zero coupon adalah suatu kontrak hutang yang dibuat saat dengan masa jatuh tempo yang menjamin pembeli bond menerima pembayaran bunga dan pokok hutang pada saat
6
tanpa ada pembayaran secara periodik. Nilai kontrak adalah Nilai
, 1
<
dan dinotasikan
,
.
untuk semua .
Bentuk persamaan zero coupon bond yang mengikuti model tingkat suku bunga CIR satu faktor adalah
, ,−, dengan:
/ +−/ , 2− 1 2 − 1 2 , − 1 2
√ 2
= tingkat suku bunga pada waktu t Tingkat suku bunga majemuk yang berlaku saat t dengan waktu jatuh tempo T
dinotasikan dengan
,
dan merupakan laju konstan dimana investasi dari unit
,
saat
t akan terus bertambah sampai menghasilkan sejumlah unit pada waktu jatuh tempo T. Dengan rumus :
, , , Dengan:
, ,
: Harga zero coupon bond
:
2. Pensiun Normal Besar Manfaat yang akan diterima oleh peserta ditentukan berdasarkan gaji terakhirnya dan dinyatakan dengan
− + 1
Besar gaji yang diterima peserta pada usia
tahun dinyatakan
7
Iuran normal merupakan premi tahunan yang harus dibayar peserta setiap tahunnya sampai satu tahun sebelum pensiun. Iuran normal untuk peserta berusia tahun yang pensiun pada usia pensiun normal dengan metode perhitungan PUC dinyatakan sebagai berikut
1 −− ̈ Selain menentukan besar iuran normal dari peserta, Dana Pensiun perlu memperhitungkan besar dana yang harus dipersiapkan untuk membayar manfaat pensiun kepada peserta yang disebut dengan kewajiban aktuarial, yang mana kewajiban aktuarial saat peserta berusia x tahun dengan metode perhitungan PUC dinyatakan dengan
− − ̈ Contoh: Bapak Hasan adalah seorang pekerja suatu perusahaan swasta. Ia terdaftar menjadi
peserta Program Pensiun Manfaat Pasti pada usia 25 tahun. Perusahaan tempatnya bekerja menetapkan usia pensiun normal pekerjanya yaitu pada usia 56 tahun dan proporsi gaji yang dipersiapkan untuk manfaat pensiun sebesar 3%. Perhitungan asuransi pensiun dari bapak Hasan dilakukan saat berusia 30 tahun dan besar gaji yang diterimanya dalam satu tahun pada usia 30 tahun yaitu sebesar Rp 20.400.000,00. Setiap tahunnya, bapak Hasan memperoleh kenaikan gaji sebesar 2%. Lakukanlah perhitungan terhadap pensiun normal dari bapak Hasan menggunakan model tingkat bunga CIR.
Dari contoh soal diatas, diketahui bahwa usia terdaftar menjadi peserta pensiun yaitu 25 tahun, usia perhitungan pendanaan pensiun
30 tahun, usia pensiun normal
proporsi gaji yang dipersiapkan untuk manfaat pensiun yaitu
1
tahun yaitu untuk
56,
0,03 dan gaji pada usia 30
Rp 20.400.000,00 serta kenaikan gaji setiap tahunnya sebesar , diperoleh
0,02.
Rp. 33.468.362,29, artinya taksiran gaji yang akan
diperoleh bapak Hasan saat berusia satu tahun sebelum pensiun yaitu sebesar Rp. 33.468.362,29. Diperoleh manfaat pensiun yang akan diterima bapak Hasan saat pensiun yaitu
Rp. 31.125.576,93.
8
2.3.2 Model Vasicek
1. Premi Asuransi Jiwa Berjangka Premi tunggal asuransi jiwa berjangka untuk peserta asuransi yang berusia x tahun dengan jangka pertanggungan selama n tahun dan uang pertanggungan dibayarkan di akhir tahun polis dinotasikan dengan
:
. Dengan
diperkirakan meninggal antara usia
sampai
1
menyatakan faktor diskon
peluang
maka premi tunggal asuransi jiwa
berjangka untuk uang pertanggungan dibayar di akhir tahun polis adalah
−
: ∑+ =
Hubungan antara premi tunggal asuransi jiwa berjangka yang uang pertanggungannya dibayar diakhir tahun polis dan di akhir interval tahun, yaitu
: 1− : Model tingkat bunga Vasicek mempengaruhi besarnya premi yang dibayarkan pada nilai faktor diskonnya. Faktor diskon menggunakan model tingkat bunga Vasicek adalah
+
1 + ∏ 1 =
Contoh : Tuan A yang berusia 40 tahun ingin mengikuti program asuransi jiwa berjangka
dengan jangka waktu 10 tahun. Tuan A berharap mendapatkan santunan sebesar Rp10.000.000,00. Tuan A mengikuti asurasi pada tanggal 5 februari 2012 dengan tingkat bunga pada waktu itu adalah 6,75%. Akan ditentukan premi tunggal yang harus dibayar Tuan A bila uang pertanggungan dibayarkan pada akhir tahun polis dan uang pertanggungan dibayarkan pada akhir interval 3 bulan.
40 6,75
Diketahuni usia Tuan A,
10
, bunga tetap
, masa pertanggungan
10 6,75
, dengan uang pertanggungan
dan tingkat bunga vasicek
. Premi tunggal dengan
menggunakan bunga tetap 6,75 %, akan ditentukan nilai faktor diskonnya, yaitu
1 0,936768 1 1 10,0675
: ∑+ 0,023496118 =
9
Bila uang pertanggungan sebesar Rp10.000.000,- maka premi yang harus dibayarkan tuan A adalah Rp234.961,18, selanjutnya jika Tuan A ingin pembayaran uang pertanggungan dilakukan pada akhir 3 bulan maka besar preminya adalah
− : 1 : 1,0675 : 1,024797 × 0,023496118
0,024078757
Jadi premi yang harus dibayarkan Tuan A jika ia menginginkan pembayaran premi setiap 3 bulan adalah Rp240.787,57.
10
BAB III PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Bunga dinamis/stokastik selalu berubah-ubah karena berbagai macam faktor, seperti inflasi di suatu negara, banyaknya uang yang beredar di masyarakat, dan sebagainya yang diterpakan dalam pasar saham, nilai tukar mata uang asing dan sebagainya. Salah satu model bunga stokastik yang paling banyak dipakai adalah model CIR dan Vasicek. Model tersebut diterapkan pada asuransi jiwa, saham, dana pensiun, dan sebagainya.
4.2 Saran
Adapun saran bagi pembaca, diharapkan kritik dan saran apabila makalah ini masih memiliki kekurangan dalam hal materinya. Agar pada masa yang mendatang makalah ini dapat diperbaiki jauh lebih baik lagi.
11
Daftar Pustaka Angraini, D., (2015), (Jurnal) Obligasi Bencana Alam Dengan Suku Bunga Stokastik Dan Pendekatan Campuran, IAIN RadenIntan Lampung, Bandar Lampung Mariana, E., (2015), (Jurnal) Estimasi Parameter pada Model Suku Bunga Cox Ingersoll Ross (CIR) Menggunakan Kalman Filter untuk Menentukan Harga Zero Coupon Bond , Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya Muslim, (Jurnal) Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menggunaka Model Tingkat Bunga Vasicek, Universitar Riau, Riau Permana, F., (2011), (Jurnal) Perhitungan Nilai-Nilai Aktuaria Dengan Asumsi Tingkat Suku Bunga Berubah Secara Stokastik , Universitas Katolik Parahyangan, Bandung Putri, R., (Jurnal) Pensiun Normal Menggunakan Model Tingkat Bunga Cox Ingersoll Ross , Universitas Riau, Riau https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_differential_equation 2 Desember 2016
12
