Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026) Advendos D.. Siga!ingging (131"105020) Sigit #udiantono (131"105056)
Proses Stokastik Proses Stokastik (Stochastic Process) adalah himpunan variabel random yang merupakan fungsi dari “waktu” (time). Parameter waktu diartikan dalam arti luas. luas. Proses Proses stokasti stokastik k sering sering juga juga disebu disebutt Proses Proses random random (andom (andom Process Process). ). !"ford !"ford #ictionary ($%%&) ($%%&) menafsirkan menafsirkan proses stokastik sebagai suatu barisan keja kejadi dian an yang ang memen emenuh uhii huku hukum' m'hu huku kum m pelu peluan ang. g. ull ull ($% ($%%* %* hlm. hlm.+, +,)) menyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu dengan cara yang tidak tidak tertent tertentu u (dalam (dalam ketida ketidakp kpasti astian) an) dikatak dikatakan an mengik mengikuti uti proses proses stokas stokastik tik.. #engan demikian* jika dari pengalaman yang lalu keadaan yang akan datang suatu barisan kejadian dapat diramalkan secara pasti* maka barisan kejadian itu dinama dinamakan kan determ determini inistik stik.. Sebali Sebalikny knyaa jika jika pengal pengalama aman n yang yang lalu lalu hanya hanya dapat dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang* maka barisan kejadian yang demikian disebut stokastik. Proses Proses stokast stokastik ik banya banyak k diguna digunakan kan untuk untuk memode memodelkan lkan evolusi evolusi suatu suatu sistem yang mengandung suatu ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tak dapat diduga* dimana model deterministik tidak lagi cocok dipakai untuk menelisik (menganalisis) sistem. -ontoh $. /ariabel random xn
meny menyata ataka kan n hasil hasil lemp lempara aran n ke'n* ke'n* n0$. n0$. 1aka 1aka
3 x n * n > $2 merupakan merupakan himpunan himpunan variabel variabel random* random* untuk n yang berbeda
akan didapat didapat variabel random yang yang berbeda xn . 4ni membentuk proses stokastik. ,. Seandainya 5n 6bany 6banyakn aknya ya “enam” “enam” yang yang tampak tampak dalam dalam n lempar lemparan an pertama. 7iap nilai n akan menghasilkan variabel random 5n yang berbeda yaitu yaitu 5$ 6 38*$2* 5, 6 38*$*,2* 5 & 6 38*$*,*&2 dan seterusnya. 9adi* 35 n * n0$2 merupakan himpunan variabel random. 4ni juga merupakan proses stokastik. &. 7erdap rdapat at r buah buah kota kotak* k* ters tersed edia ia bola bola seba sebany nyak ak tak tak terh terhin ingg gga. a. :ola :ola dimasukkan ke dalam kotak secara acak. 9ika ; n menyatakan banyaknya kotak yang terisi bolas setelah lemparan ke'n. 1aka 3; n*n<$2 merupakan proses stokastik. =tau seandainya 5n menyatakan banyaknya bola yang masuk pada kotak no. > setelah lemparan ke'n. #isini* 35 n* n<$2 juga merupakan proses stokastik. -ontoh Diskrit-Diskrit
;n :anyak mobil yang masuk jembatan Suramadu pada hari ke'n. State space :anyak mobil 3 ; n * n 0 82 Parameter space waktu ( diskrit ) ;n :anyak P yang dimiliki pada suatu keluarga pada tahun ke'n.
Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026) Advendos D.. Siga!ingging (131"105020) Sigit #udiantono (131"105056)
State space :anyak P 3 ; n * n 0 82 Parameter space waktu ( diskrit ) ;n 9umlah mahasiswa yang tinggal di asrama 47S pada tahun ke'n. State space :anyak mahasiswa 3 ;n * n 0 82 Parameter space waktu ( diskrit ) ;n :anyak laptop yang terjual di toko elektronik pada hari ke'n. State space :anyak laptop 3 ; n * n 0 82 Parameter space waktu ( diskrit ) ;n :anyak buku yang ada di perpustakaan 47S pada tahun ke'n. State space :anyak buku 3 ; n * n 0 82 Parameter space waktu ( diskrit )
Diskrit-kontinu
;t :anyak nasabah bank :?4 yang dilayani pada waktu ke 't . State space :anyak nasabah 3 ; t * t 0 82 Parameter space waktu (kontinu )
;t :anyak pengunjung @:A yang menggunakan wahana jet couster pada waktu ke Bt. State space :anyak pengunjung @:A 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu (kontinu ) ;t :anyak motor yang masuk parkir hi'tech mall pada waktu ke't. State space :anyak motor 3 ; t * t 0 82 Parameter space waktu (kontinu ) ;t :anyak kendaraan yang dilayani pada SP:C Dertajaya pada waktu ke Bt. State space :anyak motor 3 ; t * t 0 82 Parameter space waktu (kontinu ) ;t Ckuran sepatu anak S# saat waktu ke't. State space ukuran sepatu 3 ; t * t 0 82 Parameter space waktu (kontinu )
Kontinu-Diskrit
;t Eetaran ( skala richter ) Eunung 1erapi saat meletus pada menit ke'n. State space Eetaran ( skala richter ) 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( diskrit ) ;t 7inggi ombak air laut di selat 1adura pada hari ke B n. State space 7inggi ombak air laut 3 ; t * t 0 82 Parameter space waktu ( diskrit ) ;t Decepatan pembalap F$ pada lab ke'n. State space Decepatan 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( diskrit ) ;t :esar tagihan listrik suatu rumah pada bulan ke'n. State space :esar tagihan listrik 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( diskrit ) ;t Detinggian air pada waduk sidoarjo pada hari ke Bn. State space Detinggian air 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( diskrit )
Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026) Advendos D.. Siga!ingging (131"105020) Sigit #udiantono (131"105056)
Kontinu-Kontinu
;t :esar tegangan listrik PA? pada waktu ke't. State space tegangan listrik 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( kontinu ) ;t Decepatan angin di pantai kenjeran pada waktu ke't. State space Decepatan angin 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( kontinu ) ;t 4ntensitas cahaya matahari di Surabaya pada waktu ke't. State space 4ntensitas cahaya 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( kontinu ) ;t Dadar polusi udara di Surabaya pada waktu ke't. State space Dadar polusi 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( kontinu ) ;t #ebit air pada sungai berantas pada waktu ke't. State space #ebit air 3 ;t * t 0 82 Parameter space waktu ( kontinu )
RANTAI MARKOV DISKRIT
antai 1arkov diskrit adalah suatu proses stokastik dengan state space diskrit dan parameter space (waktu proses) disktit. #alam rantai 1arkov (sifat 1arkov) probabilitas suatu state pada waktu ke (nG$) hany tergantung pada kondisi stete pada waktu ke'n dan tidak tergantung pada kondisi'kondisi dari waktu'waktu sebelumnya. Suatu proses stokastik 3 ; n * n 0 82 dengan state space S 6 38* $* ,* &*H2 disebut antai 1arkov #iskrit (1#) jika untuk semua 4 dan j dalam s. P ( X n +$ = j J X n = i* X n −$ *...* X 8 ) = P ( X n +$ = j I X n = i )
($.$)
Suatu 1# disebut homogeny terhadap waktu jika untuk semua n 6 8* $* ,* H P ( X n +$ = j J X n = i ) = P ( X $ = j I X n = i)
($.,)
Perhatikan bahwa persamaan $.$ memiliki arti bahwa probabilitas suatu kejadian pada langkah ke (nG$) hanya tergantung pada kejadian ke'n atau satu langkah sebelumnya dan tidak tergantung pada langkah'langkah sebelumnya. P ( X n+$ = j J X n = i ) disebut probabilitas transisi satu langkah dari 1# pada waktu n. Persamaan $., mempunyai arti bahwa probabilitas satu langkah tergantung pada state 4 dan j dan tidak tergantung pada waktu dimana proses terjadi (waktu yang homogen). #alam tugas ini hanya dibahas 1# yang homogen dengan statet space S berhingga* S 6 3$* ,* H* ?). Cntuk probabilitas transisi satu langkah yang bersifat homogeny dapat di tulis
Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026) Advendos D.. Siga!ingging (131"105020) Sigit #udiantono (131"105056) n = i )K i* j = $*,*...* N P ij = P ( X n +$ = j J X
($.&)
1atriks Stokastiknya ditulis sebagai
p$$ p$, p p ,, ,$ P = p N $ p N ,
p$& p ,&
p N &
...
p$ N
...
p , N
... p NN
($.>)
Selanjutnya akan dib erikan dua karakteristik penting dari matriks stokastik dengan teorema berikut Teorema 1 (Sifat-sifat Matriks Stokastik)
1isal P = ( p ij ) adalah matriks stokastik berukuran ? " ? dari suatu 1# 3 ; n * n 0 82 dengan state space S 6 38* $* ,* &*H* ?2* maka $. pij ≥ 8*$ ≤ i* j ≤ N N
,.
∑ p
ij
= $K$ ≤ i ≤ N
j =$
Bukti pij non negatif merupakan akibat langsung dari probabilitas bersyarat.
Cntuk membuktikan yang kedua sebagai berikut N
∑
p ij =
j =$
N
∑ P ( X
n +$
= j J X n = i )
j =$
= P ( X n +$ ∈ S J X n = i ) ($.L) Darena X n + pasti mengambil nilai tertentu dalam S* tidak tergantung $
pada nilai ;n. 1aka* nilai probabilitasnya adalah $ (satu). -ontoh $. #iketahui sebuah matriks P dimana 3;n* n<82 yang merupaka 1# dengan state space 3$*,*&2 sebagai berikut. 8.$8 P = 8.,L 8.>
8.+ 8.LL 8.>
8.&
8., 8.,
a. =pakah matriks P mempunyai distribusi limitM 7entukan N intepretasikan. $. 9ika pada awalnya prsoes berada di state $* hitung probabilitas proses di state & pada periode keempat. 9awaban a. $
,
&
Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026) Advendos D.. Siga!ingging (131"105020) Sigit #udiantono (131"105056)
:erdasarkan gambar di atas diketahui bahwa setiap state terhubung dengan dirinya sendiri dan state yang lain sehingga dapat di simpulkan bahwa matriks P memilki distribusi limit dan tunggal. b. :ermula proses berada di state $* mencari peluang di state & periode >. 8.$8 P = 8.,L 8.> 8.$8
8.+
8.&
8.> 8., 8 .+ 8.&
8.LL
8.,
8 .$8 8.+ 8.& 8.,88 8.L$88 8.,$88 P = 8 .,L 8 .LL 8 ., Χ 8 .,L 8 .LL 8 ., = 8.,>,L 8 .L&,L 8.,,L8 8.> 8.,,88 8.L>88 8.,>88 8 .> 8 ., 8 .> 8 .> 8 ., 8.,88 8.L$88 8.,$88 8.$8 8.+ 8.& 8.,&%L88 8.L&,L88 8.,,88 & P = 8 .,>,L 8 .L&,L 8 .,,L8 Χ 8.,L 8.LL 8., = 8 .,>O&OL 8.L,&OL 8.,,>,L 8.,,88 8.L>88 8.,>88 8.> 8 .> 8., 8.,L&888 8.L,L888 8.,,,88 8.,&%L88 8.L&,L88 8.,,88 8.$8 8.+ 8.& 8.,>,OL 8.L,OOOL 8.,, P > = 8.,>O&OL 8.L,&OL 8.,,>,L Χ 8.,L 8 .LL 8., = 8.,>+L&$ 8.L,&O$ 8.,, 8.,L&888 8.L,L888 8.,,,88 8.> 8.> 8., 8.,>L&L8 8 .L,%&L8 8.,, ,
8.,>,OL P > = 8.,>+L&$ 8.,>L&L8
8.L,OOOL
8.,,&%L8
8.L,&O$
8.,,>O&
8.L,%&L8
8.,,L&88
Sehingga peluang P > 6 P (;nG$6>J;n6&) 6 8.,,L&88 ,. 7iga Perusahaan detergen terkenal di suatu daerah ingin melakukan pengamata terhadap perpindahan pelanggan dari waktu ke waktu. Pengamat melakukan penelitian setiap $ bulan sekali diketahui jumlah pelangga yang masuk dan keluar dalam , bulan terakhir. :anyak Pelanggan $ 9anuari $ Februari ,88 ,>8 ,L8 ,&L &88 ,OL
Perusahaan $ , &
Perusahaan
$ 9anuari
$ , &
,88 ,L8 &88
Perusahaan
$ 9anuari
Perpindahan Pelanggan 1asuk Deluar L8 $8 $8 ,L L &8
1asuk $ , &
Deluar $ , &
$ Februari ,>8 ,&L ,OL
$ Februari
Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026) Advendos D.. Siga!ingging (131"105020) Sigit #udiantono (131"105056)
$ , &
,88 ,L8 &88
8 L L
,L 8 8
,L L 8
8 ,L ,L
L 8 L
L 8 8
,>8 ,&L ,OL
a. 9elaskan State Space N Parameter Space dari data perpindahan pelanggan tersebut b. =pakah sifat markov berlaku pada proses ini dan susun matriks probabilitas pada bulan januari c. 9ika pada bulan januari pelanggan memakai detergen dari perusahaan $ maka hitung probabilitas pelanggan memakai detergen dari perusahaan & pada bulan maret 9awaban a. State space adalah perusahaan detergen dimana setiap perusahaan diberi indeks $ sampai indeks &. Parameter space space adalah setiap bulan karena data perpindahan pelanggan di hitung setiap bulan. b. Sifat markov berlaku karena di asumsikan pelanggan menggunakan detergen dari perusahaan tertentu dipengaruhi oleh bulan ke (nG$). 1elihat dari table perpindahan pelanggan dapat di cari probabilitas setiap pelanggan berpindah detergen. 1isal pelanggan untuk perusahaan $ pada awal bulan januari probabilitas ,88 − $8 = 8.%L yang masih bertahan samapai bulan februari adalah ,88
Cntuk pelanggan perusahaan $ pada awal januari probabilitas yang berpindah ke perusahaan , pada bulan februari adalah
L ,88
= 8.8,L dst.
1enggunakan cara yang sama sehingga di peroleh probabilitas sebagai berikut. Probabilitas ?ilai P$$ 8.%L P$, 8.8,L P$& 8.8,L P,$ 8.$ P,, 8.% P,& 8.8 P&$ 8.8> P&, 8.8$+ P&& 8.% Sehingga apabila dibentuk matriks sebagai berikut 8 .8,L 8 .8,L 8.%L 8 .% 8 .8 P = 8.$ 8.8> 8.8$+> 8 .% c. 1enghitung probabilitas pelanggan yang berpindah dari perusahaan $ ke perusahaan & pada bulan maret. #imana P, 6 P (;nG$6,J;n6&)
Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026) Advendos D.. Siga!ingging (131"105020) Sigit #udiantono (131"105056)
8.%L 8.$ P , = 8.8>
8 .8,L 8 .% 8 .8$+>
8.8,L
8.%L 8.8 Χ 8.$ 8.% 8 .8>
8.%8O$ P = 8.$L8 8.$LO8 ,
8.8>++L
8 .8,L 8.% 8.8$+>
8 .8,L
8.%8O$ 8 .8 = 8 .$L8 8 .% 8 .$LO8
8 .8>++L
8 .8>+
8 .$,L8
8 .88,
8 .8&8%8
8 .$,$
8.8>+,L
8.$,L8
8.88,L8
8.8&8%8
8.$,$8
Sehingga dari hasil perhitungan probabilitas di atas diketahui bahwa probabilitas pelanggan berpindah ke perusahaan & pada bulan maret adalah 8.8>+,L &. Sebuah toko menjual handycam dimana took tersebut memesan di agen resmi penjualan merk tersebut. 7oko tersebut menerapkan system inventori (s*S) yaitu jika pada suatu minggu tertentu jumlah handycam di toko kurang dari $ (sQ$) maka toko memesan > handycam dari distributor (S6>) pada akhir minggu tersebut. 9ika s <, maka tidak ada pemesanan ke distributor. a. =pakah jumlah handycam di toko sesuai dengan 1#M b. 9elaskan state space dan parameter spacenyaM c. #apatkan matriks stokastiknya sesuai dengan distribusi poisson. 9awaban a. 9umlah handycam pada minggu ke'(nG$) hanya di pengaruhi oleh jumlah handycam pada minggu sebelumnya atau ke'n dan tidak tergantung pada jumlah handycam minggu'minggu sebelumnya. b. State spacenya adalah jumlah handycam yang berada di toko tersebut 38*$*,*&*>2 dan parameter space adalah waktu pemesanan handycam tersebut yaitu dalam mingguan. λ
c. #istribusi poisson P ( x ) =
e λ x xP
* x = 8*$*,*...* ∞
#ari pengamatan dalam beberapa minggu diketahui bahwa demand handy cam tersebut adalah $ buah. Sehingga probablitas demand ( λ) dapat dihitung sebagai berikut.
= P [ X n+$ = 8 J X n = 8] = P [ Dn ≥ >] = $ − P [ Dn ≤ &] = $ − { P [ Dn = 8] + P [ Dn = $] + P [ Dn = , ] + P [ Dn = &]}
P 88
e −$$8 e −$$$ e −$$, e −$$& = $− + + + = 8.8$%8L $P ,P &P 8P
Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026) Advendos D.. Siga!ingging (131"105020) Sigit #udiantono (131"105056) P $8 = P [ X n +$ = 8 J X n = $] = P [ Dn ≥ $]
= $ − { P [ Dn = 8]} e −$$8 = $− = 8.+&,$& 8P Sehingga di peroleh matriks stokastiknya sebagai barikut 8.8$%8L 8.+&,$& P = 8.,+>,+ 8.88&+ 8.8$%8L
8.8+$&$
8.$&%
8.&+OO
8.&+OO
8.&+OO
8
8
8
8.&+OO
8.&+OO
8
8.$&%
8.&+OO
8.&+OO
8.8+$&$
8.$&%
8.&+OO
8 8 8.&+OO
