PROSES STOKASTIK

PROSES STOKASTIK DAN SIFAT-SIFATNYA Dalam pemodelan matematika, istilah “determinis “deterministik" tik" dan “stokastik” “stokastik” seringkali seringkali didenga didengar. r. Apa Apa perbeda perbedaan an mendasa mendasarr antara antara determinis nistik dan dan stokas kastik? Untu ntuk  menjawab menjawab pertanyaan pertanyaan tersebut, tersebut, perhatikan perhatikan gambar berikut ini:

erang erangkai kaian an pengama pengamatan tan merupak merupakan an  proses deterministik apabila nilai dari sera serang ngkai kaian an pengam pengamat atan an ters terseb ebut ut dapat dapat dirumu dirumuska skan n se!ara se!ara pasti, pasti, akan akan tetapi tetapi jika jika  pengamatan tersebut belum dapat dirumuskan se!ara pasti dan didekati dengan  probabilistik disebut proses stokastik. stokastik. onsep onsep proses proses stokas stokastik tik merupa merupakan kan  perluasan dari konsep #ariabel a!ak dengan memasukkan parameter waktu. ata proses dalam konteks ini berarti $ungsi dari waktu. %adi proses stokastik dapat diartikan sebagai $ungsi stokastik dari waktu. e!ara teoritis, suatu proses stokastik  peubah

a!ak

dengan

{Y t } t 

 adalah koleksi   menyatakan

indeks indeks waktu. waktu.

Y t 

 sering disebut sebagai

kead keadaa aan n dan dan

t 

sering sering disebut disebut sebaga sebagaii

indeks indeks ¶m ¶mete eter. r. 'erdas 'erdasark arkan an jenis jenis dari dari ruang keadaan dan ruang parameter, proses

stokas stokastik tik dapat dapat diklas diklasi$i i$ikasi kasikan kan menjadi menjadi empat ma!am, yaitu: () *ros *roses es stokas stokasti tik k denga dengan n ruan ruang g keada keadaan an diskrit dan ruang parameter diskrit. alah satu !ontoh dari proses stokastik  ini adal adalah ah “+r “+rekue ekuens nsii klai klaim m suat uatu  perusahaan asuransi per bulan”. 'erdasarkan !ontoh tersebut, “+rekuensi klai klaim m suatu uatu per perusah usahaa aan n asur asuran anssi” meru merupak pakan an kead keadaa aan n denga dengan n “bul “bulan an”” merupak pakan indeks waktu ktu. uang keadaan pada !ontoh tersebut dihasilkan dari proses menghitung -countable -countable)) dan indeks indeks waktuny waktunyaa adalah adalah diskri diskritt karena karena  bersi$at bulanan. ) *ros *roses es stokas stokasti tik k denga dengan n ruan ruang g keada keadaan an kontinu dan ruang parameter diskrit. alah satu !ontoh dari proses stokastik  ini ini adala adalah h “/ “/aaktu ktu antar antar kedat kedatan angan gan klaim” klaim”.. 'erdas 'erdasark arkan an !ontoh !ontoh terseb tersebut, ut, “/aaktu antar “/ antar kedata kedatangan ngan”” merupak merupakan an keada keadaan an denga dengan n “kla “klaim im”” meru merupak pakan an inde indeks ks wakt waktu. u. uan uang g kead keadaa aan n pada pada !ont !ontoh oh ters terseb ebut ut meru merupa paka kan n sebu sebuah ah inter#al pada suatu garis bilangan real sehingga termasuk #ariabel kontinu. 0) *ros *roses es stokas stokasti tik k denga dengan n ruan ruang g keada keadaan an diskrit dan ruang parameter kontinu. 'erbeda dengan jenis pertama dan kedua sebelumnya, sebelumnya, indeks waktu pada proses stokas okasttik ini ini merup erupak akan an #ar #ariabel abel kontin kontinu. u. alah alah satu satu !ontohny !ontohnyaa adalah adalah “'anyak kejadian ke!elakaan kendaraan  bermotor dalam suatu waktu tertentu”. 1nde 1ndeks ks wakt waktu u pada pada !ont !ontoh oh ters terseb ebut ut meru merupa paka kan n #ari #ariab abel el kont kontin inu u kare karena na  pengamatan dilakukan se!ara kontinu.

2ontoh ini juga merupakan salah satu !ontoh aplikasi dari *roses enewal. 3) *roses stokastik dengan ruang keadaan kontinu dan ruang parameter kontinu. 'esar pergerakan nilai saham pada suatu waktu tertentu merupakan salah satu !ontoh jenis proses stokastik ini. 'iasanya 4odel 5erak 'rown digunakan untuk memodelkan proses stokastik seperti ini. alah satu hal penting untuk dibahas dalam proses stokastik adalah si$at6si$at yang terdapat didalamnya. 'erdasarkan si$at6si$at tersebut dapat ditentukan model yang tepat untuk proses stokastik

{Y t }

.

'eberapa si$at6si$at dari proses stokastik ini diberikan sebagai berikut:

#ariabel a!ak

Y r −Y s

 pada panjang dari inter#al tersebut

uatu

proses

uatu

proses

{Y t  , t ≥ 0 }

dikatakan memiliki kenaikan saling bebas

t 1 < t 2 < … < t n

,

t i , i =1,2, … , n

, dimana

#ariabel

Y 2−Y 1 ,Y 3−Y 2 , … , Y  n −Y n

merupakan proses 4arko# jika memenuhi si$at 4arko# berikut ini: q , r , s ∈ t  “Untuk setiap , dimana

Y s

q ≤ r < s , distribusi

sama dengan distribusi

{Y q , q ≤ r }

Y r

  bersyarat

Y s

  bersyarat

 atau dapat ditulis

f  ( y s∨ y r ) =f  (  y s∨ y t  , y t  ,…, y r ) 2

Dapat dikatakan bahwa proses marko# adalah suatu kejadian di masa yang akan datang hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak dipengaruhi masa lampau. Kestasioneran K!at (Stri"tl# Stationar#)

a!ak   uatu

−

1

 

saling

 bebas.

proses

{Y t , t ≥ 0 }

stokastik

dikatakan stasioner kuat jika untuk setiap

k > 0 ,

Kenaikan  Increments)

uatu

{Y t , t ≥ 0 }

stokastik

( Independent 

Bebas

stokastik

 jika untuk setiap

( r − s ) .

Proses Marko

1

Kenaikan Saling  Increments)

hanya tergantung

proses

Stasioner

( Stationary

1

stokastik

{Y t  , t ≥ 0 }

dikatakan memiliki kenaikan stasioner jika untuk setiap

f  (  yt  , y t  ,…, y t  ) =f  (  y t  , y t  ,…, yt 

r , s ∈ t  , dimana

r
2

n

1+ h

2+ h

n+ h

)

'iasanya si$at kestasioneran kuat ini sangat sulit dipenuhi dalam suatu proses stokastik, sehingga yang lebih sering digunakan adalah si$at kestasioneran le$a%& Kestasioneran 'e$a% ( Weakly Stationary)

uatu

proses

stokastik

{Y t  , t ≥ 0 }

dikatakan stasioner lemah jika untuk setiap t  ,

Var ( Y t ) =σ 

 memiliki

si$at martingale, jika  E [ Y t 

n+ 1

 E [ Y t ] = μ

{ Y t , t ≥ 0 }

uatu proses stokastik

∨ Y t 

1

, Y t  , … , Y  t  ] =Y t  2

n

n

2

 dan

Dengan kata lain, bahwa nilai mean dan #ariansinya selalu bernilai konstan. 7leh karena itu, kestasioneran lemah ini sering disebut juga kestasioneran orde kedua.

i$at martingale memberikan bahwa jika diberikan data masa lalu sampai sekarang, nilai kejadian -yang diharapkan) terjadi pada masa yang akan dating adalah nilai kejadian yang terjadi saat ini. umber:

%ika suatu proses stokastik memenuhi si$at kestasioneran kuat, hal itu berarti memenuhi  juga si$at kestasioneran lemah. Akan tetapi, tidak berlaku sebaliknya.  Martingale

•

•

'os8, D., and 9guyen, .;. (<<=. A Course  In Stochastic Processes Stochastic Models and Statistical Inference: pringer6!ien!e. http:&&share.its.a!.id&!ourse&#iew.php? id>((0