PROSES STOKASTIK - 2016.docx

PROSES STOKASTIK HARYONO 2016

PROSES STOKASTIK, 3 SKS Tujuan Pembelajaran: Mahasiswa diharapkan mampu menerapkan konsep-konsep proses stokastik modern dalam bidang industri dan jasa (marketing, reliability, inventori, sistem antri, quality control). Kompetensi: 1. Mahasiswa mampu menyusun model stokastik dari proses atau sistem yang dipelajari. 2. Mahasiswa mampu melakukan analisis dari model stokastik yang disusun. per anca ncangan ngan (design) dan pe pengend ngenda alian lian 3. Mahasiswa mampu melakukan pe (control) parameter proses atau sistem secara optimal. 4. Mampu menggunakan perangkat lunak untuk menganalisis kinerja proses atau sistem. Pustaka Utama: 1. Kulkarni, V.G. 2008. Mo M odeling, A naly nalysis, sis, D esign sig n and Cont Contr ol of Stoc Stochast hastii c Syst System, Springer. 2. Lawler, Gregory F. 2006. I ntro ntroducti ucti on to Stocha Stochasti sticc Pr P r ocesse cessess. Chapman and Hall. Prasyarat : Matematika Statistika I Sistem Penilaian : UTS (30%), UAS (40%), Tugas/Diskusi/Presentasi (30%) Minggu

1,2 3,4 5,6 7,8 9 10,11,12 13,14,15 16

Pembahasan Pengertian Proses Stokastik, Klasifikasi, Markov Chain, Probabilitas Transisi, Matriks Stokastik. Matriks Stokastik m-langkah, Distribusi Limit, Model Beaya, First Passage Time Persatuan Waktu Proses Poisson (PP), PD Proses Poisson, Fungsi Intensitas, sifat-sifat PP, Proses Poisson Non Homogin (PPNH). Compound Poisson Process, Process , Distribusi Limit, Matriks Rate, Model Beaya, First Beaya, First Passage Time UTS Analisis Transein; Uniformisasi, Proses Input-Output, Sistem Antri dengan Kapasitas Terbatas dan Tak Terbatas. Proses Renewal, Proses Kumulatif, Proses Semi Markov, Model Beaya. UAS

Modul Ajar Stokastik – Stokastik – Haryono Haryono 2016 | 1

MODUL I

MARKOV CHAIN

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

PENGERTIAN PROSES STOKASTIK MARKOV CHAIN DISTRIBUSI LIMIT EKSPEKTASI BEAYA PERSATUAN WAKTU FIRST PASSAGE TIME LATIHAN SOAL

Modul Ajar Stokastik – Haryono 2016 | 2

MODUL I MARKOV CHAIN 1.1

Pengertian Proses Stokastik : adalah himpunan variabel random yang berevolusi terhadap waktu. Klasifikasi Proses Stokastik : Markov Chain, Proses Markov, Proses Renewal, Proses Semi-Markov. Contoh 1: Sistem inventori, harga saham, tinggi gelombang laut, banyak klaim asuransi, kesehatan.

1.2

MARKOV CHAIN : adalah proses stokastik dengan state space diskrit dan parameter space diskrit. Langkah-langkah mempelajari Markov Chain : a. Identifikasi State Space dan Parameter Space Proses. b. Identifikasi transmisi-transmisi yang mungkin antar state. c. Susun diagram transisinya. d. Hitung probabilitas transisi antar state. e. Susun matriks stokastik. f. Hitung kinerja proses yang diinginkan, antara lain distribusi limit, first passage time dan ekspektasi beaya proses berada di state tertentu dalam jangka panjang. Sifat Markov: State pada langkah ke (n+1) hanya tergantung pada state pada langkah ke n, tidak tergantung pada langkah sebelum n. Probabilitas Transisi: Probabilitas transisi dari state i ke state j dalam satu langkah ditulis: pij



 P X n 1 

j | X n



i

(1.1)

Sifat-sifat Probabilitas Transisi : 

pij



0 untuk 0



i , j

 

(1.2)





 p j 1

ij

 1 untuk 0  i , j  

Contoh 2 : Pemakaian sebuah mesin, pada saat berhenti mesin dapat dalam kondisi baik atau rusak. Pertanyaan : a) Jelaskan sifat Markov untuk penggunaan mesin tersebut dan apa manfaatnya? b) Identifikasi state space dan parameter spacenya. c) Identifikasi transisi-transisi antar statenya. d) Buat diagram transisinya. e) Hitung probabilitas transisi antar state dan susun matriks stokastiknya.


f) Hitung matrik stokastik 2 langkah dan 3 langkah Contoh 3 : Dari Contoh 2, diberikan data kondisi penggunaaan mesin tersebut untuk 18 mesin sebagai berikut : BBBBRBBRRBBBRBBRRB Pertanyaan : Susun matriks stokastiknya. Persamaan Chapman- kolmogorov : yaitu p suatu matriks stokastik dari Markov Chain yang homogen : ( m) P

m m 1 P  P  P

(1.3)

Contoh 3 : Brand Switching Analysis (Perpindahan Pelanggan), dalam riset pasar, informasi yang diinginkan adalah - Memprediksi pangsa pasar mendatang (market share) - Memprediksi laju pertumbuhan atau penurunan pangsa pasar - Melakukan analisis adalah promosi bagian pemasaran berhasil atau tidak - Memprediksi apakah dimasa mendatang pasar mencapai kondisi equilibrium (pangsa pasar konstan) - Dalam era digital menggunakan big data analytics

Disuatu daerah tertentu terdapat tiga perusahaan minuman ringan merk A, B dan C yang bersaing berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu terdapat perpindahan pelanggan karena adanya promosi, perubahan selera dan lain-lain. Tabel 1 menunjukkan data perpindahan pelanggan yang dicatat selama 1 bulan. Tabel 1. Data Perpindahan Pelanggan di Tiga Perusahaan

Perusahaan

1 Agustus

A B C

200 500 300

Dari A 0 20 20

Bertambah Dari Dari B C 35 25 0 20 15 0

Ke A 0 35 25

Berkurang Ke B 20 0 20

Ke C 20 15 0

1 September 220 490 290

Pertanyaan : a. Jelaskan state space dan parameter space dari proses perpindahan pelanggan. b. Sebutkan asuransi-asuransi agar sifat Markov berlaku. c. Sususn matriks stokastiknya dan interpretasikan. Contoh 4 : Sistem Inventori Sebuah toko menjual kamera merk tertentu dan membelinya dari distributor pada tiap akhir minggu. Toko tersebut menggunakan sistem inventori (s, S), dimana jika pada suatu akhir minggu tertentu banyak kamera ditoko kurang dari 1 (s<1) maka toko boleh memesan ke distributor 3 kamera (S=3) pada akhir minggu tersebut, jika s ≥1 maka tidak ada pemesanan ke distributor. Pertanyaan : a. Sebutkan state space dan parameter space sistem inventori tersebut.


b. Jelaskan mengapa banyak kamera yang diatur oleh sistem inventori (s, S) tersebut bersifat Markov, Jelaskan! c. Dari 36 minggu pengamatan diperoleh data banyak karena pada akhir minggu sebagai berikut.

d.

e. f. g. 1.3

 3 1 3 2 2 3    2 1 1 0 1 1  0 0 0 0 1 0   1 1 0 3 0 0    0 2 2 0 0 0 0 1 2 1 0 1   Jelaskan distribusi apa yang sesuai untuk data inventori ters ebut. Berdasarkan hasil di soal c, susun matriks stokastik proses inventori tersebut. Jelaskan manfaatnya matrikis stokastik yang diperoleh bagi distribusi dari pemilik toko! Hitung matriks stokastik 2 langkah dan 3 langkah serta interpretasikan! (Perhitungan cukup 3 desimal) Hitung probabilitas terdapat 1 kamera di minggu ke 2 dan 3 kamera di minggu ke3. Interpretasikan! Hitung mean recurrence time tiap state, Interpretasikan!

DISTRIBUSI LIMIT Untuk memudahkan perhitungan kinerja proses, maka proses dianggap telah berlangsung lama atau berada dalam kondisi steady-state atau equillibrium. Dalam mempelajari kondisi proses dalam kondisi steady-state, ada 3 pertanyaan penting, yaitu:

1.

Apakah pmf Xn mendekati nilai limit bila m ? Jika limit ini ada maka limit ini disebut distribusi limit, dan ditulis :  ( i ,  2 , ,  m ) (1.4) 

Dimana   lim P ( X i n 2.

3.

 j ),

 j  S

Jika distribusi limit ada maka apakah distribusi limit ini tunggal ( unique)? Pertanyaan ini adalah alami karena distribusi limit tergantung pada distribusi awal Markov Chain. Jika distribusi limit ada maka bagaimana cara menghitungnya?

Berikut ini diberikan hasil-hasil penting berkaitan dengan distribusi limit : 1. Distribusi limit ada dan tunggal bila state space nya : a. Irreducible : Setiap state dapat dicapai dari state lain dalam beberapa langkah b. Tunggal : State ada yang bersifat aperiodik Catatan : suatu Markov Chain Finite disebut reguler bila irreducible dan aperiodik 2. Jika distribusi limit  ada maka ia memenuhi persamaan seimbang berikut :  i 

m

 p i

ij

,  j  S

(1.5)

i 1

Dan Modul Ajar Stokastik – Haryono 2016 | 5

m





ji

 1

(1.6)

j 1

Secara matriks ditulis





P 

(1.7)

Contoh 5 : Lihat kembali Contoh 2, apakah matriks stokastiknya memenuhi sifat irreducible dan tunggal? Hitung distribusi limitnya dan interpretasikan! Contoh 6 : Lihat kembali Contoh 4, apakah matriks stokastiknya memenuhi sifat irreducible dan tunggal? Hitung distribusi limitnya dan interpretasikan! 1.4

Ekspektasi Beaya Persatuan Waktu dalam Jangka Panjang Misal C(i) adalah beaya yang ditimbulkan bila proses di state dalam jangka panjang, untuk Markov Chain yang reguler maka ekspektasi beaya persatuan waktu dalam jangka panjang adalah : m



j C ( j)

(1.8)



j 1

Contoh 7 : Lihat kembali Contoh 4 mengenai sistem inventori. a. Andaikan ada beaya simpan dari tiga kamera yang tidak laku terjual pada akhir minggu. Jika tersisa 1 kamera maka beaya simpan Rp.50.000 ,tersisa 2 kamera maka beaya simpan Rp.200.000 dan tersisa 3 kamera maka ada beaya simpan Rp.500.000. Hitung rata-rata beaya simpan tiap minggu dalam jangka panjang ( steady-state)! b. Andaikan dalam suatu inventori ini ada beaya pesan yang dinyatakan dengan Rp.(25.000+80.000Z), dimana Z adalah banyak kamera yang dipesan dari distributor. Beaya penalti adalah Rp.200.000/kamera. Hitung rata-rata beaya invenori tiap minggu dalam jangka panjang! 1.5

F irst Passage Time Misal T adalah variabel random yang menunjukkan jangka waktu pertama kali proses masuk ke state tertentu. Ditulis: T 

min m  0, X n

Definisikan nilai ekspektasi dari T sebagai

mi



 N

T | X 0  i  , maka nilai

 E

mi

memenuhi

persamaan berikut : N 1

mi  1 

 pij m j

, 1  i  N  1

(1.9)

j 1

Contoh 8 : Machine Reliability Dalam state proses produksi, perusahaan menggunakan 2 mesin yang identik dan terdapat 1 orang teknisi. Dari pengamatan masa lalu terdapat informasi sebagai berikut :


-

Jika sekarang mesin baik maka probabilitas besok juga baik adalah 0,98 ada rusak dengan probabilitas 0,02. - Jika sekarang mesin rusak maka probabilitas besok baik adalah 0,97 atau tetap rusak dengan probabilitas 0,03. Setelah diperbaiki mesin dianggap baru seperti semula (as good as new). Pertanyaan : a. Susun matriks stokastiknya! b. Hitung ekspektasi jangka waktu kedua mesin rusak pertama kali, Interpretasikan!

ISTILAH-ISTILAH PENTING

State Space Parameter Space Sifat Markov Probabilitas Transisi Probabilitas m-langkah Matriks Stokastik Persamaan Chapman-Kolmogorov Diagram Transisi

Probabilitas Transisi Mean Recurrence Time Distribusi Limit Irreducible Aperiodiki Ekspektasi Beaya First Passage Time


1.6

SOAL-SOAL LATIHAN MODUL 1 (MARKOV CHAIN)

1. Diberikan matriks stokastik sebagai berikut :  0,20 0,30 0,50    P   0,10 0,00 0,40   0,55 0,10 0,45    Pertanyaan : a. Berapa banyak statenya dan dapatkan b. Hitung

2

P

4

10

p23

serta interpretasikan!

15

, P , P , dan P . Interpretasikan apa yang saudara peroleh dan

interpretasikan! c. Periksa apakah distribusi limit matriks stokastik ini ada? Kalau ada apakah tunggal? Jika ada dan tunggal maka hitung distribusi limitnya! 2. Diberikan matriks stokastik sebagai berikut :  0 1 0    P   0,10 0 0,9   0 1 0    Pertanyaan : a. Hitung

2

3

4

5

P , P , P , P

6

, P . Simpulkan hasil yang saudara peroleh!

b. Periksa apakah distribusi limit ada dan tunggal. Beri penjelasan! 3. Diberikan matriks stokastik sebagai berikut :

 0  P   1  3  0 

1

1 2 2

0



2



3 0 

1



Pertanyaan : a. Buat diagram transisinya, dan perlihatkan P adalah Markov Chain yang bersifat regular! b. Dapatkan distribusi limitnya! c. Berdasarkan diagram transisi antar state yang mempunyai mean recurrence time paling pendek dan state mana yang paling panang. Periksa jawaban saudara dengan menghitung mean recurrence time nya! 4. Matriks stokastik berikut merupakan matriks perpaduan pelanggan dari 3 perusahaan A, B, C didaerah tertentu.

P

A

B

C

A

0,2

0,6

0,2

B

0,1

0,5

0,4

C

0,2

0,3

0,5



Untuk meningkatkan pangsa pasar dalam jangka panjang, Perusahaan A mengembangkan 2 strategi yaitu


Strategi 1 : Perusahaan A ingin meningkatkan pangsa pasarnya dari 20% menjadi 40% dengan cara mengurangi banyaknya pelanggan yang pindah ke B. Diperoleh matriks stokastik baru yaitu :

P

A

B

C

A

0,4

0,4

0,2

B

0,1

0,5

0,4

C

0,2

0,3

0,5



Strategi 2 : Sebagai alternatif perusahaan A mengakui secara langsung memfokuskan untuk mendapatkan lebih banyak pelanggan dari C. Andaikan A merancang promosi untuk meningkatkan presentase pelanggan dari C dari 20% menjadi 40%. Diperoleh matriks stokastik yang baru yaitu :

P

A

B

C

A

0,2

0,6

0,2

B

0,1

0,5

0,4

C

0,4

0,1

0,5



Pertanyaan : a. Interpretasikan hasil strategi 1! b. Interpretasikan hasil strategi 2! c. Strategi mana yang menguntungkan perusahaan A dalam jangka panjang? d. Sebutkan asumsi-asumsi yang saudara gunakan agar strategi tersebut berlaku! 5. Disebuah daerah pertanian, seluruh kegiatan perbelanjaan dan bisnis dipusatkan dalam kota. Kota tersebut memiliki satu pusat pertanian dan perkebunan yang menjual pupuk pertanian dan perkebunan lokal. Pusat tersebut memilki tiga merk pupuk (Plant Plus, Crop Extra, dan Grofast) sehingga setiap masyarakat yang menggunakan pupuk di kota tersebut menggunakan salah satu dari ketiga merk tersebut. Pusat perkebunan memiliki 9000 pelanggan pupuk setiap musim tanam. Suatu studi penelitian pasar mendapatkan bahwa pelanggan mengganti erk pupuknya berdasarkan matriks stokastik berikut : Musim Tanam saat ini

Musim Tanam Berikutnya Plant Plus

Plant Plus P=

Crop Extra Grofast

 0,4   0,5  0,4 

Crop Extra

Grofast

0,3

0,3 

0,1

0,4 

0,2



0,4 

Jumlah pelanggan yang saat ini menggunakan setiap merk pupuk ditunjukkan di bawah ini : Merk Pupuk Plant Plus Crop Extra Grofast

Pelanggan 3000 4000 2000


Pertanyaan : (Gunakan pendekatan 4 desimal dalam menghitung probabilitas) a. Taksir banyak pelanggan yang menggunakan pupuk plant plus pada masa ta nam ketiga. b. Taksir banyak pelanggan yang menggunakan pupuk Grofast pada masa tanam keempat. c. Jika setiap pelanggan rata-rata memerlukan 10 ton puouk (@Rp.10.000 tiap kg) maka ramalkan hasil penjualan tiap jenis pupuk di daerah tersebut dalam jangka panjang. 6. Sebuah kota memiliki tiga buah pompa bensin, yaitu Petroco, National, dan Gas Corp. Penduduknya membeli bensin dengan dasar bulanan. Matriks stokastik berikut berisi probabilitas trasnsisi pembelian sustu merk premium tertentu oleh para pelanggan di bulan berikutnya : Bulan ini

Bulan Berikutnya Petroco

Petroco P = National Gas Corp

 0,5   0,1  0,1 

National

Gas Corp

0,3

0,2 

0,7

0,2 

0,1



0,8 

Pertanyaan : a. Selidiki apakah matriks stokastik P bersifat erreducible dan aperodik? b. Jika seorang pelanggan membeli National bulan ini maka hitung probabilitas dia membeli National bulan kedua! c. Dari soal no.b hitung probabilitas pelanggan akan me mbeli National pada bulan ketiga! d. Dari soal no.b hitung probabilitas pelanggan akan me mbeli National pada bulan keempat! e. Jika rata-rata setiap pelanggan membeli premium Rp.250.000 tiap minggu (jumlah pelanggan seluruhnya 7000 orang) maka taksir nilai penjualan Gas Corp tiap minggu dalam jangka panjang! 7. Andaikan pada suatu daerah tertentu, kondisi cuaca apakah hari ini hujan atau tidak tergantung pada kondisi cuaca 2 hari berturut-turut sebelumnya. Yaitu jika dua hari yang berturut-turut hujan maka probabilitas besok hujan adalah 0,7. Jika hari ini hujan tetapi hari kemaren tidak maka probabilitas besok hujan adalah 0,5. Jika kemaren hujuan tetapi hari ini tidak maka probabiitas besok hujan adalah 0,4. Dan jika tidak terjadi hujan dua hari berturut-turut maka probabilitas besok akan turun huja sebesar 0,2. Pertanyaan : a. Jika diambil state (hujan atau tidak) pada hari ke-n akan tergantung pada cuaca apakah hujan atu tidak pada waktu ke-n maka jelaskan apakah model ini suatu Markov Chain atau tiak? Jelaskan jawaban anda! b. Jika model diatas bukan Markov Chain maka jelaskan caranya menggunakan transformasi agar model menjadi Markov Chain! c. Dari soal b. Tulis matriks stokastinya. Modul Ajar Stokastik – Haryono 2016 | 10

8. Gambar berikut merupakan gambar transisi untuk Markov Chain tertentu :

Pertanyaan : a. Tuliskan matriks stokastiknya! b. Dalam kmondisi bagaimana (kalau ada) Markov chain bersifat irreducible dan aperodik? c. Dapatkan distribusi limit dari P. Interpretasikan! d. Hitung mean reccurence time dari state 2. Interpretasikan! e. Untuk nilai  dan p berapa diperoleh  1   2   3 ? Beri interpretasi fisik dari keadaan ini! 9. Misal  X n , n  0 adalah RMD homogen pada state space S={1,2,...,N} dan matriks stokastik P. Untuk

i0 , i1 , , ik 1, ik  S ,

P  X 1



perlihatkan bahwa :

i0 , i1,, ik 1, ik i k | X 0 





i0  P i 0,i1,, pik 

1,ik



10. Misal P adalah matriks stokastik berukuran NxN. Dengan menggunakan interpretasi probabilitas, perlihatkan bahwa P N juga merupakan matriks stokastik.


MODUL 2

PROSES MARKOV

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

PROSES POISSON HOMOGIN & NON-HOMOGIN MATRIKS RATE ANALISIS TRANSIENT : Metode Uniformisasi MATRIKS OKUPANSI DISTRIBUSI LIMIT MODEL BEAYA FIRST PASSAGE TIMES LATIHAN SOAL


MODUL 2 PROSES MARKOV Proses Markov adalah proses stokastik dengan state space diskrit dan parameter space kontinyu. Parameter spacenya merupakan waktu transisi antar state yang diasumsikan sesuai distribusi eksponensial. Karena distribusi eksponensial bersifat pelupa maka setiap transisi dari suatu state ke state yang lainnya bersifat Markov. Dengan menggunakan sifat Markov maka perhitungan kinerja proses mudah dilakukan dan hasilnya cukup andal bila proses memenuhi asumsi. Dalam penerapannya harus dilakukan pemeriksaan asumsi distribusi eksponensial dengan melakukan pengumpulan data waktu transisi proses dan menggunakan prosedur uji hipotesis yang sesuai untuk menyimpulkannya. 2.1

Proses Poisson Homogin : adalah Proses Markov yang paling sederhana dan mempunyai banyak penerapan, antara lain dalam bidang asuransi, ruin theory, reliabilitas dsbnya. Proses Poisson adalah kejadian khusus dari proses hitung ( Counting Process), dimana distribusi waktu kejadian sesuai distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial merupakan satu-satunya distribusi kontinyu yang bersifat pelupa. Contoh 2.1 : Data berikut menunjukkan life time komponen elektronik tertentu (satuan dalam jam). 12 64 52 98 120 62 53 101 34 225

Pertanyaan : a. Simpulkan data sesuia distribusi eksponensial. b. Taksir nilai parameter distribusi eksponensial. c. Hitung probabilitas komponen akan rusak dalam waktu 25 jam. Interpretasikan! d. Andaikan komponen telah berungsi baik selama 50 jam maka hitung probabilitas komponen akan rusak dalam 25 jam berikutnya. Interpretasikan! Asumsi-Asumsi Proses Poisson Homogin : Misal N(t) adalah banyak kejadian dalam waktu t : 1. N(t)=0 2. N(t) mempunyai sifat kenaikan bebas (independent increment) 3. N(t) mempunyai sifat penambahan tetap (stationary increment) 4. Dalam interval waktu yang kecil hanya boleh terjadi satu keja dian, ditulis : P  N t   1   t  0t  dan P  N t   2  0t  Definisi Proses Poisson : Proses stokastik  N t ; t  0 dimana N(t) memenuhi asumsi-

asumsi diatas disebut Proses Poisson dengan rate  . Berdasarkan asumsi-asumsi diatas dapat disusun PD Proses Poisson sebagai berikut :

 P k (t )   P k 1 (t )   P k (t )  P 0 (t )   P 0 (t ) 

k 0,1,2,  


Dengan syarat batas P0(0)=0 dan Pk (0)=0, k=0,1,2,3,.... Penyelesaian umum PD Poisson adalah :

 

P N t





k



e



 t

 t k ,

k=0,1,2,...

k !

(2.1)

Contoh 2.2 : Proses kedatangan pelanggan kesuatu bank sesuai Proses Poisson dengan laju kedatangan 15 orang tiap menit. Pertanyaan : a. Jelaskan analisis data untuk mengetahui proses kedatangan sesuai Proses Poisson. b. Hitung probabilitas dalam 1 jam terdapat 60 pelanggan yang datang. c. Hitung probabilitas terdapat 100 pelanggan yang datang natara jam 10.00-10.30 bila diketahui antara jam 09.00-09.45 ada 40 pelanggan yang datang. d. Hitung P{N(30)-N(20)}=5 orang. e. Hitung E{N(t)} dan Var{N(t)} untuk 30 menit. Sifat-Sifat Proses Poisson : 1. Distribusi waktu kedatangan dalam Proses Poisson adalah distribusi eksponensial. 2. Azaz Dekomposisi : Pecahan Proses Poisson juga Proses Poisson dengan rate tertentu. Misal N(t) adalah Proses Poisson denga rate  , memecah dengan probabilitas p, menjadi 2 proses N1(t) dan N2(t). Masig-masing pecahan proses ini

juga merupakan Proses Poisson dengan rate

 p

dan (1  p) . Sifat ini dapat

diperluas untuk k pecahan Proses Poisson. 3. Azas Superposisi : gabungan Proses Poisson juga Proses Poisson. Misal N 1(t) dan N2(t) masing-masing Proses Poisson dengan rate  1   2 . Sifat ini dapat diperluas untuk gabungan k Proses Poisson. Contoh 2.3 : Misal ada 2 kejutan (shock) yang dapat menyebabkan kerusakan komponen elektronika tertentu. Kejutan jenis 1 timbul sesuai PP(0,01) dan akan menyebabkan kerusakan komponen dengan probabilitas 0,015. Kejutan jenis 2 juga timbul sesuai PP(0,02) dan akan menyebabkan kerusakan dengan probabilitas 0,025.

Pertanyaan : a. Tentukan distribusi umur (life-time) komponen tersebut. b. Hitung reliabilitas komponen setelah 100 hari. Proses Poisson Non Homogin (PPNH) t



Dalam PPNH, fungsi intensitasnya adalah fungsi dari waktu, ditulis  (t )   (t )dt 0

diperoleh :

 

P N t 





k



e

 t

 t k 

k !

, k=0,1,2,...

(2.2)

disebut nilai fungsi dari PPNH. Modul Ajar Stokastik – Haryono 2016 | 14

Contoh 2.4 : Andaikan usia pakai suatu komponen sesuai PPNH dengan fungsi intensitas 

(t )  0,02t 0,8

Pertanyaan : a. Dapatkan mean fungsi intensitasnya. b. Buat grafik fungsi intensitas dan mean fungsinya. c. Hitung ekspektasi banyak komponen yang rusak dalam interval waktu [0,20];[20,40];[40,60] dan [60,80] hari. Interpretasikan! CATATAN :  1

 Jika waktu kerusakan sesuai distribusi Weibull maka  t       t      dan   0 , maka disebut Power Law Process. Fungsi densitinya :  1

f (t ) 

2.2

  t 

 

   

dimana   0

  t    exp   , t  0     

Matriks Rate Dalam Modul 1 telah dibahas Markov Chain, dimana transisi proses dimodel dengan matriks stokastik P. Untuk proses Markov, jika digunakan matriks stokastik P(t) maka tak terhingga banyak elemen-elemennya, lagi pula cukup sulit mendapatkan matriks stokastik secara langsung dari proses. Untuk memudahkan disusun terlebih dulu matriks rate. Tetapi sifat-sifat kinerja proses tetap dianalisis dari matriks stokastiknya. Contoh 2.6 : Andaikan usia pakai satelit komunikasi sesuai distribusi eksponensial dengan mean

 .

Jika mesin rusak dapat diperbaiki dengan waktu perbaikan sesuia distribusi eksponensial dengan mean  . Misal X(t) adalah kondisi mesin saat t, nilainya 1 bila berfungsi baik dan 0 bila rusak. Pertanyaan : a. Jelaskan mengapa sifat Markov berlaku dan manfaatn ya untuk model penggunaan mesin ini. b. Susun matriks stokastik P(t). c. Susun diagram transisi dan matriks rate R. 2.3

Analisis Transien : Metode Uniformisasi Berikut akan dibahas metode uniformisasi untuk mendapatkan matriks stokastik P(t) dimatriks rate R : - Susun Matriks Rate R

-

Pilih r>max[r i], dimana r i 

N

 r ij j 1


-

Tentukan matriks P ˆ



P sebagai ˆ

berikut :

P ij ˆ

Dimana

 r ij 1  ; jika i  j r P ij   r ij  ; jika i  j  r ˆ

Contoh 2.7 : Andaikan R diberikan oleh :

0 4 R   0  1

2

3

0

0

2

0

2

0

0

3

  2  0

Pertanyaan : Dapatkan matriks stokastik

P . ˆ

Berikut ini diberikan persamaan untuk mendapatkan matriks stokastik P(t). Matriks stokastik P(t) diberikan oleh : 

P (t )   e k  0

 rt

rt k

p k ˆ

k !

(2.3)

Sebagai nilai penderetan sampai ke-M dapat digunakan pendekatan berikut : M  Max rt 

rt ,20

Contoh 2.8 : Dengan menggunakan nilai-nilai r dan P pada contoh 2.6. a. Tentukan matriks stokastik P(t). b. Hitung nilai P(0,5),(1) dan P(5) sampai 4 desimal. 2.4

Matriks Okupansi Dalam bagian ini akan dibahas cara menghitung ekspektasi banyak kali proses akan berada pada state tertentu dalam jangka waktu tertentu. Hasil yang diperoleh bermanfaat dalam analisis beaya. Misal mij(t) adalah ekspektasi banyak kali proses berada di state j dalam jangka waktu t jika mula-mula proses berada di state i, maka berlaku : T



mij (t )  pij (t )dt ; 1  i, j  N

(2.4)

0

Contoh 2.9 : Lihat kembali Contoh 2.6, andaikan rata-rata usia pakai mesin 10 hari dan rata-rata waktu perbaikan 1 hari. Pertanyaan : a. Jika awal September mesin baik maka hitung probabilitas mesin baik pada akhir September. b. Hitung ekspektasi banyak hari mesin rusak selama bulan Desember.


2.5

Distribusi Limit Untuk memudahkan perhitungan maka dianggap proses berlangsung lama dan matriks tokastik bersifat ergonic. Distribusi limitnya merupakan penyelesaian persamaan : N

P j r j   pi r ij ;

1  j  N

(2.5)

i 1 N

 pi  1

(2.6)

i 1

Contoh 2.10 : Lihat Contoh 2.9, Hitung distribusi limit dari keadaan mesin dan Interpretasikan! 2.6 Model Beaya 2.6.1 F inite H orizon Misal M(t)=(mij(t)) adalah matriks okupansi dan C adalah beaya yang terjadi bila proses berada disuatu state tertentu. Maka ekspektasi biaya total dalam jangka waktu T ( Finite Horizon) adalah : g (T )  M (t )C (2.7) Contoh 2.11 : Lihat kembali Contoh 2.9, andaikan mesin menghasilkan pendapatan Rp.A tiap hari dan jika terjadi kerusakan diperlukan beaya Rp.B tiap hari.

Pertanyaan : a. Jika mula-mula mesin berfungsibaik maka hitung ekspektasi pendapatan bersih dalam jangka waktu T. b. Andaikan A adalah Rp.240 juta dan B adalah Rp.48 juta, taksir pendapatan bersih bulan Oktober. 2.6.2 Long Ruw/Steady State Yaitu matriks stokastik mempunyai distribusi limit, maka ekspektasi beaya total persatuan waktu dalam jangka panjang adalah : N

g (i)   p j C ( j ) , 1  i  N

(2.8)

j 1

Contoh 2.12 : Lihat kembali Contoh 2.11, Hitung ekspektasi pendapatan bersih tiap hari dalam jangka panjang. 2.7

F irst Passage Times Kinerja proses lain dalam analisis Proses Markov adlah ekspektasi jangka waktu yang diperlukan untuk proses masuk ke state tertentu pertama kali. Misal T adalah jangka waktu proses masuk ke state N pertama kali, ditulis : T



min t  0, X (t )  N 


Dan nilai ekspektasi : mi





E T / X 0



i

 dan

m N



0

Untuk mi, 1
r i mi  1 

 r ij m j ,

1  i  N - 1

(2.9)

j 1

Persamaan 2.9 dapat diperluas untuk proses masuk himpunan state tertentu pertama kali. Misal mi(A) adalah ekspektasi jangka waktu proses masuk ke himpunan state A pertama kali maka berlaku persamaan : ‘ r i mi ( A)  1 

 r ij m j ( A), i  A

(2.10)

j A

Contoh 2.13 : Pesawat terbang komersial mempunyai 4 mesin, masing-masing 2 mesin tiap sayap. Masing-masing mesin mempunyai usia pakai sesuai distribusi eksponensial dengan parameter  . Setelah dipakai jangka waktu tertentu mesin rusak. Jika kerusaan pada saat terbang maka tidak dilakukan perbaikan. Pesawat memerlukan paling sedikit 1 mesin berfungsi baik pada tiap sayap agar dapat terbang dengan baik.

Pertanyaan : a. Susun Model Markov yang dapat digunakan untuk memprediksi probabilitas pesawat gagal dalam penerbangan. b. Andaikan usia rata-rata pemakaian mesin dijamin 200 jam dan andaikan juga keempat mesin berfungsi baik pada awal 6 jam penerbangan. Hitung probabilitas pesawat sukses dalam penerbangannya (mendarat dengan selamat). c. Hitumg ekspektasi lama waktu pesawat gagal terbang atau akan jatuh perta ma kali.

ISTILAH-ISTILAH PENTING

Distribusi Eksponensial Memoryless Property Proses Poisson PD Proses Poisson Proses Poisson Non Homogin Model Beaya ( Long Run & Finite Horizon)

Distribusi Limit First Passage Times Analisis Transient Distribusi Occupancy Matriks Rate


2.8

SOAL-SOAL LATIHAN MODUL 2 (PROSES MARKOV)

1. Andaikan proses kerusakan komponen tertentu sesuai PPH dengan intensitas  0,0125 kerusakan tiap hari. 

Pertanyaan : a. Hitung probabilitas tidak terdapat komponen yang rusak dalam waktu 100 jam. b. Probabilitas tredapat lebih 4 komponen rusak dalam 100 jam. c. Taksir banyak komponen yang rusak dalam 900-1000 jam. 2. Tinjau PPH dengan intensitas



1 

100

Hitung : a.  (t ) b. c.

E ( N (200))

P ( N 200)  5)

3. Tinjau PPNH dengan intensitas

 (t )



2  t 200


E ( N (200))

P ( N 200)  5)  1

4. Tinjau PPNH dengan intensitas  (t ) 

  t  t

    

dimana 0    1


E ( N (t ))

E ( N ())

5. Lihat kembali Contoh 2.6, tetapi ada 2 mesin dan 2 teknisi. Susun matriks stokastiknya. 6. Lihat Soal no.5, tetapi ada 4 mesin dan 2 teknisi. Susun matriks stokastiknya. 7. Misal suatu workshop mempunyai 4 buah mesin dan 2 orang mekanik untuk memperbaiki mesin yang rusak. Andaikan usia pakai (life-time) mesin sesuai distribusi eksponensial dengan mean 3 hari dan waktu perbaikan kerusakan mesin sesuai distribusi eksponensial dengan mean 2 jam; Workshop bekerja 24 jam. Misal {X(t)} adalah banyak mesin yang berfungsi baik pada waktu t. Pertanyaan : a. Jelaskan proses yang sesuai untuk sistem ini. b. Tentukan state space dari proses. c. Tentukan input rate dan output ratenya. d. Hitung probabilitas mesin bekerja baik dalam jangka panjang. e. Hitung probabilitas kedua mekanik sibuk dalam jangka panjang.


8. Andaikan dari soal no.1 diatas, masing-masing mesin menghasilkan pendapatan Rp.500.000 tiap jam jika bekerja dengan baik.= dan memerlukan biaya Rp.150.000 bila rusak perjamnya. Disamping itu ada tambahan iaya Rp.100.000 untuk tiap jam waktu perbaikan. Misal X(t) menunjukkan banyak mesin berfungsi baik dalam waktu t.  X (t ), t  0 adalah RMK dengan state space {0,1,2,3,4}. Pertanyaan : a. Susun matriks rate dari sistem. b. Hitung besar pendapatan tiap state dari sitem. c. Hitung ekspektasi pendapatan bersih tiap hari.


PROSES STOKASTIK - 2016.docx

Recommend Documents