MAKALAH STATISTIK DAN STOKASTIK
DISUSUN OLEH : Yopi Marissa Sihite
21060115060007
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO DEPARTEMEN TEKNOLOGI INDUSTRI SEKOLAH VOKASI UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai .Tidak lupa saya juga mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya. Dan harapan saya semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca terlebih membantu dalam penelitian atau pembelajaran dalam bidang Statistika mengenai Perbedaan Statistik dan Stokastik. Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman saya. Saya yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini. Oleh karena itu saya sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Semarang, 16 Maret 2017
Penulis
DAFTAR ISI COVER KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG B. RUMUSAN MASALAH C. TUJUAN BAB II PEMBAHASAN
Statistik A.1. Statistik Deskriptif A.1.1. Pengertian Statistik Deskriptif A.1.2. Penyajian Data A.1.3. Pengertian Dispersi Data A.1.4. Kegunaan Ukuran Penyebaran Data A.1.5. Kemiringan dan Keruncingan Data A.2. Statistik Inferensial A.2.1. Pengertian Statistik Inferensial A.2.2. Ruang Lingkup Bahasan Statistik Inferensial B. Stochastik B.1. Pengertian Stochastik B.1.1. Proses Stokastik B.1.2. Markov Chain B.1.2.1 Proses Markov Chain B.1.2.2. Sifat Markov Chain B.1.2.3. Transisi dan langkah dari Rantai Markov B.1.2.4. Contoh Rantai Markov Pada Sistem Sediaan B.1.2.5. Contoh Rantai Markov Pada Sistem Antrian BAB III PENUTUP Kesimpulan Saran
BAB I
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Statistika berasal dari bahasa latin yaitu status yang berarti negara dan digunakan untuk urusan negara. Hal ini dikarenakan pada mulanya, statistik hanya digunakan untuk menggambar keadaan dan menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan kenegaraan saja seperti : perhitungan banyaknya penduduk, peembayaran pajak, gaji pegawai, dan lain sebagainya. Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika terapan yang membahas metode-metode ilmiah untuk pengumpulan, pengorganisasian, penyimpulan, penyajian, analisis data, serta penarikan kesimpulan yang sahih sehingga keputusan yang diperoleh dapat diterima. Sementara stochastik adalah Kata stokastik (stochastics) merupakan jargon untuk keacakan. Oxford Dictionary (1993) menakrifkan proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang. Hull (1989, hlm.62) menyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu dengan cara yang tidak tertentu (dalam ketidakpastian) dikatakan mengikuti proses stokastik. Dengan demikian, jika dari pengalaman yang lalu keadaan yang akan datang suatu barisan kejadian dapat diramalkan secara pasti, maka barisan kejadian itu dinamakan deterministik. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian yang demikian disebut stokastik. Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan evolusi suatu sistem yang mengandung suatu ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tak dapat diduga, dimana model deterministik tidak lagi cocok dipakai untuk menelisik (menganalisis) sistem.
B. Rumusan masalah Berdasarkan uraian latar belakang diatas, maka dalam makalah ini ada beberapa rumusan masalah yang terkaji yakni : a. Apa yang dimaksud dengan Statistik Deskriptif, Statistik Inferensial dan Stochastik? b. Apa Penyajian Data Statistik, Pengertian Dispersi Data Statistik, Kegunaan Ukuran Data Statistik, Kemiringan dan Keruncingan Data Statistik? c. Apa proses Stokastik d. Bagian-bagian Stochastik.
C. Tujuan Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut: a. Mengetahui pengertian dari Statistik Deskriptif, Statistik Inferensial dan Stochastik . b. Mengetahui Penyajian Data, Pengertian dispersi, Kegunaan Ukuran Data, Kemiringan dan Keruncingan Data. c. Mengetahui proses Stokastik d. Mengetahuan bagian Stochastik.
BAB II PEMBAHASAN
A. STATISTIK Statistik adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika terapan yang membahas metode-metode ilmiah untuk pengumpulan, pengorganisasian, penyimpulan, penyajian, analisis data, serta penarikan kesimpulan yang sahih sehingga keputusan yang diperoleh dapat diterima. A.1. Statistik Deskriptif A.1.1. Pengertian Statistik Deskriptif Statistika deskriptif adalah tehnik yang digunakan untuk mensarikan data dan menampilkannya dalam bentuk yang dapat dimengerti oleh setiap orang. Hal ini melibatkan proses kuantifikasi dari penemuan suatu fenomena. Berbagai statistik sederhana, seperti ratarata, dihitung dan ditampilkan dalam bentuk tabel dan grafik. Statistika deskriptif dapat memberikan pengetahuan yang signifikan pada kejadian fenomena yang belum dikenal dan mendeteksi keterkaitan yang ada di dalamnya. Tetapi dapatkah statistika deskriptif memberikan hasil yang bisa diterima secara ilmiah? Statistik merupakan suatu alat pengukuran yang berhubungan dengan keragaman pada karakteristik objek-objek yang berbeda . Objek yang belum dikenal tidaklah mewakili populasi objek yang memiliki “quantifiabel feature” melalui penyelidikan. Namun demikian, keragaman bisa menjadi hasil dari keberagaman yang lainnya (karena acak atau terkontrol). Pada ilmu fisika, yang sangat berkaitan dengan ekstraksi dan formulasi persamaan matematik tidak menyisakan banyak tempat untuk fluktuasi acak. Pada ilmu statistika, fluktuasi seperti itu dapat dijadikan model. Hubungan relasi statistik selanjutnya merupakan hubungan relasi yang menerangkan suatu proporsi perubahan stokastik yang pasti. Statistika Deskriptif adalah ilmu yang mempelajari tentang cara: a. b. c. d.
Mengumpulkan data/informasi. Mengolah data hasil pengumpulan. Menyajikan data hasil pengolahan. Menganalisis data. Berikut merupakan penjelasan mengenai pengertian statistk menurut para ahli.
1. Sudjana (1996:7) menjelaskan : Fase statistika dimana hanya berusaha melukiskan atau mengalisa kelompok yang diberikan tanpa membuat atau menarik kesimpulan tentang populasi atau kelompok yang lebih besar dinamakan statistika deskriptif 2. Iqbal Hasan (2001:7) menjelaskan : Statistik deskriptif atau statistik deduktif adalah bagian dari statistik mempelajari cara pengumpulan data dan penyajian data sehingga
mudah dipahami.Statistik deskriptif hanya berhubungan dengan hal menguraikan atau memberikan keterangan-keterangan mengenai suatu data atau keadaan atau fenomena. Dengan kata lain, statistikdeskriptif berfungsi menerangkan keadaan, gejala, atau persoalan. Penarikan kesimpulan pada statistik deskriptif (jika ada) hanya ditujukan pada kumpulan data yang ada. Didasarkan pada ruang lingkup bahasannya statistik deskriptif mencakup Distribusi frekuensi beserta bagian-bagiannya seperti : Grafik distribusi (histogram, poligon frekuensi, dan ogif); Ukuran nilai pusat (rata-rata, median, modus, kuartil dan sebagainya); Ukuran dispersi (jangkauan, simpangan rata-rata, variasi, simpangan baku, dan sebagianya). Kemencengan dan keruncingan kurva Angka indeks Times series/deret waktu atau berkala Korelasi dan regresi sederhana 3. Bambang Suryoatmono (2004:18) menyatakan Statistika Deskriptif adalah statistika yang menggunakan data pada suatu kelompok untuk menjelaskan atau menarik kesimpulan mengenai kelompok itu saja. Ukuran Lokasi: mode, mean, median, dll. Ukuran Variabilitas: varians, deviasi standar, range, dll. Ukuran Bentuk: skewness, kurtosis, plot boks 4. Pangestu Subagyo (2003:1) menyatakan : Yang dimaksud sebagai statistika deskriptif adalah bagian statistika mengenai pengumpulan data, penyajian, penentuan nilai-nilai statistika, pembuatan diagramatau gambar mengenai sesuatu hal, disini data yang disajikan dalam bentuk yang lebih mudah dipahami atau dibaca.
A.1.2. Penyajian Data Sebagai peneliti kita menginginkan data yang kita peroleh dapat memberikan informasi yang kita inginkan. Tidak saja kita yang menginginkan data memberikan informasi yang baik dan akurat tetapi orang yang membaca hasil penelitian kita juga dapat mengetahui keadaan variabel penelitian kita. Oleh sebab itu pemilihan statistik yang tepat sesuai dengan jenis data dan tujuan penelitian kita merupakan sesuatu yang harus dipertimbangkan. Prinsip dasar penyajian data adalah komunikatif dan lengkap, dalam arti yang disajikan dapat menarik perhatian pihak lain untuk membacanya dan mudah mamahami isinya dan tentu saja pemilihan penyajian data harus sesuai dengan jenis data dan tujuan dari informasi yang akan diberikan.
Ada beberapa cara penyajian data, yaitu : 1. Tabel a. Tabel biasa b. Tabel distribusi frekuensi c. Tabel kontingensi 2. Garfik atau Diagram a. Diagram batang b. Histogram c. Diagram garis d. Diagram lingkaran e. Diagram pencar A.1.3. Pengertian Dispersi Data Penyebaran atau dispersi adalah perserakan dari nilai observasi terhadap nilai rataratanya. Rata-rata dari serangkaian nilai observasi tidak dapat diinterpretasikan secara terpisah dari hasil dispersi nilai-nilai tersebut sekitar rataratanya.Makin besar variasi nilaixi , makin kurang representatif rata-rata distribusinya. Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut dispersi atau variasi atau keragaman data. Dispersi data digunakan untuk membandingkan penyebaran 2 distribusi data atau lebih. Beberapa jenis pengukuran Dispersi adalah sebagai berikut: 1. Jangkauan (Range) Selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah. 2. Simpangan Rata-Rata (Mean Deviation) Jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. 3. Varians (Variance) Rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. 4. Standar Deviasi Akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya. 5. Jangkauan kuartil dan jangkauan persentil 10-90 Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil atau semi antar kuartil atau deviasi kuartil sedangkan jangkauan persentil 10-90 disebut juga rentang persentil 10-90. 6. Koefisien Variasi Koefisien Variasi, disebut dispersi relatif, dapat digunakan untuk membandingkan nilai – nilai besar dengan nilai – nilai kecil. Sedangkan lima bentuk dispersi sebelumnya tidak bisa. A.1.4. Kegunaan Ukuran Penyebaran Data
Dispersi Data adalah data yang menggambarkan bagaimana suatu kelompok data menyebar terhadap pusatnya data atau ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusatnya data. Dispersi data sangat penting untuk membandingkan penyebaran 2 distribusi data atau lebih. Pusat data seperti rata-rata hitung, median dan modus hanya memberi informasi yang sangat terbatas sehingga tanpa disandingkan dengan dispersi data menjadi kurang bermanfaat dalam menganalisa data. Kegunaan ukuran penyebaran antara lain sebagai berikut : 1. Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk menentukan apakah nilai rata-ratanya benarbenar representatif atau tidak. Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya, maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif. 2. Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data. 3. Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika, misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama atau tidak. A.1.5. Kemiringan dan Keruncingan Data a. Kemiringan Distribusi Data Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu distribusi data. Pengukuran kemiringan suatu distribusi data dapat diketahui dengan beberapa cara, antara lain: Memperhatikan hubungan antara rata-rata hitung, median dan modus. Menggunakan koefisien Pearson. Menggunakan Momen ketiga. Menggunakan kotak diagram garis.
b. Keruncingan Distribusi Data Keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data disebut juga kurtosis. Ada tiga jenis derajat keruncingan: Leptokurtis : Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi Mesokurtis : Distribusi data yang puncaknya normal Platikurtis : Distribusi data yang puncaknya terlalu rendah dan terlalu mendatar
A.2. Statistik Inferensial A.2.1. Pengertian Statistik Inferensial Statistika Inferensial adalah serangkaian teknik yang digunakan untuk mengkaji, menaksir dan mengambil kesimpulan berdasarkan data ynag diperoleh dari sempel untuk menggambarkan karakteristik atau ciri dari suatu populasi. Oleh karena itu, statistika inferensial disebut juga statistik induktif atau statistik penarikan kesimpulan. Dalam statistika inferensial, kesimpulan dapat diambil setelah melakukan pengolahan serta penyajian data dari suatu sampel yang diambil dari suatu populasi, sehingga agar dapat memberikan cerminan yang mendekati sebenarnya dari suatu populasi, maka ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam statistika inferensial, diantaranya: 1. Banyaknya subyek penelitian, maksudnya jika populasi ada 1000, maka sampel yang diambil jangan hanya 5, namun diusahakan lebih banyak, seperti 10 atau 50. 2. Keadaan penyebaran data. Dalam hal ini perlu diperhatikan bahwa pengambilan sampel harus merata pada bagian populasi. Diharapkan dalam pengambilan sampel dilakukan secara acak, sehingga kemerataan dapat dimaksimalkan dan apapun kesimpulan yang didapat dapat mencerminkan keadaan populasi yang sebenarnya. Statistika Inferensial atau induktif adalah statistik bertujuan menaksir secara umum suatu populasi dengan menggunakan hasil sampel, termasuk didalamnya teori penaksiran dan pengujian teori. Statistika Inferensial digunakan untuk melakukan : a. Generalisasi dari sampel ke populasi. b. Uji hipotesis (membandingkan atau uji perbedaan/kesamaan dan menghubungkan, yaitu uji keterkaitan, kontribusi).
A.2.2. Ruang Lingkup Bahasan Statistik Inferensial Berdasarkan ruang lingkup bahasannya, statistika inferensial mencakup : 1. Distribusi Teoritis Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan penggunaan kurva distribusi lainnya. Frekuensi relatif suatu variabel yang mengambil nilai antara dua titik pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng setangkup merupakan distribusi normal.
Sifat dari variabel kontinu berbeda dengan variabel diskrit. Variabel kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Oleh karenanya tidak bisa dipisahkan satu nilai dengan nilai yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel random kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tertentu. Dengan kata lain sesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam variabel kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel kontinu, tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantara dua buah nilai. 2. Sampling dan Sampling Distribusi Sampling adalah
bagian
dari
metodologi statistika yang
berhubungan
dengan
pengambilan sebagian dari populasi. Jika sampling dilakukan dengan metode yang tepat, analisis statistik dari suatu sampel dapat digunakan untuk menggeneralisasikan keseluruhan populasi. Sampling berguna dalam penarikan kesimpulan (inference) yang valid dan dapat dipercaya. Distribusi Sampling adalah distribusi nilai statistik sampel-sampel. Jika statistik yang ditinjau adalah mean dari masing – masing sampel, maka distribusi yang terbentuk disebut distribusi mean – mean sampling (sampling distribution of the means). Dengan demikian dapat juga diperoleh distribusi deviasi standard, varians, median dari sampling. Masing – masing jenis distribusi sampling dapat dihitung ukuran-ukuran statistik deskriptifnya (mean, range, deviasi standard, da lain-lain). Sampling memiliki beberapa tipe diataranya : a. Simple random sampling adalah sebuah proses sampling yang dilakukan sedemikian rupa sehingga setiap satuan sampling yang ada dalam populasi mempunyai peluang yang sama untuk dipilih ke dalam sampel. b. Systematic sampling merupakan pengambilan setiap unsur ke k dalam populasi, untuk dijadikan sampel. Pengambilan sampel secara acak hanya dilakukan pada pengambilan awal saja, sementara pengambilan kedua dan seterusnya ditentukan secara sistematis, yaitu menggunakan interval tertentu sebesar k. c. Stratified sampling adalah penarikan sampel berstrata yang dilakukan dengan mengambil sampel acak sederhana dari setiap strata populasi yang sudah ditentukan lebih dulu. d. Convenience sampling, sampel diambil berdasarkan faktor spontanitas, artinya siapa saja yang secara tidak sengaja bertemu dengan peneliti dan sesuai dengan karakteristiknya, maka orang tersebut dapat dijadikan sampel.
e. Judgement sampling (purposive sampling) adalah teknik penarikan sampel yang dilakukan berdasarkan karakteristik yang ditetapkan terhadap elemen populasi target yang disesuaikan dengan tujuan atau masalah penelitian.Bedanya, jika dalam sampling stratifikasi penarikan sampel dari setiap subpopulasi dilakukan dengan acak, maka dalam sampling kuota, ukuran serta sampel pada setiap sub-subpopulasi ditentukan sendiri oleh peneliti sampai jumlah tertentu tanpa acak. f. Snowball Sampling merupakan salah satu bentuk judgement sampling yang sangat tepat digunakan bila populasinya kecil dan spesifik. Cara pengambilan sampel dengan teknik ini dilakukan secara berantai, makin lama sampel menjadi semakin besar, seperti bola salju yang menuruni lereng gunung. Sampling memiliki beberapa kriteria diantaranya : Kriteria yang harus diperhatikan untuk menentukan tipe sampling yang baik, diantaranya:
dapat menghasilkan gambaran yang dapat dipercaya dari seluruh populasi dapat menentukan presisi dari hasil penelitian. sederhana, mudah dilaksanakan, dan dapat memberikan keterangan sebanyak mungkin tentang populasi dengan biaya minimal.
Tahapan sampling adalah: Mendefinisikan populasi hendak diamati Menentukan kerangka sampel, yakni kumpulan semua item atau peristiwa yang mungkin Menentukan metode sampling yang tepat Melakukan pengambilan sampel (pengumpulan data) Melakukan pengecekan ulang proses samplig. 3. Pendugaan Populasi atau Teori Populasi Populasi adalah himpunan dari unsur – unsur yang sejenis.Unsur- unsur sejenis tersebut bisa berupa manusi, hewan, tumbuh – tumbuhan, benda – benda, zat cair, peristiwa dan sejenisnya. Besarnya populasi bisa terbatas dan bisa tidak terbatas. Populasi dari mana sampel diambil disebut populasi induk. Melalui teknik pengambilan sampel yang reliabel kesimpulan penelitian dapat digeneralisasikan. Ada kesalahan generalisasi yangperlu dipertimbangkan karena besar kecilnya keslahan generalisasi tergantung pada : (1) besarnya sampel penelitian, (2) teknik sampling yang digunakan, (3) kecermatan memasukkan ciri – ciri populasi dan sampling, (4) cara – cara pengambilan data dan (5) rancangan analisi data. Populasi (population/universe) dalam statistika merujuk pada sekumpulan individu dengan karakteristik khas yang menjadi perhatian dalam suatu penelitian (pengamatan). Ukuran populasi ada dua:
a. populasi terhingga (finite population), yaitu ukuran populasi yang berapa pun besarnya tetapi masih bisa dihitung (cauntable). Misalnya populasi pegawai suatu perusahaan; b. populasi tak terhingga (infinite population), yaitu ukuran populasi yang sudah sedemikian besarnya sehingga sudah tidak bisa dihitung (uncountable). Misalnya populasi tanaman anggrek di dunia. 4. Uji Hipotesis Uji Hipotesis adalah metode pengambilan keputusan yang didasarkan dari analisa data, baik
dari
percobaan
yang
terkontrol,
maupun
dari observasi (tidak
terkontrol).
Dalam statistik sebuah hasil bisa dikatakan signifikan secara statistik jika kejadian tersebut hampir
tidak
mungkin
disebapkan
oleh
faktor
yang
kebetulan,
sesuai
dengan
batas probabilitas yang sudah ditentukan sebelumnya. Uji hipotesis kadang disebut juga "konfirmasi analisa data". Keputusan dari uji hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan pengujian hipotesis nol. Ini adalah pengujian untuk menjawab pertanyaan yang mengasumsikan hipotesis nol adalah benar. 5. Analisis Korelasi Dan Uji Signifikasi Analisis korelasi pertama kali dikembangkan oleh Karl Pearson pada tahun 1900. Tujuan dari analisis ini adalah untuk menetukan seberapa erat hubungan antara dua variable. Definisi analisis korelasi dinyatakansebagai berikut : “Analisis korelasi adalah suatu teknik statistik yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan atau korelasi antara dua variabel” Pengertian lain menyebutkan, Korelasi adalah metode statistik yang dipakai untuk mengukur asosiasi atau hubungan antara dua atau lebih variabel kuantitatif, sedangkan untuk mengukur asosiasi antara dua atau lebih variabel kuantitatif dipakai tes X kuadrat. 6. Analisis Regresi Untuk Peramalan Analisis regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan hubungan sebab-akibat antara satu variabel dengan variabel - variabel yang lain. Variabel "penyebab" disebut dengan bermacam-macam istilah: variabel penjelas,variabel eksplanatorik, variabel independen, atau secara bebas, variabel X (karena seringkali digambarkan dalam grafik sebagai absis, atau sumbu X). Variabel terkena akibat dikenal sebagai variabel yang dipengaruhi, variabel dependen, variabel terikat, atau variabel Y. Kedua variabel ini dapat merupakan variabel acak (random), namun variabel yang dipengaruhi harus selalu variabel acak. Analisis regresi adalah salah satu analisis yang paling populer dan luas pemakaiannya. Analisis regresi dipakai secara luas untuk melakukan prediksi dan ramalan, dengan penggunaan yang saling melengkapi dengan bidang pembelajaran mesin. Analisis ini juga
digunakan untuk memahami variabel bebas mana saja yang berhubungan dengan variabel terikat, dan untuk mengetahui bentuk-bentuk hubungan tersebut. B. STOKASTIK B.1. Pengertian Stochastik Kata stokastik (stochastics) merupakan jargon untuk keacakan. Oxford Dictionary (1993) menakrifkan proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang memenuhi hukumhukum peluang. Hull (1989, hlm.62) menyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu dengan cara yang tidak tertentu (dalam ketidakpastian) dikatakan mengikuti proses stokastik. Dengan demikian, jika dari pengalaman yang lalu keadaan yang akan datang suatu barisan kejadian dapat diramalkan secara pasti, maka barisan kejadian itu dinamakan deterministik. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian yang demikian disebut stokastik.
X X t , t T . B.1.1. Proses Stokastik
Peubah acak yang merupakan fungsi dari t Index t paling sering mewakili waktu Xt adalah state dari proses pada waktu t. Himpunan T: index set dari proses Jika T bersifat diskrit A discrete-time proses. Jika T bersifat kontinyu A continuous time proses State space E: himpunan seluruh kemungkinan nilai peubah acak Xt Contoh: Suhu di kota Malang pada Rabu, 12 Oktober 2011 T = [00.00 Rabu dini hari, 00.00 Kamis dini hari]
E= himpunan bilangan riil yang mewakili suhu Jika pengamatan suhu dilakukan per jam, dalam kurun waktu tersebut: Proses stokastik dalam waktu diskrit (Discrete time stochastic process)
B.1.2 Markov Chain B.1.2.1. Proses Markov Chain Stokastik Proses dalam peramalan cuaca: Markov Chain Peluang cuaca besok dipengaruhi oleh cuaca hari ini •
Jika hari ini hujan = 40% kemungkinan besok hujan = 60% kemungkinan besok tidak hujan
•
Jika hari ini tidak hujan = 0% kemungkinan besok hujan = 80% kemungkinan besok tidak hujan
Pr{ X n 1 j | X n i, X n 1 in 1 , , X 1 i1 , X 0 i0 } Pr X n 1 j | X n i Pij
Transition Probability Proses stokastik dengan memori yang terbatas Nilai peubah pada waktu ke n+1 hanya tergantung pada nilai peubah pada waktu ke n (waktu sebelumnya) Indeks menunjukkan waktu diskrit, n+1, n, n-1, …, 0. n>0 E= himpunan seluruh kemungkinan nilai peubah (State): i, j, in-1, …, i0 Himpunan State yang mungkin, E: Hujan, Tidak Hujan n: indeks yang menunjukkan hari ke – n Xn merupakan realisasi dari cuaca pada hari ke – n
Hujan :1 Tidak Hujan : 0
Xn
Cuaca pada suatu hari hanya dipengaruhi oleh cuaca pada hari sebelumnya
Pr X n 1 j | X n i Pij Digambarkan dalam transition probability function
Transition probability dinyatakan secara lengkap dalam transition probability matrice Ukuran matriks bersesuaian dengan jumlah seluruh state yang mungin Pada kasus cuaca: ada 2 kemungkinan Matriks berukuran 2 × 2
B.1.2.2 Sifat Markov Chain State berupa bilangan bulat tidak negatif {0, 1, 2, …} Xn = j : Rantai markov pada waktu n berada pada state j. Peluang transisi satu langkah Pij: Peluang Xn+1 berada pada state j dengan syarat Xn berada pada state i Peluang transisi satu langkah untuk seluruh kemungkinan nilai i dan j dinyatakan dalam transition probability matrix Syarat bagi elemen transition probability matrix Pij 0 untuk semua i dan j dan
untuk i = 0, 1, 2, …
Matriks peluang transisi dan sebaran peluang untuk initial process dapat mendefinisikan proses secara lengkap: Peluang gabungan dari proses Markov sejak proses tersebut dimulai Pr{ X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1 , X n in } P A, B P A B P A B
Perhitungan peluang gabungan
Pr{ X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1 , X n in } Memanfaatkan sifat peluang bersyarat Pr{ X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1}
Pr X n in X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1
Pr X n in X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1 Pr X n in X n 1 in 1
Dengan sifat bahwa nilai peubah pada waktu ke n+1 hanya tergantung pada nilai peubah pada waktu ke n (waktu sebelumnya)
Pr X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1 Pr X n in X n 1 in 1
Pr{ X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1}
Pr X n in X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1 Pr{ X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1 , X n in } Peluang gabungan dalam bentuk peluang bersyarat
Pr{ X 0 i0 , X 1 i1 , X 2 i2 ,, X n 1 in 1 , X n in } Secara rekursif akan diperoleh
hubungan berikut: pi0 Pi0i1 Pi1i2 Pin 1 ,in Pr X 0 i0 pi0 Di mana B.1.2.3. Transisi dan langkah dari Rantai Markov
Matriks peluang transisi hanya mendefinisikan proses perubahan dari state i ke state j dalam satu langkah (periode m ke m+1) Bagaimana jika ingin diketahui perubahan proses dari state i ke state j dalam n langkah (periode m ke m+n)?
(n) ij
P
Pik Pkj( n 1) k 0
Peluang transisi n langkah dari rantai Markov memenuhi (Chapman-Kolmogorov equations):
n P (n) P P P P nfaktor
Yang merupakan elemen dari:
0 1 P 0 0.99 0.01 1 0.08 0.92
Dengan matriks peluang transisi:
Pr X 4 1 | X 1 1 P11 3
Berapa peluang diperolehnya produk keempat cacat jika
produk pertama cacat
Elemen baris 1 kolom 1 pada matriks P3 B.1.2.4. Contoh Rantai Markov Pada Sistem Sediaan Pada suatu sistem persediaan (gudang) Harus selalu ada stok untuk memenuhi permintaan Misal: Pengisian persediaan dilakukan setiap akhir minggu ke n = 0, 1, 2, …. Pr n 2 a2 0.1 Pr n 1 a1 0.4 Pr n 0 a0 0.5
Total permintaan pada minggu ke n adalah peubah acak ξn (misalkan hanya ada 0, 1, atau 2 permintaan) dengan peluang:
ak 0, ak k 0
Pr n k ak Jika secara umum k menunjukkan kemungkinan jumlah
permintaan, k = 0, 1, 2
Pengisian stok berdasarkan jumlah persediaan di akhir minggu ke n (Xn): Jika Xn ≤ s unit pengisian stok dilakukan sampai dengan S unit (S>s) Jika Xn > s unit, tidak perlu dilakukan pengisian stok Xn adalah proses stokastik dengan kemungkinan state: S, S-1, …, 1, 0, -1, -2, … Xn<0 jika terjadi back order Misalkan S=2 dan s=0, maka: Jika Xn ≤ 0 unit pengisian stok dilakukan sampai dengan 2 unit Jika Xn > 0 unit, tidak perlu dilakukan pengisian stok Jumlah persediaan di akhir minggu ke n+1 (Xn+1) dipengaruhi oleh: X n ξ n 1, jika s X n S S ξ n 1, jika X n s
X n 1
Jumlah persediaan di akhir minggu ke n (Xn)
Demand pada minggu ke n+1 (ξn+1 ) X n ξ n 1, jika 0 X n 2 2 ξ n 1, jika X n 0
X n 1
Dilakukan pengisian stok atau tidak
2, 1, 0, -1 adalah kemungkinan state dari Xn
Xn adalah rantai markov (diskrit) karena: State Xn+1 tergantung dari state di periode sebelumnya, Xn
Prn 1 i j, jika s i S Pr X n ξ n 1 j | X n i , jika s i S Pij Pr S ξ n 1 j | X n i ,jika i s Prn 1 S j, jika i s
Pij
Pij Pr X n 1 j | X n i Transition probability dari sistem sediaan ini adalah
Pr n 1 i j, jika 0 i 2 Pij Pr X n 1 j | X n i Pr n 1 2 j, jika i 0
Dengan S=2, s=0
Pada i=1 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j=-1, 0, 1 di akhir periode n+1 Perhitungan peluang transisi Pada i=2 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= 0, 1, 2 di akhir periode n+1 Dengan cara perhitungan peluang transisi yang sama seperti pada i=1 Pada i=0 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= 0, 1, 2 di akhir periode n+1 Pada i=0 terjadi pengisian stok, menjadi 2 unit di awal periode n+1 Pada i=-1 di akhir periode n, terdapat kemungkinan j= -1, 0, 1 di akhir periode n+1
1 1 0 P 0 0 1 0.1 2 0
0 0.1 0.1 0.4 0.1
1 0.4 0.4 0.5 0.4
2 0.5 0.5 0 0.5
Dengan matriks peluang transisi selengkapnya:
B.1.2.5. Contoh Rantai Markov Pada Sistem Antrian Pelanggan datang dan menunggu di pemberhentian taxi Taxi datang setiap 5 menit Jika dalam kurun waktu 5 menit ada pelanggan datang, taxi yang datang segera melayani 1 pelanggan yang datang paling awal, pelanggan selainnya menunggu di antrian (kedatangan 5 menit berikutnya) Jika dalam kurun waktu 5 menit tidak ada pelanggan datang, taxi segera berangkat kembali Waktu pengamatan dibagi setiap periode 5 menit, Akhir periode adalah pada saat kedatangan taxi Pengamatan Xn: Jumlah pelanggan yang menunggu di antrian pada awal periode n Dengan kemungkinan state: 0, 1, 2, … Pr n k ak
Dalam satu periode terdapat beberapa kemungkinan jumlah pelanggan yang datang, dengan ξn dengan sebaran peluang:
ak 0, ak k 0
k menunjukkan kemungkinan jumlah pelanggan yang datang, k = 0, 1, 2, …
Jumlah pelanggan di awal periode n+1 (Xn+1) tergantung pada: Jumlah pelanggan di awal periode sebelumnya (Xn) X n 1 n , jika X n 0 jika X n 0 n ,
X n 1 (ξn )
Jumlah pelanggan yang datang di periode n,
Pr X n 1 n j | X n i Pij Pr X n 1 j | X n i Dengan peluang transisi jika
Xn>0:
X n 1 n , jika X n 0 jika X n 0 Pr n j 1 i Pri 1 n j n ,
X n 1
Pr n j a j P0 j Pr X n 1 j | X n 0 Jika Xn=0, pada periode n taksi tidak
melayani siapapun:
Pr n j a j P1 j Pr X n 1 j | X n 1
Jika Xn=1, pada periode n taksi melayani satu penumpang ini, selainnya menunggu untuk periode berikutnya:
Pr n j 1 a j 1 P2 j Pr X n 1 j | X n 2 Jika Xn=2
Dengan matriks peluang tansisi selengkapnya 0 1 P2 3 4
0 1 2 3 a0 a1 a2 a3 a0 a1 a2 a3 0 a0 a1 a2 0 0 a0 a1 0 0 0 a0
4 a4 a4 a3 a2 a!
BAB III PENUTUP KESIMPULAN Statistika dan stakostik dipelajari di berbagai bidang ilmu karena statistika dan stakostik adalah sekumpulan alat analisis data yang dapat membantu pengambil keputusan untuk mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan pada analisis data dari data yang dikumpulkan. Selain itu juga kita bisa meramalkan keadaan yang akan datang berdasarkan data masa lalu. Statistika Deskriptif memberikan informasi yang terbatas, yaitu memberi informasi yang terbatas pada data apa adanya. Oleh karenanya pemakai statistik deskriptif tidak dapat mengambil kesimpulan yang umum atas data yang terbatas. Kesimpulan yang dapat diambil, terbatas atas data yang ada. Kegunaan mempelajari ilmu Statistik dan Stakostik adalah: 1. Memperoleh gambaran suatu keadaan atau persoalan yang sudah terjadi.
2. Untuk Penaksiran (Forecasting 3. Untuk Pengujian (Testing Hypotesa) Sedangkan Pentingnya mempelajari Dispersi data didasarkan pada 2 pertimbangan: 1. Pusat data (rata2, median dan modus) hanya memberi informasi yang sangat terbatas. 2. Kedua, dispersi data sangat penting untuk membandingkan penyebaran dua distribusi data atau lebih. SARAN Pada umumnya mahasiswa kurang berminat mempelajarinya karena pelajaran ini adalah pelajaran yang “menggentarkan”, ada benarnya. Ini mungkin terjadi karena adanya anggapan bahwa dengan mempelajari ini maka seseorang harus benar-benar memiliki kemampuan matematika yang kuat. Tentu saja, jika yang dipelajari adalah statistika teoritis atau statistika matematis. Namun, untuk belajar statistika terapan - khusus untuk kepentingan penelitian ilmiah- seseorang tidak perlu memiliki latar yang kuat di bidang matematika. Cukup
dengan
mengetahui
prinsip-prinsip
dasar
aritmatika, seperti
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar.
DAFTAR PUSTAKA
http://poetrinice.blogspot.co.id/2013/04/tugas-makalah-statistik.html elisa.ugm.ac.id/user/archive/download/.../7a201ea60503d00eec6c4c7e66d2f20d rahmafitriani.lecture.ub.ac.id/files/2013/09/4Proses-Stokastik.pptx atinaahdika.com/wp-content/uploads/2015/04/Rantai_Markov_Waktu_Kontinu.pdf
